Teorem ketidaklengkapan Gödel dalam psikologi. Teorem ketidaklengkapan Gödel untuk aritmetik formal

09sen

Mana-mana sistem aksiom matematik, bermula dari tahap kerumitan tertentu, adalah sama ada secara dalaman tidak konsisten atau tidak lengkap.

Pada tahun 1900, Persidangan Ahli Matematik Sedunia telah diadakan di Paris, di mana David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) menggariskan dalam bentuk tesis 23 tugas paling penting, pada pendapatnya, yang perlu diselesaikan oleh ahli teori abad kedua puluh yang akan datang. Nombor dua dalam senarainya adalah salah satu daripadanya tugasan mudah, jawapan yang kelihatan jelas sehingga anda menggali sedikit lebih dalam. bercakap bahasa moden, itulah persoalannya: adakah matematik mencukupi dengan sendirinya? Tugas kedua Hilbert dikurangkan kepada keperluan untuk membuktikan dengan tegas bahawa sistem aksiom - pernyataan asas yang diambil dalam matematik sebagai asas tanpa bukti - adalah sempurna dan lengkap, iaitu, ia membenarkan penerangan matematik tentang segala yang wujud. Adalah perlu untuk membuktikan bahawa adalah mungkin untuk menetapkan sistem aksiom sedemikian yang, pertama, mereka akan saling konsisten, dan kedua, seseorang boleh membuat kesimpulan daripada mereka mengenai kebenaran atau kepalsuan mana-mana pernyataan.

Mari kita ambil contoh dari geometri sekolah. Dalam planimetri Euclidean standard (geometri pada satah), boleh dibuktikan tanpa syarat bahawa pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 180°" adalah benar, dan pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 137° "adalah palsu. Secara asasnya, dalam geometri Euclidean, sebarang pernyataan sama ada palsu atau benar, dan yang ketiga tidak diberikan. Dan pada permulaan abad kedua puluh, ahli matematik secara naif percaya bahawa keadaan yang sama harus diperhatikan dalam mana-mana sistem yang konsisten secara logik.

Dan kemudian pada tahun 1931 beberapa ahli matematik berkaca mata Wina Kurt Gödel- mengambil dan menerbitkan artikel pendek yang hanya membalikkan seluruh dunia yang dipanggil "logik matematik". Selepas mukadimah matematik dan teori yang panjang dan kompleks, beliau benar-benar mewujudkan perkara berikut. Mari kita ambil mana-mana pernyataan seperti: "Andaian #247 secara logiknya tidak dapat dibuktikan dalam sistem aksiom ini" dan panggilnya "pernyataan A". Jadi, Gödel hanya membuktikan sifat menakjubkan berikut bagi mana-mana sistem aksiom:

"Jika pernyataan A boleh dibuktikan, maka pernyataan bukan A boleh dibuktikan."

Dalam erti kata lain, jika boleh dibuktikan kesahihan pernyataan "Andaian 247 tidak boleh dibuktikan", maka ia juga boleh dibuktikan kesahihan pernyataan "Andaian 247 boleh dibuktikan". Iaitu, kembali kepada rumusan masalah Hilbert kedua, jika sistem aksiom lengkap (iaitu, sebarang pernyataan di dalamnya boleh dibuktikan), maka ia tidak konsisten.

Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini ialah menerima sistem aksiom yang tidak lengkap. Iaitu, seseorang itu perlu bersabar dengan hakikat bahawa dalam konteks mana-mana sistem logik kita akan ditinggalkan dengan pernyataan "jenis A" yang diketahui benar atau salah - dan kita boleh menilai kebenarannya hanya di luar rangka kerja aksiomatik yang telah kita pakai. Jika tidak ada pernyataan sedemikian, maka aksiomatik kami adalah bercanggah, dan dalam rangka kerjanya pasti akan ada formulasi yang boleh dibuktikan dan disangkal.

Jadi rumusan teorem ketidaklengkapan pertama, atau lemah, Gödel ialah: "Mana-mana sistem aksiom formal mengandungi andaian yang tidak dapat diselesaikan". Tetapi Gödel tidak berhenti di situ, merumuskan dan membuktikan teorem ketidaklengkapan kedua atau kuat Gödel: “Kesempurnaan logik (atau ketidaklengkapan) mana-mana sistem aksiom tidak boleh dibuktikan dalam rangka kerja sistem ini. Untuk membuktikan atau menyangkalnya, aksiom tambahan (penguatan sistem) diperlukan.

Adalah lebih selamat untuk berfikir bahawa teorem Godel adalah abstrak dan tidak membimbangkan kita, tetapi hanya bidang logik matematik yang luhur, tetapi sebenarnya ternyata ia berkaitan secara langsung dengan struktur otak manusia. ahli matematik Inggeris dan ahli fizik Roger Penrose (b. 1931) menunjukkan bahawa Teorem Gödel boleh digunakan untuk membuktikan wujudnya perbezaan asas antara otak manusia dan komputer. Maksud hujah beliau mudah sahaja. Komputer beroperasi secara logik dan tidak dapat menentukan sama ada pernyataan A adalah benar atau palsu jika ia melampaui skop aksiomatik, dan pernyataan sedemikian, menurut teorem Gödel, pasti wujud. Seseorang, berhadapan dengan kenyataan A yang tidak dapat dibuktikan secara logik dan tidak dapat dinafikan, sentiasa dapat menentukan kebenaran atau kepalsuannya - berdasarkan pengalaman seharian. Sekurang-kurangnya dalam ini otak manusia mengatasi komputer yang dibelenggu dengan bersih litar logik. Otak manusia mampu memahami kedalaman penuh kebenaran yang terkandung dalam teorem Gödel, tetapi komputer tidak boleh. Oleh itu, otak manusia hanyalah sebuah komputer. Dia mampu membuat keputusan, dan ujian Turing akan lulus.

Idea pembuktian adalah untuk membina ungkapan yang akan memberi keterangan kepadanya

ketidakbolehbuktian sendiri. Binaan ini boleh dilakukan dalam tiga langkah:

Peringkat pertama ialah penubuhan padanan antara aritmetik formal dan set integer (gedelisasi);

Peringkat kedua ialah pembinaan beberapa harta khas yang tidak diketahui sama ada ia adalah teorem aritmetik formal atau tidak;

Peringkat ketiga ialah penggantian dalam bukannya x integer tertentu yang dikaitkan dengan dirinya sendiri, iaitu, penggantian dengan nombor ini semua

Peringkat pertama. Godelisasi aritmetik formal

Aritmetik formal boleh dihitung (iaitu, Gaedelized) dengan cara berikut: setiap teoremnya diberikan nombor tertentu. Walau bagaimanapun, oleh kerana sebarang nombor juga merupakan teorem, maka mana-mana teorem boleh dianggap, di satu pihak, sebagai teorem aritmetik formal, dan di sisi lain, sebagai teorem ke atas set teorem aritmetik formal, iaitu, sebagai metateorem yang sepadan dengan pembuktian teorem tertentu.

Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem aritmetik formal juga mengandungi metasistemnya sendiri.

Kami kini membentangkan keputusan kami dengan lebih konkrit dan terperinci.

Pertama, kita boleh mengaitkan dengan setiap simbol dan aritmetik formal satu notasi kod khas yang dipanggil kes ini Nombor Gödel

Kedua, kami memberikan kepada setiap jujukan aksara nombor Gödel yang sama menggunakan beberapa fungsi gubahan. Biarkan di mana urutan aksara yang terbentuk

Ketiga (dan ini penting), setiap bukti urutan aksiom dan peraturan penggantian (atau peraturan penggantian) diberikan nombor yang menandakan urutan teorem yang digunakan dalam bukti

Oleh itu, untuk sebarang bukti dalam aritmetik formal terdapat nombor tertentu - nombor Gödelnya. Sebarang penaakulan aritmetik formal diubah menjadi pengiraan pada set nombor asli.

Jadi, daripada memanipulasi simbol, teorem, bukti, anda boleh menggunakan

pengiraan pada set integer. Sebarang ungkapan seperti, sebagai contoh, yang berikut: boleh dibuktikan dalam aritmetik formal," kini sepadan dengan nombor tertentu, yang akan kami nyatakan sebagai

Mari kita rumuskan proposisi berikut.

Metaaritmetik formal terkandung dalam set nombor asli, dan ia sendiri terkandung dalam tafsiran aritmetik formal.

Situasi dengan aritmetik formal ini menyerupai situasi dengan bahasa semula jadi: Lagipun, tiada apa yang menghalang kita daripada menggunakannya untuk merumuskan konsep dan peraturan asasnya.

Pilihan fungsi yang betul membolehkan anda membuat peralihan yang jelas dari A kepada, iaitu, menetapkan dua nombor-nombor yang berbeza kepada dua pelbagai bukti. Sebagai contoh, seseorang boleh memilih nombor Gödel dengan cara yang setiap simbol abjad aritmetik formal mempunyai nombor perdananya sendiri, seperti yang ditunjukkan, sebagai contoh, dalam Jadual. 3.2.

Jadual 3.2

Setiap formula (terdiri daripada simbol yang berbeza dari 1 hingga seterusnya dikodkan oleh urutan yang terdiri daripada yang pertama nombor perdana, iaitu nombor

di manakah nombor perdana.

Sebaliknya, bukti, iaitu, urutan formula akan dikodkan dengan cara yang sama dengan nombor

Dan sebaliknya, terima kasih kepada kaedah membina nombor ini, ia menjadi mungkin, bermula dari nombor tertentu, dengan menguraikannya menjadi faktor utama(disebabkan oleh keunikan penguraian nombor asli kepada hasil kuasa nombor perdana) untuk kembali dalam dua langkah kepada eksponen, iaitu, kepada simbol primitif aritmetik formal. Sudah tentu, ini kebanyakannya mempunyai kepentingan teori, kerana bilangannya menjadi terlalu besar.

supaya mereka boleh dimanipulasi. Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa kemungkinan asas operasi ini adalah penting.

Contoh. Biarkan nombor T diberikan, sepadan dengan beberapa bukti dan mewakili hasil darab nombor perdana:

Penguraian ini bermakna bahawa bukti teorem mengandungi dua peringkat: satu sepadan dengan nombor 1981027125 253, dan satu lagi dengan nombor 1981027125 211. Mengurai semula menjadi faktor perdana setiap nombor ini, kita dapat

Daripada jadual pengekodan abjad aritmetik formal (Jadual 3.2) kami dapati nombor Gödel kami untuk kedua-dua nombor ini

akan sepadan dengan bukti berikut:

Formula berikut daripada formula

Oleh itu, dalam metaaritmetik, nilai nombor asal diperoleh daripada aritmetik formal.

Fasa kedua. Lemma Gödel

Setiap nombor T yang dikaitkan dengan bukti sepadan dengan teorem yang boleh dibuktikan dalam aritmetik formal. Aritmetik formal "Gaudelized" dipanggil aritmetik formal aritmetik. Oleh kerana setiap aksiom dan setiap peraturan aritmetik formal aritmetik sepadan dengan beberapa operasi aritmetik, adalah mungkin untuk menentukan dengan bantuan ujian sistematik sama ada nombor yang diberi T bukti beberapa teorem Nombor T dan dalam kes ini membentuk sepasang nombor konjugat. Ungkapan dan adalah konjugat” Boleh diwakili dalam aritmetik formal yang paling dihitung. Ini bermakna terdapat nombor Gödel yang mendigitalkan kenyataan ini.

Kami telah sampai ke titik kritikal pembuktian Gödel. Biarkan A menjadi ungkapan aritmetik formal aritmetik yang mengandungi beberapa pembolehubah bebas. Sebaliknya, anda boleh membuat penggantian beberapa istilah. Khususnya, adalah mungkin untuk menggantikan ungkapan A dengan ungkapan A itu sendiri. Dalam kes ini, ungkapan nombor A secara serentak melaksanakan dua peranan yang berbeza (lihat pembinaan di atas

Cantor dan Richard): ia adalah ungkapan sebenar bagi penggantian dan istilah yang terhasil. Penggantian khas ini akan dilambangkan sebagai Jadi formula bermakna nombor itu ialah nombor Gödel yang diperoleh dengan menggantikan - kepada ungkapan A:

Gödel kemudian membina ungkapan (yang tidak diketahui sama ada ia adalah teorem atau bukan teorem) di mana dia memperkenalkan penggantian ini. Ungkapan kelihatan seperti ini:

Peringkat ketiga. Penggantian akhir

Dalam aritmetik formal aritmetik, ungkapan ini diwakili dalam bentuk berangka. Biarkan E ialah nombor Gödelnya. Memandangkan ungkapan itu mengandungi pembolehubah bebas, kami mempunyai hak untuk melakukan penggantian - menggantikan nombor E dan menandakan - menggantikan E:

Kami menandakan ungkapan kedua ini dengan a dan nombor Gödelnya dengan E. Mari kita berikan tafsiran bagi ungkapan e.

