§ 1 Darjah c penunjuk semula jadi

Mari kita ingat operasi yang begitu terkenal sebagai penambahan beberapa istilah yang sama. Contohnya, 5 + 5 + 5. Ahli matematik akan menggantikan tatatanda ini dengan yang lebih pendek:

5 ∙ 3. Atau 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 akan ditulis sebagai 7 ∙ 6

Tetapi menulis a + a + a + …+ a (di mana n sebutan a) tidak akan berfungsi sama sekali, tetapi akan menulis ∙ n. Dengan cara yang sama, seorang ahli matematik tidak akan menulis dengan panjang lebar hasil darab beberapa pengganda yang sama. Hasil darab 2 ∙ 2 ∙ 2 akan ditulis sebagai 23 (2 kepada kuasa ketiga). Dan hasil darab 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 adalah seperti 46 (4 hingga kuasa keenam). Tetapi jika perlu, anda boleh menggantikan entri pendek dengan yang lebih panjang. Sebagai contoh, 74 (7 hingga kuasa keempat) ditulis sebagai 7∙7∙7∙7. Sekarang mari kita berikan definisi.

Di bawah entri an (di mana n adalah nombor asli) memahami hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a.

Entri an itu sendiri dipanggil kuasa nombor a, nombor a ialah asas kuasa, dan nombor n ialah eksponen.

Entri a boleh dibaca sebagai "a kepada kuasa ke-n" atau sebagai "a kepada kuasa ke-nth." Entri a2 (a kepada kuasa kedua) boleh dibaca sebagai "segi empat", dan entri a3 (a kepada kuasa ketiga) boleh dibaca sebagai "sebuah kubus". Satu lagi kes khas- ini ialah ijazah dengan indeks 1. Perkara berikut perlu diperhatikan di sini:

Kuasa nombor a dengan eksponen 1 dipanggil nombor itu sendiri. Itu. a1 = a.

Mana-mana kuasa 1 adalah sama dengan 1.

Sekarang mari kita lihat beberapa kuasa dengan asas 10.

Adakah anda perasan bahawa kuasa sepuluh ialah satu diikuti oleh sifar yang begitu banyak, apakah eksponennya? Secara umum, 10n = 100..0 (di mana terdapat n sifar dalam entri).

§ 2 Contoh mengenai topik pelajaran

Contoh 1. Tulis hasil darab (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) sebagai kuasa.

Oleh kerana terdapat 4 faktor yang sama di sini, setiap satunya adalah sama dengan -2, kita mempunyai entri (-2)4.

Contoh 2. Kira 1.52.

Eksponen 2 mengatakan bahawa kita perlu mencari hasil darab dua faktor yang sama, setiap satunya bersamaan dengan 1.5. Itu. hitung hasil darab 1.5∙1.5 = 2.25.

Contoh 3. Hitung hasil darab 102 ∙ (-1)3.

Mula-mula kita mengira 102 = 100. Kemudian kita mengira (-1)3 = -1. Akhir sekali, mari kita darabkan 100 dan -1. Kami mendapat -100.

Senarai literatur yang digunakan:

1. Mordkovich A.G., Algebra gred ke-7 dalam 2 bahagian, Bahagian 1, Buku Teks untuk institusi pendidikan/A.G. Mordkovich. – ed. ke-10, disemak – Moscow, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra gred ke-7 dalam 2 bahagian, Bahagian 2, Buku masalah untuk institusi pendidikan am/[A.G. Mordkovich dan lain-lain]; disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-10, disemak - Moscow, "Mnemosyne", 2007
3. DIA. Tulcinskaya, Algebra gred ke-7. Tinjauan Blitz: manual untuk pelajar institusi pendidikan am, edisi ke-4, disemak dan dikembangkan, Moscow, "Mnemosyne", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra gred 7. Bertema kerja ujian V bentuk baru untuk pelajar institusi pendidikan am, disunting oleh A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra darjah 7. Kerja bebas untuk pelajar institusi pendidikan am, disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-6, stereotaip, Moscow, "Mnemosyne", 2010

Dalam artikel ini kita akan mengetahui apa itu kuasa suatu nombor. Di sini kami akan memberikan takrifan kuasa nombor, sementara kami akan mempertimbangkan secara terperinci semua eksponen yang mungkin, bermula dengan eksponen semula jadi dan berakhir dengan eksponen yang tidak rasional. Dalam bahan tersebut anda akan dapati banyak contoh darjah, meliputi semua kehalusan yang timbul.

Navigasi halaman.

Kuasa dengan eksponen asli, kuasa dua nombor, kubus nombor

Mari mulakan dengan . Memandang ke hadapan, katakan takrif kuasa nombor a dengan eksponen asli n diberikan untuk a, yang akan kita panggil asas ijazah, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Kami juga ambil perhatian bahawa ijazah dengan eksponen semula jadi ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami bahan di bawah anda perlu mempunyai pemahaman tentang mendarab nombor.

Definisi.

Kuasa nombor dengan eksponen asli n ialah ungkapan bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a, iaitu, .
Khususnya, kuasa nombor a dengan eksponen 1 ialah nombor a itu sendiri, iaitu, a 1 =a.

Perlu disebut dengan segera tentang peraturan untuk membaca ijazah. Kaedah sejagat membaca entri a n ialah: “a kepada kuasa n”. Dalam sesetengah kes, pilihan berikut juga boleh diterima: "a kepada kuasa ke-n" dan "kekuasaan ke-n". Sebagai contoh, mari kita ambil kuasa 8 12, ini ialah "lapan kepada kuasa dua belas", atau "lapan kepada kuasa kedua belas", atau "kuasa kedua belas daripada lapan".

