Pada hari yang lain saya terpaksa menulis program yang mengira penghampiran akar-min-kuasa dua bagi fungsi yang diberikan dalam jadual menggunakan asas undang-undang kuasa - menggunakan kaedah petak terkecil. Biar saya membuat tempahan dengan segera bahawa saya tidak mengambil kira asas trigonometri dan tidak akan mengambilnya dalam artikel ini. Pada akhir artikel anda boleh mencari kod sumber program C#.

Teori

Biarkan nilai fungsi yang dianggarkan f(x) dinyatakan dalam N+1 nod f(x 0), ..., f(x N). Kami akan memilih fungsi anggaran daripada keluarga parametrik tertentu F(x, c), Di mana c = (c 0 , ..., c n) T- vektor parameter, N>n.

Perbezaan asas antara masalah penghampiran punca-min-kuasa dua dan masalah interpolasi ialah bilangan nod melebihi bilangan parameter. DALAM dalam kes ini Hampir selalu tiada vektor parameter yang mana nilai fungsi anggaran akan bertepatan dengan nilai fungsi anggaran pada semua nod.

Dalam kes ini, masalah penghampiran ditimbulkan sebagai masalah mencari vektor parameter sedemikian c = (c 0 , ..., c n) T, di mana nilai fungsi anggaran akan menyimpang sesedikit mungkin daripada nilai fungsi anggaran F(x, c) dalam agregat semua nod.

Secara grafik masalah boleh diwakili seperti berikut

Mari kita tuliskan kriteria untuk anggaran purata kuasa dua untuk kaedah kuasa dua terkecil:
J(c) = √ (Σ i=0 N 2) →min

Ungkapan radikal ialah fungsi kuadratik berbanding dengan pekali polinomial yang hampir. Ia berterusan dan boleh dibezakan berkenaan dengan c 0 , ..., c n. Jelas sekali, minimumnya adalah pada titik di mana semua derivatif separa adalah sama dengan sifar. Menyamakan derivatif separa kepada sifar, kita memperoleh sistem linear persamaan algebra berbanding dengan pekali yang tidak diketahui (dicari) bagi polinomial penghampiran terbaik.

Kaedah kuasa dua terkecil boleh digunakan untuk pelbagai fungsi parametrik, tetapi selalunya dalam amalan kejuruteraan polinomial atas beberapa asas bebas linear digunakan sebagai fungsi penghampiran ( φ k(x), k=0,...,n}:
F(x, c)= Σ k=0 n [ c k φ k(x)] .

Dalam kes ini, sistem persamaan algebra linear untuk menentukan pekali akan mempunyai jenis tertentu:

…

Untuk sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentu matriks A (penentu Gram) adalah berbeza daripada sifar. Agar sistem mempunyai penyelesaian yang unik, adalah perlu dan mencukupi bahawa sistem asas berfungsi φ k(x), k=0,...,n adalah bebas secara linear pada set nod penghampiran.

Artikel ini mempertimbangkan anggaran purata kuasa dua akar oleh polinomial dalam asas kuasa ( φ k(x) = x k , k=0,...,n}.

Contoh

Sekarang mari kita beralih kepada contoh. Pengeluaran yang diperlukan formula empirik untuk pergantungan jadual yang diberikan f(x), menggunakan kaedah kuasa dua terkecil.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Mari kita ambil sebagai fungsi anggaran
y = F(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, iaitu, n=2, N=4

Sistem persamaan untuk menentukan pekali:
a 00 c 0 + a 01 c 1 +… + a 0n c n = b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 +… + a 1n c n = b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 +… + a nn c n = b n

a kj = Σ i=0 N [φ k (x i)φ j (x i) ], b j = Σ i=0 N

Pekali dikira menggunakan formula:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i=0 N x i = 11.25, a 02 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94
a 10 = Σ i=0 N x i = 11.25, a 11 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94, a 12 = Σ i=0 N x i 3 = 94.92
a 20 = Σ i=0 N x i 2 = 30.94, a 21 = Σ i=0 N x i 3 = 94.92, a 22 = Σ i=0 N x i 4 = 303.76
b 0 = Σ i=0 N y i = 11.25, b 1 = Σ i=0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i=0 N x i 2 y i = 90.21

Kami menyelesaikan sistem persamaan dan mendapatkan nilai pekali berikut:
c0 = 4.822, c1 = -3.882, c2 = 0.999

Justeru
y = 4.8 - 3.9x + x 2

Graf fungsi yang terhasil

Pelaksanaan dalam C#

Sekarang mari kita beralih kepada cara menulis kod yang akan membina matriks sedemikian. Dan di sini, ternyata, semuanya agak mudah:
private double[,] MakeSystem(double[,] xyTable, int basis) ( double[,] matriks = new double; for (int i = 0; i< basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
Pada input, fungsi menerima jadual nilai fungsi - matriks, lajur pertama yang mengandungi nilai x, yang kedua, masing-masing, y, serta nilai asas kuasa.

