Jumlah janjang aritmetik tak terhingga. Jumlah janjang aritmetik

Apabila belajar algebra dalam sekolah pendidikan am(Gred 9) salah seorang topik penting ialah kajian jujukan berangka, yang merangkumi janjang - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan janjang aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah janjang aritmetik?

Untuk memahami perkara ini, adalah perlu untuk memberikan definisi perkembangan yang sedang dipertimbangkan, serta memberikan formula asas yang akan digunakan selanjutnya dalam menyelesaikan masalah.

Aritmetik atau merupakan satu set nombor rasional tersusun, setiap ahlinya berbeza daripada yang sebelumnya dengan beberapa nilai tetap. Nilai ini dipanggil perbezaan. Iaitu, mengetahui mana-mana ahli siri nombor tersusun dan perbezaannya, anda boleh memulihkan keseluruhan janjang aritmetik.

Mari kita ambil contoh. Urutan nombor seterusnya ialah janjang aritmetik: 4, 8, 12, 16, ..., kerana perbezaan dalam kes ini ialah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi set nombor 3, 5, 8, 12, 17 tidak lagi boleh dikaitkan dengan jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, kerana perbezaannya bukan nilai tetap (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formula Penting

Kami kini memberikan formula utama yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan janjang aritmetik. Nyatakan dengan simbol a n penggal ke- jujukan di mana n ialah integer. Mari kita nyatakan perbezaannya huruf latin d. Kemudian ungkapan berikut:

1. Untuk menentukan nilai sebutan ke-n, formula adalah sesuai: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan hasil tambah n sebutan pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami mana-mana contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian dalam gred 9, cukup untuk mengingati kedua-dua formula ini, kerana sebarang masalah jenis yang sedang dipertimbangkan dibina berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahawa perbezaan janjang ditentukan oleh formula: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Mencari Ahli Tidak Dikenali

Kami memberikan contoh mudah janjang aritmetik dan formula yang mesti digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu mencari lima sebutan di dalamnya.

Ia sudah mengikuti daripada syarat masalah bahawa 4 istilah pertama diketahui. Yang kelima boleh ditakrifkan dalam dua cara:

1. Kita kira perbezaan dahulu. Kami mempunyai: d = 8 - 10 = -2. Begitu juga, seseorang boleh mengambil mana-mana dua istilah lain berdiri di sebelah satu sama lain. Contohnya, d = 4 - 6 = -2. Oleh kerana diketahui bahawa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita dapat: a 5 \u003d a 4 + d. Pengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Kaedah kedua juga memerlukan pengetahuan tentang perbezaan janjang yang dipersoalkan, jadi anda perlu terlebih dahulu menentukannya, seperti yang ditunjukkan di atas (d = -2). Mengetahui bahawa sebutan pertama a 1 = 10, kita menggunakan formula untuk n nombor jujukan. Kami mempunyai: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Menggantikan n = 5 ke dalam ungkapan terakhir, kita dapat: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang anda lihat, kedua-dua penyelesaian membawa kepada hasil yang sama. Perhatikan bahawa dalam contoh ini perbezaan d janjang itu ialah nilai negatif. Urutan sedemikian dipanggil menurun kerana setiap sebutan berturut-turut adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Contoh #2: perbezaan kemajuan

Sekarang mari kita rumitkan sedikit tugasan, berikan contoh cara mencari perbezaan janjang aritmetik.

Adalah diketahui bahawa dalam beberapa janjang algebra sebutan pertama adalah sama dengan 6, dan sebutan ke-7 adalah sama dengan 18. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan jujukan ini kepada sebutan ke-7.

Mari kita gunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami menggantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu nombor a 1 dan 7, kami ada: 18 \u003d 6 + 6 * d. Daripada ungkapan ini, anda boleh mengira perbezaan dengan mudah: d = (18 - 6) / 6 = 2. Oleh itu, bahagian pertama masalah telah dijawab.

Untuk memulihkan urutan sehingga 7 istilah, seseorang harus menggunakan definisi janjang algebra, iaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d dan seterusnya. Akibatnya, kami memulihkan keseluruhan urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Jom buat lebih susah keadaan yang lebih kuat tugasan. Sekarang anda perlu menjawab soalan bagaimana untuk mencari janjang aritmetik. Kita boleh memberikan contoh berikut: dua nombor diberikan, sebagai contoh, 4 dan 5. Ia adalah perlu untuk membuat janjang algebra supaya tiga sebutan lagi sesuai antara ini.

Sebelum mula menyelesaikan masalah ini, adalah perlu untuk memahami tempat yang akan diduduki oleh nombor yang diberikan dalam perkembangan masa depan. Oleh kerana akan ada tiga lagi istilah di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami meneruskan tugas yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk istilah ke-n, kami menggunakan formula, kami mendapat: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Daripada: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini kami tidak menerima nilai integer bagi perbezaan itu, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk janjang algebra kekal sama.

Sekarang mari tambahkan perbezaan yang ditemui pada 1 dan pulihkan ahli perkembangan yang hilang. Kami mendapat: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u. yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh #4: Ahli pertama kemajuan

Kami terus memberikan contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, nombor pertama janjang algebra diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah jenis yang berbeza: biarkan dua nombor diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Ia adalah perlu untuk mencari dari nombor apa jujukan ini bermula.

Formula yang telah digunakan setakat ini menganggap pengetahuan tentang a 1 dan d. Tiada apa-apa yang diketahui tentang nombor ini dalam keadaan masalah. Walau bagaimanapun, mari kita tulis ungkapan untuk setiap istilah yang kita mempunyai maklumat: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana terdapat 2 kuantiti yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah dikurangkan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear.