Kuasa kedua nombor, serta kuasa ketiga nombor, mempunyai nama mereka sendiri. Kuasa kedua nombor dipanggil kuasa dua nombor itu, sebagai contoh, 7 2 dibaca sebagai "tujuh kuasa dua" atau "kuasa dua bagi nombor tujuh." Kuasa ketiga nombor dipanggil nombor kubus, sebagai contoh, 5 3 boleh dibaca sebagai "lima kubus" atau anda boleh menyebut "kubus nombor 5".

Sudah tiba masanya untuk membawa contoh darjah dengan eksponen semula jadi. Mari kita mulakan dengan darjah 5 7, di sini 5 ialah asas darjah, dan 7 ialah eksponen. Mari kita berikan satu lagi contoh: 4.32 ialah asas, dan nombor asli 9 ialah eksponen (4.32) 9 .

Sila ambil perhatian bahawa dalam contoh terakhir Asas darjah 4.32 ditulis dalam kurungan: untuk mengelakkan percanggahan, kami akan meletakkan dalam kurungan semua asas darjah yang berbeza daripada nombor asli. Sebagai contoh, kami memberikan darjah berikut dengan eksponen semula jadi , asasnya bukan nombor asli, jadi ia ditulis dalam kurungan. Nah, untuk kejelasan sepenuhnya, pada ketika ini kami akan menunjukkan perbezaan yang terkandung dalam rekod bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ungkapan (−2) 3 ialah kuasa −2 dengan eksponen semula jadi 3, dan ungkapan −2 3 (ia boleh ditulis sebagai −(2 3) ) sepadan dengan nombor, nilai kuasa 2 3 .

Perhatikan bahawa terdapat tatatanda bagi kuasa nombor a dengan eksponen n bentuk a^n. Selain itu, jika n ialah nombor asli berbilang nilai, maka eksponen diambil dalam kurungan. Sebagai contoh, 4^9 ialah tatatanda lain untuk kuasa 4 9 . Dan berikut ialah beberapa lagi contoh penulisan darjah menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dalam perkara berikut, kami akan menggunakan tatatanda darjah bentuk a n .

Salah satu masalah songsang untuk menaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi ialah masalah mencari asas kuasa dengan nilai yang diketahui darjah dan penunjuk yang diketahui. Tugasan ini membawa kepada .

Adalah diketahui bahawa set nombor rasional terdiri daripada integer dan pecahan, dan setiap satu nombor pecahan boleh diwakili sebagai positif atau negatif pecahan sepunya. Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen integer dalam perenggan sebelumnya, oleh itu, untuk melengkapkan takrifan darjah dengan penunjuk rasional, kita perlu memberi makna kepada kuasa nombor a dengan penunjuk pecahan m/n , dengan m ialah integer dan n ialah nombor asli. Jom buat ini.

Mari kita pertimbangkan ijazah dengan eksponen pecahan bentuk . Untuk harta kuasa kepada kuasa kekal sah, kesaksamaan mesti dipegang . Jika kita mengambil kira kesamaan yang terhasil dan bagaimana kita menentukan , maka adalah logik untuk menerimanya, dengan syarat diberikan m, n dan a, ungkapan itu masuk akal.

Adalah mudah untuk menyemak bahawa semua sifat ijazah dengan eksponen integer adalah sah (ini dilakukan dalam sifat bahagian ijazah dengan eksponen rasional).

Alasan di atas membolehkan kita membuat perkara berikut kesimpulan: jika diberi m, n dan a ungkapan itu masuk akal, maka kuasa a dengan eksponen pecahan m/n dipanggil punca ke-n a kepada kuasa m.

Pernyataan ini membawa kita hampir kepada definisi ijazah dengan eksponen pecahan. Apa yang tinggal adalah untuk menerangkan apa yang m, n dan a ungkapan itu masuk akal. Bergantung pada sekatan yang diletakkan pada m, n dan a, terdapat dua pendekatan utama.

Cara paling mudah ialah mengenakan kekangan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (kerana untuk m≤0 darjah 0 m tidak ditakrifkan). Kemudian kita mendapat takrif berikut bagi ijazah dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Kuasa nombor positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli, dipanggil punca ke-n bagi nombor a kepada kuasa m, iaitu,.

Kuasa pecahan sifar juga ditentukan dengan satu-satunya kaveat bahawa penunjuk mesti positif.

Definisi.

Kuasa sifar dengan eksponen positif pecahan m/n, dengan m ialah integer positif dan n ialah nombor asli, ditakrifkan sebagai .
Apabila darjah tidak ditentukan, iaitu darjah nombor sifar dengan pecahan penunjuk negatif tidak masuk akal.

Perlu diingat bahawa dengan takrifan darjah dengan eksponen pecahan ini, terdapat satu kaveat: untuk sesetengah a negatif dan beberapa m dan n, ungkapan itu masuk akal, dan kami membuang kes ini dengan memperkenalkan keadaan a≥0. Sebagai contoh, entri itu masuk akal atau , dan takrifan yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahawa kuasa dengan eksponen pecahan bentuk tidak masuk akal, kerana asasnya tidak boleh negatif.

Satu lagi pendekatan untuk menentukan darjah dengan eksponen pecahan m/n ialah mempertimbangkan secara berasingan eksponen genap dan ganjil punca. Pendekatan ini memerlukan syarat tambahan: kuasa nombor a, eksponennya ialah , dianggap sebagai kuasa nombor a, eksponennya ialah pecahan tak dapat dikurangkan yang sepadan (kami akan menerangkan kepentingan keadaan ini di bawah ). Iaitu, jika m/n ialah pecahan tidak boleh dikurangkan, maka bagi sebarang nombor asli k darjah digantikan dengan .