Pertama, ingatan diperuntukkan untuk matriks di mana pekali untuk menyelesaikan sistem akan ditulis persamaan linear. Kemudian, sebenarnya, kami menyusun matriks - nilai pekali aij ditulis dalam sumA, bi dalam sumB, semuanya mengikut formula yang ditunjukkan di atas dalam bahagian teori.

Untuk menyelesaikan sistem terkumpul persamaan algebra linear, atur cara saya menggunakan kaedah Gauss. Arkib dengan projek itu boleh dimuat turun

Selalunya nilai fungsi interpolasi y, y2 , ..., y„ ditentukan daripada percubaan dengan beberapa ralat, jadi adalah tidak munasabah untuk menggunakan anggaran tepat pada nod interpolasi. Dalam kes ini, adalah lebih wajar untuk menganggarkan fungsi bukan dengan mata, tetapi dengan purata, iaitu, dalam salah satu norma L p .

Ruang 1 p - banyak fungsi d(x), ditakrifkan pada segmen [a, b] dan modul-integrable dengan kuasa p-th, jika norma ditentukan

Konvergensi dalam norma sedemikian dipanggil penumpuan dalam purata Ruang 1,2 dipanggil Hilbert, dan penumpuan di dalamnya adalah punca purata kuasa dua.

Biarkan satu fungsi Dx) dan satu set fungsi φ(x) diberikan daripada beberapa ruang bernorma linear. Dalam konteks masalah interpolasi, penghampiran dan penghampiran, dua masalah berikut boleh dirumuskan.

Tugasan pertama ialah anggaran dengan ketepatan tertentu, iaitu, mengikut sesuatu yang diberikan e cari φ(x) supaya ketaksamaan |[Dx) - φ(x)|| G..

Tugasan kedua- ini adalah carian anggaran terbaik iaitu, mencari fungsi φ*(x) yang memenuhi hubungan:

Mari kita tentukan tanpa bukti keadaan yang mencukupi kewujudan penghampiran terbaik. Untuk melakukan ini, dalam ruang linear fungsi kita memilih set yang diparameterkan oleh ungkapan

di mana set fungsi φ[(x), ..., φ„(x) akan dianggap bebas linear.

Ia boleh ditunjukkan bahawa dalam mana-mana ruang norma untuk penghampiran linear(2.16) anggaran terbaik wujud, walaupun ia tidak unik dalam mana-mana ruang linear.

Mari kita pertimbangkan ruang Hilbert LzCp) bagi fungsi sebenar yang boleh disepadukan segi empat sama dengan berat p(x) > 0 pada [, di mana hasil kali skalar ( g,h) ditentukan oleh

formula:

Menggantikan kombinasi linear (2.16) ke dalam keadaan untuk penghampiran terbaik, kami dapati

Menyamakan derivatif berkenaan dengan pekali (D, k= 1, ..., P, kita memperoleh sistem persamaan linear

Penentu sistem persamaan (2.17) dipanggil penentu Gram. Penentu Gram ialah bukan sifar, kerana diandaikan bahawa sistem fungsi φ[(x), ..., φ„(x) adalah bebas secara linear.

Oleh itu, anggaran terbaik wujud dan unik. Untuk mendapatkannya, adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan (2.17). Jika sistem fungsi φ1(x), ..., φ„(x) adalah ortogonal, iaitu (φ/,φ,) = 5y, di mana 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., p, maka sistem persamaan boleh diselesaikan dalam bentuk:

Pekali yang ditemui mengikut (2.18) S, ..., ke dipanggil pekali bagi siri Fourier umum.

Jika set fungsi φ t (X),..., φ„(x),... membentuk sistem yang lengkap, maka berdasarkan kesamaan Parseval sebagai P -» bersama norma ralat berkurangan tanpa had. Ini bermakna bahawa anggaran terbaik menumpu akar-min-kuasa dua kepada Dx) dengan sebarang ketepatan yang diberikan.

