Bahan teori.

Seperti yang diketahui, fungsi yang diberikan secara tersirat bagi satu pembolehubah ditakrifkan seperti berikut: fungsi y bagi pembolehubah tidak bersandar x dipanggil tersirat jika ia diberikan oleh persamaan yang tidak diselesaikan berkenaan dengan y:

Contoh 1.11.

Persamaan

secara tersirat menyatakan dua fungsi:

Dan persamaan

tidak menyatakan sebarang fungsi.

Teorem 1.2 (kewujudan fungsi tersirat).

Biarkan fungsi z =f(x,y) dan terbitan separanya f"x dan f"y ditakrifkan dan berterusan dalam sesetengah kejiranan UM0 bagi titik M0(x0y0). Di samping itu, f(x0,y0)=0 dan f"(x0,y0)≠0, maka persamaan (1.33) mentakrifkan dalam kejiranan UM0 fungsi tersirat y= y(x), berterusan dan boleh dibezakan dalam beberapa selang D dengan pusat pada titik x0, dan y(x0)=y0.

Tiada bukti.

Daripada Teorem 1.2 ia mengikuti bahawa pada selang D ini:

iaitu terdapat identiti dalam

di mana terbitan "jumlah" didapati mengikut (1.31)

Iaitu, (1.35) memberikan formula untuk mencari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat bagi satu pembolehubah x.

Fungsi tersirat bagi dua atau lebih pembolehubah ditakrifkan secara serupa.

Sebagai contoh, jika di beberapa kawasan V ruang Oxyz persamaannya ialah:

maka dalam keadaan tertentu pada fungsi F ia secara tersirat mentakrifkan fungsi itu

Selain itu, dengan analogi dengan (1.35), terbitan separanya didapati seperti berikut:

Contoh 1.12. Dengan mengandaikan bahawa persamaan

mentakrifkan fungsi secara tersirat

cari z"x, z"y.

oleh itu, menurut (1.37), kita mendapat jawapannya.

11.Penggunaan terbitan separa dalam geometri.

12. Ekstrema fungsi dua pembolehubah.

Konsep maksimum, minimum dan ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah adalah serupa dengan konsep sepadan bagi fungsi satu pembolehubah tidak bersandar (lihat bahagian 25.4).

Biarkan fungsi z = ƒ(x;y) ditakrifkan dalam beberapa domain D, titik N(x0;y0) О D.

Titik (x0;y0) dipanggil titik maksimum bagi fungsi z=ƒ(x;y) jika terdapat kejiranan d bagi titik (x0;y0) supaya bagi setiap titik (x;y) berbeza daripada (xo;yo), dari kejiranan ini terdapat ketidaksamaan ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Titik minimum fungsi ditentukan dengan cara yang sama: untuk semua titik (x; y) selain daripada (x0; y0), dari kejiranan d titik (xo; yo) ketaksamaan berikut berlaku: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

Dalam Rajah 210: N1 ialah titik maksimum, dan N2 ialah titik minimum bagi fungsi z=ƒ(x;y).

Nilai fungsi pada titik maksimum (minimum) dipanggil maksimum (minimum) fungsi. Maksimum dan minimum fungsi dipanggil extrema.

Ambil perhatian bahawa, mengikut takrifan, titik ekstrem fungsi terletak di dalam domain takrifan fungsi; maksimum dan minimum mempunyai watak tempatan (tempatan): nilai fungsi pada titik (x0; y0) dibandingkan dengan nilainya pada titik yang cukup hampir dengan (x0; y0). Di rantau D, fungsi mungkin mempunyai beberapa ekstrem atau tiada.

46.2. Perlu dan syarat yang mencukupi melampau

Mari kita pertimbangkan syarat kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi.

Teorem 46.1 (syarat yang diperlukan untuk ekstrem). Jika pada titik N(x0;y0) fungsi boleh beza z=ƒ(x;y) mempunyai ekstrem, maka terbitan separanya pada titik ini adalah sama dengan sifar: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Mari kita betulkan salah satu pembolehubah. Mari kita letakkan, sebagai contoh, y=y0. Kemudian kita memperoleh fungsi ƒ(x;y0)=φ(x) bagi satu pembolehubah, yang mempunyai ekstrem pada x = x0. Oleh itu, mengikut syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah (lihat bahagian 25.4), φ"(x0) = 0, iaitu ƒ"x(x0;y0)=0.

