Sifat sudut bersebelahan bagi segi empat selari. segi empat selari dan sifatnya

Jajaran selari ialah segiempat yang sisi bertentangannya adalah selari berpasangan. Rajah berikut menunjukkan segi empat selari ABCD. Ia mempunyai sisi AB selari dengan sisi CD dan sisi BC selari dengan sisi AD.

Seperti yang anda duga, segiempat selari ialah segi empat cembung. Pertimbangkan sifat asas segi empat selari.

sifat selari

1. Dalam segi empat selari, sudut bertentangan dan sisi bertentangan adalah sama. Mari kita buktikan sifat ini - pertimbangkan segi empat selari yang ditunjukkan dalam rajah berikut.

Diagonal BD membahagikannya kepada dua segi tiga sama: ABD dan CBD. Mereka adalah sama di sisi BD dan dua sudut yang bersebelahan dengannya, kerana sudut yang terletak pada sekan BD ialah garis selari BC dan AD dan AB dan CD, masing-masing. Oleh itu, AB = CD dan
BC=AD. Dan daripada kesamaan sudut 1, 2,3 dan 4 ia mengikuti sudut A = sudut1 + sudut3 = sudut2 + sudut4 = sudut C.

2. Diagonal segi empat selari dibahagi dua oleh titik persilangan. Biarkan titik O ialah titik persilangan bagi pepenjuru AC dan BD bagi segi empat selari ABCD.

Kemudian segitiga AOB dan segitiga COD adalah sama antara satu sama lain, di sepanjang sisi dan dua sudut bersebelahan dengannya. (AB=CD kerana ia adalah sisi bertentangan bagi segi empat selari. Dan sudut1 = sudut2 dan sudut3 = sudut4 sebagai sudut bersilang pada persilangan garis AB dan CD oleh secan AC dan BD, masing-masing.) Ia berikutan bahawa AO = OC dan OB = OD, yang dan perlu dibuktikan.

Semua sifat utama digambarkan dalam tiga rajah berikut.

Konsep segi empat selari

Definisi 1

segi empat selari ialah segi empat di mana sisi bertentangan adalah selari antara satu sama lain (Rajah 1).

Gambar 1.

Paralelogram mempunyai dua sifat utama. Mari kita pertimbangkan mereka tanpa bukti.

Harta 1: Sisi bertentangan dan sudut segi empat selari adalah sama, masing-masing, antara satu sama lain.

Hartanah 2: Diagonal yang dilukis dalam segi empat selari dibahagi dua oleh titik persilangannya.

Ciri segi empat selari

Pertimbangkan tiga ciri segi empat selari dan bentangkannya dalam bentuk teorem.

Teorem 1

Jika dua sisi segiempat sama antara satu sama lain dan juga selari, maka segiempat ini akan menjadi segiempat selari.

Bukti.

Biarlah kita diberi segiempat $ ABCD$. Di mana $AB||CD$ dan $AB=CD$ Mari kita lukis pepenjuru $AC$ di dalamnya (Gamb. 2).

Rajah 2.

Pertimbangkan garis selari $AB$ dan $CD$ dan sekan mereka $AC$. Kemudian

\[\sudut CAB=\sudut DCA\]

seperti sudut bersilang.

Mengikut kriteria $I$ bagi kesamaan segi tiga,

kerana $AC$ ialah sisi sepunya mereka, dan $AB=CD$ mengikut andaian. Bermakna

\[\sudut DAC=\sudut ACB\]

Pertimbangkan garis $AD$ dan $CB$ dan pembahagiannya $AC$; dengan kesamaan terakhir sudut pensilang, kita memperoleh $AD||CB$.) Oleh itu, mengikut takrifan $1$, segi empat ini ialah segi empat selari.

Teorem telah terbukti.

Teorem 2

Jika sisi bertentangan bagi segiempat adalah sama, maka ia adalah segiempat selari.

Bukti.

Biarlah kita diberi segiempat $ ABCD$. Di mana $AD=BC$ dan $AB=CD$. Mari kita lukis pepenjuru $AC$ di dalamnya (Gamb. 3).