Tafsiran pertama. Tidak ada pasangan sedemikian yang mana perkara berikut akan berlaku serentak: dalam satu pihak, T ialah nombor bukti aritmetik bagi teorem yang dihitung dengan sendirinya, dan sebaliknya, akan ada penggantian Tetapi kerana terdapat transformasi yang sama seperti yang lain, ia boleh diwakili dari segi dan dalam tatatanda kod mereka - nombor Gödel dan, oleh itu, nombor sedemikian wujud. Kemudian mungkin nombor T tidak wujud.

Tafsiran kedua. Tiada bukti aritmetik T bagi teorem yang akan menjadi penggantian untuk E. Jadi, jika tiada bukti, ia adalah kerana ia bukan teorem sendiri. Ini membawa kepada tafsiran ketiga.

Tafsiran ketiga. Ungkapan yang nombor Gödel ialah penggantian E bukan teorem dalam aritmetik formal aritmetik. Tetapi di sinilah percanggahan terletak, kerana dengan pembinaan ia sendiri merupakan penggantian E, dan nombor itu adalah dengan pembinaan tidak lain daripada nombor E itu sendiri. Ini membayangkan tafsiran terakhir bagi e.

Saya mengaku bahawa saya membaca idea untuk mempertimbangkan persoalan kewujudan Tuhan dari sisi ini dari Anatoly Alexandrovich Wasserman:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0 %BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92 %D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8. D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0. B4.D1.8B

Tetapi saya ingin mengembangkan idea ini dan menerangkannya dengan lebih terperinci.
Dalam agama (dan juga bukan dalam agama) terdapat beberapa pembinaan aksiomatik. Sekurang-kurangnya dalam kes yang ideal, jika ia bukan hanya kepercayaan buta, tetapi pilihan yang sedar dan termaklum. Sebagai contoh, aksiom fizik boleh dianggap "alam semula jadi boleh diketahui dengan bantuan sebab dan penaakulan logik, semua undang-undang fizik adalah sama di semua titik di angkasa dan pada bila-bila masa." Sebagai contoh, pernyataan "Tuhan itu wujud dan merupakan punca segala sesuatu" boleh dianggap sebagai aksioma agama. Dalam erti kata lain, tidak syak lagi bahawa semua butir-butir dan cabang yang banyak boleh dikurangkan kepada beberapa kenyataan yang paling penting yang tidak boleh dibuktikan dalam apa-apa cara, yang merupakan aksiom.

Pertimbangkan kepercayaan agama dari kedudukan ini. Aksiom agama yang paling penting: "Tuhan itu wujud dan merupakan punca segala sesuatu."
Sekarang mari kita ingat salah satu teorem matematik yang paling penting, teorem Gödel.
http://elementy.ru/trefil/21142
Teorem lemah Gödel: "Mana-mana sistem formal aksiom mengandungi andaian yang tidak dapat diselesaikan" atau "jika sistem aksiom lengkap, maka ia tidak konsisten."
Teorem kuat Gödel: "Kesempurnaan logik (atau ketidaklengkapan) mana-mana sistem aksiom tidak boleh dibuktikan dalam sistem ini. Aksiom tambahan (menguatkan sistem) diperlukan untuk membuktikan atau menafikannya."

Mari kita ingat beberapa definisi. Sistem aksiom adalah lengkap jika mana-mana pernyataan yang dirumuskan untuk sistem aksiom tertentu boleh dibuktikan (iaitu, ia sama ada benar atau salah). Andaian yang tidak dapat diselesaikan ialah pernyataan yang mana kebenaran atau kepalsuannya tidak dapat dibuktikan, iaitu pernyataan itu tidak boleh dibuktikan secara logik. Sistem aksioma adalah tidak konsisten jika, berkenaan dengan pernyataan yang sama, kedua-dua kebenaran dan kepalsuannya boleh dibuktikan.

Ia berikutan dari teorem Godel bahawa jika konsep Tuhan dimasukkan ke dalam sistem aksiomatik, maka sistem ini tidak lengkap, iaitu terdapat akibat (fenomena) yang tidak dapat dibuktikan, iaitu, ia boleh wujud atau tidak, ini. tidak boleh dibuktikan.
Tetapi ini bercanggah dengan dua dalil berikut (pilih mana yang paling meyakinkan): alam semula jadi tidak mengandungi fenomena yang boleh dianggap sebagai wujud dan tidak wujud, sebarang fenomena alam sama ada wujud atau tidak wujud. Peruntukan kedua mengatakan bahawa, secara definisi, Tuhan adalah punca segala-galanya, oleh itu Tuhan sama ada membawa kepada kewujudan beberapa perkara (pernyataan) atau kepada ketiadaannya, merujuk kepada Tuhan, anda boleh membuktikan atau menyangkal apa-apa kenyataan. Ini bercanggah dengan ketidaklengkapan sistem.

Atau sebaliknya. Jika kita memasukkan konsep Tuhan dalam sistem aksioma dan menganggapnya lengkap (sebarang pernyataan dalam set aksiom lengkap boleh dibuktikan), maka menurut teorem Gödel, sistem aksiom sedemikian akan menjadi tidak konsisten, iaitu, akan ada fenomena yang boleh dibuktikan bahawa kedua-duanya wujud dan tidak wujud.

Tidak masuk akal untuk memasukkan Tuhan dalam sistem aksiom yang bercanggah, kerana ia bercanggah, iaitu, ia mengandungi fenomena yang boleh dibuktikan bahawa kedua-duanya wujud dan tidak wujud, yang, seperti yang dikatakan, bercanggah dengan sifat dan konsep Tuhan.

Akhirnya, jika konsep Tuhan tidak termasuk dalam sistem aksiomatik, maka ia tidak boleh dianggap sebagai asas asas alam semesta, dari mana segala yang wujud mengikuti, yang pada dasarnya bertentangan dengan definisi Tuhan.

Demi keadilan bukti ini adalah perlu untuk mengiktiraf kesahihan undang-undang logik matematik (logik proposisi + kalkulus predikat), yang membolehkan seseorang menetapkan undang-undang akibat, kebenaran, kepalsuan, ketidakkonsistenan, ketekalan pernyataan dan sifat lain dan hubungan antara pernyataan.

