Min harmonik adalah sentiasa Purata harmonik ringkas dan berwajaran

Min harmonik - digunakan apabila maklumat statistik tidak mengandungi data tentang pemberat untuk varian individu populasi, tetapi hasil keluaran nilai atribut yang berbeza-beza dan pemberat sepadannya diketahui.

Formula umum untuk purata wajaran harmonik adalah seperti berikut:

x ialah nilai ciri pembolehubah,

w ialah hasil darab nilai ciri pembolehubah dan pemberatnya (xf)

Sekiranya jumlah isipadu fenomena, i.e. produk nilai ciri dan beratnya adalah sama, maka min mudah harmonik digunakan:

x - nilai individu atribut (pilihan),

n ialah jumlah bilangan pilihan.

Min harmonik digunakan untuk pengiraan apabila pemberat bukan unit populasi - pembawa sifat, tetapi hasil darab unit ini dan nilai sifat (iaitu m = Xf). Purata masa henti harmonik harus digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, kos purata buruh, masa, bahan seunit pengeluaran, setiap bahagian untuk dua (tiga, empat, dsb.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan jenis produk yang sama, bahagian yang sama, produk.

Min geometri dan min kronologi.

Purata geometri

Jika terdapat n faktor pertumbuhan, maka formula bagi pekali purata ialah:

Ini ialah formula min geometri.

Purata geometri adalah sama dengan punca kuasa n hasil darab pekali pertumbuhan yang mencirikan nisbah nilai setiap tempoh berikutnya kepada nilai yang sebelumnya.

Purata Kronologi - Purata yang dikira daripada nilai yang berubah dari semasa ke semasa. Digunakan untuk mengira tahap purata siri momen. Sekiranya data yang ada merujuk kepada masa tetap c pada selang waktu yang sama, maka formula berikut digunakan:

X - nilai tahap siri,

n ialah bilangan penunjuk yang tersedia.

Tahap purata siri momen dinamik dengan tarikh tidak sama jarak ditentukan oleh formula purata wajaran kronologi:

Di manakah tahap siri masa

— tempoh selang masa antara tahap

Min segi empat sama. Saling hubungan kuasa bermakna.

Jika kuantiti yang hendak dipuratakan dinyatakan dalam bentuk fungsi segi empat sama, purata kuadratik. Sebagai contoh, menggunakan kuasa dua min akar, anda boleh menentukan diameter paip, roda, dsb.

Punca purata kuasa dua perdana ditentukan dengan mengekstrak punca kuasa dua daripada hasil bahagi bagi hasil tambah kuasa dua nilai individu tandatangan ke nombor mereka.

Purata berwajaran min kuasa dua ialah:

Konsep fesyen. Pengiraan mod untuk siri taburan diskret dan selang.

Untuk mencirikan struktur populasi statistik, penunjuk digunakan yang dipanggil purata struktur. Ini termasuk mod dan median.

Mod (Mo) ialah pilihan yang paling biasa. Mod ialah nilai ciri yang sepadan dengan titik maksimum keluk taburan teori.

Mod mewakili nilai yang paling kerap berlaku atau biasa.

Fesyen digunakan dalam amalan komersial untuk mengkaji permintaan pengguna dan merekodkan harga.

DALAM siri diskret fesyen adalah varian dengan kekerapan tertinggi. Dalam siri variasi selang, varian tengah selang, yang mempunyai frekuensi tertinggi (kekhususan), dianggap sebagai mod.

Dalam selang waktu, adalah perlu untuk mencari nilai atribut, iaitu mod.

di mana хо ialah had bawah selang modal;

h ialah nilai selang modal;

fm ialah kekerapan selang modal;

ft-1 ialah kekerapan selang sebelum modal;

fm+1 ialah kekerapan selang berikutan modal.

Mod bergantung pada saiz kumpulan, pada kedudukan tepat sempadan kumpulan.

Mod ialah nombor yang paling kerap berlaku (ialah nilai sesuatu
nnaya), dalam praktiknya mempunyai aplikasi terluas (jenis pembeli yang paling biasa).

Purata harmonik— ϶ᴛᴏ salingan bagi min aritmetik, ᴛ.ᴇ. terdiri nilai timbal balik tanda.

Contoh 5 Pengiraan peratusan purata pelan. Data berikut tersedia:

Dalam contoh, penunjuk tahap pelaksanaan rancangan (pilihan) bertindak sebagai ciri yang berbeza-beza, dan rancangan diambil sebagai pemberat (frekuensi). Dalam kes ini, purata diperoleh sebagai purata wajaran aritmetik:

Jika, apabila menentukan ijazah sederhana merancang untuk berat tidak mengambil tugas, tetapi pelaksanaan sebenar, kemudian aritmetik min dalam kes ini akan memberikan hasil yang salah:

Hasil yang betul apabila menimbang mengikut prestasi sebenar tugasan akan memberikan purata wajaran harmonik:

di mana w— wajaran min wajaran harmonik.