Rajah 3

Oleh kerana $AD=BC$, $AB=CD$ dan $AC$ ialah sisi biasa, maka dengan ujian kesamaan segitiga $III$,

\[\segitiga DAC=\segi tiga ACB\]

\[\sudut DAC=\sudut ACB\]

Pertimbangkan garis $AD$ dan $CB$ dan pemisahnya $AC$, dengan kesamaan terakhir sudut pensilang kita mendapat $AD||CB$ itu. Oleh itu, mengikut takrifan $1$, segiempat ini ialah segiempat selari.

\[\sudut DCA=\sudut CAB\]

Pertimbangkan garis $AB$ dan $CD$ dan pemisahnya $AC$, dengan kesamaan terakhir sudut bersilang kita mendapat $AB||CD$ itu. Oleh itu, mengikut Takrif 1, segiempat ini ialah segiempat selari.

Teorem telah terbukti.

Teorem 3

Jika pepenjuru yang dilukis dalam segiempat dibahagikan kepada dua bahagian yang sama dengan titik persilangannya, maka segiempat ini ialah segiempat selari.

Bukti.

Biarlah kita diberi segiempat $ ABCD$. Mari kita lukis pepenjuru $AC$ dan $BD$ di dalamnya. Biarkan mereka bersilang pada titik $O$ (Rajah 4).

Rajah 4

Oleh kerana, dengan syarat $BO=OD,\ AO=OC$, dan sudut $\angle COB=\angle DOA$ adalah menegak, maka, dengan ujian kesamaan segitiga $I$,

\[\segitiga BOC=\segi tiga AOD\]

\[\sudut DBC=\sudut BDA\]

Pertimbangkan garis $BC$ dan $AD$ dan sekan mereka $BD$, dengan kesamaan terakhir sudut pensilang kita mendapat $BC||AD$ itu. Juga $BC=AD$. Oleh itu, dengan Teorem $1$, segiempat ini ialah segiempat selari.

Rangka pelajaran.

Algebra Darjah 8

Cikgu Sysoi A.K.

Sekolah 1828

Topik pelajaran: "Paralelogram dan sifatnya"

Jenis pelajaran: digabungkan

Objektif Pelajaran:

1) Pastikan asimilasi konsep baru - segi empat selari dan sifatnya

2) Terus membangunkan kemahiran dan kebolehan untuk menyelesaikan masalah geometri;

3) Perkembangan budaya pertuturan matematik

Pelan pembelajaran:

1. Detik organisasi

(Slaid 1)

Slaid menunjukkan pernyataan Lewis Carroll. Pelajar dimaklumkan tentang tujuan pengajaran. Kesediaan pelajar untuk pelajaran disemak.

2. Mengemas kini pengetahuan

(Slaid 2)

Di papan tugasan untuk kerja lisan. Guru mengajak murid berfikir tentang masalah ini dan mengangkat tangan kepada mereka yang memahami cara menyelesaikan masalah tersebut. Selepas menyelesaikan dua masalah, seorang pelajar dipanggil ke papan untuk membuktikan teorem pada jumlah sudut, yang secara bebas membuat pembinaan tambahan pada lukisan dan membuktikan teorem secara lisan.

Pelajar menggunakan formula untuk jumlah sudut poligon:

3. Badan utama

(Slaid 3)

Di papan tulis ialah definisi segi empat selari. Guru bercakap tentang tokoh baru dan merumuskan definisi, membuat penjelasan yang diperlukan menggunakan lukisan. Kemudian, pada bahagian pembentangan yang berkotak-kotak, menggunakan penanda dan pembaris, menunjukkan cara melukis selari (beberapa kes mungkin)

(Slaid 4)

Guru merumuskan sifat pertama segi empat selari. Menjemput pelajar menyatakan, mengikut gambar, apa yang diberi dan apa yang perlu dibuktikan. Selepas itu, tugasan yang diberikan muncul di papan tulis. Pelajar meneka (mungkin dengan bantuan guru) bahawa kesamaan yang diingini mesti dibuktikan melalui kesamaan segi tiga, yang boleh diperolehi dengan melukis pepenjuru (pepenjuru muncul di papan tulis). Seterusnya, pelajar meneka mengapa segi tiga adalah sama dan memanggil tanda kesamaan segitiga (bentuk yang sepadan muncul). Menyampaikan secara lisan fakta yang diperlukan untuk kesamaan segi tiga (seperti yang mereka namakan, visualisasi yang sepadan muncul). Seterusnya, pelajar merumuskan sifat segi tiga sama, ia muncul dalam bentuk titik 3 pembuktian dan kemudian secara bebas melengkapkan pembuktian teorem secara lisan.