Ambil perhatian bahawa pencarian pekali penghampiran terbaik dengan menyelesaikan sistem persamaan (2.17) adalah mustahil untuk dilaksanakan, kerana apabila susunan matriks Gram bertambah, penentunya dengan cepat cenderung kepada sifar, dan matriks menjadi tidak bersyarat. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks sedemikian akan membawa kepada kehilangan ketepatan yang ketara. Jom semak.

Biarkan darjah dipilih sebagai sistem fungsi φ„ i =1, ..., П, iaitu φ* = X 1", 1 = 1, ..., p, kemudian, dengan mengandaikan segmen itu ialah segmen anggaran, kita dapati matriks Gram

Matriks Gram dalam bentuk (2.19) juga dipanggil matriks Hilbert. ini contoh klasik matriks yang dipanggil ill-conditioned.

Menggunakan MATLAB, kami mengira penentu matriks Hilbert dalam bentuk (2.19) untuk beberapa nilai pertama hlm. Penyenaraian 2.5 menunjukkan kod untuk program yang sepadan.

Penyenaraian 23

Mengira penentu matriks Hilbert mengosongkan kawasan kerja kosongkan semua;

%mari pilih nilai maksimum susunan % matriks Hilbert ptah =6;

%bina gelung untuk menjana %Hilbert matriks dan mengira penentunya

untuk n = 1: ptah d(n)=det(hi I b(n)); tamat

%cetak nilai-nilai penentu %Hilbert matriks

f o g t hujung pendek

Selepas menjalankan kod dalam Penyenaraian 2.5, tetingkap arahan MATLAB harus memaparkan nilai-nilai penentu matriks Hilbert untuk enam matriks pertama. Jadual di bawah menunjukkan nilai berangka yang sepadan bagi susunan matriks (n) dan penentunya (d). Jadual dengan jelas menunjukkan betapa cepatnya penentu matriks Hilbert cenderung kepada sifar apabila susunan meningkat dan, bermula dari pesanan 5 dan 6, ia menjadi sangat kecil.

Jadual nilai penentu matriks Hilbert

Ortogonalisasi berangka sistem fungsi φ, i = 1, ..., П juga membawa kepada kehilangan ketepatan yang ketara, oleh itu, untuk mengambil kira bilangan yang besar istilah dalam pengembangan (2.16), adalah perlu sama ada untuk menjalankan ortogonalisasi secara analitik, iaitu, tepat, atau menggunakan sistem fungsi ortogonal yang sedia dibuat.

Jika semasa interpolasi mereka biasanya menggunakan darjah sebagai sistem fungsi asas, maka apabila menganggarkan secara purata, polinomial ortogon dengan berat tertentu dipilih sebagai fungsi asas. Yang paling biasa digunakan ialah polinomial Jacobi, kes khasnya ialah polinomial Legendre dan Chebyshev. Polinomial Lagsr dan Hermite juga digunakan. Butiran lanjut tentang polinomial ini boleh didapati, sebagai contoh, dalam lampiran Polinomial ortogon buku

3. Purata anggaran segi empat sama bagi fungsi

3.1 Pernyataan masalah

Bina gambar rajah algoritma dan tulis atur cara dalam Turbo Pascal 7.0 untuk melaksanakan penghampiran akar-min-kuasa dua bagi fungsi yang dinyatakan dalam nod.

3.2 Rumusan masalah matematik

Biarkan terdapat satu set fungsi kepunyaan ruang linear fungsi. Dengan kedekatan secara purata bagi fungsi interpolasi dan interpolasi yang kami maksudkan adalah hasil menganggarkan kamiran

, (3.1)

di manakah fungsi berat.

Anggaran ini dipanggil akar min kuasa dua.

3.3 Semakan kaedah berangka sedia ada untuk menyelesaikan masalah

Masalah penghampiran punca-min-kuasa dua timbul di banyak kawasan penyelidikan gunaan, sebagai contoh, apabila pemprosesan statistik data eksperimen menggunakan analisis regresi, apabila menganggar parameter model, dalam tugas penapisan, dsb.

