Kuliah teori keanjalan. Asas teori keanjalan

Penciptaan teori keanjalan dan keplastikan sebagai cabang mekanik bebas didahului oleh karya saintis abad ke-17 dan ke-18 Malah pada awal abad ke-17. G. Galileo (1564-1642) membuat percubaan untuk menyelesaikan masalah regangan dan lenturan rasuk. Dia adalah salah seorang yang pertama cuba menggunakan pengiraan untuk masalah kejuruteraan awam.

Teori lenturan rod elastik nipis telah dikaji oleh saintis cemerlang seperti E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomb, L. Euler, dan pembentukan teori keanjalan sebagai sains boleh dikaitkan dengan karya R. Gun, T. Jung, J.L. Lagrange, S. Germain.

Robert Hooke (1635-1703) meletakkan asas bagi mekanik badan elastik dengan menerbitkan pada tahun 1678 r. kerja di mana dia menerangkan hukum perkadaran antara beban dan ubah bentuk tegangan yang dia wujudkan. Thomas Young (1773-1829) pada awal abad ke-19. memperkenalkan konsep modulus keanjalan dalam tegangan dan mampatan. Beliau juga mewujudkan perbezaan antara ubah bentuk tegangan atau mampatan dan ubah bentuk ricih. Karya Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dan Sophie Germain (1776-1831) bermula pada masa ini. Mereka menemui penyelesaian kepada masalah lenturan dan getaran plat elastik. Selepas itu, teori plat telah diperbaiki oleh S. Poisson dan 781-1840) dan L. Navier (1785-1836).

Jadi, pada akhir abad ke-18 dan permulaan abad ke-19. asas kekuatan bahan diletakkan dan tanah dicipta untuk kemunculan teori keanjalan. Perkembangan pesat teknologi menimbulkan sejumlah besar masalah praktikal untuk matematik, yang membawa kepada perkembangan pesat teori. Salah satu daripada banyak masalah penting ialah masalah mengkaji sifat bahan elastik. Penyelesaian kepada masalah ini memungkinkan untuk mengkaji dengan lebih mendalam dan sepenuhnya daya dalaman dan ubah bentuk yang timbul dalam badan elastik di bawah pengaruh daya luaran.

Tarikh asal teori keanjalan matematik harus dipertimbangkan 1821, apabila karya L. Navier diterbitkan, di mana persamaan asas telah dirumuskan.

Kesukaran matematik yang hebat dalam menyelesaikan masalah dalam teori keanjalan menarik perhatian ramai ahli matematik cemerlang abad ke-19: Lame, Clapeyron, Poisson, dll. Teori keanjalan dikembangkan lagi dalam karya ahli matematik Perancis O. Cauchy ( 1789-1857), yang memperkenalkan konsep ubah bentuk dan voltan, dengan itu memudahkan terbitan persamaan am.

Pada tahun 1828, radas asas teori keanjalan matematik mendapati penyelesaiannya dalam karya saintis dan jurutera Perancis G. Lame (1795-1870) dan B. Clapeyron (1799-1864), yang mengajar pada masa itu di Institut Jurutera Keretapi di St. Petersburg. Kerjasama mereka menyediakan aplikasi persamaan am untuk penyelesaian masalah praktikal.

Penyelesaian kepada banyak masalah dalam teori keanjalan menjadi mungkin selepas mekanik Perancis B. Saint-Venant (1797-1886) mengemukakan prinsip yang membawa namanya dan mencadangkan kaedah yang berkesan untuk menyelesaikan masalah dalam teori keanjalan. Meritnya, menurut ahli sains Inggeris terkenal A. Love (1863-1940), juga terletak pada fakta bahawa dia mengaitkan masalah kilasan dan lenturan rasuk dengan teori umum.

Sekiranya ahli matematik Perancis menangani masalah umum teori, maka saintis Rusia memberi sumbangan besar kepada pembangunan sains kekuatan dengan menyelesaikan banyak masalah praktikal yang mendesak. Dari 1828 hingga 1860, saintis cemerlang M. V. Ostrogradsky (1801-1861) mengajar matematik dan mekanik di universiti teknikal St. Kajian beliau tentang getaran yang timbul dalam medium elastik adalah penting untuk pembangunan teori keanjalan. Ostrogradsky melatih galaksi saintis dan jurutera. Antaranya harus dinamakan D.I. Zhuravsky (1821-1891), yang, semasa bekerja pada pembinaan Kereta Api St. Petersburg-Moscow, mencipta bukan sahaja reka bentuk jambatan baru, tetapi juga teori untuk mengira kekuda jambatan, dan juga memperoleh formula untuk tegasan tangen dalam rasuk lentur.

A. V. Gadolin (1828-1892) menggunakan masalah Lame mengenai ubah bentuk axisymmetric paip berdinding tebal untuk mengkaji tegasan yang timbul dalam laras senjata artileri, menjadi salah satu yang pertama menggunakan teori keanjalan kepada masalah kejuruteraan tertentu.

Antara masalah lain yang diselesaikan pada penghujung abad ke-19, perlu diperhatikan karya Kh S. Golovin (1844-1904), yang melakukan pengiraan yang tepat bagi rasuk melengkung menggunakan kaedah teori keanjalan, yang memungkinkan untuk tentukan tahap ketepatan penyelesaian anggaran.

Banyak kredit untuk pembangunan sains kekuatan dimiliki oleh V. L. Kirpichev (1845-1913). Dia berjaya memudahkan pelbagai kaedah untuk mengira struktur tak tentu statik. Beliau adalah orang pertama yang menggunakan kaedah optik untuk penentuan eksperimen voltan dan mencipta kaedah persamaan.

Hubungan rapat dengan amalan pembinaan, integriti dan kedalaman analisis mencirikan sains Soviet. I. G. Bubnov (1872-1919) membangunkan kaedah anggaran baharu untuk menyepadukan persamaan pembezaan, dibangunkan dengan cemerlang oleh B. G. Galerkin (1871-1945). Kaedah variasi Bubnov-Galerkin kini digunakan secara meluas. Kerja-kerja saintis ini dalam teori lenturan plat adalah sangat penting. Meneruskan penyelidikan Galerkin, P.F. Papkovich (1887-1946).

Kaedah untuk menyelesaikan masalah satah dalam teori keanjalan, berdasarkan aplikasi teori fungsi pembolehubah kompleks, telah dicadangkan oleh G.V. Kolosov (1867-1936). Selepas itu, kaedah ini telah dibangunkan dan digeneralisasikan oleh N.I. Muskhelishvili (1891-1976). Beberapa masalah mengenai kestabilan rod dan plat, getaran rod dan cakera, dan teori hentaman dan mampatan badan elastik telah diselesaikan oleh A.N. Dinnik (1876-1950). Karya-karya L.S sangat penting. Leibenzon (1879-1951) mengenai kestabilan keseimbangan elastik rod berpintal panjang, mengenai kestabilan cengkerang sfera dan silinder. Kerja-kerja utama V. Z. Vlasov (1906-1958) mengenai teori umum rod ruang berdinding nipis, sistem terlipat dan cengkerang adalah sangat penting.

