Rumusan teorem Pythagoras bagi segi tiga Pythagoras. Cara Berbeza untuk Membuktikan Teorem Pythagoras

Shapovalova L.A. (stesen Egorlykskaya, MBOU ESOSH No. 11)

1. Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah darjah VII - VIII, panduan guru, - M: Pendidikan, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Di sebalik muka surat buku teks matematik" Buku panduan untuk pelajar darjah 5-6. – M.: Pencerahan, 1989.

3. Zenkevich I.G. "Estetika Pelajaran Matematik". – M.: Pencerahan, 1981.

4. Litzman V. Teorem Pythagoras. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pythagoras". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Melangkaui Halaman Buku Teks Algebra". - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometri dalam gred 10." - M., 1986.

8. Akhbar "Matematik" 17/1996.

9. Akhbar "Matematik" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Koleksi Masalah dalam Matematik Asas". - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Buku Panduan Matematik". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Doktrin nombor dan magnitud Pythagoras". - Novosibirsk, 1997.

13. “Nombor sebenar. Ungkapan tidak rasional» Gred 8. Akhbar Universiti Tomsk. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometri" gred 7-9. – M.: Pencerahan, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Tahun akademik ini, saya berkenalan dengan teorem yang menarik, yang diketahui, ternyata, dari zaman purba:

"Segi empat yang dibina pada hipotenus segi tiga tepat adalah sama dengan jumlah segi empat sama yang dibina pada kaki."

Biasanya penemuan kenyataan ini dikaitkan dengan ahli falsafah Yunani kuno dan ahli matematik Pythagoras (abad VI SM). Tetapi kajian manuskrip kuno menunjukkan bahawa kenyataan ini diketahui jauh sebelum kelahiran Pythagoras.

Saya tertanya-tanya mengapa, dalam kes ini, ia dikaitkan dengan nama Pythagoras.

Perkaitan topik: Teorem Pythagoras adalah sangat penting: ia digunakan dalam geometri secara literal pada setiap langkah. Saya percaya bahawa karya Pythagoras masih relevan, kerana di mana sahaja kita melihat, di mana-mana kita dapat melihat buah-buahan idea-idea hebatnya, yang terkandung dalam pelbagai cabang kehidupan moden.

Tujuan penyelidikan saya adalah: untuk mengetahui siapa Pythagoras, dan apakah hubungannya dengan teorem ini.

Mempelajari sejarah teorem, saya memutuskan untuk mengetahui:

Adakah terdapat bukti lain tentang teorem ini?

Apakah kepentingan teorem ini dalam kehidupan manusia?

Apakah peranan yang dimainkan oleh Pythagoras dalam perkembangan matematik?

Dari biografi Pythagoras

Pythagoras of Samos ialah seorang saintis Yunani yang hebat. Kemasyhurannya dikaitkan dengan nama teorem Pythagoras. Walaupun sekarang kita sudah tahu bahawa teorem ini diketahui di Babylon purba 1200 tahun sebelum Pythagoras, dan di Mesir 2000 tahun sebelum dia segitiga bersudut tegak dengan sisi 3, 4, 5 diketahui, kita masih memanggilnya dengan nama kuno ini. ahli sains.

Hampir tiada yang diketahui secara pasti tentang kehidupan Pythagoras, tetapi sejumlah besar legenda dikaitkan dengan namanya.

Pythagoras dilahirkan pada 570 SM di pulau Samos.

Pythagoras mempunyai rupa yang kacak, berjanggut panjang, dan diadem emas di kepalanya. Pythagoras bukanlah nama, tetapi nama samaran yang diterima ahli falsafah kerana sentiasa bercakap dengan betul dan meyakinkan, seperti oracle Yunani. (Pythagoras - "ucapan persuasif").

Pada 550 SM, Pythagoras membuat keputusan dan pergi ke Mesir. Jadi, sebuah negara yang tidak diketahui dan budaya yang tidak diketahui terbuka sebelum Pythagoras. Pythagoras sangat kagum dan terkejut di negara ini, dan selepas beberapa pemerhatian terhadap kehidupan orang Mesir, Pythagoras menyedari bahawa jalan menuju pengetahuan, dilindungi oleh kasta imam, terletak melalui agama.

Selepas sebelas tahun belajar di Mesir, Pythagoras pergi ke tanah airnya, di mana sepanjang jalan dia jatuh ke dalam tawanan Babylonia. Di sana dia berkenalan dengan sains Babylon, yang lebih maju daripada Mesir. Orang Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear, kuadratik dan beberapa jenis padu. Setelah melarikan diri dari kurungan, dia tidak dapat tinggal lama di tanah airnya kerana suasana keganasan dan kezaliman yang bermaharajalela di sana. Dia memutuskan untuk berpindah ke Croton (sebuah jajahan Yunani di utara Itali).

Ia adalah di Croton bahawa tempoh yang paling mulia dalam kehidupan Pythagoras bermula. Di sana dia menubuhkan sesuatu seperti persaudaraan agama-etika atau perintah monastik rahsia, yang anggotanya diwajibkan untuk menjalani apa yang dipanggil cara hidup Pythagoras.

Pythagoras dan Pythagoras

Pythagoras menganjurkan persaudaraan agama dan etika di koloni Yunani di selatan Semenanjung Apennine, seperti perintah monastik, yang kemudiannya dipanggil Kesatuan Pythagoras. Ahli-ahli kesatuan harus mematuhi prinsip-prinsip tertentu: pertama, untuk berusaha untuk yang indah dan mulia, kedua, untuk berguna, dan ketiga, untuk berusaha untuk kesenangan yang tinggi.

Sistem peraturan moral dan etika, yang diwariskan oleh Pythagoras kepada pelajarnya, telah disusun menjadi sejenis kod moral "Ayat Emas" Pythagoreans, yang sangat popular pada era Antikuiti, Zaman Pertengahan dan Renaissance.

Sistem kajian Pythagoras terdiri daripada tiga bahagian:

Pengajaran tentang nombor - aritmetik,

Pengajaran tentang angka - geometri,

Pengajaran tentang struktur alam semesta - astronomi.

