Jadual fungsi antiterbitan dan kamiran. Kamiran untuk boneka: cara menyelesaikan, peraturan pengiraan, penjelasan

Dalam bahan terdahulu, isu mencari derivatif telah dipertimbangkan dan pelbagai aplikasinya ditunjukkan: mengira cerun tangen kepada graf, menyelesaikan masalah pengoptimuman, mengkaji fungsi untuk monotonicity dan extrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Rajah 1.

Masalah mencari halaju serta-merta $v(t)$ menggunakan terbitan di sepanjang laluan yang diketahui sebelum ini, dinyatakan oleh fungsi $s(t)$, turut dipertimbangkan.

Rajah 2.

Masalah songsang juga sangat biasa, apabila anda perlu mencari laluan $s(t)$ yang dilalui oleh titik masa $t$, mengetahui kelajuan titik $v(t)$. Jika kita ingat, kelajuan segera $v(t)$ didapati sebagai terbitan bagi fungsi laluan $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Ini bermakna untuk menyelesaikan masalah songsang, iaitu, mengira laluan, anda perlu mencari fungsi yang terbitannya akan sama dengan fungsi kelajuan. Tetapi kita tahu bahawa terbitan laluan ialah kelajuan, iaitu: $s’(t) = v(t)$. Halaju adalah sama dengan masa pecutan masa: $v=at$. Adalah mudah untuk menentukan bahawa fungsi laluan yang diingini akan mempunyai bentuk: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Tetapi ini bukan penyelesaian yang lengkap. Penyelesaian lengkap akan mempunyai bentuk: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, dengan $C$ adalah beberapa pemalar. Mengapa ini berlaku akan dibincangkan lebih lanjut. Buat masa ini, mari kita semak ketepatan penyelesaian yang ditemui: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Perlu diingat bahawa mencari jalan berdasarkan kelajuan adalah makna fizikal antiderivatif.

Fungsi $s(t)$ yang terhasil dipanggil antiterbitan bagi fungsi $v(t)$. Nama yang agak menarik dan luar biasa, bukan. Ia mengandungi makna yang hebat yang menerangkan intipati konsep ini dan membawa kepada pemahamannya. Anda akan melihat bahawa ia mengandungi dua perkataan "pertama" dan "imej". Mereka bercakap untuk diri mereka sendiri. Iaitu, ini adalah fungsi yang merupakan fungsi awal untuk derivatif yang kita ada. Dan menggunakan derivatif ini kita sedang mencari fungsi yang pada mulanya, adalah "pertama", "imej pertama", iaitu antiterbitan. Ia kadangkala juga dipanggil fungsi primitif atau antiderivatif.

Seperti yang kita sedia maklum, proses mencari derivatif dipanggil pembezaan. Dan proses mencari antiderivatif dipanggil integrasi. Operasi pengamiran ialah songsang bagi operasi pembezaan. Begitu juga sebaliknya.

Definisi. Antiterbitan untuk fungsi $f(x)$ pada selang tertentu ialah fungsi $F(x)$ yang terbitannya bersamaan dengan fungsi ini $f(x)$ untuk semua $x$ daripada selang yang ditentukan: $F' (x)=f (x)$.

Seseorang mungkin mempunyai soalan: dari mana datangnya $F(x)$ dan $f(x)$ dalam definisi, jika pada mulanya kita bercakap tentang $s(t)$ dan $v(t)$. Hakikatnya $s(t)$ dan $v(t)$ ialah kes khas penetapan fungsi yang mempunyai makna khusus dalam kes ini, iaitu, ia adalah fungsi masa dan fungsi kelajuan, masing-masing. Ia sama dengan pembolehubah $t$ - ia menandakan masa. Dan $f$ dan $x$ ialah varian tradisional bagi penetapan umum fungsi dan pembolehubah, masing-masing. Perlu diberi perhatian khusus kepada tatatanda antiterbitan $F(x)$. Pertama sekali, $F$ ialah modal. Antiderivatif ditunjukkan dalam huruf besar. Kedua, hurufnya adalah sama: $F$ dan $f$. Iaitu, untuk fungsi $g(x)$ antiterbitan akan dilambangkan dengan $G(x)$, untuk $z(x)$ – sebanyak $Z(x)$. Tanpa mengira tatatanda, peraturan untuk mencari fungsi antiterbitan adalah sentiasa sama.

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 1. Buktikan bahawa fungsi $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ ialah antiterbitan bagi fungsi $f(x)=\cos5x$.

Untuk membuktikan ini, kita akan menggunakan takrifan, atau lebih tepatnya fakta bahawa $F'(x)=f(x)$, dan cari terbitan bagi fungsi $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Ini bermakna $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ ialah antiterbitan bagi $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Contoh 2. Cari fungsi yang manakah sepadan dengan antiterbitan berikut: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Untuk mencari fungsi yang diperlukan, mari kita hitung derivatifnya:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Contoh 3. Apakah yang akan menjadi antiterbitan untuk $f(x)=0$?
Mari kita gunakan definisi. Mari kita fikirkan tentang fungsi mana yang boleh mempunyai derivatif bersamaan dengan $0$. Mengimbas kembali jadual derivatif, kita dapati bahawa sebarang pemalar akan mempunyai derivatif sedemikian. Kami mendapati bahawa antiterbitan yang kami cari ialah: $F(x)= C$.

