Jadual sifat fungsi kuasa dan graf. Fungsi kuasa

Fungsi di mana X – kuantiti berubah-ubah, A– nombor yang diberi dipanggil Fungsi kuasa .

Jika kemudian ialah fungsi linear, grafnya ialah garis lurus (lihat perenggan 4.3, Rajah 4.7).

Jika kemudian - fungsi kuadratik, grafnya ialah parabola (lihat perenggan 4.3, Rajah 4.8).

Jika kemudian grafnya ialah parabola padu (lihat perenggan 4.3, Rajah 4.9).

Fungsi kuasa

ini fungsi songsang Untuk

1. Skop:

2. Pelbagai makna:

3. genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Kekerapan fungsi: tidak berkala.

5. Sifar fungsi: X= 0 – satu-satunya sifar.

6. Fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum.

7.

8. Graf fungsi Simetri kepada graf parabola padu berbanding garis lurus Y=X dan ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.

Fungsi kuasa

1. Skop:

2. Pelbagai makna:

3. genap dan ganjil: fungsinya adalah sekata.

4. Kekerapan fungsi: tidak berkala.

5. Sifar fungsi: sifar tunggal X = 0.

6. Nilai terbesar dan terkecil fungsi: mengambil nilai terkecil untuk X= 0, ia sama dengan 0.

7. Selang peningkatan dan penurunan: fungsi itu berkurangan pada selang dan meningkat pada selang

8. Graf fungsi(untuk setiap N Î N) adalah "serupa" dengan graf parabola kuadratik(graf fungsi ditunjukkan dalam Rajah 5.2).

Fungsi kuasa

1. Skop:

2. Pelbagai makna:

3. genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Kekerapan fungsi: tidak berkala.

5. Sifar fungsi: X= 0 – satu-satunya sifar.

6. Nilai tertinggi dan terendah:

7. Selang peningkatan dan penurunan: fungsi semakin meningkat ke atas keseluruhan domain definisi.

8. Graf fungsi(untuk setiap ) adalah "serupa" dengan graf parabola padu (graf fungsi ditunjukkan dalam Rajah 5.3).

Fungsi kuasa

1. Skop:

2. Pelbagai makna:

3. genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Kekerapan fungsi: tidak berkala.

5. Sifar fungsi: tidak mempunyai sifar.

6. Nilai terbesar dan terkecil fungsi: fungsi tidak mempunyai nilai terbesar dan terkecil untuk mana-mana

7. Selang peningkatan dan penurunan: fungsi itu semakin berkurangan dalam domain definisinya.

8. Asimtot:(paksi Oh) – asimtot menegak;

(paksi Oh) – asimtot mendatar.

9. Graf fungsi(untuk mana-mana N) adalah “serupa” dengan graf hiperbola (graf fungsi ditunjukkan dalam Rajah 5.4).

Fungsi kuasa

1. Skop:

2. Pelbagai makna:

3. genap dan ganjil: fungsinya adalah sekata.

4. Kekerapan fungsi: tidak berkala.

5. Nilai terbesar dan terkecil fungsi: fungsi tidak mempunyai nilai terbesar dan terkecil untuk mana-mana

6. Selang peningkatan dan penurunan: fungsi semakin meningkat dan menurun sebanyak

7. Asimtot: X= 0 (paksi Oh) – asimtot menegak;

Y= 0 (paksi Oh) – asimtot mendatar.

8. Graf fungsi Ia adalah hiperbola kuadratik (Rajah 5.5).

Fungsi kuasa

1. Skop:

2. Pelbagai makna:

3. genap dan ganjil: fungsi tersebut tidak mempunyai sifat genap dan ganjil.

4. Kekerapan fungsi: tidak berkala.

5. Sifar fungsi: X= 0 – satu-satunya sifar.

6. Nilai terbesar dan terkecil fungsi: fungsi mengambil nilai terkecil bersamaan dengan 0 pada titik X= 0; nilai tertinggi tidak mempunyai.

7. Selang peningkatan dan penurunan: fungsi semakin meningkat ke atas keseluruhan domain definisi.

8. Setiap fungsi sedemikian untuk eksponen tertentu adalah songsang bagi fungsi yang disediakan

9. Graf fungsi"menyerupai" graf fungsi untuk sebarang N dan ditunjukkan dalam Rajah. 5.6.

Fungsi kuasa

1. Skop:

2. Pelbagai makna:

3. genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Kekerapan fungsi: tidak berkala.

