Teorem ketidaklengkapan Gödel secara ringkas. Fakta menarik dan petua berguna

Mana-mana sistem aksiom matematik, bermula dari tahap kerumitan tertentu, adalah sama ada secara dalaman tidak konsisten atau tidak lengkap.

Pada tahun 1900, Persidangan Ahli Matematik Sedunia telah diadakan di Paris, di mana David Hilbert (1862-1943) membentangkan dalam bentuk abstrak 23 yang paling penting, pada pendapatnya, masalah yang dirumuskan olehnya, yang akan diselesaikan oleh saintis teori. abad kedua puluh yang akan datang. Nombor dua dalam senarainya adalah salah satu daripadanya tugasan mudah, jawapan yang kelihatan jelas sehingga anda menggali sedikit lebih dalam. bercakap bahasa moden, itulah persoalannya: adakah matematik mencukupi dengan sendirinya? Masalah kedua Hilbert adalah untuk membuktikan dengan teliti bahawa sistem itu aksiom- pernyataan asas yang diambil dalam matematik sebagai asas tanpa bukti - adalah sempurna dan lengkap, iaitu, ia membolehkan anda menerangkan secara matematik semua yang wujud. Adalah perlu untuk membuktikan bahawa adalah mungkin untuk menetapkan sistem aksioma sedemikian yang, pertama, mereka akan saling konsisten, dan kedua, seseorang boleh membuat kesimpulan daripada mereka mengenai kebenaran atau kepalsuan mana-mana pernyataan.

Mari kita ambil contoh dari geometri sekolah. Standard Planimetri Euclidean(geometri pada satah) adalah mungkin untuk membuktikan tanpa syarat bahawa pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 180°" adalah benar, dan pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 137°" adalah palsu. Secara asasnya, dalam geometri Euclidean, sebarang pernyataan adalah salah atau benar, dan yang ketiga tidak diberikan. Dan pada permulaan abad kedua puluh, ahli matematik secara naif percaya bahawa keadaan yang sama harus diperhatikan dalam mana-mana sistem yang konsisten secara logik.

Dan kemudian pada tahun 1931, beberapa ahli matematik berkaca mata Wina, Kurt Godel mengambil dan menerbitkan artikel pendek yang hanya membalikkan seluruh dunia yang dipanggil "logik matematik". Selepas mukadimah matematik dan teori yang panjang dan kompleks, beliau benar-benar mewujudkan perkara berikut. Mari kita ambil mana-mana pernyataan seperti: "Andaian #247 secara logiknya tidak boleh dibuktikan dalam sistem aksiom ini" dan panggilnya "pernyataan A". Jadi Gödel hanya membuktikan harta yang menakjubkan berikut mana-mana sistem aksiom:

"Jika pernyataan A boleh dibuktikan, maka pernyataan bukan A boleh dibuktikan."

Dalam erti kata lain, jika boleh untuk membuktikan kesahihan pernyataan "Andaian 247 tidak boleh dibuktikan", maka adalah mungkin untuk membuktikan kesahihan pernyataan "Andaian 247 terbukti". Iaitu, kembali kepada perumusan masalah Hilbert kedua, jika sistem aksiom lengkap (iaitu, sebarang pernyataan di dalamnya boleh dibuktikan), maka ia tidak konsisten.

Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini ialah menerima sistem aksiom yang tidak lengkap. Iaitu, kita perlu bersabar dengan hakikat bahawa dalam konteks mana-mana sistem logik kita akan ditinggalkan dengan pernyataan "jenis A" yang jelas benar atau salah - dan kita boleh menilai kebenarannya sahaja luar rangka kerja aksiomatik yang telah kami pakai. Jika tidak ada pernyataan sedemikian, maka aksiomatik kami adalah bercanggah, dan dalam rangka kerjanya pasti akan ada formulasi yang boleh dibuktikan dan disangkal.

Jadi perkataan pertama, atau lemah Teorem ketidaklengkapan Gödel: "Mana-mana sistem formal aksiom mengandungi andaian yang tidak dapat diselesaikan." Tetapi Gödel tidak berhenti di situ, merumus dan membuktikan kedua, atau kuat Teorem ketidaklengkapan Godel: “Kesempurnaan logik (atau ketidaklengkapan) mana-mana sistem aksiom tidak boleh dibuktikan dalam rangka kerja sistem ini. Untuk membuktikan atau menyangkalnya, aksiom tambahan (penguatan sistem) diperlukan."

Adalah lebih selamat untuk berfikir bahawa teorem Godel adalah abstrak dan tidak membimbangkan kita, tetapi hanya bidang logik matematik yang luhur, tetapi sebenarnya ternyata ia berkaitan secara langsung dengan struktur otak manusia. Ahli matematik dan fizik Inggeris Roger Penrose (lahir 1931) menunjukkan bahawa teorem Gödel boleh digunakan untuk membuktikan perbezaan asas antara otak manusia dan komputer. Maksud hujah beliau mudah sahaja. Komputer beroperasi secara logik dan tidak dapat menentukan sama ada pernyataan A adalah benar atau palsu jika ia melampaui skop aksiomatik, dan pernyataan sedemikian, menurut teorem Gödel, pasti wujud. Seseorang, berhadapan dengan pernyataan A yang tidak dapat dibuktikan secara logik dan tidak dapat disangkal, sentiasa dapat menentukan kebenaran atau kepalsuannya - berdasarkan pengalaman seharian. Sekurang-kurangnya dalam ini otak manusia mengatasi komputer yang dibelenggu dengan bersih litar logik. Otak manusia mampu memahami kedalaman penuh kebenaran yang terkandung dalam teorem Gödel, tetapi komputer tidak boleh. Oleh itu, otak manusia hanyalah sebuah komputer. Dia mampu keputusan, dan ujian Turing akan lulus.

Saya tertanya-tanya sama ada Hilbert tahu sejauh mana soalannya akan membawa kita?

