Steven Strogatz - keseronokan daripada x. Steven StrogatzKeseronokan X

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Quanta

Scott Patterson

Pesakit otak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Kesedaran fleksibel

Carol Dweck

Fizik pasaran saham

James Weatherall

Kegembiraan X

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Stephen Strogatz

Perjalanan yang menarik ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Maklumat daripada penerbit

Diterbitkan dalam bahasa Rusia buat kali pertama

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

The Pleasure of X. Perjalanan yang menarik ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia / Steven Strogatz; lorong daripada bahasa Inggeris - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Buku ini secara radikal boleh mengubah sikap anda terhadap matematik. Ia terdiri daripada bab pendek, di mana setiap satunya anda akan menemui sesuatu yang baharu. Anda akan belajar betapa bergunanya nombor untuk mengkaji dunia di sekeliling anda, anda akan memahami keindahan geometri, anda akan mengenali keanggunan kalkulus integral, anda akan yakin tentang kepentingan statistik dan anda akan bersentuhan dengan infiniti . Penulis menerangkan idea asas matematik secara ringkas dan elegan, dengan contoh cemerlang yang boleh difahami oleh semua orang.

Semua hak terpelihara.

Tiada bahagian buku ini boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk tanpa kebenaran bertulis daripada pemegang hak cipta.

Sokongan undang-undang untuk rumah penerbitan disediakan oleh firma guaman Vegas-Lex.

Mukadimah

Saya mempunyai seorang kawan yang, walaupun kerajinannya (dia seorang artis), sangat meminati sains. Setiap kali kami berkumpul, dia bercakap dengan penuh semangat tentang perkembangan terkini dalam psikologi atau mekanik kuantum. Tetapi sebaik sahaja kami mula bercakap tentang matematik, dia berasa menggeletar di lututnya, yang sangat mengganggunya. Dia mengadu bahawa bukan sahaja simbol matematik pelik ini menentang pemahamannya, tetapi kadang-kadang dia tidak tahu cara menyebutnya.

Malah, alasan penolakannya terhadap matematik adalah lebih mendalam. Dia tidak akan tahu apa yang ahli matematik lakukan secara umum dan apa yang mereka maksudkan apabila mereka mengatakan bahawa bukti yang diberikan adalah elegan. Kadang-kadang kami bergurau bahawa saya hanya perlu duduk dan mula mengajarnya dari asas, secara literal 1 + 1 = 2, dan mendalami matematik yang dia boleh.

Dan walaupun idea ini kelihatan gila, inilah yang akan saya cuba laksanakan dalam buku ini. Saya akan membimbing anda melalui semua cabang sains utama, daripada aritmetik kepada matematik yang lebih tinggi, supaya mereka yang mahukan peluang kedua akhirnya dapat memanfaatkannya. Dan kali ini anda tidak perlu duduk di meja. Buku ini tidak akan menjadikan anda pakar matematik. Tetapi ia akan membantu anda memahami apa yang dipelajari oleh disiplin ini dan mengapa ia sangat menarik bagi mereka yang memahaminya.

Kami akan meneroka bagaimana slam dunk Michael Jordan boleh membantu menerangkan kalkulus asas. Saya akan menunjukkan kepada anda cara yang mudah dan menakjubkan untuk memahami teorem asas geometri Euclidean - Teorem Pythagoras. Kami akan cuba memahami beberapa misteri kehidupan, besar dan kecil: adakah Jay Simpson membunuh isterinya; bagaimana untuk meletakkan semula tilam supaya ia bertahan selama mungkin; berapa ramai pasangan yang perlu ditukar sebelum berkahwin - dan kita akan melihat mengapa beberapa infiniti lebih besar daripada yang lain.