Sistem pendidikan yang ditetapkan oleh Pythagoras berlangsung selama berabad-abad.

Sekolah Pythagoras melakukan banyak perkara untuk memberikan geometri watak sains. Ciri utama kaedah Pythagoras ialah gabungan geometri dengan aritmetik.

Pythagoras banyak berurusan dengan perkadaran dan perkembangan dan, mungkin, dengan persamaan angka, kerana dia dikreditkan dengan menyelesaikan masalah: "Berdasarkan dua angka yang diberikan, bina satu pertiga, sama saiz dengan salah satu data dan serupa dengan yang kedua."

Pythagoras dan pelajarnya memperkenalkan konsep poligon, mesra, nombor sempurna dan mengkaji sifatnya. Aritmetik, sebagai amalan pengiraan, tidak menarik minat Pythagoras, dan dia dengan bangganya mengisytiharkan bahawa dia "meletakkan aritmetik di atas kepentingan pedagang."

Ahli Kesatuan Pythagorean adalah penduduk di banyak bandar di Greece.

Golongan Pythagorean juga menerima wanita ke dalam masyarakat mereka. Kesatuan berkembang selama lebih daripada dua puluh tahun, dan kemudian penganiayaan terhadap ahlinya bermula, ramai pelajar terbunuh.

Terdapat banyak legenda yang berbeza tentang kematian Pythagoras sendiri. Tetapi ajaran Pythagoras dan murid-muridnya terus hidup.

Daripada sejarah penciptaan teorem Pythagoras

Pada masa ini diketahui bahawa teorem ini tidak ditemui oleh Pythagoras. Walau bagaimanapun, ada yang percaya bahawa Pythagoras yang pertama kali memberikan bukti penuhnya, sementara yang lain menafikannya merit ini. Sesetengah mengaitkan kepada Pythagoras bukti yang Euclid berikan dalam buku pertama Elemennya. Sebaliknya, Proclus mendakwa bahawa bukti dalam Elemen adalah disebabkan oleh Euclid sendiri. Seperti yang dapat kita lihat, sejarah matematik hampir tidak mempunyai data konkrit yang boleh dipercayai mengenai kehidupan Pythagoras dan aktiviti matematiknya.

Mari kita mulakan tinjauan sejarah kita tentang teorem Pythagoras dengan China purba. Di sini buku matematik Chu-pei menarik perhatian khusus. Esei ini mengatakan ini tentang segi tiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5:

"Jika sudut tegak diuraikan kepada bahagian komponennya, maka garisan yang menghubungkan hujung sisinya akan menjadi 5 apabila tapaknya ialah 3 dan ketinggiannya ialah 4."

Geometri di kalangan orang Hindu berkait rapat dengan pemujaan. Besar kemungkinan bahawa teorem kuasa dua hipotenus telah pun diketahui di India sekitar abad ke-8 SM. Bersama dengan preskripsi ritual semata-mata, terdapat karya yang bersifat teologi geometri. Dalam tulisan ini, sejak abad ke-4 atau ke-5 SM, kita bertemu dengan pembinaan sudut tegak menggunakan segitiga dengan sisi 15, 36, 39.

Pada Zaman Pertengahan, teorem Pythagoras mentakrifkan had, jika bukan yang paling mungkin, maka sekurang-kurangnya pengetahuan matematik yang baik. Lukisan ciri teorem Pythagoras, yang kini kadang-kadang diubah oleh pelajar sekolah, sebagai contoh, menjadi topi atas yang berpakaian mantel seorang profesor atau seorang lelaki, sering digunakan pada zaman itu sebagai simbol matematik.

Kesimpulannya, kami membentangkan pelbagai rumusan teorem Pythagoras yang diterjemahkan daripada bahasa Yunani, Latin dan Jerman.

Teorem Euclid berbunyi (terjemahan literal):

"Dalam segi tiga tegak, segi empat sama sisi yang merentangi sudut tepat adalah sama dengan segi empat sama pada sisi yang melampirkan sudut tepat."

Seperti yang anda lihat, di negara yang berbeza dan bahasa yang berbeza terdapat versi yang berbeza dari perumusan teorem biasa. Dicipta pada masa yang berbeza dan dalam bahasa yang berbeza, ia mencerminkan intipati satu corak matematik, buktinya juga mempunyai beberapa pilihan.

Lima Cara Membuktikan Teorem Pythagoras

bukti cina kuno

Dalam lukisan Cina kuno, empat segi tiga bersudut tegak yang sama dengan kaki a, b dan hipotenus c disusun supaya kontur luarnya membentuk segi empat sama dengan sisi a + b, dan yang dalam membentuk segi empat sama dengan sisi c, dibina di atas hipotenus

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Bukti oleh J. Gardfield (1882)

Mari kita susun dua segi tiga bersudut tegak yang sama supaya kaki salah satu daripadanya adalah kesinambungan dari yang lain.

Luas trapezoid yang sedang dipertimbangkan didapati sebagai hasil darab separuh jumlah tapak dan ketinggian

Sebaliknya, luas trapezoid adalah sama dengan jumlah luas segi tiga yang diperoleh:

Menyamakan ungkapan ini, kita dapat:

Buktinya mudah

Bukti ini diperolehi dalam kes termudah bagi segi tiga tegak sama kaki.

Mungkin, teorem itu bermula dengan dia.

Sememangnya, cukup sekadar melihat jubin segi tiga sama kaki untuk melihat bahawa teorem itu benar.

Sebagai contoh, untuk segi tiga ABC: segi empat yang dibina pada hipotenus AC mengandungi 4 segi tiga awal, dan segi empat yang dibina pada kaki mengandungi dua. Teorem telah terbukti.

Bukti orang Hindu zaman dahulu

Segi empat sama dengan sisi (a + b), boleh dibahagikan kepada bahagian sama ada seperti dalam rajah. 12. a, atau seperti dalam rajah. 12b. Jelas bahawa bahagian 1, 2, 3, 4 adalah sama dalam kedua-dua rajah. Dan jika sama dikurangkan daripada sama (kawasan), maka sama akan kekal, i.e. c2 = a2 + b2.