5. Sifar fungsi: X= 0 – satu-satunya sifar.

6. Nilai terbesar dan terkecil fungsi: fungsi tidak mempunyai nilai terbesar dan terkecil untuk mana-mana

7. Selang peningkatan dan penurunan: fungsi semakin meningkat ke atas keseluruhan domain definisi.

8. Graf fungsi Ditunjukkan dalam Rajah. 5.7.

Fungsi kuasa, sifat dan grafnya Bahan demo Lesson-lecture Konsep fungsi. Sifat fungsi. Fungsi kuasa, sifat dan grafnya. Darjah 10 Hak cipta terpelihara. Hak Cipta dengan Hak Cipta dengan

Kemajuan pelajaran: Pengulangan. Fungsi. Sifat fungsi. Mempelajari bahan baharu. 1. Definisi fungsi kuasa.Definisi fungsi kuasa. 2. Sifat dan graf fungsi kuasa. Penyatuan bahan yang dipelajari. Pengiraan lisan. Pengiraan lisan. Ringkasan pelajaran. Tugasan kerja rumah.

Domain definisi dan domain nilai fungsi Semua nilai pembolehubah bebas membentuk domain definisi fungsi x y=f(x) f Domain definisi fungsi Domain nilai fungsi Semua nilai yang diambil oleh pembolehubah bersandar membentuk domain nilai fungsi Fungsi. Sifat fungsi

Graf fungsi Biarkan fungsi diberi dengan xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Graf fungsi ialah set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai hujah, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan. Fungsi. Sifat fungsi

Y x Domain takrifan dan julat nilai fungsi 4 y=f(x) Domain takrifan fungsi: Domain nilai fungsi: Fungsi. Sifat fungsi

Fungsi genap y x y=f(x) Graf malah berfungsi adalah simetri berkenaan dengan paksi op-amp Fungsi y=f(x) dipanggil walaupun f(-x) = f(x) untuk sebarang x daripada domain takrifan Fungsi. Sifat fungsi

Fungsi ganjil y x y=f(x) Graf fungsi ganjil simetri berkenaan dengan asal koordinat O(0;0) Fungsi y=f(x) dipanggil ganjil jika f(-x) = -f(x) bagi mana-mana x daripada domain takrifan fungsi Fungsi. Sifat fungsi

Definisi fungsi kuasa Fungsi di mana p ialah nombor nyata yang diberi dipanggil fungsi kuasa. p y=x p P=x y 0 Kemajuan pelajaran

Fungsi kuasa x y 1. Domain definisi dan julat nilai fungsi kuasa bentuk, di mana n – nombor asli, adalah semua nombor nyata. 2. Fungsi ini adalah ganjil. Graf mereka adalah simetri tentang asal usul. Sifat dan graf fungsi kuasa

Fungsi kuasa dengan eksponen positif rasional Domain definisi adalah semua nombor positif dan nombor 0. Julat nilai fungsi dengan eksponen sedemikian juga semua nombor positif dan nombor 0. Fungsi ini bukan genap atau ganjil. . y x Sifat dan graf bagi fungsi kuasa

Fungsi kuasa dengan rasional penunjuk negatif. Domain takrifan dan julat nilai bagi fungsi tersebut adalah semua nombor positif. Fungsinya tidak genap mahupun ganjil. Fungsi sedemikian berkurangan di seluruh domain definisi mereka. y x Sifat dan graf fungsi kuasa Kemajuan pelajaran

Mari kita ingat sifat dan graf fungsi kuasa dengan eksponen integer negatif.

Untuk n genap, :

Contoh fungsi:

Semua graf bagi fungsi tersebut melalui dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Keanehan fungsi jenis ini ialah paritinya; graf adalah simetri berbanding paksi op-amp.

nasi. 1. Graf bagi suatu fungsi

Untuk n ganjil,:

Contoh fungsi:

Semua graf bagi fungsi tersebut melalui dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Keistimewaan fungsi jenis ini ialah ia ganjil; graf adalah simetri berkenaan dengan asal.

nasi. 2. Graf bagi suatu fungsi

Mari kita ingat definisi asas.

Kuasa nombor bukan negatif a dengan eksponen positif rasional dipanggil nombor.

Ijazah nombor positif dan dengan eksponen negatif rasional dipanggil nombor.

Untuk persamaan:

Contohnya: ; - ungkapan itu tidak wujud mengikut takrifan kuasa dengan negatif penunjuk rasional; wujud kerana eksponen ialah integer,

Mari kita beralih kepada mempertimbangkan fungsi kuasa dengan eksponen negatif yang rasional.