Untuk n genap dan m positif, ungkapan itu masuk akal untuk mana-mana bukan negatif a (akar genap bagi nombor negatif tidak masuk akal untuk m negatif, nombor a mesti masih berbeza daripada sifar (jika tidak akan ada pembahagian). dengan sifar). Dan bagi n ganjil dan m positif, nombor a boleh menjadi sebarang (akar darjah ganjil ditakrifkan untuk sebarang nombor nyata), dan untuk m negatif, nombor a mestilah bukan sifar (supaya tiada pembahagian dengan sifar).

Alasan di atas membawa kita kepada takrifan ijazah dengan eksponen pecahan ini.

Definisi.

Biarkan m/n ialah pecahan tak boleh dikurangkan, m integer, dan n nombor asli. Bagi mana-mana pecahan boleh dikurangkan, darjah digantikan dengan . Kuasa nombor dengan eksponen pecahan tidak boleh dikurangkan m/n adalah untuk



Mari kita terangkan mengapa ijazah dengan eksponen pecahan boleh dikurangkan mula-mula digantikan dengan darjah dengan eksponen tidak boleh dikurangkan. Jika kita hanya mentakrifkan darjah sebagai , dan tidak membuat tempahan tentang ketidakterurangan pecahan m/n, maka kita akan berhadapan dengan situasi yang serupa dengan yang berikut: kerana 6/10 = 3/5, maka kesamaan mesti dipegang , Tetapi , A .

Tahap kemasukan

Ijazah dan sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)

Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukannya? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala-galanya tentang ijazah, kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda kehidupan seharian baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, pengetahuan tentang ijazah akan membawa anda lebih dekat kepada kejayaan melepasi OGE atau Peperiksaan Negeri Bersepadu dan kemasukan ke universiti idaman anda.

Jom... (Jom!)

Nota penting! Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PENYERTAAN

Meningkatkan kuasa adalah sama operasi matematik seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan semuanya bahasa manusia sangat contoh mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap orang mempunyai dua botol cola. Berapa banyak cola yang ada? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis secara berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian memikirkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual pendaraban. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Apakah helah pengiraan yang bijak lain yang telah dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Jika anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor itu kepada kuasa kelima. Contohnya, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima ialah... Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Apa yang perlu anda lakukan ialah ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ini akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa dipanggil ijazah kedua? segi empat sama nombor, dan yang ketiga - kiub? Apakah maksudnya? sangat soalan yang bagus. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan kuasa dua atau kuasa kedua nombor itu.

Bayangkan kolam persegi berukuran satu meter dengan satu meter. Kolam renang berada di dacha anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi... kolam itu tidak mempunyai dasar! Anda perlu menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan bawah kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menuding jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika anda mempunyai jubin satu meter dengan satu meter, anda memerlukan kepingan. Mudah sahaja... Tetapi di manakah anda pernah melihat jubin sedemikian? Jubin itu kemungkinan besar akan menjadi cm demi cm Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda." Kemudian anda perlu membiak. Jadi, pada satu sisi bahagian bawah kolam kita akan muat jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Darab dengan dan anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa untuk menentukan luas dasar kolam kita mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya? Apakah maksudnya? Oleh kerana kita mendarab nombor yang sama, kita boleh menggunakan teknik "pengembangan". (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabnya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkannya kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga lebih sedikit ralat dalam pengiraan . Untuk Peperiksaan Negeri Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh kepada kuasa kedua akan menjadi (). Atau kita boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut ialah tugas untuk anda: kira berapa banyak petak yang terdapat pada papan catur menggunakan petak nombor itu... Pada satu sisi sel dan pada sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan atau... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Anda akan mendapat sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tidak dijangka, bukan?) Lukis kolam: dasar berukuran meter dan kedalaman meter dan cuba kira berapa banyak kiub berukuran meter dengan meter akan dimuatkan ke dalam kolam anda.

Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa yang awak dapat? Tidak hilang? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Itu sahaja! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka memudahkan perkara ini juga. Kami mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya... Apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh memanfaatkan ijazah tersebut. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga kiub adalah sama. Tertulis begini: .

Yang tinggal hanyalah ingat jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah telah dicipta oleh orang yang berhenti dan orang yang licik untuk menyelesaikannya masalah hidup, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, untuk setiap juta yang anda hasilkan, anda membuat satu juta lagi. Iaitu, setiap juta anda mempunyai dua kali ganda pada awal setiap tahun. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda duduk sekarang dan "mengira dengan jari anda," maka anda seorang yang sangat rajin dan... bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua didarab dengan dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya kali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan bahawa anda mempunyai pertandingan dan orang yang boleh mengira terpantas akan mendapat berjuta-juta ini... Perlu diingati kuasa nombor, bukankah anda fikir?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, untuk setiap juta yang anda hasilkan, anda memperoleh dua lagi. Hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kepada kuasa keempat ia adalah sama dengan satu juta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang perlu anda ketahui tentangnya.

Terma dan konsep... supaya tidak keliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Adakah anda fikir apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ia adalah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah sedemikian? Lebih mudah - ini adalah nombor yang terletak di bawah, di pangkalan.

Berikut adalah lukisan untuk ukuran yang baik.

