Jadual kamiran untuk pelajar untuk yang kompleks.

Di sekolah, ramai orang gagal menyelesaikan kamiran atau menghadapi sebarang masalah dengannya. Artikel ini akan membantu anda memikirkannya, kerana anda akan menemui segala-galanya di dalamnya jadual integral.

kamiran merupakan salah satu pengiraan dan konsep utama dalam analisis matematik. Penampilannya terhasil daripada dua tujuan:
Gol pertama- memulihkan fungsi menggunakan terbitannya.
Gol kedua- pengiraan luas yang terletak pada jarak dari graf ke fungsi f(x) pada garis lurus di mana, a lebih besar daripada atau sama dengan x lebih besar daripada atau sama dengan b dan paksi-x.

Matlamat ini membawa kita kepada kamiran yang pasti dan tidak tentu. Hubungan antara kamiran ini terletak pada pencarian sifat dan pengiraan. Tetapi segala-galanya mengalir dan segala-galanya berubah dari semasa ke semasa, penyelesaian baharu ditemui, penambahan telah dikenal pasti, dengan itu membawa kamiran pasti dan tak tentu kepada bentuk penyepaduan lain.

apa dah jadi kamiran tak tentu awak tanya. Ini ialah fungsi antiterbitan F(x) bagi satu pembolehubah x dalam selang yang lebih besar daripada x lebih besar daripada b. dipanggil sebarang fungsi F(x), dalam selang tertentu untuk sebarang sebutan x, terbitan adalah sama dengan F(x). Jelaslah bahawa F(x) adalah antiterbitan untuk f(x) dalam selang a lebih besar daripada x lebih besar daripada b. Ini bermakna F1(x) = F(x) + C. C - ialah sebarang pemalar dan antiterbitan untuk f(x) dalam selang tertentu. Pernyataan ini boleh terbalik; untuk fungsi f(x) - 2 antiterbitan hanya berbeza dalam pemalar. Berdasarkan teorem kalkulus kamiran ternyata setiap selanjar dalam selang a

Kamiran pasti difahami sebagai had dalam jumlah kamiran, atau dalam situasi fungsi tertentu f(x) yang ditakrifkan pada beberapa baris (a,b) yang mempunyai antiterbitan F padanya, bermakna perbezaan ungkapannya di hujung garis tertentu F(b) - F(a).

Untuk menggambarkan kajian topik ini, saya cadangkan menonton video. Ia memberitahu secara terperinci dan menunjukkan cara mencari kamiran.

Setiap jadual kamiran itu sendiri sangat berguna, kerana ia membantu dalam menyelesaikan jenis kamiran tertentu.

Semua jenis yang mungkin alat tulis dan banyak lagi. Anda boleh membeli melalui kedai dalam talian v-kant.ru. Atau ikuti sahaja pautan Alat Tulis Samara (http://v-kant.ru) kualiti dan harga akan mengejutkan anda.

Fungsi antiterbitan dan kamiran tak tentu

Fakta 1. Pengamiran ialah tindakan songsang bagi pembezaan, iaitu, memulihkan fungsi daripada terbitan yang diketahui bagi fungsi ini. Fungsi itu dipulihkan F(x) dipanggil antiderivatif untuk fungsi f(x).

Definisi 1. Fungsi F(x f(x) pada selang waktu tertentu X, jika untuk semua nilai x dari selang ini kesaksamaan dipegang F "(x)=f(x), iaitu fungsi ini f(x) ialah terbitan daripada fungsi antiderivatif F(x). .

Sebagai contoh, fungsi F(x) = dosa x ialah antiterbitan bagi fungsi f(x) = cos x pada keseluruhan garis nombor, kerana untuk sebarang nilai x (dosa x)" = (kos x) .

Takrif 2. Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi f(x) ialah set semua antiderivatifnya. Dalam kes ini, notasi digunakan

∫

f(x)dx

,

mana tandanya ∫ dipanggil tanda kamiran, fungsi f(x) – fungsi integrand, dan f(x)dx – integrasi dan ekspresi.