Kurt Godel, 1906-78

Austria, kemudian ahli matematik Amerika. Dilahirkan di Brünn (Brünn, kini Brno, Republik Czech). Dia lulus dari Universiti Vienna, di mana dia kekal sebagai guru di Jabatan Matematik (sejak 1930 - seorang profesor). Pada tahun 1931 beliau menerbitkan teorem yang kemudiannya menerima namanya. Sebagai seorang yang tidak berpolitik semata-mata, dia sangat sukar terselamat daripada pembunuhan rakannya dan pekerja jabatan oleh pelajar Nazi dan jatuh ke dalam kemurungan yang mendalam, yang berulang menghantuinya sehingga akhir hayatnya. Pada tahun 1930-an, dia berhijrah ke Amerika Syarikat, tetapi kembali ke Austria asalnya dan berkahwin. Pada tahun 1940, pada kemuncak perang, dia terpaksa melarikan diri ke Amerika dalam transit melalui USSR dan Jepun. Bekerja sebentar di Princeton Institute penyelidikan lanjutan. Malangnya, jiwa saintis tidak dapat menahannya, dan dia mati kelaparan di klinik psikiatri, enggan makan, kerana dia yakin bahawa mereka berniat untuk meracuninya.

Saya telah lama berminat dengan apa itu teorem Gödel yang sensasi. Dan bagaimana ia berguna untuk kehidupan. Dan akhirnya saya dapat memikirkannya.

Rumusan teorem yang paling popular ialah:
"Mana-mana sistem aksiom matematik, bermula dari tahap kerumitan tertentu, sama ada secara dalaman tidak konsisten atau tidak lengkap."

Saya akan menterjemahkannya ke dalam bahasa bukan matematik manusia seperti ini (aksiom ialah kedudukan awal teori, diterima dalam kerangka teori ini sebagai benar tanpa memerlukan bukti dan digunakan sebagai asas untuk membuktikan peruntukannya yang lain). Dalam kehidupan, aksiom ialah prinsip yang diikuti oleh seseorang, masyarakat, hala tuju saintifik, menyatakan. Di antara wakil agama, aksiom dipanggil dogma. Akibatnya, mana-mana prinsip kami, mana-mana sistem pandangan, bermula dari tahap tertentu, menjadi bercanggah secara dalaman, atau tidak lengkap. Untuk yakin dengan kebenaran kenyataan tertentu, seseorang itu perlu melampaui sistem pandangan yang diberikan dan membina yang baru. Tetapi ia juga akan menjadi tidak sempurna. Maksudnya, PROSES ILMU ITU TIDAK TERHINGGA. Dunia tidak dapat diketahui sepenuhnya sehingga kita mencapai sumbernya.

"... jika kita menganggap keupayaan untuk menaakul secara logik sebagai ciri utama minda manusia, atau sekurang-kurangnya alat utamanya, maka teorem Gödel secara langsung menunjukkan keupayaan terhad otak kita. Setuju bahawa ia adalah sangat sukar bagi seseorang yang dibawa. atas kepercayaan dalam kuasa pemikiran yang tidak terhingga untuk menerima tesis tentang had kuasanya ... Ramai pakar percaya bahawa proses pengiraan formal, "Aristotelian" yang mendasari pemikiran logik, hanyalah sebahagian kesedaran manusia. Bidangnya yang lain, pada asasnya "bukan pengiraan", bertanggungjawab untuk manifestasi seperti gerak hati, cerapan kreatif dan pemahaman. Dan jika separuh pertama minda berada di bawah sekatan Gödel, maka separuh masa kedua bebas daripada had sedemikian ... Fizik Roger Penrose pergi lebih jauh. Beliau mencadangkan kewujudan beberapa kesan kuantum yang bersifat bukan pengiraan, yang memastikan realisasi tindakan kesedaran kreatif... Salah satu daripada banyak akibat hipotesis Penrose boleh, khususnya, kesimpulan bahawa kecerdasan buatan berdasarkan peranti pengkomputeran moden, walaupun kemunculan komputer kuantum akan membawa kepada kejayaan besar dalam bidang teknologi pengkomputeran. Hakikatnya adalah bahawa mana-mana komputer hanya boleh lebih dan lebih tepat memodelkan kerja-kerja formal-logik, aktiviti "pengiraan" kesedaran manusia, tetapi kebolehan "bukan pengiraan" intelek tidak dapat diakses olehnya.

Satu akibat penting teorem Gödel ialah kesimpulan bahawa seseorang tidak boleh berfikir secara melampau. Sentiasa dalam teori sedia ada terdapat satu kenyataan yang tidak boleh dibuktikan mahupun disangkal. Atau, dalam erti kata lain, untuk beberapa kenyataan sentiasa ada pasangan yang menyangkalnya.

Kesimpulan seterusnya. Baik dan jahat hanyalah 2 sisi syiling yang sama, tanpanya ia tidak boleh wujud. Dan ia berasal dari prinsip bahawa di Alam Semesta hanya ada satu sumber segala-galanya: baik dan jahat, cinta dan benci, hidup dan mati.

Sebarang pengisytiharan kesempurnaan sistem adalah palsu. Anda tidak boleh bergantung pada dogma, kerana lambat laun mereka akan disangkal.

Dalam pengertian ini, agama moden berada dalam kedudukan kritikal: dogma gereja menentang perkembangan idea kita tentang dunia. Mereka cuba memerah segala-galanya ke dalam kerangka konsep tegar. Tetapi ini membawa kepada fakta bahawa dari Monoteisme, dari satu sumber semua proses semula jadi mereka beralih kepada paganisme, di mana terdapat kekuatan kebaikan dan kekuatan kejahatan, ada tuhan kebaikan di suatu tempat yang jauh di syurga, dan ada syaitan (tuhan kejahatan), yang telah lama meletakkan kakinya pada segala yang berada di Bumi. Pendekatan ini membawa kepada pembahagian semua orang kepada kawan dan musuh, orang benar dan orang berdosa, orang beriman dan bidaah, kawan dan musuh.

Berikut adalah satu lagi teks kecil yang secara popular mendedahkan intipati yang mengikuti dari teorem Gödel:
"Nampaknya pada saya teorem ini membawa perkara yang penting makna falsafah. Hanya dua pilihan yang mungkin:

a) Teorinya tidak lengkap, iaitu. dari segi teori, seseorang boleh merumuskan soalan yang tidak mungkin diperolehi sama ada jawapan positif atau negatif daripada aksiom/postulatan teori tersebut. Pada masa yang sama, jawapan kepada semua soalan sedemikian boleh diberikan dalam rangka teori yang lebih komprehensif, di mana yang lama akan menjadi kes istimewa. Tetapi ini teori baru akan mempunyai "soalan yang tidak dijawab" sendiri dan seterusnya ad infinitum.

b) Lengkap, tetapi bercanggah. Sebarang soalan boleh dijawab, tetapi beberapa soalan boleh dijawab dengan ya dan tidak pada masa yang sama.