Baik masuk pandangan umum, untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik... Ijazah dengan asas “ ” dan eksponen “ ” dibaca sebagai “kepada darjah” dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan eksponen asli

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa itu nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan objek: satu, dua, tiga... Apabila kita mengira objek, kita tidak berkata: "tolak lima," "tolak enam," "tolak tujuh." Kami juga tidak mengatakan: "satu pertiga", atau "sifar koma lima". Ini bukan nombor semula jadi. Apakah nombor yang anda fikir ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ia adalah apabila tiada apa-apa. Apakah maksud nombor negatif (“tolak”)? Tetapi mereka dicipta terutamanya untuk menunjukkan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan adalah nombor rasional. Bagaimana mereka timbul, adakah anda fikir? Sangat mudah. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka kekurangan nombor semula jadi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional... Menarik, bukan?

Ada lagi nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Pendek kata, tidak berkesudahan perpuluhan. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, anda mendapat nombor tidak rasional.

Sambung semula:

Mari kita takrifkan konsep darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

1. Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
2. Untuk kuasa dua nombor bermakna mendarabnya dengan sendiri:
3. Menduakan nombor bermakna mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:
.

Sifat darjah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat: apa itu Dan ?

Mengikut definisi:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah pengganda kepada faktor, dan hasilnya adalah pengganda.

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu: , yang perlu dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama!
Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. itu sahaja kuasa ke satu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut definisi, ini adalah kuasa ke-1 nombor:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam kuasa penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ? Yang pertama adalah jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif Kami tidak mendarab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita mendarab dengan, ia berfungsi.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh untuk diamalkan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Ini adalah formula untuk pendaraban singkatan, iaitu perbezaan kuasa dua! Kami mendapat:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika ia diterbalikkan, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukan ini? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

keseluruhan kita memanggil nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda " ") dan nombor.

integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu:

Seperti biasa, marilah kita bertanya kepada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Mari kita pertimbangkan beberapa darjah dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor itu dengan, dan kami mendapat perkara yang sama seperti - . Apakah nombor yang perlu anda darabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari kita ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih akan mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor kepada kuasa sifar, ia mestilah sama. Jadi yang manakah benar? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita tidak boleh hanya membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Jom teruskan. Selain nombor asli dan nombor, integer juga termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu ijazah negatif, mari kita lakukan seperti dalam kali terakhir: darab beberapa nombor normal dengan nombor yang sama kepada kuasa negatif:

Dari sini adalah mudah untuk menyatakan perkara yang anda cari:

Sekarang mari kita lanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor kepada kuasa negatif ialah timbal balik nombor yang sama kepada darjah positif. Tetapi pada masa yang sama Pangkalan tidak boleh nol:(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis masalah untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombornya menakutkan, tetapi pada Peperiksaan Negeri Bersepadu anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar untuk mengatasinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang mari kita pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, dan.

Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan", pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang mari kita ingat peraturan tentang "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke satu nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama dengan.

Maksudnya, punca kuasa ke adalah operasi songsang untuk menaikkan kepada kuasa: .

Ternyata begitu. Jelas sekali ini kes khas boleh diperluaskan: .

Sekarang kita tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperoleh menggunakan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Ingat peraturan: sebarang nombor dinaikkan kepada walaupun ijazah- nombornya positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak walaupun akar daripada nombor negatif!

Ini bermakna bahawa nombor tersebut tidak boleh dinaikkan kepada kuasa pecahan dengan penyebut genap, iaitu ungkapan tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ungkapan?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor itu boleh diwakili dalam bentuk pecahan lain yang boleh dikurangkan, contohnya, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, tetapi ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi jika kita menulis penunjuk secara berbeza, kita akan menghadapi masalah sekali lagi: (iaitu, kita mendapat hasil yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, kami pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh untuk diamalkan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang datang bahagian yang paling sukar. Sekarang kita akan memikirkannya darjah dengan eksponen tidak rasional.

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti ijazah dengan eksponen rasional, kecuali

Lagipun, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali;

...nombor kepada kuasa sifar- ini, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu nombor;

...darjah integer negatif- seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar menyelesaikan contoh sedemikian :))

Contohnya:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan kuasa kepada kuasa:

Sekarang lihat penunjuk. Adakah dia tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Mari kita ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami mengurangkan pecahan dalam eksponen kepada sama rupa: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-duanya biasa. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP LANJUTAN

Penentuan ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

• — asas ijazah;
• - eksponen.

Darjah dengan penunjuk semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Darjah dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

Pembinaan kepada darjah sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana anda tidak boleh membahagikannya).

Sekali lagi tentang sifar: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional

• - nombor asli;
• - integer;

Contoh:

Sifat darjah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

Mengikut definisi:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini kita mendapat produk berikut:

Tetapi mengikut definisi ia adalah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami Semestinya mesti ada sebab yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan kuasa dengan asas, tetapi ia kekal sebagai faktor yang berasingan:

Lagi satu nota penting: ini peraturannya - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kumpulkan semula kerja ini seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya kali, iaitu, mengikut definisi, ini adalah kuasa ke-1 nombor:

Pada dasarnya, ini boleh dipanggil "mengeluarkan penunjuk daripada kurungan." Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan: !

Mari kita ingat formula pendaraban yang disingkatkan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi ini tidak benar, selepas semua.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini kita hanya membincangkan apa yang sepatutnya penunjuk ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam kuasa semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan tentang tanda ("" atau "") yang akan mempunyai kuasa nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Kami masih ingat peraturan mudah dari gred 6: "tolak untuk tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat - .

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya tanda akan berubah. Kita boleh merumuskan perkara berikut peraturan mudah:

1. malah ijazah, - nombor positif.
2. Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
3. Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
4. Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5) segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: selepas semua, tidak kira apa asasnya sama dengan - darjahnya adalah sama, yang bermaksud hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika kita ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, yang bermaksud asasnya kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya dengan satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum anda memisahkannya peraturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Kirakan ungkapan:

Penyelesaian :

Jika kita mengabaikan kuasa kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom ingat program darjah 7. Jadi, awak ingat? Ini adalah formula untuk pendaraban singkatan, iaitu perbezaan kuasa dua!

