Jumlah dan hasil darab punca-punca persamaan adalah sama. Bagaimana untuk mencari hasil tambah punca-punca persamaan

boleh didapati menggunakan pendaraban. Contohnya: 5+5+5+5+5+5=5x6. Mereka mengatakan tentang ungkapan sedemikian bahawa jumlah sebutan yang sama telah dilipat menjadi produk. Dan sebaliknya, jika kita membaca kesamaan ini dari kanan ke kiri, kita mendapat bahawa kita telah mengembangkan jumlah istilah yang sama. Begitu juga, anda boleh melipat hasil darab beberapa faktor yang sama 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Iaitu, bukannya mendarab enam pengganda yang sama 5x5x5x5x5x5 tulis 5 6 dan sebut "lima hingga kuasa keenam."

Ungkapan 5 6 ialah kuasa nombor, di mana:

5 - asas ijazah;

6 - eksponen.

Operasi di mana hasil darab faktor yang sama dilipat menjadi kuasa dipanggil eksponen.

DALAM Pandangan umum darjah dengan asas "a" dan eksponen "n" ditulis sebagai

Menaikkan nombor a kepada kuasa n bermakna mencari hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a

Jika asas darjah "a" ialah 1, maka nilai darjah untuk mana-mana n semula jadi akan sama dengan 1. Sebagai contoh, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Jika anda menaikkan nombor "a" naikkan kepada ijazah pertama, maka kita mendapat nombor a itu sendiri: a 1 = a

Jika anda menaikkan sebarang nombor ke darjah sifar, maka sebagai hasil pengiraan kita mendapat satu. a 0 = 1

Kuasa kedua dan ketiga nombor dianggap istimewa. Mereka datang dengan nama untuk mereka: ijazah kedua dipanggil kuasa dua nombor, ketiga - kiub nombor ini.

Sebarang nombor boleh dinaikkan kepada kuasa - positif, negatif atau sifar. Walau bagaimanapun, peraturan berikut tidak digunakan:

Apabila mencari darjah nombor positif, nombor positif diperoleh.

Apabila mengira sifar dalam ijazah semula jadi kita dapat sifar.

x m х n = x m + n

contohnya: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Kepada membahagikan kuasa dengan asas yang sama kita tidak menukar asas, tetapi menolak eksponen:

x m / x n \u003d x m - n , Di mana, m > n

cth: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Apabila mengira eksponen Kami tidak menukar asas, tetapi kami mendarabkan eksponen dengan satu sama lain.

(pada m )n = y m n

contohnya: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

contohnya: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Apabila melakukan pengiraan untuk eksponen bagi pecahan kita naikkan pengangka dan penyebut pecahan kepada kuasa yang diberikan

(x/y)n = x n / y n

contohnya: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Urutan melakukan pengiraan apabila bekerja dengan ungkapan yang mengandungi darjah.

Apabila melakukan pengiraan ungkapan tanpa kurungan, tetapi mengandungi kuasa, pertama sekali, eksponenisasi dilakukan, kemudian operasi pendaraban dan bahagi, dan hanya kemudian operasi penambahan dan penolakan.

Sekiranya perlu untuk menilai ungkapan yang mengandungi kurungan, maka pertama, dalam susunan yang ditunjukkan di atas, kami melakukan pengiraan dalam kurungan, dan kemudian tindakan yang selebihnya dalam susunan yang sama dari kiri ke kanan.

Sangat meluas dalam pengiraan praktikal, untuk memudahkan pengiraan, jadual darjah siap digunakan digunakan.

Dalam kesinambungan perbualan tentang darjah nombor, adalah logik untuk berurusan dengan mencari nilai darjah. Proses ini telah dinamakan eksponen. Dalam artikel ini, kita hanya akan mengkaji cara eksponenisasi dilakukan, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin - semula jadi, integer, rasional dan tidak rasional. Dan mengikut tradisi, kami akan mempertimbangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh menaikkan nombor ke pelbagai peringkat.

Navigasi halaman.