Apabila tahap ketidakpastian dalam menentukan fungsi anggaran f(x i), i=1..m, cukup besar, yang merupakan tipikal untuk memproses data eksperimen, tidak masuk akal untuk menghendaki syarat interpolasi dipenuhi; di samping itu, bilangan mata untuk menentukan fungsi f(x i) selalunya sangat besar. Semua ini menjadikan penggunaan interpolasi tidak menjanjikan kerana syarat yang lemah bagi masalah dimensi tinggi dan masalah penumpuan proses interpolasi

Salah satu fungsi penghampiran yang paling mudah dan, oleh itu, digunakan secara meluas ialah polinomial algebra

Kaedah penghampiran punca-min-kuasa dua menyediakan pembinaan polinomial Pn(x), berdasarkan meminimumkan nilai

Kaedah penghampiran yang dipertimbangkan meminimumkan sisihan punca-min-kuasa dua bagi polinomial anggaran daripada fungsi anggaran, tetapi tidak menjamin terhadap ralat tempatan yang ketara. Untuk mengelakkan kemungkinan ini, polinomial penghampiran seragam terbaik digunakan.

dalam ruang parameter a 0 , a 1 ,...,a n. ada pendekatan yang berbeza untuk menyelesaikan masalah meminimumkan fungsi D(a). Yang paling mudah daripada mereka membawa kepada keperluan untuk menyelesaikannya sistem biasa persamaan algebra linear

Walau bagaimanapun, sudahpun untuk n > 5 matriks sistem sedemikian ternyata menjadi sangat buruk sehingga nilai a j yang diperoleh daripada (3.4) ternyata tidak banyak digunakan untuk mengira P n (x). Oleh itu, jika perlu untuk membina polinomial bagi anggaran purata kuasa dua terbaik, lebih banyak lagi darjat tinggi algoritma lain digunakan, sebagai contoh, kaedah penguraian nilai tunggal.

3.4 Kaedah berangka penyelesaian masalah

Dua masalah boleh dipertimbangkan:

1 - pilih fungsi supaya ketidaksamaan berpuas hati

2 - cari anggaran terbaik, i.e. fungsi sedemikian sehingga hubungan itu sah

. (3.6)

Mari kita kembangkan fungsi ke dalam sistem fungsi bebas linear:

. (3.7)

Dalam perkara berikut, untuk memendekkan notasi, kami akan menggunakan definisi produk titik dalam ruang fungsi:

.

Menggantikan (3.7) ke dalam keadaan (3.6), kami memperoleh

Membezakan ungkapan ini berkenaan dengan dan menyamakan derivatif kepada sifar, kita perolehi

. (3.8)

Penentu sistem ini ialah penentu Gram bagi fungsi. Disebabkan oleh mereka kemerdekaan linear penentu ini tidak sama dengan sifar. Akibatnya, daripada sistem (3.8) seseorang boleh mencari pekali yang mentakrifkan fungsi mengikut (3.6) dan meminimumkan kamiran ralat . Oleh itu, anggaran purata kuasa dua punca terbaik wujud dan ia adalah unik.

Apabila menggunakan sistem fungsi ortonormal, sistem (3.8) dipermudahkan:

,

mereka. ialah pekali Fourier, dan anggaran terbaik ialah siri Fourier yang tamat pada beberapa penggal.

Telah terbukti bahawa dalam mana-mana ruang bernorma linear, dengan anggaran linear bentuk (3.4), anggaran terbaik wujud, walaupun ia mungkin bukan satu-satunya.

Dalam kes di mana fungsi tidak ortogon, penentu Gram berkurangan, menghampiri sifar. Kemudian sistem menjadi tidak bersyarat dan penyelesaiannya memberikan ralat yang besar. Dalam keadaan ini, mereka biasanya mengambil tidak lebih daripada lima atau enam penggal secara keseluruhan (3.7).

Polinomial yang paling kerap digunakan ialah Legendre, Chebyshev, Laguerre, polinomial Hermite, ortogon dengan berat tertentu.

Mari kita pertimbangkan kes khas, apabila perlu untuk mencari penghampiran terbaik bagi fungsi yang diberikan dalam jadual. Untuk fungsi sebenar yang ditakrifkan pada set titik terhingga, hasil kali skalar ditakrifkan oleh formula

, (3.9)

di mana bilangan nod yang ditentukan.

Syarat untuk penghampiran punca-min-kuasa dua yang terbaik ditulis seperti berikut:

. (3.10)

Percaya , di mana , dan menggantikan polinomial ini kepada (3.10), kita tiba di sistem (3.8), di mana hasil skalar dikira mengikut (3.9). Prosedur penghampiran yang diterangkan dipanggil kaedah kuasa dua terkecil.