Kami mendapat:

Mari kita lihat dengan teliti penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Susunan syarat adalah salah. Jika mereka diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ternyata seperti ini:

Secara ajaibnya istilah bertukar tempat. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan dengan mudah. Tetapi penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada masa yang sama! Anda tidak boleh menggantikannya dengan menukar hanya satu kelemahan yang kami tidak suka!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan permudahkannya:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapakah bilangan huruf kesemuanya? kali dengan pengganda - apakah perkara ini mengingatkan anda? Ini tidak lebih daripada definisi operasi pendaraban: Terdapat hanya pengganda di sana. Iaitu, ini, mengikut takrifan, ialah kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis ijazah dengan eksponen yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini betul-betul sama seperti untuk ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan eksponen semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami mencipta "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, ijazah dengan eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali; nombor kepada kuasa sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mereka belum mula mendarabnya, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya tertentu. "nombor kosong", iaitu nombor; darjah dengan eksponen negatif integer - seolah-olah beberapa "proses terbalik" telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Ia adalah objek matematik semata-mata yang dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

Dengan cara ini, dalam sains ijazah dengan eksponen kompleks sering digunakan, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan tentang kesukaran sedemikian; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat penunjuk tidak rasional ijazah? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya!

Contohnya:

Tentukan sendiri:

1)

2)

3)

Jawapan:

1. Mari kita ingat perbezaan formula kuasa dua. Jawapan: .
2. Kami mengurangkan pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-dua pecahan biasa. Kita dapat, contohnya: .
3. Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah yang eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

Kuasa dengan eksponen rasional

darjah, eksponennya ialah nombor negatif dan pecahan.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

darjah yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat darjah

Ciri-ciri darjah.

• Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
• Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
• Nombor positif ke mana-mana darjah ialah nombor positif.
• Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
• Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA MEMILIKI PERKATAAN...

Bagaimana anda suka artikel itu? Tulis di bawah dalam komen sama ada anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda menggunakan hartanah ijazah.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dalam peperiksaan anda!

Selepas kuasa nombor telah ditentukan, adalah logik untuk dibincangkan sifat ijazah. Dalam artikel ini kami akan memberikan sifat asas kuasa nombor, dan kami akan menyentuh semua eksponen yang mungkin. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat darjah, dan juga menunjukkan cara sifat ini digunakan semasa menyelesaikan contoh.

Navigasi halaman.

Sifat darjah dengan eksponen semula jadi

Mengikut takrifan kuasa dengan eksponen semula jadi, kuasa a n ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat pendaraban nombor nyata , kita boleh mendapatkan dan mewajarkan perkara berikut sifat darjah dengan eksponen semula jadi:

1. sifat utama darjah a m ·a n =a m+n, generalisasinya;
2. harta kuasa quotient dengan atas alasan yang sama a m:a n =a m−n ;
3. sifat kuasa produk (a·b) n =a n ·b n , sambungannya;
4. harta bagi hasil bagi dalam ijazah semula jadi(a:b) n =a n:b n ;
5. menaikkan darjah kepada kuasa (a m) n =a m·n, generalisasinya (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. perbandingan darjah dengan sifar:
   • jika a>0, maka a n>0 untuk sebarang nombor asli n;
   • jika a=0, maka a n =0;
   • jika a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. jika a dan b ialah nombor positif dan a
8. jika m dan n ialah nombor asli seperti m>n , maka pada 0 0 ketaksamaan a m >a n adalah benar.

Marilah kita segera ambil perhatian bahawa semua kesamaan bertulis adalah serupa tertakluk kepada syarat yang ditetapkan, kedua-dua bahagian kanan dan kirinya boleh ditukar. Contohnya, sifat utama bagi pecahan a m ·a n =a m+n dengan memudahkan ungkapan selalunya digunakan dalam bentuk a m+n =a m ·a n .

Sekarang mari kita lihat setiap daripada mereka secara terperinci.

Mari kita mulakan dengan harta hasil darab dua kuasa dengan asas yang sama, yang dipanggil harta utama ijazah: untuk sebarang nombor nyata a dan sebarang nombor asli m dan n, kesamaan a m ·a n =a m+n adalah benar.

Mari kita buktikan harta utama ijazah. Dengan takrifan kuasa dengan eksponen semula jadi, hasil darab kuasa dengan asas yang sama dalam bentuk a m ​​·a n boleh ditulis sebagai hasil darab. Oleh kerana sifat pendaraban, ungkapan yang terhasil boleh ditulis sebagai , dan hasil darab ini ialah kuasa nombor a dengan eksponen semula jadi m+n, iaitu, a m+n. Ini melengkapkan bukti.

Mari kita berikan contoh yang mengesahkan harta utama ijazah. Mari kita ambil darjah dengan asas 2 dan kuasa semula jadi 2 dan 3 yang sama, menggunakan sifat asas darjah kita boleh menulis kesamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita semak kesahihannya dengan mengira nilai ungkapan 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Menjalankan eksponen, kita ada 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 dan 2 5 =2·2·2·2·2=32, kerana nilai yang sama diperoleh, maka kesamaan 2 2 ·2 3 =2 5 adalah betul, dan ia mengesahkan sifat utama darjah.

