Sifat sistem pembolehubah rawak bebas. Sistem pembolehubah rawak diskret

Selalunya, apabila mengkaji fenomena rawak, seseorang tidak perlu berurusan dengan satu pembolehubah rawak, tetapi dengan dua, tiga atau lebih. Kajian bersama bilangan terhingga pembolehubah rawak membawa kepada sistem pembolehubah rawak. Berikut adalah beberapa contoh sistem pembolehubah rawak:

• 1. Titik pendaratan pesawat ulang-alik Space Shuttle dicirikan oleh sistem tiga pembolehubah rawak: latitud (av), longitud (A,), ketinggian (H).
• 2. Kemajuan pelajar yang dipilih secara rawak dicirikan oleh sistem pembolehubah rawak - markah, dilekatkan dalam lampiran diploma.

Set tertib pembolehubah rawak >,

diberi pada ruang peristiwa asas dipanggil sistem n pembolehubah rawak. Adalah mudah untuk menganggapnya sebagai koordinat vektor rawak dalam ruang dimensi-n. Sistem n pembolehubah rawak ialah fungsi bagi peristiwa asas, i.e.

Setiap peristiwa asas diberikan n nombor nyata - nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak (X, X 2, ..., XJ sebagai hasil daripada eksperimen.

Pembolehubah rawak (X 1? X 2, ..., X) yang termasuk dalam sistem boleh menjadi diskret dan tidak diskret (berterusan dan bercampur). Semua definisi asas konsep satu pembolehubah rawak digunakan secara praktikal tanpa perubahan.

Pertimbangkan sistem dua pembolehubah rawak (X;Y). Konsep asasnya mudah digeneralisasikan kepada kes bilangan komponen yang lebih besar. Sistem dua pembolehubah rawak (X; Y) boleh diwakili oleh titik rawak pada satah OXY (Rajah 2.18) atau vektor rawak (Rajah 2.19).

Ciri lengkap sistem pembolehubah rawak ialah hukum taburannya, yang mempunyai pelbagai bentuk:

• matriks pengedaran;
• fungsi pengedaran;
• ketumpatan pengedaran.

Analog siri taburan pembolehubah rawak diskret X untuk sistem dua pembolehubah rawak (X, Y) ialah matriks taburan - jadual segi empat tepat di mana

kebarangkalian terletak

Peristiwa ialah hasil daripada peristiwa (X = x d)

dan (Y = y).

Matriks taburan dua pembolehubah rawak diskret mempunyai bentuk:

perasan, itu

Pada rajah. 2.20 menunjukkan graf taburan pembolehubah rawak diskret dua dimensi (X, Y).

Mengetahui matriks taburan pembolehubah rawak diskret dua dimensi (X,Y), adalah mungkin untuk menentukan siri taburan setiap komponen (sebaliknya secara amnya mustahil).

Formula yang diperlukan kelihatan seperti:

Formula paling universal untuk undang-undang taburan untuk sistem dua pembolehubah rawak ialah fungsi taburan, yang kita nyatakan F(x, y).

Fungsi taburan dua pembolehubah rawak (X, Y) ialah kebarangkalian pemenuhan bersama ketaksamaan: X x dan Y y, i.e.

Secara geometri F(x, y) ditafsirkan sebagai kebarangkalian bahawa titik rawak (X, Y) akan jatuh ke dalam segi empat sama tak terhingga dengan bucu pada ( x, y), yang terletak di sebelah kiri dan di bawahnya (Rajah 2.21).

Ambil perhatian bahawa sempadan atas dan kanan petak tidak termasuk di dalamnya.

Jika matriks taburan dua pembolehubah rawak diskret (2.49) diberikan, maka fungsi taburan pembolehubah rawak dua dimensi ditentukan oleh formula:

Mari kita kemukakan beberapa sifat bagi fungsi taburan pembolehubah rawak dua dimensi.

1. Set nilai fungsi pengedaran F(x, y) tergolong dalam segmen i.e.

2. Fungsi pengedaran F(x, y) ialah fungsi tidak menurun bagi kedua-dua hujahnya, i.e.

3. Jika sekurang-kurangnya satu daripada hujah fungsi taburan F(x, y) bertukar kepada -oo, maka fungsi pengedaran lenyap, i.e.

• 4. Jika kedua-dua hujah fungsi taburan F(x, y) bertukar menjadi + oo, maka ia menjadi sama dengan satu, iaitu F (+ oo, + oo) = 1.
• 5. Jika salah satu argumen fungsi taburan bertukar menjadi +oo, maka fungsi taburan sistem dua pembolehubah rawak menjadi fungsi taburan pembolehubah rawak yang sepadan dengan hujah lain, i.e.

di mana F x (x) dan F 2 (y) - fungsi taburan pembolehubah rawak X dan Y, masing-masing.

