Teorem Bayes ialah teori kebarangkalian sesuatu peristiwa. Penjelasan ringkas tentang teorem Bayes

Apabila memperoleh formula kebarangkalian penuh acara itu sepatutnya DAN, kebarangkalian yang akan ditentukan, boleh berlaku kepada salah satu peristiwa H 1 , N 2 , ... , H n, membentuk kumpulan lengkap acara tidak serasi berpasangan. Pada masa yang sama, kebarangkalian peristiwa yang ditentukan(hipotesis) telah diketahui lebih awal. Mari kita anggap bahawa percubaan telah dilakukan, akibatnya peristiwa itu DAN telah datang. ini Maklumat tambahan membolehkan anda menilai semula kebarangkalian hipotesis H i , setelah dikira P(H i /A).

atau, menggunakan jumlah formula kebarangkalian, kita dapat

Formula ini dipanggil formula Bayes atau teorem hipotesis. Formula Bayes membolehkan anda "menyemak" kebarangkalian hipotesis selepas ia menjadi keputusan yang diketahui pengalaman yang mengakibatkan peristiwa itu DAN.

Kebarangkalian Р(Н i) ialah kebarangkalian a priori bagi hipotesis (ia dikira sebelum eksperimen). Kebarangkalian P(H i /A) ialah kebarangkalian a posterior hipotesis (ia dikira selepas eksperimen). Formula Bayes membolehkan anda mengira kebarangkalian posterior daripada kebarangkalian terdahulunya dan daripada kebarangkalian bersyarat kejadian itu. DAN.

Contoh. Adalah diketahui bahawa 5% daripada semua lelaki dan 0.25% daripada semua wanita adalah buta warna. Seseorang yang dipilih secara rawak mengikut nombor kad perubatan mengalami rabun warna. Apakah kebarangkalian bahawa ia adalah seorang lelaki?

Keputusan. Peristiwa DAN Orang itu buta warna. Ruang peristiwa asas untuk eksperimen - seseorang dipilih mengikut nombor kad perubatan - Ω = ( H 1 , N 2 ) terdiri daripada 2 acara:

H 1 - seorang lelaki dipilih,

H 2 - seorang wanita dipilih.

Peristiwa ini boleh dipilih sebagai hipotesis.

Mengikut keadaan masalah (pilihan rawak), kebarangkalian kejadian ini adalah sama dan sama dengan P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

Dalam kes ini, kebarangkalian bersyarat bahawa seseorang mengalami buta warna adalah sama, masing-masing:

P(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; P(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Memandangkan diketahui bahawa orang yang dipilih adalah buta warna, iaitu peristiwa telah berlaku, kami menggunakan formula Bayes untuk menilai semula hipotesis pertama:

Contoh. Terdapat tiga kotak yang sama. Kotak pertama mengandungi 20 bola putih, kotak kedua mengandungi 10 bola putih dan 10 bola hitam, dan kotak ketiga mengandungi 20 bola hitam. Sebiji bola putih diambil dari kotak yang dipilih secara rawak. Hitung kebarangkalian bahawa bola itu ditarik dari kotak pertama.

Keputusan. Nyatakan dengan DAN acara - penampilan bola putih. Tiga andaian (hipotesis) boleh dibuat tentang pilihan kotak: H 1 ,H 2 , H 3 - pemilihan kotak pertama, kedua dan ketiga, masing-masing.

Oleh kerana pilihan mana-mana kotak adalah sama mungkin, kebarangkalian hipotesis adalah sama:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

Mengikut keadaan masalah, kebarangkalian untuk menarik bola putih dari kotak pertama

Kebarangkalian menarik bola putih dari kotak kedua

Kebarangkalian menarik bola putih dari kotak ketiga

Kami mencari kebarangkalian yang diingini menggunakan formula Bayes:

Pengulangan ujian. Formula Bernoulli.

Terdapat n percubaan, dalam setiap satu peristiwa A mungkin berlaku atau tidak, dan kebarangkalian peristiwa A dalam setiap percubaan individu adalah malar, i.e. tidak berubah dari pengalaman ke pengalaman. Kita sudah tahu bagaimana untuk mencari kebarangkalian peristiwa A dalam satu eksperimen.

Kepentingan khusus ialah kebarangkalian berlakunya bilangan kali tertentu (m kali) peristiwa A dalam n eksperimen. masalah sedemikian mudah diselesaikan jika ujian adalah bebas.

Def. Beberapa ujian dipanggil bebas berkenaan dengan peristiwa A jika kebarangkalian kejadian A dalam setiap satu daripadanya tidak bergantung kepada hasil eksperimen lain.

Kebarangkalian P n (m) kejadian A tepat m kali (bukan kejadian n-m kali, peristiwa ) dalam n percubaan ini. Peristiwa A muncul dalam pelbagai urutan m kali).

- Formula Bernoulli.

Formula berikut adalah jelas:

P n (m kurang k kali dalam n percubaan.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - kebarangkalian berlakunya peristiwa A lebih k kali dalam n percubaan.

Formula Bayes

Teorem Bayes- salah satu teorem utama teori kebarangkalian asas, yang menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam keadaan apabila hanya beberapa maklumat separa tentang peristiwa diketahui berdasarkan pemerhatian. Menurut formula Bayes, adalah mungkin untuk mengira semula kebarangkalian dengan lebih tepat, dengan mengambil kira kedua-dua maklumat dan data yang diketahui sebelum ini daripada pemerhatian baharu.

"Makna fizikal" dan istilah

Formula Bayes membolehkan anda "menyusun semula sebab dan akibat": mengikut fakta yang diketahui peristiwa untuk mengira kebarangkalian bahawa ia disebabkan oleh sebab tertentu.

Peristiwa yang mencerminkan tindakan "sebab" dalam kes ini biasa dipanggil hipotesis, kerana mereka adalah didakwa peristiwa yang membawa kepada itu. Kebarangkalian tanpa syarat kesahan sesuatu hipotesis dipanggil a priori(Berapa kemungkinan puncanya? sama sekali), dan bersyarat - mengambil kira fakta kejadian - posterior(Berapa kemungkinan puncanya? ternyata mengambil kira data acara).

Akibat

Akibat penting formula Bayes ialah formula untuk jumlah kebarangkalian sesuatu peristiwa bergantung pada beberapa hipotesis tidak konsisten ( dan hanya dari mereka!).

- kebarangkalian kejadian itu berlaku B, bergantung kepada beberapa hipotesis A i jika darjah kebolehpercayaan hipotesis ini diketahui (contohnya, diukur secara eksperimen);

Derivasi formula

Jika sesuatu kejadian hanya bergantung kepada punca A i, maka jika ia berlaku, bermakna beberapa sebab pasti berlaku, i.e.

Oleh formula Bayes

pemindahan P(B) ke kanan, kita memperoleh ungkapan yang diingini.

Kaedah penapisan spam

Kaedah berdasarkan teorem Bayes telah berjaya digunakan dalam penapisan spam.

Penerangan

Apabila melatih penapis, untuk setiap perkataan yang ditemui dalam huruf, "berat"nya dikira dan disimpan - kebarangkalian bahawa huruf dengan perkataan ini adalah spam (dalam kes paling mudah, dengan definisi klasik kebarangkalian: "kemunculan dalam spam / kejadian semua").

Apabila menyemak surat yang baru tiba, kebarangkalian bahawa ia adalah spam dikira mengikut formula di atas untuk satu set hipotesis. Dalam kes ini, "hipotesis" ialah perkataan, dan untuk setiap perkataan "kebolehpercayaan hipotesis" -% perkataan ini dalam huruf, dan "pergantungan peristiwa pada hipotesis" P(B | A i) - "berat" perkataan yang dikira sebelum ini. Iaitu, "berat" surat dalam kes ini tidak lain hanyalah "berat" purata semua perkataannya.

Surat diklasifikasikan sebagai "spam" atau "bukan spam" mengikut sama ada "berat" surat itu melebihi bar tertentu yang ditetapkan oleh pengguna (biasanya mereka mengambil 60-80%). Selepas keputusan mengenai surat dibuat, "berat" untuk perkataan yang disertakan di dalamnya dikemas kini dalam pangkalan data.

Ciri

Kaedah ini mudah (algoritma adalah asas), mudah (membolehkan anda melakukan tanpa "senarai hitam" dan helah buatan yang serupa), berkesan (selepas latihan untuk cukup sampel yang besar memotong sehingga 95-97% spam, dan sekiranya terdapat sebarang ralat, ia boleh dilatih semula). Secara umum, terdapat semua petunjuk untuk penggunaannya yang meluas, yang berlaku dalam amalan - hampir semua penapis spam moden dibina berdasarkannya.

Walau bagaimanapun, kaedah ini juga mempunyai kelemahan asas: ia berdasarkan andaian, apa sesetengah perkataan lebih biasa dalam spam, manakala yang lain lebih biasa dalam e-mel biasa, dan tidak cekap jika andaian ini palsu. Walau bagaimanapun, seperti yang ditunjukkan oleh amalan, walaupun seseorang tidak dapat menentukan spam sedemikian "dengan mata" - hanya selepas membaca surat itu dan memahami maksudnya.

Satu lagi, bukan asas, kelemahan yang berkaitan dengan pelaksanaan - kaedah ini hanya berfungsi dengan teks. Mengetahui tentang batasan ini, spammer mula meletakkan maklumat pengiklanan dalam gambar, manakala teks dalam surat itu sama ada tiada atau tidak masuk akal. Terhadap ini, seseorang perlu menggunakan sama ada alat pengecaman teks (prosedur "mahal", ia digunakan hanya apabila kecemasan), atau kaedah penapisan lama - "senarai hitam" dan ungkapan biasa (kerana huruf sedemikian sering mempunyai bentuk stereotaip).

lihat juga

Nota

Pautan

kesusasteraan

Byrd Kiwi. Teorem Rev. Bayes. // Majalah Computerra, 24 Ogos 2001
Paul Graham. Pelan untuk spam. // Laman web peribadi Paul Graham.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apakah "formula Bayes" dalam kamus lain:

Formula yang kelihatan seperti: di mana a1, A2, ..., An adalah peristiwa yang tidak serasi, Skim umum untuk penggunaan F. dalam. g.: jika peristiwa B boleh berlaku dalam decomp. keadaan di mana n hipotesis A1, A2, ..., An dibuat dengan kebarangkalian P (A1), ... diketahui sebelum eksperimen, ... ... Ensiklopedia Geologi

Membolehkan anda mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa yang menarik melalui kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa ini, dengan mengandaikan hipotesis tertentu, serta kebarangkalian hipotesis ini. Formulasi Biarlah ruang kebarangkalian, dan kumpulan penuh berpasangan ... ... Wikipedia

Membolehkan anda mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa yang menarik melalui kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa ini, dengan mengandaikan hipotesis tertentu, serta kebarangkalian hipotesis ini. Rumusan Biarkan ruang kebarangkalian diberikan, dan kumpulan lengkap peristiwa, seperti ... ... Wikipedia

- (atau formula Bayes) salah satu teorem utama teori kebarangkalian, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa (hipotesis) telah berlaku dengan kehadiran hanya bukti tidak langsung (data) yang mungkin tidak tepat ... Wikipedia

Teorem Bayes adalah salah satu teorem utama teori asas kebarangkalian, yang menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam keadaan di mana hanya sebahagian maklumat tentang peristiwa itu diketahui berdasarkan pemerhatian. Menurut formula Bayes, anda boleh ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Pendeta Thomas Bayes Tarikh lahir: 1702 (1702) Tempat lahir ... Wikipedia

Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Tarikh lahir: 1702 (1702) Tempat lahir: London ... Wikipedia

Inferens Bayesian ialah salah satu kaedah inferens statistik, di mana formula Bayes digunakan untuk memperhalusi anggaran kebarangkalian kebenaran hipotesis apabila bukti tiba. Penggunaan kemas kini Bayesian amat penting dalam ... ... Wikipedia

Adakah anda ingin menambah baik artikel ini?: Cari dan sediakan nota kaki untuk rujukan kepada sumber berwibawa yang mengesahkan perkara yang telah ditulis. Meletakkan nota kaki, membuat petunjuk sumber yang lebih tepat. Pere ... Wikipedia

Adakah banduan akan mengkhianati satu sama lain, mengikut kepentingan mereka sendiri, atau adakah mereka akan berdiam diri, dengan itu meminimumkan istilah umum? Dilema banduan (Eng. Prisoner's dilemma, nama "dilema" kurang biasa digunakan ... Wikipedia

Buku

Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik dalam Masalah: Lebih daripada 360 Masalah dan Latihan, Borzykh D. Manual yang dicadangkan mengandungi masalah pelbagai peringkat kerumitan. Walau bagaimanapun, tumpuan adalah pada tugas kesukaran sederhana. Ini sengaja dilakukan untuk menggalakkan pelajar…

Teorem Bayes diterangkan secara terperinci dalam artikel berasingan. Ini adalah kerja yang hebat, tetapi ia mempunyai 15,000 patah perkataan. Intipati teorem dijelaskan secara ringkas dalam terjemahan artikel yang sama oleh Kalid Azad.