Sifat asas darjah, berdasarkan sifat pendaraban, boleh digeneralisasikan kepada hasil darab tiga atau lebih kuasa dengan asas dan eksponen semula jadi yang sama. Jadi untuk sebarang nombor k nombor asli n 1, n 2, …, n k kesamaan berikut adalah benar: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Sebagai contoh, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Kita boleh beralih kepada sifat kuasa seterusnya dengan eksponen semula jadi – harta kuasa quotient dengan asas yang sama: untuk sebarang nombor nyata bukan sifar a dan nombor asli arbitrari m dan n yang memenuhi syarat m>n, kesamaan a m:a n =a m−n adalah benar.

Sebelum mengemukakan bukti harta ini, mari kita bincangkan maksud syarat tambahan dalam rumusan. Keadaan a≠0 adalah perlu untuk mengelakkan pembahagian dengan sifar, kerana 0 n =0, dan apabila kita berkenalan dengan pembahagian, kita bersetuju bahawa kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Syarat m>n diperkenalkan supaya kita tidak melampaui eksponen semula jadi. Sesungguhnya, untuk m>n eksponen a m−n ialah nombor asli, jika tidak, ia akan sama ada sifar (yang berlaku untuk m−n ) atau nombor negatif (yang berlaku untuk m

Bukti. Sifat utama pecahan membolehkan kita menulis kesamaan a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Daripada kesamaan yang terhasil a m−n ·a n =a m dan ia berikutan bahawa a m−n ialah hasil bagi kuasa a m dan a n . Ini membuktikan sifat kuasa quotient dengan asas yang sama.

Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua darjah dengan asas π dan eksponen semula jadi 5 dan 2 yang sama, kesamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sepadan dengan sifat darjah yang dipertimbangkan.

Sekarang mari kita pertimbangkan harta kuasa produk: kuasa semula jadi n hasil darab mana-mana dua nombor nyata a dan b adalah sama dengan hasil darab kuasa a n dan b n , iaitu (a·b) n =a n ·b n .

Sesungguhnya, mengikut definisi ijazah dengan eksponen semula jadi yang kita ada . Berdasarkan sifat pendaraban, hasil darab terakhir boleh ditulis semula sebagai , yang sama dengan a n · b n .

Berikut ialah contoh: .

Sifat ini meluas kepada kuasa produk tiga atau lebih faktor. Iaitu, sifat darjah semula jadi n hasil darab faktor k ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan harta ini dengan contoh. Untuk hasil darab tiga faktor kepada kuasa 7 kita ada .

Sifat berikut ialah harta hasil bagi jenis: hasil bagi nombor nyata a dan b, b≠0 kepada kuasa semula jadi n adalah sama dengan hasil bagi kuasa a n dan b n, iaitu (a:b) n =a n:b n.

Pembuktian boleh dilakukan menggunakan harta sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, dan daripada kesamaan (a:b) n ·b n =a n maka (a:b) n ialah hasil bagi a n dibahagikan dengan b n .

Mari kita tulis sifat ini menggunakan nombor tertentu sebagai contoh: .

Sekarang mari kita suarakan harta untuk menaikkan kuasa kepada kuasa: untuk sebarang nombor nyata a dan sebarang nombor asli m dan n, kuasa a m kepada kuasa n adalah sama dengan kuasa nombor a dengan eksponen m·n, iaitu, (a m) n =a m·n.

Contohnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Bukti sifat kuasa-ke-darjah ialah rantaian kesamaan berikut: .

Harta yang dipertimbangkan boleh dilanjutkan ke darjah ke darjah ke darjah, dsb. Contohnya, untuk sebarang nombor asli p, q, r dan s, kesamaan . Untuk lebih jelas, berikut ialah contoh dengan nombor tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ia kekal untuk memikirkan sifat membandingkan darjah dengan eksponen semula jadi.

Mari kita mulakan dengan membuktikan sifat membandingkan sifar dan kuasa dengan eksponen semula jadi.

Mula-mula, mari kita buktikan bahawa a n >0 untuk sebarang a>0.

Hasil darab dua nombor positif ialah nombor positif, seperti berikut daripada takrifan pendaraban. Fakta ini dan sifat pendaraban mencadangkan bahawa hasil pendaraban sebarang nombor positif juga akan menjadi nombor positif. Dan kuasa nombor a dengan eksponen asli n, mengikut takrifan, ialah hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a. Hujah-hujah ini membolehkan kita menyatakan bahawa untuk sebarang asas positif a, darjah a n ialah nombor positif. Disebabkan oleh sifat terbukti 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 dan .

Agak jelas bahawa bagi sebarang nombor asli n dengan a=0 darjah a n ialah sifar. Sesungguhnya, 0 n =0·0·…·0=0 . Contohnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0.

Mari kita teruskan ke sebab negatif ijazah.

Mari kita mulakan dengan kes apabila eksponen ialah nombor genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m ialah nombor asli. Kemudian . Bagi setiap hasil darab bentuk a·a adalah sama dengan hasil darab moduli nombor a dan a, yang bermaksud ia adalah nombor positif. Oleh itu, produk juga akan menjadi positif dan darjah a 2·m. Mari kita berikan contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .

Akhirnya, apabila asas a ialah nombor negatif dan eksponen ialah nombor ganjil 2 m−1, maka . Semua hasil darab a·a ialah nombor positif, hasil darab nombor positif ini juga positif, dan darabnya dengan bakinya nombor negatif a menghasilkan nombor negatif. Disebabkan oleh sifat ini (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Mari kita beralih kepada sifat membandingkan kuasa dengan eksponen semula jadi yang sama, yang mempunyai rumusan berikut: dua kuasa dengan eksponen semula jadi yang sama, n adalah kurang daripada kuasa yang tapaknya lebih kecil, dan lebih besar ialah kuasa yang tapaknya lebih besar. . Jom buktikan.