Justeru, jika F(x) – beberapa antiderivatif untuk f(x), Itu

∫

f(x)dx = F(x) +C

di mana C - pemalar sewenang-wenang (malar).

Untuk memahami maksud set antiterbitan fungsi sebagai kamiran tak tentu, analogi berikut adalah sesuai. Biar ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah untuk "menjadi pintu." Pintu itu diperbuat daripada apa? Diperbuat daripada kayu. Ini bermakna set antiderivatif bagi kamiran dan fungsi "menjadi pintu", iaitu kamiran tak tentunya, ialah fungsi "menjadi pokok + C", di mana C ialah pemalar, yang dalam konteks ini boleh menunjukkan, sebagai contoh, jenis pokok. Sama seperti pintu diperbuat daripada kayu menggunakan beberapa alat, terbitan fungsi "dibuat" daripada fungsi antiterbitan menggunakan formula yang kami pelajari semasa mengkaji terbitan .

Kemudian jadual fungsi objek biasa dan antiderivatifnya yang sepadan ("menjadi pintu" - "menjadi pokok", "menjadi sudu" - "menjadi logam", dll.) adalah serupa dengan jadual asas kamiran tak tentu, yang akan diberikan di bawah. Jadual kamiran tak tentu menyenaraikan fungsi sepunya, menunjukkan antiderivatif dari mana fungsi ini "dibuat". Dalam sebahagian daripada masalah mencari kamiran tak tentu, kamiran diberikan yang boleh disepadukan secara langsung tanpa banyak usaha, iaitu menggunakan jadual kamiran tak tentu. Dalam masalah yang lebih kompleks, kamiran dan mesti terlebih dahulu diubah supaya kamiran jadual boleh digunakan.

Fakta 2. Apabila memulihkan fungsi sebagai antiderivatif, kita mesti mengambil kira pemalar arbitrari (malar) C, dan untuk tidak menulis senarai antiderivatif dengan pelbagai pemalar dari 1 hingga infiniti, anda perlu menulis satu set antiderivatif dengan pemalar arbitrari C, sebagai contoh, seperti ini: 5 x³+C. Jadi, pemalar arbitrari (malar) dimasukkan dalam ungkapan antiterbitan, kerana antiterbitan boleh menjadi fungsi, contohnya, 5 x³+4 atau 5 x³+3 dan apabila dibezakan, 4 atau 3, atau mana-mana pemalar lain menjadi sifar.

Mari kita kemukakan masalah penyepaduan: untuk fungsi ini f(x) cari fungsi sedemikian F(x), yang terbitan sama dengan f(x).

Contoh 1. Cari set antiterbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Untuk fungsi ini, antiterbitan ialah fungsi

Fungsi F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi tersebut f(x), jika terbitan F(x) adalah sama dengan f(x), atau, yang merupakan perkara yang sama, pembezaan F(x) adalah sama f(x) dx, iaitu

(2)

Oleh itu, fungsi adalah antiterbitan fungsi. Walau bagaimanapun, ia bukan satu-satunya antiderivatif untuk . Mereka juga berfungsi sebagai fungsi

di mana DENGAN– pemalar sewenang-wenangnya. Ini boleh disahkan melalui pembezaan.

Oleh itu, jika terdapat satu antiderivatif untuk fungsi, maka untuknya ada set tak terhingga antiderivatif yang berbeza dengan sebutan tetap. Semua antiderivatif untuk fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini berikutan daripada teorem berikut.

Teorem (penyataan formal fakta 2). Jika F(x) – antiterbitan untuk fungsi f(x) pada selang waktu tertentu X, kemudian sebarang antiderivatif lain untuk f(x) pada selang yang sama boleh diwakili dalam bentuk F(x) + C, Di mana DENGAN– pemalar sewenang-wenangnya.

Dalam contoh seterusnya, kita beralih kepada jadual kamiran, yang akan diberikan dalam perenggan 3, selepas sifat kamiran tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membaca keseluruhan jadual supaya intipati perkara di atas jelas. Dan selepas jadual dan sifat, kami akan menggunakannya secara keseluruhan semasa penyepaduan.