Hasil penyelidikan dan ujian bukanlah peristiwa. Terdapat kaedah untuk mendiagnosis kanser, tetapi ada peristiwa itu sendiri - kehadiran penyakit itu. Algoritma menyemak sama ada mesej mengandungi spam, tetapi peristiwa (spam benar-benar dihantar ke mel) mesti dipertimbangkan secara berasingan daripada hasil kerjanya.
Terdapat ralat dalam keputusan ujian. Selalunya kaedah penyelidikan kami mendedahkan apa yang tidak (positif palsu) dan tidak mendedahkan apa yang (negatif palsu).
Dengan bantuan percubaan, kita mendapat kebarangkalian hasil tertentu. Kami terlalu kerap melihat keputusan ujian dengan sendiri dan tidak mengambil kira kesilapan kaedah.
Keputusan positif palsu memesongkan gambar. Katakan anda cuba mengesan beberapa fenomena yang sangat jarang berlaku (1 dalam 1,000,000). Walaupun kaedah anda tepat, kemungkinan keputusan positifnya sebenarnya adalah positif palsu.
Ia lebih mudah untuk bekerja dengan nombor semula jadi. Lebih baik katakan: 100 daripada 10,000, bukan 1%. Dengan pendekatan ini, akan terdapat lebih sedikit ralat, terutamanya apabila mendarab. Katakan kita perlu mengusahakan 1% itu lagi. Penaakulan dalam peratusan adalah kekok: "dalam 80% kes daripada 1% mendapat hasil yang positif." Maklumat yang lebih mudah dilihat seperti berikut: "dalam 80 kes daripada 100, hasil positif diperhatikan."
Malah dalam sains, apa-apa fakta hanyalah hasil daripada menggunakan beberapa kaedah. Dari sudut falsafah eksperimen saintifik hanyalah ujian dengan kemungkinan ralat. Ada kaedah yang Bahan kimia atau beberapa fenomena, dan terdapat peristiwa itu sendiri - kehadiran fenomena ini. Kaedah ujian kami boleh memberikan keputusan palsu, dan mana-mana peralatan mempunyai ralat yang wujud.

Teorem Bayes menukar keputusan ujian kepada kebarangkalian kejadian.

Jika kita mengetahui kebarangkalian sesuatu peristiwa dan kebarangkalian positif palsu dan negatif palsu, kita boleh membetulkan ralat pengukuran.
Teorem mengaitkan kebarangkalian sesuatu peristiwa dengan kebarangkalian hasil tertentu. Kita boleh mengaitkan Pr(A|X): kebarangkalian peristiwa A diberi hasil X, dan Pr(X|A): kebarangkalian hasil X diberi peristiwa A.

Memahami Kaedah

Artikel yang dirujuk pada permulaan esei ini membincangkan kaedah diagnostik (mammogram) yang mengesan kanser payudara. Mari kita pertimbangkan kaedah ini secara terperinci.

1% daripada semua wanita mempunyai kanser payudara (dan, dengan itu, 99% tidak jatuh sakit)
80% mamogram mengesan penyakit apabila ia benar-benar ada (dan, dengan itu, 20% tidak mengesan)
9.6% kajian mengesan kanser apabila tiada (dan dengan itu 90.4% melaporkan keputusan negatif dengan betul)

Sekarang mari kita buat jadual seperti ini:

Bagaimana untuk bekerja dengan data ini?

1% wanita mendapat kanser payudara
jika pesakit mempunyai penyakit, lihat di lajur pertama: terdapat 80% kemungkinan kaedah itu memberikan hasil yang betul, dan 20% kemungkinan bahawa keputusan kajian adalah tidak betul (negatif palsu)
jika pesakit belum disahkan menghidap penyakit tersebut, lihat lajur kedua. Dengan kebarangkalian 9.6% kita boleh mengatakan bahawa keputusan positif kajian adalah tidak betul, dan dengan kebarangkalian 90.4% kita boleh mengatakan bahawa pesakit itu benar-benar sihat.

Sejauh manakah ketepatan kaedah tersebut?

Sekarang mari kita lihat keputusan ujian positif. Apakah kebarangkalian seseorang itu benar-benar sakit: 80%, 90%, 1%?

Mari berfikir:

Terdapat hasil yang positif. Kami akan menganalisis semua kemungkinan hasil: hasil yang diperoleh boleh menjadi positif benar dan positif palsu.
Kebarangkalian keputusan positif benar adalah sama dengan: kebarangkalian untuk jatuh sakit didarab dengan kebarangkalian bahawa ujian itu benar-benar mengesan penyakit itu. 1% * 80% = .008
Kebarangkalian keputusan positif palsu adalah sama dengan: kebarangkalian bahawa penyakit itu tidak hadir, didarab dengan kebarangkalian kaedah mengesan penyakit itu secara salah. 99% * 9.6% = .09504

Sekarang jadual kelihatan seperti ini:

Apakah kebarangkalian seseorang itu benar-benar sakit jika keputusan mamogram positif diperolehi? Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil yang mungkin bagi suatu peristiwa kepada jumlah semua kemungkinan hasil.

Kebarangkalian Peristiwa = Hasil Peristiwa / Semua Kemungkinan Hasil

Kebarangkalian keputusan positif benar ialah .008. Kebarangkalian hasil positif ialah kebarangkalian hasil positif benar + kebarangkalian positif palsu.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Jadi, kebarangkalian penyakit dengan keputusan positif kajian dikira seperti berikut: .008 / .10304 = 0.0776. Nilai ini adalah kira-kira 7.8%.

Iaitu, keputusan mamogram positif hanya bermakna kebarangkalian untuk menghidap penyakit adalah 7.8%, dan bukan 80% (nilai terakhir hanya anggaran ketepatan kaedah). Keputusan sedemikian nampaknya tidak dapat difahami dan pelik pada mulanya, tetapi anda perlu mengambil kira: kaedah ini memberikan hasil positif palsu dalam 9.6% kes (yang agak banyak), jadi akan terdapat banyak hasil positif palsu dalam sampel. Untuk penyakit yang jarang berlaku, kebanyakan keputusan positif akan menjadi positif palsu.

Mari kita melihat ke atas meja dan cuba memahami secara intuitif maksud teorem. Jika kita mempunyai 100 orang, hanya seorang daripada mereka yang mempunyai penyakit (1%). Pada orang ini, dengan kebarangkalian 80%, kaedah itu akan memberikan hasil yang positif. Daripada 99% selebihnya, 10% akan mendapat keputusan positif, yang memberikan kita, secara kasarnya, 10 daripada 100 positif palsu. Jika kita mempertimbangkan semua keputusan positif, maka hanya 1 daripada 11 akan benar. Oleh itu, jika keputusan positif diperolehi, kebarangkalian penyakit itu ialah 1/11.

Di atas, kami mengira bahawa kebarangkalian ini bersamaan dengan 7.8%, i.e. nombor itu sebenarnya lebih hampir kepada 1/13, tetapi di sini, dengan alasan mudah, kami dapat mencari anggaran kasar tanpa kalkulator.

Teorem Bayes

Sekarang mari kita huraikan perjalanan pemikiran kita dengan formula, yang dipanggil teorem Bayes. Teorem ini membolehkan anda membetulkan keputusan kajian mengikut herotan yang diperkenalkan oleh hasil positif palsu:

Pr(A|X) = kebarangkalian penyakit (A) dengan keputusan positif (X). Inilah sebenarnya yang kita ingin tahu: apakah kebarangkalian sesuatu peristiwa sekiranya berlaku hasil yang positif. Dalam contoh kami, ia bersamaan dengan 7.8%.
Pr(X|A) = kebarangkalian keputusan positif (X) dalam kes apabila pesakit benar-benar sakit (A). Dalam kes kami, ini ialah nilai positif benar - 80%
Pr(A) = kebarangkalian mendapat sakit (1%)
Pr(bukan A) = kebarangkalian untuk tidak jatuh sakit (99%)
Pr(X|bukan A) = kebarangkalian hasil positif kajian jika tiada penyakit. Ini ialah nilai positif palsu - 9.6%.

Kita boleh membuat kesimpulan bahawa untuk mendapatkan kebarangkalian sesuatu peristiwa, anda perlu membahagikan kebarangkalian hasil positif sebenar dengan kebarangkalian semua hasil positif. Sekarang kita boleh memudahkan persamaan:
Pr(X) ialah pemalar penormalan. Dia melayani kami dengan baik: tanpa dia, hasil ujian yang positif akan memberi kami peluang 80% untuk sesuatu acara.
Pr(X) ialah kebarangkalian sebarang keputusan positif, sama ada positif benar dalam kajian pesakit (1%) atau positif palsu dalam kajian orang yang sihat (99%).

Dalam contoh kami, Pr(X) agak nombor besar kerana terdapat kebarangkalian tinggi keputusan positif palsu.

Pr(X) menghasilkan hasil sebanyak 7.8%, yang pada pandangan pertama kelihatan berlawanan dengan intuitif.

Maksud teorem

Kami sedang menguji untuk mengetahui keadaan sebenar sesuatu. Jika ujian kita sempurna dan tepat, maka kebarangkalian percubaan dan kebarangkalian kejadian akan bertepatan. Semua keputusan positif akan menjadi benar-benar positif, dan keputusan negatif akan menjadi negatif. Tetapi kita tinggal dalam dunia sebenar. Dan dalam dunia kita, ujian memberikan keputusan yang salah. Teorem Bayes mengambil kira keputusan yang condong, membetulkan ralat, mencipta semula Populasi umum dan mencari kebarangkalian hasil positif sebenar.

Penapis spam

Teorem Bayes berjaya digunakan dalam penapis spam.

Kami ada:

acara A - dalam e-mel spam
keputusan ujian adalah kandungan perkataan tertentu dalam surat:

Penapis mengambil kira keputusan ujian (kandungan perkataan tertentu dalam e-mel) dan meramalkan jika e-mel itu mengandungi spam. Semua orang memahami bahawa, sebagai contoh, perkataan "Viagra" adalah lebih biasa dalam spam berbanding dalam e-mel biasa.

Penapis spam berasaskan senarai hitam mempunyai kelemahan kerana sering menghasilkan positif palsu.