Syarat untuk menggunakan min harmonik

Min harmonik digunakan apabila bukan unit populasi (pembawa ciri) digunakan sebagai pemberat, tetapi hasil darab unit ini mengikut nilai ciri, ᴛ.ᴇ. .

Ia berikutan daripada peraturan ini bahawa min harmonik dalam statistik pada asasnya ialah min aritmetik yang diubah, yang digunakan apabila saiz populasi tidak diketahui dan adalah perlu untuk menimbang pilihan mengikut volum atribut.

2. Jika penimbang adalah nilai mutlak, sebarang tindakan perantaraan dalam mengira purata harus memberikan hasil yang signifikan dari segi ekonomi.

Sebagai contoh, apabila mengira purata peratusan pemenuhan rancangan, kami mendarabkan penunjuk pemenuhan rancangan dengan tugas yang dirancang dan mendapatkan pemenuhan rancangan sebenar. Walau bagaimanapun, jika penunjuk pelaksanaan rancangan itu didarabkan dengan pelaksanaan sebenar, maka dari sudut pandangan ekonomi, hasilnya akan menjadi tidak masuk akal. Ini bermakna borang purata digunakan secara salah).

Nilai min dan penunjuk variasi

— Purata harmonik.

Bersama-sama dengan min aritmetik, statistik menggunakan min harmonik, salingan min aritmetik bagi nilai salingan atribut. Seperti min aritmetik, ia boleh menjadi mudah dan berwajaran. Oleh itu, formula untuk mengira purata ... [baca lebih lanjut].

- Aritmetik min dan min kuantiti harmonik

Intipati dan makna nilai purata, jenisnya Bentuk yang paling biasa penunjuk statistik ialah nilai purata. Penunjuk dalam bentuk nilai purata menyatakan tahap tipikal sifat dalam agregat. Penggunaan purata secara meluas… [baca lebih lanjut].

— Purata harmonik.

— Min harmonik, min geometri, min kuadratik, undang-undang kuasa

Apabila menyelesaikan masalah, pengiraan saiz sederhana bermula dengan penyusunan hubungan awal - formula lisan logik purata. Ia disusun berdasarkan analisis teori dan logik. Kadangkala min aritmetik tidak boleh digunakan. Dalam kes ini, dalam… [baca lebih lanjut].

— Nilai harmonik purata

Jika, mengikut keadaan masalah, adalah perlu bahawa jumlah nilai salingan nilai individu atribut kekal tidak berubah semasa purata, maka nilai purata adalah min harmonik. Formula untuk min harmonik ialah: Contohnya, kereta dengan… [baca lebih lanjut].

70. Min Harmonik

Purata harmonik nombor positif o, b ialah nombor yang salingannya ialah min aritmetik antara , i.e. nombor

Masalah 358. Buktikan bahawa min harmonik tidak melebihi min geometri.

Nilai purata dalam statistik: intipati, sifat, jenis. Contoh penyelesaian masalah

Saling balas bagi min harmonik ialah min nombor aritmetik salingan bagi min geometri ialah min geometri bagi nombor, jadi ia kekal merujuk kepada ketaksamaan tentang min aritmetik dan geometri.

Masalah 359. Nombor adalah positif. Buktikan itu

Penyelesaian. Ketaksamaan yang diingini boleh ditulis semula sebagai

iaitu, adalah perlu untuk membuktikan bahawa min aritmetik nombor adalah lebih besar daripada atau sama dengan min harmoniknya. Ini menjadi jelas jika kita memasukkan min geometri di antara mereka:

ketaksamaan terakhir berkurangan kepada ketaksamaan tentang min aritmetik dan nombor geometri.

Penyelesaian lain menggunakan helah berikut. Mari buktikan lebih banyak lagi ketidaksamaan umum(dipanggil ketidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky)

(jika kita menggantikannya, kita mendapat yang diperlukan).

Untuk membuktikan ketaksamaan Cauchy-Bunyakovsky, pertimbangkan trinomial kuadratik

Membuka kurungan di dalamnya dan mengumpulkan istilah mengikut kuasa x, kita mendapat trinomial

Untuk mana-mana x, trinomial ini bukan negatif - lagipun, ia ialah hasil tambah kuasa dua. Jadi diskriminasinya tidak Di atas sifar, iaitu

Bagaimana anda menyukai helah ini?