Jika, bagaimanapun, kita menganggap bahawa logik matematik tidak boleh digunakan untuk mengkaji persoalan kewujudan Tuhan, maka akibatnya tidak akan menjadi kemungkinan untuk menyiasat masalah ini dengan bantuan akal, dengan bantuan akal. Dalam erti kata lain, alasan yang konsisten sentiasa mendapat jawapan negatif kepada persoalan kewujudan Tuhan.

Apa yang berlaku sebagai akibatnya ... mana-mana sekurang-kurangnya orang yang agak rasional, sudah tentu, mengiktiraf kesahihan undang-undang logik, yang bermaksud bahawa dia selalu membuat kesimpulan bahawa Tuhan dalam takrifan "sebab segala sesuatu" melakukannya. tidak wujud. Orang yang tidak rasional yang mendakwa bahawa Tuhan boleh dikenali hanya dengan bantuan perasaan (dan bukan alasan), tentu saja, boleh berkata demikian, tetapi tidak ada cara untuk meyakinkan orang lain tentang ini, perasaan tidak dapat disampaikan. Selain itu, konsep Tuhan adalah konsep yang dirumuskan oleh akal. Bagaimana ia dicadangkan untuk menterjemahkan konsep sebab kepada sensasi, dan walaupun supaya ia boleh dipindahkan kepada orang lain, tidak jelas. Sekali lagi, sekurang-kurangnya orang yang agak rasional akan mengatakan bahawa ini tidak mungkin: untuk menterjemahkan konsep abstrak akal kepada perasaan dan merasakannya.

Akhirnya, terdapat pilihan lain: "Tuhan bukanlah punca segala-galanya." Kemudian percanggahan seperti itu tidak timbul, tetapi ini adalah kelemahan yang ketara dalam kedudukan agama, kerana tepatnya fakta bahawa Tuhan menciptakan segala-galanya, bahawa Tuhan adalah permulaan segala permulaan, adalah asas bagi banyak pernyataan agama dan pembenaran dalam pertikaian.

P.S. Perlu diperhatikan satu lagi perkara yang ingin tahu, sudah ingin tahu untuk ahli fizik. AT takrifan ini tuhan tiada dikatakan tentang kecerdasannya. Iaitu, seseorang boleh menambah "Tuhan adalah punca rasional bagi semua perkara", tetapi ini adalah penyempitan definisi, yang pada mulanya tidak diperlukan untuk pembuktian. Tanpa kecerdasan, konsep "Tuhan" boleh digantikan dengan mudah dengan "ketunggalan dan letupan Besar- punca semua perkara". Dan jawapannya adalah sama: ketunggalan dan letupan besar bukanlah punca utama semua perkara.
Setelah melakukan lebih banyak abstraksi, kita boleh mengatakan bahawa tidak ada satu fenomena atau sebab yang boleh menjadi punca segala yang wujud, iaitu punca punca tidak wujud pada dasarnya. Berhujah dalam rangka kerja mana-mana aksiomatik, seseorang boleh membuat kesimpulan bahawa punca segala-galanya tidak wujud. Secara ringkasnya, tidak kira sejauh mana kita mengetahui alam semesta, akan selalu ada soalan seperti: "dari mana datangnya letupan besar, dari mana datangnya singulariti, dari mana datangnya alam semesta yang berdenyut, dari mana datangnya multiverse. datang dari, mengapa alam semesta sentiasa wujud?" dan lain-lain. Punca segala-galanya tidak dapat ditemui pada dasarnya, ia tidak terkandung dalam mana-mana objek, fenomena atau konsep. Oleh itu, bagi seseorang, ini bersamaan dengan ketiadaannya. Secara teorinya, adalah mungkin untuk mengandaikan kewujudan pemerhati luar di luar alam semesta kita, yang akan memberikan jawapan kepada persoalan dari mana segala-galanya datang (aksiom tambahan yang sama, lanjutan dalam teorem Gödel), tetapi kemudian timbul persoalan, di mana adakah pemerhati luar datang dari, alam semestanya dan punca semua ini.

Teorem ketidaklengkapan Kurt Gödel adalah titik perubahan dalam matematik abad ke-20. Dan dalam manuskripnya, yang diterbitkan selepas kematiannya, bukti logik kewujudan Tuhan telah dipelihara. Pada Bacaan Krismas yang lalu, laporan menarik mengenai warisan yang kurang dikenali ini telah dibuat oleh Profesor Madya Seminari Teologi Tobolsk, Calon Teologi, Paderi Dimitri Kiryanov. "NS" diminta menjelaskan idea utama saintis.

Teorem Ketidaklengkapan Gödel: Satu Lubang dalam Matematik

- Bolehkah anda menerangkan secara popular teorem ketidaklengkapan Gödel? Tukang gunting rambut hanya mencukur mereka yang tidak mencukur sendiri. Adakah tukang gunting mencukur dirinya sendiri? Adakah paradoks terkenal ini ada kaitan dengan mereka?

Tesis utama bukti logik kewujudan Tuhan, yang dikemukakan oleh Kurt Gödel: "Tuhan wujud dalam pemikiran. Tetapi kewujudan dalam realiti lebih besar daripada kewujudan dalam pemikiran sahaja. Oleh itu, Tuhan mesti wujud." Dalam foto: pengarang teorem ketidaklengkapan Kurt Gödel dengan rakannya, pengarang teori relativiti Albert Einstein. Preston. Amerika. 1950

- Ya, sudah tentu ada. Sebelum Gödel, terdapat masalah aksiomatisasi matematik dan masalah ayat paradoks sedemikian yang boleh ditulis secara rasmi dalam mana-mana bahasa. Contohnya: "Pernyataan ini palsu." Apakah kebenaran kenyataan ini? Jika ia benar, maka ia adalah palsu, jika ia palsu, maka ia adalah benar; mengakibatkan paradoks linguistik. Gödel menyiasat aritmetik dan menunjukkan dalam teoremnya bahawa ketekalannya tidak dapat dibuktikan daripada prinsip-prinsipnya yang jelas: aksiom penambahan, penolakan, pembahagian, pendaraban, dan sebagainya. Kami memerlukan beberapa andaian tambahan untuk membenarkannya. Ia adalah pada sangat teori yang paling mudah, tetapi bagaimana pula dengan yang lebih kompleks (persamaan fizik, dll.)! Untuk mewajarkan beberapa sistem penaakulan, kami sentiasa terpaksa menggunakan beberapa penaakulan tambahan, yang tidak wajar dalam rangka kerja sistem.