Sistem yang ditentukan adalah paling mudah untuk diselesaikan jika anda menyatakan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ungkapan yang terhasil. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kita dapat: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana daripada 2 ungkapan di atas untuk 1 . Sebagai contoh, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Jika terdapat keraguan tentang hasilnya, anda boleh menyemaknya, sebagai contoh, tentukan ahli ke-43 perkembangan, yang dinyatakan dalam syarat. Kami mendapat: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ralat kecil adalah disebabkan fakta bahawa pembundaran kepada perseribu telah digunakan dalam pengiraan.

Contoh #5: Jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan penyelesaian untuk jumlah janjang aritmetik.

Biarlah diberi perkembangan berangka jenis berikut: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada pembangunan Teknologi komputer anda boleh menyelesaikan masalah ini, iaitu, menjumlahkan semua nombor secara berurutan, yang Mesin pengiraan akan dilakukan sebaik sahaja orang itu menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah itu boleh diselesaikan secara mental jika anda memberi perhatian bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah janjang algebra, dan perbezaannya ialah 1. Menggunakan formula untuk jumlah, kita dapat: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Adalah ingin tahu bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian" kerana dalam awal XVIII abad ini, warga Jerman yang terkenal itu, masih dalam usia hanya 10 tahun, dapat menyelesaikannya dalam fikirannya dalam beberapa saat. Budak itu tidak tahu formula untuk jumlah janjang algebra, tetapi dia perasan bahawa jika anda menambah pasangan nombor yang terletak di tepi jujukan, anda sentiasa mendapat keputusan yang sama, iaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan kerana jumlah ini akan menjadi tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawapan yang betul, sudah cukup untuk mendarab 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah sebutan dari n hingga m

Satu lagi contoh tipikal jumlah janjang aritmetik adalah seperti berikut: diberi satu siri nombor: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari jumlah ahlinya dari 8 hingga 14.

Masalah diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan mencari istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak cukup susah payah. Walau bagaimanapun, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan kaedah kedua, yang lebih universal.

Ideanya ialah untuk mendapatkan formula bagi jumlah janjang algebra antara sebutan m dan n, dengan n > m ialah integer. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Oleh kerana n > m, adalah jelas bahawa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermakna jika kita mengambil perbezaan antara jumlah ini, dan menambah istilah a m kepadanya (dalam kes mengambil perbezaan, ia ditolak daripada jumlah S n), maka kita mendapat jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Ia adalah perlu untuk menggantikan formula untuk a n dan a m ke dalam ungkapan ini. Kemudian kita dapat: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula yang terhasil agak rumit, walau bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kes kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Menggantikan nombor ini, kita mendapat: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat daripada penyelesaian di atas, semua masalah adalah berdasarkan pengetahuan ungkapan untuk sebutan ke-n dan formula untuk jumlah set sebutan pertama. Sebelum anda mula menyelesaikan mana-mana masalah ini, adalah disyorkan agar anda membaca syarat dengan teliti, memahami dengan jelas apa yang anda ingin cari, dan kemudian meneruskan penyelesaiannya.

Petua lain ialah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam kes ini kebarangkalian untuk membuat kesilapan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti pada formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan berpecah tugas biasa ke dalam subtugas yang berasingan (dalam kes ini cari dahulu sebutan a n dan a m).

Sekiranya terdapat keraguan tentang keputusan yang diperoleh, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana untuk mencari janjang aritmetik, didapati. Sebaik sahaja anda memikirkannya, ia tidak begitu sukar.

Ya, ya: janjang aritmetik bukan mainan untuk anda :)

Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, maka bukti topi dalaman memberitahu saya bahawa anda masih tidak tahu apa itu janjang aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke perniagaan.

Sebagai permulaan, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set nombor:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apakah persamaan kesemua set ini? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap satu lebih daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara nombor berdiri sudah bersamaan dengan lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, terdapat akar secara umum. Walau bagaimanapun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, manakala $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. dalam kes ini setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).

Jadi: semua jujukan tersebut hanya dipanggil janjang aritmetik. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Urutan nombor di mana setiap seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama dipanggil janjang aritmetik. Jumlah perbezaan nombor dipanggil perbezaan janjang dan paling kerap dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ ialah janjang itu sendiri, $d$ ialah perbezaannya.

Dan hanya sepasang Nota PENTING. Pertama, kemajuan dianggap sahaja teratur urutan nombor: mereka dibenarkan untuk dibaca dengan ketat mengikut urutan yang ditulis - dan tidak ada yang lain. Anda tidak boleh menyusun semula atau menukar nombor.

Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas merupakan janjang aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu seperti (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tidak terhingga. Elipsis selepas empat, seolah-olah, membayangkan bahawa agak banyak nombor pergi lebih jauh. Tidak terhingga banyak, contohnya. :)

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan semakin meningkat dan menurun. Kita telah melihat peningkatan - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut ialah contoh perkembangan menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi yang lain, saya fikir, anda faham. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baharu:

Definisi. Janjang aritmetik dipanggil:

1. meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada yang sebelumnya;
2. menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Di samping itu, terdapat urutan yang dipanggil "pegun" - ia terdiri daripada nombor berulang yang sama. Contohnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu soalan yang tinggal: bagaimana untuk membezakan kemajuan yang semakin meningkat daripada yang semakin berkurangan? Nasib baik, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda nombor $d$, i.e. perbezaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka janjang itu meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka kemajuan itu jelas berkurangan;
3. Akhirnya, terdapat kes $d=0$ — dalam kes ini keseluruhan janjang dikurangkan kepada urutan pegun nombor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...), dsb.

