Jadual trigonometri. Baiklah, mari cuba formula ini untuk rasa, berlatih mencari mata pada bulatan? Radas matematik yang dicadangkan ialah analog lengkap kalkulus kompleks untuk nombor hiperkompleks n-dimensi dengan sebarang bilangan darjah dengan

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Pertama sekali, izinkan saya mengingatkan anda tentang kesimpulan mudah tetapi sangat berguna daripada pelajaran "Apakah sinus dan kosinus? Apakah tangen dan kotangen?"

Inilah output itu:

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen disambungkan rapat dengan sudutnya. Kami tahu satu perkara, jadi kami tahu sesuatu yang lain.

Dengan kata lain, setiap sudut mempunyai sinus dan kosinus tetap sendiri. Dan hampir setiap orang mempunyai tangen dan kotangen mereka sendiri. kenapa hampir? Lebih lanjut mengenai itu di bawah.

Pengetahuan ini akan banyak membantu anda! Terdapat banyak tugas di mana anda perlu pergi dari sinus ke sudut dan sebaliknya. Untuk ini ada jadual sinus. Begitu juga, untuk pekerjaan dengan kosinus - jadual kosinus. Dan, anda rasa, ada meja tangen dan meja kotangen.)

Jadual berbeza. Yang panjang, di mana anda boleh melihat apa, katakan, sin37 ° 6 'sama dengan. Kami membuka jadual Bradis, cari sudut tiga puluh tujuh darjah enam minit dan lihat nilai 0.6032. Sudah tentu, menghafal nombor ini (dan beribu-ribu yang lain nilai jadual) tidak diperlukan sama sekali.

Malah, pada zaman kita, jadual panjang kosinus, sinus, tangen, dan kotangen tidak benar-benar diperlukan. Satu kalkulator yang baik menggantikannya sepenuhnya. Tetapi tidak salah untuk mengetahui tentang kewujudan jadual sedemikian. Untuk pengetahuan umum.)

Mengapa pelajaran ini? - anda bertanya.

Tapi kenapa. Di antara bilangan sudut yang tidak terhingga terdapat istimewa, tentang yang anda patut tahu segala-galanya. Semua geometri sekolah dan trigonometri dibina pada sudut ini. Ini adalah sejenis "jadual darab" trigonometri. Jika anda tidak tahu apa yang sama dengan sin50°, sebagai contoh, tiada siapa yang akan menilai anda.) Tetapi jika anda tidak tahu apa yang sama dengan sin30°, bersedialah untuk mendapatkan deuce yang layak...

begitu istimewa sudut juga ditaip dengan sopan. Buku teks sekolah biasanya ditawarkan untuk menghafal. jadual sinus dan jadual kosinus untuk tujuh belas penjuru. Dan, sudah tentu, meja tangen dan meja kotangen untuk tujuh belas penjuru yang sama... Iaitu. dicadangkan untuk mengingati 68 nilai. Yang, dengan cara ini, sangat serupa antara satu sama lain, ulangi dan tukar tanda-tanda dari semasa ke semasa. Bagi seseorang yang tidak mempunyai ingatan visual yang ideal - itu tugas lain ...)

Kami akan pergi ke arah lain. Mari gantikan hafalan mekanikal dengan logik dan kepintaran. Kemudian kita perlu menghafal 3 (tiga!) nilai untuk jadual sinus dan jadual kosinus. Dan 3 (tiga!) nilai untuk jadual tangen dan jadual kotangen. Dan itu sahaja. Enam nilai lebih mudah diingati daripada 68, saya rasa...)

Lain-lain nilai yang diperlukan kita akan keluar daripada enam ini dengan helaian tipu undang-undang yang berkuasa - bulatan trigonometri. Jika anda belum mempelajari topik ini, pergi ke pautan, jangan malas. Bulatan ini bukan sahaja untuk pelajaran ini. Dia tiada gantinya untuk semua trigonometri sekaligus. Tidak menggunakan alat sedemikian adalah dosa semata-mata! Anda tidak mahu? Itu urusan awak. hafal jadual sinus. jadual kosinus. Jadual tangen. Meja kotangen. Semua 68 nilai untuk pelbagai sudut.)

Jadi, mari kita mulakan. Sebagai permulaan, mari kita pecahkan semua sudut istimewa ini kepada tiga kumpulan.

Kumpulan pertama sudut.