Pertama sekali, ini menunjukkan batasan tuntutan minda manusia dalam pengetahuan realiti. Iaitu, kita tidak boleh mengatakan bahawa kita akan membina beberapa jenis teori menyeluruh tentang alam semesta yang akan menjelaskan segala-galanya - teori sedemikian tidak boleh saintifik.

Apakah perasaan ahli matematik sekarang tentang teorem Gödel? Tiada siapa yang cuba untuk menyangkal mereka, entah bagaimana boleh pergi?

“Ia seperti cuba untuk menyangkal teorem Pythagoras. Teorem mempunyai bukti logik yang ketat. Pada masa yang sama, percubaan sedang dibuat untuk mencari had ke atas kebolehgunaan teorem Gödel. Tetapi kebanyakan kontroversi berkisar tentang implikasi falsafah teorem Gödel.

Sejauh manakah bukti Gödel tentang kewujudan Tuhan? Adakah ia selesai?

- Ia telah diusahakan secara terperinci, walaupun saintis itu sendiri tidak berani menerbitkannya sehingga kematiannya. Gödel membangunkan ontologi (metafizik. — "NS") hujah yang pertama kali dicadangkan oleh Anselm of Canterbury. Dalam bentuk yang ringkas, hujah ini boleh diungkapkan seperti berikut: “Tuhan, menurut definisi, adalah Dia yang lebih besar daripada-Nya yang tidak dapat dibayangkan. Tuhan wujud dalam pemikiran. Tetapi kewujudan dalam realiti adalah lebih besar daripada kewujudan dalam pemikiran sahaja. Oleh itu, Tuhan mesti ada." Hujah Anselm kemudiannya dikembangkan oleh René Descartes dan Gottfried Wilhelm Leibniz. Jadi, menurut Descartes, untuk memikirkan Makhluk Sempurna yang Lebih Tinggi, yang kekurangan kewujudan, bermakna jatuh ke dalam percanggahan logik. Dalam konteks idea-idea ini, Gödel membangunkan versi buktinya sendiri; ia benar-benar sesuai dengan dua halaman. Malangnya, pembentangan hujahnya adalah mustahil tanpa memperkenalkan logik modal yang sangat kompleks ke dalam asas.

Sudah tentu, ketidaksempurnaan logik kesimpulan Godel tidak memaksa seseorang untuk menjadi orang percaya di bawah tekanan kekuatan bukti. Kita tidak seharusnya naif dan percaya bahawa kita boleh meyakinkan sesiapa sahaja dengan munasabah orang yang berfikir percaya kepada Tuhan melalui hujah ontologi atau bukti lain. Iman lahir apabila seseorang berhadapan dengan kehadiran yang nyata dari Hakikat Tuhan yang agung. Tetapi terdapat sekurang-kurangnya seorang yang hujah ontologi membawa kepada kepercayaan agama, dan itu adalah penulis Clive Staples Lewis, yang mengakuinya sendiri.

Masa depan yang jauh adalah masa lalu yang jauh

Apakah perasaan rakan seangkatan Gödel tentangnya? Adakah dia berkawan dengan salah seorang saintis yang hebat?

Pembantu Einstein di Princeton memberi keterangan bahawa satu-satunya orang dengan siapa dia berkawan tahun lepas hidup ialah Kurt Gödel. Mereka berbeza dalam hampir semua perkara - Einstein pandai bergaul, ceria, dan Gödel sangat serius, benar-benar kesepian dan tidak percaya. Tetapi mereka telah kualiti keseluruhan: kedua-duanya pergi lurus dan ikhlas kepada persoalan utama sains dan falsafah. Walaupun persahabatannya dengan Einstein, Gödel mempunyai pandangan khusus tentang agama. Dia menolak idea Tuhan sebagai makhluk yang tidak peribadi, seperti Tuhan untuk Einstein. Pada kesempatan ini Gödel berkata: “Agama Einstein terlalu abstrak, seperti Spinoza dan falsafah India. Tuhan Spinoza adalah kurang daripada seseorang; Tuhanku lebih daripada seorang manusia; kerana Tuhan boleh memainkan peranan seseorang.” Mungkin ada roh yang tidak mempunyai badan, tetapi boleh berkomunikasi dengan kita dan mempengaruhi dunia.”

Bagaimanakah Gödel berakhir di Amerika? Melarikan diri dari Nazi?

- Ya, dia datang ke Amerika pada tahun 1940 dari Jerman, walaupun pada hakikatnya Nazi mengiktirafnya sebagai seorang Aryan dan seorang saintis yang hebat, membebaskannya daripada perkhidmatan ketenteraan. Dia dan isterinya Adele melalui Rusia melalui Keretapi Trans-Siberia. Dia tidak meninggalkan kenangan tentang perjalanan ini. Adele hanya ingat ketakutan yang berterusan pada waktu malam, bahawa mereka akan berhenti dan kembali. Selepas lapan tahun tinggal di Amerika, Gödel menjadi warganegara AS. Seperti semua pemohon kewarganegaraan, dia terpaksa menjawab soalan mengenai Perlembagaan AS. Sebagai seorang yang teliti, dia membuat persediaan untuk peperiksaan ini dengan sangat berhati-hati. Akhirnya, dia berkata bahawa dia telah menemui ketidakselarasan dalam Perlembagaan: "Saya menemui kemungkinan yang sah secara logik di mana Amerika Syarikat boleh menjadi diktator." Rakan-rakannya mengakui bahawa, tanpa mengira merit logik hujah Gödel, kemungkinan ini adalah bersifat hipotesis semata-mata, dan memberi amaran terhadap perbualan yang panjang mengenai subjek dalam peperiksaan.

Adakah Gödel dan Einstein menggunakan idea masing-masing dalam kerja saintifik?

— Pada tahun 1949, Gödel menyatakan idea kosmologinya dalam esei matematik, yang, menurut Albert Einstein, merupakan sumbangan penting kepada teori umum relativiti. Gödel percaya bahawa masa - "entiti misteri dan pada masa yang sama bertentangan diri yang membentuk asas dunia dan kewujudan kita sendiri" - akhirnya akan menjadi ilusi terhebat. Ia "suatu hari nanti" akan berhenti wujud, dan bentuk makhluk lain akan datang, yang boleh dipanggil keabadian. Idea masa ini membawa ahli logik yang hebat kepada kesimpulan yang tidak dijangka. Dia menulis: “Saya yakin tentang kehidupan akhirat, tanpa mengira teologi. Jika dunia dibina dengan bijak, maka pasti ada akhirat.”