Mari cuba kira perbezaan $d$ untuk tiga janjang menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil mana-mana dua elemen bersebelahan (contohnya, yang pertama dan kedua) dan tolak daripada nombor di sebelah kanan, nombor di sebelah kiri. Ia akan kelihatan seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang kita lihat, dalam semua tiga kes bezanya memang negatif. Dan sekarang setelah kita mengetahui lebih kurang definisinya, sudah tiba masanya untuk mengetahui cara perkembangan diterangkan dan sifat yang dimilikinya.

Ahli perkembangan dan formula berulang

Oleh kerana unsur-unsur jujukan kami tidak boleh ditukar ganti, ia boleh dinomborkan:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \kanan\)\]

Elemen individu set ini dipanggil ahli janjang. Mereka ditunjukkan dengan cara ini dengan bantuan nombor: ahli pertama, ahli kedua, dan seterusnya.

Di samping itu, seperti yang telah kita ketahui, ahli jiran perkembangan dikaitkan dengan formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Anak panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ringkasnya, untuk mencari sebutan $n$th bagi janjang, anda perlu mengetahui sebutan $n-1$th dan perbezaan $d$. Formula sedemikian dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda boleh mencari sebarang nombor, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya, semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula yang lebih rumit yang mengurangkan sebarang pengiraan kepada sebutan pertama dan perbezaan:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemui formula ini sebelum ini. Mereka suka memberikannya dalam semua jenis buku rujukan dan reshebnik. Dan dalam mana-mana buku teks yang masuk akal mengenai matematik, ia adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya cadangkan anda berlatih sedikit.

Tugas nombor 1. Tuliskan tiga sebutan pertama janjang aritmetik $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Penyelesaian. Jadi, kita tahu sebutan pertama $((a)_(1))=8$ dan perbezaan janjang $d=-5$. Mari kita gunakan formula yang baru diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Jawapan: (8; 3; -2)

Itu sahaja! Perhatikan bahawa perkembangan kami semakin berkurangan.

Sudah tentu, $n=1$ tidak boleh digantikan - kita sudah tahu istilah pertama. Walau bagaimanapun, dengan menggantikan unit, kami memastikan bahawa walaupun untuk penggal pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, semuanya bermuara kepada aritmetik cetek.

Tugas nombor 2. Tulis tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika sebutan ketujuhnya ialah −40 dan sebutan ketujuh belasnya ialah −50.

Penyelesaian. Kami menulis keadaan masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \betul.\]

Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Dan sekarang kita perhatikan bahawa jika kita menolak persamaan pertama dari persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), kita mendapat ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Sama seperti itu, kami mendapati perbezaan kemajuan! Ia kekal untuk menggantikan nombor yang ditemui dalam mana-mana persamaan sistem. Sebagai contoh, dalam yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, mengetahui sebutan pertama dan perbezaannya, ia masih perlu mencari sebutan kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

sedia! Masalah selesai.

Jawapan: (-34; -35; -36)

Beri perhatian kepada harta ingin tahu janjang yang kami temui: jika kami mengambil sebutan $n$th dan $m$th dan menolaknya antara satu sama lain, maka kami mendapat perbezaan janjang yang didarab dengan nombor $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Simple tapi sangat harta yang berguna, yang pasti anda perlu tahu - dengan bantuannya anda boleh mempercepatkan penyelesaian banyak masalah dalam perkembangan dengan ketara. Di sini terang ke itu contoh:

Tugas nombor 3. Sebutan kelima janjang aritmetik ialah 8.4, dan sebutan kesepuluhnya ialah 14.4. Cari sebutan kelima belas janjang ini.

Penyelesaian. Oleh kerana $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kami perlu mencari $((a)_(15))$, kami perhatikan berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita ada:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Jawapan: 20.4

Itu sahaja! Kami tidak perlu mengarang mana-mana sistem persamaan dan mengira sebutan pertama dan perbezaan - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan satu lagi jenis masalah - pencarian ahli negatif dan positif perkembangan. Bukan rahsia lagi bahawa jika janjang meningkat, manakala sebutan pertamanya negatif, maka lambat laun istilah positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat perkembangan yang semakin berkurangan lambat laun akan menjadi negatif.

Pada masa yang sama, tidak mungkin untuk mencari detik ini "di dahi", menyusun unsur-unsur secara berurutan. Selalunya, masalah direka bentuk sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui formula, pengiraan akan mengambil beberapa helaian - kami hanya akan tertidur sehingga kami menemui jawapannya. Oleh itu, kami akan cuba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas nombor 4. Berapa banyak sebutan negatif dalam janjang aritmetik -38.5; -35.8; …?

Penyelesaian. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, yang mana kita akan segera mencari perbezaannya:

Perhatikan bahawa perbezaannya adalah positif, jadi perkembangannya semakin meningkat. Penggal pertama adalah negatif, jadi sememangnya pada satu ketika kita akan tersandung pada nombor positif. Satu-satunya persoalan ialah bila ini akan berlaku.

Mari cuba cari: berapa lama (iaitu, sehingga nombor asli $n$) negatif istilah itu dikekalkan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\maks ))=15. \\ \end(align)\]

Baris terakhir memerlukan penjelasan. Jadi kita tahu bahawa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sebaliknya, hanya nilai integer nombor yang sesuai dengan kita (lebih-lebih lagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi nombor yang dibenarkan terbesar adalah tepat $n=15$, dan dalam kes tidak 16.