Penyelesaian yang terhasil boleh dijelaskan secara geometri dan fizikal. Secara geometri, ini bermakna tangen kepada graf $y=F(x)$ adalah mendatar pada setiap titik graf ini dan, oleh itu, bertepatan dengan paksi $Ox$. Secara fizikal ia dijelaskan oleh fakta bahawa titik dengan kelajuan sama dengan sifar kekal di tempatnya, iaitu, laluan yang dilaluinya tidak berubah. Berdasarkan ini, kita boleh merumuskan teorem berikut.

Teorem. (Tanda ketekalan fungsi). Jika pada beberapa selang $F’(x) = 0$, maka fungsi $F(x)$ pada selang ini adalah malar.

Contoh 4. Tentukan fungsi yang manakah merupakan antiterbitan bagi a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, dengan $a$ ialah beberapa nombor.
Dengan menggunakan takrifan antiterbitan, kami menyimpulkan bahawa untuk menyelesaikan masalah ini, kami perlu mengira derivatif bagi fungsi antiterbitan yang diberikan kepada kami. Apabila mengira, ingat bahawa terbitan pemalar, iaitu, sebarang nombor, adalah sama dengan sifar.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Apa yang kita nampak? Beberapa fungsi yang berbeza adalah primitif bagi fungsi yang sama. Ini menunjukkan bahawa sebarang fungsi mempunyai banyak antiderivatif yang tidak terhingga, dan ia mempunyai bentuk $F(x) + C$, dengan $C$ ialah pemalar arbitrari. Iaitu, operasi penyepaduan adalah berbilang nilai, tidak seperti operasi pembezaan. Berdasarkan ini, mari kita rumuskan satu teorem yang menerangkan sifat utama antiderivatif.

Teorem. (Sifat utama antiderivatif). Biarkan fungsi $F_1$ dan $F_2$ menjadi antiterbitan bagi fungsi $f(x)$ pada beberapa selang. Kemudian untuk semua nilai dari selang ini kesamaan berikut adalah benar: $F_2=F_1+C$, dengan $C$ adalah beberapa pemalar.

Hakikat kehadiran bilangan antiterbitan yang tidak terhingga boleh ditafsirkan secara geometri. Dengan menggunakan terjemahan selari di sepanjang paksi $Oy$, seseorang boleh memperoleh daripada satu sama lain graf mana-mana dua antiderivatif untuk $f(x)$. Ini ialah makna geometri bagi antiterbitan.

Adalah sangat penting untuk memberi perhatian kepada fakta bahawa dengan memilih pemalar $C$ anda boleh memastikan bahawa graf antiterbitan melalui titik tertentu.

Rajah 3.

Contoh 5. Cari antiterbitan bagi fungsi $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, graf yang melalui titik $(3; 1)$.
Mari kita cari semua antiderivatif untuk $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Seterusnya, kita akan mencari nombor C yang mana graf $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ akan melalui titik $(3; 1)$. Untuk melakukan ini, kami menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan graf dan menyelesaikannya untuk $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Kami memperoleh graf $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, yang sepadan dengan antiderivatif $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Jadual antiderivatif

Jadual formula untuk mencari antiderivatif boleh disusun menggunakan formula untuk mencari derivatif.

Jadual antiderivatif

Fungsi	Antiderivatif
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\dalam R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\dosa x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Anda boleh menyemak ketepatan jadual dengan cara berikut: untuk setiap set antiderivatif yang terletak di lajur kanan, cari derivatif, yang akan menghasilkan fungsi yang sepadan dalam lajur kiri.

Beberapa peraturan untuk mencari antiderivatif

Seperti yang diketahui, banyak fungsi mempunyai bentuk yang lebih kompleks daripada yang ditunjukkan dalam jadual antiderivatif, dan boleh menjadi sebarang gabungan arbitrari hasil tambah dan hasil fungsi daripada jadual ini. Dan di sini timbul persoalan: bagaimana untuk mengira antiderivatif fungsi tersebut. Sebagai contoh, daripada jadual kita tahu cara mengira antiderivatif bagi $x^3$, $\sin x$ dan $10$. Bagaimanakah, sebagai contoh, bolehkah seseorang mengira antiterbitan $x^3-10\sin x$? Memandang ke hadapan, perlu diperhatikan bahawa ia akan sama dengan $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Jika $F(x)$ ialah antiderivatif untuk $f(x)$, $G(x)$ untuk $g(x)$, maka untuk $f(x)+g(x)$ antiderivatif akan sama dengan $ F(x)+G(x)$.
2. Jika $F(x)$ ialah antiterbitan untuk $f(x)$ dan $a$ ialah pemalar, maka untuk $af(x)$ antiterbitan ialah $aF(x)$.
3. Jika untuk $f(x)$ antiderivatif ialah $F(x)$, $a$ dan $b$ ialah pemalar, maka $\frac(1)(a) F(ax+b)$ ialah antiderivatif untuk $f (ax+b)$.
Menggunakan peraturan yang diperoleh kita boleh mengembangkan jadual antiderivatif.

Fungsi	Antiderivatif
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Contoh 5. Cari antiderivatif untuk:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Integrasi adalah salah satu operasi utama dalam analisis matematik. Jadual antiderivatif yang diketahui boleh berguna, tetapi kini, selepas kemunculan sistem algebra komputer, mereka kehilangan kepentingannya. Di bawah ialah senarai primitif yang paling biasa.