Penapis spam Bayesian mengambil pendekatan yang terukur dan munasabah: ia berfungsi dengan kebarangkalian. Apabila kami menganalisis perkataan dalam e-mel, kami boleh mengira kebarangkalian bahawa e-mel itu adalah spam dan bukannya membuat keputusan ya/tidak. Jika terdapat kemungkinan 99% bahawa e-mel itu mengandungi spam, maka e-mel itu sememangnya spam.

Dari masa ke masa, penapis melatih sampel yang lebih besar dan mengemas kini kebarangkalian. Sebagai contoh, penapis lanjutan berdasarkan teorem Bayes menyemak banyak perkataan berturut-turut dan menggunakannya sebagai data.

Sumber tambahan:

Tag: Tambah tag

TEKNOLOGI MAKLUMAT, SAINS KOMPUTER, DAN PENGURUSAN

Mengenai kebolehgunaan formula Bayes

DOI 10.12737/16076

A. I. Dolgov**

1Syarikat Saham Bersama "Biro Reka Bentuk untuk Pemantauan Radio Sistem Kawalan, Navigasi dan Komunikasi", Rostov-on-Don, Persekutuan Rusia

Mengenai kebolehgunaan formula Bayes"*** A. I. Dolgov1**

1"Reka bentuk biro pemantauan sistem kawalan, navigasi dan komunikasi" JSC, Rostov-on-Don, Persekutuan Rusia

Subjek kajian ini ialah formula Bayes. Tujuan kerja ini adalah untuk menganalisis dan mengembangkan skop formula. Tugas utama adalah untuk mengkaji penerbitan yang dikhaskan untuk masalah ini, yang memungkinkan untuk mengenal pasti kelemahan penerapan formula Bayes, yang membawa kepada keputusan yang salah. Tugas seterusnya ialah membina pengubahsuaian formula Bayes yang mengambil kira pelbagai bukti tunggal dan memperoleh keputusan yang betul. Dan, akhirnya, pada contoh data awal tertentu, keputusan salah yang diperoleh menggunakan formula Bayes dan keputusan betul yang dikira menggunakan pengubahsuaian yang dicadangkan dibandingkan. Dua kaedah telah digunakan dalam kajian. Pertama, analisis prinsip pembinaan ungkapan terkenal digunakan untuk menulis formula Bayes dan pengubahsuaiannya. Kedua, penilaian perbandingan keputusan (termasuk yang kuantitatif) telah dijalankan. Pengubahsuaian yang dicadangkan menyediakan penggunaan formula Bayes yang lebih luas dalam teori dan amalan, termasuk semasa menyelesaikan tugasan yang diaplikasikan.

Kata kunci Kata kunci: kebarangkalian bersyarat, hipotesis tidak serasi, bukti serasi dan tidak serasi, normalisasi.

Formula Bayes" ialah subjek kajian. Objektif kerja adalah untuk menganalisis aplikasi formula dan meluaskan skop kebolehgunaannya. Masalah keutamaan pertama termasuk mengenal pasti kelemahan formula Bayes" berdasarkan kajian penerbitan berkaitan yang membawa kepada salah keputusan. Tugas seterusnya adalah untuk membina pengubahsuaian formula Bayes" untuk menyediakan perakaunan pelbagai petunjuk tunggal untuk mendapatkan keputusan yang betul. Dan akhirnya, keputusan yang salah yang diperoleh dengan penggunaan formula Bayes" dibandingkan dengan keputusan yang betul yang dikira dengan penggunaan pengubahsuaian formula yang dicadangkan dengan contoh data awal tertentu. Dua kaedah digunakan dalam kajian. Pertama, analisis prinsip membina ungkapan yang diketahui digunakan untuk merekodkan formula Bayesian dan pengubahsuaiannya dijalankan. Kedua, penilaian perbandingan keputusan (termasuk yang kuantitatif) dilakukan. Pengubahsuaian yang dicadangkan menyediakan penggunaan formula Bayes yang lebih luas dalam teori dan amalan termasuk penyelesaian masalah yang digunakan.

Kata kunci: kebarangkalian bersyarat, hipotesis tidak konsisten, petunjuk serasi dan tidak serasi, menormalkan.

pengenalan. Formula Bayes semakin digunakan dalam teori dan amalan, termasuk dalam menyelesaikan masalah gunaan dengan bantuan teknologi komputer. Penggunaan prosedur pengiraan yang saling bebas memungkinkan untuk digunakan formula ini apabila menyelesaikan masalah pada sistem pengkomputeran berbilang pemproses, kerana dalam kes ini pelaksanaan selari dilakukan pada tahap skim umum, dan apabila menambah algoritma atau kelas tugasan seterusnya, tidak perlu melaksanakan semula kerja pada penyejajaran.

Subjek kajian ini ialah kebolehgunaan formula Bayes untuk penilaian perbandingan posteriori kebarangkalian bersyarat hipotesis yang tidak konsisten dengan bukti tunggal yang berbeza. Seperti yang ditunjukkan oleh analisis, dalam kes sedemikian, kebarangkalian ternormal kejadian gabungan tidak serasi kepunyaan

S X<и ч и

IS eö DAN IS X X<и H

“Kerja itu dijalankan sebagai sebahagian daripada projek penyelidikan inisiatif.

** E-mel: [e-mel dilindungi]

""Penyelidikan dilakukan dalam rangka R&D bebas.

untuk kumpulan acara lengkap yang berbeza. Pada masa yang sama, hasil yang dibandingkan ternyata tidak mencukupi untuk data statistik sebenar. Ini disebabkan oleh faktor-faktor berikut:

Normalisasi yang salah digunakan;

Kehadiran atau ketiadaan persimpangan bukti yang dipertimbangkan tidak diambil kira.

Untuk menghapuskan kelemahan yang dikenal pasti, kes kebolehgunaan formula Bayes dikenal pasti. Jika formula yang dinyatakan tidak terpakai, masalah membina pengubahsuaiannya diselesaikan, yang memastikan pelbagai bukti tunggal diambil kira dengan mendapatkan keputusan yang betul. Pada contoh data awal tertentu, penilaian perbandingan keputusan telah dijalankan:

Tidak betul - diperoleh menggunakan formula Bayes;

Betul - dikira menggunakan pengubahsuaian yang dicadangkan.

Kedudukan permulaan. Pernyataan berikut adalah berdasarkan prinsip mengekalkan nisbah kebarangkalian: “Pemprosesan yang betul bagi kebarangkalian kejadian hanya boleh dilaksanakan apabila menormalkan menggunakan satu pembahagi normalisasi biasa yang memastikan kesamaan nisbah kebarangkalian ternormal kepada nisbah ternormal yang sepadan. kebarangkalian” . Prinsip ini mewakili asas subjektif teori kebarangkalian, tetapi tidak dicerminkan dengan betul dalam kesusasteraan pendidikan dan saintifik dan teknikal moden.

Jika prinsip ini dilanggar, maklumat tentang tahap kemungkinan peristiwa yang sedang dipertimbangkan akan diputarbelitkan. Keputusan yang diperolehi berdasarkan maklumat yang diputarbelitkan dan keputusan yang dibuat ternyata tidak mencukupi untuk data statistik sebenar.

Konsep berikut akan digunakan dalam artikel ini:

Peristiwa asas ialah peristiwa yang tidak boleh dibahagikan kepada unsur;

Peristiwa gabungan - peristiwa yang mewakili satu atau satu lagi gabungan peristiwa asas;

Peristiwa serasi - peristiwa yang dalam beberapa kes penilaian perbandingan kebarangkalian mereka mungkin tidak serasi, dan dalam kes lain bersama;

Peristiwa tidak serasi ialah peristiwa yang tidak serasi dalam semua kes.

Mengikut teorem pendaraban kebarangkalian, kebarangkalian P (U ^ E) hasil darab peristiwa asas U ^ dan

E dikira sebagai hasil darab kebarangkalian P(Uk E) = P(E)P(U^E) . Dalam hal ini, formula Bayes selalunya

ditulis dalam bentuk Р(Ик\Е) = - - - , menerangkan takrifan kebarangkalian bersyarat posterior

P(U^E) hipotesis Uk (k = 1,...n) berdasarkan normalisasi kebarangkalian priori P(U^E) gabungan yang dianggap peristiwa yang tidak serasi Dan kepada E. Setiap peristiwa ini mewakili produk, faktor yang merupakan salah satu hipotesis yang dipertimbangkan dan satu bukti yang dipertimbangkan. Pada masa yang sama, semuanya dipertimbangkan

Acara uIKE (k = 1,...n) membentuk kumpulan lengkap acara gabungan uIKE yang tidak serasi, disebabkan oleh

yang mana kebarangkalian P(Ik E) mereka harus dinormalisasi dengan mengambil kira jumlah formula kebarangkalian, mengikut mana

segerombolan P(E) = 2 P(Uk)P(E\Uk). Oleh itu, formula Bayes paling kerap ditulis dalam bentuk yang paling biasa digunakan:

P(Uik) P(EIK)

P(Uk \ E) \u003d -. (satu)

^ kation formula Bayes.

Analisis ciri-ciri pembinaan formula Bayes, bertujuan untuk menyelesaikan masalah yang digunakan, serta contoh

"dan aplikasi praktikalnya membolehkan kita membuat kesimpulan penting mengenai pilihan kumpulan lengkap peristiwa gabungan berbanding dari segi tahap kemungkinan (setiap satunya adalah hasil dua peristiwa asas - salah satu hipotesis dan bukti yang diambil kira). Pilihan sedemikian dibuat secara subjektif oleh pembuat keputusan, berdasarkan data awal objektif yang wujud dalam keadaan tipikal situasi: jenis dan bilangan hipotesis yang dinilai dan bukti yang diambil kira secara khusus.

Kebarangkalian hipotesis yang tiada tandingan dengan bukti tunggal yang tidak konsisten. Formula Bayes secara tradisinya digunakan dalam kes menentukan kebarangkalian bersyarat posterior yang tidak dapat dibandingkan dari segi tahap kemungkinan.

kebarangkalian hipotesis H^ dengan bukti tidak serasi tunggal, setiap satunya boleh "muncul

hanya digabungkan dengan mana-mana hipotesis ini. Dalam kes ini, kumpulan penuh dan HkE dipilih, digabungkan

acara mandian dalam bentuk produk yang faktornya merupakan salah satu bukti c. (1=1,...,m) dan satu

daripada n hipotesis yang sedang dipertimbangkan.

Formula Bayes digunakan untuk membandingkan kebarangkalian peristiwa gabungan setiap kumpulan lengkap tersebut, yang berbeza daripada kumpulan lengkap lain bukan sahaja dalam bukti yang diambil kira e, tetapi juga dalam kes am jenis hipotesis H ^ dan (atau) nombor nnya (lihat, sebagai contoh,)

RNky = P(Hk) P(eH)

% P(Hk) P(Er\Hk) k = 1

Dalam kes khas untuk n = 2

RNk\E,~ P(Hk) P(EN)

% P(Hk) P(E,\H k) k = 1

dan keputusan yang diperoleh adalah betul, disebabkan oleh pematuhan prinsip pemuliharaan nisbah kebarangkalian:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

P(H 2 = % PW1!)

Subjektiviti pilihan kumpulan lengkap acara gabungan berbanding dari segi darjah kemungkinan (dengan

peristiwa asas pembolehubah tertentu) membolehkan anda memilih kumpulan acara yang lengkap dan Hk E ■ s

dengan menafikan peristiwa asas E ■ () dan tulis formula Bayes (1 = 1,.. ., m) seperti berikut:

P(Hk \ E) -= - RNSh ±.