Begitu juga, boleh ditunjukkan bahawa ƒ"y(x0;y0) = 0.

Secara geometri, kesamaan ƒ"x(x0;y0)=0 dan ƒ"y(x0;y0)=0 bermakna pada titik ekstrem fungsi z=ƒ(x;y) satah tangen ke permukaan yang mewakili fungsi ƒ(x;y) ), adalah selari dengan satah Oksi, kerana persamaan satah tangen ialah z=z0 (lihat formula (45.2)).

Z nota. Fungsi boleh mempunyai ekstrem pada titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud. Sebagai contoh, fungsi mempunyai maksimum pada titik O(0;0) (lihat Rajah 211), tetapi tidak mempunyai terbitan separa pada ketika ini.

Titik di mana derivatif separa tertib pertama bagi fungsi z ≈ ƒ(x; y) adalah sama dengan sifar, iaitu f"x=0, f"y=0, dipanggil titik pegun bagi fungsi z.

Titik pegun dan titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud dipanggil titik kritikal.

Pada titik kritikal, fungsi mungkin mempunyai ekstrem atau tidak. Kesamaan derivatif separa kepada sifar adalah syarat yang perlu tetapi tidak mencukupi untuk kewujudan ekstrem. Pertimbangkan, sebagai contoh, fungsi z = xy. Untuk itu, titik O(0; 0) adalah kritikal (padanya z"x=y dan z"y - x lenyap). Walau bagaimanapun, fungsi z=xy tidak mempunyai ekstrem di dalamnya, kerana dalam kejiranan yang cukup kecil pada titik O(0; 0) terdapat titik yang z>0 (titik suku pertama dan ketiga) dan z< 0 (точки II и IV четвертей).

Oleh itu, untuk mencari ekstrem fungsi dalam kawasan tertentu, adalah perlu untuk menundukkan setiap titik kritikal fungsi tersebut kepada penyelidikan tambahan.

Teorem 46.2 (syarat yang mencukupi untuk ekstrem). Biar masuk titik pegun(xo;y0) dan beberapa kejiranannya, fungsi ƒ(x;y) mempunyai terbitan separa berterusan sehingga termasuk urutan kedua. Mari kita hitung pada titik (x0;y0) nilai-nilai A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Mari kita nyatakan

1. jika Δ > 0, maka fungsi ƒ(x;y) pada titik (x0;y0) mempunyai ekstrem: maksimum jika A< 0; минимум, если А > 0;

2. jika Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Dalam kes Δ = 0, mungkin terdapat atau mungkin tidak ekstrem pada titik (x0;y0). Lebih banyak kajian diperlukan.

TUGASAN

Contoh. Cari selang bagi fungsi meningkat dan menurun. Penyelesaian. Langkah pertama ialah mencari domain definisi fungsi. Dalam contoh kami, ungkapan dalam penyebut tidak sepatutnya pergi ke sifar, oleh itu, . Mari kita beralih kepada fungsi derivatif: Untuk menentukan selang peningkatan dan penurunan fungsi berdasarkan kriteria yang mencukupi, kita menyelesaikan ketaksamaan pada domain takrifan. Mari kita gunakan generalisasi kaedah selang. Satu-satunya punca sebenar pengangka ialah x = 2, dan penyebutnya pergi ke sifar pada x = 0. Titik-titik ini membahagikan domain definisi kepada selang di mana terbitan fungsi mengekalkan tandanya. Mari kita tandai titik-titik ini pada garis nombor. Kami secara konvensional menyatakan dengan tambah dan tolak selang di mana terbitan adalah positif atau negatif. Anak panah di bawah secara skematik menunjukkan peningkatan atau penurunan fungsi pada selang yang sepadan. Oleh itu, Dan . Pada titik itu x = 2 fungsi itu ditakrifkan dan berterusan, jadi ia harus ditambah kepada kedua-dua selang peningkatan dan penurunan. Pada titik itu x = 0 fungsi tidak ditakrifkan, jadi kami tidak memasukkan titik ini dalam selang yang diperlukan. Kami membentangkan graf fungsi untuk membandingkan keputusan yang diperolehi dengannya. Jawapan: fungsi bertambah dengan , berkurangan pada selang waktu (0; 2] .