Bukti Euclid

Selama dua milenium, yang paling biasa ialah bukti teorem Pythagoras, yang dicipta oleh Euclid. Ia diletakkan dalam bukunya yang terkenal "Permulaan".

Euclid menurunkan ketinggian BH dari bucu sudut tepat ke hipotenus dan membuktikan bahawa sambungannya membahagikan segi empat sama yang siap pada hipotenus kepada dua segi empat tepat, yang luasnya sama dengan luas segi empat sama yang dibina pada kaki.

Lukisan yang digunakan dalam pembuktian teorem ini secara berseloroh dipanggil "seluar Pythagoras". Untuk masa yang lama dia dianggap sebagai salah satu simbol sains matematik.

Aplikasi teorem Pythagoras

Kepentingan teorem Pythagoras terletak pada fakta bahawa kebanyakan teorem geometri boleh diperoleh daripadanya atau dengan bantuannya dan banyak masalah boleh diselesaikan. Di samping itu, kepentingan praktikal teorem Pythagoras dan teorem songsangnya ialah ia boleh digunakan untuk mencari panjang segmen tanpa mengukur segmen itu sendiri. Ini, seolah-olah, membuka jalan dari garis lurus ke satah, dari satah ke ruang volumetrik dan seterusnya. Atas sebab inilah teorem Pythagoras sangat penting untuk manusia, yang berusaha untuk menemui lebih banyak dimensi dan mencipta teknologi dalam dimensi ini.

Kesimpulan

Teorem Pythagoras sangat terkenal sehingga sukar untuk membayangkan seseorang yang tidak pernah mendengarnya. Saya belajar bahawa terdapat beberapa cara untuk membuktikan teorem Pythagoras. Saya mempelajari beberapa sumber sejarah dan matematik, termasuk maklumat di Internet, dan menyedari bahawa teorem Pythagoras menarik bukan sahaja untuk sejarahnya, tetapi juga kerana ia menduduki tempat penting dalam kehidupan dan sains. Ini dibuktikan dengan pelbagai tafsiran teks teorem ini yang saya berikan dalam kertas kerja ini dan cara pembuktiannya.

Jadi, teorem Pythagoras adalah salah satu teorem utama dan, boleh dikatakan, teorem geometri yang paling penting. Kepentingannya terletak pada fakta bahawa kebanyakan teorem geometri boleh disimpulkan daripadanya atau dengan bantuannya. Teorem Pythagoras juga luar biasa kerana dengan sendirinya ia tidak sama sekali jelas. Sebagai contoh, sifat segi tiga sama kaki boleh dilihat secara langsung pada lukisan. Tetapi tidak kira berapa banyak anda melihat pada segi tiga tepat, anda tidak akan melihat bahawa terdapat hubungan mudah antara sisinya: c2 = a2 + b2. Oleh itu, visualisasi sering digunakan untuk membuktikannya. Kelebihan Pythagoras ialah dia memberikan bukti saintifik penuh teorem ini. Keperibadian saintis itu sendiri, yang ingatannya tidak dipelihara secara tidak sengaja oleh teorem ini, adalah menarik. Pythagoras ialah penceramah, guru dan pendidik yang hebat, penganjur sekolahnya, memberi tumpuan kepada keharmonian muzik dan nombor, kebaikan dan keadilan, pengetahuan dan gaya hidup sihat. Dia boleh menjadi contoh untuk kita, keturunan yang jauh.

Pautan bibliografi

Tumanova S.V. BEBERAPA CARA UNTUK MEMBUKTIKAN TEOREM PYTHAGOREAN // Mulakan dalam sains. - 2016. - No. 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (tarikh akses: 04/06/2019).

Potensi untuk kreativiti biasanya dikaitkan dengan kemanusiaan, meninggalkan analisis saintifik semula jadi, pendekatan praktikal dan bahasa kering formula dan nombor. Matematik tidak boleh diklasifikasikan sebagai mata pelajaran kemanusiaan. Tetapi tanpa kreativiti dalam "ratu semua sains" anda tidak akan pergi jauh - orang telah mengetahui perkara ini untuk masa yang lama. Sejak zaman Pythagoras, misalnya.

Buku teks sekolah, malangnya, biasanya tidak menjelaskan bahawa dalam matematik adalah penting bukan sahaja untuk menjejalkan teorem, aksiom dan formula. Adalah penting untuk memahami dan merasakan prinsip asasnya. Dan pada masa yang sama, cuba bebaskan fikiran anda daripada klise dan kebenaran asas - hanya dalam keadaan sedemikian semua penemuan hebat dilahirkan.

Penemuan sedemikian termasuk yang hari ini kita kenali sebagai teorem Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan cuba menunjukkan bahawa matematik bukan sahaja boleh, tetapi harus menyeronokkan. Dan bahawa pengembaraan ini sesuai bukan sahaja untuk kutu buku berkaca mata tebal, tetapi untuk semua orang yang kuat fikiran dan kuat semangat.

Daripada sejarah isu tersebut

Tegasnya, walaupun teorem itu dipanggil "teorem Pythagoras", Pythagoras sendiri tidak menemuinya. Segitiga tepat dan sifat istimewanya telah dikaji lama sebelum itu. Terdapat dua pandangan polar mengenai isu ini. Menurut satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemui bukti lengkap teorem tersebut. Menurut yang lain, bukti itu bukan milik pengarang Pythagoras.

Hari ini anda tidak lagi boleh menyemak siapa yang betul dan siapa yang salah. Hanya diketahui bahawa bukti Pythagoras, jika ia pernah wujud, tidak bertahan. Walau bagaimanapun, terdapat cadangan bahawa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya merekodkannya.

Ia juga diketahui hari ini bahawa masalah mengenai segi tiga bersudut tepat ditemui dalam sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhet I, pada tablet tanah liat Babylon dari pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno Sulva Sutra dan karya Cina kuno Zhou -bi suan jin.

Seperti yang anda lihat, teorem Pythagoras telah menduduki fikiran ahli matematik sejak zaman purba. Kira-kira 367 pelbagai bukti yang wujud hari ini berfungsi sebagai pengesahan. Tiada teorem lain boleh bersaing dengannya dalam hal ini. Pengarang bukti terkenal termasuk Leonardo da Vinci dan Presiden Amerika Syarikat ke-20, James Garfield. Semua ini bercakap tentang kepentingan melampau teorem ini untuk matematik: kebanyakan teorem geometri diperoleh daripadanya atau, dalam satu cara atau yang lain, berkaitan dengannya.