Teori keplastikan mempunyai sejarah yang lebih pendek. Teori keplastikan matematik pertama dicipta oleh Saint-Venant pada tahun 70-an abad ke-19. berdasarkan eksperimen jurutera Perancis G. Tresca. Pada awal abad ke-20. R. Mises mengusahakan masalah keplastikan. G. Genki, L. Prandtl, T. Karman. Sejak 30-an abad ke-20, teori keplastikan telah menarik perhatian sekumpulan besar saintis asing terkemuka (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker, dll.). Karya mengenai teori keplastikan oleh saintis Soviet V.V. Sokolovsky, A.Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Alyaeva, L.M. Kachanova. Sumbangan asas kepada penciptaan teori ubah bentuk keplastikan telah dibuat oleh A.A. Ilyushin. A.A. Gvozdev membangunkan teori untuk mengira plat dan cengkerang berdasarkan beban yang merosakkan Teori ini berjaya dibangunkan oleh A.R. Rzhanitsyn.

Teori rayapan sebagai cabang mekanik jasad boleh ubah bentuk telah terbentuk agak baru-baru ini. Kajian pertama dalam bidang ini bermula pada 20-an abad ke-20. Sifat umum mereka ditentukan oleh fakta bahawa masalah rayapan adalah sangat penting untuk kejuruteraan kuasa dan jurutera terpaksa mencari kaedah yang mudah dan cepat untuk menyelesaikan masalah praktikal. Dalam penciptaan teori rayapan, peranan besar dimiliki oleh pengarang yang memberikan sumbangan penting kepada penciptaan teori keplastikan moden. maka kesamaan banyak idea dan pendekatan. Di negara kita, karya pertama mengenai teori mekanikal rayapan adalah milik N.M. Belyaev (1943), K.D. Mirtov (1946), kajian pertama N.N. Malinin, Yu.N. Rabotnova.

Penyelidikan dalam bidang badan elastik-likat telah dijalankan dalam kerja-kerja A.Yu. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. Aplikasi teori ini untuk bahan-bahan penuaan, terutamanya konkrit, diberikan dalam karya N.X. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G.N. Sejumlah besar penyelidikan ke dalam rayapan bahan polimer telah dijalankan oleh pasukan penyelidik di bawah pimpinan A.A. Ilyushina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovsky, G.N. Savina.

Negara Soviet memberi perhatian yang besar kepada sains. Organisasi institut penyelidikan dan penyertaan pasukan besar saintis dalam pembangunan masalah topikal memungkinkan untuk meningkatkan sains Soviet ke tahap yang lebih tinggi.

Dalam tinjauan ringkas tidak mungkin untuk memikirkan lebih terperinci mengenai kerja semua saintis yang menyumbang kepada pembangunan teori keanjalan dan keplastikan. Mereka yang ingin membiasakan diri secara terperinci dengan sejarah perkembangan sains ini boleh merujuk kepada buku teks oleh N.I. Bezukhov, di mana analisis terperinci mengenai peringkat utama dalam pembangunan teori keanjalan dan keplastikan diberikan, serta bibliografi yang luas.

1.1. Hipotesis, prinsip dan definisi asas

Teori tekanan sebagai cabang mekanik kontinum adalah berdasarkan beberapa hipotesis, yang utamanya harus dipanggil hipotesis keadaan tekanan kesinambungan dan semula jadi (latar belakang).

Mengikut hipotesis kesinambungan, semua badan dianggap berterusan sepenuhnya sebelum penggunaan beban (sebelum ubah bentuk) dan selepas tindakannya. Dalam kes ini, mana-mana isipadu badan kekal pepejal (berterusan), termasuk isipadu asas, iaitu, yang tidak terhingga kecil. Dalam hal ini, ubah bentuk badan dianggap sebagai fungsi koordinat yang berterusan apabila bahan badan itu cacat tanpa pembentukan retakan atau lipatan terputus di dalamnya.

Hipotesis keadaan tegasan semula jadi mengandaikan kehadiran tahap awal (latar belakang) ketegangan dalam badan, biasanya diambil sebagai sifar, dan tegasan sebenar yang disebabkan oleh beban luar dianggap sebagai kenaikan tegasan melebihi tahap semula jadi.

Bersama-sama dengan hipotesis utama yang disebutkan di atas, beberapa prinsip asas juga diterima pakai dalam teori tekanan, antaranya, pertama sekali, adalah perlu untuk menyebut endowmen badan dengan keanjalan ideal, isotropi sfera, homogeniti sempurna, dan hubungan linear antara tegasan dan ubah bentuk.

Keanjalan ideal ialah keupayaan bahan yang mengalami ubah bentuk untuk memulihkan bentuk asalnya (saiz dan isipadu) selepas mengeluarkan beban luar (pengaruh luar). Hampir semua batu dan kebanyakan bahan binaan mempunyai beberapa tahap keanjalan bahan ini termasuk kedua-dua cecair dan gas.

Isotropi sfera mengandaikan sifat bahan yang sama dalam semua arah tindakan beban; antipodanya ialah anisotropi, iaitu, ketidaksamaan sifat dalam arah yang berbeza (beberapa kristal, kayu, dll.). Pada masa yang sama, konsep isotropi sfera dan homogeniti tidak boleh dikelirukan: contohnya, struktur kayu homogen dicirikan oleh anisotropi - perbezaan kekuatan pokok di sepanjang dan merentasi gentian. Bahan elastik, isotropik dan homogen dicirikan oleh hubungan linear antara tegasan dan terikan, diterangkan oleh hukum Hooke, yang dibincangkan dalam bahagian buku teks yang sepadan.

Prinsip asas dalam teori tegasan (dan ubah bentuk, antara lain) adalah prinsip tindakan tempatan beban luaran yang seimbang sendiri - prinsip Saint-Venant. Menurut prinsip ini, sistem daya seimbang yang digunakan pada jasad di mana-mana titik (garisan) menyebabkan tekanan dalam bahan yang cepat berkurangan dengan jarak dari tempat di mana beban dikenakan, contohnya, mengikut undang-undang eksponen. Contoh tindakan sedemikian ialah memotong kertas dengan gunting, yang mengubah bentuk (memotong) bahagian yang sangat kecil dari helaian (garisan), manakala selebihnya helaian kertas tidak akan terganggu, iaitu, ubah bentuk tempatan akan berlaku. Penggunaan prinsip Saint-Venant membantu memudahkan pengiraan matematik apabila menyelesaikan masalah menganggarkan VAT dengan menggantikan beban tertentu yang sukar untuk diterangkan secara matematik dengan yang lebih mudah, tetapi setara.