Tugas nombor 5. Dalam janjang aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Cari nombor sebutan positif pertama bagi janjang ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama seperti yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah jiran diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita boleh mencari perbezaan janjang dengan mudah:

Di samping itu, mari kita cuba untuk menyatakan sebutan kelima dari segi yang pertama dan perbezaan menggunakan formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mengetahui pada titik mana dalam urutan nombor positif kami akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Anak panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minimum penyelesaian integer ketaksamaan diberi ialah nombor 56.

Sila ambil perhatian bahawa dalam tugasan terakhir semuanya telah dikurangkan kepada ketidaksamaan yang ketat, jadi pilihan $n=55$ tidak sesuai dengan kami.

Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama-tama, mari kita pelajari satu lagi sifat janjang aritmetik yang sangat berguna, yang akan menjimatkan banyak masa dan sel yang tidak sama pada masa hadapan. :)

Min aritmetik dan inden sama

Pertimbangkan beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari cuba tandakan mereka pada garis nombor:

Ahli janjang aritmetik pada garis nombor

Saya secara khusus menyatakan ahli sewenang-wenangnya $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan sebarang $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dsb. Kerana peraturan, yang sekarang saya akan beritahu anda, berfungsi sama untuk mana-mana "segmen".

Dan peraturannya sangat mudah. Mari kita ingat formula berulang dan tuliskannya untuk semua ahli yang ditanda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Walau bagaimanapun, persamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Nah, jadi apa? Tetapi hakikat bahawa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini bersamaan dengan $d$. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - ia juga dikeluarkan daripada $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama bersamaan dengan $2d$. Anda boleh meneruskan selama-lamanya, tetapi gambar menggambarkan maksud dengan baik

Ahli-ahli perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apakah maknanya bagi kita? Ini bermakna anda boleh mencari $((a)_(n))$ jika nombor jiran diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang mengagumkan: setiap ahli janjang aritmetik adalah sama dengan min aritmetik ahli jiran! Selain itu, kita boleh menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan formulanya tetap betul:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita boleh mencari beberapa $((a)_(150))$ dengan mudah jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, kerana $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, nampaknya fakta ini tidak memberi kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak tugasan "diasah" khas untuk penggunaan min aritmetik. Tengoklah:

Tugas nombor 6. Cari semua nilai $x$ supaya nombor $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ ialah ahli berturut-turut bagi janjang aritmetik (dalam susunan tertentu).

Penyelesaian. Kerana ia nombor yang ditunjukkan adalah ahli janjang, keadaan min aritmetik dipenuhi untuk mereka: unsur pusat$x+1$ boleh dinyatakan dalam sebutan unsur jiran:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ia ternyata klasik persamaan kuadratik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawapannya.

Jawapan: -3; 2.

Tugas nombor 7. Cari nilai $$ supaya nombor $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk janjang aritmetik (dalam susunan itu).

Penyelesaian. Sekali lagi, kami menyatakan istilah tengah dari segi min aritmetik bagi istilah jiran:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Satu lagi persamaan kuadratik. Dan sekali lagi dua punca: $x=6$ dan $x=1$.

Jawapan: 1; 6.

Jika dalam proses menyelesaikan masalah anda mendapat beberapa nombor yang kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang ketepatan jawapan yang ditemui, maka terdapat helah hebat yang membolehkan anda menyemak: adakah kami menyelesaikan masalah dengan betul?

Katakan dalam masalah 6 kita mendapat jawapan -3 dan 2. Bagaimanakah kita boleh menyemak bahawa jawapan ini betul? Mari kita pasangkannya ke dalam keadaan asal dan lihat apa yang berlaku. Biar saya ingatkan anda bahawa kita mempunyai tiga nombor ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang sepatutnya membentuk janjang aritmetik. Gantikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Kami mendapat nombor -54; −2; 50 yang berbeza dengan 52 sudah pasti merupakan janjang aritmetik. Perkara yang sama berlaku untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Sekali lagi janjang, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu diselesaikan dengan betul. Mereka yang mahu boleh menyemak tugas kedua sendiri, tetapi saya akan katakan dengan segera: semuanya betul di sana juga.

Secara umum, semasa menyelesaikan tugasan terakhir, kami terjumpa yang lain fakta menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga nombor adalah seperti yang kedua adalah purata aritmetik dahulu dan yang terakhir, nombor ini membentuk janjang aritmetik.

Pada masa hadapan, memahami kenyataan ini akan membolehkan kita "membina" secara literal perkembangan yang diperlukan berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "pembinaan" sedemikian, kita harus memberi perhatian kepada satu lagi fakta, yang secara langsung mengikuti apa yang telah dipertimbangkan.

Pengumpulan dan jumlah unsur

Mari kita kembali ke garis nombor semula. Kami perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak ahli lain:

6 elemen yang ditanda pada garis nombor

Mari cuba nyatakan "ekor kiri" dalam sebutan $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam sebutan $((a)_(k))$ dan $ d$. Ia sangat mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sekarang ambil perhatian bahawa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Ringkasnya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen janjang, yang jumlahnya sama dengan beberapa nombor $S$, dan kemudian kita mula melangkah dari elemen ini ke sisi bertentangan(ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk membuang), kemudian jumlah unsur yang akan kita temui juga akan sama$S$. Ini boleh diwakili dengan terbaik secara grafik:

Inden yang sama memberikan jumlah yang sama

Kefahaman fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah secara lebih asas tahap tinggi kerumitan daripada yang dibincangkan di atas. Sebagai contoh, ini:

Tugas nombor 8. Tentukan beza janjang aritmetik di mana sebutan pertama ialah 66, dan hasil darab sebutan kedua dan kedua belas adalah terkecil yang mungkin.