(Slaid 5)

Guru merumus sifat kedua segi empat selari. Lukisan segi empat selari muncul di papan tulis. Guru menawarkan untuk mengatakan dari gambar apa yang diberi, apa yang perlu dibuktikan. Selepas pelajar melaporkan dengan betul apa yang diberikan dan apa yang perlu dibuktikan, keadaan teorem muncul. Pelajar meneka bahawa kesamaan bahagian pepenjuru boleh dibuktikan melalui kesamaan segi tigaAOB dan COD. Menggunakan sifat sebelumnya bagi segi empat selari, teka tentang kesamaan sisiAB dan CD. Kemudian mereka memahami bahawa adalah perlu untuk mencari sudut yang sama dan, menggunakan sifat garis selari, mereka membuktikan kesamaan sudut yang bersebelahan dengan sisi yang sama. Peringkat-peringkat ini digambarkan pada slaid. Kebenaran teorem berikut dari kesamaan segitiga - pelajar menyebut visualisasi yang sepadan pada slaid.

(Slaid 6)

Guru merumus sifat ketiga segi empat selari. Bergantung pada masa yang tinggal sehingga akhir pelajaran, guru boleh memberi peluang kepada pelajar untuk membuktikan harta ini sendiri, atau menghadkannya kepada perumusannya, dan menyerahkan bukti itu sendiri kepada pelajar sebagai kerja rumah. Buktinya boleh berdasarkan jumlah sudut poligon bertulis, yang diulang pada permulaan pelajaran, atau pada hasil tambah sudut sebelah dalam untuk dua garis selariAD dan BC, dan sekan, sebagai contohAB.

4. Membetulkan bahan

Pada peringkat ini, pelajar, menggunakan teorem yang telah dipelajari sebelum ini, menyelesaikan masalah. Idea untuk menyelesaikan masalah dipilih oleh pelajar sendiri. Memandangkan terdapat banyak pilihan reka bentuk yang mungkin dan semuanya bergantung pada cara pelajar mencari penyelesaian kepada masalah tersebut, tiada visualisasi penyelesaian kepada masalah tersebut, dan pelajar secara bebas melukis setiap peringkat penyelesaian pada papan yang berasingan. dengan penyelesaian yang ditulis dalam buku nota.

(Slaid 7)

Keadaan tugas muncul. Guru mencadangkan rumusan “Diberi” mengikut syarat. Selepas pelajar menulis syarat dengan betul, "Diberikan" muncul di papan tulis. Proses penyelesaian masalah mungkin kelihatan seperti ini:

Lukis ketinggian BH (diberikan)

Segitiga AHB ialah segi tiga tegak. Sudut A adalah sama dengan sudut C dan adalah sama dengan 30 0 (dengan sifat sudut bertentangan dalam segi empat selari). 2BH =AB (mengikut sifat kaki yang bertentangan dengan sudut 30 0 dalam segi tiga tegak). Jadi AB = 13 cm.

AB \u003d CD, BC \u003d AD (dengan sifat sisi bertentangan dalam segi empat selari) Jadi AB \u003d CD \u003d 13cm. Oleh kerana perimeter segi empat selari ialah 50 cm, maka BC \u003d AD \u003d (50 - 26): 2 \u003d 12 cm.

Jawapan: AB=CD=13cm, BC=AD=12cm.

(Slaid 8)

Keadaan tugas muncul. Guru mencadangkan rumusan “Diberi” mengikut syarat. Kemudian "Dano" muncul pada skrin. Dengan bantuan garis merah, segi empat dipilih, yang mana anda perlu membuktikan bahawa ia adalah selari. Proses penyelesaian masalah mungkin kelihatan seperti ini:

Kerana BK dan MD adalah berserenjang dengan garis yang sama, kemudian garis BK dan MD adalah selari.