Apakah maksud "pengembangan"?

Mari kita mulakan dengan menerangkan apa yang dipanggil eksponensial. Berikut adalah definisi yang berkaitan.

Definisi.

Eksponensiasi adalah untuk mencari nilai kuasa suatu nombor.

Oleh itu, mencari nilai kuasa a dengan eksponen r dan menaikkan nombor a kepada kuasa r adalah perkara yang sama. Sebagai contoh, jika tugas itu adalah "kira nilai kuasa (0.5) 5", maka ia boleh dirumuskan semula seperti berikut: "Naikkan nombor 0.5 kepada kuasa 5".

Kini anda boleh pergi terus ke peraturan yang eksponenisasi dilakukan.

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi

Dalam amalan, kesaksamaan berdasarkan biasanya digunakan dalam bentuk . Iaitu, apabila menaikkan nombor a kepada kuasa pecahan m / n, punca darjah ke-n daripada nombor a mula-mula diekstrak, selepas itu hasilnya dinaikkan kepada kuasa integer m.

Pertimbangkan penyelesaian kepada contoh peningkatan kepada kuasa pecahan.

Contoh.

Kira nilai darjah.

Penyelesaian.

Kami menunjukkan dua penyelesaian.

Cara pertama. Mengikut takrif darjah dengan eksponen pecahan. Kami mengira nilai darjah di bawah tanda akar, selepas itu kami ekstrak akar kubus: .

Cara kedua. Mengikut takrifan darjah dengan eksponen pecahan dan berdasarkan sifat punca, kesamaan adalah benar . Sekarang ekstrak akar Akhirnya, kita naikkan kepada kuasa integer .

Jelas sekali, hasil yang diperoleh untuk meningkatkan kuasa pecahan bertepatan.

Jawapan:

Ambil perhatian bahawa eksponen pecahan boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan atau nombor bercampur, dalam kes ini ia harus digantikan dengan pecahan biasa yang sepadan, selepas itu eksponen hendaklah dilakukan.

Contoh.

Kira (44.89) 2.5 .

Penyelesaian.

Kami menulis eksponen dalam bentuk pecahan sepunya(jika perlu, lihat artikel): . Sekarang kita melakukan peningkatan kepada kuasa pecahan:

Jawapan:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Ia juga harus dikatakan bahawa menaikkan nombor kepada kuasa rasional adalah proses yang agak sukar (terutama apabila pengangka dan penyebut penunjuk pecahan ijazah sudah memadai nombor besar), yang biasanya dijalankan menggunakan teknologi komputer.

Sebagai kesimpulan perenggan ini, kita akan memikirkan pembinaan nombor sifar kepada kuasa pecahan. darjah pecahan sifar bentuk, kami memberikan makna berikut: kerana kami mempunyai , manakala sifar kepada kuasa m/n tidak ditakrifkan. Jadi sifar dalam pecahan darjah positif sama dengan sifar, contohnya, . Dan sifar dalam kuasa negatif pecahan tidak masuk akal, sebagai contoh, ungkapan dan 0 -4.3 tidak masuk akal.

Meningkatkan kuasa yang tidak rasional

Kadangkala ia menjadi perlu untuk mengetahui nilai darjah nombor dengan eksponen tidak rasional. Pada masa yang sama, dalam tujuan praktikal ia biasanya cukup untuk mendapatkan nilai darjah sehingga beberapa tanda. Kami segera ambil perhatian bahawa nilai ini dikira dalam amalan menggunakan teknologi pengkomputeran elektronik, sejak dinaikkan kepada ir darjah rasional secara manual memerlukan sebilangan besar pengiraan yang menyusahkan. Walau bagaimanapun, kami akan menerangkan secara umum intipati tindakan.

Untuk mendapatkan nilai anggaran kuasa a dengan eksponen tidak rasional, beberapa anggaran perpuluhan eksponen diambil dan nilai eksponen dikira. Nilai ini ialah nilai anggaran darjah nombor a dengan eksponen tidak rasional. Lebih tepat anggaran perpuluhan nombor diambil pada mulanya, lebih tepat nilai darjah pada akhirnya.