Contoh 2. Cari set fungsi antiterbitan:

Penyelesaian. Kami menemui set fungsi antiterbitan dari mana fungsi ini "dibuat". Apabila menyebut formula dari jadual kamiran, buat masa ini terima sahaja bahawa terdapat formula sedemikian di sana, dan kami akan mengkaji jadual kamiran tak tentu itu sendiri sedikit lebih jauh.

1) Menggunakan formula (7) daripada jadual kamiran untuk n= 3, kita dapat

2) Menggunakan formula (10) daripada jadual kamiran untuk n= 1/3, kita ada

3) Sejak

maka mengikut formula (7) dengan n= -1/4 kita dapati

Ia bukan fungsi itu sendiri yang ditulis di bawah tanda kamiran f, dan hasil keluarannya mengikut pembezaan dx. Ini dilakukan terutamanya untuk menunjukkan pembolehubah mana antiderivatif dicari. Sebagai contoh,

, ;

di sini dalam kedua-dua kes, integrand adalah sama dengan , tetapi kamiran tak tentu dalam kes yang dipertimbangkan ternyata berbeza. Dalam kes pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi pembolehubah x, dan dalam kedua - sebagai fungsi z .

Proses mencari kamiran tak tentu bagi suatu fungsi dipanggil menyepadukan fungsi tersebut.

Makna geometri bagi kamiran tak tentu

Katakan kita perlu mencari lengkung y=F(x) dan kita sudah tahu bahawa tangen sudut kecondongan tangen pada setiap titik ialah fungsi yang diberikan f(x) abscissa titik ini.

mengikut deria geometri terbitan, tangen sudut tangen pada titik tertentu pada lengkung y=F(x) sama dengan nilai terbitan F"(x). Jadi kita perlu mencari fungsi sedemikian F(x), yang mana F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) ialah antiderivatif daripada f(x). Keadaan masalah dipenuhi bukan oleh satu lengkung, tetapi oleh keluarga lengkung. y=F(x)- salah satu daripada lengkung ini, dan mana-mana lengkung lain boleh diperoleh daripadanya dengan terjemahan selari di sepanjang paksi Oy.

Mari kita panggil graf bagi fungsi antiterbitan bagi f(x) lengkung integral. Jika F"(x)=f(x), kemudian graf fungsi itu y=F(x) terdapat lengkung kamiran.

Fakta 3. Kamiran tak tentu diwakili secara geometri oleh keluarga semua lengkung kamiran , seperti dalam gambar di bawah. Jarak setiap lengkung dari asal koordinat ditentukan oleh pemalar penyepaduan arbitrari C.

Sifat kamiran tak tentu

Fakta 4. Teorem 1. Terbitan kamiran tak tentu adalah sama dengan kamiran, dan pembezaannya adalah sama dengan kamiran.

Fakta 5. Teorem 2. Kamiran tak tentu bagi pembezaan fungsi f(x) sama dengan fungsi f(x) sehingga jangka masa tetap , iaitu

(3)

Teorem 1 dan 2 menunjukkan bahawa pembezaan dan pengamiran adalah operasi songsang bersama.

Fakta 6. Teorem 3. Faktor pemalar dalam kamiran dan boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran tak tentu , iaitu

Mari kita senaraikan kamiran bagi fungsi asas, yang kadangkala dipanggil jadual:

Mana-mana formula di atas boleh dibuktikan dengan mengambil terbitan sebelah kanan (hasilnya ialah integrand).

Kaedah integrasi

Mari kita lihat beberapa kaedah penyepaduan asas. Ini termasuk:

1. Kaedah penguraian(integrasi langsung).

Kaedah ini adalah berdasarkan penggunaan langsung kamiran jadual, serta penggunaan sifat 4 dan 5 kamiran tak tentu (iaitu, mengambil faktor pemalar dan/atau mewakili kamiran sebagai jumlah fungsi - penguraian integrand ke dalam istilah).