Jadual kamiran asas

Satu lagi pilihan padat

Jadual kamiran bagi fungsi trigonometri

Daripada fungsi rasional

Daripada fungsi tidak rasional

Kamiran fungsi transendental

"C" ialah pemalar pengamiran arbitrari, yang ditentukan jika nilai kamiran pada sebarang titik diketahui. Setiap fungsi mempunyai bilangan antiderivatif yang tidak terhingga.

Kebanyakan pelajar sekolah dan pelajar menghadapi masalah mengira kamiran. Halaman ini mengandungi jadual integral daripada fungsi trigonometri, rasional, tidak rasional dan transendental yang akan membantu dalam penyelesaian. Jadual derivatif juga akan membantu anda.

Video - cara mencari kamiran

Jika anda tidak begitu memahami topik ini, tonton video, yang menerangkan segala-galanya secara terperinci.

Fungsi antiterbitan dan kamiran tak tentu

Fakta 1. Pengamiran ialah tindakan songsang bagi pembezaan, iaitu, memulihkan fungsi daripada terbitan yang diketahui bagi fungsi ini. Fungsi itu dipulihkan F(x) dipanggil antiderivatif untuk fungsi f(x).

Definisi 1. Fungsi F(x f(x) pada selang waktu tertentu X, jika untuk semua nilai x dari selang ini kesaksamaan dipegang F "(x)=f(x), iaitu fungsi ini f(x) ialah terbitan bagi fungsi antiterbitan F(x). .

Sebagai contoh, fungsi F(x) = dosa x ialah antiterbitan bagi fungsi f(x) = cos x pada keseluruhan garis nombor, kerana untuk sebarang nilai x (dosa x)" = (kos x) .

Takrif 2. Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi f(x) ialah set semua antiderivatifnya. Dalam kes ini, notasi digunakan

∫

f(x)dx

,

mana tandanya ∫ dipanggil tanda kamiran, fungsi f(x) – fungsi integrand, dan f(x)dx – integrasi dan ekspresi.

Justeru, jika F(x) – beberapa antiderivatif untuk f(x), Itu

∫

f(x)dx = F(x) +C

di mana C - pemalar sewenang-wenang (malar).

Untuk memahami maksud set antiterbitan fungsi sebagai kamiran tak tentu, analogi berikut adalah sesuai. Biar ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah untuk "menjadi pintu." Pintu itu diperbuat daripada apa? Diperbuat daripada kayu. Ini bermakna set antiderivatif bagi kamiran dan fungsi "menjadi pintu", iaitu kamiran tak tentunya, ialah fungsi "menjadi pokok + C", di mana C ialah pemalar, yang dalam konteks ini boleh menunjukkan, sebagai contoh, jenis pokok. Sama seperti pintu diperbuat daripada kayu menggunakan beberapa alat, terbitan fungsi "dibuat" daripada fungsi antiterbitan menggunakan formula yang kami pelajari semasa mengkaji terbitan .

Kemudian jadual fungsi objek biasa dan antiderivatifnya yang sepadan ("menjadi pintu" - "menjadi pokok", "menjadi sudu" - "menjadi logam", dll.) adalah serupa dengan jadual asas kamiran tak tentu, yang akan diberikan di bawah. Jadual kamiran tak tentu menyenaraikan fungsi sepunya, menunjukkan antiderivatif dari mana fungsi ini "dibuat". Dalam sebahagian daripada masalah mencari kamiran tak tentu, kamiran diberikan yang boleh disepadukan secara langsung tanpa banyak usaha, iaitu menggunakan jadual kamiran tak tentu. Dalam masalah yang lebih kompleks, kamiran dan mesti terlebih dahulu diubah supaya kamiran jadual boleh digunakan.

Fakta 2. Apabila memulihkan fungsi sebagai antiderivatif, kita mesti mengambil kira pemalar arbitrari (malar) C, dan untuk tidak menulis senarai antiderivatif dengan pelbagai pemalar dari 1 hingga infiniti, anda perlu menulis satu set antiderivatif dengan pemalar arbitrari C, sebagai contoh, seperti ini: 5 x³+C. Jadi, pemalar arbitrari (malar) dimasukkan dalam ungkapan antiterbitan, kerana antiterbitan boleh menjadi fungsi, contohnya, 5 x³+4 atau 5 x³+3 dan apabila dibezakan, 4 atau 3, atau mana-mana pemalar lain menjadi sifar.

Mari kita kemukakan masalah penyepaduan: untuk fungsi ini f(x) cari fungsi sedemikian F(x), yang terbitan sama dengan f(x).

Contoh 1. Cari set antiterbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Untuk fungsi ini, antiterbitan ialah fungsi

Fungsi F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi tersebut f(x), jika terbitan F(x) adalah sama dengan f(x), atau, yang merupakan perkara yang sama, pembezaan F(x) adalah sama f(x) dx, iaitu

(2)

Oleh itu, fungsi adalah antiterbitan fungsi. Walau bagaimanapun, ia bukan satu-satunya antiderivatif untuk . Mereka juga berfungsi sebagai fungsi

di mana DENGAN– pemalar sewenang-wenangnya. Ini boleh disahkan melalui pembezaan.

Oleh itu, jika terdapat satu antiterbitan untuk suatu fungsi, maka baginya terdapat bilangan antiterbitan tak terhingga yang berbeza dengan sebutan tetap. Semua antiderivatif untuk fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini berikutan daripada teorem berikut.

Teorem (penyataan formal fakta 2). Jika F(x) – antiterbitan untuk fungsi f(x) pada selang waktu tertentu X, kemudian sebarang antiderivatif lain untuk f(x) pada selang yang sama boleh diwakili dalam bentuk F(x) + C, Di mana DENGAN– pemalar sewenang-wenangnya.