Teori saintifik adalah jenis pertama. Mereka konsisten, tetapi ini bermakna mereka tidak menerangkan segala-galanya. Tidak boleh ada "akhir" teori saintifik. Mana-mana teori adalah tidak lengkap dan tidak menerangkan sesuatu, walaupun kita belum tahu apa itu. Seseorang hanya boleh mencipta teori yang lebih dan lebih komprehensif. Bagi saya secara peribadi, ini adalah sebab untuk optimis, kerana ia bermakna bahawa kemajuan sains tidak akan pernah berhenti.

"Tuhan Yang Maha Kuasa" tergolong dalam jenis kedua. Tuhan Yang Maha Kuasa adalah jawapan kepada setiap persoalan. Dan ini secara automatik bermakna ia membawa kepada kemustahilan logik. Paradoks seperti "batu berat" boleh dicipta secara berkelompok.

Secara keseluruhannya, pengetahuan sains adalah benar (konsisten), tetapi pada bila-bila masa tidak menggambarkan segala-galanya. Pada masa yang sama, tiada apa yang menghalang menolak sempadan yang diketahui kepada infiniti, lebih jauh dan lambat laun mana-mana yang tidak diketahui diketahui. Agama mendakwa Penerangan penuh dunia "sekarang", tetapi ia secara automatik tidak betul (tidak masuk akal)."

Pada satu masa, ketika saya baru memulakan saya dewasa Saya sedang berprogram. Dan terdapat prinsip sedemikian: jika banyak pembetulan dibuat pada program, ia mesti ditulis semula sekali lagi. Prinsip ini, pada pendapat saya, sepadan dengan teorem Godel. Jika program menjadi lebih kompleks, ia menjadi tidak konsisten. Dan ia tidak akan berfungsi dengan betul.

Satu lagi contoh dari kehidupan. Kita hidup dalam era apabila pegawai mengatakan bahawa prinsip utama kewujudan haruslah undang-undang. Iaitu, sistem perundangan. Tetapi sebaik sahaja perundangan menjadi lebih kompleks dan pembuatan peraturan berkembang, undang-undang mula bercanggah antara satu sama lain. Apa yang kita lihat sekarang. Anda tidak boleh mencipta sistem perundangan, yang akan menetapkan semua aspek kehidupan. Sebaliknya, ia akan adil untuk semua orang. Kerana batasan pemahaman kita tentang dunia akan sentiasa keluar. Dan undang-undang manusia akan bermula pada satu ketika untuk bercanggah dengan undang-undang alam semesta. Kami memahami banyak perkara secara intuitif. Juga secara intuitif, kita mesti menilai tindakan orang lain. Cukuplah negeri ini mempunyai perlembagaan. Dan bergantung pada artikel perlembagaan ini, untuk mengawal hubungan dalam masyarakat. Tetapi lambat laun, perlembagaan perlu diubah.

USE adalah satu lagi contoh kekeliruan idea kita tentang keupayaan manusia. Kami cuba menguji keupayaan pengiraan otak dalam peperiksaan. Tetapi kebolehan intuitif di sekolah telah tidak lagi dikembangkan. Tetapi manusia bukan biorobot. Adalah mustahil untuk mencipta sistem pemarkahan yang akan dapat mendedahkan semua kemungkinan yang wujud dalam diri seseorang, dalam kesedarannya, dalam alam bawah sedarnya dan dalam jiwanya.

Hampir 100 tahun yang lalu, Gödel mengambil langkah yang luar biasa dalam memahami undang-undang alam semesta. Dan kami masih belum dapat menggunakan ini, memandangkan teorem ini sangat khusus masalah matematik untuk kalangan sempit orang yang berurusan dengan beberapa topik abstrak dalam kalangan mereka sendiri. Bersama dengan teori kuantum dan ajaran Kristus, teorem Gödel membolehkan kita melepaskan diri daripada tawanan dogma palsu, untuk mengatasi krisis yang masih berterusan dalam pandangan dunia kita. Dan masa semakin suntuk.

Salah satu yang paling teorem yang diketahui logik matematik, bertuah dan malang pada masa yang sama. Dalam hal ini dia seperti teori khas Relativiti Einstein. Di satu pihak, hampir semua orang telah mendengar sesuatu tentang mereka. Sebaliknya, dalam tafsiran popular, teori Einstein, seperti yang anda tahu, "mengatakan segala sesuatu di dunia adalah relatif". Dan teorem ketidaklengkapan Gödel (selepas ini hanya TGN), dalam rumusan rakyat yang hampir sama bebas, "membuktikan bahawa ada perkara yang tidak dapat difahami oleh akal manusia". Oleh itu, sesetengah cuba menyesuaikannya sebagai hujah menentang materialisme, sementara yang lain, sebaliknya, membuktikan dengan bantuannya bahawa tidak ada Tuhan. Sungguh melucukan bukan sahaja kedua-dua belah pihak tidak boleh betul pada masa yang sama, tetapi juga tidak seorang pun atau yang lain mengganggu untuk memikirkan apa, sebenarnya, teorem ini katakan.

Jadi apa? Di bawah saya akan cuba "di jari" untuk bercakap mengenainya. Eksposisi saya, sudah tentu, tidak ketat dan intuitif, tetapi saya akan meminta ahli matematik untuk tidak menilai saya dengan tegas. Ada kemungkinan bahawa untuk bukan ahli matematik (yang, sebenarnya, saya juga tergolong), akan ada sesuatu yang baru dan berguna dalam apa yang diceritakan di bawah.

Logik matematik sememangnya sains yang agak rumit, dan yang paling penting, tidak begitu biasa. Ia memerlukan gerakan yang berhati-hati dan ketat, di mana ia adalah penting untuk tidak mengelirukan yang benar-benar terbukti dengan fakta bahawa "ia sudah jelas." Walau bagaimanapun, saya berharap untuk memahami "garis besar pembuktian TGN" berikut, pembaca hanya memerlukan pengetahuan matematik sekolah / sains komputer, kemahiran berfikir logik dan masa 15-20 minit.

Memudahkan sedikit, TGN mendakwa bahawa ia sudah mencukupi bahasa yang sukar terdapat kenyataan yang tidak berasas. Tetapi dalam frasa ini, hampir setiap perkataan memerlukan penjelasan.