Bercakap tentang subjek kajian dalam teori tekanan, adalah perlu untuk memberikan definisi tekanan itu sendiri, yang difahami sebagai ukuran daya dalaman dalam badan, dalam bahagian tertentu daripadanya, diedarkan ke bahagian yang sedang dipertimbangkan dan mengatasi beban luaran. Dalam kes ini, tegasan yang bertindak pada kawasan melintang dan berserenjang dengannya dipanggil normal; Oleh itu, tegasan selari dengan kawasan ini atau menyentuhnya akan menjadi tangen.

Pertimbangan teori tekanan dipermudahkan dengan memperkenalkan andaian berikut, yang secara praktikal tidak mengurangkan ketepatan penyelesaian yang diperoleh:

Pemanjangan relatif (pemendekan), serta anjakan relatif (sudut ricih) adalah lebih kurang daripada perpaduan;

Anjakan titik badan semasa ubah bentuknya adalah kecil berbanding dengan dimensi linear badan;

Sudut putaran bahagian semasa ubah bentuk lentur badan juga sangat kecil berbanding dengan kesatuan, dan segi empat sama mereka boleh diabaikan berbanding dengan nilai ubah bentuk linear dan sudut relatif.

ASAS TEORI KEANJALAN

MASALAH AXISIMMETRICAL TEORI KEANJALAN

ASAS TEORI KEANJALAN

Peruntukan asas, andaian dan tatatanda Persamaan keseimbangan untuk asas selari dan tetrahedron asas. Tegasan biasa dan ricih di sepanjang pelantar condong

Penentuan tegasan utama dan tegasan tangensial terbesar pada satu titik. Tegasan di sepanjang kawasan oktahedral Konsep anjakan. Kebergantungan antara ubah bentuk dan anjakan. relatif

ubah bentuk linear dalam arah arbitrari Persamaan keserasian ubah bentuk. Hukum Hooke untuk badan isotropik Masalah satah dalam koordinat segi empat tepat Masalah satah dalam koordinat kutub

Penyelesaian yang mungkin untuk masalah dalam teori keanjalan. Penyelesaian kepada masalah dalam anjakan dan tegasan Kehadiran medan suhu. Kesimpulan ringkas mengenai bahagian MASALAH AKSISMETRI MUDAH Persamaan dalam koordinat silinder Persamaan dalam koordinat silinder (bersambung)

Ubah bentuk kapal sfera berdinding tebal Daya tertumpu yang bertindak pada satah

Kes-kes khas memuatkan separuh ruang anjal: beban seragam di atas kawasan bulatan, memuatkan di atas kawasan bulatan di atas "hemisfera", masalah songsang menekan bola yang benar-benar tegar ke dalam separuh anjal. angkasa lepas. Masalah keruntuhan anjal bola PAIP BERDINDING TEBAL

Maklumat am. Persamaan keseimbangan unsur paip Kajian tegasan di bawah tekanan pada salah satu litar. Keadaan kekuatan semasa ubah bentuk anjal Tegasan dalam paip komposit. Konsep pengiraan paip berbilang lapisan Contoh pengiraan

PLAT, MEMBRAN Definisi asas dan hipotesis

Persamaan pembezaan permukaan tengah melengkung plat dalam koordinat segi empat tepat Lentur silinder dan sfera plat

Momen lentur semasa lenturan paksisimetri plat bulat. Persamaan pembezaan permukaan tengah melengkung bagi plat bulatan keadaan sempadan dalam plat bulat. Tegasan dan pesongan terbesar. Syarat kekuatan. Tegasan suhu dalam plat

Penentuan daya dalam membran. Daya rantai dan tekanan. Anggaran penentuan pesongan dan tegasan dalam membran bulat Contoh pengiraan Contoh pengiraan (sambungan)

1.1 Asas, andaian dan tatatanda

Teori keanjalan bertujuan untuk mengkaji secara analitik keadaan terikan-tekanan bagi jasad anjal. Penyelesaian yang diperoleh menggunakan andaian rintangan boleh disahkan menggunakan teori keanjalan

bahan, dan had kebolehgunaan penyelesaian ini ditetapkan. Kadang-kadang bahagian teori keanjalan, di mana, seperti dalam kekuatan bahan, persoalan kesesuaian bahagian dipertimbangkan, tetapi menggunakan radas matematik yang agak kompleks (pengiraan plat, cangkang, tatasusunan), dirujuk sebagai teori keanjalan gunaan.

Bab ini menggariskan konsep asas teori keanjalan linear matematik. Aplikasi matematik untuk penerangan fenomena fizikal memerlukan skema mereka. Dalam teori keanjalan matematik, masalah diselesaikan dengan sesedikit mungkin andaian, yang merumitkan teknik matematik yang digunakan untuk penyelesaian. Teori keanjalan linear menganggap wujudnya hubungan linear antara komponen tegasan dan terikan. Untuk beberapa bahan (getah, beberapa jenis besi tuang), pergantungan sedemikian tidak boleh diterima walaupun pada ubah bentuk kecil: gambar rajah σ - ε dalam julat keanjalan mempunyai garis besar yang sama di bawah pemuatan dan semasa pemunggahan, tetapi dalam kedua-dua kes. ia adalah curvilinear. Apabila mengkaji bahan tersebut, perlu menggunakan kebergantungan teori keanjalan tak linear.

DALAM teori keanjalan linear matematik adalah berdasarkan andaian berikut:

1. Mengenai kesinambungan (continuity) alam sekitar. Dalam kes ini, struktur atom bahan atau kehadiran sebarang lompang tidak diambil kira.

2. Mengenai keadaan semula jadi, berdasarkan keadaan tertekan (cacat) awal badan yang timbul sebelum penggunaan pengaruh daya tidak diambil kira, iaitu diandaikan bahawa pada saat memuatkan badan, ubah bentuk dan tegasan pada mana-mana titik adalah sama dengan sifar. Dengan adanya tegasan awal, andaian ini akan sah hanya jika pergantungan teori keanjalan linear boleh digunakan pada tegasan yang terhasil (jumlah awal dan yang timbul daripada pengaruh).

3. Mengenai homogenitas, atas dasar yang diandaikan bahawa komposisi badan adalah sama di semua titik. Jika berhubung dengan logam andaian ini tidak memberikan ralat yang besar, maka berhubung dengan konkrit apabila mempertimbangkan isipadu kecil ia boleh membawa kepada ralat yang ketara.