Versi paling biasa kaedah kuasa dua terkecil sepadan dengan kes itu jenis kuasa fungsi, i.e. , dan .

Sistem persamaan (3.8) kemudiannya mengambil bentuk

, , (3.11)

Bentuk lebih tahap tinggi abstraksi dan generalisasi daripada pengajaran tradisional yang berorientasikan." Oleh itu, bentuk tradisional pembelajaran gagal meningkatkan pemikiran matematik budak sekolah rendah ke peringkat yang lebih tinggi. Bagaimanakah pendidikan bukan tradisional menyelesaikan masalah ini? Apakah sifat pemikiran matematik yang dikembangkan oleh penyelesaian itu? tugasan yang tidak standard? Vo-...

rangkaian yang dibina berdasarkan pelbagai topologi. Perisian sistem aplikasi yang direka untuk aktiviti profesional pengurus, termasuk: · perisian sistem; · pakej perisian aplikasi asas; · alatan sokongan rangkaian untuk komputer dalam rangkaian tempatan dan global; · sistem pengaturcaraan aplikasi; · menguji perisian. ...

Untuk melicinkan fungsi diskret Altman, dan dengan itu memperkenalkan idea kesinambungan ke dalam teori, penghampiran kamiran punca-min-kuasa dua oleh polinomial darjah yang berbeza telah digunakan.

Adalah diketahui bahawa jujukan polinomial interpolasi pada nod sama jarak tidak semestinya menumpu kepada fungsi, walaupun jika fungsi itu boleh dibezakan secara tak terhingga. Untuk fungsi anggaran, menggunakan susunan nod yang sesuai, adalah mungkin untuk mengurangkan tahap polinomial. . Struktur fungsi Altman adalah sedemikian rupa sehingga lebih mudah untuk menggunakan penghampiran fungsi itu bukan dengan interpolasi, tetapi dengan membina anggaran purata kuasa dua terbaik dalam ruang linear ternormal. Mari kita pertimbangkan konsep dan maklumat asas semasa membina penghampiran terbaik. Masalah anggaran dan pengoptimuman dikemukakan dalam ruang normal linear.

Ruang bernorma metrik dan linear

Kepada yang paling banyak konsep yang luas matematik merujuk kepada "set" dan "pemetaan". Konsep "set", "set", "koleksi", "keluarga", "sistem", "kelas" dalam teori set tidak ketat dianggap sinonim.

Istilah "pengendali" adalah sama dengan istilah "pemetaan". Istilah "operasi", "fungsi", "berfungsi", "ukuran" adalah kes khas konsep "pemetaan".

Istilah "struktur", "ruang" dalam pembinaan aksiomatik teori matematik kini juga telah memperoleh kepentingan asas. Struktur matematik termasuk struktur set-teoretik (set tersusun dan separa); struktur algebra abstrak (separuh kumpulan, kumpulan, gelang, gelang pembahagian, medan, algebra, kekisi); struktur pembezaan(luaran bentuk pembezaan, ruang gentian) , , , , , , .

Struktur difahami sebagai set terhingga yang terdiri daripada set pembawa (set utama), medan berangka (set tambahan) dan pemetaan yang ditakrifkan pada elemen pembawa dan nombor medan. Jika satu set diambil sebagai pembawa nombor kompleks, maka ia memainkan peranan kedua-dua set utama dan tambahan. Istilah "struktur" adalah sama dengan konsep "ruang".

Untuk menentukan ruang, anda mesti terlebih dahulu menentukan set pembawa dengan elemennya (titik), dilambangkan dengan huruf Latin dan Yunani

Pembawa boleh menjadi satu set elemen sebenar (atau kompleks): nombor; vektor, ; Matriks, ; Urutan, ; Fungsi;

Set berikut juga boleh bertindak sebagai elemen pembawa: paksi nyata, satah, ruang tiga dimensi (dan multidimensi), pilih atur, gerakan; set abstrak.

Definisi. Ruang metrik ialah struktur yang membentuk tiga kali ganda, di mana pemetaan adalah bukan negatif fungsi sebenar dua hujah untuk sebarang x dan y daripada M dan memuaskan tiga aksiom.

• 1- bukan negatif; , pada.
• 2- - simetri;
• 3- - aksiom reflekstiviti.

di manakah jarak antara unsur.