Dalam contoh seterusnya, kita beralih kepada jadual kamiran, yang akan diberikan dalam perenggan 3, selepas sifat kamiran tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membaca keseluruhan jadual supaya intipati perkara di atas jelas. Dan selepas jadual dan sifat, kami akan menggunakannya secara keseluruhan semasa penyepaduan.

Contoh 2. Cari set fungsi antiterbitan:

Penyelesaian. Kami menemui set fungsi antiterbitan dari mana fungsi ini "dibuat". Apabila menyebut formula dari jadual kamiran, buat masa ini terima sahaja bahawa terdapat formula sedemikian di sana, dan kami akan mengkaji jadual kamiran tak tentu itu sendiri sedikit lebih jauh.

1) Menggunakan formula (7) daripada jadual kamiran untuk n= 3, kita dapat

2) Menggunakan formula (10) daripada jadual kamiran untuk n= 1/3, kita ada

3) Sejak

maka mengikut formula (7) dengan n= -1/4 kita dapati

Ia bukan fungsi itu sendiri yang ditulis di bawah tanda kamiran f, dan hasil keluarannya mengikut pembezaan dx. Ini dilakukan terutamanya untuk menunjukkan pembolehubah mana antiderivatif dicari. Sebagai contoh,

, ;

di sini dalam kedua-dua kes, integrand adalah sama dengan , tetapi kamiran tak tentu dalam kes yang dipertimbangkan ternyata berbeza. Dalam kes pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi pembolehubah x, dan dalam kedua - sebagai fungsi z .

Proses mencari kamiran tak tentu bagi suatu fungsi dipanggil menyepadukan fungsi tersebut.

Makna geometri bagi kamiran tak tentu

Katakan kita perlu mencari lengkung y=F(x) dan kita sudah tahu bahawa tangen sudut tangen pada setiap titiknya ialah fungsi yang diberikan f(x) abscissa titik ini.

Mengikut makna geometri terbitan, tangen sudut kecondongan tangen pada titik tertentu lengkung y=F(x) sama dengan nilai terbitan F"(x). Jadi kita perlu mencari fungsi sedemikian F(x), yang mana F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) ialah antiderivatif daripada f(x). Keadaan masalah dipenuhi bukan oleh satu lengkung, tetapi oleh keluarga lengkung. y=F(x)- salah satu daripada lengkung ini, dan mana-mana lengkung lain boleh diperoleh daripadanya dengan terjemahan selari di sepanjang paksi Oy.

Mari kita panggil graf bagi fungsi antiterbitan bagi f(x) lengkung integral. Jika F"(x)=f(x), kemudian graf fungsi itu y=F(x) terdapat lengkung kamiran.

Fakta 3. Kamiran tak tentu diwakili secara geometri oleh keluarga semua lengkung kamiran , seperti dalam gambar di bawah. Jarak setiap lengkung dari asal koordinat ditentukan oleh pemalar penyepaduan arbitrari C.

Sifat kamiran tak tentu

Fakta 4. Teorem 1. Terbitan kamiran tak tentu adalah sama dengan kamiran, dan pembezaannya adalah sama dengan kamiran.

Fakta 5. Teorem 2. Kamiran tak tentu bagi pembezaan fungsi f(x) adalah sama dengan fungsi f(x) sehingga jangka masa tetap , iaitu

(3)

Teorem 1 dan 2 menunjukkan bahawa pembezaan dan pengamiran adalah operasi songsang bersama.

Fakta 6. Teorem 3. Faktor pemalar dalam kamiran dan boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran tak tentu , iaitu

Pada halaman ini anda akan dapati:

1. Sebenarnya, jadual antiderivatif - ia boleh dimuat turun dalam format PDF dan dicetak;

2. Video tentang cara menggunakan jadual ini;

3. Sekumpulan contoh pengiraan antiderivatif daripada pelbagai buku teks dan ujian.

Dalam video itu sendiri, kami akan menganalisis banyak masalah di mana anda perlu mengira antiderivatif fungsi, selalunya agak rumit, tetapi yang paling penting, ia bukan fungsi kuasa. Semua fungsi yang diringkaskan dalam jadual yang dicadangkan di atas mesti diketahui secara hati, seperti derivatif. Tanpa mereka, kajian lanjutan kamiran dan aplikasinya untuk menyelesaikan masalah praktikal adalah mustahil.

Hari ini kita terus mengkaji primitif dan beralih kepada topik yang sedikit lebih kompleks. Jika kali terakhir kita menganggap antiderivatif hanya untuk fungsi kuasa dan pembinaan yang sedikit lebih kompleks, hari ini kita akan melihat trigonometri dan banyak lagi.

Seperti yang saya katakan dalam pelajaran lepas, antiderivatif, tidak seperti derivatif, tidak pernah diselesaikan "terus-terang" menggunakan mana-mana peraturan standard. Selain itu, berita buruknya ialah, tidak seperti derivatif, antiderivatif mungkin tidak dipertimbangkan sama sekali. Jika kita menulis fungsi rawak sepenuhnya dan cuba mencari derivatifnya, maka dengan kebarangkalian yang sangat tinggi kita akan berjaya, tetapi antiderivatif hampir tidak akan dikira dalam kes ini. Tetapi ada berita baik: terdapat kelas fungsi yang agak besar yang dipanggil fungsi asas, antiderivatif yang sangat mudah untuk dikira. Dan semua struktur lain yang lebih kompleks yang diberikan pada semua jenis ujian, ujian bebas dan peperiksaan, sebenarnya, terdiri daripada fungsi asas ini melalui penambahan, penolakan dan tindakan mudah lain. Prototaip fungsi tersebut telah lama dikira dan disusun ke dalam jadual khas. Fungsi dan jadual inilah yang akan kami gunakan hari ini.