% P(Hk)P(E, Hk)

Formula sedemikian juga boleh digunakan dan memungkinkan untuk mendapatkan keputusan yang betul jika dikira kepada

kebarangkalian ternormal dibandingkan di bawah pelbagai hipotesis yang dipertimbangkan, tetapi bukan di bawah pelbagai

pihak berkuasa. ¡^

Kebarangkalian setanding hipotesis di bawah bukti tunggal yang tidak konsisten. Berdasarkan publica-^ yang terkenal

digunakan untuk penilaian perbandingan kebarangkalian bersyarat posterior hipotesis untuk pelbagai bukti tunggal.

pihak berkuasa. Pada masa yang sama, perhatian tidak diberikan kepada fakta berikut. Dalam kes ini, ^ kebarangkalian ternormal bagi peristiwa gabungan yang tidak serasi (tidak serasi) kepunyaan kumpulan lengkap n peristiwa yang berbeza dibandingkan. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, formula Bayes tidak terpakai, kerana peristiwa gabungan yang tidak termasuk dalam satu kumpulan lengkap dibandingkan, penormalan kebarangkalian yang dijalankan menggunakan pembahagi penormalan yang berbeza. Kebarangkalian ternormal bagi peristiwa gabungan yang tidak serasi (tidak serasi) hanya boleh dibandingkan jika ia tergolong dalam kumpulan lengkap peristiwa yang sama dan dinormalkan dengan ¡3 menggunakan pembahagi biasa, sama dengan jumlah kebarangkalian semua peristiwa ternormal termasuk dalam § lengkap

Secara umum, berikut boleh dianggap sebagai bukti yang tidak serasi:

Dua bukti (contohnya, bukti dan penafiannya); ^

Tiga bukti (contohnya, dalam situasi permainan, menang, kalah dan seri); ^

Empat testimoni (terutamanya dalam sukan, menang, kalah, seri dan main semula), dsb. ^

Pertimbangkan contoh yang agak mudah (sepadan dengan contoh yang diberikan dalam ) menggunakan formula Bayes ^ untuk menentukan kebarangkalian bersyarat posterior bagi hipotesis H ^ untuk dua peristiwa yang tidak serasi dalam

dalam bentuk bukti L]- dan penafiannya L]

P(H, k) - ^ . ^ P(A^k" , (2)

] E P(Hk> P(A]\vk> k - 1

■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nk>

P(H,\A,) ----k-]-. (3)

V k\A]> P(A > n

] E P(Hk) P(A]\Hk) k -1

Dalam kes (2) dan (3), kumpulan penuh yang dipilih secara subjektif berbanding dari segi tahap kemungkinan kom-

peristiwa binned adalah, masing-masing, set dan H kepada A dan dan H kepada A. Ini adalah kes apabila formula

k-1 k ] k-1 k ]

Bayes tidak boleh digunakan, kerana prinsip mengekalkan nisbah kebarangkalian dilanggar - kesamaan nisbah kebarangkalian ternormal kepada nisbah kebarangkalian ternormal yang sepadan tidak dipatuhi:

P(H hingga A]] P(Hk) P(A]\Hk) / P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

P(Hk E P(Hk) P(A]\Hk)/ E P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

k - 1 /k - 1 Menurut prinsip pemuliharaan nisbah kebarangkalian, pemprosesan kebarangkalian peristiwa yang betul hanya boleh dilaksanakan apabila menormalkan menggunakan satu pembahagi normalisasi sepunya bersamaan dengan jumlah semua ungkapan ternormal yang dibandingkan. sebab tu

E P(Hk)P(A]\Hk) + E P(Hk)P(A]\Hk) - E P(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - EP (Hk) - 1. hingga -1 hingga -1 hingga -1 hingga -1

Oleh itu, fakta mendedahkan bahawa terdapat pelbagai jenis formula Bayes yang berbeza daripada

dikenali kerana kekurangan pembahagi normal:

A,) - P(H) P(A]\Hk), P(Hk A,) - P(H) P(A, Hk). (4)

J kepada saya ■> kepada

Dalam kes ini, kesamaan nisbah kebarangkalian ternormal kepada nisbah kebarangkalian ternormal yang sepadan diperhatikan:

m^A^ P(Hk) P(A]\Hk)

A,) P(H k) P(A, Hk)

Berdasarkan pilihan subjektif kumpulan lengkap yang tidak direkodkan secara tradisional bagi peristiwa gabungan yang tidak serasi, adalah mungkin untuk meningkatkan bilangan pengubahsuaian formula Bayes yang merangkumi bukti, serta satu atau satu lagi bilangan penafian mereka. Contohnya, kumpulan acara gabungan yang paling lengkap

u dan Hk /"./ ^ u dan Hk E\ sepadan (dengan mengambil kira ketiadaan pembahagi normalisasi) formula pengubahsuaian; =1 A"=1; \u003d 1 Bayesian

P(Hk\~) - P(Hk) ПЁ^^

di mana peristiwa asas dalam bentuk bukti E \ e II II / "/ adalah salah satu elemen set yang ditunjukkan

o Sekiranya tiada penafian bukti, iaitu, apabila E\ \u003d // e dan /"./,

^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)

E P(Hk) P(E \ Hk) k - 1

Oleh itu, pengubahsuaian formula Bayes, bertujuan untuk menentukan kebarangkalian bersyarat hipotesis berbanding dari segi tahap kemungkinan untuk bukti tidak serasi tunggal, adalah seperti berikut. Pengangka mengandungi kebarangkalian ternormal bagi salah satu peristiwa tidak serasi gabungan yang membentuk kumpulan lengkap, dinyatakan sebagai hasil darab kebarangkalian priori, dan penyebut mengandungi jumlah semua

kebarangkalian normal. Pada masa yang sama, prinsip mengekalkan nisbah kebarangkalian diperhatikan - dan keputusan yang diperoleh adalah betul.

Kebarangkalian hipotesis di bawah bukti serasi tunggal. Formula Bayesian secara tradisinya digunakan untuk menentukan kebarangkalian bersyarat posterior bagi hipotesis Hk (k = 1,...,n) berbanding dari segi darjah kemungkinan untuk salah satu daripada beberapa bukti serasi yang dianggap EL (1 = 1,... ,m). Khususnya (lihat

contohnya, dan ), apabila menentukan kebarangkalian bersyarat posterior Р(Н 1Е^) dan Р(Н 1 Е2) bagi setiap dua bukti yang serasi Е1 dan Е2, formula borang digunakan:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1-dan P(H J E 2) =--1-. (lima)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 Ambil perhatian bahawa ini adalah satu lagi kes di mana formula Bayes tidak boleh digunakan. Selain itu, dalam kes ini, dua kelemahan mesti dihapuskan:

Normalisasi yang digambarkan bagi kebarangkalian peristiwa gabungan adalah tidak betul, kerana tergolong dalam kumpulan lengkap yang berbeza bagi peristiwa yang sedang dipertimbangkan;

Rekod simbolik peristiwa gabungan HkEx dan HkE2 tidak menggambarkan fakta bahawa bukti yang dipertimbangkan E x dan E 2 adalah serasi.

Untuk menghapuskan kelemahan terakhir, rekod peristiwa gabungan yang lebih terperinci boleh digunakan, dengan mengambil kira fakta bahawa bukti serasi E1 dan E2 dalam beberapa kes mungkin tidak serasi, dan dalam kes lain bersama:

HkE1 = HkE1 E2 dan HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, di mana E1 dan E 2 adalah bukti bertentangan dengan E1 dan E 2.

Adalah jelas bahawa dalam kes sedemikian hasil darab peristiwa Hk E1E2 diambil kira dua kali. Di samping itu, ia boleh diambil kira sekali lagi secara berasingan, tetapi ini tidak berlaku. Hakikatnya ialah dalam situasi yang sedang dipertimbangkan, situasi yang dinilai dipengaruhi oleh tiga kemungkinan kejadian gabungan yang tidak serasi: HkE1E2, HkE 1E2 dan

Hk E1E2. Pada masa yang sama, bagi pembuat keputusan, adalah menarik untuk menilai tahap kemungkinan sahaja

dua peristiwa gabungan yang tidak serasi: HkE1 E2 dan HkE 1E2, yang sepadan dengan mempertimbangkan hanya g

bukti tunggal. ¡C

Oleh itu, apabila membina pengubahsuaian formula Bayes untuk menentukan nilai bersyarat posterior,

Kebarangkalian hipotesis dengan bukti tunggal yang serasi mestilah berdasarkan perkara berikut. Orang yang menerima ^

keputusan, kami berminat dengan peristiwa asas apa, yang diwakili oleh satu atau lain bukti daripada

bilangan yang dipertimbangkan sebenarnya berlaku dalam keadaan tertentu. Jika satu lagi peristiwa asas berlaku dalam K

dalam bentuk sijil tunggal, pertimbangan semula keputusan diperlukan, disebabkan hasil penilaian perbandingan n

kebarangkalian bersyarat posterior bagi hipotesis dengan pertimbangan yang amat diperlukan bagi syarat lain yang mempengaruhi umum sebenar

tetapan. 3

Mari kita perkenalkan notasi berikut: HkE- untuk satu (dan hanya satu) gabungan yang tidak serasi bersama- ^

makhluk, yang terdiri daripada fakta bahawa daripada m > 1 dianggap peristiwa asas Ei (i = 1,...,m) bersama-sama dengan hipotesis “

Hk satu peristiwa asas Ex berlaku dan tiada yang lain berlaku peristiwa asas. se"

Dalam kebanyakan kes mudah dua bukti tunggal yang tidak serasi dipertimbangkan. Jika disahkan

menunggu salah seorang daripada mereka, kebarangkalian bersyarat bukti dalam Pandangan umum dinyatakan dengan formula l

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g

Kesahihan formula dapat dilihat dengan jelas (Rajah 1).

nasi. 1. Tafsiran geometri pengiraan P(Hk E-) untuk / = 1,...,2 Dengan bukti bebas bersyarat

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

oleh itu, mengambil kira (6)

P(Hk E-) = PE Hk) - P(E1 Hk) P(E21Hk) , = 1,.,2. (7)

Begitu juga, kebarangkalian P(HkE-) salah satu daripada tiga (/ = 1,...,3) peristiwa tidak serasi HkE^ dinyatakan oleh formula

Sebagai contoh, untuk i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Kesahan formula ini jelas disahkan oleh tafsiran geometri yang dibentangkan dalam Rajah.

nasi. 2. Tafsiran geometri pengiraan P(Hk E-) untuk / = 1,...,3

kaedah induksi matematik boleh dibuktikan formula am untuk kebarangkalian Р(Нк Е-) untuk sebarang bilangan bukti e, 0=1,...,m):

P(HkE-) = P(E, Hk) - m PE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) + ■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Menggunakan teorem pendaraban kebarangkalian, kami menulis kebarangkalian bersyarat Р(НкЕ~-) dalam dua bentuk:

^ dari mana ia mengikutinya

P(Hk E -) = P(Hk) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

Menggunakan jumlah formula kebarangkalian P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) ternyata bahawa

E-) \u003d P (HkET)

2 P(HkE-) k \u003d 1

Menggantikan ke dalam formula yang terhasil ungkapan untuk Р(НкЕ-) dalam bentuk sebelah kanan (8), kita memperoleh bentuk akhir formula untuk menentukan kebarangkalian bersyarat posterior bagi hipotesis H^ (k = 1, ...,n) untuk salah satu daripada beberapa bukti tunggal yang dianggap tidak serasi : (E^\Hk)