4. Pada isotropi sfera, atas dasar yang dipercayai bahawa Sifat mekanikal bahan adalah sama dalam semua arah. Kristal logam tidak mempunyai sifat ini, tetapi untuk logam secara keseluruhan, yang terdiri daripada sejumlah besar kristal kecil, kita boleh menganggap bahawa hipotesis ini adalah sah. Bagi bahan yang mempunyai sifat mekanikal yang berbeza dalam arah yang berbeza, seperti plastik berlamina, teori keanjalan bahan ortotropik dan anisotropik telah dibangunkan.

5. Pada keanjalan yang ideal, atas dasar yang hilang sepenuhnya ubah bentuk diandaikan selepas beban dikeluarkan. Seperti yang diketahui, ubah bentuk sisa berlaku dalam badan sebenar di bawah sebarang beban. Oleh itu andaian

6. Mengenai hubungan linear antara komponen ubah bentuk dan voltan.

7. Pada kekecilan ubah bentuk, atas asasnya diandaikan bahawa ubah bentuk linear dan sudut relatif adalah kecil berbanding dengan perpaduan. Untuk bahan seperti getah, atau elemen seperti spring gegelung, teori ubah bentuk anjal yang besar telah dibangunkan.

Apabila menyelesaikan masalah dalam teori keanjalan, teorem mengenai keunikan penyelesaian digunakan: jika diberi permukaan luar dan daya isipadu berada dalam keseimbangan, ia sepadan dengan satu sistem tegasan dan sesaran. Cadangan tentang keunikan penyelesaian adalah sah hanya jika andaian keadaan semula jadi badan adalah sah (jika tidak, bilangan penyelesaian yang tidak terhingga mungkin) dan andaian hubungan linear antara ubah bentuk dan daya luaran.

Apabila menyelesaikan masalah dalam teori keanjalan, prinsip Saint-Venant sering digunakan: Jika daya luaran yang dikenakan pada kawasan kecil jasad anjal digantikan oleh sistem daya setara statik yang bertindak pada kawasan yang sama (mempunyai vektor utama yang sama dan momen utama yang sama), maka penggantian ini hanya akan menyebabkan perubahan dalam ubah bentuk tempatan.

Pada titik yang cukup jauh dari tempat di mana beban luaran dikenakan, tegasan bergantung sedikit pada kaedah penggunaannya. Beban, yang dalam perjalanan rintangan bahan secara skematik dinyatakan berdasarkan prinsip Saint-Venant dalam bentuk daya atau momen pekat, sebenarnya mewakili tegasan normal dan tangen yang diagihkan dalam satu cara atau yang lain pada kawasan tertentu permukaan badan. Dalam kes ini, daya atau pasangan daya yang sama mungkin sepadan dengan taburan tegasan yang berbeza. Berdasarkan prinsip Saint-Venant, kita boleh mengandaikan bahawa perubahan daya pada bahagian permukaan badan hampir tidak mempunyai kesan ke atas tegasan pada titik yang terletak pada jarak yang cukup besar dari tempat di mana daya ini dikenakan (berbanding dengan dimensi linear bahagian yang dimuatkan).

Kedudukan kawasan yang dikaji, dipilih dalam badan (Rajah 1), ditentukan oleh kosinus arah N normal ke kawasan dalam sistem paksi koordinat segi empat tepat yang dipilih x, y dan z.

Jika P ialah paduan daya dalaman yang bertindak di sepanjang kawasan asas yang diasingkan di titik A, maka jumlah tegasan p N pada titik ini di sepanjang kawasan dengan N normal ditakrifkan sebagai had nisbah dalam

borang berikut:

.

Vektor p N boleh diuraikan dalam ruang kepada tiga komponen yang saling berserenjang.

2. Pada komponen σ N, τ N s dan τ N t dalam arah normal ke tapak (tegasan normal) dan dua paksi saling berserenjang s dan t (Rajah 1,b) terletak pada satah tapak (tegasan tangensial). Menurut Rajah 1, b

Jika bahagian atau kawasan badan adalah selari dengan salah satu satah koordinat, contohnya y0z (Rajah 2), maka normal bagi kawasan ini ialah paksi koordinat ketiga x dan komponen tegasan akan ditetapkan σ x, τ xy dan τ xz.

Tegasan biasa adalah positif jika ia tegangan dan negatif jika ia mampatan. Tanda tegasan ricih ditentukan menggunakan peraturan berikut: jika tegasan normal (tegangan) positif di sepanjang tapak memberikan unjuran positif, maka tangen

tegasan di sepanjang kawasan yang sama dianggap positif dengan syarat ia juga memberikan unjuran positif pada paksi yang sepadan; jika tegasan normal tegangan memberikan unjuran negatif, maka tegasan ricih positif juga harus memberikan unjuran negatif pada paksi yang sepadan.

Dalam Rajah. 3, sebagai contoh, semua komponen tegasan yang bertindak di sepanjang muka paip selari asas yang bertepatan dengan satah koordinat adalah positif.

Untuk menentukan keadaan tegasan pada satu titik jasad kenyal, adalah perlu untuk mengetahui jumlah tegasan p N di atas tiga kawasan saling berserenjang yang melalui titik ini. Oleh kerana setiap jumlah tegasan boleh diuraikan kepada tiga komponen, keadaan tegasan akan ditentukan jika sembilan komponen tegasan diketahui. Komponen ini boleh ditulis sebagai matriks

,

dipanggil matriks komponen tensor tegasan pada satu titik.

Setiap garis mendatar matriks mengandungi tiga komponen tegasan yang bertindak pada satu kawasan, kerana ikon pertama (nama normal) adalah sama. Setiap lajur menegak tensor mengandungi tiga tegasan selari dengan paksi yang sama, kerana ikon kedua mereka (nama paksi selari dengan mana tegasan bertindak) adalah sama.

1.2 Persamaan keseimbangan untuk asas selari

dan tetrahedron asas

Marilah kita pilih satu paip selari asas dengan dimensi tepi dx, dy dan dz pada titik A yang dikaji (dengan koordinat x, y dan z) bagi jasad kenyal bertekanan dengan tiga pasangan satah yang saling berserenjang (Rajah 2). Di sepanjang setiap tiga muka yang saling berserenjang bersebelahan dengan titik A (paling dekat dengan satah koordinat), tiga komponen tegasan akan bertindak - normal dan dua tangen. Kami menganggap bahawa di sepanjang muka bersebelahan dengan titik A mereka adalah positif.