Tetapi kita akan mulakan, seperti biasa, dengan pengulangan: mari kita ingat apa itu antiderivatif, mengapa terdapat banyak daripada mereka, dan bagaimana untuk menentukan penampilan umum mereka. Untuk melakukan ini, saya mengambil dua masalah mudah.

Menyelesaikan contoh mudah

Contoh #1

Marilah kita segera ambil perhatian bahawa $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ dan secara umum kehadiran $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ serta-merta memberi petunjuk kepada kita bahawa antiterbitan yang diperlukan bagi fungsi tersebut adalah berkaitan dengan trigonometri. Dan, sesungguhnya, jika kita melihat jadual, kita akan mendapati bahawa $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ adalah tidak lebih daripada $\text(arctg)x$. Jadi mari kita tuliskannya:

Untuk mencari, anda perlu menulis perkara berikut:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Contoh No. 2

Kami juga bercakap tentang fungsi trigonometri di sini. Jika kita melihat jadual, maka, sesungguhnya, inilah yang berlaku:

Kita perlu mencari, di antara keseluruhan set antiderivatif, yang melalui titik yang ditunjukkan:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Mari kita akhirnya menulisnya:

Semudah itu. Satu-satunya masalah ialah untuk mengira antiderivatif bagi fungsi mudah, anda perlu mempelajari jadual antiderivatif. Walau bagaimanapun, selepas mengkaji jadual terbitan untuk anda, saya fikir ini tidak akan menjadi masalah.

Menyelesaikan masalah yang mengandungi fungsi eksponen

Sebagai permulaan, mari kita tulis formula berikut:

\[((e)^(x))\kepada ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\kepada \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mari lihat bagaimana ini semua berfungsi dalam amalan.

Contoh #1

Jika kita melihat kandungan kurungan, kita akan melihat bahawa dalam jadual antiterbitan tidak ada ungkapan sedemikian untuk $((e)^(x))$ berada dalam segi empat sama, jadi segi empat sama ini mesti dibesarkan. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan:

Mari cari antiderivatif untuk setiap istilah:

\[((e)^(2x))=((\kiri(((e)^(2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\left(((e))^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\kiri(((e)^(-2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\kiri(((e) )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Sekarang mari kita kumpulkan semua istilah ke dalam satu ungkapan dan dapatkan antiterbitan am:

Contoh No. 2

Kali ini darjahnya lebih besar, jadi formula pendaraban yang disingkatkan akan menjadi agak kompleks. Jadi mari kita buka kurungan:

Sekarang mari cuba ambil antiderivatif formula kami daripada pembinaan ini:

Seperti yang anda lihat, tiada apa-apa yang rumit atau ghaib dalam antiderivatif fungsi eksponen. Kesemuanya dikira melalui jadual, tetapi pelajar yang prihatin mungkin akan menyedari bahawa antiterbitan $((e)^(2x))$ adalah lebih hampir kepada $((e)^(x))$ berbanding $((a). )^(x ))$. Jadi, mungkin terdapat beberapa peraturan khas yang membenarkan, mengetahui antiterbitan $((e)^(x))$, untuk mencari $((e)^(2x))$? Ya, peraturan sedemikian wujud. Dan, lebih-lebih lagi, ia adalah bahagian penting dalam bekerja dengan jadual antiderivatif. Kami kini akan menganalisisnya menggunakan ungkapan yang sama yang baru sahaja kami gunakan sebagai contoh.

Peraturan untuk bekerja dengan jadual antiderivatif

Mari tulis fungsi kami sekali lagi:

Dalam kes sebelumnya, kami menggunakan formula berikut untuk menyelesaikan:

\[((a)^(x))\ke \frac(((a)^(x)))(\nama operator(lna))\]

Tetapi sekarang mari kita lakukannya secara berbeza sedikit: mari kita ingat atas dasar apa $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Seperti yang telah saya katakan, kerana derivatif $((e)^(x))$ adalah tidak lebih daripada $((e)^(x))$, oleh itu antiderivatifnya akan sama dengan $((e) ^ yang sama (x))$. Tetapi masalahnya ialah kita mempunyai $((e)^(2x))$ dan $((e)^(-2x))$. Sekarang mari kita cuba cari terbitan $((e)^(2x))$:

\[((\kiri(((e)^(2x)) \kanan))^(\prima ))=((e)^(2x))\cdot ((\kiri(2x \kanan))^( \prima ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Mari kita tulis semula pembinaan kita sekali lagi:

\[((\kiri(((e)^(2x)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Ini bermakna apabila kita mencari antiterbitan $((e)^(2x))$ kita mendapat yang berikut:

\[((e)^(2x))\ke \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Seperti yang anda lihat, kami mendapat hasil yang sama seperti sebelumnya, tetapi kami tidak menggunakan formula untuk mencari $((a)^(x))$. Sekarang ini mungkin kelihatan bodoh: mengapa merumitkan pengiraan apabila terdapat formula standard? Walau bagaimanapun, dalam ungkapan yang sedikit lebih kompleks anda akan mendapati bahawa teknik ini sangat berkesan, i.e. menggunakan derivatif untuk mencari antiderivatif.