Ketaksamaan a n sifat ketaksamaan ketaksamaan yang boleh dibuktikan dalam bentuk a n juga benar .

Ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir yang disenaraikan bagi kuasa dengan eksponen semula jadi. Mari kita rumuskan. Daripada dua kuasa dengan eksponen semula jadi dan asas positif yang sama kurang daripada satu, kuasa yang eksponennya lebih kecil adalah lebih besar; dan dua kuasa dengan eksponen semula jadi dan asas yang sama lebih besar daripada satu, kuasa yang eksponennya lebih besar adalah lebih besar. Mari kita teruskan ke bukti harta ini.

Mari kita buktikan bahawa untuk m>n dan 0 0 disebabkan oleh keadaan awal m>n, yang bermaksud bahawa pada 0

Ia kekal untuk membuktikan bahagian kedua harta itu. Mari kita buktikan bahawa untuk m>n dan a>1 a m >a n adalah benar. Perbezaan a m −a n selepas mengambil a n daripada kurungan mengambil bentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil darab ini adalah positif, kerana untuk a>1 darjah a n ialah nombor positif, dan perbezaan a m−n −1 ialah nombor positif, kerana m−n>0 disebabkan oleh keadaan awal, dan untuk a>1 darjah a m−n lebih besar daripada satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >a n , iaitu apa yang perlu dibuktikan. Sifat ini digambarkan oleh ketaksamaan 3 7 >3 2.

Sifat kuasa dengan eksponen integer

Oleh kerana integer positif ialah nombor asli, maka semua sifat kuasa dengan eksponen integer positif bertepatan tepat dengan sifat kuasa dengan eksponen semula jadi yang disenaraikan dan dibuktikan dalam perenggan sebelumnya.

Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen negatif integer, serta darjah dengan eksponen sifar, dengan cara yang semua sifat darjah dengan eksponen semula jadi, yang dinyatakan oleh kesamaan, kekal sah. Oleh itu, semua sifat ini adalah sah untuk kedua-dua eksponen sifar dan eksponen negatif, manakala, sudah tentu, asas kuasa adalah berbeza daripada sifar.

Jadi, untuk sebarang nombor nyata dan bukan sifar a dan b, serta sebarang integer m dan n, yang berikut adalah benar: sifat kuasa dengan eksponen integer:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. jika n ialah integer positif, a dan b ialah nombor positif, dan a b−n ;
7. jika m dan n ialah integer, dan m>n , maka pada 0 1 ketaksamaan a m >a n dipegang.

Apabila a=0, kuasa a m dan a n masuk akal hanya apabila kedua-dua m dan n adalah integer positif, iaitu nombor asli. Oleh itu, sifat yang baru ditulis juga sah untuk kes apabila a=0 dan nombor m dan n adalah integer positif.

Membuktikan setiap sifat ini tidak sukar; untuk melakukan ini, cukup menggunakan definisi darjah dengan eksponen asli dan integer, serta sifat operasi dengan nombor nyata. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahawa sifat kuasa kepada kuasa berlaku untuk kedua-dua integer positif dan integer bukan positif. Untuk melakukan ini, anda perlu menunjukkan bahawa jika p ialah sifar atau nombor asli dan q ialah sifar atau nombor asli, maka kesamaan (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q). Jom buat ini.

Untuk p dan q positif, kesamaan (a p) q =a p·q telah dibuktikan dalam perenggan sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, dari mana (a 0) q =a 0·q. Begitu juga, jika q=0, maka (a p) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, dari mana (a p) 0 =a p·0. Jika kedua-dua p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, dari mana (a 0) 0 =a 0·0.

Sekarang kita buktikan bahawa (a −p) q =a (−p)·q . Dengan takrif kuasa dengan eksponen integer negatif, maka . Dengan harta hasil bagi kuasa yang kita ada . Oleh kerana 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ungkapan terakhir, mengikut takrifan, ialah kuasa dalam bentuk a −(p·q), yang, disebabkan peraturan pendaraban, boleh ditulis sebagai (−p)·q.

Begitu juga .

DAN .

Dengan menggunakan prinsip yang sama, anda boleh membuktikan semua sifat lain bagi ijazah dengan eksponen integer, ditulis dalam bentuk kesamaan.

Dalam akhir akhir bagi sifat yang direkodkan, adalah wajar mengingati bukti ketaksamaan a −n >b −n, yang sah untuk sebarang integer negatif −n dan mana-mana positif a dan b yang syarat a dipenuhi . Oleh kerana dengan syarat a 0 . Hasil darab a n · b n juga positif sebagai hasil darab nombor positif a n dan b n . Maka pecahan yang terhasil adalah positif sebagai hasil bagi nombor positif b n −a n dan a n ·b n . Oleh itu, dari mana a −n >b −n , yang mana yang perlu dibuktikan.

Sifat terakhir kuasa dengan eksponen integer dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat kuasa yang serupa dengan eksponen semula jadi.

Sifat kuasa dengan eksponen rasional

Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen pecahan dengan memanjangkan sifat darjah dengan eksponen integer kepadanya. Dalam erti kata lain, kuasa dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama seperti kuasa dengan eksponen integer. Iaitu:

Bukti sifat darjah dengan eksponen pecahan adalah berdasarkan takrifan darjah dengan eksponen pecahan, dan pada sifat darjah dengan eksponen integer. Biar kami sediakan bukti.

Mengikut takrif kuasa dengan eksponen pecahan dan , kemudian . Sifat-sifat punca aritmetik membolehkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat ijazah dengan eksponen integer, kita memperoleh , yang daripadanya, mengikut takrifan darjah dengan eksponen pecahan, kita mempunyai , dan penunjuk darjah yang diperolehi boleh diubah seperti berikut: . Ini melengkapkan bukti.