Contoh.

Tetapkan selang cembung dan cekung sesuatu lengkung y = 2 – x 2 .

Kami akan mencari y"" dan tentukan di mana terbitan kedua adalah positif dan di mana ia negatif. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. y"" = e Kerana x x > 0 untuk mana-mana

y = x 3 . y"" = 6x, maka lengkung itu cekung di mana-mana. y"" < 0 при x < 0 и y, Itu x"" > 0 pada x < 0 кривая выпукла, а при x> 0. Oleh itu, apabila

4. > 0 ialah cekung. Diberi fungsi z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j dan titik A(3,2). Cari dz/dl (seperti yang saya faham, terbitan fungsi dalam arah vektor), gradz(A), |gradz(A)|. Mari kita cari terbitan separa: z(berkaitan dengan x)=2x+5 z(berkenaan dengan y)=-2y+4 Mari kita cari nilai terbitan di titik A(3,2): z(dengan berkenaan dengan x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(oleh y)(3,2)=-2*2+4=0 Dari mana, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Terbitan fungsi z dalam arah vektor l: dz/dl=z(dalam x)*cosa+z(dalam y)*cosb , a, b-sudut vektor

Biarkan fungsi dinyatakan secara tersirat menggunakan persamaan
(1) .
Dan biarkan persamaan ini, untuk nilai tertentu, mempunyai penyelesaian yang unik.
.
Biarkan fungsi itu menjadi fungsi boleh beza pada titik , dan
(2) .

Kemudian, pada nilai ini, terdapat derivatif, yang ditentukan oleh formula:

Bukti
.
Untuk membuktikannya, pertimbangkan fungsi sebagai fungsi kompleks pembolehubah: Mari kita gunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks dan cari terbitan berkenaan dengan pembolehubah dari kiri dan bahagian yang betul
(3) :
.
persamaan
(4) ;
.

Oleh kerana terbitan pemalar ialah sifar dan , maka

Formulanya terbukti.

Derivatif pesanan lebih tinggi
(4) .
Mari kita tulis semula persamaan (4) menggunakan notasi yang berbeza:
;
.
Pada masa yang sama, dan merupakan fungsi kompleks pembolehubah:
(1) .

Kebergantungan ditentukan oleh persamaan (1):
Kami mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah dari sisi kiri dan kanan persamaan (4).
;
.
Menurut formula untuk derivatif fungsi kompleks, kita mempunyai:

.
Mengikut formula derivatif produk:

.

Menggunakan formula jumlah terbitan:
(5) .
Oleh kerana terbitan sebelah kanan persamaan (4) adalah sama dengan sifar, maka

Menggantikan terbitan di sini, kita memperoleh nilai terbitan tertib kedua dalam bentuk tersirat.
.
Membezakan persamaan (5) dengan cara yang sama, kita memperoleh persamaan yang mengandungi terbitan tertib ketiga:

Menggantikan di sini nilai yang ditemui bagi derivatif tertib pertama dan kedua, kita dapati nilai derivatif tertib ketiga.

Meneruskan pembezaan, seseorang boleh mencari terbitan mana-mana susunan.

Contoh

Contoh 1
Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi yang diberikan secara tersirat oleh persamaan: .

(P1)

Penyelesaian dengan formula 2
(2) .

Kami mencari derivatif menggunakan formula (2):
.
Mari kita gerakkan semua pembolehubah ke sebelah kiri supaya persamaan mengambil bentuk .

Dari sini.
;
;
;
.

Kami mendapati terbitan berkenaan dengan , menganggapnya tetap.
;
;
;
.

Kami mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah, dengan mengambil kira pemalar pembolehubah.
.

Menggunakan formula (2) kita dapati:
.
Kita boleh memudahkan keputusan jika kita perhatikan bahawa mengikut persamaan asal (A.1), .
.

Mari kita gantikan:

Darabkan pengangka dan penyebut dengan:

Penyelesaian cara kedua
.
Mari kita selesaikan contoh ini dengan cara kedua. Untuk melakukan ini, kita akan mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah sisi kiri dan kanan persamaan asal (A1).
;
.
Kami memohon:
.
Kami menggunakan formula pecahan terbitan:
Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi yang diberikan secara tersirat oleh persamaan: ;
;
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks:
;
.