Mari kita mulakan dengan cuba memikirkan apa itu bukti. Mari kita ambil beberapa masalah sekolah dalam aritmetik. Sebagai contoh, biarkan ia diperlukan untuk membuktikan ketepatan formula tidak rumit berikut: "" (Saya mengingatkan anda bahawa simbol dibaca "untuk mana-mana" dan dipanggil "pengkuantiti sejagat"). Ia boleh dibuktikan dengan mengubah secara identik, katakan, seperti ini:

Peralihan dari satu formula ke formula yang lain berlaku mengikut beberapa peraturan yang diketahui. Peralihan dari formula ke-4 kepada formula ke-5 berlaku, katakan, kerana setiap nombor adalah sama dengan dirinya sendiri - itulah aksiom aritmetik. Dan keseluruhan prosedur untuk membuktikan, dengan itu, menterjemahkan formula ke dalam nilai boolean BENAR. Hasilnya boleh jadi PALSU - jika kita menafikan beberapa formula. Dalam kes ini, kami akan membuktikan penafiannya. Adalah mungkin untuk membayangkan program (dan program sedemikian sebenarnya ditulis) yang akan membuktikan cadangan tersebut (dan lebih kompleks) tanpa campur tangan manusia.

Mari kita nyatakan perkara yang sama secara formal. Katakan kita mempunyai set yang terdiri daripada rentetan aksara beberapa abjad, dan terdapat peraturan yang menggunakan subset daripada apa yang dipanggil kenyataan- iaitu frasa yang bermakna dari segi tatabahasa, setiap satunya adalah benar atau salah. Kita boleh mengatakan bahawa terdapat fungsi yang sepadan dengan pernyataan daripada salah satu daripada dua nilai: TRUE atau FALSE (iaitu, memetakannya kepada set Boolean dua elemen).

Mari kita panggil pasangan sedemikian - satu set pernyataan dan fungsi dari - "bahasa pernyataan". Perhatikan bahawa dalam pengertian sehari-hari konsep bahasa agak lebih luas. Sebagai contoh, frasa Rusia "Nah, mari sini!" adalah tidak benar dan tidak palsu, iaitu dari sudut logik matematik, ia bukanlah satu pernyataan.

Untuk apa yang berikut, kita memerlukan tanggapan algoritma. Saya tidak akan memberikan takrif formalnya di sini - ini akan membawa kita jauh ke tepi. Saya akan menghadkan diri saya kepada perkara tidak formal: "algoritma"- urutan arahan yang tidak jelas ini ("program"), yang belakang nombor terhingga langkah-langkah menukar data input kepada output. Huruf condong pada asasnya penting - jika program digantung pada beberapa data awal, maka ia tidak menerangkan algoritma. Untuk kesederhanaan dan dalam aplikasi kes kami, pembaca boleh menganggap bahawa algoritma ialah program yang ditulis dalam mana-mana bahasa pengaturcaraan yang diketahuinya, yang, untuk sebarang data input dari kelas tertentu, dijamin untuk menyelesaikan kerjanya dengan hasil Boolean.

Mari kita tanya diri kita sendiri: adakah terdapat "algoritma pembuktian" untuk setiap fungsi (atau, ringkasnya, "deduktif") bersamaan dengan fungsi ini, iaitu, menterjemah setiap pernyataan ke dalam nilai boolean yang sama dengannya? Lebih ringkas, soalan yang sama boleh dirumuskan seperti berikut: adakah setiap fungsi di atas satu set proposisi boleh dikira? Seperti yang anda sudah boleh meneka, ia mengikuti dari kesahihan TGN bahawa tidak, tidak ada - terdapat fungsi tidak boleh dikira jenis ini. Dengan kata lain, tidak setiap kenyataan yang benar dapat dibuktikan.

Mungkin kenyataan ini akan menyebabkan anda protes dalaman. Ini disebabkan oleh beberapa keadaan. Pertama, apabila kita diajar matematik sekolah, maka kadangkala terdapat tanggapan palsu tentang identiti yang hampir lengkap bagi frasa "teorem adalah benar" dan "ada kemungkinan untuk membuktikan atau mengesahkan teorem". Tetapi jika anda fikirkan, ia sama sekali tidak jelas. Sesetengah teorem dibuktikan dengan agak mudah (contohnya, dengan penghitungan sebilangan kecil pilihan), dan ada yang sangat sukar. Pertimbangkan, sebagai contoh, Teorem Terakhir Fermat yang terkenal:

bukti yang ditemui hanya tiga setengah abad selepas perumusan pertama (dan ia jauh dari asas). Adalah perlu untuk membezakan antara kebenaran sesuatu kenyataan dan kebolehbuktiannya. Ia tidak mengikuti dari mana-mana sahaja bahawa tidak ada kenyataan yang benar, tetapi tidak boleh dibuktikan (dan tidak boleh disahkan sepenuhnya).

Hujah intuitif kedua terhadap TGN adalah lebih halus. Katakan kita mempunyai beberapa pernyataan yang tidak dapat dibuktikan (dalam rangka kerja deduktif ini). Apakah yang menghalang kita daripada menerimanya sebagai aksiom baharu? Oleh itu, kami akan merumitkan sedikit sistem pembuktian kami, tetapi ini tidak mengerikan. Hujah ini betul-betul betul jika terdapat bilangan dalil yang tidak dapat dibuktikan. Dalam amalan, perkara berikut mungkin berlaku - selepas membuat postulat aksiom baharu, anda akan terjumpa kenyataan baharu yang tidak boleh dibuktikan. Ambil ia sebagai aksiom lain - anda akan tersandung pada yang ketiga. Dan seterusnya ad infinitum. Mereka mengatakan deductica akan kekal tidak lengkap. Kami juga boleh mengambil langkah tegas supaya algoritma pembuktian berakhir selepas beberapa langkah yang terhad dengan beberapa keputusan untuk sebarang pernyataan bahasa. Tetapi pada masa yang sama, dia akan mula berbohong - membawa kepada kebenaran untuk kenyataan yang salah, atau pembohongan - untuk orang yang beriman. Dalam kes sedemikian dikatakan bahawa deduktif bercanggah. Oleh itu, satu lagi rumusan TGN berbunyi seperti ini: "Terdapat bahasa proposisi yang mustahil untuk deduktik konsisten yang lengkap" - maka nama teorem itu.