Contoh : Akan ditentukan purata umur pelajar borang tidak hadir latihan mengenai data yang diberikan dalam jadual berikut:

Umur pelajar, tahun ( X)	Bilangan pelajar, orang ( f)	nilai purata selang (x’,xcentral)	*xifi**





26 dan lebih tua
Jumlah:

Untuk mengira purata dalam siri selang, mula-mula tentukan nilai purata selang sebagai separuh jumlah sempadan atas dan bawah, dan kemudian hitung nilai purata menggunakan formula min aritmetik berwajaran.

Di atas ialah contoh dengan selang yang sama, dengan yang pertama dan terakhir terbuka.

Jawapan: purata umur pelajar ialah 22.6 tahun atau lebih kurang 23 tahun.

Purata harmonik mempunyai struktur yang lebih kompleks daripada min aritmetik. Digunakan dalam kes di mana maklumat statistik tidak mengandungi frekuensi untuk individu nilai ciri, dan diwakili oleh hasil darab nilai ciri oleh kekerapan . Min harmonik sebagai sejenis min kuasa kelihatan seperti ini:

Bergantung pada bentuk pembentangan data awal, min harmonik boleh dikira sebagai mudah dan sebagai wajaran. Jika data sumber tidak dikumpulkan, maka purata harmonik ringkas :

Ia digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, kos purata buruh, bahan, dll.

Purata harmonik ringkas dan berwajaran

seunit keluaran untuk beberapa perusahaan.

Apabila bekerja dengan data terkumpul, gunakan min wajaran harmonik:

Purata geometriterpakai dalam kes tersebut apabila jumlah isipadu ciri purata ialah nilai darab, mereka. ditentukan bukan dengan menjumlahkan, tetapi dengan mendarabkan nilai individu atribut.

Bentuk min berwajaran geometri dalam pengiraan praktikal tidak berkaitan .

punca purata kuasa dua digunakan dalam kes di mana, apabila menggantikan nilai individu ciri dengan nilai purata, adalah perlu untuk mengekalkan jumlah kuasa dua nilai asal tidak berubah .

rumah skop penggunaannya - pengukuran tahap turun naik nilai individu sifat relatif kepada min aritmetik(purata sisihan piawai). Di samping itu, punca purata kuasa dua digunakan dalam kes di mana ia perlu untuk mengira nilai purata ciri yang dinyatakan dalam kuasa dua atau unit padu ukuran (apabila mengira saiz purata bahagian persegi, diameter purata paip, aci, dll.).

Purata kuasa dua akar dikira dalam dua bentuk:

Semua kuasa bermakna berbeza antara satu sama lain dengan nilai eksponen. Di mana, semakin tinggi eksponen, semakin banyaknilai kuantitatif purata:

Harta kuasa ini bermakna dipanggil harta majoriti cara.

Nilai harmonik purata

Di bawah syarat penggantian dalam formula am(6.1) nilai k= –1 boleh diperolehi min nilai harmonik, yang mempunyai bentuk yang mudah dan berwajaran.

Untuk siri kedudukan, min harmonik digunakan ringkas nilai, yang boleh ditulis seperti berikut.

di mana n adalah kekuatan total pilihan; - maksud terbalik pilihan.

Katakan terdapat bukti bahawa apabila mengangkut kentang, kelajuan kereta dengan muatan adalah 30 km / j, tanpa beban - 60 km / j. Perlu mencari kelajuan purata pergerakan kenderaan. Pada pandangan pertama, penyelesaian yang sangat mudah untuk masalah itu nampaknya: menggunakan kaedah min aritmetik nilai mudah, i.e.

Walau bagaimanapun, jika kita perlu ingat bahawa kelajuan pergerakan adalah sama dengan jarak yang dilalui dibahagikan dengan masa berlalu, maka agak jelas bahawa hasilnya (45 km / j) ternyata tidak tepat, kerana untuk laluan laluan yang sama dengan kereta dengan muatan dan tanpa beban ( sana dan belakang) masa yang dibelanjakan akan berbeza dengan ketara. Oleh itu, kelajuan purata yang lebih tepat bagi kereta dengan beban dan tanpa beban boleh dikira daripada nilai mudah harmonik purata:

Oleh itu, kelajuan purata kereta dengan beban dan tanpa beban bukanlah 45, tetapi 40 km/j.

Siri diskret atau selang menggunakan min harmonik berwajaran nilai:

dengan W ialah hasil darab pilihan dan kekerapan (pilihan berwajaran, xf).