P(Hk)[P(E,\Hk) - 2 P(E,\Hk) P(Ep k) +...+ (-1)m-1 P(P P(Erk)] P(H, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)

k 1 p t t t

2 P(Hk) 2 [P(E,\Hk) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1

Anggaran perbandingan. Dianggap agak mudah, tetapi contoh ilustrasi, terhad kepada analisis kebarangkalian bersyarat posterior yang dikira bagi salah satu daripada dua hipotesis dengan dua bukti tunggal. 1. Kebarangkalian hipotesis di bawah bukti tunggal yang tidak serasi. Mari kita bandingkan keputusan yang diperoleh menggunakan formula Bayes (2) dan (3), menggunakan contoh dua bukti L. = L dan L. = L dengan data awal:

P(H1 = 0.7; P(H2) = 0.3; P(L| H^ = 0.1; P(L\n 1) = 0.9; P(L\H2) = 0.6 P(A\H2) = 0.4 Dalam contoh yang dipertimbangkan dengan hipotesis H1, formula tradisional (2) dan (3) membawa kepada keputusan berikut:

P(N.) P(A\No 0 07

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0.28,

2 P(Hk) P(A\Hk)k = 1

R(N L R(A\N 1) 0 63

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0.84,

2 P(Hk) P(A\Hk) k = 1

membentuk bahagi P (H 1 L) \u003d P (H ^ P (L \ Hp \u003d 0.07; P (H ^ A) \u003d P (H 1) P (n | H ^ \u003d 0.63. 1 daripada cadangan formula berkenaan dengan:

R<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

dan dengan formula yang dicadangkan (4) yang tidak mempunyai pembahagi normal: “dan

Oleh itu, dalam kes menggunakan formula yang dicadangkan, nisbah kebarangkalian ternormal adalah sama dengan nisbah kebarangkalian ternormal: K

rm f P(H 1) P(A\H 1) A11 |

Apabila menggunakan formula yang diketahui dengan nisbah yang sama -;-=-= 0.11 veron ternormal

P(H 1) P(A\H 1) «§

nisbah yang ditunjukkan dalam pengangka, nisbah kebarangkalian ternormal yang terhasil: 2

P(H 1) P(A\H 1) P(A\H 1) 0.63

P (H1 L) \u003d 0.28 P (H 1 L) \u003d 0.84

Iaitu, prinsip pemuliharaan nisbah kebarangkalian tidak dipatuhi, dan keputusan yang salah diperolehi. Dalam kes ini, £

dalam kes menggunakan formula yang diketahui, nilai sisihan relatif nisbah (11) kebarangkalian bersyarat dan bersyarat posterior bagi hipotesis daripada keputusan yang betul (10) ternyata sangat ketara, kerana ia adalah

°, 33 - °, P x 100 \u003d 242%.. I

2. Kebarangkalian hipotesis di bawah bukti tunggal yang serasi. Mari kita bandingkan keputusan yang diperoleh menggunakan formula Bayes (5) dan pengubahsuaian betul yang dibina (9), menggunakan data awal berikut:

P(H1 = 0.7; P(H2) = 0.3; P(E1H1) = 0.4; P(E2H1) = 0.8; P(E1\H2) = 0.7; P(E^ H2) = 0.2.113

Dalam contoh yang dipertimbangkan dengan hipotesis H 2 dalam kes menggunakan formula tradisional (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

p(Hk) p(El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6

P(H 2 E 2) \u003d -2-- \u003d - \u003d 0.097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

Dalam kes menggunakan formula yang dicadangkan (9), dengan mengambil kira (7), P(H

P(H2) 0.168

E.) ----- 0.291,

Z P(Hk) Z "

P(H2) 0.018

E0) ----- 0.031.

Z P(Hk) Z k - 1 i - 1

Apabila menggunakan formula betul yang dicadangkan, disebabkan penyebut yang sama, nisbah P(H2) -

Kebarangkalian ternormal, yang ditunjukkan dalam pengangka, adalah sama dengan nisbah

P(H2)

kebarangkalian normal:

Iaitu, prinsip pemuliharaan nisbah kebarangkalian diperhatikan.

Walau bagaimanapun, dalam kes menggunakan formula yang diketahui dengan nisbah kebarangkalian ternormal yang ditunjukkan dalam pengangka

P (H 2) P (E1 \ H 2) _ 0.21 _3 5 P (H 2) P (E 2 H 2) 0.06,

nisbah kebarangkalian ternormal:

P (H 2 \u003d 0.429 \u003d 4.423. (13)

P(H 2 \e2) 0.097

Iaitu, prinsip pemuliharaan nisbah kebarangkalian, seperti sebelum ini, tidak dihormati. Dalam kes ini, dalam kes menggunakan formula yang diketahui, nilai sisihan relatif nisbah (13) kebarangkalian bersyarat posterior bagi hipotesis daripada keputusan yang betul (12) juga ternyata sangat ketara:

9.387 4.423 x 100 = 52.9%.

Kesimpulan. Analisis pembinaan hubungan formula khusus yang melaksanakan formula Bayes dan pengubahsuaiannya, yang dicadangkan untuk menyelesaikan masalah praktikal, membolehkan kami menyatakan perkara berikut. Kumpulan penuh 2 acara gabungan yang boleh dibandingkan boleh dipilih secara subjektif oleh pembuat keputusan. Pilihan ini adalah berdasarkan data awal objektif yang dipertimbangkan, ciri situasi tipikal (jenis khusus dan bilangan peristiwa asas - anggaran hipotesis dan bukti). Kepentingan praktikal ialah pilihan subjektif pilihan lain kumpulan penuh berbanding dari segi tahap kemungkinan.

peristiwa gabungan - oleh itu, pelbagai nisbah formula yang ketara disediakan semasa membina variasi bukan tradisional bagi pengubahsuaian formula Bayes. Ini, seterusnya, boleh menjadi asas untuk menambah baik sokongan matematik pelaksanaan perisian, serta memperluaskan skop perhubungan formula baharu untuk menyelesaikan masalah terpakai.

Senarai bibliografi

1. Gnedenko, B. V. Pengenalan asas kepada teori kebarangkalian / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144 rubel.

2. Venttsel, E. S. Teori kebarangkalian / E. S. Venttsel. - ed. ke-10, dipadamkan. - Moscow: Sekolah Tinggi, 2006. - 575 p.

3. Andronov. A. M., Teori Kebarangkalian dan statistik matematik/ A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz. - St. Petersburg: Peter, 2004. - 481 p.

4. Zmitrovich, A. I. Sistem maklumat pintar / A. I. Zmitrovich. - Minsk: TetraSistems, 1997. - 496 p.

5. Chernorutsky, I. G. Kaedah membuat keputusan / I. G. Chernorutsky. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. - 416 p.

6 Naylor, C.-M. Bina Sistem Pakar Anda Sendiri / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 hlm.

7. Romanov, V.P. Sistem maklumat pintar dalam ekonomi / V.P. Romanov. - ed. ke-2, dipadamkan.

Moscow: Peperiksaan, 2007. - 496 p.

8. Kecekapan dan daya saing ekonomi / D. Yu. Muromtsev [dan lain-lain]. - Tambov: Tambov Publishing House. negeri teknologi un-ta, 2007.- 96 p.

9. Dolgov, A. I. Pengubahsuaian formula Bayes yang betul untuk pengaturcaraan selari / A. I. Dolgov // Teknologi superkomputer: bahan-bahan All-Russian ke-3. saintifik-teknikal conf. - Rostov-on-Don. - 2014.- Jld 1 - S. 122-126.

10. A. I. Dolgov, Mengenai ketepatan pengubahsuaian formula Bayes / A. I. Dolgov, Vestnik Don. negeri teknologi universiti

2014. - V. 14, No. 3 (78). - S. 13-20.

1. Gnedenko, B.V., Khinchin, A.Ya. Pengenalan asas kepada teori kebarangkalian. New York: Dover Publications, 1962, 144 hlm.

2 Ventsel, E.S. Teoriya veroyatnostey. ed. ke-10, reimpr. Moscow: Vysshaya shkola, 2006, 575 p. (dalam bahasa Rusia).

3. Andronov, A.M., Kopytov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey dan matematicheskaya statistika. St. Petersburg: Piter, 2004, 481 p. (dalam bahasa Rusia).

4. Zmitrovich, A.1. Intelektual "nye informationnye sistemy. Minsk: TetraSistems, 1997, 496 p. (dalam bahasa Rusia).

5. Chernorutskiy, I.G. Metodologi prinyatiya resheniy. St Petersburg: BkhV-Peterburg, 2005, 416 p. (dalam bahasa Rusia).

6 Naylor, C.-M. Bina Sistem Pakar Anda Sendiri. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 hlm.

7. Romanov, V.P. Intelektual "nye informationnye sistemy v ekonomike. 2nd ed., reimpr. Moscow: Ekzamen, 2007, 496 p. (dalam bahasa Rusia).

8. Muromtsev, D.Y., et al. Ekonomicheskaya effektivnost" dan konkurentosposobnost". Tambov: Izd-vo Tamb. pergi. teknologi un-ta, 2007, 96 hlm. (dalam bahasa Rusia). IB

9. Dolgov, A1. Korrektnye modifikatsii formuly Bayesa dlya selari "nogo programmirovaniya. Superkomp" yuternye tekhnologii: mat-ly 3-y vseros. berteknologi saintifik. conf. Rostov-on-Don, 2014, jld. 1, hlm. 122-126 (dalam bahasa Rusia). ^

10. Dolgov, A1. O korrektnosti modifikatsiy formuly Bayesa. ^ Vestnik dari DSTU, 2014, jld. 14, tidak. 3 (78), hlm. 13-20 (dalam bahasa Rusia). *

Jika acara tersebut DAN hanya boleh berlaku apabila salah satu peristiwa yang terbentuk kumpulan lengkap acara yang tidak serasi , maka kebarangkalian kejadian itu DAN dikira dengan formula

Formula ini dipanggil jumlah formula kebarangkalian .

Pertimbangkan sekali lagi kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi , yang kebarangkalian kejadiannya adalah . Peristiwa DAN hanya boleh berlaku bersama-sama dengan mana-mana peristiwa yang akan kami panggil hipotesis . Kemudian mengikut jumlah formula kebarangkalian

Jika acara tersebut DAN berlaku, ia boleh mengubah kebarangkalian hipotesis .

Mengikut teorem pendaraban kebarangkalian

Begitu juga untuk hipotesis lain

Formula yang terhasil dipanggil Formula Bayes (Formula Bayes ). Kebarangkalian hipotesis dipanggil kebarangkalian posterior , sedangkan - kebarangkalian terdahulu .

Contoh. Kedai itu menerima produk baharu daripada tiga perusahaan. Peratusan komposisi produk ini adalah seperti berikut: 20% - produk perusahaan pertama, 30% - produk perusahaan kedua, 50% - produk perusahaan ketiga; selanjutnya, 10% daripada produk perusahaan pertama gred tertinggi, pada perusahaan kedua - 5% dan pada ketiga - 20% daripada produk gred tertinggi. Cari kebarangkalian bahawa produk baharu yang dibeli secara rawak akan mempunyai kualiti tertinggi.

Keputusan. Nyatakan dengan AT acara yang terdiri daripada fakta bahawa produk premium akan dibeli, mari kita nyatakan peristiwa yang terdiri dalam pembelian produk kepunyaan perusahaan pertama, kedua dan ketiga, masing-masing.

Kami boleh menggunakan jumlah formula kebarangkalian, dan dalam notasi kami:

Menggantikan nilai ini ke dalam jumlah formula kebarangkalian, kami memperoleh kebarangkalian yang diingini:

Contoh. Salah seorang daripada tiga penembak dipanggil ke barisan tembakan dan melepaskan dua tembakan. Kebarangkalian mengenai sasaran dengan satu pukulan untuk penembak pertama ialah 0.3, untuk yang kedua - 0.5; untuk yang ketiga - 0.8. Sasaran tidak terkena. Cari kebarangkalian bahawa tembakan dilepaskan oleh penembak pertama.