Pertimbangkan kumpulan pertama sudut tujuh belas istimewa. Ini ialah 5 sudut: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Beginilah rupa jadual sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut ini:

Sudut x (dalam darjah)	0	90	180	270	360
Sudut x (dalam radian)	0
dosa x	0	1	0	-1	0
kerana x	1	0	-1	0	1
tg x	0	bukan kata nama	0	bukan kata nama	0
ctg x	bukan kata nama	0	bukan kata nama	0	bukan kata nama

Yang nak ingat - ingat. Tetapi saya mesti mengatakan dengan segera bahawa semua yang dan sifar ini sangat keliru dalam kepala saya. Jauh lebih kuat daripada yang anda mahu.) Oleh itu, kami menghidupkan logik dan bulatan trigonometri.

Kami melukis bulatan dan menandakan sudut yang sama di atasnya: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Saya menandakan sudut ini dengan titik merah:

Anda boleh segera melihat apa keistimewaan sudut-sudut ini. Ya! Ini adalah sudut yang jatuh tepat pada paksi koordinat! Sebenarnya, sebab itu orang jadi keliru... Tetapi kita tidak akan keliru. Mari kita fikirkan bagaimana untuk mencari fungsi trigonometri sudut ini tanpa banyak hafalan.

By the way, kedudukan sudut ialah 0 darjah bertepatan sepenuhnya dengan sudut 360 darjah. Ini bermakna sinus, kosinus, tangen bagi sudut ini adalah sama. Saya menandakan sudut 360 darjah untuk melengkapkan bulatan.

Katakan, dalam persekitaran tertekan yang sukar dalam Peperiksaan Negeri Bersatu, anda entah bagaimana meragui ... Apa sama dengan sinus 0 darjah? Nampaknya seperti sifar ... Bagaimana jika ia adalah satu unit?! Memori mekanikal adalah perkara sedemikian. Dalam keadaan yang teruk, keraguan mula menggerogoti ...)

Tenang, hanya tenang!) Saya akan memberitahu anda teknik praktikal, yang akan memberikan jawapan yang betul 100% dan menghapuskan sepenuhnya semua keraguan.

Sebagai contoh, mari kita fikirkan cara menentukan dengan jelas dan boleh dipercayai, katakan, sinus 0 darjah. Dan pada masa yang sama, kosinus 0. Dalam nilai-nilai ini, anehnya, orang sering keliru.

Untuk melakukan ini, lukis pada bulatan sewenang-wenangnya sudut X. Pada suku pertama, supaya ia tidak jauh dari 0 darjah. Perhatikan pada paksi sinus dan kosinus sudut ini X, semuanya chinar. seperti ini:

Dan sekarang - perhatian! Kurangkan sudut X, bawa bahagian boleh alih ke paksi OH. Tuding pada gambar (atau sentuh gambar pada tablet) dan lihat semuanya.

Sekarang hidupkan logik asas!. Tonton dan fikirkan: Bagaimanakah sinx berkelakuan apabila sudut x berkurangan? Apabila sudut menghampiri sifar? Ia mengecut! Dan cosx - meningkat! Masih perlu memikirkan apa yang akan berlaku kepada sinus apabila sudut runtuh sepenuhnya? Bilakah sisi bergerak sudut (titik A) akan mendap pada paksi OX dan sudut menjadi sama dengan sifar? Jelas sekali, sinus sudut juga akan menjadi sifar. Dan kosinus akan meningkat kepada ... hingga ... Berapakah panjang sisi bergerak sudut (jejari bulatan trigonometri)? Perpaduan!

Inilah jawapannya. Sinus bagi 0 darjah ialah 0. Kosinus 0 darjah ialah 1. Benar-benar kuku besi dan tanpa sebarang keraguan!) Hanya kerana sebaliknya tak mungkin.

Dengan cara yang sama, anda boleh mengetahui (atau menjelaskan) sinus 270 darjah, sebagai contoh. Atau kosinus 180. Lukis bulatan, sewenang-wenangnya sudut dalam suku di sebelah paksi koordinat yang menarik minat kita, gerakkan sisi sudut secara mental dan tangkap apakah sinus dan kosinus akan menjadi apabila sisi sudut itu mendap pada paksi. Itu sahaja.

Seperti yang anda lihat, tidak perlu menghafal apa-apa untuk kumpulan sudut ini. tidak diperlukan di sini jadual sinus... Ya dan jadual kosinus- Juga.) By the way, selepas beberapa aplikasi bulatan trigonometri, semua nilai ini diingati dengan sendirinya. Dan jika mereka dilupakan, saya melukis bulatan dalam masa 5 saat dan menjelaskannya. Jauh lebih mudah daripada memanggil rakan dari tandas dengan risiko sijil, bukan?)