Sebagai memanaskan badan, mari cari antiterbitan $((e)^(2x))$ dengan cara yang sama:

\[((\kiri(((e)^(-2x)) \kanan))^(\prima ))=((e)^(-2x))\cdot \kiri(-2 \kanan)\]

\[((e)^(-2x))=((\kiri(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \kanan))^(\prime ))\]

Apabila mengira, pembinaan kami akan ditulis seperti berikut:

\[((e)^(-2x))\kepada -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\kepada -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Kami mendapat keputusan yang sama, tetapi mengambil jalan yang berbeza. Ia adalah laluan ini, yang kini kelihatan lebih rumit kepada kami, bahawa pada masa hadapan akan menjadi lebih berkesan untuk mengira antiderivatif yang lebih kompleks dan menggunakan jadual.

Beri perhatian! Ini adalah perkara yang sangat penting: antiderivatif, seperti derivatif, boleh dikira dalam pelbagai cara. Walau bagaimanapun, jika semua pengiraan dan pengiraan adalah sama, maka jawapannya akan sama. Kami baru sahaja melihat ini dalam contoh $((e)^(-2x))$ - di satu pihak, kami mengira antiderivatif ini "terus melalui", menggunakan definisi dan mengiranya menggunakan transformasi, sebaliknya, kami ingat bahawa $ ((e)^(-2x))$ boleh diwakili sebagai $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dan barulah kami menggunakan antiterbitan untuk fungsi $( (a)^(x))$. Walau bagaimanapun, selepas semua transformasi, hasilnya adalah sama, seperti yang dijangkakan.

Dan sekarang setelah kita memahami semua ini, tiba masanya untuk beralih kepada sesuatu yang lebih penting. Sekarang kita akan menganalisis dua pembinaan mudah, tetapi teknik yang akan digunakan semasa menyelesaikannya adalah alat yang lebih berkuasa dan berguna daripada hanya "berjalan" antara antiderivatif jiran dari jadual.

Penyelesaian masalah: mencari antiterbitan fungsi

Contoh #1

Mari kita pecahkan jumlah yang terdapat dalam pengangka kepada tiga pecahan berasingan:

Ini adalah peralihan yang agak semula jadi dan boleh difahami - kebanyakan pelajar tidak menghadapi masalah dengannya. Mari kita tulis semula ungkapan kita seperti berikut:

Sekarang mari kita ingat formula ini:

Dalam kes kami, kami akan mendapat yang berikut:

Untuk menyingkirkan semua pecahan tiga tingkat ini, saya cadangkan melakukan perkara berikut:

Contoh No. 2

Tidak seperti pecahan sebelumnya, penyebutnya bukan hasil darab, tetapi jumlah. Dalam kes ini, kita tidak lagi boleh membahagikan pecahan kita kepada jumlah beberapa pecahan mudah, tetapi kita mesti cuba memastikan bahawa pengangka mengandungi lebih kurang ungkapan yang sama dengan penyebutnya. Dalam kes ini, agak mudah untuk melakukannya:

Notasi ini, yang dalam bahasa matematik dipanggil "menambah sifar," akan membolehkan kita membahagikan pecahan itu sekali lagi kepada dua bahagian:

Sekarang mari cari apa yang kami cari:

Itu sahaja pengiraan. Walaupun kerumitan yang lebih ketara daripada masalah sebelumnya, jumlah pengiraan ternyata lebih kecil.

Nuansa penyelesaian

Dan di sinilah kesukaran utama bekerja dengan antiderivatif jadual terletak, ini amat ketara dalam tugas kedua. Hakikatnya ialah untuk memilih beberapa elemen yang mudah dikira melalui jadual, kita perlu tahu apa sebenarnya yang kita cari, dan dalam pencarian unsur-unsur ini, keseluruhan pengiraan antiderivatif terdiri.

Dalam erti kata lain, tidak cukup hanya untuk menghafal jadual antiderivatif - anda perlu dapat melihat sesuatu yang belum wujud, tetapi apa yang dimaksudkan oleh pengarang dan penyusun masalah ini. Itulah sebabnya ramai ahli matematik, guru dan profesor sentiasa berhujah: "Apakah itu mengambil antiderivatif atau integrasi - adakah ia hanya alat atau adakah ia seni sebenar?" Sebenarnya, pada pendapat peribadi saya, integrasi bukanlah satu seni sama sekali - tidak ada yang luhur di dalamnya, ia hanya latihan dan lebih banyak amalan. Dan untuk berlatih, mari kita selesaikan tiga contoh yang lebih serius.