Bukti teorem Pythagoras

Buku teks sekolah kebanyakannya memberikan bukti algebra. Tetapi intipati teorem adalah dalam geometri, jadi mari kita pertimbangkan terlebih dahulu bukti-bukti teorem terkenal yang berdasarkan sains ini.

Bukti 1

Untuk bukti paling mudah teorem Pythagoras untuk segi tiga tepat, anda perlu menetapkan keadaan yang ideal: biarkan segitiga itu bukan sahaja bersudut tegak, tetapi juga sama kaki. Terdapat sebab untuk mempercayai bahawa ia adalah segi tiga yang pada asalnya dianggap oleh ahli matematik purba.

Kenyataan "sebuah segi empat sama yang dibina di atas hipotenus segi tiga tegak adalah sama dengan jumlah segi empat sama yang dibina pada kakinya" boleh digambarkan dengan lukisan berikut:

Lihat segi tiga tegak sama kaki ABC: Pada hipotenus AC, anda boleh membina segi empat sama yang terdiri daripada empat segi tiga sama dengan ABC asal. Dan pada kaki AB dan BC dibina di atas segi empat sama, setiap satunya mengandungi dua segi tiga yang serupa.

Dengan cara ini, lukisan ini membentuk asas kepada banyak anekdot dan kartun yang didedikasikan untuk teorem Pythagoras. Mungkin yang paling terkenal ialah "Seluar Pythagoras adalah sama dalam semua arah":

Bukti 2

Kaedah ini menggabungkan algebra dan geometri dan boleh dilihat sebagai varian bukti India purba tentang ahli matematik Bhaskari.

Bina segi tiga tepat dengan sisi a, b dan c(Rajah 1). Kemudian bina dua segi empat sama dengan sisi sama dengan jumlah panjang dua kaki - (a+b). Dalam setiap petak, buat binaan, seperti dalam rajah 2 dan 3.

Dalam petak pertama, bina empat segi tiga yang sama seperti dalam Rajah 1. Hasilnya, dua petak diperolehi: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi b.

Dalam segi empat sama kedua, empat segi tiga serupa dibina membentuk segi empat sama dengan sisi yang sama dengan hipotenus c.

Jumlah luas segi empat sama yang dibina dalam Rajah 2 adalah sama dengan luas segi empat sama yang kami bina dengan sisi c dalam Rajah 3. Ini boleh disahkan dengan mudah dengan mengira luas segi empat sama dalam Rajah. 2 mengikut formula. Dan luas segi empat sama yang ditulis dalam Rajah 3. dengan menolak kawasan empat segi tiga bersudut tegak yang sama yang ditulis dalam segi empat sama daripada luas segi empat sama besar dengan sisi. (a+b).

Meletakkan semua ini, kami mempunyai: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Kembangkan kurungan, lakukan semua pengiraan algebra yang diperlukan dan dapatkannya a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Pada masa yang sama, kawasan yang tertulis dalam Rajah.3. kuasa dua juga boleh dikira menggunakan formula tradisional S=c2. Itu. a2+b2=c2 Anda telah membuktikan teorem Pythagoras.

Bukti 3

Bukti India kuno yang sama diterangkan pada abad ke-12 dalam risalah "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), dan sebagai hujah utama pengarang menggunakan rayuan yang ditujukan kepada bakat matematik dan kuasa pemerhatian pelajar dan pengikut: "Lihat!".

Tetapi kami akan menganalisis bukti ini dengan lebih terperinci:

Di dalam segi empat sama, bina empat segi tiga bersudut tepat seperti yang ditunjukkan dalam lukisan. Sisi segi empat sama besar, yang juga hipotenus, dilambangkan Dengan. Mari kita panggil kaki segi tiga a dan b. Menurut lukisan, sisi segi empat sama dalam ialah (a-b).

Gunakan formula luas segi empat sama S=c2 untuk mengira luas segi empat sama luar. Dan pada masa yang sama hitung nilai yang sama dengan menambah luas segi empat dalam dan luas bola empat segi tiga tepat: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Anda boleh menggunakan kedua-dua pilihan untuk mengira luas segi empat sama untuk memastikan ia memberikan hasil yang sama. Dan itu memberi anda hak untuk menulisnya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Hasil daripada penyelesaian, anda akan mendapat formula teorem Pythagoras c2=a2+b2. Teorem telah terbukti.

Bukti 4

Bukti Cina kuno yang ingin tahu ini dipanggil "Kerusi Pengantin" - kerana bentuk seperti kerusi yang terhasil daripada semua binaan:

Ia menggunakan lukisan yang telah kita lihat dalam Rajah 3 dalam bukti kedua. Dan segi empat sama dalam dengan sisi c dibina dengan cara yang sama seperti dalam bukti India purba yang diberikan di atas.

Jika anda memotong secara mental dua segitiga bersudut tegak hijau dari lukisan dalam Rajah 1, gerakkannya ke sisi bertentangan dengan segi empat sama dengan sisi c dan pasangkan hipotenus pada hipotenus segitiga ungu, anda mendapat angka yang dipanggil "kerusi pengantin perempuan. ” (Gamb. 2). Untuk kejelasan, anda boleh melakukan perkara yang sama dengan petak kertas dan segi tiga. Anda akan melihat bahawa "kerusi pengantin perempuan" dibentuk oleh dua petak: yang kecil dengan sisi b dan besar dengan sisi a.

Pembinaan ini membolehkan ahli matematik Cina purba dan kami yang mengikuti mereka membuat kesimpulan bahawa c2=a2+b2.

Bukti 5

Ini adalah satu lagi cara untuk mencari penyelesaian kepada teorem Pythagoras berdasarkan geometri. Ia dipanggil Kaedah Garfield.