Keputusan. Tiga hipotesis adalah mungkin:

Penembak pertama dipanggil ke barisan api,

Penembak kedua dipanggil ke barisan api,

Penembak ketiga dipanggil ke barisan tembakan.

Oleh kerana memanggil mana-mana penembak ke garisan api adalah sama mungkin, maka

Hasil daripada eksperimen, peristiwa B diperhatikan - selepas tembakan dilepaskan, sasaran tidak terkena. Kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa ini di bawah hipotesis yang dibuat ialah:

menggunakan formula Bayes, kita dapati kebarangkalian hipotesis selepas eksperimen:

Contoh. Pada tiga mesin automatik, bahagian dari jenis yang sama diproses, yang tiba selepas pemprosesan pada penghantar biasa. Mesin pertama memberikan 2% penolakan, yang kedua - 7%, yang ketiga - 10%. Produktiviti mesin pertama adalah 3 kali lebih besar daripada produktiviti kedua, dan yang ketiga adalah 2 kali kurang daripada yang kedua.

a) Berapakah kadar kecacatan pada talian pemasangan?

b) Apakah perkadaran bahagian setiap mesin antara bahagian yang rosak pada penghantar?

Keputusan. Mari kita ambil satu bahagian secara rawak dari barisan pemasangan dan pertimbangkan acara A - bahagian itu rosak. Ia dikaitkan dengan hipotesis di mana bahagian ini dimesin: - bahagian yang dipilih secara rawak telah dimesin pada mesin ke,.

Kebarangkalian bersyarat (dalam keadaan masalah mereka diberikan dalam bentuk peratusan):

Kebergantungan antara prestasi mesin bermaksud yang berikut:

Dan oleh kerana hipotesis membentuk kumpulan yang lengkap, maka .

Setelah menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil, kita dapati: .

a) Jumlah kebarangkalian bahawa bahagian yang diambil secara rawak dari baris pemasangan rosak:

Dalam erti kata lain, dalam jisim bahagian yang keluar dari barisan pemasangan, kecacatan adalah 4%.

b) Perlu diketahui bahawa bahagian yang diambil secara rawak adalah rosak. Menggunakan formula Bayes, kita dapati kebarangkalian bersyarat bagi hipotesis:

Oleh itu, dalam jumlah jisim bahagian yang rosak pada penghantar, bahagian mesin pertama ialah 33%, yang kedua - 39%, yang ketiga - 28%.

Tugasan praktikal

Latihan 1

Menyelesaikan masalah dalam bahagian utama teori kebarangkalian

Matlamatnya adalah untuk mendapatkan kemahiran praktikal dalam menyelesaikan masalah pada

bahagian teori kebarangkalian

Persediaan untuk tugas amali

Untuk membiasakan diri dengan bahan teori mengenai topik ini, untuk mengkaji kandungan teori, serta bahagian yang berkaitan dalam kesusasteraan

Perintah pelaksanaan tugas

Selesaikan 5 masalah mengikut bilangan pilihan tugasan yang diberikan dalam Jadual 1.

Pilihan data awal

Jadual 1

	nombor tugas

Komposisi laporan untuk tugasan 1

5 menyelesaikan masalah mengikut nombor varian.

Tugas untuk penyelesaian bebas

1.. Adakah kumpulan peristiwa berikut kes: a) pengalaman - melambung syiling; perkembangan: A1- rupa jata; A2- rupa nombor; b) pengalaman - melambung dua syiling; perkembangan: DALAM 1- rupa dua jata; PADA 2 - rupa dua digit; PADA 3- penampilan satu jata dan satu nombor; c) pengalaman - membaling dadu; perkembangan: C1 - penampilan tidak lebih daripada dua mata; C2 - penampilan tiga atau empat mata; C3 - penampilan sekurang-kurangnya lima mata; d) pengalaman - pukulan ke sasaran; perkembangan: D1- pukul; D2- rindu; e) pengalaman - dua pukulan ke sasaran; perkembangan: E0- tiada satu pukulan; E1- satu pukulan; E2- dua hits; f) pengalaman - melukis dua kad dari dek; perkembangan: F1- kemunculan dua kad merah; F2- rupa dua kad hitam?

2. Urn A mengandungi putih dan B bola hitam. Satu bola diambil secara rawak dari balang. Cari kebarangkalian bahawa bola ini berwarna putih.

3. Dalam balang A Pasir Putih B bola hitam. Satu bola dikeluarkan dari urn dan ketepikan. Bola ini berwarna putih. Selepas itu, satu lagi bola diambil dari urn. Cari kebarangkalian bahawa bola ini juga berwarna putih.

4. Dalam balang A putih dan B bola hitam. Satu bola dikeluarkan dari urn dan diketepikan tanpa melihat. Selepas itu, satu lagi bola diambil dari tempayan. Dia ternyata putih. Cari kebarangkalian bahawa bola pertama yang diketepikan juga berwarna putih.

5. Dari bekas yang mengandungi A putih dan B bola hitam, keluarkan satu persatu semua bola kecuali satu. Cari kebarangkalian bahawa bola terakhir yang tinggal di dalam bekas berwarna putih.

6. Dari balang di mana A bola putih dan B hitam, keluarkan berturut-turut semua bola di dalamnya. Cari kebarangkalian bahawa bola kedua yang ditarik berwarna putih.

7. Dalam balang A berwarna putih dan B bola hitam (A > 2). Dua bola dikeluarkan dari urn sekaligus. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bola berwarna putih.

8. Putih dan B dalam balang A bola hitam (A > 2, B > 3). Lima bola dikeluarkan dari urn sekaligus. Cari Kebarangkalian R dua daripadanya akan menjadi putih dan tiga akan menjadi hitam.

9. Dalam parti yang terdiri daripada X produk, ada saya rosak. Daripada kumpulan dipilih untuk kawalan I produk. Cari Kebarangkalian R yang manakah antara mereka sebenarnya J produk akan rosak.

10. Mata dadu dilempar sekali. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: DAN - kemunculan bilangan mata genap; AT- penampilan sekurang-kurangnya 5 mata; DENGAN- penampilan tidak lebih daripada 5 mata.

11. Sebiji dadu dilempar dua kali. Cari Kebarangkalian R bahawa bilangan mata yang sama akan muncul kedua-dua kali.

12. Dua dadu dibaling serentak. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: DAN- jumlah mata yang digugurkan adalah sama dengan 8; AT- hasil darab mata yang digugurkan adalah sama dengan 8; DENGAN- jumlah mata yang digugurkan adalah lebih besar daripada hasil keluarannya.

13. Dua syiling dilambung. Antara peristiwa berikut yang manakah lebih berkemungkinan: DAN - syiling akan terletak pada sisi yang sama; AT - Adakah syiling terletak pada sisi yang berbeza?

14. Dalam bekas A putih dan B bola hitam (A > 2; B > 2). Dua bola dikeluarkan dari urn pada masa yang sama. Acara manakah yang lebih berkemungkinan: DAN- bola dengan warna yang sama; AT - bola yang berbeza warna?

15. Tiga pemain sedang bermain kad. Setiap daripada mereka diberikan 10 kad dan dua kad tinggal dalam cabutan. Salah seorang pemain melihat bahawa dia mempunyai 6 kad sut berlian dan 4 kad sut bukan berlian. Dia membuang dua daripada empat kad itu dan mengambil cabutan. Cari kebarangkalian bahawa dia membeli dua berlian.

16. Dari tempayan yang berisi P bola bernombor, keluarkan secara rawak satu persatu semua bola di dalamnya. Cari kebarangkalian bahawa nombor-nombor bola yang dilukis adalah mengikut tertib: 1, 2,..., P.

17. Guci yang sama seperti dalam masalah sebelumnya, tetapi selepas mengeluarkan setiap bola dimasukkan semula dan dicampur dengan yang lain, dan nombornya ditulis. Cari kebarangkalian bahawa urutan semula jadi nombor akan ditulis: 1, 2,..., n.

18. Satu dek penuh kad (52 helai) dibahagikan secara rawak kepada dua pek sama 26 helai. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: DAN - dalam setiap pek akan ada dua ace; AT- dalam salah satu pek tidak akan ada ace, dan dalam satu lagi - keempat-empatnya; S-in satu pek akan mempunyai satu ace, dan pek lain akan mempunyai tiga.

19. 18 pasukan mengambil bahagian dalam kejohanan bola keranjang, yang mana dua kumpulan 9 pasukan setiap satu dibentuk secara rawak. Terdapat 5 pasukan dalam kalangan peserta pertandingan

kelas tambahan. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: DAN - semua pasukan kelas tambahan akan jatuh ke dalam kumpulan yang sama; AT- dua pasukan kelas tambahan akan masuk ke dalam salah satu kumpulan, dan tiga - ke dalam yang lain.

20. Nombor ditulis pada sembilan kad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dua daripadanya dikeluarkan secara rawak dan diletakkan di atas meja mengikut susunan penampilan, kemudian nombor yang terhasil dibaca , contohnya 07 (tujuh), 14 ( empat belas), dsb. Cari kebarangkalian nombor itu genap.

21. Nombor ditulis pada lima kad: 1, 2, 3, 4, 5. Dua daripadanya, satu demi satu, dikeluarkan. Cari kebarangkalian bahawa nombor pada kad kedua lebih besar daripada nombor pada kad pertama.

22. Soalan yang sama seperti dalam masalah 21, tetapi kad pertama selepas ditarik dimasukkan semula dan dicampur dengan yang lain, dan nombor di atasnya ditulis.

23. Dalam balang A putih, B bola hitam dan C merah. Satu demi satu, semua bola di dalamnya dikeluarkan dari tempayan dan warnanya ditulis. Cari kebarangkalian bahawa putih muncul sebelum hitam dalam senarai ini.

24. Terdapat dua tempayan: dalam yang pertama A putih dan B bola hitam; dalam C kedua putih dan D hitam. Sebiji bola diambil dari setiap urn. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bola berwarna putih.

25. Di bawah syarat Masalah 24, cari kebarangkalian bahawa bola yang dilukis itu mempunyai warna yang berbeza.

26. Terdapat tujuh sarang dalam dram revolver, lima daripadanya dimuatkan dengan kartrij, dan dua dibiarkan kosong. Drum ditetapkan dalam putaran, akibatnya salah satu soket diletakkan secara rawak terhadap tong. Selepas itu, pencetus ditekan; jika sel itu kosong, pukulan tidak berlaku. Cari Kebarangkalian R hakikat bahawa, setelah mengulangi eksperimen sedemikian dua kali berturut-turut, kami tidak akan menembak kedua-dua kali.

27. Di bawah keadaan yang sama (lihat Masalah 26), cari kebarangkalian bahawa kedua-dua kali pukulan akan berlaku.

28. Terdapat A dalam urn; bola berlabel 1, 2, ..., kepada Dari balang saya apabila satu bola ditarik (Saya<к), nombor bola ditulis dan bola dimasukkan semula ke dalam urn. Cari Kebarangkalian R bahawa semua nombor yang direkodkan akan berbeza.

29. Perkataan "buku" terdiri daripada lima huruf abjad berpecah. Seorang kanak-kanak yang tidak boleh membaca menaburkan huruf-huruf ini dan kemudian menyusunnya dalam susunan rawak. Cari Kebarangkalian R hakikat bahawa dia sekali lagi mendapat perkataan "buku".

30. Perkataan "nanas" terdiri daripada huruf-huruf abjad terbelah. Seorang kanak-kanak yang tidak boleh membaca menaburkan huruf-huruf ini dan kemudian menyusunnya dalam susunan rawak. Cari Kebarangkalian R hakikat bahawa dia sekali lagi mempunyai perkataan "nanas

31. Daripada dek penuh kad (52 helaian, 4 sut), beberapa kad dikeluarkan serentak. Berapakah bilangan kad yang mesti dikeluarkan untuk mengatakan dengan kebarangkalian lebih daripada 0.50 bahawa antaranya akan ada kad yang sama sut?