Pertimbangkan contoh. Keamatan buruh pengeluaran 1 tan kentang di bahagian pertama organisasi pertanian ialah 10 jam kerja, dalam kedua - 30 jam kerja. Dalam kedua-dua bahagian, 30 ribu jam kerja dibelanjakan untuk pengeluaran kentang. Ia adalah perlu untuk mengira intensiti buruh purata aritmetik kentang dalam organisasi pertanian. Nampaknya purata keamatan buruh mudah dicari sebagai separuh jumlah keamatan buruh kentang dalam dua bahagian, iaitu, dengan kaedah purata aritmetik nilai mudah:

Walau bagaimanapun, terdapat dua kesilapan dalam keputusan ini. Kesilapan asas yang pertama ialah apabila mengira purata intensiti buruh dengan kaedah purata aritmetik nilai mudah, intipati intensiti buruh itu sendiri, yang didapati sebagai nisbah kos buruh langsung kepada jumlah pengeluaran, adalah tidak diambil kira. Kesilapan kedua ialah penyelesaiannya tidak mengambil kira jumlah khusus kos buruh untuk pengeluaran kentang yang diberikan oleh keadaan masalah (30 ribu rubel setiap satu).

Purata harmonik

jam manusia di kedua-dua jabatan). Ini membolehkan anda mengira kekerapan (berat) untuk input buruh kentang dan dengan itu mencari input buruh berwajaran aritmetik, yang akan berjaya digantikan dengan menggunakan purata wajaran harmonik:

Oleh itu, purata intensiti buruh kentang dalam organisasi pertanian bukanlah 20, seperti yang dikira di atas, tetapi 15 orang. h/t.

Nilai harmonik min digunakan terutamanya dalam kes di mana varian siri diwakili oleh nilai timbal balik, dan frekuensi (berat) tersembunyi dalam jumlah isipadu sifat yang dikaji.

Purata struktur

Dalam sesetengah kes, untuk mendapatkan ciri umum populasi statistik untuk beberapa atribut, seseorang perlu menggunakan apa yang dipanggil purata struktur. Mereka termasuk fesyen Dan median.

Fesyen mewakili varian yang paling kerap berlaku dalam populasi statistik yang diberikan. Dalam siri kedudukan, mod biasanya tidak ditentukan, kerana setiap varian sepadan dengan frekuensi yang sama dengan satu.

Mod dalam siri diskret sepadan dengan varian dengan frekuensi tertinggi, manakala nilai rawak boleh mempunyai beberapa mod. Di hadapan salah seorang daripada mereka, taburan populasi statistik biasanya dipanggil tidak bermodal, dengan kehadiran dua mod - bimodal, tiga atau lebih mod - multimodal. Kehadiran beberapa mod selalunya bermakna gabungan unit statistik kualiti yang berbeza dalam satu set.

Mod untuk siri selang dengan selang yang sama dikira dengan formula

(6.12)

dengan x mo sub> ialah had bawah selang modal; i mo - nilai selang;

f mo ialah kekerapan selang modal; f dmo ialah kekerapan selang pra-modal; f zmo ialah kekerapan selang keluar modal.

Katakan harga pasaran epal di pusat wilayah di rantau ini telah berkembang seperti berikut (Jadual 6.8). Berdasarkan data ini, adalah perlu untuk mengira mod harga pasaran untuk kentang.

T a b l e 6.8. Harga pasaran untuk epal

Daripada data dalam Jadual. 6.8 menunjukkan bahawa bilangan maksimum pasaran tertumpu pada selang ketiga, dan taburan populasi statistik adalah unimodal. Untuk mengira mod harga pasaran untuk epal, kami menggunakan formula (6.12):

Oleh itu, harga pasaran modal untuk epal di pusat serantau di rantau ini ialah 1690 R/kg.

Varian modal dalam mencirikan populasi statistik boleh digunakan dalam kes di mana pengiraan nilai purata sukar atau mustahil, contohnya, dalam keadaan pasaran semasa mengkaji penawaran dan permintaan, tahap harga, dsb.

Median- pilihan terletak di tengah-tengah siri variasi. Median dalam siri kedudukan adalah seperti berikut. Mula-mula, hitung bilangan median pilihan:

di mana nme ialah bilangan pilihan median; n ialah jumlah bilangan pilihan dalam baris.

Kedua, dalam siri kedudukan, nilai median pilihan ditentukan: jika jumlah bilangan pilihan adalah ganjil, maka median sepadan dengan nombor yang dikira oleh formula (6.13).

Katakan siri peringkat terdiri daripada 99 unit yang diagihkan oleh hasil bit gula. Bilangan median pilihan ditemui oleh formula (6.13): .

Ini bermakna di bawah No. 50 ialah hasil median yang dikehendaki, iaitu, sebagai contoh, 500c/ha.