Sifat kedua kuasa dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sama sekali:

Persamaan yang selebihnya dibuktikan menggunakan prinsip yang sama:

Mari kita teruskan untuk membuktikan harta seterusnya. Mari kita buktikan bahawa bagi mana-mana a dan b positif, a b p . Mari kita tulis nombor rasional p sebagai m/n, dengan m ialah integer dan n ialah nombor asli. Syarat p<0 и p>0 dalam kes ini keadaan m<0 и m>0 dengan sewajarnya. Untuk m>0 dan a

Begitu juga, untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana, iaitu, dan a p >b p .

Ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir yang disenaraikan. Mari kita buktikan bahawa untuk nombor rasional p dan q, p>q pada 0 0 – ketaksamaan a p >a q . Kita sentiasa boleh mengurangkan nombor rasional p dan q kepada penyebut sepunya, walaupun kita mendapat pecahan biasa dan , dengan m 1 dan m 2 ialah integer, dan n ialah nombor asli. Dalam kes ini, keadaan p>q akan sepadan dengan keadaan m 1 >m 2, yang mengikuti daripada. Kemudian, dengan sifat membandingkan kuasa dengan asas yang sama dan eksponen semula jadi pada 0 1 – ketaksamaan a m 1 >a m 2 . Ketaksamaan dalam sifat-sifat akar ini boleh ditulis semula dengan sewajarnya sebagai Dan . Dan takrif ijazah dengan eksponen yang rasional membolehkan kita beralih kepada ketidaksamaan dan, dengan itu. Dari sini kita membuat kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0 0 – ketaksamaan a p >a q .

Sifat kuasa dengan eksponen tidak rasional

Daripada cara darjah dengan eksponen tidak rasional ditakrifkan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ia mempunyai semua sifat darjah dengan eksponen rasional. Jadi untuk sebarang a>0, b>0 dan nombor tak rasional p dan q berikut adalah benar sifat kuasa dengan eksponen tidak rasional:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. bagi sebarang nombor positif a dan b, a 0 ketaksamaan a p b p ;
7. untuk nombor tak rasional p dan q, p>q pada 0 0 – ketaksamaan a p >a q .

Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa kuasa dengan sebarang eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.

Rujukan.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematik darjah 5. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 7. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 8. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk darjah 9. institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).

Dalam pelajaran ini kita akan mula belajar ijazah dengan eksponen semula jadi. Pertama, kita akan membincangkan mengapa ahli matematik perlu memperkenalkan konsep ijazah, memberikan definisi ijazah dengan eksponen semula jadi, dan mempertimbangkan beberapa contoh darjah. Seterusnya, kami akan memberikan definisi ijazah dengan eksponen unit dan pada akhirnya kami akan menyelesaikan beberapa contoh pengiraan darjah.

Subjek:Ijazah dengan penunjuk semula jadi dan sifatnya

Pelajaran:Apakah ijazah dengan eksponen semula jadi?

Dari mana datangnya ijazah itu?

Ungkapan a+a+a dalam matematik boleh digantikan dengan a+a+a=3a.

Ungkapan a+a+a+a+a boleh diwakili dalam bentuk a+a+a+a+a=5a.

Iaitu jika dalam ungkapan n istilah yang sama, setiap satunya A, maka ia boleh ditulis secara ringkas na.

Dan pendaraban boleh ditulis secara ringkas seperti berikut: a 3, berbunyi: A A.

- A kepada kuasa kelima atau kuasa kelima sesuatu nombor A.

Dan jika dalam ungkapan n faktor yang sama, setiap satunya A, maka kami akan menulis:

= a n - n-kuasa ke-a.

Definisi. Ijazah a n kerja itu dipanggil n faktor yang sama, , Di mana n- nombor asli n={2,3,…..} ; A- sebarang nombor.

Terminologi:a n

a ialah asas darjah,

n- eksponen,

a n- ijazah, atau dalamnijazah ke-, ataunkuasa ke bagi nombor a.

Contoh 1: Tulis hasil darab sebagai kuasa, namakan asas dan eksponen, dan kira jika boleh.

1. - ini mengikut definisi 4 kuasa kubus atau ketiga bagi suatu nombor 4 , 4 - asas ijazah, 3 - eksponen. Keputusan:

Jawapan: 64

2. - mengikut definisi, ini adalah x kepada kuasa keempat, x- asas ijazah, 4 - eksponen. Tidak mustahil untuk mengira lebih lanjut, kerana x anda perlu menetapkan nilai tertentu.

Jawab:

ini kepada kuasa kelima, adalah asas darjah, 5 - eksponen, ia menunjukkan berapa kali asas didarab dengan sendiri. Ulasan: produk tidak berubah disebabkan oleh tempat pembolehubah faktor, mari tulis ungkapan ini secara berbeza:

Jadi ungkapannya ialah .

Jawapan:.

4. - Ini dalam kubus 3 ialah eksponen - asas ijazah.

Jawab:

5.

Kuasa kedua nombor 13 , - kuasa kedua nombor 5 .

Jawapan: 4225

Kuasa ketiga nombor 2 , - kuasa kedua nombor 3 .

1. Tulis hasil darab sebagai kuasa, namakan asas dan eksponen, kira jika boleh.

2. Kira (-2) n, Jika

A) n=2 b) n=3 V) n=4

3. Kira : a 5, Di mana

A) a=1

b) a=-2

4. Hitung luas segi empat sama yang sisinya sama dengan a/2, Di mana