Contoh 1. Contohnya, untuk mencari(dx/x 4) anda boleh terus menggunakan kamiran jadual untukx n dx. Sebenarnya,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Mari lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2. Untuk mencarinya, kami menggunakan integral yang sama:

Contoh 3. Untuk mencarinya anda perlu ambil

Contoh 4. Untuk mencari, kami mewakili fungsi integrand dalam bentuk dan gunakan kamiran jadual untuk fungsi eksponen:

Mari kita pertimbangkan penggunaan kurungan sebagai faktor malar.

Contoh 5.Mari cari, sebagai contoh . Memandangkan itu, kita dapat

Contoh 6. Kami akan mencarinya. Kerana , mari kita gunakan kamiran jadual Kami dapat

Dalam dua contoh berikut, anda juga boleh menggunakan kamiran pendakap dan jadual:

Contoh 7.

(kami menggunakan dan );

Contoh 8.

(kami menggunakan Dan ).

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks yang menggunakan kamiran hasil tambah.

Contoh 9. Sebagai contoh, mari kita cari
. Untuk menggunakan kaedah pengembangan dalam pengangka, kita menggunakan formula kubus jumlah , dan kemudian membahagikan polinomial yang terhasil dengan penyebut, sebutan dengan sebutan.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Perlu diingatkan bahawa pada penghujung penyelesaian satu pemalar sepunya C ditulis (dan bukan yang berasingan apabila menyepadukan setiap istilah). Pada masa hadapan, ia juga dicadangkan untuk menghilangkan pemalar daripada penyepaduan istilah individu dalam proses penyelesaian selagi ungkapan mengandungi sekurang-kurangnya satu kamiran tak tentu (kita akan menulis satu pemalar pada penghujung penyelesaian).

Contoh 10. Kami akan mencari . Untuk menyelesaikan masalah ini, mari kita memfaktorkan pengangka (selepas ini kita boleh mengurangkan penyebutnya).

Contoh 11. Kami akan mencarinya. Identiti trigonometri boleh digunakan di sini.

Kadangkala, untuk menguraikan ungkapan menjadi istilah, anda perlu menggunakan teknik yang lebih kompleks.

Contoh 12. Kami akan mencari . Dalam integrand kami memilih keseluruhan bahagian pecahan . Kemudian

Contoh 13. Kami akan mencari

2. Kaedah penggantian boleh ubah (kaedah penggantian)

Kaedah ini adalah berdasarkan formula berikut: f(x)dx=f((t))`(t)dt, dengan x =(t) ialah fungsi yang boleh dibezakan pada selang yang dipertimbangkan.

Bukti. Mari kita cari derivatif berkenaan dengan pembolehubah tdari kiri dan bahagian yang betul formula.

Perhatikan bahawa di sebelah kiri terdapat fungsi kompleks yang hujah perantaraannya ialah x = (t). Oleh itu, untuk membezakannya berkenaan dengan t, kita mula-mula membezakan kamiran berkenaan dengan x, dan kemudian mengambil terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivatif dari sebelah kanan:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Oleh kerana derivatif ini adalah sama, dengan akibat daripada teorem Lagrange, sisi kiri dan kanan formula yang dibuktikan berbeza dengan pemalar tertentu. Oleh kerana kamiran tak tentu itu sendiri ditakrifkan sehingga sebutan pemalar tak tentu, pemalar ini boleh diabaikan daripada tatatanda akhir. Terbukti.

Perubahan pembolehubah yang berjaya membolehkan anda memudahkan kamiran asal, dan dalam kes yang paling mudah, mengurangkannya kepada satu jadual. Dalam penggunaan kaedah ini, perbezaan dibuat antara kaedah penggantian linear dan bukan linear.

a) Kaedah penggantian linear Mari kita lihat satu contoh.

Contoh 1.
. Biarkan t= 1 – 2x, kemudian

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Perlu diingatkan bahawa pembolehubah baru tidak perlu ditulis secara eksplisit. Dalam kes sedemikian, mereka bercakap tentang mengubah fungsi di bawah tanda pembezaan atau tentang memperkenalkan pemalar dan pembolehubah di bawah tanda pembezaan, i.e. O penggantian pembolehubah tersirat.