Kami berlatih dalam integrasi dalam amalan

Tugasan No 1

Mari kita tulis formula berikut:

\[((x)^(n))\kepada \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\kepada \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Mari kita tulis yang berikut:

Masalah No 2

Mari kita tulis semula seperti berikut:

Jumlah antiderivatif akan sama dengan:

Tugasan No. 3

Kesukaran tugas ini ialah, tidak seperti fungsi sebelumnya di atas, tidak ada pembolehubah $x$ sama sekali, i.e. tidak jelas kepada kita apa yang perlu ditambah atau ditolak untuk mendapatkan sekurang-kurangnya sesuatu yang serupa dengan yang di bawah. Walau bagaimanapun, sebenarnya, ungkapan ini dianggap lebih mudah daripada mana-mana ungkapan sebelumnya, kerana fungsi ini boleh ditulis semula seperti berikut:

Anda kini mungkin bertanya: mengapa fungsi ini sama? Mari semak:

Mari kita tulis semula:

Mari kita ubah sedikit ekspresi kita:

Dan apabila saya menerangkan semua ini kepada pelajar saya, hampir selalu masalah yang sama timbul: dengan fungsi pertama semuanya lebih kurang jelas, dengan yang kedua anda juga boleh memikirkannya dengan nasib atau latihan, tetapi jenis kesedaran alternatif yang anda lakukan perlu ada untuk menyelesaikan contoh ketiga? Sebenarnya, jangan takut. Teknik yang kami gunakan semasa mengira antiderivatif terakhir dipanggil "penguraian fungsi menjadi paling mudah", dan ini adalah teknik yang sangat serius, dan pelajaran video yang berasingan akan ditumpukan kepadanya.

Sementara itu, saya mencadangkan untuk kembali kepada apa yang baru kita pelajari, iaitu, kepada fungsi eksponen dan agak merumitkan masalah dengan kandungannya.

Masalah yang lebih kompleks untuk menyelesaikan fungsi eksponen antiterbitan

Tugasan No 1

Mari kita perhatikan perkara berikut:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kiri(2\cdot 5 \kanan))^(x))=((10)^(x) )\]

Untuk mencari antiterbitan bagi ungkapan ini, hanya gunakan formula piawai - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Dalam kes kami, antiderivatif akan menjadi seperti ini:

Sudah tentu, berbanding dengan reka bentuk yang baru kami selesaikan, yang ini kelihatan lebih mudah.

Masalah No 2

Sekali lagi, mudah untuk melihat bahawa fungsi ini boleh dibahagikan kepada dua sebutan berasingan - dua pecahan berasingan. Mari kita tulis semula:

Ia kekal untuk mencari antiderivatif bagi setiap istilah ini menggunakan formula yang diterangkan di atas:

Walaupun kerumitan fungsi eksponen yang lebih ketara berbanding dengan fungsi kuasa, jumlah keseluruhan pengiraan dan pengiraan ternyata lebih mudah.

Sudah tentu, bagi pelajar yang berpengetahuan, perkara yang baru kita bincangkan (terutamanya berlatarbelakangkan perkara yang telah kita bincangkan sebelum ini) mungkin kelihatan seperti ungkapan asas. Walau bagaimanapun, apabila memilih dua masalah ini untuk pelajaran video hari ini, saya tidak menetapkan matlamat untuk memberitahu anda satu lagi teknik yang kompleks dan canggih - apa yang saya ingin tunjukkan kepada anda ialah anda tidak perlu takut untuk menggunakan teknik algebra standard untuk mengubah fungsi asal .

Menggunakan teknik "rahsia".

Sebagai kesimpulan, saya ingin melihat satu lagi teknik yang menarik, yang, dalam satu pihak, melampaui skop apa yang kita bincangkan hari ini, tetapi, sebaliknya, ia, pertama sekali, tidak rumit sama sekali, i.e. Malah pelajar pemula boleh menguasainya, dan, kedua, ia sering dijumpai dalam semua jenis ujian dan kerja bebas, i.e. pengetahuan tentangnya akan sangat berguna sebagai tambahan kepada pengetahuan tentang jadual antiderivatif.

Tugasan No 1

Jelas sekali, kita mempunyai sesuatu yang hampir sama dengan fungsi kuasa. Apa yang perlu kita lakukan dalam kes ini? Mari kita fikirkan: $x-5$ tidak jauh berbeza dengan $x$ - mereka hanya menambah $-5$. Mari kita tulis seperti ini:

\[((x)^(4))\kepada \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Mari cuba cari terbitan $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\kiri(((\kiri(x-5 \kanan))))^(5)) \kanan))^(\prime ))=5\cdot ((\kiri(x-5 \kanan)) ^(4))\cdot ((\kiri(x-5 \kanan))^(\prime ))=5\cdot ((\kiri(x-5 \kanan))^(4))\]

Ia berikutan daripada ini:

\[((\kiri(x-5 \kanan))^(4))=((\kiri(\frac(((\kiri(x-5 \kanan))))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Tiada nilai sedemikian dalam jadual, jadi kami kini telah memperoleh formula ini sendiri menggunakan formula antiterbitan piawai untuk fungsi kuasa. Mari tulis jawapan seperti ini:

Masalah No 2

Ramai pelajar yang melihat penyelesaian pertama mungkin berfikir bahawa segala-galanya adalah sangat mudah: cuma gantikan $x$ dalam fungsi kuasa dengan ungkapan linear, dan semuanya akan sesuai. Malangnya, semuanya tidak begitu mudah, dan sekarang kita akan melihat ini.