Jika jumlah bilangan pilihan adalah genap, maka median adalah sama dengan separuh jumlah dua pilihan median bersebelahan. Sebagai contoh, dalam siri peringkat terdapat 100 unit statistik, sekali lagi diedarkan mengikut hasil bit gula. Oleh itu, terdapat dua nombor median dalam siri sedemikian, seperti yang boleh dilihat daripada pengiraan berikut menggunakan formula (6.13):

Oleh itu, dalam kes ini, median dianggap sebagai No. 50 dan 51, dan hasil median bit gula, sebagai contoh, boleh dikira sebagai separuh jumlah seterusnya bagi dua hasil bersebelahan, i.e.

Untuk siri taburan diskret, median dikira daripada frekuensi terkumpul: pertama, separuh jumlah frekuensi terkumpul ditemui; kedua, mereka menentukan korespondensi separuh jumlah ini kepada varian tertentu, yang akan menjadi median.

Sebagai contoh, hasil susu tahunan lembu diagihkan sebagai siri diskret, di mana jumlah kekerapan terkumpul ialah 200 unit dan, dengan itu, separuh jumlah ialah 100 unit.

Nombor median ini berada dalam kumpulan unit statistik siri diskret dan sepadan dengan hasil susu tahunan 5000 kg susu, iaitu median siri diskret.

Dalam siri variasi selang, median dikira dengan formula

, (6.14)

di mana M e ialah median bagi siri selang; хme ialah had bawah selang median; i me - nilai selang median; Σf ialah jumlah kekerapan terkumpul dalam siri selang; f n - kekerapan terkumpul selang pra-median; fme ialah kekerapan selang median.

Untuk mengira median dalam siri selang, kami akan menggunakan data berikut (Jadual 6.9).

T a b l e 6.9.

Hasil kentang dalam plot anak syarikat peribadi

Isi rumah penduduk

Daripada data dalam Jadual. 6.9 pertama sekali dapat dilihat bahawa selang keempat ialah median. Di samping itu, pengiraan mudah menunjukkan bahawa jumlah kekerapan terkumpul (jumlah bilangan ladang) ialah 200 unit, dan kekerapan terkumpul selang pra-median ialah 90 unit.

Kami menggunakan formula (6.14) dan mengira median hasil kentang:

Oleh itu, hasil median kentang dalam plot subsidiari peribadi penduduk ialah 256 q/ha.

Penggunaan median mempunyai watak tertentu. Jadi, jika siri variasi agak kecil, maka nilai min aritmetik boleh dipengaruhi oleh turun naik rawak pilihan ekstrem, yang tidak akan menjejaskan saiz median.

Sebelumnya45678910111213141516171819Seterusnya

Bentuk statistik yang paling biasa ialah puratamagnitud. Penunjuk dalam bentuk nilai purata menyatakan tahap tipikal sifat dalam populasi. Penggunaan meluas nilai purata dijelaskan oleh fakta bahawa mereka membenarkan anda membandingkan nilai atribut dalam unit yang dimiliki oleh populasi yang berbeza. Sebagai contoh, seseorang boleh membandingkan purata tempoh hari bekerja, kategori gaji purata pekerja, tahap purata upah untuk pelbagai perusahaan.

Intipati nilai purata terletak pada fakta bahawa mereka membatalkan penyimpangan nilai atribut dalam unit individu populasi, disebabkan oleh tindakan faktor rawak. Oleh itu, purata mesti dikira untuk populasi yang cukup besar (mengikut undang-undang bilangan besar). Kebolehpercayaan nilai purata juga bergantung pada turun naik nilai sifat dalam agregat. DALAM kes am, lebih kecil variasi atribut dan lebih besar populasi yang mana nilai purata ditentukan, lebih boleh dipercayai.

Kebiasaan nilai purata juga berkaitan secara langsung dengan kehomogenan populasi statistik. Nilai purata hanya akan mencerminkan tahap tipikal tanda apabila ia dikira daripada populasi homogen secara kualitatif. Jika tidak, kaedah purata digunakan bersama dengan kaedah kumpulan. Jika populasi adalah heterogen, maka purata am digantikan atau ditambah dengan purata kumpulan yang dikira untuk kumpulan homogen secara kualitatif.

Memilih jenis purata ia ditentukan oleh kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji dan data awal. Yang paling biasa digunakan dalam statistik jenis berikut purata: purata kuasa (aritmetik, harmonik, geometri, kuadratik, kubik, dll.), purata kronologi, serta purata struktur (mod dan median).