"Masa adalah entiti yang bercanggah dengan diri sendiri." Bunyi pelik; ia mempunyai beberapa makna fizikal?

Gödel menunjukkan bahawa dalam kerangka persamaan Einstein adalah mungkin untuk membina model kosmologi dengan masa tertutup, di mana masa lalu yang jauh dan masa depan yang jauh bertepatan. Dalam model ini, ia menjadi secara teori perjalanan yang mungkin dalam masa. Bunyinya pelik, tetapi ia boleh diungkapkan secara matematik - itulah maksudnya. Model ini mungkin mempunyai implikasi percubaan atau tidak. Ia adalah binaan teori yang mungkin berguna atau mungkin tidak dalam membina model kosmologi baharu. Fizik teori moden, khususnya kosmologi kuantum, mempunyai struktur matematik yang kompleks sehingga sangat sukar untuk memberikan pemahaman falsafah yang jelas kepada struktur ini. Selain itu, beberapa pembinaan teorinya masih tidak dapat disahkan secara eksperimen atas sebab mudah pengesahannya memerlukan pengesanan zarah tenaga yang sangat tinggi. Ingat bagaimana orang ramai takut tentang pelancaran Large Hadron Collider: dana media massa sentiasa menakutkan orang dengan pendekatan akhir dunia. Malah, serius eksperimen saintifik untuk menguji model kosmologi kuantum dan apa yang dipanggil "teori penyatuan besar". Sekiranya mungkin untuk mengesan zarah Higgs yang dipanggil, maka ini akan menjadi langkah seterusnya dalam pemahaman kita tentang peringkat awal kewujudan alam semesta kita. Tetapi sehingga terdapat data eksperimen, model bersaing kosmologi kuantum terus menjadi model matematik sahaja.

Iman dan intuisi

“…Tuhanku lebih daripada seorang manusia; kerana Tuhan boleh memainkan peranan seseorang…” Adakah iman Gödel masih jauh dari pengakuan Ortodoks?

— Sangat sedikit kenyataan Gödel tentang imannya telah dipelihara, ia dikumpulkan sedikit demi sedikit. Walaupun fakta bahawa Gödel membuat draf pertama versi hujahnya sendiri seawal tahun 1941, sehingga tahun 1970, kerana takut akan ejekan rakan-rakannya, dia tidak bercakap mengenainya. Pada Februari 1970, merasakan kematiannya semakin hampir, dia membenarkan pembantunya menyalin versi buktinya. Selepas kematian Gödel pada tahun 1978, versi hujah ontologi yang sedikit berbeza ditemui dalam kertas kerjanya. Isteri Kurt Gödel, Adele, berkata dua hari selepas kematian suaminya bahawa Gödel, "walaupun dia tidak menghadiri gereja, beragama dan membaca Alkitab di atas katil setiap pagi Ahad."

Apabila kita bercakap tentang saintis seperti Gödel, Einstein atau, katakan, Galileo atau Newton, adalah penting untuk menekankan bahawa mereka bukan ateis. Mereka melihat bahawa di sebalik Alam Semesta ada Akal, yang pasti Kuasa tinggi. Bagi ramai saintis, kepercayaan terhadap kewujudan Kecerdasan Tertinggi adalah salah satu akibat daripada refleksi saintifik mereka, dan refleksi ini tidak selalu membawa kepada kemunculan hubungan agama yang mendalam antara manusia dan Tuhan. Berkenaan dengan Gödel, seseorang boleh mengatakan bahawa dia merasakan keperluan untuk hubungan ini, kerana dia menekankan bahawa dia seorang teis, bahawa dia menganggap Tuhan sebagai seorang manusia. Tetapi, sudah tentu, imannya tidak boleh dipanggil ortodoks. Dia, boleh dikatakan, seorang "Lutheran rumah."

- Anda boleh memberi contoh sejarah: Bagaimanakah ahli sains yang berbeza percaya kepada Tuhan? Berikut adalah genetik Francis Collins, menurut pengakuannya, kajian struktur DNA membawa kepada iman kepada Tuhan ...

“Dengan sendirinya, pengetahuan semula jadi tentang Tuhan tidak mencukupi untuk pengetahuan tentang Tuhan. Ia tidak mencukupi untuk menemui Tuhan dengan mengkaji alam semula jadi - adalah penting untuk belajar mengenali-Nya melalui Wahyu yang Tuhan berikan kepada manusia. Kedatangan seseorang kepada iman, sama ada dia seorang saintis atau tidak, sentiasa bergantung kepada sesuatu yang melampaui hujah logik atau sains semata-mata. Francis Collins menulis bahawa dia datang kepada agama pada usia 27 tahun selepas pertikaian intelektual yang panjang dengan dirinya dan di bawah pengaruh Clive Staples Lewis. Dua orang berada dalam situasi sejarah yang sama, di bawah keadaan awal yang sama: seorang menjadi mukmin, seorang lagi ateis. Kajian DNA sahaja membawa kepada kepercayaan tentang kewujudan Tuhan. Kajian lain dan tidak datang kepadanya. Dua orang melihat gambar itu: seorang menganggapnya cantik, dan yang lain berkata: "Begitu, gambar biasa!" Satu mempunyai rasa, intuisi, dan yang lain tidak. Profesor Ortodoks St. Tikhon universiti kemanusiaan Vladimir Nikolaevich Katasonov, Doktor Falsafah, seorang ahli matematik dengan pendidikan pertama, berkata: "Tidak ada bukti dalam matematik yang mungkin tanpa intuisi: seorang ahli matematik mula-mula melihat gambar, dan kemudian merumuskan bukti."

Persoalan tentang keimanan seseorang sentiasa menjadi persoalan yang melangkaui penaakulan logik semata-mata. Bagaimana untuk menerangkan apa yang membawa anda kepada iman? Lelaki itu menjawab: Saya pergi ke kuil, berfikir, membaca ini dan itu, melihat keharmonian alam semesta; tetapi yang paling penting, saat yang paling luar biasa, di mana seseorang tiba-tiba menyedari bahawa dia telah menemui kehadiran Tuhan, tidak dapat diungkapkan. Ia sentiasa menjadi rahsia.

- Anda boleh mengenal pasti masalah yang tidak dapat diselesaikan sains moden?