Penyelesaian. Mari kita tulis semua yang kita tahu:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Jadi, kita tidak tahu perbezaan janjang $d$. Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian akan dibina di sekeliling perbezaan, kerana produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ boleh ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya telah mengambil faktor sepunya 11 daripada kurungan kedua. Oleh itu, hasil darab yang dikehendaki ialah fungsi kuadratik berkenaan dengan pembolehubah $d$. Oleh itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafnya akan menjadi parabola dengan cawangan ke atas, kerana jika kita membuka kurungan, kita mendapat:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, pekali pada sebutan tertinggi ialah 11 - ini nombor positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

jadual fungsi kuadratik- parabola

Catatan: nilai minimum parabola ini mengambil $((d)_(0))$ pada puncaknya dengan absis. Sudah tentu, kita boleh mengira absis ini mengikut skema standard (terdapat formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi lebih munasabah untuk ambil perhatian bahawa bucu yang dikehendaki terletak pada simetri paksi parabola, jadi titik $((d)_(0))$ adalah sama jarak dari punca persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Itulah sebabnya saya tidak tergesa-gesa untuk membuka kurungan: dalam bentuk asal, akarnya sangat, sangat mudah dicari. Oleh itu, absis adalah sama dengan min aritmetik bagi nombor −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nombor yang ditemui? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil(Dengan cara ini, kami tidak mengira $((y)_(\min ))$ - kami tidak perlu melakukan ini). Pada masa yang sama, nombor ini ialah perbezaan janjang awal, i.e. kami jumpa jawapannya. :)

Jawapan: -36

Tugas nombor 9. Masukkan tiga nombor antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ supaya bersama-sama dengan nombor yang diberi ia membentuk satu janjang aritmetik.

Penyelesaian. Sebenarnya, kita perlu membuat urutan lima nombor, dengan nombor pertama dan terakhir sudah diketahui. Nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ambil perhatian bahawa nombor $y$ ialah "tengah" jujukan kami - ia adalah sama jarak dari nombor $x$ dan $z$, dan daripada nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika pada masa ini kita tidak boleh mendapatkan $y$ daripada nombor $x$ dan $z$, maka keadaannya berbeza dengan penghujung janjang. Ingat maksud aritmetik:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari nombor yang tinggal. Ambil perhatian bahawa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru ditemui. sebab tu

Berhujah sama, kita dapati nombor yang tinggal:

sedia! Kami menjumpai ketiga-tiga nombor. Mari kita tuliskannya dalam jawapan mengikut susunan yang harus disisipkan di antara nombor asal.

Jawapan: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nombor 10. Di antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang, bersama-sama dengan nombor yang diberikan, membentuk janjang aritmetik, jika diketahui bahawa jumlah nombor pertama, kedua, dan terakhir daripada nombor yang dimasukkan ialah 56.

Penyelesaian. Lebih lagi tugas yang susah, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui min aritmetik. Masalahnya ialah kita tidak tahu berapa banyak nombor yang perlu dimasukkan. Oleh itu, untuk kepastian, kami mengandaikan bahawa selepas memasukkan akan ada tepat $n$ nombor, dan yang pertama daripadanya ialah 2, dan yang terakhir ialah 42. Dalam kes ini, janjang aritmetik yang dikehendaki boleh diwakili sebagai:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa nombor $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh daripada nombor 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain , iaitu . ke tengah urutan. Dan ini bermakna

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tetapi ungkapan di atas boleh ditulis semula seperti ini:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita boleh mencari perbezaan janjang dengan mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Anak panah kanan d=5. \\ \end(align)\]

Ia kekal hanya untuk mencari ahli yang tinggal:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai ke hujung kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhan, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugasan teks dengan janjang

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa tugasan mudah. Nah, yang mudah: bagi kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan belum membaca apa yang ditulis di atas, tugasan ini mungkin kelihatan seperti isyarat. Walau bagaimanapun, tugas-tugas sebegitu tepat yang ditemui dalam OGE dan USE dalam matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Tugas nombor 11. Pasukan itu menghasilkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka menghasilkan 14 bahagian lebih banyak daripada yang sebelumnya. Berapakah bahagian yang dihasilkan oleh briged pada bulan November?

Penyelesaian. Jelas sekali, bilangan bahagian, dicat mengikut bulan, akan menjadi janjang aritmetik yang semakin meningkat. Dan:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ialah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh itu, 202 bahagian akan dikeluarkan pada bulan November.

Tugas nombor 12. Bengkel penjilidan buku mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan setiap bulan ia mengikat 4 buku lagi daripada bulan sebelumnya. Berapakah bilangan buku yang diikat oleh bengkel itu pada bulan Disember?

Penyelesaian. Semuanya sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Disember ialah bulan ke-12 yang terakhir dalam tahun ini, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ini jawapannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Disember.

Nah, jika anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam janjang aritmetik. Kita boleh teruskan ke pelajaran seterusnya dengan selamat, di mana kita akan mengkaji formula jumlah kemajuan, serta akibat penting dan sangat berguna daripadanya.

IV Yakovlev | Bahan tentang matematik | MathUs.ru

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah jenis istimewa susulan. Oleh itu, sebelum mentakrifkan janjang aritmetik (dan kemudian geometri), kita perlu membincangkan secara ringkas konsep penting bagi urutan nombor.

Susulan

Bayangkan peranti pada skrin yang beberapa nombor dipaparkan satu demi satu. Katakan 2; 7; 13; satu; 6; 0; 3; : : : Set nombor sedemikian hanyalah contoh urutan.