Melalui sudut bersebelahan, dapat ditunjukkan bahawa jumlah sudut sebelah dalam bagi garis BM dan KD dan MD sekan ialah 180 0 . Oleh itu, garisan ini selari.

Oleh kerana sisi bertentangan BMDK segiempat adalah selari berpasangan, segiempat ini ialah segiempat selari.

5. Akhir pelajaran. tingkah laku hasil.

(Slaid 8)

Soalan mengenai topik baharu muncul pada slaid, yang pelajar menjawabnya.

Institusi pendidikan belanjawan perbandaran

sekolah menengah Savinskaya

Kerja penyelidikan

Paralelogram dan sifat baharunya

Dilakukan oleh: pelajar gred 8B

sekolah menengah MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 tahun

Ketua: guru matematik

Tulchevskaya N.A.

Savino

Wilayah Ivanovo, Rusia

2016

saya. Pendahuluan _____________________________________________ halaman 3

II. Daripada sejarah segi empat selari ______________________________________halaman 4

III Sifat tambahan bagi segi empat selari ____________________halaman 4

IV. Bukti hartanah ______________________________________ halaman 5

V. Menyelesaikan masalah menggunakan sifat tambahan __________halaman 8

VI. Aplikasi sifat segi empat selari dalam kehidupan ___________________muka surat 11

VII. Kesimpulan _________________________________________________ muka surat 12

VIII. Sastera _________________________________________________ halaman 13

pengenalan

"Antara fikiran yang sama

di persamaan syarat lain

lebih tinggi daripada mereka yang tahu geometri"

(Blaise Pascal).

Semasa mempelajari topik "Paralelogram" dalam pelajaran geometri, kami mempertimbangkan dua sifat segi empat selari dan tiga ciri, tetapi apabila kami mula menyelesaikan masalah, ternyata ini tidak mencukupi.

Saya mempunyai soalan, adakah segi empat selari mempunyai sifat lain, dan bagaimana ia akan membantu dalam menyelesaikan masalah.

Dan saya memutuskan untuk mengkaji sifat tambahan segi empat selari dan menunjukkan bagaimana ia boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah.

Subjek kajian : segi empat selari

Objek kajian : sifat segi empat selari
Objektif:

perumusan dan pembuktian sifat tambahan segi empat selari yang tidak dipelajari di sekolah;

aplikasi sifat-sifat ini untuk menyelesaikan masalah.

Tugasan:

Untuk mengkaji sejarah segi empat selari dan sejarah perkembangan sifatnya;

Cari literatur tambahan mengenai isu yang dikaji;

Kaji sifat tambahan segi empat selari dan buktikan;

Tunjukkan aplikasi sifat ini untuk menyelesaikan masalah;

Pertimbangkan aplikasi sifat segi empat selari dalam kehidupan.
Kaedah penyelidikan:

Bekerja dengan pendidikan dan saintifik - kesusasteraan popular, sumber Internet;

Kajian bahan teori;

Pemilihan pelbagai tugasan yang boleh diselesaikan menggunakan sifat tambahan selari;

Pemerhatian, perbandingan, analisis, analogi.

Tempoh pengajian : 3 bulan: Januari-Mac 2016

1. Daripada sejarah segi empat selari

Dalam buku teks geometri, kita membaca definisi segi empat selari berikut: Jajaran selari ialah segiempat yang sisi bertentangannya selari secara berpasangan.

Perkataan "paralelogram" diterjemahkan sebagai "garis selari" (daripada perkataan Yunani Parallelos - selari dan gramme - garis), istilah ini diperkenalkan oleh Euclid. Dalam bukunya The Elements, Euclid membuktikan sifat segi empat selari berikut: sisi bertentangan dan sudut selari adalah sama, dan pepenjuru membelahnya. Euclid tidak menyebut titik persilangan segiempat selari. Hanya pada penghujung Zaman Pertengahan, teori selari yang lengkap telah dibangunkan. Dan hanya pada abad ke-17, teorem selari muncul dalam buku teks, yang dibuktikan menggunakan teorem Euclid mengenai sifat-sifat selari.