Min aritmetik paling kerap ditemui dalam kajian sosio-ekonomi. Min aritmetik digunakan dalam bentuk purata mudah dan purata wajaran.

Dikira daripada data tidak dikumpulkan berdasarkan formula (4.1):

di mana x- nilai individu tanda (pilihan);

n- bilangan unit penduduk.

Contoh. Ia dikehendaki mencari purata keluaran seorang pekerja dalam satu pasukan yang terdiri daripada 15 orang, jika bilangan produk yang dihasilkan oleh seorang pekerja (kepingan) diketahui: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

min aritmetik mudah dikira daripada data tidak terkumpul berdasarkan formula (4.2):

dengan f ialah kekerapan pengulangan nilai yang sepadan bagi ciri (varian);

∑f ialah jumlah bilangan unit populasi (∑f = n).

Contoh. Berdasarkan data yang ada mengenai pengagihan briged kerja dengan bilangan produk yang mereka hasilkan, adalah diperlukan untuk mencari output purata seorang pekerja dalam briged.

Nota 1. Nilai purata sifat dalam populasi boleh dikira berdasarkan nilai individu sifat, dan berdasarkan purata kumpulan (peribadi) yang dikira untuk bahagian individu populasi. Dalam kes ini, formula min aritmetik berwajaran digunakan, dan purata kumpulan (peribadi) ( x j).

Contoh. Terdapat data mengenai purata tempoh perkhidmatan pekerja di kedai kilang. Ia diperlukan untuk menentukan purata tempoh perkhidmatan pekerja di seluruh loji.

Nota 2. Dalam kes apabila nilai atribut purata diberikan dalam bentuk selang, apabila mengira nilai min aritmetik, nilai purata selang ini diambil sebagai nilai atribut dalam kumpulan ( X'). Oleh itu, siri selang ditukar kepada diskret. Dalam kes ini, nilai selang terbuka, jika ada (sebagai peraturan, ini adalah yang pertama dan terakhir), secara bersyarat disamakan dengan nilai selang yang bersebelahan dengannya.

Contoh. Terdapat data mengenai pengagihan pekerja dalam perusahaan mengikut tahap gaji.

Nilai harmonik purata ialah pengubahsuaian min aritmetik. Ia digunakan dalam kes di mana nilai individu atribut diketahui, iaitu varian ( x), dan produk varian dengan frekuensi (xf = M), tetapi frekuensi itu sendiri tidak diketahui ( f).

Purata wajaran harmonik dikira dengan formula (4.3):

Contoh. Diperlukan untuk menentukan saiz purata gaji pekerja persatuan yang terdiri daripada tiga perusahaan, jika kumpulan wang gaji dan purata gaji pekerja bagi setiap perusahaan diketahui.

Purata statistik mudah harmonik dalam amalan sangat jarang digunakan. Dalam kes apabila xf = Mm = const, purata wajaran harmonik bertukar menjadi sederhana harmonik purata (4.4):

Contoh. Dua kereta pergi dengan cara yang sama. Pada masa yang sama, salah seorang daripada mereka bergerak pada kelajuan 60 km / j, yang kedua - pada kelajuan 80 km / j. Ia diperlukan untuk menentukan kelajuan purata kereta di jalan raya.

Jenis purata kuasa lain. Purata kronologi

Purata geometri digunakan dalam pengiraan dinamik purata. Purata geometri digunakan dalam bentuk purata mudah (untuk data tidak terkumpul) dan purata wajaran (untuk data terkumpul).

Purata geometri mudah (4.5):

di mana n ialah bilangan nilai ciri;

P ialah tanda kerja.

Purata wajaran geometri(4.6):

Sederhana nilai segi empat sama digunakan dalam pengiraan penunjuk variasi. Ia digunakan dalam bentuk yang mudah dan berwajaran.

Purata kuadratik mudah (4.7):

Purata purata berwajaran (4.8):

Nilai padu purata digunakan dalam pengiraan penunjuk asimetri dan kurtosis. Ia digunakan dalam bentuk wajaran mudah.

Purata padu ringkas (4.9):

Purata wajaran padu (4.10):

Purata kronologi digunakan untuk mengira tahap purata siri masa (4.11):

Purata struktur

Sebagai tambahan kepada purata yang dibincangkan di atas, statistik menggunakan purata struktur, yang termasuk mod dan median.

Fesyen(Mo) ialah nilai sifat yang dikaji (varian), yang paling kerap ditemui dalam agregat. Dalam siri diskret mod ditentukan dengan agak mudah - oleh penunjuk frekuensi maksimum. Dalam siri variasi selang, mod lebih kurang sepadan dengan pusat selang modal, iaitu selang yang mempunyai frekuensi tinggi (frekuensi).