Definisi. Urutan berangka ialah satu set nombor di mana setiap nombor boleh diberikan nombor unik (iaitu, dimasukkan ke dalam surat-menyurat dengan nombor asli tunggal)1. Nombor dengan nombor n dipanggil ahli ke- urutan.

Jadi, dalam contoh di atas, nombor pertama mempunyai nombor 2, yang merupakan ahli pertama jujukan, yang boleh dilambangkan dengan a1 ; nombor lima mempunyai nombor 6 yang merupakan ahli kelima jujukan, yang boleh dilambangkan a5 . Secara umum, ahli ke-n suatu jujukan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dsb.).

Situasi yang sangat mudah ialah apabila ahli ke-n bagi jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula an = 2n 3 menentukan urutan: 1; satu; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n mentakrifkan jujukan: 1; satu; satu; satu; : : :

Tidak setiap set nombor adalah urutan. Jadi, segmen bukan urutan; ia mengandungi ¾terlalu banyak¿ nombor untuk dinomborkan semula. Set R semua nombor nyata juga bukan urutan. Fakta ini dibuktikan dalam perjalanan analisis matematik.

Janjang aritmetik: definisi asas

Sekarang kita bersedia untuk menentukan janjang aritmetik.

Definisi. Janjang aritmetik ialah jujukan di mana setiap sebutan (bermula dari yang kedua) adalah sama dengan jumlah sebutan sebelumnya dan beberapa nombor tetap (dipanggil perbezaan janjang aritmetik).

Sebagai contoh, urutan 2; 5; lapan; sebelas; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 2 dan beza 3. Urutan 7; 2; 3; lapan; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 7 dan beza 5. Urutan 3; 3; 3; : : : ialah janjang aritmetik dengan beza sifar.

Takrif setara: Jujukan an dipanggil janjang aritmetik jika perbezaan an+1 an ialah nilai malar (tidak bergantung pada n).

Janjang aritmetik dikatakan bertambah jika perbezaannya positif, dan menurun jika perbezaannya negatif.

1 Dan berikut ialah takrifan yang lebih ringkas: jujukan ialah fungsi yang ditakrifkan pada set nombor asli. Sebagai contoh, urutan nombor nyata ialah fungsi f: N! R.

Secara lalai, jujukan dianggap tidak terhingga, iaitu, mengandungi set tak terhingga nombor. Tetapi tiada siapa yang peduli untuk mempertimbangkan urutan terhingga juga; sebenarnya, sebarang set nombor terhingga boleh dipanggil urutan terhingga. Sebagai contoh, urutan akhir satu; 2; 3; empat; 5 terdiri daripada lima nombor.

Formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik

Adalah mudah untuk memahami bahawa janjang aritmetik ditentukan sepenuhnya oleh dua nombor: sebutan pertama dan perbezaan. Oleh itu, persoalan timbul: bagaimana, mengetahui sebutan pertama dan perbezaan, mencari sebutan arbitrari bagi janjang aritmetik?

Tidak sukar untuk mendapatkan formula yang dikehendaki bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Biarkan an

janjang aritmetik dengan beza d. Kami ada:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Khususnya, kami menulis:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dan kini menjadi jelas bahawa formula untuk a ialah:
an = a1 + (n 1)d:

Tugasan 1. Dalam janjang aritmetik 2; 5; lapan; sebelas; : : : cari rumus sebutan ke-n dan hitung sebutan keseratus.

Penyelesaian. Menurut formula (1) kita mempunyai:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda janjang aritmetik

sifat sesuatu janjang aritmetik. Dalam janjang aritmetik an untuk sebarang

Dalam erti kata lain, setiap ahli janjang aritmetik (bermula dari yang kedua) ialah min aritmetik ahli jiran.

	Bukti. Kami ada:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

iaitu yang dikehendaki.

Lagi secara umum, janjang aritmetik an memenuhi kesamaan

a n = a n k+ a n+k

untuk sebarang n > 2 dan sebarang k semula jadi< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata formula (2) bukan sahaja perlu, tetapi juga keadaan yang mencukupi bahawa jujukan itu ialah janjang aritmetik.

Tanda janjang aritmetik. Jika kesamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka urutan an ialah janjang aritmetik.

Bukti. Mari kita tulis semula formula (2) seperti berikut:

a na n 1= a n+1a n:

Ini menunjukkan bahawa beza an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya bermakna urutan an ialah janjang aritmetik.

Sifat dan tanda janjang aritmetik boleh dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kemudahan, kami akan melakukan ini untuk tiga nombor (ini adalah situasi yang sering berlaku dalam masalah).

Pencirian janjang aritmetik. Tiga nombor a, b, c membentuk janjang aritmetik jika dan hanya jika 2b = a + c.

Masalah 2. (Universiti Negara Moscow, Fakulti Ekonomi, 2007) Tiga nombor 8x, 3 x2 dan 4 dalam susunan yang ditentukan membentuk janjang aritmetik yang semakin berkurangan. Cari x dan tuliskan perbezaan janjang ini.

Penyelesaian. Dengan sifat janjang aritmetik, kita mempunyai:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jika x = 1, maka janjang menurun sebanyak 8, 2, 4 diperoleh dengan perbezaan 6. Jika x = 5, maka janjang meningkat sebanyak 40, 22, 4 diperolehi; kes ini tidak berjaya.

Jawapan: x = 1, bezanya ialah 6.

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Legenda mengatakan bahawa pernah guru memberitahu kanak-kanak untuk mencari jumlah nombor dari 1 hingga 100 dan duduk membaca surat khabar dengan senyap. Namun, dalam beberapa minit, seorang budak lelaki berkata bahawa dia telah menyelesaikan masalah itu. Ia adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, kemudiannya salah seorang ahli matematik terhebat dalam sejarah.