Matematik ada di mana-mana, anda hanya perlu belajar mengenalinya. Anda boleh melihat gelombang sinus di belakang zebra, mendengar gema teorem Euclid dalam Pengisytiharan Kemerdekaan; apa yang boleh saya katakan, walaupun dalam laporan kering sebelum Perang Dunia Pertama, terdapat angka negatif. Anda juga boleh melihat cara arah baharu dalam matematik mempengaruhi kehidupan kita hari ini, contohnya, apabila kita mencari restoran menggunakan komputer atau cuba sekurang-kurangnya memahami, atau lebih baik lagi, bertahan daripada turun naik pasaran saham yang menakutkan.

Satu siri 15 artikel di bawah tajuk umum "Asas Matematik" muncul dalam talian pada akhir Januari 2010. Sebagai tindak balas kepada penerbitan mereka, surat dan komen dicurahkan daripada pembaca semua peringkat umur, termasuk ramai pelajar dan guru. Terdapat juga orang yang ingin tahu yang, atas satu sebab atau yang lain, "sesat" dalam memahami sains matematik; kini mereka merasakan bahawa mereka telah terlepas sesuatu yang berbaloi dan ingin mencuba lagi. Saya amat gembira dengan ucapan terima kasih daripada ibu bapa saya kerana, dengan bantuan saya, mereka dapat menerangkan matematik kepada anak-anak mereka, dan mereka sendiri mula memahaminya dengan lebih baik. Nampaknya walaupun rakan sekerja dan rakan seperjuangan saya, pengagum sains ini, suka membaca artikel, kecuali saat-saat ketika mereka bersaing antara satu sama lain untuk menawarkan pelbagai cadangan untuk menambah baik idea saya.

Walaupun kepercayaan popular, terdapat minat yang jelas dalam matematik dalam masyarakat, walaupun sedikit perhatian diberikan kepada fenomena ini. Apa yang kita dengar hanyalah ketakutan terhadap matematik, namun ramai yang ingin cuba memahaminya dengan lebih baik. Dan apabila ini berlaku, ia akan menjadi sukar untuk memisahkan mereka.

Buku ini akan memperkenalkan anda kepada idea yang paling kompleks dan termaju dari dunia matematik. Bab-bab kecil, mudah dibaca dan tidak bergantung antara satu sama lain. Antaranya adalah yang termasuk dalam siri pertama artikel di New York Times. Jadi, sebaik sahaja anda merasakan sedikit kelaparan matematik, jangan teragak-agak untuk mengambil bab seterusnya. Jika anda ingin memahami isu yang menarik minat anda dengan lebih terperinci, maka pada penghujung buku terdapat nota dengan maklumat tambahan dan cadangan tentang perkara lain yang boleh anda baca mengenainya.

Untuk kemudahan pembaca yang lebih suka pendekatan langkah demi langkah, saya telah membahagikan bahan tersebut kepada enam bahagian mengikut susunan tradisional mempelajari topik.

Bahagian I, Nombor, memulakan perjalanan kami dengan aritmetik di tadika dan sekolah rendah. Ia menunjukkan betapa bergunanya nombor dan betapa ajaibnya ia berkesan dalam menggambarkan dunia di sekeliling kita.

Bahagian II, "Nisbah," mengalihkan perhatian daripada nombor itu sendiri kepada hubungan antara mereka. Idea-idea ini terletak di tengah-tengah algebra dan merupakan alat pertama untuk menerangkan bagaimana satu perkara mempengaruhi yang lain, menunjukkan hubungan sebab-akibat pelbagai perkara: penawaran dan permintaan, rangsangan dan tindak balas - ringkasnya, semua jenis perhubungan yang menjadikan dunia begitu kaya dan pelbagai .

Bahagian III "Angka" tidak menceritakan tentang nombor dan simbol, tetapi tentang angka dan ruang - domain geometri dan trigonometri. Topik-topik ini, bersama-sama dengan penerangan semua objek yang boleh diperhatikan melalui bentuk, penaakulan logik dan bukti, membawa matematik ke tahap ketepatan yang baharu.