6. Fungsi taburan sistem dua pembolehubah rawak F(x, y) dibiarkan berterusan dalam setiap hujahnya, i.e.

Mengetahui fungsi pengagihan F(x, y), seseorang boleh mencari kebarangkalian untuk memukul titik rawak ( x, Y) ke dalam segi empat tepat G dengan sisi selari dengan paksi koordinat, dibatasi oleh absis a, b dan ordinat c dan d, dengan sempadan kiri dan bawah disertakan dalam G, manakala kanan dan atas tidak disertakan (Rajah 2.22).

Jika fungsi pengagihan F(x, y) adalah selanjar dan boleh dibezakan berkenaan dengan setiap hujah, maka sistem dua pembolehubah rawak (X, Y) adalah selanjar, dan komponen sistem ini adalah pembolehubah rawak selanjar.

Untuk pembolehubah rawak dua dimensi berterusan, konsep ketumpatan taburan (atau ketumpatan taburan bersama) diperkenalkan sebagai undang-undang taburan f(x, y), yang merupakan terbitan separa campuran kedua bagi fungsi taburan, i.e.

Ketumpatan pengedaran f(x, y) mewakili permukaan tertentu, yang dipanggil permukaan pengedaran (Rajah 2.23).

Ketumpatan pengedaran f(x, y) mempunyai sifat-sifat berikut:

• 1) ketumpatan taburan ialah fungsi bukan negatif, i.e. f(x, y) > 0;
• 2) isipadu yang dibatasi oleh permukaan pengedaran dan satah Oxy adalah sama dengan kesatuan, i.e.

3) kebarangkalian untuk memukul titik rawak (X, Y) di kawasan G ditentukan oleh formula

4) fungsi taburan sistem dua pembolehubah rawak (X, Y) dinyatakan dalam sebutan ketumpatan taburan bersama seperti berikut:

Seperti dalam kes satu pembolehubah rawak, kami memperkenalkan konsep elemen kebarangkalian untuk sistem dua pembolehubah rawak berterusan: f(x, y)dxdy.

Sehingga tertib lebih tinggi yang sangat kecil, elemen kebarangkalian f(x, y)dxdy adalah sama dengan kebarangkalian untuk memukul titik rawak (X, Y) dalam segi empat tepat asas dengan dimensi dx dan dy bersebelahan dengan satu titik (x, y)(Gamb. 2.24).

Kebarangkalian ini adalah lebih kurang sama dengan isi padu asas selari dengan ketinggian f(x, y), yang berdasarkan segi empat tepat yang diberi.

Ketumpatan taburan komponen satu dimensi X dan Y bagi pembolehubah rawak selanjar dua dimensi didapati oleh formula

Mengetahui ketumpatan taburan bersama pembolehubah rawak selanjar dua dimensi f(x, y), anda boleh mencari fungsi pengedaran setiap komponennya:

Jika hukum taburan pembolehubah rawak X dan Y yang termasuk dalam sistem (X, Y) diketahui, maka adalah mungkin untuk menentukan hukum taburan sistem hanya jika pembolehubah rawak X dan Y adalah bebas. Dua pembolehubah rawak X dan Y akan bebas hanya jika hukum taburan setiap pembolehubah tidak bergantung pada nilai yang diambil oleh yang lain. Jika tidak, nilai X dan Y akan bergantung.

Marilah kita membentangkan, tanpa bukti, syarat untuk kebebasan dua pembolehubah rawak.

Teorem 2.2. Agar dua pembolehubah rawak diskret X dan Y membentuk sistem (X, Y) menjadi bebas, adalah perlu dan mencukupi bahawa kesamaan

untuk Vi = 1, P dan j = 1, t.

Teorem 2.3. Agar pembolehubah rawak X dan Y termasuk dalam sistem (X, Y) menjadi bebas, adalah perlu dan mencukupi bahawa fungsi taburan sistem adalah sama dengan hasil darab fungsi taburan komponennya, i.e.

Teorem 2.4. Agar pembolehubah rawak selanjar X dan Y termasuk dalam sistem (X, Y) menjadi bebas, adalah perlu dan mencukupi bahawa kesamaan

iaitu, ketumpatan agihan bersama sistem (X, Y) mestilah sama dengan hasil darab ketumpatan agihan komponennya.

Sekiranya pembolehubah rawak X dan Y yang membentuk sistem adalah bersandar, untuk mencirikan pergantungan mereka, konsep undang-undang bersyarat taburan pembolehubah rawak diperkenalkan.

Kami tidak akan menyentuh undang-undang pengedaran bersyarat dalam manual ini. Mereka yang ingin boleh membiasakan diri dengan mereka, sebagai contoh, dalam.

Sama seperti satu pembolehubah rawak X, sistem dua pembolehubah rawak (X, Y) boleh ditentukan oleh ciri berangka. Oleh itu, momen awal dan tengah pelbagai pesanan biasanya digunakan.

Detik permulaan pesanan (kepada + s) sistem dua pembolehubah rawak (X dan Y) dipanggil jangkaan produk X k pada Y s , i.e.

Detik pusat pesanan (kepada+ s) sistem dua pembolehubah rawak (X, Y) dipanggil jangkaan matematik

berfungsi X k pada U®, i.e.

di mana berpusat rawak

kuantiti.

Ingat bahawa susunan momen awal dan pusat ialah jumlah indeksnya, i.e. (kepada+ s).

Kami membentangkan formula untuk mencari momen awal dan pusat.

Untuk sistem dua pembolehubah rawak diskret, kita ada
Ingat itu

Untuk sistem dua pembolehubah rawak berterusan, kami memperoleh

Dalam amalan, momen awal dan tengah pesanan pertama dan kedua paling kerap digunakan.

Terdapat dua momen awal bagi susunan pertama:

Ia adalah jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak X dan Y.

Titik dengan koordinat ( M[X], M[Y]) pada satah OXY - ciri kedudukan titik rawak (X, Y), iaitu, penyebarannya berlaku di sekitar titik (M[X, M[Y]).

Kedua-dua momen pusat susunan pertama adalah sama dengan sifar, i.e.

Terdapat tiga momen awal bagi susunan kedua:

Detik a 11 sering dijumpai dalam aplikasi. Daripada ungkapan (2.66) dan (2.68), formula untuk pengiraannya mengikut:

Untuk sistem dua pembolehubah rawak diskret

Untuk sistem dua pembolehubah rawak selanjar

Terdapat tiga momen pusat bagi urutan kedua:

Dua momen pertama dalam formula (2.74) ialah serakan. Dan saat itu { dipanggil kovarians, atau momen korelasi sistem pembolehubah rawak (X,Y). Ia mempunyai notasi khas K = K xy. Daripada ungkapan (2.67) dan (2.69), formula untuk pengiraannya mengikut:

Untuk sistem pembolehubah rawak diskret

Untuk sistem pembolehubah rawak selanjar

Detik tengah boleh dinyatakan dalam bentuk detik awal dan sebaliknya. Oleh itu, kovarians sering dinyatakan dalam sebutan momen awal.

iaitu, kovarians sistem dua pembolehubah rawak adalah sama dengan min hasil darabnya tolak hasil darab minnya.

Berikut adalah beberapa sifat kovarians:

1. Kovarians adalah simetri, iaitu, apabila indeks ditukar, ia tidak berubah:

2. Varians pembolehubah rawak ialah kovariansnya dengan dirinya sendiri, i.e.

3. Jika pembolehubah rawak X dan Y adalah bebas, maka kovarians adalah sifar:

Dimensi momen korelasi adalah sama dengan produk dimensi pembolehubah rawak X dan Y. Adalah lebih mudah untuk menggunakan pekali tanpa dimensi yang hanya mencirikan hubungan antara pembolehubah rawak X dan Y. Oleh itu, kovarians dibahagikan dengan hasil darab sisihan piawai a[X] x a[Y] dan pekali korelasi diperoleh:

Pekali ini mencirikan tahap pergantungan pembolehubah rawak X dan Y, dan bukan sebarang pergantungan, tetapi hanya linear. Bagi mana-mana dua pembolehubah rawak X dan Y, ketaksamaan

Sekiranya g hu= 0, maka tiada hubungan linear antara pembolehubah rawak X dan Y dan ia dipanggil tidak berkorelasi. Sekiranya g hu f 0, maka pembolehubah rawak X dan Y dipanggil berkorelasi.

Semakin hampir r kepada ±1, semakin rapat wujud hubungan linear antara pembolehubah rawak X dan Y. Jika r = ± 1, maka wujud hubungan linear berfungsi tegar antara pembolehubah rawak X dan Y.

Kebebasan pembolehubah rawak X dan Y membayangkan bukan korelasinya. Tetapi sebaliknya tidak benar dalam kes umum, iaitu, jika g hu= 0, maka ini hanya menunjukkan ketiadaan hubungan linear antara pembolehubah rawak. Mereka boleh disambungkan oleh pergantungan curvilinear.

Mari kita pertimbangkan contoh khusus.

Contoh 2.5

Matriks taburan sistem dua pembolehubah rawak diskret (X,Y) diberikan.

Cari ciri berangka sistem (X,Y): M[X], M[Y], D[X], D[Y], st[X], a[Y], K)