Bina segi tiga tepat ABC. Kita perlu membuktikannya BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Untuk melakukan ini, teruskan kaki AC dan membina segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Serenjang Bawah AD segmen garisan ED. Segmen ED dan AC adalah sama. sambung titik E dan AT, serta E dan DARI dan dapatkan lukisan seperti gambar di bawah:

Untuk membuktikan menara itu, kami sekali lagi menggunakan kaedah yang telah kami uji: kami mencari luas angka yang terhasil dalam dua cara dan menyamakan ungkapan antara satu sama lain.

Cari luas poligon SEBUAH KATIL boleh dilakukan dengan menambah luas tiga segi tiga yang membentuknya. Dan salah seorang daripada mereka ERU, bukan sahaja segi empat tepat, tetapi juga sama kaki. Itu juga jangan kita lupakan AB=CD, AC=ED dan BC=CE- ini akan membolehkan kami memudahkan rakaman dan tidak membebankannya. Jadi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Pada masa yang sama, jelas sekali SEBUAH KATIL ialah trapezoid. Oleh itu, kami mengira kawasannya menggunakan formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Untuk pengiraan kami, lebih mudah dan lebih jelas untuk mewakili segmen AD sebagai jumlah segmen AC dan CD.

Mari kita tulis kedua-dua cara untuk mengira luas rajah dengan meletakkan tanda sama di antara mereka: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan kesamaan segmen yang telah kami ketahui dan diterangkan di atas untuk memudahkan bahagian kanan notasi: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Dan kini kami membuka kurungan dan mengubah kesaksamaan: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapat apa yang kami perlukan: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teoremnya.

Sudah tentu, senarai bukti ini jauh dari lengkap. Teorem Pythagoras juga boleh dibuktikan menggunakan vektor, nombor kompleks, persamaan pembezaan, stereometri, dsb. Dan juga ahli fizik: jika, sebagai contoh, cecair dituangkan ke dalam jilid segi empat sama dan segi tiga sama dengan yang ditunjukkan dalam lukisan. Dengan menuangkan cecair, adalah mungkin untuk membuktikan kesamaan kawasan dan teorem itu sendiri sebagai hasilnya.

Beberapa perkataan tentang kembar tiga Pythagoras

Isu ini sedikit atau tidak dipelajari dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, ia sangat menarik dan sangat penting dalam geometri. Rangkap tiga Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematik. Idea mereka boleh berguna kepada anda dalam pendidikan lanjutan.

Jadi apakah kembar tiga Pythagoras? Jadi dipanggil nombor asli, dikumpul dalam tiga, jumlah kuasa dua dua daripadanya adalah sama dengan nombor ketiga kuasa dua.

Rangkap tiga Pythagoras boleh menjadi:

primitif (ketiga nombor adalah relatif perdana);
bukan primitif (jika setiap nombor tiga kali ganda didarab dengan nombor yang sama, anda mendapat tiga kali ganda baharu yang bukan primitif).

Malah sebelum era kita, orang Mesir purba terpesona oleh mania untuk bilangan kembar tiga Pythagoras: dalam tugas mereka menganggap segi tiga bersudut tegak dengan sisi 3.4 dan 5 unit. Ngomong-ngomong, mana-mana segi tiga yang sisinya sama dengan nombor dari triple Pythagoras secara lalai adalah segi empat tepat.

Contoh rangkap tiga Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) dsb.

Aplikasi praktikal teorem

Teorem Pythagoras mendapati aplikasi bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam seni bina dan pembinaan, astronomi, dan juga kesusasteraan.

Pertama, mengenai pembinaan: teorem Pythagoras digunakan secara meluas di dalamnya dalam masalah tahap kerumitan yang berbeza. Sebagai contoh, lihat tetingkap Romanesque:

Mari kita nyatakan lebar tetingkap sebagai b, maka jejari separuh bulatan besar boleh ditandakan sebagai R dan nyatakan melalui b: R=b/2. Jejari separuh bulatan yang lebih kecil juga boleh dinyatakan dalam sebutan b: r=b/4. Dalam masalah ini, kami berminat dengan jejari bulatan dalam tetingkap (mari kita panggilnya hlm).

Teorem Pythagoras hanya berguna untuk mengira R. Untuk melakukan ini, kami menggunakan segi tiga bersudut tepat, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus dalam rajah. Hipotenus segitiga terdiri daripada dua jejari: b/4+p. Satu kaki ialah jejari b/4, lain b/2-hlm. Dengan menggunakan teorem Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Seterusnya, kami membuka kurungan dan dapatkan b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Mari kita ubah ungkapan ini menjadi bp/2=b 2 /4-bp. Dan kemudian kami membahagikan semua istilah menjadi b, kami memberikan yang serupa untuk mendapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita dapati itu p=b/6- itulah yang kami perlukan.

Menggunakan teorem, anda boleh mengira panjang kasau untuk bumbung gable. Tentukan berapa tinggi menara mudah alih diperlukan untuk isyarat mencapai penyelesaian tertentu. Dan juga terus memasang pokok Krismas di dataran bandar. Seperti yang anda lihat, teorem ini tidak hanya hidup pada halaman buku teks, tetapi sering berguna dalam kehidupan sebenar.

Setakat kesusasteraan, teorem Pythagoras telah memberi inspirasi kepada penulis sejak zaman dahulu dan terus melakukannya hari ini. Sebagai contoh, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso telah diilhamkan olehnya untuk menulis soneta:

Cahaya kebenaran tidak akan segera hilang,
Tetapi, setelah bersinar, ia tidak mungkin hilang
Dan, seperti beribu-ribu tahun yang lalu,
Tidak akan menimbulkan keraguan dan pertikaian.

Paling bijak apabila menyentuh mata
Cahaya kebenaran, terima kasih kepada tuhan;
Dan seratus lembu jantan, ditikam, berbohong -
Hadiah pulangan Pythagoras yang bertuah.

Sejak itu, lembu jantan telah mengaum dengan terdesak:
Selamanya membangkitkan puak lembu jantan
peristiwa yang disebut di sini.

Mereka fikir sudah tiba masanya
Dan sekali lagi mereka akan dikorbankan
Beberapa teorem yang hebat.