Dalam Bahagian IV, Masa untuk Perubahan, kita akan melihat kalkulus, cabang matematik yang paling menarik dan pelbagai. Kalkulus memungkinkan untuk meramalkan trajektori planet, kitaran pasang surut dan memungkinkan untuk memahami dan menerangkan semua proses dan fenomena yang berubah secara berkala di Alam Semesta dan dalam diri kita. Tempat penting dalam bahagian ini diberikan kepada kajian infiniti, yang penenangnya menjadi satu kejayaan yang membolehkan pengiraan berfungsi. Pengkomputeran membantu menyelesaikan banyak masalah yang timbul di dunia purba, dan ini akhirnya membawa kepada revolusi dalam sains dan dunia moden.

Bahagian V, “The Many Faces of Data,” memperkatakan tentang kebarangkalian, statistik, rangkaian dan sains data—bidang yang masih baharu, yang lahir daripada aspek kehidupan kita yang kurang teratur, seperti peluang dan nasib, ketidakpastian, risiko, kebolehubahan, huru-hara, saling bergantung. Menggunakan alat matematik yang betul dan jenis data yang sesuai, kita akan belajar untuk mengesan corak dalam aliran rawak.

Pada penghujung perjalanan kami dalam Bahagian VI, "Had Yang Mungkin," kami akan menghampiri had pengetahuan matematik, kawasan sempadan antara apa yang sudah diketahui dan apa yang masih sukar difahami dan tidak diketahui. Kami sekali lagi akan meneliti topik dalam susunan yang sudah kita kenali: nombor, nisbah, angka, perubahan dan infiniti - tetapi pada masa yang sama kita akan melihat setiap daripada mereka dengan lebih mendalam, dalam penjelmaan modennya.

Saya berharap semua idea yang diterangkan dalam buku ini akan kelihatan menarik kepada anda dan akan membuatkan anda berseru lebih daripada sekali: “Wah!” Tetapi anda sentiasa perlu bermula di suatu tempat, jadi mari kita mulakan dengan aktiviti yang mudah tetapi menarik seperti mengira.

1. Asas Nombor: Penambahan Ikan

Demonstrasi konsep nombor terbaik yang pernah saya lihat (penjelasan paling jelas dan lucu tentang nombor apa dan mengapa kita memerlukannya) adalah dalam episod rancangan kanak-kanak popular Sesame Street yang dipanggil 123: Counting Together "(123 Counter with Me). X...

Nama: The Pleasure of X. Perjalanan yang menarik ke dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia
Pengarang:
tahun:
Genre:

Muat turun
Petikan

The Pleasure of X. Perjalanan yang menarik ke dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia
Stephen Strogatz

Diterbitkan dalam bahasa Rusia buat kali pertama.

Stephen Strogatz

The Pleasure of X. Perjalanan yang menarik ke dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Steven Strogatz

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Semua hak terpelihara. Tiada bahagian daripada versi elektronik buku ini boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk atau dengan apa cara sekalipun, termasuk siaran di Internet atau korporat...

Kegembiraan daripada X

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Semua hak terpelihara. Tiada bahagian daripada versi elektronik buku ini boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk atau dengan apa cara sekalipun, termasuk siaran di Internet atau rangkaian korporat, untuk kegunaan peribadi atau awam tanpa kebenaran bertulis daripada pemilik hak cipta.

Sokongan undang-undang untuk rumah penerbitan disediakan oleh firma guaman Vegas-Lex.

* * *

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Quanta

Scott Patterson

Pesakit otak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Kesedaran fleksibel

Carol Dweck

Fizik pasaran saham

James Weatherall

Mukadimah

Untuk menjelaskan apa yang saya maksudkan dengan kehidupan nombor dan tingkah laku mereka yang tidak dapat kita kawal, mari kita kembali ke Hotel Furry Paws. Katakan bahawa Humphrey baru sahaja hendak menyerahkan pesanan itu, tetapi kemudian penguin dari bilik lain tanpa diduga memanggilnya dan juga meminta jumlah ikan yang sama. Berapa kali Humphrey mesti menjerit perkataan "ikan" selepas menerima dua pesanan? Jika dia tidak belajar apa-apa tentang nombor, dia perlu menjerit seberapa banyak penguin di kedua-dua bilik. Atau, menggunakan nombor, dia boleh menjelaskan kepada tukang masak bahawa dia memerlukan enam ekor ikan untuk satu nombor dan enam untuk yang lain. Tetapi apa yang dia perlukan adalah konsep baru: penambahan. Sebaik sahaja dia menguasainya, dia akan dengan bangganya mengatakan bahawa dia memerlukan enam tambah enam (atau, jika dia seorang poser, dua belas) ikan.