III Sifat tambahan segi empat selari

Dalam buku teks geometri, hanya 2 sifat segi empat selari diberikan:

Sudut dan sisi bertentangan adalah sama

Diagonal bagi segi empat selari bersilang dan titik persilangan dibelah dua

Dalam pelbagai sumber mengenai geometri, sifat tambahan berikut boleh didapati:

Jumlah sudut bersebelahan bagi segi empat selari ialah 180 0

Pembahagi dua sudut bagi segi empat selari memotong segi tiga sama kaki daripadanya;

Pembahagi dua sudut bertentangan bagi segi empat selari terletak pada garis selari;

Pembelah dua sudut bersebelahan bagi segi empat selari bersilang pada sudut tepat;

Pembahagi dua bagi semua sudut selari membentuk segi empat tepat apabila ia bersilang;

Jarak dari sudut bertentangan bagi segi empat selari ke satu dan pepenjuru yang sama adalah sama.

Jika anda menyambungkan bucu bertentangan dalam segi empat selari dengan titik tengah sisi bertentangan, anda mendapat selari yang lain.

Jumlah kuasa dua pepenjuru segi empat selari adalah sama dengan dua kali ganda hasil tambah kuasa dua sisi bersebelahannya.

Jika kita melukis ketinggian dari dua sudut bertentangan dalam segi empat selari, kita mendapat segi empat tepat.

IV Bukti sifat segi empat selari

Jumlah sudut bersebelahan bagi segi empat selari ialah 180 0

Diberi:

ABCD ialah segi empat selari

Buktikan:

A+
B=

Bukti:

A dan
B - sudut sebelah dalam dengan garis lurus selari BC AD dan sekan AB, jadi
A+
B=

2

Diberi: ABCD - segi empat selari,

AK -pembahagi dua
TAPI.

Buktikan: AVK - sama kaki

Bukti:

1)
1=
3 (bersilang dengan BC AD dan sekan AK ),

2)
2=
3 kerana AK ialah pembahagi dua,

bermakna 1=
2.

3) ABK ialah sama kaki kerana 2 sudut segitiga adalah sama

. Pembahagi dua sudut bagi segi empat selari memotong segi tiga sama kaki daripadanya

3

Diberi: ABCD ialah segiempat selari

AK ialah pembahagi dua bagi A,

СР ialah pembahagi dua bagi C.

Buktikan: AK ║ SR

Bukti:

1) 1=2 sejak AK-bisector

2) 4=5 kerana SR - pembahagi dua

3) 3=1 (sudut silang pada

SM ║ AD dan AK-secant),

4) A \u003d C (dengan sifat segi empat selari), yang bermaksud 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) Daripada perenggan 3 dan 4 ia mengikuti bahawa 1 = 4, dan sudut-sudut ini sepadan dengan garis lurus AK dan SR dan BC sekan,

oleh itu, AK ║ SR (berdasarkan garis selari)

. Pembahagi dua sudut bertentangan bagi segi empat selari terletak pada garis selari

Pembahagi dua sudut bersebelahan bagi segi empat selari bersilang pada sudut tegak

Diberi: ABCD - segi empat selari,

pembahagi dua AC,

DP-bisektor D

Buktikan: DP AK.

Bukti:

1) 1=2, kerana AK - pembahagi dua

Biarkan 1=2=x, kemudian A=2x,

2) 3=4, kerana D P - pembahagi dua

Biarkan 3=4=y, kemudian D=2y

3) A + D \u003d 180 0, kerana jumlah sudut bersebelahan bagi segi empat selari ialah 180

2) Pertimbangkan A OD

1+3=90 0 kemudian
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Pembahagi dua bagi semua sudut selari membentuk segi empat tepat apabila ia bersilang

Diberi: ABCD - segi empat selari, AK-bisektor A,

DP-bisektor D,

CM ialah pembahagi bagi C,

BF -pembahagi dua B .