(diterjemah oleh Viktor Toporov)

Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Yevgeny Veltistov dalam bukunya "The Adventures of Electronics" menumpukan seluruh bab kepada bukti teorem Pythagoras. Dan setengah bab cerita tentang dunia dua dimensi yang boleh wujud jika teorem Pythagoras menjadi undang-undang asas dan juga agama untuk satu dunia. Ia akan menjadi lebih mudah untuk hidup di dalamnya, tetapi juga lebih membosankan: sebagai contoh, tiada siapa di sana memahami maksud perkataan "bulat" dan "gebu".

Dan dalam buku "The Adventures of Electronics", penulis, melalui mulut guru matematik Taratara, berkata: "Perkara utama dalam matematik ialah pergerakan pemikiran, idea-idea baru." Pemikiran kreatif inilah yang menjana teorem Pythagoras - bukan sia-sia ia mempunyai banyak bukti yang pelbagai. Ia membantu untuk melampaui kebiasaan, dan melihat perkara biasa dengan cara yang baharu.

Kesimpulan

Artikel ini dicipta supaya anda boleh melihat di luar kurikulum sekolah dalam matematik dan mempelajari bukan sahaja bukti-bukti teorem Pythagoras yang diberikan dalam buku teks "Geometri 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan "Geometri 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara lain yang ingin tahu untuk membuktikan teorem yang terkenal. Dan lihat juga contoh bagaimana teorem Pythagoras boleh digunakan dalam kehidupan seharian.

Pertama, maklumat ini akan membolehkan anda menuntut markah yang lebih tinggi dalam kelas matematik - maklumat tentang subjek daripada sumber tambahan sentiasa sangat dihargai.

Kedua, kami ingin membantu anda merasakan betapa menariknya matematik. Untuk diyakinkan dengan contoh khusus bahawa sentiasa ada tempat untuk kreativiti di dalamnya. Kami berharap teorem Pythagoras dan artikel ini akan memberi inspirasi kepada anda untuk melakukan penyelidikan anda sendiri dan penemuan menarik dalam matematik dan sains lain.

Beritahu kami dalam ulasan jika anda mendapati bukti yang dibentangkan dalam artikel itu menarik. Adakah anda mendapati maklumat ini membantu dalam pengajian anda? Beritahu kami pendapat anda tentang teorem Pythagoras dan artikel ini - kami dengan senang hati akan membincangkan semua ini dengan anda.

blog.site, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Teorem Pythagoras: Jumlah luas segi empat sama yang disokong oleh kaki ( a dan b), adalah sama dengan luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus ( c).

Formulasi geometri:

Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:

Perumusan algebra:

Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b :

a 2 + b 2 = c 2

Kedua-dua rumusan teorem adalah setara, tetapi rumusan kedua lebih asas, ia tidak memerlukan konsep luas. Iaitu, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang luas dan dengan mengukur hanya panjang sisi segi tiga tepat.

Teorem Pythagoras songsang:

Bukti kepada

Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin, teorem Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Variasi sedemikian hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.

Sudah tentu, secara konsep, kesemuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal daripada mereka: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).

Melalui segi tiga yang serupa

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina terus daripada aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.

biarlah ABC terdapat segi tiga bersudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan nyatakan pangkalannya dengan H. Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga ABC di dua sudut. Begitu juga segi tiga CBH serupa ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara

Menambah, kita dapat

Bukti kawasan

Bukti-bukti berikut, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Kesemua mereka menggunakan sifat-sifat kawasan, buktinya lebih rumit daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui Kesetaraan

Susun empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.
Segiempat dengan sisi c ialah segi empat sama kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90° dan sudut lurus ialah 180°.
Luas keseluruhan rajah adalah sama, dalam satu tangan, dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, jumlah luas empat segi tiga dan dua dalam. segi empat sama.

Q.E.D.

Bukti melalui Kesetaraan

Bukti pilihatur yang elegan

Contoh salah satu daripada bukti ini ditunjukkan dalam lukisan di sebelah kanan, di mana segi empat sama yang dibina pada hipotenus ditukar dengan pilih atur kepada dua petak yang dibina pada kaki.

Bukti Euclid

Melukis untuk bukti Euclid

Ilustrasi untuk bukti Euclid

Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina pada kaki, dan kemudian luas segi empat sama besar dan dua petak kecil adalah sama.

Pertimbangkan lukisan di sebelah kiri. Kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga bersudut tegak di atasnya dan melukis sinar s dari bucu sudut tegak C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina pada hipotenus, kepada dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ , masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama persis dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan.

Mari kita cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK Untuk melakukan ini, kita menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama seperti yang diberikan segi empat tepat sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberikan. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini, ia mengikuti bahawa luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan), yang, seterusnya, adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK.

Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat dengan harta di atas). Kesamaan ini jelas, segi tiga adalah sama dalam dua sisi dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK,AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: mari kita putar segitiga CAK 90 ° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi dua segi tiga yang sedang dipertimbangkan akan bertepatan (disebabkan oleh fakta bahawa sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°).

Hujah tentang kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya.

Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa luas segi empat sama yang dibina di atas hipotenus ialah jumlah luas segi empat yang dibina di atas kaki. Idea di sebalik bukti ini diilustrasikan lagi dengan animasi di atas.

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian ialah simetri dan pergerakan.

Pertimbangkan lukisan, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen Csaya membedah segi empat sama ABHJ kepada dua bahagian yang sama (sejak segitiga ABC dan JHsaya adalah sama dalam pembinaan). Menggunakan putaran 90 darjah lawan jam, kita melihat kesamaan angka berlorek CAJsaya dan GDAB . Kini jelas bahawa luas rajah yang dilorek oleh kami adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina di atas kaki dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus, ditambah dengan luas segi tiga asal. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.

Bukti dengan kaedah paling kecil

Bukti berikut menggunakan persamaan pembezaan sering dikaitkan dengan ahli matematik Inggeris terkenal Hardy, yang hidup pada separuh pertama abad ke-20.