Kadang-kadang dipanggil "teorem Gödel" ialah pernyataan bahawa mana-mana teori mengandungi masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam kerangka teori itu sendiri dan memerlukan generalisasinya. Dalam erti kata ini adalah benar, walaupun rumusan sedemikian mengaburkan isu itu dan bukannya menjelaskannya.

Saya juga ambil perhatian bahawa jika kita bercakap tentang fungsi biasa yang memaparkan set nombor nyata ke dalamnya, maka "tidak boleh dikira" fungsi itu tidak akan mengejutkan sesiapa sahaja (jangan mengelirukan "fungsi boleh dikira" dan "nombor boleh dikira" - ini adalah perkara yang berbeza). Mana-mana murid sekolah tahu bahawa, katakan, dalam kes fungsi, anda mesti sangat bertuah dengan hujah supaya proses mengira perwakilan perpuluhan tepat bagi nilai fungsi ini berakhir dengan bilangan langkah yang terhad. Dan kemungkinan besar anda akan mengiranya menggunakan siri tak terhingga, dan pengiraan ini tidak akan pernah membawa kepada hasil yang tepat, walaupun ia boleh mendekatinya seperti yang anda suka - semata-mata kerana nilai sinus kebanyakan hujah adalah tidak rasional. TGN hanya memberitahu kita bahawa walaupun di antara fungsi yang hujahnya adalah rentetan dan nilainya adalah sifar atau satu, fungsi tidak boleh dikira, walaupun disusun dalam cara yang sama sekali berbeza, juga wujud.

Untuk perkara berikut, kami menerangkan bahasa aritmetik formal". Pertimbangkan kelas rentetan teks dengan panjang terhingga, yang terdiri daripada angka Arab, pembolehubah (huruf abjad Latin), mengambil nilai semula jadi, ruang, watak operasi aritmetik, kesamaan dan ketidaksamaan, pengkuantiti (“wujud”) dan (“untuk mana-mana”) dan, mungkin, beberapa simbol lain (nombor dan komposisi tepatnya tidak penting bagi kami). Adalah jelas bahawa tidak semua baris sedemikian bermakna (contohnya, "" adalah karut). Subset ungkapan bermakna daripada kelas ini (iaitu, rentetan yang benar atau salah dari segi aritmetik biasa) akan menjadi set pernyataan kami.

Contoh pernyataan aritmetik formal:

dan lain-lain. Sekarang mari kita panggil "formula dengan parameter percuma" (FSP) rentetan yang menjadi pernyataan jika nombor asli digantikan ke dalamnya sebagai parameter ini. Contoh FSP (dengan parameter):

dan lain-lain. Dalam erti kata lain, FSP adalah bersamaan dengan fungsi hujah semula jadi dengan nilai Boolean.

Nyatakan set semua FSP dengan huruf . Adalah jelas bahawa ia boleh dipesan (contohnya, kita mula-mula menulis formula satu huruf yang disusun mengikut abjad, diikuti dengan formula dua huruf, dsb.; mengikut abjad mana susunan akan berlaku bukanlah asas kepada kita). Oleh itu, mana-mana FSP sepadan dengan nombornya dalam senarai tersusun, dan kami akan menandakannya .

Mari kita beralih kepada lakaran bukti TGN dalam rumusan berikut:

• Untuk bahasa proposisi aritmetik formal, tiada potongan konsisten yang lengkap.

Kami akan membuktikan dengan percanggahan.

Jadi mari kita anggap bahawa deduktif sedemikian wujud. Mari kita terangkan algoritma tambahan berikut yang memberikan nilai boolean kepada nombor asli seperti berikut:

Ringkasnya, algoritma menghasilkan nilai TRUE jika dan hanya jika hasil penggantian ke dalam FSP nombornya sendiri dalam senarai kami memberikan pernyataan palsu.

Di sini kita datang ke satu-satunya tempat di mana saya akan meminta pembaca untuk mengambil kata-kata saya untuk itu.

Jelas sekali, di bawah andaian di atas, mana-mana FSP daripada boleh dikaitkan dengan algoritma yang mengandungi nombor asli pada input dan nilai Boolean pada output. Kurang jelas adalah sebaliknya:

Bukti lemma ini memerlukan sekurang-kurangnya definisi formal, bukan intuitif, tentang tanggapan algoritma. Walau bagaimanapun, jika anda fikirkan sedikit, ia adalah agak munasabah. Sesungguhnya, algoritma ditulis dalam bahasa algoritma, di antaranya terdapat yang eksotik seperti, contohnya, Brainfuck , yang terdiri daripada lapan perkataan satu aksara, di mana, bagaimanapun, sebarang algoritma boleh dilaksanakan. Adalah pelik jika bahasa formula aritmetik formal yang lebih kaya yang telah kami huraikan akan menjadi lebih miskin - walaupun, tidak syak lagi, ia tidak begitu sesuai untuk pengaturcaraan biasa.

Selepas melepasi tempat licin ini, kami cepat sampai ke penghujung.

Jadi, kami telah menerangkan algoritma di atas. Menurut lemma yang saya minta anda percaya, wujud FSP yang setara. Ia mempunyai beberapa nombor dalam senarai - katakan . Mari kita tanya diri kita, apa gunanya? Biarlah ianya BENAR. Kemudian, mengikut pembinaan algoritma (dan oleh itu fungsi yang setara dengannya), ini bermakna hasil penggantian nombor ke dalam fungsi adalah SALAH. Sebaliknya disemak dengan cara yang sama: daripada FALSE mengikuti TRUE. Kami telah sampai pada percanggahan, yang bermaksud bahawa andaian asal adalah salah. Oleh itu, untuk aritmetik formal, tiada potongan konsisten yang lengkap. Q.E.D.

Di sini adalah wajar untuk mengingati Epimenides (lihat potret dalam tajuk), yang, seperti yang anda tahu, mengisytiharkan bahawa semua orang Kreta adalah pembohong, kerana dirinya sendiri seorang Kreta. Dalam rumusan yang lebih ringkas, kenyataannya (dikenali sebagai "paradoks pembohong") boleh dirumuskan sebagai: "Saya berbohong." Pernyataan sedemikian, yang dengan sendirinya menyatakan kepalsuannya, yang kami gunakan untuk pembuktiannya.