Buktikan: KRNS -segi empat tepat

Bukti:

Berdasarkan sifat sebelumnya 8=7=6=5=90 0 ,

bermakna KRNS ialah segi empat tepat.

Jarak dari sudut bertentangan bagi segi empat selari ke satu dan pepenjuru yang sama adalah sama.

Diberi: ABCD-paralelogram, AC-pepenjuru.

VC AU, D.P. AC

Buktikan: BK=DP

Bukti: 1) DCP \u003d KAB, sebagai bersilang dalaman terletak pada AB ║ CD dan AC sekan.

2) AKB= CDP (di sepanjang sisi dan dua penjuru bersebelahan dengannya AB=CD CD P=AB K).

Dan dalam segi tiga yang sama, sisi yang sepadan adalah sama, jadi DP \u003d BK.

Jika anda menyambungkan bucu bertentangan dalam segi empat selari dengan titik tengah sisi bertentangan, anda mendapat selari yang lain.

Diberi: segi empat selari ABCD.

Buktikan: VKDP ialah segi empat selari.

Bukti:

1) BP=KD (AD=BC, titik K dan P

belah bahagian ini)

2) BP ║ KD (berbohong pada AD SM)

Jika sisi bertentangan bagi segiempat adalah sama dan selari, maka segiempat ini ialah segiempat selari.

Jika kita melukis ketinggian dari dua sudut bertentangan dalam segi empat selari, kita mendapat segi empat tepat.

Jumlah kuasa dua pepenjuru segi empat selari adalah sama dengan dua kali ganda hasil tambah kuasa dua sisi bersebelahannya.

Diberi: ABCD ialah segiempat selari. BD dan AC ialah pepenjuru.

Buktikan: AC 2 + BD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Bukti: 1)TANYA: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (mengikut teorem Pythagoras)

3) AC ²+ BD ²=SC²+A K²+B Р²+РD ²

4) SK = BP = H(tinggi )

5) AC 2 +VD 2 = H 2 + A Kepada 2 + H 2 +PD 2

6) biarlah D K=A P=x, kemudian C KepadaD : H 2 = CD 2 - X 2 mengikut teorem Pythagoras )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ²=2CD 2 -2x 2 + A Kepada 2 +PD 2

8) A Kepada=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ ATD²=2 DARID²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ ATD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 + AD 2 ).

V . Menyelesaikan masalah menggunakan sifat ini

Titik persilangan pembahagi dua sudut segi empat selari yang bersebelahan dengan satu sisi tergolong dalam sisi bertentangan. Sisi yang lebih pendek bagi segi empat selari ialah 5 . Cari sisi besarnya.

Diberi: ABCD ialah segi empat selari,

AK - pembahagi dua
TAPI,

D K - pembahagi dua
D, AB=5

Cari: matahari

penyelesaian

Penyelesaian

Kerana AK - pembahagi dua
A, maka ABC ialah sama kaki.

Kerana D K - pembahagi dua
D , kemudian DCK - sama kaki

DC \u003d C K \u003d 5

Kemudian, VS=VK+SK=5+5 = 10

Jawapan: 10

2. Cari perimeter segiempat selari jika pembahagi dua bagi salah satu sudutnya membahagi sisi segiempat selari kepada segmen 7 cm dan 14 cm.

1 kes

Diberi:
TETAPI,

VK=14 cm, KS=7 cm

Cari: R segi empat selari

Penyelesaian

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Kerana AK - pembahagi dua
A, maka ABC ialah sama kaki.

AB=BK=14cm

Kemudian P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

berlaku

Diberi: ABCD ialah segi empat selari,

D K - pembahagi dua
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

Cari: R segi empat selari

Penyelesaian

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Kerana D K - pembahagi dua
D , kemudian DCK - sama kaki

DC \u003d C K \u003d 7

Kemudian, P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

Jawapan: 70cm atau 56cm

3. Sisi segi empat selari ialah 10 cm dan 3 cm.Pembahagi dua sudut yang bersebelahan dengan sisi yang lebih besar membahagikan sisi bertentangan kepada tiga bahagian. Cari segmen ini.