Nilai khusus mod dikira dengan formula (4.12):

di manakah had bawah selang modal;

lebar selang modal;

kekerapan sepadan dengan selang modal;

kekerapan selang sebelum modal;

kekerapan selang berikutan modal.

Median (Saya) ialah nilai ciri yang terletak di tengah-tengah siri kedudukan. Siri berperingkat difahami sebagai siri yang disusun dalam susunan nilai atribut menaik atau menurun. Median membahagikan siri kedudukan kepada dua bahagian, satu daripadanya mempunyai nilai ciri tidak lebih besar daripada median, dan satu lagi tidak kurang.

Untuk siri berperingkat dengan bilangan ahli yang ganjil, median ialah varian yang terletak di tengah-tengah siri. Kedudukan median ditentukan oleh nombor siri unit siri mengikut formula (4.13):

di mana n ialah bilangan ahli siri kedudukan.

Untuk siri berperingkat dengan bilangan ahli genap, median ialah min aritmetik bagi dua nilai bersebelahan di tengah siri.

Dalam siri variasi selang, formula berikut (4.14) digunakan untuk mencari median:

di manakah had bawah selang median;

lebar selang median;

kekerapan terkumpul selang sebelum median;
kekerapan selang median.

Contoh. Briged kerja terdiri daripada 9 pers., mempunyai tarif berikut pangkat: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Ia diperlukan untuk menentukan nilai modal dan median kategori tarif.

Memandangkan pasukan ini mempunyai pekerja paling ramai dalam kategori ke-3, kategori ini akan menjadi modal, iaitu Mo = 3.

Untuk menentukan median mari kita peringkatkan siri asal dalam tertib menaik bagi nilai atribut:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Nilai kelima atribut adalah pusat dalam siri ini. Oleh itu, Saya = 4.

Contoh.Ia dikehendaki menentukan kategori tarif modal dan median pekerja kilang mengikut data siri pengedaran berikut.

Oleh kerana siri pengedaran awal adalah diskret, nilai modal ditentukan oleh indeks frekuensi maksimum. Dalam contoh ini, kilang itu mempunyai pekerja paling ramai dalam kategori ke-3 (f max = 30), i.e. nyahcas ini adalah modal (Mo = 3).

Mari kita tentukan kedudukan median. Siri pengedaran awal dibina berdasarkan siri kedudukan, diisih mengikut tertib menaik bagi nilai atribut. Bahagian tengah baris adalah antara ke-50 dan ke-51 nombor siri nilai atribut. Mari kita ketahui kumpulan mana pekerja yang mempunyai nombor siri ini. Untuk ini, kami mengira frekuensi terkumpul. Kekerapan terkumpul menunjukkan bahawa nilai median kategori tarif adalah sama dengan tiga (Me = 3), kerana nilai ciri dengan nombor siri dari 39 hingga 68, termasuk 50 dan 51, adalah sama dengan 3.

Contoh. Ia dikehendaki menentukan gaji modal dan median pekerja kilang mengikut siri pengedaran berikut.

Oleh kerana siri pengagihan awal adalah selang, nilai modal upah dikira dengan formula. Dalam kes ini, selang modal ialah 360-420 dengan kekerapan maksimum bersamaan dengan 30.

Nilai median gaji juga dikira dengan formula. Dalam kes ini, median ialah selang 360-420, kekerapan terkumpulnya ialah 70, manakala kekerapan terkumpul selang sebelumnya hanya 40 pada jumlah nombor unit sama dengan 100.

Nilai min dibahagikan kepada dua kelas besar: cara kuasa dan cara struktur

Purata kuasa:

Aritmetik

harmonik

Geometrik

kuadratik

Min aritmetik mudah ialah istilah purata, dalam menentukan jumlah isipadu atribut yang diberikan dalam set data diagihkan sama rata antara semua unit yang termasuk dalam set ini. Jadi, purata keluaran tahunan bagi setiap pekerja ialah jumlah keluaran yang akan jatuh ke atas setiap pekerja jika keseluruhan volum keluaran diagihkan sama rata di kalangan semua pekerja organisasi. Nilai aritmetik min mudah dikira dengan formula:

min aritmetik mudah- Sama dengan nisbah jumlah nilai individu atribut kepada bilangan atribut dalam agregat

Purata wajaran aritmetik

Jika isipadu set data adalah besar dan mewakili siri taburan, maka min aritmetik berwajaran dikira. Beginilah cara harga purata wajaran seunit pengeluaran ditentukan: jumlah kos pengeluaran (jumlah produk kuantitinya dan harga seunit pengeluaran) dibahagikan dengan jumlah kuantiti pengeluaran.