Ini adalah proses kreatif yang sama seperti ketika kita mula-mula menghasilkan nombor. Sama seperti nombor menjadikan pengiraan lebih mudah daripada menyenaraikan satu demi satu, penambahan memudahkan untuk mengira sebarang jumlah. Pada masa yang sama, orang yang membuat pengiraan berkembang sebagai ahli matematik. Secara saintifik, idea ini boleh dirumuskan seperti berikut: menggunakan abstraksi yang betul membawa kepada pemahaman yang lebih mendalam tentang intipati isu dan kuasa yang lebih besar dalam menyelesaikannya.

Tidak lama lagi, mungkin, walaupun Humphrey akan menyedari bahawa kini dia sentiasa boleh mengira.

Walau bagaimanapun, walaupun terdapat perspektif yang tidak berkesudahan, kreativiti kita sentiasa mempunyai beberapa batasan. Kita boleh memutuskan apa yang kita maksudkan dengan 6 dan +, tetapi sebaik sahaja kita melakukannya, hasil ungkapan seperti 6 + 6 berada di luar kawalan kita. Di sini logik akan meninggalkan kita tiada pilihan. Dalam pengertian ini, matematik sentiasa merangkumi kedua-dua ciptaan, jadi dan pembukaan: kami mencipta konsep, tetapi terbuka akibat mereka. Seperti yang akan dijelaskan oleh bab-bab berikut, dalam matematik kebebasan kita terletak pada keupayaan untuk bertanya dan terus mencari jawapan tanpa perlu menciptanya sendiri.

2. Aritmetik batu

Seperti mana-mana fenomena dalam kehidupan, aritmetik mempunyai dua sisi: formal dan menghiburkan (atau suka bermain).

Kami mempelajari bahagian formal di sekolah. Di sana mereka menerangkan kepada kami cara bekerja dengan lajur nombor, menambah dan menolaknya, cara mengosongkannya semasa membuat pengiraan dalam hamparan semasa mengisi penyata cukai dan menyediakan laporan tahunan. Bahagian aritmetik ini nampaknya penting kepada ramai dari sudut pandangan praktikal, tetapi sama sekali tidak menggembirakan.

Anda hanya boleh membiasakan diri dengan bahagian aritmetik yang menghiburkan dalam proses mempelajari matematik yang lebih tinggi {3}. Walau bagaimanapun, ia adalah semulajadi seperti rasa ingin tahu kanak-kanak {4}.

Dalam esei "The Mathematician's Lament," Paul Lockhart mencadangkan untuk mengkaji nombor dalam contoh yang lebih konkrit daripada biasa: dia meminta kita menganggapnya sebagai sebilangan batu. Sebagai contoh, nombor 6 sepadan dengan set kerikil berikut:

Anda tidak mungkin melihat sesuatu yang luar biasa di sini. Begitulah keadaannya. Sehingga kita mula memanipulasi nombor, mereka kelihatan hampir sama. Permainan bermula apabila kita menerima tugas.

Sebagai contoh, mari kita lihat set yang mengandungi daripada 1 hingga 10 batu dan cuba buat segi empat sama daripadanya. Ini hanya boleh dilakukan dengan dua set 4 dan 9 batu, kerana 4 = 2 × 2 dan 9 = 3 × 3. Kami mendapatkan nombor ini dengan mengkuadangkan beberapa nombor lain (iaitu, menyusun batu dalam segi empat sama).