Sebagai kesimpulan, saya ingin ambil perhatian bahawa TGN tidak menuntut apa-apa yang sangat mengejutkan. Lagipun, semua orang telah lama terbiasa dengan fakta bahawa tidak semua nombor boleh diwakili sebagai nisbah dua integer (ingat, kenyataan ini mempunyai bukti yang sangat elegan yang berusia lebih daripada dua ribu tahun?). Dan punca polinomial dengan pekali rasional juga bukan semua nombor. Dan kini ternyata tidak semua fungsi hujah semula jadi boleh dikira.

Lakaran bukti yang diberikan adalah untuk aritmetik formal, tetapi tidak sukar untuk melihat bahawa THN juga digunakan untuk banyak bahasa proposisi yang lain. Sudah tentu, tidak semua bahasa seperti itu. Sebagai contoh, mari kita tentukan bahasa seperti ini:

• "Apa-apa frasa cina adalah kenyataan yang benar jika ia terkandung dalam buku petikan Komrad Mao Tse Tung, dan tidak betul jika ia tidak terkandung.

Kemudian algoritma pembuktian lengkap dan konsisten yang sepadan (ia boleh dipanggil "deduktif dogmatik") kelihatan seperti ini:

• “Selak buku petikan Komrad Mao Tse Tung sehingga anda menemui kenyataan yang anda cari. Jika didapati, maka ia adalah benar, dan jika buku petikan itu habis, dan kenyataan itu tidak dijumpai, maka ia adalah palsu.

Di sini kita diselamatkan oleh fakta bahawa mana-mana petikan jelas terhingga, jadi proses "membuktikan" pasti akan berakhir. Oleh itu, TGN tidak boleh digunakan untuk bahasa pernyataan dogmatik. Tetapi kita bercakap tentang bahasa yang kompleks, bukan?

Tag: Tambah tag

09sen

Mana-mana sistem aksiom matematik, bermula dari tahap kerumitan tertentu, adalah sama ada secara dalaman tidak konsisten atau tidak lengkap.

Pada tahun 1900, Persidangan Ahli Matematik Sedunia telah diadakan di Paris, di mana David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) menggariskan dalam bentuk tesis 23 tugas paling penting, pada pendapatnya, yang perlu diselesaikan oleh ahli teori abad kedua puluh yang akan datang. Nombor dua dalam senarainya adalah salah satu masalah mudah yang kelihatan jelas sehingga anda menggali sedikit lebih dalam. Dalam istilah moden, ia adalah persoalan: adakah matematik mencukupi dengan sendirinya? Tugas kedua Hilbert dikurangkan kepada keperluan untuk membuktikan dengan tegas bahawa sistem aksiom - pernyataan asas yang diambil dalam matematik sebagai asas tanpa bukti - adalah sempurna dan lengkap, iaitu, ia membenarkan penerangan matematik tentang segala yang wujud. Adalah perlu untuk membuktikan bahawa adalah mungkin untuk menetapkan sistem aksioma sedemikian yang, pertama, mereka akan saling konsisten, dan kedua, seseorang boleh membuat kesimpulan daripada mereka mengenai kebenaran atau kepalsuan mana-mana pernyataan.

Mari kita ambil contoh dari geometri sekolah. Dalam planimetri Euclidean standard (geometri pada satah), boleh dibuktikan tanpa syarat bahawa pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 180°" adalah benar, dan pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 137° "adalah palsu. Secara asasnya, dalam geometri Euclidean, sebarang pernyataan adalah salah atau benar, dan yang ketiga tidak diberikan. Dan pada permulaan abad kedua puluh, ahli matematik secara naif percaya bahawa keadaan yang sama harus diperhatikan dalam mana-mana sistem yang konsisten secara logik.

Dan kemudian pada tahun 1931 beberapa ahli matematik berkaca mata Wina Kurt Gödel- mengambil dan menerbitkan artikel pendek yang hanya membalikkan seluruh dunia yang dipanggil "logik matematik". Selepas mukadimah matematik dan teori yang panjang dan kompleks, beliau benar-benar mewujudkan perkara berikut. Mari kita ambil mana-mana pernyataan seperti: "Andaian #247 secara logiknya tidak boleh dibuktikan dalam sistem aksiom ini" dan panggilnya "pernyataan A". Jadi, Gödel hanya membuktikan sifat menakjubkan berikut bagi mana-mana sistem aksiom:

"Jika pernyataan A boleh dibuktikan, maka pernyataan bukan A boleh dibuktikan."

Dalam erti kata lain, jika boleh membuktikan kesahihan pernyataan "Andaian 247 tidak boleh dibuktikan", maka ia juga boleh membuktikan kesahihan pernyataan "Andaian 247 boleh dibuktikan". Iaitu, kembali kepada perumusan masalah Hilbert kedua, jika sistem aksiom lengkap (iaitu, sebarang pernyataan di dalamnya boleh dibuktikan), maka ia tidak konsisten.

Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini ialah menerima sistem aksiom yang tidak lengkap. Iaitu, kita perlu bersabar dengan fakta bahawa dalam konteks mana-mana sistem logik kita masih akan mempunyai pernyataan "jenis A" yang jelas benar atau salah, dan kita boleh menilai kebenarannya hanya di luar rangka kerja aksiomatik yang kita ada. diterima pakai. Jika tidak ada pernyataan sedemikian, maka aksiomatik kami adalah bercanggah, dan dalam rangka kerjanya pasti akan ada formulasi yang boleh dibuktikan dan disangkal.

Jadi rumusan teorem ketidaklengkapan pertama, atau lemah, Gödel ialah: "Mana-mana sistem aksiom formal mengandungi andaian yang tidak dapat diselesaikan". Tetapi Gödel tidak berhenti di situ, merumus dan membuktikan teorem ketidaklengkapan kedua atau kuat Gödel: “Kesempurnaan logik (atau ketidaklengkapan) mana-mana sistem aksiom tidak boleh dibuktikan dalam rangka kerja sistem ini. Untuk membuktikan atau menyangkalnya, aksiom tambahan (penguatan sistem) diperlukan.