Idea Gauss kecil adalah ini. biarlah

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Jom tulis jumlah ini dalam susunan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambah dua formula ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap sebutan dalam kurungan adalah bersamaan dengan 101, dan jumlahnya terdapat 100 sebutan sedemikian. Oleh itu

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan idea ini untuk mendapatkan formula jumlah

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Pengubahsuaian berguna bagi formula (3) diperoleh dengan menggantikan formula bagi sebutan ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

		2a1 + (n 1)d

Tugasan 3. Cari hasil tambah semua nombor tiga digit positif yang boleh dibahagi dengan 13.

Penyelesaian. Nombor tiga digit, gandaan 13, membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama 104 dan beza 13; Sebutan ke-n janjang ini ialah:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita ketahui berapa ramai ahli yang terkandung dalam perkembangan kita. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan ketidaksamaan:

sebuah 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Jadi terdapat 69 ahli dalam perkembangan kami. Menurut formula (4) kita dapati jumlah yang diperlukan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Sebelum kita mula membuat keputusan masalah janjang aritmetik, pertimbangkan apa itu jujukan nombor, kerana janjang aritmetik ialah kes istimewa urutan nombor.

Urutan nombor ialah set nombor, setiap elemen mempunyai sendiri nombor siri . Unsur-unsur set ini dipanggil ahli jujukan. Nombor ordinal unsur jujukan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama urutan;

Unsur kelima jujukan;

- elemen "nth" bagi jujukan, i.e. elemen "berdiri dalam barisan" pada nombor n.

Terdapat pergantungan antara nilai unsur jujukan dan nombor ordinalnya. Oleh itu, kita boleh menganggap jujukan sebagai fungsi yang hujahnya ialah nombor ordinal bagi unsur jujukan. Dalam erti kata lain, seseorang boleh mengatakan bahawa urutan adalah fungsi hujah semula jadi:

Urutan boleh ditentukan dalam tiga cara:

1 . Urutan boleh ditentukan menggunakan jadual. Dalam kes ini, kami hanya menetapkan nilai setiap ahli jujukan.

Sebagai contoh, Seseorang memutuskan untuk melakukan pengurusan masa peribadi, dan untuk memulakan, untuk mengira berapa banyak masa yang dia habiskan di VKontakte sepanjang minggu. Dengan menulis masa dalam jadual, dia akan mendapat urutan yang terdiri daripada tujuh elemen:

Baris pertama jadual mengandungi bilangan hari dalam seminggu, yang kedua - masa dalam minit. Kami melihat bahawa, iaitu, pada hari Isnin Seseorang menghabiskan 125 minit di VKontakte, iaitu, pada hari Khamis - 248 minit, dan, iaitu, pada hari Jumaat, hanya 15 minit.

2 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula ahli ke-n.

Dalam kes ini, pergantungan nilai unsur jujukan pada nombornya dinyatakan secara langsung sebagai formula.

Contohnya, jika , maka

Untuk mencari nilai unsur jujukan dengan nombor tertentu, kami menggantikan nombor unsur ke dalam formula untuk ahli ke-n.

Kita melakukan perkara yang sama jika kita perlu mencari nilai fungsi jika nilai hujah diketahui. Kami menggantikan nilai hujah sebaliknya dalam persamaan fungsi:

Jika, sebagai contoh, , kemudian

Sekali lagi, saya perhatikan bahawa dalam urutan, berbeza dengan sewenang-wenangnya fungsi angka, hujah hanya boleh menjadi nombor asli.

3 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula yang menyatakan pergantungan nilai ahli jujukan dengan nombor n pada nilai ahli sebelumnya. Dalam kes ini, tidak cukup untuk kita mengetahui bilangan ahli jujukan sahaja untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan ahli pertama atau beberapa ahli pertama jujukan.

Sebagai contoh, pertimbangkan urutan ,

Kita boleh mencari nilai ahli-ahli jujukan dalam urutan, bermula dari yang ketiga:

Iaitu, setiap kali untuk mencari nilai ahli ke-n jujukan, kita kembali kepada dua sebelumnya. Cara penjujukan ini dipanggil berulang, daripada perkataan Latin berulang- kembali.

Sekarang kita boleh menentukan janjang aritmetik. Janjang aritmetik ialah kes khas yang mudah bagi jujukan berangka.

Janjang aritmetik dipanggil urutan berangka, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama.

Nombor dipanggil perbezaan janjang aritmetik. Perbezaan janjang aritmetik boleh positif, negatif atau sifar.

Jika title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} semakin meningkat.

Sebagai contoh, 2; 5; lapan; sebelas;...

Jika , maka setiap sebutan janjang aritmetik adalah kurang daripada yang sebelumnya, dan janjangnya adalah amaran.

Sebagai contoh, 2; -satu; -empat; -7;...

Jika , maka semua ahli janjang adalah sama dengan nombor yang sama, dan janjangnya ialah pegun.

Contohnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama janjang aritmetik:

Jom tengok gambar.

Kita nampak itu

, dan pada masa yang sama

Menambah dua kesamaan ini, kita dapat:

.

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2:

Jadi, setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik dua yang berjiran:

Lebih-lebih lagi, kerana

, dan pada masa yang sama

, kemudian

, dan oleh itu

Setiap ahli janjang aritmetik bermula dengan tajuk="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula ahli ke.

Kami melihat bahawa untuk ahli janjang aritmetik, hubungan berikut berlaku:

dan akhirnya

Kami mendapat rumus sebutan ke-n.