Berikut ialah masalah yang mempunyai bilangan penyelesaian yang lebih besar: anda perlu mengetahui set mana yang akan membentuk segi empat tepat jika anda menyusun batu dalam dua baris dengan bilangan elemen yang sama. Set 2, 4, 6, 8 atau 10 batu sesuai di sini; nombor mestilah genap. Jika kita cuba menyusun set yang tinggal dengan bilangan batu yang ganjil dalam dua baris, kita selalunya akan berakhir dengan batu tambahan.

Tetapi semuanya tidak hilang untuk nombor janggal ini! Jika anda mengambil dua set sedemikian, maka elemen tambahan akan mencari pasangan, dan jumlahnya akan menjadi genap: nombor ganjil + nombor ganjil = nombor genap.

Jika kita melanjutkan peraturan ini kepada nombor selepas 10, dan menganggap bahawa bilangan baris dalam segi empat tepat boleh lebih daripada dua, maka beberapa nombor ganjil akan membenarkan segi empat tepat tersebut ditambah. Sebagai contoh, nombor 15 boleh membentuk segi empat tepat 3 × 5.

Oleh itu, walaupun 15 sudah pasti nombor ganjil, ia adalah nombor komposit dan boleh diwakili sebagai tiga baris lima batu setiap satu. Begitu juga, sebarang entri dalam jadual pendaraban menghasilkan kumpulan batu kerikil segi empat tepatnya sendiri.

Tetapi beberapa nombor, seperti 2, 3, 5 dan 7, benar-benar tiada harapan. Anda tidak boleh meletakkan apa-apa daripadanya kecuali menyusunnya dalam bentuk garisan mudah (satu baris). Orang-orang pelik yang degil ini adalah nombor perdana yang terkenal.

Oleh itu, kita melihat bahawa nombor boleh mempunyai struktur pelik yang memberi mereka watak tertentu. Tetapi untuk memahami rangkaian penuh tingkah laku mereka, anda perlu berundur dari nombor individu dan memerhatikan apa yang berlaku semasa interaksi mereka.

Sebagai contoh, daripada menambah hanya dua nombor ganjil, mari tambah semua urutan nombor ganjil yang mungkin, bermula dengan 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Anehnya, jumlah ini sentiasa menjadi kuasa dua sempurna. (Kami telah mengatakan bahawa 4 dan 9 boleh diwakili sebagai segi empat sama, dan untuk 16 = 4 × 4 dan 25 = 5 × 5 ini juga benar.) Pengiraan pantas menunjukkan bahawa peraturan ini juga benar untuk nombor ganjil yang lebih besar dan, nampaknya. , cenderung kepada infiniti. Tetapi apakah kaitan antara nombor ganjil dengan batu "tambahan" mereka dan nombor simetri klasik yang membentuk segi empat sama? Dengan meletakkan batu kerikil dengan betul, kita boleh menjadikannya jelas, yang merupakan ciri bukti yang elegan. {5}

Kuncinya ialah pemerhatian bahawa nombor ganjil boleh diwakili sebagai sudut sama sisi, pertindihan berturut-turut membentuk segi empat sama!

Cara penaakulan yang serupa dibentangkan dalam buku lain yang diterbitkan baru-baru ini. Novel menawan Yoko Ogawa The Housekeeper and the Professor mengisahkan tentang seorang wanita muda yang cerdik tetapi tidak berpendidikan dan anak lelakinya yang berumur sepuluh tahun. Seorang wanita telah diupah untuk menjaga seorang ahli matematik tua yang ingatan jangka pendeknya, akibat kecederaan otak traumatik, hanya menyimpan maklumat tentang 80 minit terakhir dalam hidupnya. Kehilangan pada masa kini, bersendirian di pondoknya yang kotor, tanpa apa-apa selain nombor, profesor cuba berkomunikasi dengan pembantu rumah dengan satu-satunya cara yang dia tahu: dengan bertanya tentang saiz kasutnya atau tarikh lahir dan bercakap kecil dengannya tentang perbelanjaannya. Profesor itu juga sangat menyukai anak lelaki pembantu rumah, yang dia panggil Ruth (Root) kerana budak lelaki itu mempunyai kepala yang rata di atas, dan ini mengingatkan dia tentang tatatanda matematik untuk punca kuasa dua √.