Contoh 2. Sebagai contoh, mari kita caricos(3x + 2)dx. Dengan sifat pembezaan dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), makacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Dalam kedua-dua contoh yang dipertimbangkan, penggantian linear t=kx+b(k0) telah digunakan untuk mencari kamiran.

Dalam kes umum, teorem berikut adalah sah.

Teorem penggantian linear. Biarkan F(x) ialah beberapa antiterbitan bagi fungsi f(x). Kemudianf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, dengan k dan b ialah beberapa pemalar,k0.

Bukti.

Mengikut takrif kamiran f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Mari kita ambil faktor pemalar k daripada tanda kamiran: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sekarang kita boleh membahagikan sisi kiri dan kanan kesamaan kepada dua dan mendapatkan pernyataan untuk dibuktikan sehingga penetapan istilah tetap.

Teorem ini menyatakan bahawa jika dalam takrif kamiran f(x)dx= F(x) + C dan bukannya hujah x kita menggantikan ungkapan (kx+b), ini akan membawa kepada kemunculan tambahan faktor 1/k di hadapan antiterbitan.

Menggunakan teorem terbukti, kami menyelesaikan contoh berikut.

Contoh 3.

Kami akan mencari . Di sini kx+b= 3 –x, iaitu k= -1,b= 3. Kemudian

Contoh 4.

Kami akan mencarinya. Herekx+b= 4x+ 3, iaitu k= 4,b= 3. Kemudian

Contoh 5.

Kami akan mencari . Di sini kx+b= -2x+ 7, iaitu k= -2,b= 7. Kemudian

.

Contoh 6. Kami akan mencari
. Di sini kx+b= 2x+ 0, iaitu k= 2,b= 0.

.

Mari kita bandingkan keputusan yang diperolehi dengan contoh 8, yang telah diselesaikan dengan kaedah penguraian. Menyelesaikan masalah yang sama menggunakan kaedah yang berbeza, kami mendapat jawapannya
. Mari bandingkan hasilnya: Oleh itu, ungkapan ini berbeza antara satu sama lain dengan istilah tetap , iaitu Jawapan yang diterima tidak bercanggah antara satu sama lain.

Contoh 7. Kami akan mencari
. Mari kita pilih petak sempurna dalam penyebut.

Dalam sesetengah kes, menukar pembolehubah tidak mengurangkan kamiran terus kepada satu jadual, tetapi boleh memudahkan penyelesaian, menjadikannya mungkin untuk menggunakan kaedah pengembangan pada langkah seterusnya.

Contoh 8. Sebagai contoh, mari kita cari . Gantikan t=x+ 2, kemudian dt=d(x+ 2) =dx. Kemudian

,

di mana C = C 1 – 6 (apabila menggantikan ungkapan (x+ 2) dan bukannya dua sebutan pertama kita mendapat ½x 2 -2x– 6).

Contoh 9. Kami akan mencari
. Biarkan t= 2x+ 1, kemudian dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Mari kita gantikan ungkapan (2x+ 1) untuk t, buka kurungan dan berikan yang serupa.

Ambil perhatian bahawa dalam proses transformasi kami berpindah ke istilah tetap yang lain, kerana kumpulan sebutan malar boleh diabaikan semasa proses transformasi.

b) Kaedah penggantian tak linear Mari kita lihat satu contoh.

Contoh 1.
. Lett= -x 2. Seterusnya, seseorang boleh menyatakan x dalam sebutan t, kemudian mencari ungkapan untuk dx dan melaksanakan perubahan pembolehubah dalam kamiran yang dikehendaki. Tetapi dalam kes ini lebih mudah untuk melakukan perkara secara berbeza. Mari caridt=d(-x 2) = -2xdx. Perhatikan bahawa ungkapan xdx ialah faktor kamiran dan kamiran yang dikehendaki. Mari kita nyatakan daripada kesamaan yang terhasilxdx= - ½dt. Kemudian