Dengan analogi dengan ungkapan pertama, kami menulis yang berikut:

\[((x)^(9))\ke \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\kiri(((\kiri(4-3x \kanan))))^(10)) \kanan))^(\prime ))=10\cdot ((\kiri(4-3x \kanan)) ^(9))\cdot ((\kiri(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\kiri(4-3x \kanan))^(9))\cdot \kiri(-3 \kanan)=-30\cdot ((\kiri(4-3x \kanan)) ^(9))\]

Kembali kepada terbitan kami, kami boleh menulis:

\[((\kiri(((\kiri(4-3x \kanan))))^(10)) \kanan))^(\prime ))=-30\cdot ((\kiri(4-3x \kanan) )^(9))\]

\[((\kiri(4-3x \kanan))^(9))=((\kiri(\frac(((\kiri(4-3x \kanan))))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Ini serta-merta berikut:

Nuansa penyelesaian

Sila ambil perhatian: jika tiada apa-apa perubahan pada dasarnya kali terakhir, maka dalam kes kedua, bukannya $-10$, $-30$ muncul. Apakah perbezaan antara $-10$ dan $-30$? Jelas sekali, dengan faktor $-3$. Soalan: dari mana ia datang? Jika anda melihat dengan teliti, anda boleh melihat bahawa ia telah diambil sebagai hasil pengiraan derivatif fungsi kompleks - pekali yang berada pada $x$ muncul dalam antiterbitan di bawah. Ini adalah peraturan yang sangat penting, yang pada mulanya saya tidak merancang untuk membincangkan sama sekali dalam pelajaran video hari ini, tetapi tanpanya pembentangan antiderivatif jadual tidak akan lengkap.

Jadi mari kita buat lagi. Biarkan ada fungsi kuasa utama kami:

\[((x)^(n))\kepada \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sekarang, bukannya $x$, mari kita gantikan ungkapan $kx+b$. Apakah yang akan berlaku kemudian? Kita perlu mencari perkara berikut:

\[((\kiri(kx+b \kanan))^(n))\ke \frac(((\kiri(kx+b \kanan))^(n+1)))(\kiri(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Atas dasar apa kita menuntut ini? Sangat mudah. Mari cari terbitan binaan yang ditulis di atas:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kiri(kx+b \kanan))^(n))\]

Ini adalah ungkapan yang sama yang wujud pada asalnya. Oleh itu, formula ini juga betul, dan ia boleh digunakan untuk menambah jadual antiderivatif, atau lebih baik untuk menghafal keseluruhan jadual.

Kesimpulan daripada "rahsia: teknik:

• Kedua-dua fungsi yang baru sahaja kita lihat boleh, sebenarnya, dikurangkan kepada antiderivatif yang ditunjukkan dalam jadual dengan mengembangkan darjah, tetapi jika kita boleh lebih kurang entah bagaimana mengatasi darjah keempat, maka saya tidak akan mempertimbangkan darjah kesembilan. berani mendedahkan.
• Jika kita ingin mengembangkan darjah, kita akan berakhir dengan jumlah pengiraan sedemikian rupa sehingga tugas yang mudah akan membawa kita masa yang tidak sesuai.
• Itulah sebabnya masalah sedemikian, yang mengandungi ungkapan linear, tidak perlu diselesaikan secara "menuju". Sebaik sahaja anda menjumpai antiderivatif yang berbeza daripada yang dalam jadual hanya dengan kehadiran ungkapan $kx+b$ di dalam, segera ingat formula yang ditulis di atas, gantikannya ke dalam antiderivatif jadual anda, dan semuanya akan menjadi lebih baik. lebih cepat dan lebih mudah.

Sememangnya, disebabkan kerumitan dan keseriusan teknik ini, kami akan kembali kepada pertimbangannya berkali-kali dalam pelajaran video akan datang, tetapi itu sahaja untuk hari ini. Saya harap pelajaran ini akan membantu pelajar yang ingin memahami antiderivatif dan integrasi.

Definisi 1

Antiderivatif $F(x)$ untuk fungsi $y=f(x)$ pada segmen $$ ialah fungsi yang boleh dibezakan pada setiap titik segmen ini dan kesamaan berikut dipegang untuk terbitannya:

Definisi 2

Set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu $y=f(x)$, ditakrifkan pada segmen tertentu, dipanggil kamiran tak tentu bagi fungsi tertentu $y=f(x)$. Kamiran tak tentu dilambangkan dengan simbol $\int f(x)dx $.

Daripada jadual terbitan dan Definisi 2 kita memperoleh jadual kamiran asas.

Contoh 1

Semak kesahan formula 7 daripada jadual kamiran:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Mari bezakan bahagian sebelah kanan: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

Contoh 2

Semak kesahan formula 8 daripada jadual kamiran:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Mari bezakan bahagian sebelah kanan: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\kanan)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Derivatif ternyata sama dengan integrand. Oleh itu, formulanya betul.

Contoh 3

Semak kesahan formula 11" daripada jadual kamiran:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Mari bezakan bahagian sebelah kanan: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \kanan)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Derivatif ternyata sama dengan integrand. Oleh itu, formulanya betul.

Contoh 4

Semak kesahan formula 12 daripada jadual kamiran:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \kiri|\frac(a+x)(a-x) \kanan|+ C,\, \, C=const.\]

Mari bezakan bahagian sebelah kanan: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Terbitan ternyata sama dengan kamiran. Oleh itu, formula itu betul.

Contoh 5

Semak kesahan formula 13" daripada jadual kamiran:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Mari bezakan bahagian sebelah kanan: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Derivatif ternyata sama dengan integrand. Oleh itu, formulanya betul.

Contoh 6

Semak kesahan formula 14 daripada jadual kamiran:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Mari bezakan bahagian sebelah kanan: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Derivatif ternyata sama dengan integrand. Oleh itu, formulanya betul.

Contoh 7

Cari kamiran:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Mari kita gunakan teorem kamiran hasil tambah:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Mari kita gunakan teorem tentang meletakkan faktor malar di luar tanda kamiran:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Menurut jadual kamiran:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Apabila mengira kamiran pertama, kami menggunakan peraturan 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Oleh itu,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]