Adalah lebih selamat untuk berfikir bahawa teorem Godel adalah abstrak dan tidak membimbangkan kita, tetapi hanya bidang logik matematik yang luhur, tetapi sebenarnya ternyata ia berkaitan secara langsung dengan struktur otak manusia. Ahli matematik dan fizik Inggeris Roger Penrose (lahir 1931) menunjukkan bahawa Teorem Gödel boleh digunakan untuk membuktikan wujudnya perbezaan asas antara otak manusia dan komputer. Maksud hujah beliau mudah sahaja. Komputer beroperasi secara logik dan tidak dapat menentukan sama ada pernyataan A adalah benar atau palsu jika ia melampaui skop aksiomatik, dan pernyataan sedemikian, menurut teorem Gödel, pasti wujud. Seseorang, berhadapan dengan pernyataan A yang tidak dapat dibuktikan secara logik dan tidak dapat disangkal, sentiasa dapat menentukan kebenaran atau kepalsuannya - berdasarkan pengalaman seharian. Sekurang-kurangnya dalam hal ini, otak manusia lebih unggul daripada komputer yang dibelenggu oleh litar logik tulen. Otak manusia mampu memahami kedalaman penuh kebenaran yang terkandung dalam teorem Gödel, tetapi komputer tidak boleh. Oleh itu, otak manusia hanyalah sebuah komputer. Dia mampu membuat keputusan, dan ujian Turing akan lulus.

mengenai topik: "TEOREM GODEL"

Kurt Gödel

Kurt Gödel ialah pakar terhebat dalam logik matematik- dilahirkan pada 28 April 1906 di Brunn (kini Brno, Republik Czech). Dia lulus dari Universiti Vienna, di mana dia mempertahankan disertasi kedoktorannya, adalah penolong profesor pada 1933–1938. Selepas Anschluss, dia berhijrah ke Amerika Syarikat. Dari 1940 hingga 1963 Gödel bekerja di Institut Princeton pengajian tinggi. Gödel, Kedoktoran Kehormat dari Universiti Yale dan Harvard, Fellow Akademi Kebangsaan Sains Amerika Syarikat dan Persatuan Falsafah Amerika.

Pada tahun 1951, Kurt Gödel telah dianugerahkan anugerah saintifik tertinggi di Amerika Syarikat, Hadiah Einstein. Dalam artikel yang didedikasikan untuk acara ini, seorang lagi ahli matematik terhebat pada zaman kita, John von Neumann, menulis: "Sumbangan Kurt Gödel kepada logik moden benar-benar monumental. Ini lebih daripada sekadar monumen. Ini adalah peristiwa penting yang memisahkan dua era ... Boleh dikatakan tanpa keterlaluan bahawa karya Gödel secara asasnya mengubah subjek logik sebagai sains.

Malah, walaupun senarai kering pencapaian Godel dalam logik matematik menunjukkan bahawa pengarang mereka pada dasarnya meletakkan asas untuk keseluruhan bahagian sains ini: teori model (1930; apa yang dipanggil teorem mengenai kesempurnaan kalkulus predikat sempit, menunjukkan, Secara kasarnya, kecukupan cara "logik formal" untuk membuktikan semua ayat benar yang dinyatakan dalam bahasanya), logik konstruktif (1932–1933; menghasilkan kemungkinan untuk mengurangkan beberapa kelas ayat logik klasik kepada rakan intuisi mereka, yang meletakkan asas untuk penggunaan sistematik "operasi merendam" yang membolehkan pengurangan pelbagai sistem logik satu sama lain), aritmetik formal (1932–1933; keputusan mengenai kemungkinan mengurangkan aritmetik klasik kepada aritmetik intuisi, menunjukkan dalam satu erti kata ketekalan yang pertama berkenaan dengan yang kedua), teori algoritma dan fungsi rekursif (1934; definisi konsep fungsi rekursif am, yang dimainkan peranan yang menentukan dalam mewujudkan ketidakbolehpecahan algoritma siri isu kritikal matematik di satu pihak. Dan dalam pelaksanaan masalah logik dan matematik pada komputer elektronik - sebaliknya), teori set aksiomatik (1938; bukti ketekalan relatif aksiom pilihan dan hipotesis kontinum Cantor dari aksiom teori set, yang menandakan permulaan daripada siri ini keputusan utama mengenai ketekalan relatif dan kebebasan prinsip set-teoretik).

Teorem ketidaklengkapan Godel

pengenalan

Pada tahun 1931, dalam salah satu Jerman jurnal ilmiah kertas kerja yang agak pendek muncul dengan tajuk yang agak menakutkan "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems". Pengarangnya ialah seorang ahli matematik berusia dua puluh lima tahun dari Universiti Vienna, Kurt Gödel, yang kemudiannya bekerja di Princeton Institute for Advanced Study. Kerja ini memainkan peranan penting dalam sejarah logik dan matematik. Dalam keputusan Universiti Harvard menganugerahkan Gödel kedoktoran kehormat (1952), beliau digambarkan sebagai salah seorang pencapaian terhebat logik moden.

Walau bagaimanapun, pada masa penerbitan, tiada tajuk karya Gödel. Kandungannya tidak memberitahu apa-apa kepada kebanyakan ahli matematik. Disebut dalam tajuknya, Principia Mathematica ialah Alfred North Whitehead dan risalah monumental tiga jilid Bertrand Russell mengenai logik matematik dan asas matematik; kebiasaan dengan risalah itu sama sekali tidak syarat yang perlu Untuk kerja yang berjaya dalam kebanyakan cabang matematik. Minat terhadap isu yang ditangani dalam karya Gödel sentiasa menjadi minat sekumpulan saintis yang sangat kecil. Pada masa yang sama, hujah-hujah yang diberikan oleh Gödel dalam pembuktiannya adalah sangat luar biasa pada zaman mereka. Bahawa pemahaman yang lengkap tentang mereka memerlukan pengetahuan eksklusif tentang subjek dan kebiasaan dengan kesusasteraan yang dikhaskan untuk masalah yang sangat khusus ini.

Teorem ketidaklengkapan pertama

Teorem ketidaklengkapan pertama Gödel nampaknya merupakan hasil yang paling ketara dalam logik matematik. Bunyinya seperti ini:

Untuk teori formal yang konsisten dan boleh dikira sewenang-wenangnya di mana proposisi aritmetik asas boleh dibuktikan, proposisi aritmetik benar boleh dibina yang kebenarannya tidak dapat dibuktikan dalam kerangka teori. Dalam erti kata lain, mana-mana teori yang sangat berguna yang mencukupi untuk mewakili aritmetik tidak boleh konsisten dan lengkap.