Contohnya:

Untuk memplot graf fungsi ini, anda boleh membuat jadual. Kami akan melakukannya secara berbeza: pertama kami akan membina dan mengkaji graf penyebut - ia diketahui oleh kami (Rajah 3).

nasi. 3. Graf bagi suatu fungsi

Graf fungsi penyebut melalui titik tetap (1;1). Apabila memplot fungsi asal titik yang diberikan kekal, apabila punca juga cenderung kepada sifar, fungsi itu cenderung kepada infiniti. Dan, sebaliknya, kerana x cenderung kepada infiniti, fungsi itu cenderung kepada sifar (Rajah 4).

nasi. 4. Graf fungsi

Mari kita pertimbangkan fungsi lain daripada keluarga fungsi yang sedang dikaji.

Adalah penting bahawa mengikut definisi

Mari kita pertimbangkan graf fungsi dalam penyebut: , graf fungsi ini diketahui oleh kita, ia meningkat dalam domain takrifnya dan melalui titik (1;1) (Rajah 5).

nasi. 5. Graf bagi suatu fungsi

Apabila memplot graf fungsi asal, titik (1;1) kekal, manakala punca juga cenderung kepada sifar, fungsi cenderung kepada infiniti. Dan, sebaliknya, kerana x cenderung kepada infiniti, fungsi itu cenderung kepada sifar (Rajah 6).

nasi. 6. Graf bagi suatu fungsi

Contoh yang dipertimbangkan membantu memahami cara graf mengalir dan apakah sifat fungsi yang sedang dikaji - fungsi dengan eksponen rasional negatif.

Graf fungsi keluarga ini melalui titik (1;1), fungsi berkurangan ke atas keseluruhan domain definisi.

Skop fungsi:

Fungsi tidak terhad dari atas, tetapi terhad dari bawah. Fungsi ini tidak mempunyai yang terbesar mahupun nilai terendah.

Fungsi ini berterusan, menerima segala-galanya nilai positif daripada sifar kepada tambah infiniti.

Fungsinya adalah cembung ke bawah (Rajah 15.7)

Titik A dan B diambil pada lengkung, segmen dilukis melaluinya, keseluruhan lengkung berada di bawah segmen, keadaan ini dipenuhi untuk dua titik sewenang-wenang pada lengkung, oleh itu fungsinya adalah cembung ke bawah. nasi. 7.

nasi. 7. Kecembungan fungsi

Adalah penting untuk memahami bahawa fungsi keluarga ini dibatasi dari bawah dengan sifar, tetapi tidak mempunyai nilai terkecil.

Contoh 1 - cari maksimum dan minimum fungsi pada selang \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graf (Rajah 2).

Rajah 2. Graf fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$

Sifat fungsi kuasa dengan eksponen ganjil semula jadi

Domain definisi ialah semua nombor nyata.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fungsinya ganjil.

$f(x)$ berterusan ke atas keseluruhan domain definisi.

Julat adalah semua nombor nyata.

$f"\kiri(x\kanan)=\kiri(x^(2n-1)\kanan)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fungsi meningkat ke atas keseluruhan domain definisi.

$f\left(x\right)0$, untuk $x\in (0+\infty)$.

$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \kiri(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fungsinya ialah cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0+\infty)$.

Graf (Rajah 3).

Rajah 3. Graf fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fungsi kuasa dengan eksponen integer

Mula-mula, mari kita perkenalkan konsep ijazah dengan eksponen integer.

Definisi 3

Ijazah nombor sebenar$a$ dengan eksponen integer $n$ ditentukan oleh formula:

Rajah 4.

Sekarang mari kita pertimbangkan fungsi kuasa dengan eksponen integer, sifat dan grafnya.

Definisi 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ dipanggil fungsi kuasa dengan eksponen integer.

Jika ijazah lebih besar daripada sifar, kemudian kita sampai kepada kes fungsi kuasa dengan penunjuk semula jadi. Kami telah membincangkannya di atas. Untuk $n=0$ kita dapat fungsi linear$y=1$. Kami akan menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Ia kekal untuk mempertimbangkan sifat fungsi kuasa dengan eksponen integer negatif

Sifat fungsi kuasa dengan eksponen integer negatif

Domain definisi ialah $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$.

Jika eksponen adalah genap, maka fungsinya adalah genap, jika ia adalah ganjil, maka fungsinya adalah ganjil.

$f(x)$ berterusan ke atas keseluruhan domain definisi.

Skop:

Jika eksponen genap, maka $(0+\infty)$ jika ia ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$;

Jika tidak penunjuk genap fungsi berkurangan sebagai $x\in \left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$. Untuk eksponen genap, fungsi berkurangan sebagai $x\in (0+\infty)$. dan meningkat sebagai $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ ke atas keseluruhan domain definisi