Mari bezakan persamaan asal (A1).
.
Kami mendarab dengan dan mengumpulkan istilah.
.

Mari kita gantikan (dari persamaan (A1)):

Darab dengan:

Jawab
Contoh 2 .

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi yang diberikan secara tersirat menggunakan persamaan:

(A2.1)
;
.
Penyelesaian fungsi kompleks.
.

Mari bezakan persamaan asal (A2.1):
;
.
Daripada persamaan asal (A2.1) ia mengikuti bahawa .
.
Mari kita gantikan:
;
Buka kurungan dan kumpulkan ahli: .
(A2.2)
Kami mendapati derivatif tertib pertama: .

(A2.3)
;
;
;
.
Untuk mencari terbitan tertib kedua, kita bezakan persamaan (A2.2).
.
Kami mendarab dengan dan mengumpulkan istilah.

;
.
Mari kita gantikan ungkapan untuk terbitan tertib pertama (A2.3):

Mari kita gantikan (dari persamaan (A1)):

Dari sini kita dapati derivatif tertib kedua.

Contoh 3
Cari terbitan tertib ketiga bagi fungsi yang diberikan secara tersirat menggunakan persamaan: .

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi yang diberikan secara tersirat menggunakan persamaan:

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Kami membezakan persamaan asal berkenaan dengan pembolehubah, dengan mengandaikan bahawa ia adalah fungsi . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Mari kita bezakan persamaan (A3.2) berkenaan dengan pembolehubah . .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Mari kita bezakan persamaan (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

Daripada persamaan (A3.2), (A3.3) dan (A3.4) kita dapati nilai terbitan pada . x Dan y Kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi yang dinyatakan secara tersirat, iaitu, ditentukan oleh persamaan tertentu yang menghubungkan pembolehubah

. Contoh fungsi yang dinyatakan secara tersirat: Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat, atau derivatif fungsi tersirat

, didapati agak mudah. Sekarang mari kita lihat peraturan dan contoh yang sepadan, dan kemudian ketahui mengapa ini diperlukan sama sekali.

Untuk mencari derivatif bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat, anda perlu membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x. Sebutan yang hanya X hadir akan bertukar menjadi terbitan biasa bagi fungsi daripada X. Dan istilah dengan permainan mesti dibezakan menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks, kerana permainan adalah fungsi X. Secara ringkasnya, terbitan terhasil bagi istilah dengan x sepatutnya menghasilkan: terbitan fungsi daripada y didarab dengan terbitan daripada y. Sebagai contoh, terbitan istilah akan ditulis sebagai , terbitan istilah akan ditulis sebagai . Seterusnya, daripada semua ini, anda perlu menyatakan "strok permainan" ini dan terbitan yang dikehendaki bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat akan diperolehi. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Contoh 1.

Penyelesaian. Kami membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x, dengan mengandaikan bahawa i ialah fungsi x:

Dari sini kita mendapat derivatif yang diperlukan dalam tugas: Sekarang sesuatu tentang sifat samar-samar fungsi yang dinyatakan secara tersirat, dan mengapa peraturan khas untuk pembezaan mereka diperlukan. Dalam sesetengah kes, anda boleh mengesahkan bahawa penggantian masuk persamaan yang diberikan

(lihat contoh di atas) dan bukannya y, ungkapannya melalui x membawa kepada fakta bahawa persamaan ini menjadi identiti. Jadi. Persamaan di atas secara tersirat mentakrifkan fungsi berikut:

Ungkapan yang kami gantikan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan untuk permainan.

Jika kita hendak membezakan fungsi eksplisit yang sepadan

maka kita akan mendapat jawapan seperti dalam contoh 1 - daripada fungsi yang dinyatakan secara tersirat:

Tetapi tidak setiap fungsi yang dinyatakan secara tersirat boleh diwakili dalam bentuk y = f(x) . Jadi, sebagai contoh, fungsi yang dinyatakan secara tersirat

tidak dinyatakan melalui fungsi asas, iaitu, persamaan ini tidak boleh diselesaikan berkenaan dengan pemain. Oleh itu, terdapat peraturan untuk membezakan fungsi yang dinyatakan secara tersirat, yang telah kita pelajari dan akan terus digunakan secara konsisten dalam contoh lain.