Pada suatu hari, profesor memberikan budak lelaki itu tugas mudah - untuk mencari jumlah semua nombor dari 1 hingga 10. Selepas Ruth dengan teliti menambah semua nombor bersama-sama dan kembali dengan jawapan (55), profesor meminta dia mencari cara yang lebih mudah. Adakah dia dapat mencari jawapannya? tanpa penambahan nombor biasa? Ruth menendang kerusi dan menjerit, “Ia tidak adil!”

Sedikit demi sedikit, pembantu rumah itu juga tertarik dengan dunia nombor dan diam-diam cuba menyelesaikan masalah ini sendiri. "Saya tidak faham mengapa saya sangat berminat dengan teka-teki kanak-kanak yang tidak mempunyai kegunaan praktikal," katanya. “Pada mulanya saya ingin menggembirakan profesor, tetapi secara beransur-ansur pelajaran ini bertukar menjadi pertempuran antara saya dan nombor. Apabila saya bangun pada waktu pagi, persamaan sudah menunggu saya:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Quanta

Scott Patterson

Pesakit otak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Kesedaran fleksibel

Carol Dweck

Fizik pasaran saham

James Weatherall

Kegembiraan daripada X

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Stephen Strogatz

Keseronokan daripada X

Perjalanan yang menarik ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Maklumat daripada penerbit

Diterbitkan dalam bahasa Rusia buat kali pertama

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Keseronokan daripada X. Perjalanan yang menarik ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia / Stephen Strogatz; lorong daripada bahasa Inggeris - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Semua hak terpelihara.

Tiada bahagian buku ini boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk tanpa kebenaran bertulis daripada pemegang hak cipta.

Sokongan undang-undang untuk rumah penerbitan disediakan oleh firma guaman Vegas-Lex.

Mukadimah

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Quanta

Scott Patterson

Pesakit otak

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Kesedaran fleksibel

Carol Dweck

Fizik pasaran saham

James Weatherall

Kegembiraan daripada X

Lawatan Berpandu Matematik, dari One ke Infiniti

Stephen Strogatz

Keseronokan daripada X

Perjalanan yang menarik ke dalam dunia matematik daripada salah seorang guru terbaik di dunia

Maklumat daripada penerbit

Diterbitkan dalam bahasa Rusia buat kali pertama

Diterbitkan dengan kebenaran daripada Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

ISBN 978-500057-008-1

Semua hak terpelihara.

Tiada bahagian buku ini boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk tanpa kebenaran bertulis daripada pemegang hak cipta.

Sokongan undang-undang untuk rumah penerbitan disediakan oleh firma guaman Vegas-Lex.

Mukadimah

Satu siri 15 artikel di bawah tajuk umum "Asas Matematik" muncul dalam talian pada akhir Januari 2010. Sebagai tindak balas kepada penerbitan mereka, surat dan komen dicurahkan daripada pembaca semua peringkat umur, termasuk ramai pelajar dan guru. Terdapat juga orang yang ingin tahu yang, atas satu sebab atau yang lain, "sesat" dalam memahami sains matematik; kini mereka merasakan bahawa mereka telah merindui sesuatu O hebat, dan ingin mencuba lagi. Saya amat gembira dengan ucapan terima kasih daripada ibu bapa saya kerana, dengan bantuan saya, mereka dapat menerangkan matematik kepada anak-anak mereka, dan mereka sendiri mula memahaminya dengan lebih baik. Nampaknya walaupun rakan sekerja dan rakan seperjuangan saya, pengagum sains ini, suka membaca artikel, kecuali saat-saat ketika mereka bersaing antara satu sama lain untuk menawarkan pelbagai cadangan untuk menambah baik idea saya.

Untuk kemudahan pembaca yang lebih suka pendekatan langkah demi langkah, saya telah membahagikan bahan tersebut kepada enam bahagian mengikut susunan tradisional mempelajari topik.