32. N orang ramai duduk secara rawak di meja bulat (N > 2). Cari Kebarangkalian R dua muka tetap itu DAN dan AT akan berada berdekatan.

33. Masalah yang sama (lihat 32), tetapi jadual adalah segi empat tepat, dan N orang itu duduk secara rawak di sepanjang satu sisinya.

34. Nombor dari 1 hingga N. Ini N dua tong dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa nombor kurang daripada k ditulis pada kedua-dua laras (2

35. Nombor dari 1 hingga N. Ini N dua tong dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa satu daripada tong itu mempunyai nombor lebih besar daripada k , dan pada yang lain - kurang daripada k . (2

36. Bateri habis M pistol menembak ke arah kumpulan yang terdiri daripada N matlamat (M< N). Senapang memilih sasaran mereka secara berurutan, secara rawak, dengan syarat tiada dua senjata api boleh menembak sasaran yang sama. Cari Kebarangkalian R hakikat bahawa sasaran dengan nombor 1, 2, ..., akan ditembak M.

37.. Bateri yang terdiri daripada kepada senjata api, tembakan ke arah kumpulan yang terdiri daripada saya kapal terbang (kepada< 2). Setiap senjata memilih sasarannya secara rawak dan bebas daripada yang lain. Cari kebarangkalian bahawa semua kepada senjata api akan menembak sasaran yang sama.

38. Di bawah keadaan masalah sebelumnya, cari kebarangkalian bahawa semua senjata api akan menembak sasaran yang berbeza.

39. Empat bola bertaburan secara rawak di atas empat lubang; setiap bola mencecah satu atau satu lubang lain dengan kebarangkalian yang sama dan secara bebas daripada yang lain (tiada halangan untuk memasukkan beberapa bola ke dalam lubang yang sama). Cari kebarangkalian bahawa terdapat tiga bola dalam salah satu lubang, satu - dalam satu lagi, dan tiada bola dalam dua lubang yang lain.

40. Masha bergaduh dengan Petya dan tidak mahu menaikinya dalam bas yang sama. Terdapat 5 bas dari asrama ke institut dari 7 hingga 8. Mereka yang tidak mempunyai masa untuk bas ini lambat untuk kuliah. Berapa banyak cara Masha dan Petya boleh pergi ke institut menggunakan bas yang berbeza dan tidak lewat untuk kuliah?

41. Terdapat 3 penganalisis, 10 pengaturcara dan 20 jurutera di jabatan teknologi maklumat bank tersebut. Untuk kerja lebih masa pada hari cuti, ketua jabatan hendaklah memperuntukkan seorang pekerja. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

42. Ketua perkhidmatan keselamatan bank mesti menempatkan 10 pengawal setiap hari di 10 jawatan. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

43. Presiden baru bank mesti melantik 2 naib presiden baharu daripada 10 pengarah. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

44. Salah satu pihak yang berperang menangkap 12, dan yang lain - 15 banduan. Dalam berapa banyak cara 7 tawanan perang boleh ditukar?

45. Petya dan Masha mengumpul cakera video. Petya mempunyai 30 komedi, 80 filem aksi dan 7 melodrama, Masha mempunyai 20 komedi, 5 filem aksi dan 90 melodrama. Dalam berapa banyak cara Petya dan Masha boleh bertukar 3 komedi, 2 filem aksi dan 1 melodrama?

46. Di bawah syarat Masalah 45, berapa banyak cara Petya dan Masha boleh bertukar 3 melodrama dan 5 komedi?

47. Dalam keadaan masalah 45, berapa banyak cara Petya dan Masha boleh bertukar 2 filem aksi dan 7 komedi.

48. Salah satu pihak yang berperang menangkap 15, dan yang lain - 16 banduan. Dalam berapa banyak cara 5 tawanan perang boleh ditukar?

49. Berapakah bilangan kereta yang boleh didaftarkan dalam 1 bandar jika nombor itu mempunyai 3 digit dan 3 huruf )?

50. Salah satu pihak yang berperang menangkap 14, dan yang lain - 17 banduan. Dalam berapa banyak cara 6 tawanan perang boleh ditukar?

51. Berapa banyak perkataan berbeza yang boleh dibentuk dengan menyusun semula huruf dalam perkataan "ibu"?

52. Terdapat 3 biji epal merah dan 7 biji epal hijau di dalam bakul. Satu epal diambil daripadanya. Cari kebarangkalian bahawa ia akan menjadi merah.

53. Terdapat 3 biji epal merah dan 7 biji epal hijau dalam sebuah bakul. Sebiji epal hijau dikeluarkan daripadanya dan ketepikan. Kemudian 1 biji epal lagi dikeluarkan dari bakul. Apakah kebarangkalian bahawa epal ini berwarna hijau?

54. Dalam kumpulan 1,000 item, 4 rosak. Untuk kawalan, kumpulan 100 produk dipilih. Apakah kebarangkalian LLP bahawa lot kawalan tidak akan rosak?

56. Pada tahun 80-an, permainan sportloto 5 daripada 36 telah popular di USSR. Pemain mencatat pada kad 5 nombor dari 1 hingga 36 dan menerima hadiah pelbagai denominasi jika dia meneka nombor yang berbeza yang diumumkan oleh komisen cabutan. Cari kebarangkalian bahawa pemain itu tidak meneka sebarang nombor.

57. Pada tahun 80-an, permainan "sportloto 5 daripada 36" popular di USSR. Pemain mencatat pada kad 5 nombor dari 1 hingga 36 dan menerima hadiah pelbagai denominasi jika dia meneka nombor yang berbeza yang diumumkan oleh komisen cabutan. Cari kebarangkalian bahawa pemain itu meneka satu nombor.

58. Pada tahun 80-an, permainan sportloto 5 daripada 36 telah popular di USSR. Pemain mencatat pada kad 5 nombor dari 1 hingga 36 dan menerima hadiah pelbagai denominasi jika dia meneka nombor yang berbeza yang diumumkan oleh komisen cabutan. Cari kebarangkalian bahawa pemain itu meneka 3 nombor.

59. Pada tahun 80-an, permainan sportloto 5 daripada 36 telah popular di USSR. Pemain mencatat pada kad 5 nombor dari 1 hingga 36 dan menerima hadiah pelbagai denominasi jika dia meneka nombor yang berbeza yang diumumkan oleh komisen cabutan. Cari kebarangkalian bahawa pemain itu tidak meneka kesemua 5 nombor.

60. Pada tahun 80-an, permainan sportloto 6 daripada 49 popular di USSR. Pemain mencatat pada kad 6 nombor dari 1 hingga 49 dan menerima hadiah pelbagai denominasi jika dia meneka nombor yang berbeza yang diumumkan oleh komisen cabutan. Cari kebarangkalian bahawa pemain itu meneka 2 nombor.

61. Pada tahun 80-an, permainan "sportloto 6 daripada 49" popular di USSR. Pemain mencatat pada kad 6 nombor dari 1 hingga 49 dan menerima hadiah pelbagai denominasi jika dia meneka nombor yang berbeza yang diumumkan oleh komisen cabutan. Cari kebarangkalian bahawa pemain itu tidak meneka sebarang nombor.

62. Pada tahun 80-an, permainan "sportloto 6 daripada 49" popular di USSR. Pemain mencatat pada kad 6 nombor dari 1 hingga 49 dan menerima hadiah pelbagai denominasi jika dia meneka nombor yang berbeza yang diumumkan oleh komisen cabutan. Cari kebarangkalian bahawa pemain itu meneka kesemua 6 nombor.

63. Dalam kumpulan 1,000 item, 4 rosak. Untuk kawalan, kumpulan 100 produk dipilih. Apakah kebarangkalian PLT bahawa hanya 1 yang rosak akan berada dalam lot kawalan?

64. Berapa banyak perkataan berbeza yang boleh dibentuk dengan menyusun semula huruf dalam perkataan "buku"?

65. Berapa banyak perkataan berbeza yang boleh dibentuk dengan menyusun semula huruf dalam perkataan "nanas"?

66. 6 orang memasuki lif, dan asrama mempunyai 7 tingkat. Apakah kebarangkalian bahawa kesemua 6 orang keluar di tingkat yang sama?

67. 6 orang memasuki lif, bangunan itu mempunyai 7 tingkat. Apakah kebarangkalian bahawa kesemua 6 orang keluar di tingkat yang berbeza?

68. Semasa ribut petir, putus wayar berlaku pada bahagian antara 40 dan 79 km talian kuasa. Dengan mengandaikan bahawa pemecahan adalah sama mungkin pada sebarang titik, cari kebarangkalian bahawa pemecahan berlaku antara kilometer ke-40 dan ke-45.

69. Pada bahagian saluran paip gas sepanjang 200 kilometer, terdapat kebocoran gas antara stesen pemampat A dan B, yang sama mungkin berlaku di mana-mana titik saluran paip. Apakah kebarangkalian bahawa kebocoran berlaku dalam jarak 20 km dari A

70. Pada bahagian 200 kilometer saluran paip gas, kebocoran gas berlaku di antara stesen pemampat A dan B, yang sama mungkin berlaku pada mana-mana titik dalam saluran paip. Apakah kebarangkalian bahawa kebocoran itu lebih dekat dengan A daripada B?

71. Radar inspektor polis trafik mempunyai ketepatan 10 km/j dan membulat ke bahagian terdekat. Apa yang berlaku lebih kerap - pembundaran memihak kepada pemandu atau pemeriksa?

72. Masha menghabiskan 40 hingga 50 minit dalam perjalanannya ke institut, dan bila-bila masa dalam selang ini adalah sama besar kemungkinannya. Apakah kebarangkalian bahawa dia akan menghabiskan masa di jalan raya dari 45 hingga 50 minit.

73. Petya dan Masha bersetuju untuk bertemu di monumen Pushkin dari 12 hingga 13 jam, tetapi tiada siapa yang dapat menunjukkan masa ketibaan yang tepat. Mereka bersetuju untuk menunggu antara satu sama lain selama 15 minit. Apakah kebarangkalian pertemuan mereka?

74. Nelayan menangkap 120 ekor ikan di dalam kolam, 10 daripadanya diikat. Apakah kebarangkalian untuk menangkap ikan bercincin?

75. Dari bakul yang mengandungi 3 epal merah dan 7 epal hijau, keluarkan semua epal itu mengikut giliran. Apakah kebarangkalian bahawa epal ke-2 itu berwarna merah?

76. Dari bakul yang mengandungi 3 epal merah dan 7 epal hijau, keluarkan semua epal secara bergilir-gilir. Apakah kebarangkalian bahawa epal terakhir berwarna hijau?

77. Pelajar menganggap bahawa daripada 50 tiket 10 adalah "baik". Petya dan Masha bergilir-gilir menarik satu tiket setiap seorang. Apakah kebarangkalian bahawa Masha mendapat tiket "baik"?

78. Pelajar menganggap bahawa daripada 50 tiket 10 adalah "baik". Petya dan Masha bergilir-gilir menarik satu tiket setiap seorang. Apakah kebarangkalian bahawa mereka berdua mendapat tiket "baik"?

79. Masha datang ke peperiksaan mengetahui jawapan kepada 20 soalan program daripada 25. Profesor bertanya 3 soalan. Apakah kebarangkalian Masha akan menjawab 3 soalan?

80. Masha datang ke peperiksaan mengetahui jawapan kepada 20 soalan program daripada 25. Profesor bertanya 3 soalan. Apakah kebarangkalian Masha tidak akan menjawab mana-mana soalan?