Bagi tangen dan kotangen, semuanya adalah sama. Kami melukis garis tangen (kotangen) pada bulatan - dan segala-galanya dapat dilihat dengan serta-merta. Di mana ia sama dengan sifar, dan di mana ia tidak wujud. Apa, tidakkah anda tahu tentang garis tangen dan kotangen? Ini menyedihkan, tetapi boleh diperbaiki.) Melawat Seksyen 555 Tangen dan kotangen pada bulatan trigonometri - dan tiada masalah!

Jika anda memahami cara mentakrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen dengan jelas untuk lima sudut ini - tahniah! Untuk berjaga-jaga, saya memberitahu anda bahawa anda kini boleh menentukan fungsi mana-mana sudut yang jatuh pada paksi. Dan ini adalah 450°, dan 540°, dan 1800°, dan juga nombor tak terhingga ...) Saya mengira (betul!) Sudut pada bulatan - dan tidak ada masalah dengan fungsi.

Tetapi, hanya dengan pengiraan sudut, masalah dan kesilapan berlaku ... Bagaimana untuk mengelakkannya ditulis dalam pelajaran: Cara melukis (mengira) mana-mana sudut pada bulatan trigonometri dalam darjah. Rendah, tetapi sangat membantu dalam memerangi kesilapan.)

Dan inilah pelajarannya: Cara melukis (mengira) sebarang sudut pada bulatan trigonometri dalam radian - ia akan menjadi lebih mendadak. Dari segi kemungkinan. Katakan, tentukan yang mana antara empat paksi separuh sudut jatuh

anda boleh dalam beberapa saat. Saya tidak bergurau! Hanya dalam beberapa saat. Sudah tentu, bukan sahaja 345 "pi" ...) Dan 121, dan 16, dan -1345. Sebarang pekali integer adalah baik untuk jawapan segera.

Bagaimana jika sudut

Fikirkan! Jawapan yang betul diperolehi dalam 10 saat.Untuk mana-mana nilai pecahan radian dengan penyebut dua.

Sebenarnya, ini bagus bulatan trigonometri. Hakikat bahawa keupayaan untuk bekerja dengan sebahagian sudut ia mengembang secara automatik set tak terhingga sudut.

Jadi, dengan lima penjuru daripada tujuh belas - fikirkannya.

Kumpulan kedua sudut.

Kumpulan seterusnya sudut ialah 30°, 45° dan 60°. Mengapa ini, dan bukan, sebagai contoh, 20, 50 dan 80? Ya, entah bagaimana ia berlaku seperti ini ... Dari segi sejarah.) Selanjutnya akan dilihat betapa baiknya sudut ini.

Jadual sinus, kosinus, tangen, kotangen untuk sudut ini kelihatan seperti ini:

Sudut x (dalam darjah)	0	30	45	60	90
Sudut x (dalam radian)	0
dosa x	0				1
kerana x	1				0
tg x	0		1		bukan kata nama
ctg x	bukan kata nama		1		0

Saya meninggalkan nilai untuk 0° dan 90° daripada jadual sebelumnya untuk kesempurnaan.) Untuk menjelaskan bahawa sudut ini terletak pada suku pertama dan meningkat. Dari 0 hingga 90. Ini akan berguna kepada kami selanjutnya.

Nilai jadual untuk sudut 30°, 45° dan 60° mesti dihafal. Gores jika anda mahu. Tetapi di sini juga, terdapat peluang untuk menjadikan hidup lebih mudah untuk diri sendiri.) Perhatikan nilai jadual sinus sudut-sudut ini. Dan bandingkan dengan nilai jadual kosinus...

Ya! mereka sama! Hanya terletak di susunan terbalik. Sudut bertambah (0, 30, 45, 60, 90) - dan nilai sinus meningkat dari 0 hingga 1. Anda boleh mengesahkan dengan kalkulator. Dan nilai kosinus - berkurangan dari 1 hingga sifar. Lebih-lebih lagi, nilai itu sendiri sama. Untuk sudut 20, 50, 80 ini tidak akan berlaku...

Oleh itu kesimpulan yang berguna. Cukup untuk belajar tiga nilai untuk sudut 30, 45, 60 darjah. Dan ingat bahawa mereka bertambah dalam sinus, dan berkurangan dalam kosinus. Ke arah sinus.) Separuh jalan (45°) mereka bertemu, iaitu sinus 45 darjah adalah sama dengan kosinus 45 darjah. Dan kemudian mereka menyimpang lagi ... Tiga makna boleh dipelajari, bukan?