1 kes: pembahagi dua bersilang di luar segi empat selari

Diberi: ABCD - segi empat selari, AK - pembahagi dua
TETAPI,

D K - pembahagi dua
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Cari: BM, MN, NC

Penyelesaian

Kerana AM - pembahagi dua
Dan, kemudian AVM adalah sama kaki.

Kerana DN - pembahagi dua
D , kemudian DCN - sama kaki

DC=CN=3

Kemudian, MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 kes: pembahagi dua bersilang di dalam segi empat selari

Kerana AN - pembahagi dua
A, maka ABN ialah sama kaki.

AB=BN = 3 D

Dan gril gelongsor - bergerak ke jarak yang diperlukan di ambang pintu

Mekanisme segi empat selari- mekanisme empat pautan, pautannya membentuk segi empat selari. Ia digunakan untuk melaksanakan pergerakan translasi mekanisme berengsel.

Paralelogram dengan pautan tetap- satu pautan tidak bergerak, yang bertentangan membuat gerakan goyang, kekal selari dengan yang tidak bergerak. Dua segi empat selari disambungkan satu di belakang yang lain memberikan pautan terakhir dua darjah kebebasan, meninggalkannya selari dengan yang tetap.

Contoh: pengelap cermin depan bas, forklift, tripod, penyangkut, penyangkut kereta.

Paralelogram dengan engsel tetap- sifat segi empat selari digunakan untuk mengekalkan nisbah malar jarak antara tiga titik. Contoh: melukis pantograf - peranti untuk lukisan skala.

Ketupat- semua pautan adalah sama panjang, pendekatan (penguncupan) sepasang engsel bertentangan membawa kepada pengembangan dua engsel yang lain. Semua pautan berfungsi dalam pemampatan.

Contohnya ialah bicu berlian kereta, pantograf trem.

gunting atau Mekanisme berbentuk X, juga dikenali sebagai Gunting Nuremberg- varian rombus - dua pautan disambungkan di tengah dengan engsel. Kelebihan mekanisme adalah kekompakan dan kesederhanaan, kelemahannya ialah kehadiran dua pasang gelongsor. Dua (atau lebih) mekanisme sedemikian, disambung secara bersiri, membentuk rombus (s) di tengah. Ia digunakan dalam lif, mainan kanak-kanak.

VII Kesimpulan

Siapa yang terlibat dalam matematik sejak kecil,

dia mengembangkan perhatian, melatih otaknya,

kehendak sendiri, memupuk ketabahan

dan ketabahan dalam mencapai matlamat

A. Markushevich

Dalam perjalanan kerja, saya membuktikan sifat tambahan segi empat selari.

Saya yakin bahawa dengan menggunakan sifat ini, anda boleh menyelesaikan masalah dengan lebih cepat.

Saya menunjukkan bagaimana sifat ini digunakan pada contoh penyelesaian masalah tertentu.

Saya belajar banyak tentang segi empat selari yang tiada dalam buku teks geometri kami

Saya yakin bahawa pengetahuan tentang geometri sangat penting dalam kehidupan melalui contoh-contoh mengaplikasikan sifat segi empat selari.

Tujuan kerja penyelidikan saya telah tercapai.

Kepentingan pengetahuan matematik dibuktikan oleh fakta bahawa hadiah telah ditetapkan untuk orang yang menerbitkan buku tentang seseorang yang telah menjalani sepanjang hidupnya tanpa bantuan matematik. Tiada siapa yang menerima anugerah ini setakat ini.

VIII kesusasteraan

1. Pogorelov A.V. Geometri 7-9: buku teks untuk pendidikan am. institusi-M.: Pendidikan, 2014

   L.S. Atanasyan dan lain-lain. Geometri. Tambah. Bab kepada buku teks 8 sel: buku teks. elaun untuk pelajar sekolah dan kelas dengan pendalaman. pengajian matematik. – M.: Vita-press, 2003

   sumber Internet

   Bahan Wikipedia

Jajaran selari ialah segiempat yang sisi bertentangannya selari secara berpasangan. Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab tapaknya (a) dan tingginya (h). Anda juga boleh mencari kawasannya melalui dua sisi dan sudut dan melalui pepenjuru.

sifat selari

1. Sisi bertentangan adalah sama.

Pertama sekali, lukis pepenjuru \(AC \) . Dua segi tiga diperolehi: \(ABC \) dan \(ADC \) ​​​​.