PENTING! Mana-mana ahli janjang aritmetik boleh dinyatakan dalam sebutan dan . Mengetahui sebutan pertama dan perbezaan janjang aritmetik, anda boleh mencari mana-mana ahlinya.

Jumlah n ahli suatu janjang aritmetik.

Dalam janjang aritmetik arbitrari, jumlah sebutan yang sama jaraknya daripada yang melampau adalah sama antara satu sama lain:

Pertimbangkan janjang aritmetik dengan n ahli. Biarkan jumlah n ahli janjang ini sama dengan .

Susun istilah janjang dahulu dalam tertib nombor menaik, dan kemudian dalam tertib menurun:

Mari pasangkannya:

Jumlah dalam setiap kurungan ialah , bilangan pasangan ialah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n ahli janjang aritmetik boleh didapati menggunakan formula:

Pertimbangkan menyelesaikan masalah janjang aritmetik.

1 . Urutan diberikan oleh formula sebutan ke-n: . Buktikan bahawa jujukan ini ialah janjang aritmetik.

Mari kita buktikan bahawa beza antara dua ahli urutan yang bersebelahan adalah sama dengan nombor yang sama.

Kami telah memperoleh bahawa perbezaan dua ahli urutan yang bersebelahan tidak bergantung pada nombor mereka dan adalah pemalar. Oleh itu, mengikut definisi, jujukan ini ialah janjang aritmetik.

2 . Diberi janjang aritmetik -31; -27;...

a) Cari 31 sebutan janjang itu.

b) Tentukan sama ada nombor 41 termasuk dalam janjang ini.

a) Kami melihat bahawa;

Mari kita tulis formula untuk penggal ke-n untuk perkembangan kita.

Secara umum

Dalam kes kita , sebab tu

Kita mendapatkan:

b) Katakan nombor 41 adalah ahli urutan. Jom cari nombor dia. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan:

Kami mendapat nilai semula jadi n, oleh itu, ya, nombor 41 adalah ahli janjang. Jika nilai n yang ditemui tidak akan nombor asli, maka kami akan menjawab bahawa nombor 41 BUKAN ahli kemajuan.

3 . a) Di antara nombor 2 dan 8, masukkan 4 nombor supaya mereka, bersama-sama nombor yang diberi, membentuk satu janjang aritmetik.

b) Cari hasil tambah sebutan bagi janjang yang terhasil.

a) Mari masukkan empat nombor antara nombor 2 dan 8:

Kami mendapat janjang aritmetik, di mana terdapat 6 sebutan.

Mari cari perbezaan perkembangan ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula untuk sebutan ke-n:

Kini mudah untuk mencari nilai nombor:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Jawapan: a) ya; b) 30

4. Trak itu mengangkut sekumpulan batu hancur seberat 240 tan, setiap hari meningkatkan kadar pengangkutan dengan bilangan tan yang sama. Adalah diketahui bahawa 2 tan runtuhan telah diangkut pada hari pertama. Tentukan berapa tan batu hancur yang diangkut pada hari kedua belas jika semua kerja selesai dalam 15 hari.

Mengikut keadaan masalah, jumlah batu hancur yang diangkut oleh lori meningkat setiap hari dengan jumlah yang sama. Oleh itu, kita berurusan dengan janjang aritmetik.

Kami merumuskan masalah ini dari segi janjang aritmetik.

Pada hari pertama, 2 tan batu hancur telah diangkut: a_1=2.

Semua kerja selesai dalam 15 hari: .

Trak itu mengangkut sekumpulan batu hancur seberat 240 tan:

Kita perlu mencari.

Pertama, mari kita cari perbezaan perkembangan. Mari kita gunakan formula untuk jumlah n ahli janjang itu.

Dalam kes kami:

Masalah janjang aritmetik telah wujud sejak zaman purba. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian, kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Jadi, dalam salah satu papirus mesir purba, yang mempunyai kandungan matematik - papirus Rhind (abad XIX SM) - mengandungi tugas berikut: bahagikan sepuluh sukat roti kepada sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada sukatan.

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Jadi, Gipsicles of Alexandria (abad II, yang berjumlah banyak tugasan yang menarik dan menambah buku keempat belas kepada Elemen Euclid, merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik dengan bilangan ahli genap, jumlah ahli separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah ahli bahagian pertama dengan kuasa dua 1. /2 daripada bilangan ahli."

Urutan an dilambangkan. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Ia difahami sebagai diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan sedemikian dianggap semakin meningkat.

Janjang aritmetik dikatakan terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Pada sangat dalam jumlah yang banyak ahli sudah menjadi kemajuan yang tidak terhingga.

Sebarang janjang aritmetik diberikan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan itu benar sepenuhnya, iaitu sebaliknya: jika urutan diberikan oleh formula yang serupa, maka ini betul-betul janjang aritmetik, yang mempunyai sifat:

1. Setiap ahli janjang ialah min aritmetik bagi ahli sebelumnya dan yang seterusnya.
2. Sebaliknya: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan seterusnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan yang diberikan ialah janjang aritmetik. Kesamaan ini pada masa yang sama adalah tanda kemajuan, jadi ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana ahli jujukan, bermula dari ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang itu).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati dengan menggunakan formula berikut:

Sebagai contoh: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan anda menentukan ahli ke-n suatu janjang aritmetik melalui mana-mana ahli ke-knya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah ahli janjang aritmetik (dengan andaian n ahli pertama perkembangan terhingga) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain adalah sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung pada keadaan tugas dan data awal.

Siri asli sebarang nombor seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling mudah janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga satu geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.