Mengambil kira lukisan yang ditunjukkan dalam rajah dan memerhatikan perubahan di sebelah a, kita boleh menulis hubungan berikut untuk kenaikan sisi yang sangat kecil Dengan dan a(menggunakan segi tiga yang serupa):

Bukti dengan kaedah paling kecil

Menggunakan kaedah pengasingan pembolehubah, kita dapati

Ungkapan yang lebih umum untuk menukar hipotenus dalam kes kenaikan kedua-dua kaki

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan keadaan awal, kami memperoleh

c 2 = a 2 + b 2 + malar.

Oleh itu, kita sampai pada jawapan yang dikehendaki

c 2 = a 2 + b 2 .

Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh perkadaran linear antara sisi segi tiga dan kenaikan, manakala jumlahnya adalah disebabkan oleh sumbangan bebas daripada kenaikan kaki yang berbeza.

Bukti yang lebih mudah boleh diperoleh jika kita menganggap bahawa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan (dalam kes ini, kaki b). Kemudian untuk pemalar penyepaduan yang kita dapat

Variasi dan Generalisasi

Jika, bukannya segi empat sama, angka lain yang serupa dibina pada kaki, maka generalisasi teorem Pythagoras berikut adalah benar: Dalam segi tiga tepat, jumlah kawasan angka serupa yang dibina pada kaki adalah sama dengan luas angka yang dibina pada hipotenus. khususnya:
- Jumlah luas segi tiga sekata yang dibina pada kaki adalah sama dengan luas segitiga sekata yang dibina pada hipotenus.
- Jumlah kawasan separuh bulatan yang dibina pada kaki (seperti pada diameter) adalah sama dengan luas separuh bulatan yang dibina pada hipotenus. Contoh ini digunakan untuk membuktikan sifat-sifat angka yang dibatasi oleh lengkok dua bulatan dan membawa nama hippocratic lunula.

cerita

Chu-pei 500–200 SM. Di sebelah kiri terdapat tulisan: jumlah segi empat sama panjang ketinggian dan tapak ialah segi empat sama panjang hipotenus.

Buku Cina purba Chu-pei bercakap tentang segi tiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5: Dalam buku yang sama, lukisan dicadangkan yang bertepatan dengan salah satu lukisan geometri Hindu Baskhara.

Kantor (sejarawan matematik Jerman terbesar) percaya bahawa persamaan 3 ² + 4 ² = 5² telah diketahui oleh orang Mesir sekitar 2300 SM. e., semasa zaman Raja Amenemhet I (menurut papirus 6619 Muzium Berlin). Menurut Cantor, harpedonapts, atau "stringers", membina sudut tegak menggunakan segi tiga tepat dengan sisi 3, 4 dan 5.

Ia sangat mudah untuk menghasilkan semula kaedah pembinaan mereka. Ambil tali sepanjang 12 m dan ikat padanya sepanjang jalur berwarna pada jarak 3 m. dari satu hujung dan 4 meter dari hujung yang lain. Sudut tegak akan ditutup di antara sisi 3 dan 4 meter panjang. Mungkin dibantah oleh Harpedonapts bahawa cara mereka membina menjadi tidak berguna jika seseorang menggunakan, sebagai contoh, dataran kayu yang digunakan oleh semua tukang kayu. Malah, lukisan Mesir diketahui di mana alat sedemikian ditemui, sebagai contoh, lukisan yang menggambarkan bengkel pertukangan.

Lebih banyak diketahui tentang teorem Pythagoras di kalangan orang Babylon. Dalam satu teks sejak zaman Hammurabi, iaitu, hingga 2000 SM. e., pengiraan anggaran hipotenus bagi segi tiga tegak diberikan. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa di Mesopotamia mereka dapat melakukan pengiraan dengan segi tiga bersudut tegak, sekurang-kurangnya dalam beberapa kes. Berdasarkan, di satu pihak, pada tahap pengetahuan semasa matematik Mesir dan Babylon, dan pada satu lagi, pada kajian kritis sumber Yunani, Van der Waerden (seorang ahli matematik Belanda) menyimpulkan perkara berikut:

kesusasteraan

Dalam bahasa Rusia

Skopets Z. A. Miniatur geometri. M., 1990
Yelensky Sh. Mengikuti jejak langkah Pythagoras. M., 1961
Van der Waerden B. L. Ilmu Kebangkitan. Matematik Mesir Purba, Babylon dan Yunani. M., 1959
Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. M., 1982
W. Litzman, "Teorem Pythagoras" M., 1960.
- Tapak mengenai teorem Pythagoras dengan sejumlah besar bukti, bahan itu diambil dari buku oleh W. Litzman, sejumlah besar lukisan dibentangkan sebagai fail grafik yang berasingan.
Teorem Pythagoras dan Pythagoras tiga kali ganda bab dari buku oleh D. V. Anosov "Pandangan pada matematik dan sesuatu daripadanya"
Mengenai teorem Pythagoras dan kaedah pembuktiannya G. Glaser, Ahli Akademik Akademi Pendidikan Rusia, Moscow

Dalam Bahasa Inggeris

Teorem Pythagoras di WolframMathWorld
Cut-The-Knot, bahagian teorem Pythagoras, kira-kira 70 bukti dan maklumat tambahan yang luas (eng.)

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Daripada sejarah isu tersebut

Bukti teorem Pythagoras

Bukti 1

Kenyataan "sebuah segi empat sama yang dibina di atas hipotenus segi tiga tegak adalah sama dengan jumlah segi empat sama yang dibina pada kakinya" boleh digambarkan dengan lukisan berikut:

Bukti 2

Kaedah ini menggabungkan algebra dan geometri dan boleh dilihat sebagai varian bukti India purba tentang ahli matematik Bhaskari.

Dalam petak pertama, bina empat segi tiga yang sama seperti dalam Rajah 1. Hasilnya, dua petak diperolehi: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi b.

Dalam segi empat sama kedua, empat segi tiga serupa dibina membentuk segi empat sama dengan sisi yang sama dengan hipotenus c.

Bukti 3

Tetapi kami akan menganalisis bukti ini dengan lebih terperinci:

Bukti 4

Bukti Cina kuno yang ingin tahu ini dipanggil "Kerusi Pengantin" - kerana bentuk seperti kerusi yang terhasil daripada semua binaan:

Pembinaan ini membolehkan ahli matematik Cina purba dan kami yang mengikuti mereka membuat kesimpulan bahawa c2=a2+b2.