Oleh kerana \(ABCD \) ialah segiempat selari, yang berikut adalah benar:

\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \) seperti baring.

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) seperti baring.

Oleh itu, (atas asas kedua: dan \(AC\) adalah perkara biasa).

Dan oleh itu, \(\segitiga ABC = \segi tiga ADC \), kemudian \(AB = CD \) dan \(AD = BC \) .

2. Sudut bertentangan adalah sama.

Mengikut bukti sifat 1 Kami tahu itu \(\sudut 1 = \sudut 2, \sudut 3 = \sudut 4 \). Jadi jumlah sudut yang bertentangan adalah: \(\sudut 1 + \sudut 3 = \sudut 2 + \sudut 4 \). Memandangkan itu \(\segitiga ABC = \segi tiga ADC \) kita dapat \(\sudut A = \sudut C \) , \(\sudut B = \sudut D \) .

3. pepenjuru dibahagi dua oleh titik persilangan.

Oleh harta 1 kita tahu bahawa sisi bertentangan adalah sama: \(AB = CD \) . Sekali lagi kita perhatikan sudut yang sama terletak bersilang.

Oleh itu, ia dilihat bahawa \(\segitiga AOB = \segi tiga COD \) mengikut kriteria kedua untuk kesamaan segi tiga (dua sudut dan satu sisi di antara mereka). Iaitu, \(BO = OD \) (bertentangan dengan bucu \(\angle 2 \) dan \(\angle 1 \) ) dan \(AO = OC \) (bertentangan dengan bucu \(\angle 3 \) dan \( \sudut 4 \) masing-masing).

Ciri segi empat selari

Sekiranya hanya satu tanda yang terdapat dalam masalah anda, maka angka itu ialah segi empat selari dan anda boleh menggunakan semua sifat angka ini.

Untuk hafalan yang lebih baik, ambil perhatian bahawa tanda segi empat selari akan menjawab soalan berikut - "macam mana nak tahu?". Iaitu, bagaimana untuk mengetahui bahawa angka yang diberikan ialah segiempat selari.

1. Jajaran selari ialah segiempat yang dua sisinya adalah sama dan selari.

\(AB = CD \); \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)- segi empat selari.

Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci. Mengapa \(AD || SM \) ?

\(\segitiga ABC = \segi tiga ADC \) pada harta 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) secara bersilang dengan selari \(AB \) dan \(CD \) dan sekan \(AC \) .

Tetapi kalau \(\segitiga ABC = \segi tiga ADC \), kemudian \(\sudut 3 = \sudut 4 \) (ia terletak bertentangan \(AD || BC \) (\(\sudut 3 \) dan \(\sudut 4 \) - terletak bertentangan juga sama).

Tanda pertama adalah betul.

2. Jajaran selari ialah segi empat yang sisi bertentangannya adalah sama.

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) ialah segiempat selari.

Mari kita pertimbangkan ciri ini. Lukis pepenjuru \(AC \) sekali lagi.

Oleh harta 1\(\segitiga ABC = \segi tiga ACD \).

Ia berikutan bahawa: \(\sudut 1 = \sudut 2 \Anak panah kanan AD || SM \) dan \(\sudut 3 = \sudut 4 \Rightarrow AB || CD \), iaitu \(ABCD\) ialah segiempat selari.

Tanda kedua adalah betul.

3. Jajaran selari ialah segiempat yang sudut bertentangannya adalah sama.

\(\sudut A = \sudut C \) , \(\sudut B = \sudut D \Anak panah kanan ABCD \)- segi empat selari.

\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(kerana \(\sudut A = \sudut C \) , \(\sudut B = \sudut D \) mengikut takrifan).

Kesudahannya, \(\alfa + \beta = 180^(\circ) \). Tetapi \(\alpha \) dan \(\beta \) adalah dalam satu sisi pada sekan \(AB \) .