Dalam ruang metrik, metrik ditentukan dan konsep kehampiran dua elemen daripada set pembawa terbentuk.

Definisi. Ruang linear (vektor) sebenar ialah struktur di mana pemetaan ialah operasi tambahan untuk menambah unsur kepunyaan, dan pemetaan ialah operasi mendarab nombor dengan unsur daripada.

Operasi ini bermaksud bahawa untuk mana-mana dua unsur unsur ketiga ditakrifkan secara unik, dipanggil jumlahnya dan dilambangkan dengan, dan aksiom berikut dipegang.

Harta komutatif.

Harta bersekutu.

Di dalamnya terdapat unsur khas, dilambangkan dengan apa-apa yang dipegangnya.

untuk sesiapa sahaja wujud, seperti itu.

Unsur dipanggil bertentangan dengan dan dilambangkan melalui.

Operasi ini bermaksud bahawa untuk mana-mana elemen dan sebarang nombor, elemen ditakrifkan, dilambangkan dengan dan aksiomnya dipenuhi:

Unsur (titik) ruang linear juga dipanggil vektor. Aksiom 1 - 4 mentakrifkan kumpulan (aditif), dipanggil modul, iaitu struktur.

Jika operasi dalam struktur tidak mematuhi sebarang aksiom, maka struktur sedemikian dipanggil groupoid. Struktur ini sangat miskin; ia tidak mengandungi sebarang aksiom persekutuan, maka struktur itu dipanggil monoid (semikumpulan).

Dalam struktur, menggunakan pemetaan dan aksiom 1-8, sifat lineariti ditentukan.

Jadi, ruang linear adalah modul kumpulan, ke dalam struktur yang mana satu lagi operasi ditambah - mendarabkan elemen pembawa dengan nombor dengan 4 aksiom. Jika, bukannya operasi, kita tentukan, bersama-sama dengan satu lagi operasi kumpulan mendarab unsur dengan 4 aksiom dan postulat aksiom pengagihan, maka struktur yang dipanggil medan timbul.

Definisi. Ruang bernorma linear ialah struktur di mana pemetaan memenuhi aksiom berikut:

• 1. dan jika dan hanya jika.
• 2. , .
• 3. , .

Dan seterusnya dalam sejumlah 11 aksiom.

Sebagai contoh, jika struktur medan nombor nyata, Di mana - nombor nyata, tambah modul yang mempunyai ketiga-tiga sifat norma, maka medan nombor nyata menjadi ruang norma

Terdapat dua cara biasa untuk memperkenalkan norma: sama ada dengan menyatakan secara eksplisit bentuk selang bagi fungsi cembung homogen , , atau dengan menyatakan hasil kali skalar , .

Biarkan, kemudian jenis fungsi boleh ditentukan tak terkira cara dengan menukar nilai:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Cara biasa kedua untuk mendekati tugas adalah dengan memperkenalkan pemetaan lain ke dalam struktur ruang (fungsi dua hujah, biasanya dilambangkan dengan dan dipanggil produk skalar).

Definisi. Ruang Euclidean ialah struktur di mana hasil kali skalar mengandungi norma dan memenuhi aksiom:

• 4. , dan jika dan hanya jika

Dalam ruang Euclidean, norma dijana oleh formula

Daripada sifat 1 - 4 hasil kali skalar ia mengikuti bahawa semua aksiom norma dipenuhi. Jika hasil kali skalar dalam bentuk, maka norma akan dikira menggunakan formula

Norma ruang tidak boleh ditentukan menggunakan hasil kali skalar , .

Dalam ruang dengan hasil darab skalar, kualiti seperti itu kelihatan tiada dalam ruang bernorma linear (ortogonal unsur, kesamaan segi empat selari, teorem Pythagoras, identiti Apollonius, ketaksamaan Ptolemy. Pengenalan produk skalar menyediakan cara untuk lebih banyak penyelesaian yang berkesan masalah anggaran.

Definisi. Urutan unsur tak terhingga dalam ruang linear bernorma dikatakan penumpuan norma (sekadar menumpu atau mempunyai had pada) jika wujud unsur sedemikian sehingga untuk mana-mana terdapat nombor bergantung pada apa itu untuk

Definisi. Urutan unsur dalam dipanggil asas jika bagi mana-mana terdapat nombor bergantung pada apa yang mana-mana berpuas hati (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, ms. 48)

Definisi. Ruang Banach ialah struktur di mana sebarang jujukan asas bertumpu berkenaan dengan norma.