— Bagaimanapun, sains adalah perusahaan yang cukup yakin, bebas dan mantap untuk bersuara dengan begitu tajam. Ia adalah alat yang baik dan sangat berguna di tangan manusia. Sejak zaman Francis Bacon, ilmu sememangnya menjadi kuasa yang telah mengubah dunia. Sains berkembang mengikut undang-undang dalamannya: saintis berusaha untuk memahami undang-undang alam semesta, dan tidak ada keraguan bahawa pencarian ini akan membawa kepada kejayaan. Tetapi pada masa yang sama adalah perlu untuk menyedari had sains. Seseorang tidak seharusnya mengelirukan sains dengan persoalan ideologi yang boleh dibangkitkan berkaitan dengan sains. Isu Utama hari ini dikaitkan tidak begitu banyak dengan kaedah saintifik seperti dengan orientasi nilai. Sains pada abad kedua puluh yang panjang telah dilihat oleh manusia sebagai kebaikan mutlak yang menyumbang kepada kemajuan umat manusia; dan kita melihat bahawa abad kedua puluh telah menjadi yang paling kejam dari segi korban manusia. Dan kemudian ada persoalan nilai. kemajuan sains, pengetahuan secara umum. Nilai etika tidak mengikut sains itu sendiri. Seorang saintis yang cemerlang boleh mencipta senjata untuk memusnahkan semua manusia, dan di sini timbul persoalan tentang tanggungjawab moral seorang saintis, yang tidak dapat dijawab oleh sains. Sains tidak dapat menunjukkan kepada manusia makna dan tujuan kewujudannya. Sains tidak akan dapat menjawab persoalan mengapa kita berada di sini? Mengapakah alam semesta wujud? Soalan-soalan ini diselesaikan pada tahap pengetahuan yang berbeza, seperti falsafah dan agama.

— Selain daripada teorem Gödel, adakah terdapat bukti lain bahawa kaedah saintifik mempunyai hadnya? Adakah saintis sendiri mengenali ini?

- Sudah pada awal abad ke-20, ahli falsafah Bergson dan Husserl menunjuk kepada nilai relatif pengetahuan saintifik tentang alam semula jadi. Ia kini telah menjadi kepercayaan hampir universal di kalangan ahli falsafah sains bahawa teori saintifik mewakili model hipotesis untuk menerangkan fenomena. Salah seorang pencipta mekanik kuantum Erwin Schrödinger berkata demikian zarah asas hanyalah imej, tetapi kita boleh melakukannya tanpa mereka. Menurut ahli falsafah dan logik Karl Popper, teori saintifik adalah seperti jaring di mana kita cuba menangkap dunia, ia bukan seperti gambar. Teori saintifik sentiasa dalam perkembangan dan perubahan. Pencipta mekanik kuantum, seperti Pauli, Bohr, Heisenberg bercakap tentang had kaedah saintifik. Pauli menulis: “...Fizik dan jiwa boleh dianggap sebagai aspek tambahan realiti yang sama" - dan menumpukan pada ketidakupayaan peringkat yang lebih tinggi berada di bawah. Pelbagai penjelasan merangkumi hanya satu aspek perkara setiap kali, tetapi teori yang komprehensif tidak akan dapat dicapai.

Keindahan dan keharmonian alam semesta membayangkan kemungkinan pengetahuannya kaedah saintifik. Pada masa yang sama, orang Kristian sentiasa memahami ketidakfahaman misteri di sebalik alam semesta material ini. Alam semesta tidak mempunyai asas sendiri dan menunjuk kepada sumber makhluk yang sempurna - Tuhan.

Saya telah lama berminat dengan apa itu teorem Gödel yang sensasi. Dan bagaimana ia berguna untuk kehidupan. Dan akhirnya saya dapat memikirkannya.

Rumusan teorem yang paling popular ialah:
"Mana-mana sistem aksiom matematik, bermula dari tahap kerumitan tertentu, sama ada secara dalaman tidak konsisten atau tidak lengkap."

Saya akan menterjemahkannya ke dalam bahasa bukan matematik manusia seperti ini (aksiom ialah kedudukan awal teori, diterima dalam rangka teori ini sebagai benar tanpa memerlukan bukti dan digunakan sebagai asas untuk membuktikan peruntukannya yang lain). Dalam kehidupan, aksiom ialah prinsip yang diikuti oleh seseorang, masyarakat, hala tuju saintifik, menyatakan. Di antara wakil agama, aksiom dipanggil dogma. Akibatnya, mana-mana prinsip kami, mana-mana sistem pandangan, bermula dari tahap tertentu, menjadi bercanggah secara dalaman, atau tidak lengkap. Untuk yakin dengan kebenaran kenyataan tertentu, seseorang itu perlu melampaui sistem pandangan yang diberikan dan membina yang baru. Tetapi ia juga akan menjadi tidak sempurna. Maksudnya, PROSES ILMU ITU TIDAK TERHINGGA. Dunia tidak dapat diketahui sepenuhnya sehingga kita mencapai sumbernya.

"... jika kita menganggap keupayaan untuk menaakul secara logik sebagai ciri utama minda manusia, atau sekurang-kurangnya alat utamanya, maka teorem Gödel secara langsung menunjukkan keupayaan terhad otak kita. Setuju bahawa ia adalah sangat sukar bagi seseorang yang dibawa. atas kepercayaan dalam kuasa pemikiran yang tidak terhingga untuk menerima tesis tentang had kuasanya ... Ramai pakar percaya bahawa pengiraan formal, "Aristotelian" proses yang mendasari pemikiran logik, hanyalah sebahagian kesedaran manusia. Bidangnya yang lain, pada asasnya "bukan pengiraan", bertanggungjawab untuk manifestasi seperti gerak hati, cerapan kreatif dan pemahaman. Dan jika separuh pertama minda berada di bawah sekatan Gödel, maka separuh kedua bebas daripada had sedemikian ... Ahli fizik Roger Penrose pergi lebih jauh. Beliau mencadangkan kewujudan beberapa kesan kuantum yang bersifat bukan pengiraan, yang memastikan realisasi tindakan kesedaran kreatif... Salah satu daripada banyak akibat hipotesis Penrose boleh, khususnya, kesimpulan bahawa kecerdasan buatan berdasarkan peranti pengkomputeran moden, walaupun kemunculan komputer kuantum akan membawa kepada kejayaan besar dalam bidang teknologi pengkomputeran. Hakikatnya adalah bahawa mana-mana komputer hanya boleh lebih dan lebih tepat memodelkan kerja formal-logik, aktiviti "pengiraan" kesedaran manusia, tetapi kebolehan "bukan pengiraan" intelek tidak dapat diakses olehnya.