Apabila bergerak dari muka yang melalui titik A ke muka selari, tegasan berubah dan menerima kenaikan. Sebagai contoh, jika sepanjang muka CAD melalui titik A, komponen tegasan σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), kemudian di sepanjang muka selari, disebabkan kenaikan hanya satu koordinat x apabila bergerak dari satu muka ke muka yang lain, akan bertindak

komponen tegasan Adalah mungkin untuk menentukan tegasan pada semua muka parallelepiped asas, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 3.

Sebagai tambahan kepada tegasan yang dikenakan pada muka parallelepiped asas, daya isipadu bertindak ke atasnya: daya berat, daya inersia. Mari kita nyatakan unjuran daya ini per unit isipadu pada paksi koordinat dengan X, Y dan Z. Jika kita samakan dengan sifar hasil tambah unjuran pada paksi x semua daya normal, tangen dan isipadu,

bertindak pada parallelepiped asas, kemudian selepas pengurangan dengan produk dxdydz kita memperoleh persamaan

.

Setelah merangka persamaan yang serupa untuk unjuran daya pada paksi y dan z, kami akan menulis tiga persamaan pembezaan untuk keseimbangan parallelepiped asas, yang diperoleh oleh Cauchy,

Apabila dimensi parallelepiped dikurangkan kepada sifar, ia bertukar menjadi titik, dan σ dan τ mewakili komponen tegasan di sepanjang tiga kawasan saling berserenjang melalui titik A.

Jika kita samakan dengan sifar hasil tambah momen semua daya yang bertindak pada paip selari asas berbanding dengan paksi x c selari dengan paksi x dan melalui pusat gravitinya, kita memperoleh persamaan

atau, dengan mengambil kira hakikat bahawa sebutan kedua dan keempat bagi persamaan tertib yang lebih tinggi adalah kecil berbanding dengan yang lain, selepas pengurangan oleh dxdydz

τ yz - τ zy = 0 atau τ yz = τ zy.

Setelah menyusun persamaan momen yang serupa berbanding dengan paksi pusat y c dan z c , kami memperoleh tiga persamaan untuk hukum pasangan tegasan tangen.

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)

Undang-undang ini dirumuskan seperti berikut: tegasan tangen yang bertindak di sepanjang kawasan saling berserenjang dan diarahkan berserenjang dengan garis persilangan kawasan adalah sama magnitud dan sama dalam tanda.

Oleh itu, daripada sembilan komponen tegasan matriks tensor T σ, enam adalah berpasangan sama antara satu sama lain, dan untuk menentukan keadaan tegasan pada satu titik adalah cukup untuk mencari hanya enam komponen tegasan berikut:

.

Tetapi keadaan keseimbangan yang disusun memberi kita hanya tiga persamaan (1.2), yang mana enam yang tidak diketahui tidak dapat ditemui. Oleh itu, masalah langsung untuk menentukan keadaan tegasan pada satu titik, dalam kes umum, tidak boleh ditentukan secara statik. Untuk mendedahkan ketidakpastian statik ini, kebergantungan geometri dan fizikal tambahan diperlukan.

Marilah kita membedah paip selari asas di titik A dengan satah condong ke mukanya; biarkan N normal pada satah ini mempunyai kosinus arah l, m dan n Rajah geometri yang terhasil (Rajah 4) ialah piramid dengan tapak segi tiga - tetrahedron asas. Kami akan menganggap bahawa titik A bertepatan dengan asal koordinat, dan tiga muka yang saling berserenjang bagi tetrahedron bertepatan dengan satah koordinat.

Komponen tegasan yang bertindak di sepanjang muka tetrahedron ini akan dipertimbangkan

positif. Mereka ditunjukkan dalam Rajah. 4. Mari kita nyatakan dengan , dan unjuran jumlah tegasan p N yang bertindak di sepanjang muka condong tetrahedron BCD pada paksi x, y dan z. Mari kita nyatakan kawasan muka condong BCD sebagai dF. Kemudian kawasan muka АВС akan menjadi dFп, kawasan muka ACD - dFl dan muka АДВ - dFт.

Mari kita cipta persamaan keseimbangan untuk tetrahedron dengan mengunjurkan semua daya yang bertindak di sepanjang mukanya ke paksi x; unjuran daya badan tidak termasuk dalam persamaan unjuran, jadi

sebagai kuantiti tertib kekecilan yang lebih tinggi berbanding dengan unjuran daya permukaan:

Setelah menyusun persamaan untuk unjuran daya yang bertindak pada tetrahedron pada paksi y dan z, kami memperoleh dua lagi persamaan yang serupa. Akibatnya, kita akan mempunyai tiga persamaan keseimbangan untuk tetrahedron asas

Marilah kita membahagikan badan spatial bentuk arbitrari dengan sistem satah saling berserenjang xOy, yOz dan xOz (Rajah 5) kepada beberapa parallelepiped asas. Pada masa yang sama, unsur-unsur asas terbentuk di permukaan badan.

tetrahedrons (bahagian curvilinear permukaan, kerana kecilnya, boleh digantikan dengan satah). Dalam kes ini, p N akan mewakili beban pada permukaan, dan persamaan (1.4) akan mengaitkan beban ini dengan tegasan σ dan τ dalam badan, iaitu, ia akan mewakili keadaan sempadan masalah teori keanjalan. Keadaan yang ditentukan oleh persamaan ini dipanggil keadaan di permukaan.

Perlu diingatkan bahawa dalam teori keanjalan, beban luaran diwakili oleh tegasan normal dan tangensial yang digunakan mengikut beberapa undang-undang untuk kawasan yang bertepatan dengan permukaan badan.

1.3 Tegasan biasa dan ricih sepanjang cerun condong

tapak

Mari kita pertimbangkan sebuah tetrahedron asas ABCD, tiga daripadanya mukanya selari dengan satah koordinat, dan N normal kepada muka keempat membuat sudut dengan paksi koordinat, kosinus yang sama dengan l, m dan n (Rajah 6). ). Kami akan menganggap bahawa komponen tegasan normal dan tangen yang bertindak di sepanjang kawasan yang terletak dalam satah koordinat diberikan, dan kami akan menentukan tegasan pada kawasan BCD. Mari kita pilih sistem baharu paksi koordinat segi empat tepat x 1, y 1 dan z 1, supaya paksi x 1 bertepatan dengan N biasa,

Tugas utama teori keanjalan adalah untuk menentukan keadaan terikan-tekanan mengikut syarat-syarat yang diberikan untuk memuatkan dan mengikat badan.

Keadaan tegasan-terikan ditentukan jika komponen tensor tegasan () dan vektor anjakan, sembilan fungsi, ditemui.