Definisi. Ruang Hilbert ialah struktur di mana sebarang jujukan asas bertumpu berkenaan dengan norma yang dihasilkan oleh hasil skalar.

Penghampiran kuadratik

Jika plot serakan kelihatan seperti parabola, maka kita mencari formula empirikal dalam bentuk trinomial kuadratik. Mari kita andaikan bahawa lengkung yang menghampiri adalah serupa dengan parabola, simetri tentang paksi-y. Kemudian parabola akan mengambil bentuk yang lebih mudah

(4.4)

Mari kita ambil sistem koordinat separa kuadratik. Ini ialah sistem koordinat di mana skala pada paksi absis adalah kuadratik, iaitu, nilai-nilai bahagian diplot mengikut ungkapan, di sini m – skala dalam beberapa unit panjang, contohnya, dalam cm.

Skala linear diplot sepanjang paksi ordinat mengikut ungkapan

Mari kita plot titik eksperimen pada sistem koordinat ini. Jika titik graf ini terletak kira-kira dalam garis lurus, maka ini mengesahkan andaian kami bahawa pergantungan y daripada x dinyatakan dengan baik oleh fungsi bentuk (4.4). Untuk mencari pekali a Dan b Anda kini boleh menggunakan salah satu kaedah yang dibincangkan di atas: kaedah benang regangan, kaedah mata yang dipilih atau kaedah purata.

Kaedah benang ketat digunakan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi linear.

Kaedah mata yang dipilih kita boleh mengaplikasikannya seperti ini. Pada graf rectilinear, ambil dua titik (jauh antara satu sama lain). Kami menandakan koordinat titik-titik ini dan ( x, y). Kemudian kita boleh menulis

Daripada sistem yang diberikan bagi dua persamaan kita dapati a Dan b dan gantikannya ke dalam formula (4.4) dan dapatkan bentuk akhir formula empirikal.

Anda tidak perlu membinanya graf garis lurus, dan ambil nombor, ( x,y) terus dari jadual. Walau bagaimanapun, formula yang diperolehi dengan pilihan mata sedemikian akan menjadi kurang tepat.

Proses menukar graf melengkung kepada graf lurus dipanggil mendatar.

Kaedah sederhana. Ia digunakan dengan cara yang sama seperti dalam kes pergantungan linear. Kami membahagikan mata eksperimen kepada dua kumpulan dengan bilangan mata yang sama (atau hampir sama) dalam setiap kumpulan. Kami menulis semula kesaksamaan (4.4) seperti berikut

(4.5)

Kami mencari jumlah baki untuk titik kumpulan pertama dan menyamakannya dengan sifar. Kami melakukan perkara yang sama untuk mata kumpulan kedua. Kami mendapat dua persamaan dengan yang tidak diketahui a Dan b. Menyelesaikan sistem persamaan, kita dapati a Dan b.

Ambil perhatian bahawa apabila menggunakan kaedah ini tidak perlu membina garis lurus yang menghampiri. Petak berselerak dalam sistem koordinat semiquadratik hanya diperlukan untuk mengesahkan bahawa fungsi bentuk (4.4) sesuai untuk formula empirik.

Contoh. Apabila mengkaji pengaruh suhu pada perjalanan kronometer, keputusan berikut diperoleh:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Dalam kes ini, kita tidak berminat dengan suhu itu sendiri, tetapi dalam sisihannya daripada . Oleh itu, kita ambil sebagai hujah , di mana t– suhu dalam darjah Celsius pada skala biasa.

Setelah memplot titik yang sepadan pada sistem koordinat Cartesian, kita dapati bahawa parabola dengan paksi selari dengan paksi ordinat boleh diambil sebagai lengkung anggaran (Rajah 4). Mari kita ambil sistem koordinat separa kuadratik dan plot titik eksperimen di atasnya. Kami melihat bahawa mata ini sesuai dengan baik pada garis lurus. Jadi, formula empirikal

boleh dicari dalam borang (4.4).

Mari kita tentukan pekali a Dan b menggunakan kaedah purata. Untuk melakukan ini, kami membahagikan mata eksperimen kepada dua kumpulan: dalam kumpulan pertama - tiga mata pertama, di kedua - baki empat mata. Menggunakan kesamaan (4.5), kita mencari jumlah baki bagi setiap kumpulan dan menyamakan setiap jumlah kepada sifar.