Dengan tangen - kotangen, gambar adalah sama secara eksklusif. Satu lawan satu. Cuma nilainya berbeza. Nilai ini (tiga lagi!) juga perlu dipelajari.

Nah, hampir semua hafalan sudah tamat. Anda memahami (mudah-mudahan) bagaimana untuk menentukan nilai untuk lima sudut yang jatuh pada paksi dan mempelajari nilai untuk sudut 30, 45, 60 darjah. Jumlah 8.

Ia kekal untuk menangani kumpulan terakhir 9 penjuru.

Ini adalah sudut:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Untuk sudut ini, anda perlu mengetahui jadual besi sinus, jadual kosinus, dsb.

Mimpi ngeri, kan?)

Dan jika anda menambah sudut di sini, seperti: 405 °, 600 °, atau 3000 ° dan banyak, banyak yang sama cantik?)

Atau sudut dalam radian? Sebagai contoh, mengenai sudut:

dan banyak lagi yang anda patut tahu segala-galanya.

Perkara yang paling kelakar adalah untuk mengetahui segala-galanya - mustahil pada dasarnya. Jika anda menggunakan memori mekanikal.

Dan ia sangat mudah, sebenarnya asas - jika anda menggunakan bulatan trigonometri. Jika anda menggunakan bulatan trigonometri secara langsung, semua sudut yang mengerikan dalam darjah boleh dengan mudah dan elegan dikurangkan kepada sudut lama yang baik:

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Kami memulakan kajian trigonometri kami dengan segi tiga tepat. Mari kita tentukan apakah sinus dan kosinus, serta tangen dan kotangen bagi sudut akut. Ini adalah asas trigonometri.

Ingat itu sudut tepat ialah sudut sama dengan 90 darjah. Dalam erti kata lain, separuh daripada sudut terbentang.

Sudut tajam- kurang daripada 90 darjah.

Sudut cakah- lebih daripada 90 darjah. Berhubung dengan sudut sedemikian, "tumpul" bukanlah satu penghinaan, tetapi istilah matematik :-)

Mari kita lukis segi tiga tepat. Sudut tegak biasanya dilambangkan . Perhatikan bahawa sisi yang bertentangan dengan sudut dilambangkan dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang terletak bertentangan dengan sudut A dilambangkan.

Sudut dilambangkan dengan huruf Yunani yang sepadan.

Hipotenus Segitiga tegak ialah sisi yang bertentangan dengan sudut tegak.

kaki- sisi bertentangan sudut tajam.

Kaki yang bertentangan dengan sudut dipanggil bertentangan(berbanding dengan sudut). Kaki yang lain, yang terletak pada satu sisi sudut, dipanggil bersebelahan.

Resdung Sudut lancip dalam segi tiga tepat ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus:

kosinus sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:

Tangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan:

Takrifan lain (bersamaan): tangen bagi sudut akut ialah nisbah sinus sudut kepada kosinusnya:

Kotangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bersebelahan dengan bertentangan (atau, bersamaan, nisbah kosinus kepada sinus):

Beri perhatian kepada nisbah asas untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen, yang diberikan di bawah. Mereka akan berguna kepada kita dalam menyelesaikan masalah.

Mari kita buktikan sebahagian daripada mereka.

Okay, kami telah memberikan definisi dan formula bertulis. Tetapi mengapa kita memerlukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen?

Kami tahu itu hasil tambah sudut mana-mana segi tiga ialah.

Kami tahu hubungan antara pihak segi tiga tepat. Ini ialah teorem Pythagoras: .

Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam segitiga, anda boleh mencari yang ketiga. Mengetahui dua sisi dalam segi tiga tepat, anda boleh mencari yang ketiga. Jadi, untuk sudut - nisbah mereka, untuk sisi - mereka sendiri. Tetapi apa yang perlu dilakukan jika dalam segi tiga tepat satu sudut (kecuali yang betul) dan satu sisi diketahui, tetapi anda perlu mencari sisi lain?

Inilah yang dihadapi orang pada masa lalu, membuat peta kawasan dan langit berbintang. Lagipun, tidak selalu mungkin untuk mengukur secara langsung semua sisi segitiga.

Sinus, kosinus dan tangen - mereka juga dipanggil fungsi trigonometri sudut- berikan nisbah antara pihak dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, anda boleh mencari semua fungsi trigonometrinya menggunakan jadual khas. Dan mengetahui sinus, kosinus dan tangen bagi sudut segitiga dan salah satu sisinya, anda boleh mencari yang lain.