Satu akibat penting teorem Gödel ialah kesimpulan bahawa seseorang tidak boleh berfikir secara ekstrem. Sentiasa dalam teori sedia ada terdapat satu kenyataan yang tidak boleh dibuktikan mahupun disangkal. Atau, dalam erti kata lain, untuk beberapa kenyataan sentiasa ada pasangan yang menyangkalnya.

Kesimpulan seterusnya. Baik dan jahat hanyalah 2 sisi syiling yang sama, tanpanya ia tidak boleh wujud. Dan ia berasal dari prinsip bahawa di Alam Semesta hanya ada satu sumber segala-galanya: baik dan jahat, cinta dan benci, hidup dan mati.

Sebarang pengisytiharan kesempurnaan sistem adalah palsu. Anda tidak boleh bergantung pada dogma, kerana lambat laun mereka akan disangkal.

Dalam pengertian ini, agama moden berada dalam kedudukan kritikal: dogma gereja menentang perkembangan idea kita tentang dunia. Mereka cuba memerah segala-galanya ke dalam kerangka konsep tegar. Tetapi ini membawa kepada fakta bahawa dari Monoteisme, dari satu sumber semua proses semula jadi mereka beralih kepada paganisme, di mana terdapat kuasa kebaikan dan kuasa kejahatan, ada tuhan kebaikan di suatu tempat yang jauh di syurga, dan ada syaitan (dewa kejahatan), yang telah lama meletakkan kakinya pada segala yang berada di Bumi. Pendekatan ini membawa kepada pembahagian semua orang kepada kawan dan musuh, orang benar dan orang berdosa, orang beriman dan bidaah, kawan dan musuh.

Berikut adalah satu lagi teks kecil yang secara popular mendedahkan intipati yang mengikuti dari teorem Gödel:
"Nampaknya kepada saya bahawa teorem ini membawa sesuatu yang penting makna falsafah. Hanya dua pilihan yang mungkin:

a) Teorinya tidak lengkap, iaitu. dari segi teori, seseorang boleh merumuskan soalan yang tidak mungkin diperolehi sama ada jawapan positif atau negatif daripada aksiom/postulatan teori tersebut. Pada masa yang sama, jawapan kepada semua soalan sedemikian boleh diberikan dalam rangka teori yang lebih komprehensif, di mana yang lama akan menjadi kes istimewa. Tetapi ini teori baru akan mempunyai "soalan yang tidak dijawab" sendiri dan seterusnya ad infinitum.

b) Lengkap, tetapi bercanggah. Sebarang soalan boleh dijawab, tetapi beberapa soalan boleh dijawab dengan ya dan tidak pada masa yang sama.

Teori saintifik adalah jenis pertama. Mereka konsisten, tetapi ini bermakna mereka tidak menerangkan segala-galanya. Tidak boleh ada "akhir" teori saintifik. Mana-mana teori tidak lengkap dan tidak menerangkan sesuatu, walaupun kita belum tahu apa itu. Seseorang hanya boleh mencipta teori yang lebih dan lebih komprehensif. Bagi saya secara peribadi, ini adalah sebab untuk optimis, kerana ia bermakna bahawa kemajuan sains tidak akan pernah berhenti.

"Tuhan Yang Maha Kuasa" tergolong dalam jenis kedua. Tuhan Yang Maha Kuasa adalah jawapan kepada setiap persoalan. Dan ini secara automatik bermakna ia membawa kepada kemustahilan logik. Paradoks seperti "batu berat" boleh dicipta secara berkelompok.

Secara keseluruhannya, pengetahuan sains adalah benar (konsisten), tetapi pada bila-bila masa tidak menggambarkan segala-galanya. Pada masa yang sama, tiada apa yang menghalang menolak sempadan yang diketahui kepada infiniti, lebih jauh dan lambat laun mana-mana yang tidak diketahui diketahui. Agama mendakwa Penerangan penuh dunia "sekarang", tetapi ia secara automatik tidak betul (tidak masuk akal)."

Pada satu masa, ketika saya baru memulakan saya dewasa Saya sedang berprogram. Dan terdapat prinsip sedemikian: jika banyak pembetulan dibuat pada program, ia mesti ditulis semula sekali lagi. Prinsip ini, pada pendapat saya, sepadan dengan teorem Godel. Jika program menjadi lebih kompleks, ia menjadi tidak konsisten. Dan ia tidak akan berfungsi dengan betul.

Satu lagi contoh dari kehidupan. Kita hidup dalam era apabila pegawai mengatakan bahawa prinsip utama kewujudan haruslah undang-undang. Iaitu, sistem perundangan. Tetapi sebaik sahaja perundangan menjadi lebih kompleks dan pembuatan peraturan berkembang, undang-undang mula bercanggah antara satu sama lain. Apa yang kita lihat sekarang. Anda tidak boleh mencipta sistem perundangan, yang akan menetapkan semua aspek kehidupan. Sebaliknya, ia akan adil untuk semua orang. Kerana batasan pemahaman kita tentang dunia akan sentiasa keluar. Dan undang-undang manusia akan bermula pada satu ketika untuk bercanggah dengan undang-undang alam semesta. Kami memahami banyak perkara secara intuitif. Juga secara intuitif, kita mesti menilai tindakan orang lain. Cukuplah negeri ini mempunyai perlembagaan. Dan bergantung pada artikel perlembagaan ini, untuk mengawal hubungan dalam masyarakat. Tetapi lambat laun, perlembagaan perlu diubah.

USE adalah satu lagi contoh kekeliruan idea kita tentang keupayaan manusia. Kami cuba menguji keupayaan pengiraan otak dalam peperiksaan. Tetapi kemungkinan intuitif di sekolah telah tidak lagi dikembangkan. Tetapi manusia bukan biorobot. Adalah mustahil untuk mencipta sistem pemarkahan yang akan dapat mendedahkan semua kemungkinan yang wujud dalam diri seseorang, dalam kesedarannya, dalam alam bawah sedarnya dan dalam jiwanya.

Hampir 100 tahun yang lalu, Gödel mengambil langkah yang luar biasa dalam memahami undang-undang alam semesta. Dan kami masih belum dapat menggunakan ini, memandangkan teorem ini sangat khusus masalah matematik untuk kalangan sempit orang yang berurusan dengan beberapa topik abstrak dalam kalangan mereka sendiri. Bersama dengan teori kuantum dan ajaran Kristus, teorem Gödel membolehkan kita melepaskan diri daripada tawanan dogma palsu, untuk mengatasi krisis yang masih berterusan dalam pandangan dunia kita. Dan masa semakin suntuk.