Contoh 2. Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Kami menyatakan perdana dan - pada output - terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat:

Contoh 3. Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Penyelesaian. Kami membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x:

Contoh 4. Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Penyelesaian. Kami membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x:

Kami menyatakan dan memperoleh terbitan:

Contoh 5. Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Penyelesaian. Kami memindahkan istilah di sebelah kanan persamaan ke sebelah kiri dan meninggalkan sifar di sebelah kanan. Kami membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x.

Diberi sistem persamaan

atau secara ringkasF(x, y)=0 (1)

Definisi. Sistem (1) mentakrifkan fungsi yang dinyatakan secara tersiraty= f(x) padaD R n

Jika x D : F(x , f(x)) = 0.

Teorem (kewujudan dan keunikan pemetaan yang ditakrifkan secara tersirat oleh sistem persamaan). biarlah

Kemudian di beberapa kawasan kejirananU (x 0 ) terdapat fungsi unik (peta) yang ditakrifkan dalam kejiranan iniy = f(x), sedemikian rupa

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 dany 0 = f(x 0 ).

Fungsi ini boleh dibezakan secara berterusan dalam beberapa kejiranan titikx 0 .

5. Pengiraan terbitan bagi fungsi tersirat yang ditentukan oleh sistem persamaan

Memandangkan sistem

(1)

Kami akan menganggap bahawa syarat kewujudan dan teorem keunikan bagi fungsi tersirat yang ditentukan oleh sistem persamaan ini dipenuhi. Mari kita nyatakan fungsi ini y= f(x) . Kemudian dalam beberapa kejiranan titik x 0 identiti adalah sah

(F(x, f(x))=0) (2)

Membezakan identiti ini dengan x j kita dapat

=0 (3)

Persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk matriks

, (3)

atau dalam bentuk yang diperluaskan

Perhatikan bahawa peralihan daripada kesaksamaan F(x, f(x))=0 Kepada
, sepadan dengan peraturan pembezaan untuk kes apabila x Dan y ialah titik ruang satu dimensi. Matriks mengikut keadaan tidak merosot, oleh itu persamaan matriks
mempunyai penyelesaian
. Dengan cara ini anda boleh mencari derivatif separa tertib pertama bagi fungsi tersirat . Untuk mencari pembezaan kita nyatakan

dy = ,dx = , membezakan persamaan (2) kita dapat

=0 ,

atau dalam bentuk matriks

. (4)

Dikembangkan

Sama seperti dalam kes derivatif separa, formula (4) kita mempunyai bentuk yang sama seperti untuk kes ruang satu dimensi n=1, hlm=1. Penyelesaian kepada persamaan matriks ini akan ditulis dalam bentuk
. Untuk mencari derivatif separa tertib kedua, adalah perlu untuk membezakan identiti (3) (untuk mengira pembezaan tertib kedua, anda perlu membezakan identiti (4) ). Oleh itu, kita mendapat

melalui mana A istilah yang tidak mengandungi yang diperlukan ditunjukkan
.

Matriks pekali sistem ini untuk menentukan derivatif
berfungsi sebagai matriks Jacobian .

Formula yang serupa boleh didapati untuk pembezaan. Dalam setiap kes ini ia akan berubah persamaan matriks dengan matriks pekali yang sama dalam sistem persamaan untuk menentukan derivatif atau pembezaan yang dikehendaki. Perkara yang sama akan berlaku semasa pembezaan berikut.

Contoh 1. Cari ,,pada titik u=1, v=1.

Penyelesaian. Bezakan persamaan yang diberi

(5)

Perhatikan bahawa mengikut rumusan masalah, kita harus mempertimbangkan pembolehubah bebas x, y. Kemudian fungsi akan menjadi z, u, v. Oleh itu, sistem (5) harus diselesaikan mengenai perkara yang tidak diketahui du, dv, dz . Dalam bentuk matriks ia kelihatan seperti ini

Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan peraturan Cramer. Penentu matriks pekali

, Penentu "digantikan" ketiga untuk dz akan sama (kami mengiranya dengan mengembangkan pada lajur terakhir)

, Kemudian

dz =
, Dan
,
.