Kami juga akan melukis jadual nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut "baik" dari ke.

Perhatikan dua sengkang merah di dalam jadual. Untuk nilai sudut yang sepadan, tangen dan kotangen tidak wujud.

Mari analisa beberapa masalah dalam trigonometri daripada tugasan Bank of FIPI.

1. Dalam segitiga, sudutnya ialah , . Cari .

Masalahnya diselesaikan dalam masa empat saat.

Kerana ia , .

2. Dalam segitiga, sudutnya ialah , , . Cari .

Mari kita cari dengan teorem Pythagoras.

Masalah selesai.

Selalunya dalam masalah terdapat segi tiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan . Menghafal nisbah asas untuk mereka dengan hati!

Untuk segi tiga dengan sudut dan kaki bertentangan sudut di adalah sama dengan separuh daripada hipotenus.

Segitiga bersudut dan adalah sama kaki. Di dalamnya, hipotenus adalah kali lebih besar daripada kaki.

Kami mempertimbangkan masalah untuk menyelesaikan segi tiga tepat - iaitu, untuk mencari pihak yang tidak dikenali atau sudut. Tetapi bukan itu sahaja! AT GUNAKAN pilihan dalam matematik, terdapat banyak masalah di mana sinus, kosinus, tangen atau kotangen sudut luar segitiga itu muncul. Lebih lanjut mengenai ini dalam artikel seterusnya.

Meja utama fungsi trigonometri untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, … darjah

Daripada takrif trigonometri bagi fungsi $\sin$, $\cos$, $\tan$, dan $\cot$, seseorang boleh mencari nilainya untuk sudut $0$ dan $90$ darjah:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ tidak ditakrifkan;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ tidak ditakrifkan.

AT kursus sekolah geometri dalam kajian segi tiga tegak mencari fungsi trigonometri bagi sudut $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ dan $90°$.

Nilai ditemui bagi fungsi trigonometri untuk sudut yang ditentukan dalam darjah dan radian masing-masing ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) untuk kemudahan hafalan dan penggunaan dimasukkan dalam jadual yang dipanggil jadual trigonometri, jadual nilai asas fungsi trigonometri dan lain-lain.

Apabila menggunakan formula pengurangan, jadual trigonometri boleh dikembangkan kepada $360°$ dan $2\pi$ radian masing-masing:

Menggunakan sifat berkala bagi fungsi trigonometri, setiap sudut yang berbeza daripada sudut yang telah diketahui sebanyak $360°$ boleh dikira dan direkodkan dalam jadual. Sebagai contoh, fungsi trigonometri untuk sudut $0°$ akan mempunyai nilai yang sama untuk sudut $0°+360°$, dan untuk sudut $0°+2 \cdot 360°$, dan untuk sudut $0°+3 \ cdot 360°$ dan lain-lain.

Menggunakan jadual trigonometri, anda boleh menentukan nilai semua sudut bulatan unit.

Dalam kursus geometri sekolah, ia sepatutnya menghafal nilai asas fungsi trigonometri yang dikumpulkan dalam jadual trigonometri, untuk kemudahan menyelesaikan masalah trigonometri.

Menggunakan meja

Dalam jadual, sudah cukup untuk mencari fungsi trigonometri yang diperlukan dan nilai sudut atau radian yang mana fungsi ini perlu dikira. Di persimpangan baris dengan fungsi dan lajur dengan nilai, kita mendapat nilai yang dikehendaki bagi fungsi trigonometri bagi hujah yang diberikan.

Dalam rajah anda boleh melihat cara mencari nilai $\cos⁡60°$ yang bersamaan dengan $\frac(1)(2)$.

Jadual trigonometri lanjutan digunakan sama. Kelebihan menggunakannya adalah, seperti yang telah disebutkan, pengiraan fungsi trigonometri hampir mana-mana sudut. Sebagai contoh, anda boleh mencari nilai dengan mudah $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

Jadual Bradis bagi fungsi trigonometri asas

Keupayaan untuk mengira fungsi trigonometri secara mutlak mana-mana nilai sudut untuk nilai integer darjah dan nilai integer minit memberikan penggunaan jadual Bradis. Sebagai contoh, cari nilai $\cos⁡34°7"$. Jadual dibahagikan kepada 2 bahagian: jadual nilai $\sin$ dan $\cos$ dan jadual $\tan$ dan $\ nilai cot$.