Di sini perkataan "teori" bermaksud " set tak terhingga» pernyataan, sesetengah daripadanya diandaikan benar tanpa bukti (pernyataan sedemikian dipanggil aksiom), manakala yang lain (teorem) boleh diperoleh daripada aksiom, dan oleh itu diandaikan (terbukti) benar. Frasa "boleh dibuktikan dalam teori" bermaksud "disimpulkan daripada aksiom dan primitif teori (simbol malar abjad) menggunakan logik piawai (peringkat pertama). Sesuatu teori adalah konsisten (konsisten) jika mustahil untuk membuktikan kenyataan yang bercanggah di dalamnya. Frasa "boleh dibina" bermaksud bahawa terdapat beberapa prosedur mekanikal (algoritma) yang boleh membina pernyataan berdasarkan aksiom, primitif dan logik urutan pertama. "Aritmetik asas" ialah kehadiran operasi tambah dan darab ke atas nombor asli. Proposisi yang benar tetapi tidak dapat dibuktikan sering dirujuk untuk teori tertentu sebagai "jujukan Gödel", tetapi terdapat bilangan proposisi lain yang tidak terhingga dalam teori yang mempunyai sifat yang sama untuk tidak dapat dibuktikan dalam teori.

Andaian bahawa teori itu boleh dikira bermakna ia pada dasarnya mungkin untuk melaksanakan algoritma komputer ( program komputer) yang (jika dibenarkan mengira masa yang panjang sewenang-wenangnya, sehingga infiniti) mengira senarai semua teorem teori. Malah, adalah memadai untuk mengira hanya senarai aksiom, dan semua teorem boleh diperoleh dengan cekap daripada senarai tersebut.

Teorem ketidaklengkapan pertama bertajuk "Teorem VI" dalam makalah 1931 Gödel. Mengenai Proposisi Tidak Dapat Diputuskan Secara Formal dalam Principia Mathematica dan Sistem Berkaitan I. Dalam rakaman asal Gödel, bunyinya seperti ini:

"Kesimpulan umum tentang kewujudan dalil yang tidak dapat ditentukan adalah ini:

Teorem VI .

Untuk setiap kelas rekursif ω-konsisten k FORMULA terdapat rekursif TANDA-TANDA r supaya tidak (v Jen r), mahupun ¬( v Jen r)bukan milik Flg (k)(di mana v adalah PEMBOLEH UBAH PERCUMA r ) ».

Jawatan Flg datang dari dia. Folgerungsmenge- set urutan, Jen datang dari dia. generalisasi- generalisasi.

Secara kasarnya, kenyataan Gödel G menegaskan: "kebenaran G tidak dapat dibuktikan." Jika G boleh dibuktikan dalam teori, maka teori itu akan mengandungi teorem yang bercanggah dengan dirinya sendiri, dan oleh itu teori itu akan menjadi tidak konsisten. Tetapi kalau G tidak dapat dibuktikan, maka ia adalah benar, dan oleh itu teorinya tidak lengkap (pernyataan G tidak boleh disimpulkan di dalamnya).

Penjelasan ini adalah seperti biasa bahasa semula jadi, dan oleh itu tidak begitu teliti secara matematik. Untuk memberikan bukti yang kukuh, Gödel menomborkan pernyataan dengan nombor asli. Dalam kes ini, teori yang menerangkan nombor juga tergolong dalam set proposisi. Soalan tentang kebolehbuktian cadangan boleh diwakili dalam kes ini dalam bentuk soalan tentang sifat-sifat nombor asli, yang mesti dikira jika teorinya lengkap. Dalam istilah ini, pernyataan Gödel mengatakan bahawa tidak ada nombor dengan beberapa sifat yang pasti. Nombor dengan sifat ini akan menjadi bukti ketidakkonsistenan teori. Jika nombor sedemikian wujud, teori itu tidak konsisten, bertentangan dengan andaian asal. Jadi dengan mengandaikan teori itu konsisten (seperti yang dicadangkan oleh premis teorem), ternyata tidak ada nombor sedemikian, dan pernyataan Gödel adalah benar, tetapi ini tidak dapat dibuktikan dalam kerangka teori (oleh itu teori itu tidak lengkap) . Nota konseptual yang penting ialah seseorang mesti menganggap bahawa sesuatu teori adalah konsisten untuk mengisytiharkan kenyataan Gödel sebagai benar.

Teorem ketidaklengkapan kedua Gödel

Teorem ketidaklengkapan kedua Gödel berbunyi seperti berikut:

Untuk mana-mana teori T yang boleh dikira secara rekursif (iaitu, dijana dengan cekap), termasuk pernyataan kebenaran aritmetik asas dan pernyataan kebolehbuktian formal tertentu, teori ini T termasuk pernyataan tentang ketekalannya jika dan hanya jika teori T tidak konsisten.

Dengan kata lain, konsisten sudah memadai teori yang kaya tidak dapat dibuktikan melalui teori ini. Walau bagaimanapun, ia mungkin ternyata bahawa konsistensi satu teori tertentu boleh diwujudkan melalui satu lagi teori formal yang lebih berkuasa. Tetapi kemudian timbul persoalan tentang ketekalan teori kedua ini, dan seterusnya.

Ramai telah cuba menggunakan teorem ini untuk membuktikan bahawa aktiviti pintar tidak boleh dikurangkan kepada pengiraan. Sebagai contoh, pada tahun 1961, ahli logik terkenal John Lucas datang dengan program yang sama. Alasannya ternyata agak terdedah - bagaimanapun, dia menetapkan tugas itu dengan lebih meluas. Roger Penrose mengambil pendekatan yang sedikit berbeza, yang dibentangkan dalam buku sepenuhnya, "dari awal".

Perbincangan

Akibat teorem mempengaruhi falsafah matematik, terutamanya formalisme yang digunakan logik formal untuk menentukan prinsip mereka. Seseorang boleh menyusun semula teorem ketidaklengkapan pertama seperti berikut: adalah mustahil untuk mencari sistem aksiom yang komprehensif yang dapat dibuktikan Semua kebenaran matematik, dan bukan satu pembohongan". Sebaliknya, dari sudut formaliti yang ketat, perumusan semula ini tidak begitu masuk akal, kerana ia menganggap konsep "benar" dan "kepalsuan" ditakrifkan dalam erti kata yang mutlak, dan bukannya secara relatif untuk setiap sistem tertentu.