Jom bezakan (5) sekali lagi ( x, y – pembolehubah bebas)

Matriks pekali sistem adalah sama, penentu ketiga

Menyelesaikan sistem ini, kami memperoleh ungkapan untuk d 2 z di mana anda boleh mencari derivatif yang dikehendaki.

Fungsi tersirat ditakrifkan oleh sistem persamaan

Diberi sistem persamaan

atau secara ringkas F(x,y)= 0. (6.7)

Definisi. Sistem(6.7)mentakrifkan secara tersirat fungsi yang diberikan y=f(x)pada DÌR n

jika "xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Teorem (kewujudan dan keunikan pemetaan yang ditakrifkan secara tersirat oleh sistem persamaan).biarlah

1) F i(x,y)daripada (6.4) ditakrifkan dan mempunyai terbitan separa berterusan bagi tertib pertama, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) di sekitar U(M 0)mata M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Kemudian di beberapa kawasan kejiranan U(x 0)terdapat fungsi unik (peta) yang ditakrifkan dalam kejiranan ini y = f(x), seperti itu

"xО U(x 0) :F(x, f(x))=0dan y 0 = f(x 0).

Fungsi ini boleh dibezakan secara berterusan dalam beberapa kejiranan titik x 0 .

Memandangkan sistem

Kami akan menganggap bahawa syarat kewujudan dan teorem keunikan bagi fungsi tersirat yang ditentukan oleh sistem persamaan ini dipenuhi. Mari kita nyatakan fungsi ini y=f(x) . Kemudian dalam beberapa kejiranan titik x 0 identiti adalah sah

Membezakan identiti ini dengan x j kita dapat

= 0.(6.9)

Persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk matriks

atau dalam bentuk yang diperluaskan

Perhatikan bahawa peralihan daripada kesaksamaan F(x, f(x))=0k , sepadan dengan peraturan pembezaan untuk kes apabila x Dan y ialah titik ruang satu dimensi. Dengan syarat, matriks tidak tunggal, jadi persamaan matriks mempunyai penyelesaian. Dengan cara ini, adalah mungkin untuk mencari derivatif separa urutan pertama bagi fungsi tersirat. Untuk mencari pembezaan kita nyatakan

dy = , dx =, membezakan kesamaan (6.8), kita perolehi

atau dalam bentuk matriks

Dikembangkan

Sama seperti dalam kes terbitan separa, formula (6.10) mempunyai bentuk yang sama seperti untuk kes ruang satu dimensi n= 1, p= 1. Penyelesaian kepada persamaan matriks ini akan ditulis dalam bentuk. Untuk mencari derivatif separa tertib kedua, anda perlu membezakan identiti (6.9) (untuk mengira pembezaan tertib kedua, anda perlu membezakan identiti (6.10)). Oleh itu, kita mendapat

melalui mana A istilah yang tidak mengandungi yang diperlukan ditunjukkan.

Matriks pekali sistem ini untuk menentukan derivatif ialah matriks Jacobian.

Formula yang serupa boleh didapati untuk pembezaan. Dalam setiap kes ini, persamaan matriks akan diperolehi dengan matriks pekali yang sama dalam sistem persamaan untuk menentukan derivatif atau pembezaan yang dikehendaki. Perkara yang sama akan berlaku semasa pembezaan berikut.

Penyelesaian. Bezakan persamaan yang diberi

Perhatikan bahawa daripada keadaan masalah, kita harus mempertimbangkan pembolehubah bebas x, y. Kemudian fungsi akan menjadi z, u, v. Oleh itu, sistem (6.11) harus diselesaikan berkenaan dengan yang tidak diketahui du, dv, dz. Dalam bentuk matriks ia kelihatan seperti ini

Mari selesaikan sistem ini menggunakan peraturan Cramer. Penentu matriks pekali

Penentu "digantikan" ketiga untuk dz akan sama (kami mengiranya dengan mengembangkan pada lajur terakhir)

dz = , Dan, .

Mari kita bezakan (6.11) sekali lagi ( x, y – pembolehubah bebas)

Matriks pekali sistem adalah sama, penentu ketiga

Menyelesaikan sistem ini, kami memperoleh ungkapan untuk d 2 z di mana anda boleh mencari derivatif yang dikehendaki.

6.3. Pemetaan yang boleh dibezakan

Pemetaan terbitan. Paparan biasa. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk pergantungan fungsi.