Sebagai contoh, mari kita hitung nilai anggaran kuasa 2 1.174367... . Ambil anggaran perpuluhan berikut penunjuk tidak rasional: . Sekarang kita naikkan 2 kepada kuasa rasional 1.17 (kami menerangkan intipati proses ini dalam perenggan sebelumnya), kita mendapat 2 1.17 ≈ 2.250116. Oleh itu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jika kita mengambil anggaran perpuluhan yang lebih tepat bagi eksponen tidak rasional, sebagai contoh, , maka kita mendapat nilai yang lebih tepat bagi darjah asal: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks Matematik Zh untuk 5 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk 7 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: buku teks untuk 9 sel. institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Algebra dan Permulaan Analisis: Buku Teks untuk Gred 10-11 Institusi Pendidikan Am.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik).

Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Ijazah dengan penunjuk negatif. Definisi dan contoh penyelesaian masalah"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda. Semua bahan disemak oleh program antivirus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian "Integral" untuk gred 8
Manual untuk buku teks Muravina G.K. Manual untuk buku teks Alimova Sh.A.

Menentukan darjah dengan eksponen negatif

Kawan-kawan, kita pandai meningkatkan angka ke satu kuasa.
Contohnya: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Kami tahu betul bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. $a^0=1$, $a≠0$.
Timbul persoalan, apa yang berlaku jika anda menaikkan nombor kepada kuasa negatif? Sebagai contoh, apakah nombor $2^(-2)$ sama dengan?
Ahli matematik pertama yang bertanya soalan ini memutuskan bahawa ia tidak berbaloi untuk mencipta semula roda, dan adalah baik bahawa semua sifat darjah kekal sama. Iaitu, apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, bilangan eksponen bertambah.
Mari kita pertimbangkan kes ini: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Kami mendapat bahawa hasil darab nombor tersebut harus memberikan perpaduan. Unit dalam hasil darab diperolehi dengan mendarab salingan, iaitu $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Penaakulan sedemikian membawa kepada definisi berikut.
Definisi. Jika $n$ nombor asli dan $а≠0$, maka kesamaan berikut berlaku: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Identiti penting yang sering digunakan: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Khususnya, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Contoh penyelesaian

Contoh 1
Kira: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Penyelesaian.
Mari kita pertimbangkan setiap istilah secara berasingan.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Ia kekal untuk melaksanakan operasi tambah dan tolak: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Jawapan: $6\frac(1)(4)$.

Contoh 2
Ungkapkan nombor yang diberi sebagai kuasa nombor perdana$\frac(1)(729)$.

Penyelesaian.
Jelas sekali $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tetapi 729 bukanlah nombor perdana yang berakhir dengan 9. Kita boleh mengandaikan bahawa nombor ini ialah kuasa tiga. Mari bahagikan 729 dengan 3 secara berurutan.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Enam operasi telah selesai, yang bermaksud: $729=3^6$.
Untuk tugas kami:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Jawapan: $3^(-6)$.

Contoh 3. Nyatakan ungkapan sebagai kuasa: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Penyelesaian. Operasi pertama sentiasa dilakukan di dalam kurungan, kemudian pendaraban $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Jawapan: $a$.

Contoh 4. Buktikan identiti:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Penyelesaian.
Di sebelah kiri, pertimbangkan setiap faktor dalam kurungan secara berasingan.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Mari kita beralih kepada pecahan yang kita bahagikan.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Mari buat pembahagian.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Kami memperoleh identiti yang betul, yang perlu dibuktikan.

Pada akhir pelajaran, kami akan menulis peraturan untuk tindakan dengan darjah sekali lagi, di sini eksponen ialah integer.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Tugas untuk penyelesaian bebas

1. Kira: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Wakilkan nombor yang diberi sebagai kuasa nombor perdana $\frac(1)(16384)$.
3. Ungkapkan ungkapan sebagai darjah:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Buktikan identiti:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.