Kami mewakili ini dalam bentuk formula berikut:

Min aritmetik berwajaran- adalah sama dengan nisbah (jumlah produk nilai atribut kepada kekerapan pengulangan atribut ini) kepada (jumlah frekuensi semua atribut). Ia digunakan apabila varian populasi yang dikaji berlaku tidak sama rata Beberapa kali.

Min aritmetik untuk siri selang

Apabila mengira min aritmetik untuk siri variasi selang, mula-mula tentukan purata bagi setiap selang sebagai separuh jumlah sempadan atas dan bawah, dan kemudian purata keseluruhan siri. Dalam kes selang terbuka, nilai selang bawah atau atas ditentukan oleh nilai selang yang bersebelahan dengannya.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran. Tahap penghampiran mereka bergantung pada sejauh mana taburan sebenar unit populasi dalam selang itu menghampiri seragam.

Apabila mengira purata, bukan sahaja mutlak, tetapi juga nilai relatif(kekerapan):

Purata harmonik- digunakan dalam kes apabila nilai individu atribut dan produk diketahui, dan frekuensi tidak diketahui.

Dalam contoh di bawah - hasil diketahui, - kawasan tidak diketahui (walaupun ia boleh dikira dengan membahagikan tuaian bijirin kasar dengan hasil), - tuaian bijirin kasar diketahui.

Nilai min harmonik boleh ditentukan dengan formula berikut:

Rumus min harmonik:

harmonik ringkas

Dalam kes di mana produk adalah sama atau sama dengan 1 (z \u003d 1), purata harmonik mudah digunakan untuk pengiraan, dikira dengan formula:

Min harmonik mudah - penunjuk yang merupakan songsang aritmetik min mudah, dikira daripada nilai timbal balik atribut.

Nilai min geometri membolehkan untuk mengekalkan tidak berubah bukan jumlah, tetapi hasil darab nilai individu kuantiti tertentu. Ia boleh ditentukan dengan formula berikut:

Nilai min geometri paling kerap digunakan dalam analisis kadar pertumbuhan penunjuk ekonomi.

Purata harmonik

Nama parameter	Maknanya
Subjek artikel:	Purata harmonik
Rubrik (kategori tematik)	budaya

Purata harmonik- ϶ᴛᴏ salingan bagi min aritmetik, ᴛ.ᴇ. terdiri daripada nilai songsang ciri.

Contoh 5 Pengiraan peratusan purata pelan. Data berikut tersedia:

Jika, apabila menentukan tahap purata pemenuhan pelan, kami tidak mengambil tugas sebagai pemberat, tetapi pelaksanaan sebenar, maka min aritmetik dalam kes ini akan memberikan hasil yang salah:

Hasil yang betul apabila menimbang mengikut prestasi sebenar tugasan akan memberikan purata wajaran harmonik:

di mana w- wajaran min wajaran harmonik.

Syarat untuk menggunakan min harmonik

1. Min harmonik digunakan apabila bukan unit populasi (pembawa atribut) digunakan sebagai pemberat, tetapi hasil darab unit ini mengikut nilai atribut, ᴛ.ᴇ. .

2. Jika nilai mutlak bertindak sebagai pemberat, sebarang tindakan perantaraan dalam mengira purata harus memberikan hasil yang signifikan dari segi ekonomi.

Purata harmonik - konsep dan jenis. Klasifikasi dan ciri kategori "Harmonik" 2017, 2018.

- Purata harmonik.

- Purata harmonik

- Purata harmonik.

- Purata wajaran harmonik

Purata wajaran aritmetik Digunakan dalam kes apabila penunjuk kuantiti barang dari segi fizikal digunakan sebagai pemberat; di mana pq ialah perolehan dalam rubel. Berkenaan apabila data jualan... digunakan sebagai berat.

- Purata harmonik.

- Min aritmetik dan min harmonik

Intipati dan maksud nilai purata, jenisnya Bentuk penunjuk statistik yang paling biasa ialah nilai purata. Penunjuk dalam bentuk nilai purata menyatakan tahap tipikal sifat dalam populasi. Aplikasi luas medium...

Min harmonik adalah sentiasa Purata harmonik ringkas dan berwajaran

Baca juga

Nilai min dan penunjuk variasi

70. Min Harmonik

Nilai purata dalam statistik: intipati, sifat, jenis. Contoh penyelesaian masalah

Purata harmonik ringkas dan berwajaran

Nilai harmonik purata

Purata harmonik

Jenis purata kuasa lain. Purata kronologi

Purata struktur

Min aritmetik untuk siri selang

Rumus min harmonik:

harmonik ringkas