81. Masha datang ke peperiksaan dengan mengetahui jawapan kepada 20 soalan program daripada 25. Profesor bertanya 3 soalan. Apakah kebarangkalian Masha akan menjawab 1 soalan?

82. Statistik permintaan pinjaman bank adalah seperti berikut: 10% - nyatakan. pihak berkuasa, 20% - bank lain, selebihnya - individu. Kebarangkalian kemungkiran pinjaman ialah 0.01, 0.05 dan 0.2, masing-masing. Apakah bahagian pinjaman yang tidak boleh dikembalikan?

83. kebarangkalian bahawa perolehan mingguan seorang peniaga aiskrim akan melebihi 2000 rubel. adalah 80% dalam cuaca cerah, 50% dalam sebahagian mendung dan 10% dalam cuaca hujan. Apakah kebarangkalian bahawa perolehan akan melebihi 2000 rubel. jika kebarangkalian cuaca cerah ialah 20%, dan sebahagiannya mendung dan hujan - 40% setiap satu.

84. Putih (b) dan C berada dalam bekas A bola hitam (h). Dua bola dikeluarkan dari urn (secara serentak atau berurutan). Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bola berwarna putih.

85. Dalam balang A putih dan B

86. Dalam balang A putih dan B

87. Dalam balang A putih dan B bola hitam. Satu bola dikeluarkan dari balang, warnanya ditanda dan bola dikembalikan ke dalam balang. Selepas itu, satu lagi bola diambil dari urn. Cari kebarangkalian bahawa bola ini mempunyai warna yang berbeza.

88. Terdapat sebuah kotak dengan sembilan bola tenis baharu. Tiga bola diambil untuk permainan; selepas permainan mereka diletakkan semula. Apabila memilih bola, mereka tidak membezakan antara bola yang dimainkan dan tidak dimainkan. Apakah kebarangkalian bahawa selepas tiga perlawanan tidak akan ada bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

89. Meninggalkan apartmen, N setiap tetamu akan memakai kaus kaki mereka sendiri;

90. Meninggalkan apartmen, N tetamu dengan saiz kasut yang sama memakai kaus kaki dalam gelap. Setiap daripada mereka boleh membezakan galosh kanan dari kiri, tetapi tidak boleh membezakan galosh sendiri dengan orang lain. Cari kebarangkalian itu setiap tetamu akan memakai galoshes milik sepasang (mungkin bukan milik mereka).

91. Di bawah syarat-syarat masalah 90, cari kebarangkalian bahawa semua orang akan pergi dalam kandang kuda mereka jika tetamu tidak dapat membezakan galoshes kanan dari kiri dan hanya mengambil dua galoshes pertama yang terserempak.

92. Tembakan sedang dijalankan di pesawat, bahagian yang terdedah ialah dua enjin dan kokpit. Untuk memukul (melumpuhkan) pesawat, cukup untuk memukul kedua-dua enjin bersama-sama atau kokpit. Di bawah keadaan pembakaran yang diberikan, kebarangkalian untuk memukul enjin pertama adalah p1 enjin kedua p2, kokpit p3. Bahagian pesawat dipengaruhi secara bebas antara satu sama lain. Cari kebarangkalian bahawa kapal terbang itu akan dilanggar.

93. Dua penembak, secara bebas antara satu sama lain, melepaskan dua tembakan (masing-masing pada sasaran mereka sendiri). Kebarangkalian mengenai sasaran dengan satu pukulan untuk penembak pertama p1 untuk yang kedua p2. Pemenang pertandingan adalah penembak, yang sasarannya akan ada lebih banyak lubang. Cari Kebarangkalian Rx apa yang dimenangi oleh penembak pertama.

94. di belakang objek angkasa, objek itu dikesan dengan kebarangkalian R. Pengesanan objek dalam setiap kitaran berlaku secara bebas daripada yang lain. Cari kebarangkalian bahawa apabila P kitaran objek akan dikesan.

95. 32 huruf abjad Rusia ditulis pada kad abjad yang dipotong. Lima kad dilukis secara rawak, satu demi satu, dan diletakkan di atas meja mengikut susunan yang muncul. Cari kebarangkalian bahawa perkataan "akhir" akan diperolehi.

96. Dua bola bertaburan secara rawak dan bebas antara satu sama lain di atas empat sel yang terletak satu demi satu dalam garis lurus. Setiap bola dengan kebarangkalian yang sama 1/4 mengenai setiap sel. Cari kebarangkalian bahawa bola akan jatuh ke dalam sel jiran.

97. Peluru pembakar sedang dilepaskan ke arah pesawat. Bahan api pada pesawat itu tertumpu dalam empat tangki yang terletak di dalam badan pesawat satu demi satu. Saiz tangki adalah sama. Untuk menyalakan pesawat, cukup untuk memukul dua peluru sama ada dalam tangki yang sama atau dalam kereta kebal jiran. Diketahui dua peluru terkena kawasan tangki. Cari kebarangkalian bahawa kapal terbang itu akan terbakar.

98. Dari dek penuh kad (52 helai), empat kad dikeluarkan serentak. Cari kebarangkalian bahawa keempat-empat kad ini adalah daripada sut yang sama.

99. Dari dek penuh kad (52 helai), empat kad dikeluarkan serentak, tetapi setiap kad dikembalikan ke dek selepas dikeluarkan. Cari kebarangkalian bahawa keempat-empat kad adalah sut yang sama.

100. Apabila pencucuhan dihidupkan, enjin dimulakan dengan kebarangkalian R.

101. Peranti boleh beroperasi dalam dua mod: 1) normal dan 2) tidak normal. Mod biasa diperhatikan dalam 80% daripada semua kes operasi peranti; tidak normal - dalam 20%. Kebarangkalian kegagalan peranti dalam masa t dalam mod biasa ialah 0.1; dalam tidak normal - 0.7. Cari Jumlah Kebarangkalian R kegagalan peranti.

102. Kedai menerima barangan daripada 3 pembekal: 55% dari yang pertama, 20 dari yang ke-2 dan 25% dari yang ke-3. Bahagian perkahwinan masing-masing adalah 5, 6 dan 8 peratus. Apakah kebarangkalian bahawa produk rosak yang dibeli datang daripada pembekal kedua.

103. Aliran kereta yang melepasi stesen minyak terdiri daripada 60% lori dan 40% kereta. Apakah kebarangkalian untuk mencari sebuah trak di stesen minyak jika kebarangkalian mengisi minyak ialah 0.1, dan sebuah kereta ialah 0.3

104. Aliran kereta yang melepasi stesen minyak terdiri daripada 60% lori dan 40% kereta. Apakah kebarangkalian untuk mencari sebuah trak di stesen minyak jika kebarangkalian mengisi minyak ialah 0.1, dan sebuah kereta ialah 0.3

105. Kedai menerima barangan daripada 3 pembekal: 55% dari yang pertama, 20 dari yang ke-2 dan 25% dari yang ke-3. Bahagian perkahwinan masing-masing adalah 5, 6 dan 8 peratus. Apakah kebarangkalian bahawa produk rosak yang dibeli datang daripada pembekal pertama.

106. 32 huruf abjad Rusia ditulis pada kad abjad yang dipotong. Lima kad dilukis secara rawak, satu demi satu, dan diletakkan di atas meja mengikut susunan yang muncul. Cari kebarangkalian mendapat perkataan "buku".

107. Kedai menerima barangan daripada 3 pembekal: 55% dari yang pertama, 20 dari yang ke-2 dan 25% dari yang ke-3. Bahagian perkahwinan masing-masing adalah 5, 6 dan 8 peratus. Apakah kebarangkalian bahawa produk rosak yang dibeli datang daripada pembekal pertama.

108. Dua bola bertaburan secara rawak dan bebas antara satu sama lain di atas empat sel yang terletak satu demi satu dalam garis lurus. Setiap bola dengan kebarangkalian yang sama 1/4 mengenai setiap sel. Cari kebarangkalian bahawa 2 bola jatuh ke dalam sel yang sama

109. Apabila pencucuhan dihidupkan, enjin mula berfungsi dengan kebarangkalian R. Cari kebarangkalian bahawa enjin akan mula berjalan pada kali kedua pencucuhan dihidupkan;

110. Peluru pembakar dilepaskan ke arah pesawat. Bahan api pada pesawat itu tertumpu dalam empat tangki yang terletak di dalam badan pesawat satu demi satu. Saiz tangki adalah sama. Untuk menyalakan pesawat, cukup untuk memukul dua peluru dalam tangki yang sama. Diketahui dua peluru terkena kawasan tangki. Cari kebarangkalian bahawa kapal terbang itu akan terbakar

111. Peluru pembakar dilepaskan ke arah pesawat. Bahan api pada pesawat itu tertumpu dalam empat tangki yang terletak di dalam badan pesawat satu demi satu. Saiz tangki adalah sama. Untuk menyalakan pesawat, cukup untuk memukul dua peluru di kereta kebal jiran. Diketahui dua peluru terkena kawasan tangki. Cari kebarangkalian bahawa kapal terbang itu akan terbakar

112. Dalam balang A putih dan B bola hitam. Satu bola dikeluarkan dari urn, warnanya ditanda dan bola dikembalikan ke urn. Selepas itu, satu lagi bola diambil dari urn. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bola yang dilukis berwarna putih.

113. Dalam balang A putih dan B bola hitam. Dua bola dikeluarkan dari urn sekaligus. Cari kebarangkalian bahawa bola ini mempunyai warna yang berbeza.

114. Dua bola bertaburan secara rawak dan bebas antara satu sama lain di atas empat sel yang terletak satu demi satu dalam garis lurus. Setiap bola dengan kebarangkalian yang sama 1/4 mengenai setiap sel. Cari kebarangkalian bahawa bola akan jatuh ke dalam sel jiran.

115. Masha datang ke peperiksaan mengetahui jawapan kepada 20 soalan program daripada 25. Profesor bertanya 3 soalan. Apakah kebarangkalian Masha akan menjawab 2 soalan?

116. Pelajar menganggap bahawa daripada 50 tiket 10 adalah "baik". Petya dan Masha bergilir-gilir menarik satu tiket setiap seorang. Apakah kebarangkalian bahawa mereka berdua mendapat tiket "baik"?

117. Statistik permintaan pinjaman bank adalah seperti berikut: 10% - nyatakan. pihak berkuasa, 20% - bank lain, selebihnya - individu. Kebarangkalian kemungkiran pinjaman ialah 0.01, 0.05 dan 0.2, masing-masing. Apakah bahagian pinjaman yang tidak boleh dikembalikan?

118. 32 huruf abjad Rusia ditulis pada kad abjad yang dipotong. Lima kad dilukis secara rawak, satu demi satu, dan diletakkan di atas meja mengikut susunan yang muncul. Cari kebarangkalian bahawa perkataan "akhir" akan diperolehi.

119 Statistik permintaan pinjaman bank adalah seperti berikut: 10% - nyatakan. pihak berkuasa, 20% - bank lain, selebihnya - individu. Kebarangkalian kemungkiran pinjaman ialah 0.01, 0.05 dan 0.2, masing-masing. Apakah bahagian pinjaman yang tidak boleh dikembalikan?

120. kebarangkalian bahawa perolehan mingguan seorang peniaga aiskrim akan melebihi 2000 rubel. adalah 80% dalam cuaca cerah, 50% dalam sebahagian mendung dan 10% dalam cuaca hujan. Apakah kebarangkalian bahawa perolehan akan melebihi 2000 rubel. jika kebarangkalian cuaca cerah ialah 20%, dan sebahagiannya mendung dan hujan - 40% setiap satu.