Persamaan asas teori keanjalan

Untuk mencari sembilan fungsi ini, anda perlu menulis persamaan asas teori keanjalan, atau:

Cauchies Berbeza

di manakah komponen tensor bahagian linear ubah bentuk Cauchy;

Komponen tensor terbitan anjakan jejari.

Persamaan keseimbangan pembezaan

di manakah komponen tensor tegasan; - unjuran daya badan ke paksi j.

Hukum Hooke untuk jasad isotropik anjal linear

di manakah pemalar Lame; untuk badan isotropik. Berikut ialah tegasan biasa dan tegasan ricih; ubah bentuk dan sudut ricih, masing-masing.

Persamaan di atas mesti memenuhi kebergantungan Saint-Venant

Dalam teori keanjalan, masalah diselesaikan jika semua persamaan asas dipenuhi.

Jenis masalah dalam teori keanjalan

Keadaan sempadan pada permukaan badan mesti dipenuhi dan, bergantung pada jenis keadaan sempadan, tiga jenis masalah dalam teori keanjalan dibezakan.

Jenis pertama. Daya diberikan pada permukaan badan. Syarat sempadan

Jenis kedua. Masalah di mana anjakan dinyatakan pada permukaan badan. Syarat sempadan

Jenis ketiga. Masalah campuran teori keanjalan. Daya dinyatakan pada bahagian permukaan badan, dan anjakan ditentukan pada bahagian permukaan badan. Syarat sempadan

Masalah langsung dan songsang teori keanjalan

Masalah di mana daya atau anjakan dinyatakan pada permukaan jasad, dan diperlukan untuk mencari keadaan tegangan-tekanan di dalam badan dan apa yang tidak dinyatakan pada permukaan, dipanggil masalah langsung. Jika tegasan, ubah bentuk, anjakan, dsb. dinyatakan di dalam badan, dan anda perlu menentukan apa yang tidak dinyatakan di dalam badan, serta anjakan dan tegasan pada permukaan badan (iaitu, cari sebab yang menyebabkan sedemikian keadaan terikan-tekanan)), maka masalah tersebut dipanggil songsang.

Persamaan teori keanjalan dalam sesaran (Persamaan pincang)

Untuk menentukan persamaan teori keanjalan dalam sesaran, kita tulis: persamaan keseimbangan pembezaan (18) Hukum Hooke untuk jasad isotropik keanjalan linear (19)

Jika kita mengambil kira bahawa ubah bentuk dinyatakan melalui sesaran (17), kita menulis:

Ia juga harus diingat bahawa sudut ricih berkaitan dengan anjakan dengan hubungan berikut (17):

Menggantikan ungkapan (22) ke dalam persamaan pertama bagi kesamaan (19), kita memperoleh bahawa tegasan normal

Ambil perhatian bahawa menulis itz dalam kes ini tidak membayangkan penjumlahan ke atas i.

Menggantikan ungkapan (23) ke dalam persamaan kedua bagi kesamaan (19), kita memperoleh tegasan ricih

Mari kita tulis persamaan keseimbangan (18) dalam bentuk kembang untuk j = 1

Menggantikan ungkapan bagi tegasan normal (24) dan tangen (25) kepada persamaan (26), kita perolehi

di mana l ialah pemalar Lame, yang ditentukan oleh ungkapan:

Mari kita gantikan ungkapan (28) ke dalam persamaan (27) dan tulis,

di mana ditentukan oleh ungkapan (22), atau dalam bentuk dikembangkan

Mari kita bahagikan ungkapan (29) dengan G dan tambah sebutan yang serupa dan dapatkan persamaan Pincang pertama:

di mana ialah pengendali Laplace (pengendali harmonik), yang ditakrifkan sebagai

Begitu juga anda boleh mendapatkan:

Persamaan (30) dan (32) boleh ditulis seperti berikut:

Persamaan (33) atau (30) dan (32) ialah persamaan Lamé. Jika daya isipadu adalah sifar atau malar, maka

Selain itu, tatatanda dalam kes ini tidak membayangkan penjumlahan ke atas i. Di sini

atau, dengan mengambil kira (31)

Menggantikan (22) kepada (34) dan menjalankan transformasi, kita memperoleh

dan oleh itu

di manakah fungsi yang memenuhi persamaan ini. Jika

oleh itu, f ialah fungsi harmonik. Ini bermakna ubah bentuk isipadu juga merupakan fungsi harmonik.

Dengan mengandaikan andaian sebelumnya adalah benar, kami mengambil pengendali harmonik daripada baris ke-i bagi persamaan Lame

Jika daya isipadu adalah sifar atau malar, maka komponen anjakan adalah fungsi biharmonik.

Pelbagai bentuk mewakili fungsi biharmonik melalui yang harmonik (memuaskan persamaan Lamé) diketahui.

di mana k = 1,2,3. Lebih-lebih lagi

Ia boleh ditunjukkan bahawa perwakilan sesaran sedemikian melalui fungsi harmonik menukarkan persamaan Pincang (33) kepada identiti. Mereka sering dipanggil keadaan Popkovich-Grodsky. Empat fungsi harmonik tidak diperlukan, kerana φ0 boleh ditetapkan kepada sifar.

TEORI KEANJALAN– satu cabang mekanik kontinum yang mengkaji anjakan, ubah bentuk dan tegasan jasad semasa diam atau bergerak di bawah pengaruh beban. Tujuan teori ini adalah untuk mendapatkan persamaan matematik, penyelesaiannya membolehkan kita menjawab soalan berikut: apakah ubah bentuk badan tertentu ini jika beban magnitud tertentu dikenakan padanya di tempat yang diketahui? Apakah yang akan menjadi ketegangan dalam badan? Persoalan sama ada badan akan runtuh atau menahan beban ini berkait rapat dengan teori keanjalan, tetapi, secara tegasnya, bukan dalam bidang kuasa teori ini.

Bilangan contoh yang mungkin tidak terhad - daripada menentukan ubah bentuk dan tegasan dalam rasuk yang terletak pada sokongan dan dimuatkan dengan daya, hingga mengira nilai yang sama dalam struktur pesawat, kapal, kapal selam, dalam roda gerabak, dalam perisai apabila terkena peluru, di banjaran gunung apabila melalui adit , dalam bingkai bangunan tinggi, dsb. Kaveat mesti dibuat di sini: struktur yang terdiri daripada elemen berdinding nipis dikira menggunakan teori yang dipermudahkan secara logik berdasarkan teori keanjalan; Teori-teori ini termasuk: teori rintangan bahan kepada beban ("rintangan kekuatan" yang terkenal), tugasnya terutamanya untuk mengira rod dan rasuk; mekanik struktur - pengiraan sistem rod (contohnya, jambatan); dan, akhirnya, teori cengkerang pada asasnya adalah bidang sains yang bebas dan sangat maju tentang ubah bentuk dan tegasan, subjek penyelidikannya adalah elemen struktur yang paling penting - cengkerang berdinding nipis - silinder, kon, sferoid, dan mempunyai bentuk yang lebih kompleks. Oleh itu, dalam teori keanjalan, badan yang dimensi pentingnya tidak terlalu banyak berbeza biasanya dipertimbangkan. Oleh itu, badan elastik bentuk tertentu dipertimbangkan, yang mana daya yang diketahui bertindak.

Konsep asas teori keanjalan adalah tekanan yang bertindak pada kawasan kecil, yang boleh ditarik secara mental di dalam badan melalui titik tertentu. M, ubah bentuk kejiranan kecil suatu titik M dan menggerakkan titik itu sendiri M. Lebih tepat lagi, penegang tekanan diperkenalkan ij, tensor ubah bentuk kecil e ij dan vektor anjakan u i.

Penamaan pendek s ij, di mana indeks i, j mengambil nilai 1, 2, 3 harus difahami sebagai matriks bentuk:

Notasi pendek untuk tensor e harus difahami dengan cara yang sama ij.

Jika titik fizikal badan M disebabkan ubah bentuk, ia mengambil kedudukan baru di angkasa M´, maka vektor anjakan ialah vektor dengan komponen ( u x u y u z), atau, ringkasnya, u i. Dalam teori ubah bentuk kecil komponen u i dan e i dianggap kuantiti yang kecil (secara tegasnya, sangat kecil). Komponen tensor e ij dan vektor u ij dikaitkan dengan formula Cauchy, yang mempunyai bentuk:

Jelas bahawa e xy= e yx, dan, secara amnya, e ij= e ji, jadi tensor terikan adalah simetri mengikut takrifan.

Jika jasad anjal berada dalam keseimbangan di bawah tindakan daya luar (iaitu, halaju semua titiknya adalah sama dengan sifar), maka mana-mana bahagian badan yang boleh diasingkan secara mental daripadanya juga berada dalam keseimbangan. Sebuah kecil (secara tegasnya, infinitesimal) segi empat tepat selari menyerlah dari badan, tepinya selari dengan satah koordinat sistem Cartesian Oxyz(Gamb. 1).

Biarkan tepi parallelepiped mempunyai panjang dx, dy, dz sewajarnya (di sini, seperti biasa dx terdapat perbezaan x, dsb.). Menurut teori tegasan, komponen tensor tegasan bertindak pada muka parallelepiped, yang dilambangkan:

di ambang OADG:s xx, s xy, s xz

di ambang OABC:s yx, s yy, s yz

di ambang DABE:s zx, s zy, s zz

dalam kes ini, komponen dengan indeks yang sama (contohnya s xx) bertindak berserenjang dengan muka, dan dengan indeks yang berbeza - dalam satah tapak.

Pada muka yang bertentangan, nilai komponen tensor tegasan yang sama sedikit berbeza, ini disebabkan oleh fakta bahawa ia adalah fungsi koordinat dan berubah dari satu titik ke titik (sentiasa, kecuali dalam kes paling mudah yang diketahui), dan kekecilan perubahan dikaitkan dengan dimensi kecil parallelepiped, jadi kita boleh mengandaikan bahawa jika di ambang OABC voltan s digunakan yy, kemudian di ambang GDEF voltan s digunakan yy+ds yy, dan nilai kecil ds yy dengan tepat kerana kekecilannya, ia boleh ditentukan menggunakan pengembangan siri Taylor:

(derivatif separa digunakan di sini, kerana komponen tensor tegasan bergantung pada x, y, z).

Begitu juga, tekanan pada semua muka boleh diungkapkan melalui s ij dan ds ij. Seterusnya, untuk berpindah dari tegasan ke daya, anda perlu mendarabkan magnitud tegasan dengan luas kawasan di mana ia bertindak (contohnya, s yy+ds yy darab dengan dx dz). Apabila semua daya yang bertindak pada parallelepiped ditentukan, adalah mungkin, seperti yang dilakukan dalam statik, untuk menuliskan persamaan keseimbangan badan, manakala dalam semua persamaan untuk vektor utama hanya istilah dengan terbitan yang akan kekal, kerana tegasan itu sendiri. membatalkan satu sama lain, dan faktor-faktor dx dy dz berkurangan dan akibatnya

Begitu juga, persamaan keseimbangan diperoleh, menyatakan kesamaan kepada sifar momen utama semua daya yang bertindak pada parallelepiped, yang dikurangkan kepada bentuk:

Kesamaan ini bermakna bahawa tensor tegasan adalah tensor simetri. Oleh itu, untuk 6 komponen yang tidak diketahui s ij terdapat tiga persamaan keseimbangan, i.e. persamaan statik tidak mencukupi untuk menyelesaikan masalah. Jalan keluar ialah dengan menyatakan voltan s ij melalui ubah bentuk e ij menggunakan persamaan hukum Hooke, dan kemudian ubah bentuk e ij menyatakan melalui pergerakan u i menggunakan rumus Cauchy, dan gantikan hasilnya ke dalam persamaan keseimbangan. Ini menghasilkan tiga persamaan keseimbangan pembezaan untuk tiga fungsi yang tidak diketahui u x u y u z, iaitu bilangan yang tidak diketahui adalah sama dengan bilangan persamaan. Persamaan ini dipanggil persamaan Lamé

daya jisim (berat dsb.) tidak diambil kira

D – pengendali Laplace, iaitu

Sekarang anda perlu menetapkan syarat sempadan pada permukaan badan;

Jenis utama syarat ini adalah seperti berikut:

1. Pada bahagian permukaan badan S 1 yang diketahui, anjakan ditentukan, i.e. vektor anjakan adalah sama dengan vektor yang diketahui dengan komponen ( f x; f y ; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– fungsi koordinat yang diketahui)

2. Pada seluruh permukaan S 2 daya permukaan ditentukan. Ini bermakna taburan tegasan di dalam badan adalah sedemikian rupa sehingga nilai tegasan di sekitar permukaan yang terdekat, dan dalam had, pada permukaan di setiap kawasan asas, mewujudkan vektor tegasan yang sama dengan vektor beban luaran yang diketahui dengan komponen ( F x ;Fy ; F z) daya permukaan. Secara matematik ia ditulis seperti ini: jika pada satu titik A permukaan, vektor normal unit ke permukaan ini mempunyai komponen n x, n y, n z maka pada ketika ini kesamaan mesti dipenuhi berkenaan dengan komponen (tidak diketahui) s ij:e ij, maka untuk tiga yang tidak diketahui kita mendapat enam persamaan, iaitu sistem yang terlalu ditentukan. Sistem ini akan mempunyai penyelesaian hanya jika syarat tambahan mengenai e dipenuhi ij. Syarat-syarat ini ialah persamaan keserasian.

Persamaan ini sering dipanggil keadaan kesinambungan, membayangkan bahawa ia memastikan kesinambungan badan selepas ubah bentuk. Ungkapan ini adalah kiasan, tetapi tidak tepat: keadaan ini memastikan kewujudan medan sesaran yang berterusan jika kita menganggap komponen ubah bentuk (atau tegasan) sebagai tidak diketahui. Kegagalan untuk memenuhi syarat ini tidak membawa kepada pelanggaran kesinambungan, tetapi kepada ketiadaan penyelesaian kepada masalah tersebut.

Oleh itu, teori keanjalan menyediakan persamaan pembezaan dan keadaan sempadan yang memungkinkan untuk merumuskan masalah nilai sempadan, penyelesaiannya memberikan maklumat lengkap tentang pengagihan tegasan, terikan dan anjakan dalam badan yang sedang dipertimbangkan. Kaedah untuk menyelesaikan masalah sedemikian adalah sangat kompleks dan hasil terbaik diperoleh dengan menggabungkan kaedah analisis dengan kaedah berangka menggunakan komputer berkuasa.

Vladimir Kuznetsov

Dalam Bab 4-6, persamaan asas teori keanjalan telah diperolehi, mewujudkan undang-undang perubahan dalam tegasan dan ubah bentuk di sekitar titik sewenang-wenangnya badan, serta hubungan yang menghubungkan tegasan dengan ubah bentuk dan ubah bentuk dengan anjakan. Marilah kita membentangkan sistem lengkap persamaan teori keanjalan dalam koordinat Cartesan.

Persamaan keseimbangan navier:

Hubungan Cauchy:

Hukum Hooke (dalam bentuk langsung dan songsang):

Biar kami ingatkan anda di sini e = e x + e y + e z - ubah bentuk isipadu relatif, dan mengikut hukum pasangan tegasan tangen Xj. = Tj; dan dengan itu y~ = ^ 7. Pemalar Lame yang termasuk dalam (16.3a) ditentukan oleh formula (6.13).

Daripada sistem di atas adalah jelas bahawa ia merangkumi 15 persamaan pembezaan dan algebra yang mengandungi 15 fungsi yang tidak diketahui (6 komponen tensor tegasan, 6 komponen tensor terikan dan 3 komponen vektor anjakan).

Disebabkan oleh kerumitan sistem persamaan yang lengkap, adalah mustahil untuk mencari penyelesaian umum yang akan sah untuk semua masalah teori keanjalan yang dihadapi dalam amalan.

Terdapat pelbagai cara untuk mengurangkan bilangan persamaan jika, sebagai contoh, hanya tegasan atau sesaran diambil sebagai fungsi yang tidak diketahui.

Jika, apabila menyelesaikan masalah teori keanjalan, kita mengecualikan anjakan daripada pertimbangan, maka bukannya hubungan Cauchy (16.2), kita boleh mendapatkan persamaan yang menghubungkan komponen tensor terikan. Mari bezakan ubah bentuk g x, ditakrifkan oleh kesamaan pertama (16.2), dua kali y, ubah bentuk g y - dua kali dalam x dan tambahkan ungkapan yang terhasil. Hasilnya kita dapat

Ungkapan dalam kurungan, mengikut (16.2), menentukan ubah bentuk sudut y. Oleh itu, kesamaan terakhir boleh ditulis dalam bentuk

Begitu juga, kita boleh mendapatkan dua lagi persamaan, yang, bersama-sama dengan hubungan terakhir, membentuk kumpulan pertama Persamaan keserasian ubah bentuk Saint-Venant:

Setiap kesamaan (16.4) mewujudkan hubungan antara ubah bentuk dalam satah yang sama. Daripada hubungan Cauchy, keadaan keserasian juga boleh diperolehi yang mengaitkan ubah bentuk dalam satah yang berbeza. Mari kita bezakan ungkapan (16.2) untuk ubah bentuk sudut seperti berikut: y - by z y - oleh X;

Oleh y; Mari tambah dua kesamaan pertama dan tolak yang ketiga. Hasilnya kita dapat

Membezakan kesamaan ini berkenaan dengan y dan mengambil kira bahawa,

kita sampai pada hubungan berikut:

Dengan menggunakan penggantian bulat, kami memperoleh dua lagi kesamaan, yang, bersama-sama dengan hubungan terakhir, membentuk kumpulan kedua persamaan untuk keserasian ubah bentuk Saint-Venant:

Persamaan keserasian ubah bentuk juga dipanggil syarat kesinambungan atau kesinambungan. Istilah ini mencirikan fakta bahawa apabila cacat badan kekal pepejal. Jika kita membayangkan badan yang terdiri daripada unsur-unsur individu dan menerima ubah bentuk e x, y dalam bentuk fungsi sewenang-wenangnya, maka dalam keadaan cacat tidak mungkin untuk memasang badan pepejal daripada unsur-unsur ini. Jika syarat (16.4), (16.5) dipenuhi, anjakan sempadan unsur-unsur individu akan menjadi sedemikian rupa sehingga jasad akan kekal pepejal walaupun dalam keadaan cacat.

Oleh itu, salah satu cara untuk mengurangkan bilangan yang tidak diketahui apabila menyelesaikan masalah dalam teori keanjalan adalah dengan mengecualikan anjakan daripada pertimbangan. Kemudian, bukannya hubungan Cauchy, sistem persamaan yang lengkap akan merangkumi persamaan keserasian untuk ubah bentuk Saint-Venant.

Memandangkan sistem lengkap persamaan teori keanjalan, seseorang harus memberi perhatian kepada fakta bahawa ia secara praktikal tidak mengandungi faktor yang menentukan keadaan tekanan-tekanan badan. Faktor tersebut termasuk bentuk dan saiz badan, kaedah mengamankannya, beban yang bertindak ke atas badan, dengan pengecualian daya isipadu. X, Y, Z.

Oleh itu, sistem persamaan lengkap teori keanjalan hanya menetapkan corak umum perubahan tegasan, ubah bentuk dan anjakan dalam jasad anjal. Penyelesaian kepada masalah tertentu boleh diperolehi jika keadaan pemuatan badan ditentukan. Ini diberikan dalam keadaan sempadan, yang membezakan satu masalah dalam teori keanjalan daripada yang lain.

Dari sudut pandangan matematik, ia juga jelas bahawa penyelesaian umum sistem persamaan pembezaan termasuk fungsi dan pemalar arbitrari, yang mesti ditentukan daripada syarat sempadan.