Jadual Bradis memungkinkan untuk mendapatkan nilai anggaran fungsi trigonometri dengan ketepatan sehingga 4 tempat perpuluhan.

Menggunakan Jadual Bradis

Menggunakan jadual Bradys untuk sinus, kita dapati $\sin⁡17°42"$. Untuk melakukan ini, dalam lajur di sebelah kiri jadual sinus dan kosinus kita dapati nilai darjah - $17°$, dan dalam baris atas kita dapati nilai minit - $42"$. Di persimpangan mereka, kami mendapat nilai yang dikehendaki:

$\sin17°42"=0.304$.

Untuk mencari nilai $\sin17°44"$, anda perlu menggunakan pembetulan di sebelah kanan jadual. Dalam kes ini kepada nilai $42"$, yang terdapat dalam jadual, anda perlu menambah pembetulan untuk $2"$, yang bersamaan dengan $0.0006$. Kita mendapatkan:

$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.

Untuk mencari nilai $\sin17°47"$, kami juga menggunakan pembetulan di sebelah kanan jadual, hanya dalam kes ini kami mengambil nilai $\sin17°48"$ sebagai asas dan menolak pembetulan untuk $1"$:

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.

Apabila mengira kosinus, kami melakukan tindakan yang serupa, tetapi kami melihat darjah di lajur kanan, dan minit di lajur bawah jadual. Contohnya, $\cos20°=0.9397$.

Tiada pembetulan untuk nilai tangen sehingga $90°$ dan kotangen sudut kecil. Sebagai contoh, mari cari $\tan 78°37"$, yang mengikut jadual ialah $4,967$.

1. Fungsi trigonometri mewakili fungsi asas, hujah siapa sudut. Dengan bantuan fungsi trigonometri, hubungan antara sisi dan sudut tajam dalam segi tiga tepat. Bidang penggunaan fungsi trigonometri adalah sangat pelbagai. Jadi, sebagai contoh, sebarang proses berkala boleh diwakili sebagai jumlah fungsi trigonometri (siri Fourier). Fungsi ini sering muncul semasa menyelesaikan persamaan pembezaan dan fungsi.

2. Fungsi trigonometri merangkumi 6 fungsi berikut: resdung, kosinus, tangen,kotangen, sekan dan kosekan. Bagi setiap fungsi yang ditentukan terdapat fungsi trigonometri songsang.

3. Definisi geometri fungsi trigonometri diperkenalkan dengan mudah menggunakan bulatan unit. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan jejari r=1. Titik M(x,y) ditanda pada bulatan. Sudut antara vektor jejari OM dan arah positif paksi Ox ialah α.

4. resdung sudut α ialah nisbah ordinat y titik M(x,y) kepada jejari r:
sinα=y/r.
Oleh kerana r=1, maka sinus adalah sama dengan ordinat titik M(x,y).

5. kosinus sudut α ialah nisbah absis x titik M(x,y) kepada jejari r:
cosα=x/r

6. tangen sudut α ialah nisbah ordinat y bagi titik M(x,y) kepada absisnya x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangen sudut α ialah nisbah absis x titik M(x,y) kepada koordinatnya:
cotα=x/y,y≠0

8. Secant sudut α ialah nisbah jejari r kepada absis x titik M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecant sudut α ialah nisbah jejari r kepada ordinat y bagi titik M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Dalam bulatan unit unjuran x, y bagi titik M(x,y) dan jejari r membentuk segi tiga tegak di mana x,y ialah kaki dan r ialah hipotenus. Oleh itu, takrifan fungsi trigonometri di atas seperti yang digunakan untuk segi tiga tepat dirumuskan dengan cara ini:
resdung sudut α ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus.
kosinus sudut α ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
tangen sudut α dipanggil kaki bertentangan dengan yang bersebelahan.
Kotangen sudut α dipanggil kaki bersebelahan dengan yang bertentangan.
Secant sudut α ialah nisbah hipotenus kepada kaki bersebelahan.
Cosecant sudut α ialah nisbah hipotenus kepada kaki bertentangan.

11. graf fungsi sinus
y=sinx, domain: x∈R, domain: −1≤sinx≤1

12. Graf fungsi kosinus
y=cosx, domain: x∈R, julat: −1≤cosx≤1

13. graf fungsi tangen
y=tanx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domain: −∞

14. Graf fungsi kotangen
y=cotx, domain: x∈R,x≠kπ, domain: −∞

15. Graf fungsi sekan
y=secx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domain: secx∈(−∞,−1]∪∪)