Bukti 5

Ini adalah satu lagi cara untuk mencari penyelesaian kepada teorem Pythagoras berdasarkan geometri. Ia dipanggil Kaedah Garfield.

Bina segi tiga tepat ABC. Kita perlu membuktikannya BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Untuk membuktikan menara itu, kami sekali lagi menggunakan kaedah yang telah kami uji: kami mencari luas angka yang terhasil dalam dua cara dan menyamakan ungkapan antara satu sama lain.

Beberapa perkataan tentang kembar tiga Pythagoras

Jadi apakah kembar tiga Pythagoras? Jadi dipanggil nombor asli, dikumpul dalam tiga, jumlah kuasa dua dua daripadanya adalah sama dengan nombor ketiga kuasa dua.

Rangkap tiga Pythagoras boleh menjadi:

primitif (ketiga nombor adalah relatif perdana);
bukan primitif (jika setiap nombor tiga kali ganda didarab dengan nombor yang sama, anda mendapat tiga kali ganda baharu yang bukan primitif).

Aplikasi praktikal teorem

Teorem Pythagoras mendapati aplikasi bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam seni bina dan pembinaan, astronomi, dan juga kesusasteraan.

Pertama, mengenai pembinaan: teorem Pythagoras digunakan secara meluas di dalamnya dalam masalah tahap kerumitan yang berbeza. Sebagai contoh, lihat tetingkap Romanesque:

Cahaya kebenaran tidak akan segera hilang,
Tetapi, setelah bersinar, ia tidak mungkin hilang
Dan, seperti beribu-ribu tahun yang lalu,
Tidak akan menimbulkan keraguan dan pertikaian.

Paling bijak apabila menyentuh mata
Cahaya kebenaran, terima kasih kepada tuhan;
Dan seratus lembu jantan, ditikam, berbohong -
Hadiah pulangan Pythagoras yang bertuah.

Sejak itu, lembu jantan telah mengaum dengan terdesak:
Selamanya membangkitkan puak lembu jantan
peristiwa yang disebut di sini.

Mereka fikir sudah tiba masanya
Dan sekali lagi mereka akan dikorbankan
Beberapa teorem yang hebat.

(diterjemah oleh Viktor Toporov)

Kesimpulan

Pertama, maklumat ini akan membolehkan anda menuntut markah yang lebih tinggi dalam kelas matematik - maklumat tentang subjek daripada sumber tambahan sentiasa sangat dihargai.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Teorem Pythagoras- salah satu teorem asas geometri Euclidean, mewujudkan hubungan

antara sisi segi tiga tegak.

Adalah dipercayai bahawa ia telah dibuktikan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras, yang dinamakan sempena namanya.

Rumusan geometri teorem Pythagoras.

Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:

Dalam segi tiga tegak, luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah luas segi empat sama,

dibina di atas kateter.

Rumusan algebra bagi teorem Pythagoras.

Dalam segi tiga tegak, kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki.

Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b:

Kedua-dua formulasi teorem pythagoras adalah setara, tetapi rumusan kedua adalah lebih asas, ia tidak

memerlukan konsep kawasan. Maksudnya, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang kawasan dan

dengan hanya mengukur panjang sisi segi tiga tegak.

Teorem Pythagoras songsang.

Jika segi empat sama satu sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, maka

segi tiga ialah segi empat tepat.

Atau, dengan kata lain:

Untuk sebarang tiga kali ganda nombor positif a, b dan c, seperti itu

terdapat segi tiga tepat dengan kaki a dan b dan hipotenus c.

Teorem Pythagoras bagi segi tiga sama kaki.

Teorem Pythagoras untuk segi tiga sama sisi.

Bukti teorem Pythagoras.

Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin teorem

Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Kepelbagaian sedemikian

hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.

Sudah tentu, secara konsep, kesemuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal di antara mereka:

bukti kepada kaedah kawasan, aksiomatik dan bukti eksotik(sebagai contoh,

dengan menggunakan persamaan pembezaan).

1. Bukti teorem Pythagoras dari segi segi tiga yang serupa.

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina

terus dari aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.

biarlah ABC terdapat segi tiga bersudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan menandakan

asasnya melalui H.

Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga AB C pada dua penjuru. Begitu juga segi tiga CBH serupa ABC.

Dengan memperkenalkan notasi:

kita mendapatkan:

yang sepadan -

Setelah dilipat a 2 dan b 2, kita dapat:

atau , yang perlu dibuktikan.

2. Bukti teorem Pythagoras dengan kaedah luas.

Bukti-bukti berikut, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Kesemuanya

gunakan sifat kawasan, buktinya lebih rumit daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui ekuipelengkap.

Susun empat segi empat sama

segi tiga seperti yang ditunjukkan dalam gambar

di sebelah kanan.

Segiempat dengan sisi c- persegi,

kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan

sudut yang dibangunkan ialah 180°.

Luas keseluruhan rajah adalah, di satu pihak,

luas segi empat sama dengan sisi ( a+b), dan sebaliknya, hasil tambah luas empat segi tiga dan

Q.E.D.

3. Bukti teorem Pythagoras dengan kaedah infinitesimal.

Memandangkan lukisan yang ditunjukkan dalam rajah, dan

melihat perubahan sisia, kita boleh

tulis hubungan berikut untuk infiniti

kecil kenaikan sampinganDengan dan a(menggunakan persamaan

segi tiga):

Dengan menggunakan kaedah pengasingan pembolehubah, kita dapati:

Ungkapan yang lebih umum untuk menukar hipotenus dalam kes kenaikan kedua-dua kaki:

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan syarat awal, kami memperoleh:

Oleh itu, kami sampai pada jawapan yang dikehendaki:

Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh linear

perkadaran antara sisi segi tiga dan kenaikan, manakala hasil tambah adalah berkaitan dengan bebas

sumbangan daripada kenaikan kaki yang berbeza.

Bukti yang lebih mudah boleh diperolehi jika kita mengandaikan bahawa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan

(dalam kes ini, kaki b). Kemudian untuk pemalar penyepaduan kita dapat: