Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia

belanjawan negeri persekutuan institusi pendidikan

lebih tinggi pendidikan vokasional

"Universiti Pedagogi Negeri Tula. L. N. Tolstoy»

(FGBOU VPO "TSPU dinamakan sempena L. N. Tolstoy")

Jabatan Algebra, Analisis Matematik dan Geometri

KERJA KURSUS

dalam disiplin "Kaedah mengajar mata pelajaran: kaedah mengajar matematik"

mengenai topik:

"KAEDAH PENGAJIAN TEORI KEBARANGKALIAN DALAM KURSUS MATEMATIK SEKOLAH"

Selesai:

pelajar tahun 3 kumpulan 120922

Fakulti Matematik, Fizik dan Informatik

arah "Pendidikan pedagogi"

profil "Fizik" dan "Matematik"

Nichepurenko Natalya Alexandrovna

Penasihat saintifik:

pembantu

Rarova E.M.

Tula 2015

Pendahuluan…………………………………………………………………………...3

Bab 1: Konsep Asas………………………………………………………………6

1.1 Elemen kombinatorik……………………………………………………………………6

1.2 Teori kebarangkalian…………………………………………………………………….8

Bab 2: Aspek kaedah mempelajari "Teori Kebarangkalian" dalam kursus algebra sekolah……………………………………………………….….24

Bab 3: Serpihan pelajaran algebra mengenai topik “Teori Kebarangkalian”……….32

Kesimpulan

kesusasteraan

PENGENALAN

Persoalan penambahbaikan pendidikan matematik di sekolah domestik telah dipentaskan pada awal 60-an abad ke-20 oleh ahli matematik cemerlang B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, I.I. Kikoin, A.I. Markushevich, A.Ya. Khinchin. B.V. Gnedenko menulis: "Persoalan memperkenalkan unsur-unsur pengetahuan statistik probabilistik ke dalam kurikulum matematik sekolah sudah lama tertangguh dan tidak bertolak ansur dengan kelewatan selanjutnya. Undang-undang penentuan tegar, pada kajian yang kami pendidikan sekolah, hanya sebelah pihak mendedahkan intipati dunia sekeliling. Sifat rawak dari banyak fenomena realiti adalah di luar perhatian pelajar sekolah kita. Akibatnya, idea mereka tentang sifat banyak proses semula jadi dan sosial adalah berat sebelah dan tidak mencukupi. sains moden. Mereka perlu diperkenalkan undang-undang statistik mendedahkan perkaitan pelbagai rupa kewujudan objek dan fenomena.

DALAM DAN. Levin menulis: “... Budaya statistik yang diperlukan untuk ... aktiviti mesti dibesarkan dengan tahun-tahun awal. Bukan kebetulan bahawa di negara maju banyak perhatian diberikan kepada perkara ini: pelajar membiasakan diri dengan unsur-unsur teori kebarangkalian dan statistik dari yang pertama. tahun sekolah dan sepanjang latihan mereka mempelajari pendekatan probabilistik-statistik untuk menganalisis situasi biasa yang dihadapi dalam kehidupan seharian.

Pembaharuan tahun 1980-an memasukkan unsur-unsur teori kebarangkalian dan statistik ke dalam program kelas khusus, khususnya, fizik, matematik dan sains semula jadi, serta kursus pilihan dalam pengajian matematik.

Memandangkan keperluan mendesak untuk membangunkan kualiti individu pemikiran pelajar, perkembangan pengarang muncul kursus pilihan mengenai teori kebarangkalian. Contoh ini boleh menjadi kursus N.N. Avdeeva mengenai statistik untuk gred 7 dan 9 dan kursus unsur statistik matematik untuk gred 10 sekolah menengah. Dalam gred ke-10, ujian telah dijalankan, hasilnya, serta pemerhatian guru dan tinjauan pelajar, menunjukkan bahawa bahan yang dicadangkan agak mudah diakses oleh pelajar, menyebabkan mereka minat besar menunjukkan aplikasi tertentu matematik untuk menyelesaikan masalah amali sains dan teknologi.

Proses memperkenalkan unsur-unsur teori kebarangkalian ke dalam kursus wajib matematik sekolah ternyata sangat kerja keras. Terdapat pendapat bahawa untuk mengasimilasikan prinsip teori kebarangkalian, stok awal idea, idea, tabiat diperlukan, yang pada asasnya berbeza daripada yang dibangunkan oleh pelajar sekolah semasa pendidikan tradisional sebagai sebahagian daripada membiasakan diri dengan undang-undang fenomena pelaziman ketat. . Oleh itu, menurut beberapa guru - ahli matematik, teori kebarangkalian harus memasuki matematik sekolah sebagai bahagian bebas, yang akan memastikan pembentukan, sistematisasi dan perkembangan idea tentang sifat kebarangkalian fenomena dunia di sekeliling kita.

Memandangkan kajian teori kebarangkalian baru-baru ini diperkenalkan ke dalam kurikulum sekolah, pada masa ini terdapat masalah dengan pelaksanaan bahan ini dalam buku teks sekolah. Juga, disebabkan kekhususan kursus ini, bilangan kesusasteraan metodologi juga masih kecil. Menurut pendekatan yang digariskan dalam kebanyakan kesusasteraan, dipercayai bahawa perkara utama dalam kajian topik ini haruslah pengalaman praktikal pelajar, jadi adalah dinasihatkan untuk memulakan latihan dengan soalan yang anda ingin mencari penyelesaian. kepada masalah dengan latar belakang keadaan sebenar. Dalam proses pembelajaran, seseorang tidak sepatutnya membuktikan semua teorem, kerana banyak masa dihabiskan untuk ini, manakala tugas kursus adalah untuk membentuk kemahiran yang berguna, dan keupayaan untuk membuktikan teorem tidak digunakan untuk kemahiran tersebut.

Asal teori kebarangkalian berlaku untuk mencari jawapan kepada soalan: berapa kerapkah peristiwa ini atau itu berlaku dalam siri percubaan yang lebih besar dengan hasil rawak yang berlaku di bawah keadaan yang sama?

Menilai kemungkinan sesuatu peristiwa, kita sering berkata: "Ia sangat mungkin", "Ia pasti akan berlaku", "Tidak mungkin", "Ia tidak akan berlaku". Dengan membeli tiket loteri, anda boleh menang, tetapi anda tidak boleh menang; esok pada pelajaran matematik anda mungkin dipanggil ke papan hitam atau tidak; dalam pilihan raya akan datang, parti pemerintah mungkin menang atau tidak.

Mari kita pertimbangkan contoh mudah.Berapa ramai orang yang anda fikir patut masuk kumpulan tertentu supaya sekurang-kurangnya dua daripada mereka mempunyai hari lahir yang sama dengan kebarangkalian 100% (maksudnya hari dan bulan tanpa mengambil kira tahun kelahiran)? Ini tidak bermakna tahun lompat, iaitu setahun dengan 365 hari. Jawapannya jelas - sepatutnya ada 366 orang dalam kumpulan itu. Sekarang soalan lain: berapa ramai orang yang perlu ada untuk mencari pasangan dengan hari lahir yang sama dengan kebarangkalian 99.9%?Pada pandangan pertama, semuanya mudah - 364 orang. Malah, 68 orang sudah memadai!

Di sini, untuk menjalankan pengiraan yang menarik danmembuat penemuan luar biasa untuk diri kita sendiri, kita akan mengkaji bahagian matematik seperti "Teori Kebarangkalian".

Tujuan kerja kursus adalah untuk mengkaji asas teori kebarangkalian dalam kursus matematik sekolah. Untuk mencapai matlamat ini, tugas-tugas berikut telah dirumuskan:

1. Pertimbangkan aspek metodologi kajian"Teori Kebarangkalian" dalam kursus algebra sekolah.
   1. Kenali definisi asas dan teorem mengenai "Teori Kebarangkalian" dalam kursus sekolah.
      1. Pertimbangkan penyelesaian terperinci tugasan mengenai topik kerja kursus.
      2. Kembangkan serpihan pelajaran mengenai topik kerja kursus.

Bab 1: Konsep Asas

1.1 Unsur kombinatorik

Kajian kursus harus bermula dengan kajian asas kombinatorik, dan teori kebarangkalian harus dikaji secara selari, kerana kombinatorik digunakan dalam mengira kebarangkalian.Kaedah kombinatorik digunakan secara meluas dalam fizik, kimia, biologi, ekonomi dan bidang pengetahuan lain.

Dalam sains dan amalan, selalunya terdapat masalah, penyelesaian yang mana anda perlu membuat pelbagai kombinasi bilangan unsur terhingga.dan mengira bilangan gabungan. Masalah sedemikian dipanggil masalah gabungan, dan cabang matematik yang menangani masalah ini dipanggil kombinatorik.

Kombinatorik ialah kajian tentang cara mengira bilangan unsur dalam set terhingga. Formula kombinatorik digunakan untuk mengira kebarangkalian.

Pertimbangkan beberapa set X, yang terdiri daripada n unsur. Kami akan memilih daripada set ini pelbagai subset tertib Y daripada k unsur.

Susunan n unsur bagi set X dengan k unsur ialah sebarang set tertib () unsur bagi set X.

Jika pilihan unsur set Y daripada X berlaku dengan pulangan, i.e. setiap elemen set X boleh dipilih beberapa kali, maka bilangan peletakan dari n hingga k ditemui oleh formula (peletakan dengan ulangan).

Jika pilihan dibuat tanpa balasan, i.e. setiap elemen set X boleh dipilih sekali sahaja, maka bilangan peletakan dari n hingga k dilambangkan dan ditentukan oleh kesamaan

(peletakan tanpa ulangan).

Kes khas penempatan untuk n=k dipanggil pilih atur daripada n unsur. Bilangan semua pilih atur bagi n unsur ialah

Sekarang biarkan subset tidak tertib dipilih daripada set X Y (urutan unsur dalam subset tidak penting). Gabungan n unsur oleh k ialah subset bagi k unsur yang berbeza antara satu sama lain oleh sekurang-kurangnya satu unsur. Jumlah bilangan semua kombinasi dari n hingga k dilambangkan dan sama dengan

Persamaan yang sah: ,

Apabila menyelesaikan masalah, kombinatorik menggunakan peraturan berikut:

Peraturan jumlah. Jika beberapa objek A boleh dipilih daripada koleksi objek dalam m cara, dan objek B lain boleh dipilih dalam n cara, maka sama ada A atau B boleh dipilih dalam m + n cara.

Peraturan produk. Jika objek A boleh dipilih daripada set objek dalam m cara, dan selepas setiap pilihan objek B boleh dipilih dalam n cara, maka pasangan objek (A, B) dalam susunan yang ditentukan boleh dipilih dalam m * n cara.

1.2 Teori kebarangkalian

Dalam kehidupan seharian, secara praktikal dan aktiviti saintifik kita sering memerhati fenomena tertentu, menjalankan eksperimen tertentu.

Peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak semasa pemerhatian atau eksperimen dipanggilperistiwa rawak. Sebagai contoh, mentol lampu tergantung di siling tiada siapa tahu bila ia akan terbakar.Setiap peristiwa rawak- terdapat akibat daripada tindakan pembolehubah rawak yang sangat banyak (daya yang digunakan oleh syiling, bentuk syiling, dan banyak lagi). Adalah mustahil untuk mengambil kira pengaruh semua punca ini pada hasilnya, kerana bilangannya besar dan undang-undang tindakan tidak diketahui.Corak peristiwa rawak dikaji oleh cabang khusus matematik yang dipanggilteori kebarangkalian.

Teori kebarangkalian tidak menetapkan sendiri tugas untuk meramal sama ada satu peristiwa akan berlaku atau tidak - ia tidak boleh melakukannya. Jika kita bercakap tentang peristiwa rawak homogen yang besar-besaran, maka mereka mematuhi undang-undang tertentu, iaitu undang-undang kebarangkalian.

Pertama, mari kita lihat klasifikasi acara.

Membezakan peristiwa sendi dan bukan sendi . Peristiwa dipanggil bersama jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengecualikan kejadian yang lain. Jika tidak, peristiwa itu dipanggil tidak serasi. Contohnya, baling dua dadu. Acara A jatuh daripada tiga mata pada dadu pertama, acara B jatuh daripada tiga mata pada dadu kedua. A dan B ialah peristiwa bersama. Biarkan kedai menerima kumpulan kasut dengan gaya dan saiz yang sama, tetapi dengan warna yang berbeza. Acara A kotak yang diambil secara rawak akan dengan kasut hitam, acara B kotak akan dengan kasut Warna coklat, A dan B ialah peristiwa yang tidak serasi.

Peristiwa itu dipanggil sahih jika ia semestinya berlaku di bawah syarat eksperimen yang diberikan.

Peristiwa itu dipanggil mustahil jika ia tidak boleh berlaku di bawah keadaan eksperimen yang diberikan. Sebagai contoh, peristiwa bahawa bahagian standard diambil daripada kumpulan bahagian standard adalah pasti, tetapi bahagian bukan standard adalah mustahil.

Peristiwa itu dipanggil mungkin atau rawak , jika hasil daripada pengalaman ia mungkin muncul atau tidak. Contoh peristiwa rawak ialah pengecaman kecacatan produk semasa kawalan kumpulan produk siap, percanggahan antara saiz produk yang diproses dan yang diberikan, kegagalan salah satu pautan sistem kawalan automatik.

Peristiwa itu dipanggilsama mungkinjika, di bawah syarat ujian, tiada satu pun daripada peristiwa ini secara objektif lebih berkemungkinan daripada yang lain. Sebagai contoh, katakan sebuah kedai dibekalkan dengan mentol lampu (dan dalam kuantiti yang sama) oleh beberapa pengeluar. Peristiwa yang melibatkan pembelian mentol dari mana-mana kilang ini adalah sama berkemungkinan.

Konsep penting ialahkumpulan penuh acara. Beberapa peristiwa dalam eksperimen tertentu membentuk kumpulan lengkap jika sekurang-kurangnya satu daripadanya semestinya muncul sebagai hasil percubaan. Sebagai contoh, terdapat sepuluh bola dalam bekas, di mana enam daripadanya berwarna merah dan empat adalah putih, lima daripadanya bernombor. A rupa bola merah dalam satu seri, B rupa bola putih, C rupa bola dengan nombor. Peristiwa A,B,C membentuk kumpulan lengkap acara bersama.

Peristiwa itu mungkinbertentangan, atau tambahan . Peristiwa berlawanan difahami sebagai peristiwa yang mesti berlaku sekiranya beberapa peristiwa A belum berlaku. Peristiwa bertentangan tidak serasi dan merupakan satu-satunya yang mungkin. Mereka membentuk kumpulan acara yang lengkap. Sebagai contoh, jika sekumpulan item perkilangan terdiri daripada item yang baik dan rosak, maka apabila mengeluarkan satu item, ia boleh menjadi sama ada peristiwa A yang baik, atau peristiwa yang rosak.

Pertimbangkan satu contoh. Mereka membaling dadu (iaitu kubus kecil, di sisinya mata 1, 2, 3, 4, 5, 6 tersingkir). Apabila dadu dilempar ke arahnya muka atas satu mata, dua mata, tiga mata, dan lain-lain boleh jatuh. Setiap hasil ini adalah rawak.

Ujian sedemikian telah dijalankan. Dadu dibaling 100 kali dan diperhatikan berapa kali peristiwa "6 mata jatuh pada dadu" berlaku. Ternyata dalam siri eksperimen ini, "enam" jatuh 9 kali. Nombor 9, yang menunjukkan berapa kali dalam percubaan ini peristiwa yang dipersoalkan berlaku, dipanggil kekerapan peristiwa ini, dan nisbah kekerapan kepada jumlah nombor ujian, sama, dipanggil kekerapan relatif peristiwa ini.

Secara umum, biarkan ujian tertentu dijalankan berulang kali di bawah keadaan yang sama, dan pada masa yang sama, setiap kali ia ditetapkan sama ada peristiwa yang menarik minat kami telah berlaku atau tidak. A. Kebarangkalian sesuatu peristiwa dilambangkan dengan huruf besar P. Maka kebarangkalian kejadian A akan dilambangkan: P(A).

Takrif klasik kebarangkalian:

Kebarangkalian Peristiwa A adalah sama dengan nisbah bilangan kes m baik kepadanya, daripada jumlah keseluruhan n satu-satunya kes yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi dengan nombor itu n, iaitu

Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian acara diperlukan:

1. pertimbangkan hasil ujian yang berbeza;
2. cari satu set kes yang unik, sama mungkin dan tidak serasi, hitung jumlah bilangannya n , bilangan kes m sesuai untuk acara ini;
3. melakukan pengiraan formula.

Ia mengikuti daripada formula bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nombor bukan negatif dan boleh berbeza dari sifar hingga satu, bergantung pada bahagian bilangan kes yang menggalakkan daripada jumlah kes:

Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh.Terdapat 10 biji bola di dalam sebuah kotak. 3 daripadanya merah, 2 hijau, selebihnya putih. Cari kebarangkalian bahawa bola yang ditarik secara rawak adalah merah, hijau, atau putih. Penampilan merah, hijau dan belon putih membentuk kumpulan acara yang lengkap. Mari kita nyatakan kemunculan acara bola merah A, kemunculan acara B hijau, kemunculan acara putih C. Kemudian, selaras dengan formula yang ditulis di atas, kita memperoleh:

Ambil perhatian bahawa kebarangkalian berlakunya satu daripada dua peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.

Frekuensi relatifperistiwa A ialah nisbah bilangan eksperimen yang menghasilkan peristiwa A kepada jumlah bilangan eksperimen. Perbezaan antara kekerapan relatif dan kebarangkalian terletak pada fakta bahawa kebarangkalian dikira tanpa hasil langsung eksperimen, dan kekerapan relatif selepas pengalaman.

Jadi dalam contoh di atas, jika 5 bola diambil secara rawak dari kotak dan 2 daripadanya berubah menjadi merah, maka kekerapan relatif penampilan bola merah ialah:

Seperti yang dapat dilihat, nilai ini tidak bertepatan dengan kebarangkalian yang ditemui. Apabila cukup bilangan yang besar Dalam eksperimen yang dijalankan, kekerapan relatif berubah sedikit, turun naik di sekitar satu nombor. Nombor ini boleh diambil sebagai kebarangkalian kejadian.

kebarangkalian geometri.Takrif klasik kebarangkalian mengandaikan bahawa bilangan hasil asas sudah tentu yang juga mengehadkan penggunaannya dalam amalan.

Sekiranya ujian dengan tidak berkesudahan bilangan hasil, gunakan takrifan kebarangkalian geometri mencecah titik dalam kawasan.

Apabila menentukan geometri kebarangkalian mengandaikan bahawa terdapat kawasan N dan ia mempunyai kawasan yang lebih kecil M. Ke kawasan N baling satu mata secara rawak (ini bermakna semua mata dalam kawasan itu N adalah "sama" berkenaan dengan memukul mata yang dilemparkan secara rawak di sana).

Peristiwa A “memukul mata yang dilontar pada sesuatu kawasan M". Wilayah M dipanggil acara bertuah A.

Kebarangkalian terkena mana-mana bahagian kawasan N berkadar dengan ukuran bahagian ini dan tidak bergantung pada lokasi dan bentuknya.

Kawasan yang diliputi oleh kebarangkalian geometri boleh:

1. segmen (ukuran ialah panjang)
2. angka geometri di atas kapal terbang (luas ialah ukuran)
3. badan geometri dalam ruang (ukuran ialah isipadu)

Mari kita tentukan kebarangkalian geometri untuk kes itu angka rata.

Biarkan kawasan M adalah sebahagian daripada rantau ini N. Peristiwa A terdiri daripada memukul secara rawak yang dibaling di kawasan itu N titik ke kawasan M . kebarangkalian geometri peristiwa A dipanggil nisbah luas M ke kawasan kawasan N :

Dalam kes ini, kebarangkalian titik yang dilemparkan secara rawak mengenai sempadan rantau dianggap sama dengan sifar.

Pertimbangkan contoh: Jam tangan mekanikal dengan dail pukul dua belas putus dan berhenti berfungsi. Cari kebarangkalian bahawa jarum jam dibekukan pada pukul 5 tetapi tidak pada pukul 8.

Penyelesaian. Bilangan hasil adalah tidak terhingga, kami menggunakan definisi kebarangkalian geometri. Sektor antara 5 dan 8 adalah sebahagian daripada kawasan keseluruhan dail, oleh itu, .

Operasi pada acara:

Peristiwa A dan B dipanggil sama rata jika berlakunya peristiwa A melibatkan kejadian B dan sebaliknya.

Kesatuan atau jumlah peristiwa dipanggil peristiwa A, yang bermaksud berlakunya sekurang-kurangnya satu peristiwa.

Persimpangan atau produk peristiwa dipanggil peristiwa A, yang terdiri daripada pelaksanaan semua acara.

A =∩

beza peristiwa A dan B dipanggil peristiwa C, yang bermaksud peristiwa A berlaku, tetapi peristiwa B tidak berlaku.

C=A\B

Contoh:

A+B “digulung 2; empat; 6 atau 3 mata"

A ∙ B "membuang 6 mata"

A B “menggelek 2 dan 4 mata”

Tambahan peristiwa A dipanggil peristiwa, bermakna peristiwa A tidak berlaku.

hasil asaspengalaman dipanggil hasil pengalaman yang saling mengecualikan satu sama lain dan sebagai akibat daripada pengalaman salah satu daripada peristiwa ini berlaku, juga apa pun peristiwa A, mengikut hasil asas yang telah datang, seseorang boleh menilai sama ada peristiwa ini berlaku atau tidak. berlaku.

Keseluruhan semua hasil asas pengalaman dipanggilruang peristiwa asas.

Sifat kebarangkalian:

Harta 1. Jika semua kes memihak kepada acara yang diberikan A , maka peristiwa ini mesti berlaku. Oleh itu, peristiwa yang dimaksudkan ialah sahih

Harta 2. Sekiranya tiada kes yang sesuai untuk acara ini A , maka peristiwa ini tidak boleh berlaku akibat daripada eksperimen. Oleh itu, peristiwa yang dimaksudkan ialah mustahil , dan kebarangkalian kejadiannya, kerana dalam kes ini m=0:

Hartanah 3. Kebarangkalian berlakunya peristiwa membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu.

Harta benda 4. Kebarangkalian kejadian bertentangan berlaku ditakrifkan dengan cara yang sama seperti kebarangkalian berlakunya peristiwa itu. A :

di mana (n - m ) bilangan kes yang memihak kepada berlakunya peristiwa yang bertentangan. Oleh itu, kebarangkalian kejadian berlawanan berlaku adalah sama dengan perbezaan antara perpaduan dan kebarangkalian kejadian itu berlaku. A :

Penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Peristiwa A dipanggil kes istimewa peristiwa B, jika apabila A berlaku, B juga berlaku. Itulah A kes khas B, kita tulis A ⊂ B .

Peristiwa A dan B dipanggil sama rata jika masing-masing adalah kes khas yang lain. Kesamaan peristiwa A dan B ditulis A = B.

jumlah peristiwa A dan B dipanggil peristiwa A + B, yang berlaku jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa berlaku: A atau B.

Teorem Penambahan 1. Kebarangkalian berlakunya satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian kejadian ini.

P=P+P

Ambil perhatian bahawa teorem yang dirumuskan adalah sah untuk sebarang bilangan peristiwa yang tidak serasi:

Jika peristiwa rawak membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi, maka kesamaan itu

P + P +…+ P =1

kerja peristiwa A dan B dipanggil peristiwa AB, yang berlaku jika dan hanya jika kedua-dua peristiwa berlaku: A dan B pada masa yang sama. Peristiwa rawak A dan B dipanggil bersama jika kedua-dua peristiwa ini boleh berlaku semasa ujian tertentu.

Teorem Penambahan 2. Kebarangkalian jumlah peristiwa bersama dikira dengan formula

P=P+P-P

Contoh masalah teorem tambah.

1. Dalam peperiksaan geometri, pelajar mendapat satu soalan daripada senarai soalan peperiksaan. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan bulatan bertulis ialah 0.2. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan Paralelogram ialah 0.15. Tiada soalan yang berkaitan dengan dua topik ini pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan mengenai salah satu daripada dua topik ini dalam peperiksaan.

Penyelesaian. Kebarangkalian jumlah dua peristiwa tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini: 0.2 + 0.15 = 0.35.

Jawapan: 0.35.

1. AT pusat beli belah dua mesin layan diri yang sama menjual kopi. Kebarangkalian bahawa mesin akan kehabisan kopi pada penghujung hari ialah 0.3. Kebarangkalian kedua-dua mesin akan kehabisan kopi ialah 0.12. Cari kebarangkalian bahawa pada penghujung hari akan ada kopi yang tinggal di kedua-dua mesin layan diri.
   Penyelesaian. Pertimbangkan peristiwaA "kopi akan berakhir di mesin pertama", B "kopi akan berakhir di mesin kedua". Kemudian A·B "kopi akan berakhir di kedua-dua mesin layan diri", A + B "kopi akan berakhir dengan sekurang-kurangnya satu mesin layan diri".Mengikut keadaan P(A) = P(B) = 0.3; P(A B) = 0.12.
   Peristiwa A dan B adalah bersama, kebarangkalian jumlah dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tanpa kebarangkalian hasil darabnya:
   P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (A B) \u003d 0.3 + 0.3 - 0.12 \u003d 0.48.

Oleh itu, kebarangkalian kejadian yang bertentangan, bahawa kopi akan kekal dalam kedua-dua mesin, adalah sama dengan 1 - 0.48 = 0.52.

Jawapan: 0.52.

Peristiwa peristiwa A dan B dipanggil bebas jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengubah kebarangkalian berlakunya yang lain. Peristiwa A dipanggil bergantung daripada peristiwa B jika kebarangkalian peristiwa A berubah bergantung kepada sama ada peristiwa B berlaku atau tidak.

Kebarangkalian Bersyarat P(A|B ) peristiwa A dipanggil kebarangkalian yang dikira di bawah keadaan peristiwa B berlaku. Begitu juga, melalui P(B|A ) dilambangkan kebarangkalian bersyarat peristiwa B, dengan syarat A telah berlaku.

Untuk acara bebas mengikut definisi

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

Teorem pendaraban untuk peristiwa bersandar

Kebarangkalian hasil darab peristiwa bergantungadalah sama dengan hasil darab kebarangkalian salah satu daripadanya dengan kebarangkalian bersyarat yang lain, dengan syarat yang pertama berlaku:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)

(bergantung pada peristiwa mana yang berlaku dahulu).

Akibat daripada teorem:

Teorem pendaraban untuk peristiwa bebas. Kebarangkalian untuk menghasilkan peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya:

P (A ∙ B ) = P (A ) ∙ P (B )

Jika A dan B adalah bebas, maka pasangan (;), (; B), (A;) juga tidak bersandar.

Contoh tugas pada teorem pendaraban:

1. Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia menang grandmaster B. dengan kebarangkalian 0.52. Jika A. bermain hitam, maka A. menewaskan B. dengan kebarangkalian 0.3. Grandmasters A. dan B. bermain dua permainan, dan dalam permainan kedua mereka menukar warna kepingan. Cari kebarangkalian bahawa A. menang kedua-dua kali.

Penyelesaian. Peluang untuk memenangi perlawanan pertama dan kedua adalah bebas antara satu sama lain. Kebarangkalian hasil darab peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya: 0.52 0.3 = 0.156.

Jawapan: 0.156.

1. Kedai itu mempunyai dua mesin pembayaran. Setiap daripada mereka boleh rosak dengan kebarangkalian 0.05, tanpa mengira automaton yang lain. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu automata boleh diservis.

Penyelesaian. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua automata rosak. Peristiwa ini adalah bebas, kebarangkalian hasil darabnya adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini: 0.05 0.05 = 0.0025.
Peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa sekurang-kurangnya satu automaton boleh diservis adalah sebaliknya. Oleh itu, kebarangkaliannya ialah 1 − 0.0025 = 0.9975.

Jawapan: 0.9975.

Formula kebarangkalian penuh

Akibat daripada teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian ialah formula untuk jumlah kebarangkalian:

Kebarangkalian P (A) peristiwa A, yang boleh berlaku hanya jika salah satu peristiwa (hipotesis) B berlaku 1 , V 2 , V 3 … V n , membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi berpasangan, adalah sama dengan jumlah hasil darab kebarangkalian setiap peristiwa (hipotesis) B 1 , V 2 , V 3 , …, V n pada kebarangkalian bersyarat yang sepadan bagi peristiwa A:

P (A) \u003d P (B 1)  P (A | B 1) + P (B 2)  P (A | B 2) + P (B 3)  P (A | B 3) + .. . + P (В n )  P (A | B n )

Pertimbangkan contoh:Barisan automatik membuat bateri. Kebarangkalian bahawa bateri yang telah siap rosak ialah 0.02. Sebelum pembungkusan, setiap bateri melalui sistem kawalan. Kebarangkalian bahawa sistem akan menolak bateri yang buruk ialah 0.99. Kebarangkalian bahawa sistem akan tersilap menolak bateri yang baik ialah 0.01. Cari kebarangkalian bahawa bateri yang dipilih secara rawak akan ditolak.

Penyelesaian. Keadaan di mana bateri akan ditolak mungkin timbul akibat daripada peristiwa: A "bateri benar-benar buruk dan ditolak secara adil" atau B "bateri itu baik, tetapi ditolak secara tidak sengaja". Ini adalah peristiwa yang tidak serasi, kebarangkalian jumlahnya adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini. Kami ada:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0.02  0.99 + 0.98  0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Jawapan: 0.0296.

Bab 2: Aspek Metodologi Mengkaji "Teori Kebarangkalian" dalam Kursus Algebra Sekolah

Pada tahun 2003, keputusan dibuat untuk memasukkan unsur-unsur teori kebarangkalian dalam kursus sekolah matematik sekolah pendidikan am (surat arahan No. 0393in / 1303 bertarikh 23 September 2003 Kementerian Pendidikan Persekutuan Rusia "Mengenai pengenalan unsur kombinatorik, statistik dan teori kebarangkalian ke dalam kandungan pendidikan matematik sekolah rendah”, “Matematik di Sekolah”, No. 9, 2003). Pada masa ini, unsur-unsur teori kebarangkalian telah wujud dalam pelbagai bentuk dalam buku teks algebra sekolah yang terkenal selama lebih daripada sepuluh tahun. kelas yang berbeza(contohnya, I.F. "Algebra: Buku teks untuk gred 79 institusi pendidikan" disunting oleh G.V. Dorofeev; "Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 11 institusi pendidikan" G.V. Dorofeev, L. V. Kuznetsova, E.A. Sedova” ), dan dalam bentuk alat bantu mengajar yang berasingan. Walau bagaimanapun, pembentangan bahan mengenai teori kebarangkalian di dalamnya, sebagai peraturan, tidak sistematik, dan guru, selalunya, tidak merujuk kepada bahagian ini, tidak memasukkannya ke dalam kurikulum. Dokumen yang diterima pakai oleh Kementerian Pendidikan pada tahun 2003 memperuntukkan kemasukan bahagian-bahagian ini secara beransur-ansur dalam kursus sekolah, membolehkan komuniti pengajar bersedia untuk perubahan yang sepadan.

Pada tahun 20042008 Beberapa buku teks sedang diterbitkan untuk melengkapkan buku teks algebra sedia ada. Ini adalah penerbitan Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teori dan statistik kebarangkalian", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teori dan Statistik Kebarangkalian: Panduan Guru", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: elemen statistik dan teori kebarangkalian: buku teks. Elaun untuk pelajar 79 sel. pendidikan umum institusi", Tkacheva M.V., Fedorova N.E. "Elemen statistik dan kebarangkalian: Proc. Elaun untuk 7 9 sel. pendidikan umum institusi." Mereka juga keluar untuk membantu guru. alat bantu mengajar. Selama beberapa tahun, semua alat bantu mengajar ini telah diuji di sekolah. Dalam keadaan apabila tempoh peralihan pengenalan ke dalam kurikulum sekolah telah berakhir, dan bahagian statistik dan teori kebarangkalian telah mengambil tempat mereka dalam kurikulum 79 kelas, analisis dan pemahaman tentang ketekalan definisi dan sebutan utama yang digunakan dalam buku teks ini diperlukan.

Semua buku teks ini dicipta tanpa adanya tradisi mengajar bahagian matematik ini di sekolah. Ketiadaan ini, secara sengaja atau tidak, mencetuskan provokasi pengarang buku teks untuk membandingkannya dengan buku teks sedia ada untuk universiti. Yang terakhir, bergantung kepada tradisi yang ditetapkan dalam pengkhususan individu sekolah Menengah selalunya dibenarkan untuk ketidakselarasan istilah yang ketara dan perbezaan dalam penetapan konsep dan formula asas. Analisis kandungan buku teks sekolah di atas menunjukkan bahawa pada hari ini mereka telah mewarisi ciri-ciri ini daripada buku teks sekolah tinggi. DARI lebih ketepatan, ia boleh dikatakan bahawa pilihan tertentu bahan pendidikan mengikut bahagian matematik baru di sekolah, mengenai konsep "rawak", berlaku dalam masa ini dengan cara yang paling rawak, sehinggalah kepada nama dan sebutan. Oleh itu, pasukan pengarang buku teks sekolah terkemuka mengenai teori dan statistik kebarangkalian memutuskan untuk menyertai usaha mereka di bawah naungan Institut Pendidikan Terbuka Moscow untuk membangunkan kedudukan yang dipersetujui mengenai penyatuan definisi utama dan notasi yang digunakan dalam buku teks sekolah mengenai kebarangkalian teori dan statistik.

Mari analisa pengenalan topik "Teori Kebarangkalian" dalam buku teks sekolah.

ciri umum:

Kandungan latihan mengenai topik "Unsur Teori Kebarangkalian", yang diserlahkan dalam "Program untuk institusi pendidikan. Matematik", menyediakan perkembangan selanjutnya dalam pelajar kebolehan matematik mereka, orientasi kepada profesion, secara signifikan berkaitan dengan matematik, persediaan untuk belajar di universiti. Kekhususan kandungan matematik topik yang sedang dipertimbangkan memungkinkan untuk mengkonkretkan tugas utama yang dipilih kajian yang mendalam matematik seperti berikut.

1. Meneruskan pendedahan kandungan matematik sebagai sistem ilmu deduktif.

Membina sistem definisi konsep asas;

Mendedahkan sifat tambahan bagi konsep yang diperkenalkan;

Wujudkan perkaitan antara konsep yang diperkenalkan dan yang telah dipelajari sebelumnya.

2. Sistematisasi beberapa cara kebarangkalian untuk menyelesaikan masalah; mendedahkan komposisi operasi bagi mencari penyelesaian kepada masalah jenis tertentu.

3. Wujudkan syarat untuk pelajar memahami dan memahami idea utama kepentingan praktikal teori kebarangkalian dengan menganalisis fakta teori asas. Untuk mendedahkan aplikasi praktikal teori yang dipelajari dalam topik ini.

Pencapaian matlamat pendidikan yang ditetapkan akan dipermudahkan oleh penyelesaian tugas berikut:

1. Bentuk idea tentang pelbagai cara untuk menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa (statistik, klasik, geometri, aksiomatik)

2. Untuk membentuk pengetahuan tentang operasi asas pada peristiwa dan keupayaan untuk mengaplikasikannya untuk menerangkan beberapa peristiwa melalui yang lain.

3. Untuk mendedahkan intipati teori penambahan dan pendaraban kebarangkalian; tentukan had penggunaan teorem ini. Tunjukkan aplikasi mereka untuk terbitan formula kebarangkalian penuh.

4. Kenal pasti algoritma untuk mencari kebarangkalian kejadian a) mengikut takrifan klasik kebarangkalian; b) mengenai teori penambahan dan pendaraban; c) mengikut jumlah formula kebarangkalian.

5. Bentuk preskripsi yang membolehkan anda memilih salah satu algoritma secara rasional apabila menyelesaikan masalah tertentu.

berdedikasi matlamat pendidikan untuk mengkaji unsur-unsur teori kebarangkalian, kita akan menambah penetapan matlamat pembangunan dan pendidikan.

Matlamat pembangunan:

• untuk membentuk dalam diri pelajar minat yang berterusan dalam subjek, untuk mengenal pasti dan mengembangkan kebolehan matematik;
• dalam proses pembelajaran untuk membangunkan bidang pertuturan, pemikiran, emosi-kehendak dan konkrit-motivasi;
• penemuan bebas oleh pelajar tentang cara baru untuk menyelesaikan masalah dan tugasan; aplikasi pengetahuan dalam situasi dan keadaan baharu;
• membangunkan keupayaan untuk menerangkan fakta, hubungan antara fenomena, menukar bahan daripada satu bentuk perwakilan kepada yang lain (lisan, tanda-simbolik, grafik);
• untuk mengajar untuk menunjukkan penggunaan kaedah yang betul, untuk melihat logik penaakulan, persamaan dan perbezaan fenomena.

matlamat pendidikan:

• untuk membentuk idea moral dan estetik kanak-kanak sekolah, sistem pandangan tentang dunia, keupayaan untuk mengikuti norma tingkah laku dalam masyarakat;
• membentuk keperluan individu, motif kelakuan sosial, aktiviti, nilai dan orientasi nilai;
• untuk mendidik seseorang yang mampu mendidik diri dan mendidik diri.

Mari analisa buku teks algebra untuk gred 9 "Algebra: elemen statistik dan teori kebarangkalian" Makarychev Yu.N.

Buku teks ini ditujukan untuk pelajar dalam gred 7-9, ia melengkapkan buku teks: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", disunting oleh Teleyakovsky S.A.

Buku ini mengandungi empat perenggan. Setiap perenggan mengandungi maklumat teori dan latihan berkaitan. Pada akhir perenggan, latihan untuk pengulangan diberikan. Untuk setiap perenggan, latihan tambahan dengan tahap kerumitan yang lebih tinggi diberikan berbanding dengan latihan utama.

Menurut "Program untuk Institusi Pendidikan Am", 15 jam diperuntukkan untuk mempelajari topik "Teori dan Statistik Kebarangkalian" dalam kursus algebra sekolah.

Bahan mengenai topik ini jatuh pada gred 9 dan dibentangkan dalam perenggan berikut:

§3 "Unsur kombinatorik" mengandungi 4 perkara:

Contoh masalah gabungan.Pada contoh mudah penyelesaian masalah gabungan dengan kaedah penghitungan varian yang mungkin ditunjukkan. Kaedah ini digambarkan dengan membina pokok pilihan yang mungkin. Peraturan pendaraban dipertimbangkan.

Permutasi. Konsep itu sendiri dan formula untuk mengira pilih atur diperkenalkan.

Penginapan. Konsep ini diperkenalkan pada contoh konkrit. Formula untuk bilangan penempatan diperolehi.

Gabungan. Konsep dan formula bilangan gabungan.

Tujuan bahagian ini adalah untuk memberi pelajar cara yang berbeza untuk menerangkan semua kemungkinan peristiwa asas dalam pelbagai jenis pengalaman rawak.

§4 "Maklumat awal daripada teori kebarangkalian".

Pembentangan bahan bermula dengan pertimbangan eksperimen, selepas itu konsep "peristiwa rawak" dan "kekerapan relatif peristiwa rawak" diperkenalkan. Takrifan statistik dan klasik bagi kebarangkalian diperkenalkan. Perenggan itu berakhir dengan titik "penambahan dan pendaraban kebarangkalian." Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian dipertimbangkan, konsep berkaitan kejadian tidak serasi, berlawanan, bebas diperkenalkan. Bahan ini bertujuan untuk pelajar yang mempunyai minat dan kebolehan untuk matematik dan boleh digunakan untuk kerja individu atau di aktiviti ko-kurikulum dengan pelajar.

Garis panduan kepada buku teks ini diberikan dalam beberapa artikel oleh Makarychev dan Mindyuk ("Unsur kombinatorik dalam kursus algebra sekolah", "Maklumat pengenalan daripada teori kebarangkalian dalam kursus algebra sekolah"). Dan juga beberapa kenyataan kritikal mengenai tutorial ini terkandung dalam artikel oleh Studenetskaya dan Fadeeva, yang akan membantu untuk mengelakkan kesilapan semasa bekerja dengan buku teks ini.
Tujuan: peralihan daripada penerangan kualitatif tentang peristiwa kepada penerangan matematik.

Topik "Teori Kebarangkalian" dalam buku teks Mordkovich A.G., Semenov P.V. untuk darjah 9-11.

Pada masa ini, salah satu buku teks yang sedia ada di sekolah ialah buku teksMordkovich A.G., Semenov P.V. "Peristiwa, kebarangkalian, pemprosesan statistik data", ia juga mempunyai bab tambahan untuk gred 7-9. Mari kita analisanya.

Menurut Program Kerja Algebra, 20 jam diperuntukkan untuk kajian topik "Unsur Kombinatorik, Statistik dan Teori Kebarangkalian".

Bahan mengenai topik "Teori Kebarangkalian" didedahkan dalam perenggan berikut:

§ 1. Yang paling mudah masalah gabungan. Peraturan pendaraban dan pokok varian. Permutasi.Ia bermula dengan masalah gabungan mudah, kemudian mempertimbangkan jadual pilihan yang mungkin, yang menunjukkan prinsip peraturan pendaraban. Kemudian pokok kemungkinan varian dan pilih atur dipertimbangkan. Selepas bahan teori terdapat latihan untuk setiap sub-item.

§ 2. Pemilihan beberapa elemen. Gabungan.Pertama, formula diterbitkan untuk 2 elemen, kemudian untuk tiga, dan kemudian satu umum untuk n unsur.

§ 3. Peristiwa rawak dan kebarangkaliannya.Takrifan klasik kebarangkalian diperkenalkan.

Kelebihan manual ini ialah ia adalah salah satu daripada sedikit yang mengandungi perenggan yang berkaitan dengan jadual dan pokok varian. Perkara ini adalah perlu kerana jadual dan pokok pilihan yang mengajar pelajar tentang pembentangan dan analisis awal data. Juga dalam buku teks ini, formula gabungan berjaya diperkenalkan dahulu untuk dua elemen, kemudian untuk tiga dan umum untuk n elemen. Dari segi kombinatorik, bahan tersebut dipersembahkan dengan jayanya. Setiap perenggan mengandungi latihan, yang membolehkan anda menyatukan bahan. Komen mengenai tutorial ini terkandung dalam artikel oleh Studenetskaya dan Fadeeva.

Dalam gred 10, tiga perenggan diberikan mengenai topik ini. Dalam yang pertama daripada mereka “Peraturan pendaraban. Permutasi dan pemfaktoran”, sebagai tambahan kepada peraturan pendaraban itu sendiri, penekanan utama diberikan pada terbitan dua identiti gabungan asas daripada peraturan ini: untuk bilangan pilih atur dan untuk bilangan subset yang mungkin bagi set yang terdiri daripada n elemen. Pada masa yang sama, faktorial telah diperkenalkan sebagai cara yang mudah untuk memendekkan jawapan dalam banyak masalah gabungan khusus sebelum konsep "permutasi". Dalam perenggan kedua kelas 10 “Memilih berbilang elemen. Pekali binomial" dianggap masalah gabungan klasik yang dikaitkan dengan pemilihan serentak (atau berurutan) beberapa elemen daripada set terhingga tertentu. Yang paling penting dan benar-benar baru untuk sekolah pendidikan am Rusia ialah perenggan terakhir "Peristiwa rawak dan kebarangkalian mereka." Ia menganggap skema probabilistik klasik, menganalisis formula P (A + B )+ P (AB )= P (A )+ P (B ), P ()=1- P (A ), P (A )=1- P () dan cara menggunakannya. Perenggan itu berakhir dengan peralihan kepada pengulangan bebas ujian dengan dua hasil. Ini adalah model kebarangkalian yang paling penting dari sudut pandangan praktikal (percubaan Bernoulli), yang mempunyai sejumlah besar aplikasi. Bahan yang terakhir membentuk peralihan antara kandungan bahan pendidikan dalam gred 10 dan 11.

Dalam gred ke-11, topik "Elemen Teori Kebarangkalian" ditumpukan kepada dua perenggan buku teks dan buku masalah. ATSeksyen 22 memperkatakan kebarangkalian geometri, § 23 mengulang dan mengembangkan pengetahuan tentang pengulangan bebas percubaan dengan dua hasil.

Bab 3: Serpihan pelajaran algebra mengenai topik "Teori Kebarangkalian"

Darjah: 11

Topik pelajaran: "Analisis tugas C6".

Jenis pelajaran: penyelesaian masalah.

UUD terbentuk

Kognitif: menganalisis,

membuat kesimpulan, membandingkan objek mengikut kaedah tindakan;

Regulatory: tentukan matlamat, masalah, mengemukakan versi, merancang aktiviti;

Komunikatif: nyatakan pendapat anda, gunakan ucapan bermaksud;

Peribadi: sedar tentang emosi anda, kembangkan sikap hormat terhadap rakan sekelas

Hasil yang dirancang

Subjek: keupayaan untuk menggunakan formula untuk menyelesaikan masalah untuk mengira kebarangkalian.

Meta-subjek: keupayaan untuk mengemukakan hipotesis, andaian, lihat

cara yang berbeza untuk menyelesaikan masalah.

Peribadi: keupayaan untuk menyatakan pemikiran seseorang dengan betul, memahami maksudnya

tugasan yang diberikan.

Tugas: Setiap kumpulan pelajar pergi ke pawagam atau ke teater, sementara ada kemungkinan salah seorang daripada mereka boleh pergi ke pawagam dan teater. Adalah diketahui bahawa tidak lebih daripada 2/11 daripada jumlah pelajar dalam kumpulan yang melawat teater, dan di pawagam kanak-kanak lelaki tidak lebih daripada 2/5 daripada jumlah pelajar dalam kumpulan yang melawat pawagam.
a) Bolehkah terdapat 9 orang lelaki dalam kumpulan itu sekiranya diketahui bahawa terdapat 20 orang pelajar kesemuanya dalam kumpulan itu?
b) Berapakah bilangan maksimum kanak-kanak lelaki dalam kumpulan itu, jika tambahan diketahui bahawa terdapat 20 orang pelajar dalam kumpulan itu?
c) Apakah bahagian terkecil perempuan dalam jumlah bilangan pelajar dalam kumpulan tanpa syarat tambahan mata a) dan b)?

Menghuraikan tugasan:

Pertama, mari kita berurusan dengan syarat:

(Sejajar dengan penerangan, guru menggambarkan segala-galanya di papan hitam).

Katakan kita mempunyai ramai lelaki yang pergi ke wayang dan ramai lelaki yang pergi ke teater. Kerana dikatakan bahawa mereka semua pergi, maka seluruh kumpulan itu sama ada dalam set lelaki yang pergi ke teater, atau dalam set lelaki yang pergi ke wayang. Apakah tempat di mana set ini bersilang?

Ini bermakna lelaki ini pergi ke pawagam dan teater pada masa yang sama.

Adalah diketahui bahawa budak-budak yang pergi ke teater tidak lebih daripada 2/11 daripada jumlah mereka yang pergi ke teater. Guru meminta salah seorang murid melukis ini di papan tulis.

Dan mungkin terdapat lebih ramai kanak-kanak lelaki yang pergi ke pawagam - tidak lebih daripada 2/5 daripada jumlah pelajar dalam kumpulan itu.

Sekarang mari kita beralih kepada penyelesaian.

a) Kami mempunyai 9 orang lelaki, jumlah pelajar, mari kita nyatakan N =20, semua syarat mesti dipenuhi. Jika kita mempunyai 9 lelaki, perempuan, masing-masing, 11. Perkara a) boleh diselesaikan dalam kebanyakan kes melalui penghitungan.

Katakan bahawa anak lelaki kita pergi sama ada hanya ke pawagam atau ke teater.

Dan gadis-gadis itu pergi ke sana ke mari. (Biru menunjukkan ramai lelaki dan teduhan hitam menunjukkan perempuan)

Memandangkan kami hanya mempunyai 9 orang lelaki dan, dengan syarat, pergi ke teater budak lelaki lebih sedikit, kami mengandaikan bahawa 2 budak lelaki pergi ke teater, dan 7 ke pawagam. Dan mari kita lihat jika keadaan kami dipenuhi.

Mari kita semak dahulu pada contoh teater. Kami mengambil bilangan lelaki yang pergi ke teater kepada semua yang pergi ke teater dan ditambah dengan bilangan gadis dan membandingkannya dengan: . Darab ini dengan 18 dan dengan 5: .

Oleh itu pecahannya ialah 7/18 2/5. Oleh itu, syaratnya memuaskan untuk pawagam.

Sekarang mari kita lihat sama ada syarat ini dipenuhi untuk teater. Secara bebas, kemudian salah seorang pelajar menulis penyelesaian di papan tulis.

Jawapan: Jika kumpulan itu terdiri daripada 2 lelaki yang hanya melawat teater, 7 lelaki yang hanya melawat pawagam, dan 11 perempuan yang pergi ke kedua-dua teater dan pawagam, maka syarat masalah itu dipenuhi. Ini bermakna bahawa dalam kumpulan 20 orang pelajar boleh terdapat 9 orang lelaki.

b) Katakan ada 10 atau lebih budak lelaki. Kemudian terdapat 10 kanak-kanak perempuan atau kurang. Teater itu dihadiri tidak lebih daripada 2 orang lelaki, kerana jika terdapat 3 orang atau lebih, maka proporsi lelaki dalam teater itu tidak kurang = yang lebih.

Begitu juga, tidak lebih daripada 7 kanak-kanak lelaki melawat pawagam, kerana kemudian sekurang-kurangnya seorang budak lelaki tidak melawat sama ada teater atau pawagam, yang bercanggah dengan syarat itu.

Dalam perenggan sebelum ini, ditunjukkan bahawa mungkin terdapat 9 orang lelaki dalam kumpulan 20 orang pelajar. Oleh itu, bilangan lelaki terbesar dalam kumpulan itu ialah 9 orang.

c) Katakan seorang budak lelaki pergi ke kedua-dua teater dan pawagam. Jika sebaliknya dia ada dua lelaki dalam kumpulan itu, seorang daripadanya hanya melawat teater, dan yang lain hanya ke pawagam, maka bahagian lelaki dalam kedua-dua teater dan pawagam akan tetap sama, dan jumlah bahagian perempuan akan menjadi lebih kecil. Oleh itu, untuk menganggarkan bahagian terkecil perempuan dalam kumpulan itu, kita boleh mengandaikan bahawa setiap lelaki pergi sama ada hanya ke teater atau hanya ke pawagam.

Biar dalam kumpulan budak-budak yang melawat teater, budak-budak yang melawat pawagam, dan d perempuan.

Mari kita anggarkan nisbah kanak-kanak perempuan dalam kumpulan ini. Adalah sifar untuk mengandaikan bahawa semua gadis pergi ke kedua-dua teater dan pawagam, kerana bahagian mereka dalam kumpulan tidak akan berubah daripada ini, dan bahagian dalam teater dan pawagam tidak akan berkurangan.

Jika kumpulan itu terdiri daripada 2 lelaki yang melawat hanya teater, 6 lelaki yang melawat hanya pawagam, dan 9 perempuan yang pergi ke kedua-dua teater dan pawagam, maka keadaan masalah itu berpuas hati, dan bahagian perempuan dalam kumpulan adalah sama.

Dalam kehidupan seharian, dalam aktiviti praktikal dan saintifik, kita sering memerhatikan fenomena tertentu, menjalankan eksperimen tertentu. Peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak semasa pemerhatian atau eksperimen dipanggil peristiwa rawak. Sebagai contoh, mentol lampu tergantung di bawah siling - tiada siapa yang tahu bila ia akan terbakar. Setiap peristiwa rawak adalah akibat daripada tindakan pembolehubah rawak yang sangat banyak (daya yang digunakan oleh syiling, bentuk syiling, dan banyak lagi). Adalah mustahil untuk mengambil kira pengaruh semua punca ini pada hasilnya, kerana bilangannya besar dan undang-undang tindakan tidak diketahui. Corak peristiwa rawak dikaji oleh cabang matematik khas yang dipanggil teori kebarangkalian. Teori kebarangkalian tidak menetapkan sendiri tugas untuk meramal sama ada satu peristiwa akan berlaku atau tidak - ia tidak boleh melakukannya. Jika kita bercakap tentang peristiwa rawak homogen yang besar-besaran, maka mereka mematuhi corak tertentu, iaitu, corak kebarangkalian. Pertama, mari kita lihat klasifikasi acara. Bezakan antara acara bersama dan bukan bersama. Peristiwa dipanggil bersama jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengecualikan kejadian yang lain. Jika tidak, peristiwa itu dipanggil tidak serasi. Contohnya, dua dadu dilambung. Acara A - tiga mata pada dadu pertama, acara B - tiga mata pada dadu kedua. A dan B ialah peristiwa bersama. Biarkan kedai menerima kumpulan kasut dengan gaya dan saiz yang sama, tetapi dengan warna yang berbeza. Acara A - kotak yang diambil secara rawak akan dengan kasut hitam, acara B - kotak akan dengan kasut coklat, A dan B adalah acara yang tidak serasi. Sesuatu peristiwa dipanggil tertentu jika ia semestinya akan berlaku di bawah syarat eksperimen tertentu. Sesuatu peristiwa dikatakan mustahil jika ia tidak boleh berlaku di bawah keadaan pengalaman yang diberikan. Sebagai contoh, peristiwa bahawa bahagian standard diambil daripada kumpulan bahagian standard adalah pasti, tetapi bahagian bukan standard adalah mustahil. Sesuatu peristiwa dipanggil mungkin atau rawak jika, hasil daripada pengalaman, ia mungkin atau mungkin tidak berlaku. Contoh peristiwa rawak ialah pengecaman kecacatan produk semasa kawalan kumpulan produk siap, percanggahan antara saiz produk yang diproses dan yang diberikan, kegagalan salah satu pautan sistem kawalan automatik. Peristiwa dikatakan berkemungkinan sama jika, di bawah syarat ujian, tiada satu pun daripada peristiwa ini secara objektif lebih berkemungkinan daripada yang lain. Sebagai contoh, katakan sebuah kedai dibekalkan dengan mentol lampu (dan dalam kuantiti yang sama) oleh beberapa pengeluar. Peristiwa yang melibatkan pembelian mentol dari mana-mana kilang ini adalah sama berkemungkinan. Konsep penting ialah kumpulan acara yang lengkap. Beberapa peristiwa dalam eksperimen tertentu membentuk kumpulan lengkap jika sekurang-kurangnya satu daripadanya semestinya muncul sebagai hasil percubaan. Sebagai contoh, terdapat sepuluh bola dalam bekas, di mana enam daripadanya berwarna merah dan empat adalah putih, lima daripadanya bernombor. A - rupa bola merah dalam satu lukisan, B - rupa bola putih, C - rupa bola dengan nombor. Peristiwa A,B,C membentuk kumpulan lengkap acara bersama. Peristiwa itu mungkin bertentangan, atau tambahan. Peristiwa berlawanan difahami sebagai peristiwa yang mesti berlaku sekiranya beberapa peristiwa A belum berlaku. Peristiwa bertentangan tidak serasi dan merupakan satu-satunya yang mungkin. Mereka membentuk kumpulan acara yang lengkap. Sebagai contoh, jika sekumpulan item perkilangan terdiri daripada item yang baik dan rosak, maka apabila satu item dialih keluar, ia boleh menjadi sama ada baik - peristiwa A, atau rosak - peristiwa. Pertimbangkan satu contoh. Mereka membaling dadu (iaitu kubus kecil, di sisinya mata 1, 2, 3, 4, 5, 6 tersingkir). Apabila membaling dadu, satu mata, dua mata, tiga mata, dan lain-lain boleh jatuh pada muka atasnya. Setiap hasil ini adalah rawak. Ujian sedemikian telah dijalankan. Dadu dibaling 100 kali dan diperhatikan berapa kali peristiwa "6 mata jatuh pada dadu" berlaku. Ternyata dalam siri eksperimen ini, "enam" jatuh 9 kali. Nombor 9, yang menunjukkan berapa kali peristiwa yang dipersoalkan berlaku dalam percubaan ini, dipanggil kekerapan peristiwa ini, dan nisbah kekerapan kepada jumlah bilangan percubaan, yang sama, dipanggil kekerapan relatif ini. peristiwa. Secara umum, biarkan ujian tertentu dijalankan berulang kali dalam keadaan yang sama, dan setiap kali ia ditetapkan sama ada peristiwa A yang menarik minat kita telah berlaku atau tidak. Kebarangkalian sesuatu peristiwa dilambangkan dengan huruf Latin besar P. Kemudian kebarangkalian kejadian A akan dilambangkan: P (A). Takrifan klasik kebarangkalian: Kebarangkalian peristiwa A adalah sama dengan nisbah bilangan kes m yang memihak kepadanya, daripada jumlah bilangan n satu-satunya kes yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi, kepada nombor n, i.e. , untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa, adalah perlu: ​​untuk mempertimbangkan pelbagai hasil ujian; cari jumlah satu-satunya kes yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi, hitung jumlah bilangannya n, bilangan kes m yang memihak kepada peristiwa yang diberikan; melakukan pengiraan formula. Ia mengikuti daripada formula bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nombor bukan negatif dan boleh berbeza dari sifar hingga satu, bergantung pada bahagian bilangan kes yang menggalakkan daripada jumlah bilangan kes: Pertimbangkan contoh lain. Terdapat 10 biji bola di dalam sebuah kotak. 3 daripadanya merah, 2 hijau, selebihnya putih. Cari kebarangkalian bahawa bola yang ditarik secara rawak adalah merah, hijau, atau putih. Penampilan bola merah, hijau dan putih membentuk kumpulan acara yang lengkap. Mari kita nyatakan penampilan bola merah - acara A, penampilan hijau - acara B, penampilan putih - acara C. Kemudian, mengikut formula yang ditulis di atas, kita memperoleh: ; ; Ambil perhatian bahawa kebarangkalian berlakunya satu daripada dua peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini. Kekerapan relatif peristiwa A ialah nisbah bilangan pengalaman yang mengakibatkan peristiwa A kepada jumlah pengalaman. Perbezaan antara kekerapan relatif dan kebarangkalian terletak pada fakta bahawa kebarangkalian dikira tanpa hasil langsung eksperimen, dan kekerapan relatif - selepas pengalaman. Jadi dalam contoh di atas, jika 5 bola diambil secara rawak dari kotak dan 2 daripadanya ternyata merah, maka kekerapan relatif penampilan bola merah ialah: Seperti yang anda lihat, nilai ini tidak bertepatan dengan didapati kebarangkalian. Dengan bilangan percubaan yang cukup besar yang dilakukan, kekerapan relatif berubah sedikit, turun naik di sekitar satu nombor. Nombor ini boleh diambil sebagai kebarangkalian kejadian. kebarangkalian geometri. Takrifan klasik kebarangkalian mengandaikan bahawa bilangan hasil asas adalah terhingga, yang juga mengehadkan penggunaannya dalam amalan. Dalam kes apabila terdapat ujian dengan bilangan hasil yang tidak terhingga, takrifan kebarangkalian geometri digunakan - memukul titik dalam kawasan. Apabila menentukan kebarangkalian geometri, diandaikan bahawa terdapat rantau N dan rantau M yang lebih kecil di dalamnya. Satu titik dilemparkan secara rawak ke rantau N (ini bermakna semua titik rantau N adalah "sama" dari segi mendapat titik yang dilemparkan secara rawak di sana). Peristiwa A - "titik lontaran mencecah kawasan M". Kawasan M dipanggil favorable kepada peristiwa A. Kebarangkalian untuk masuk ke mana-mana bahagian kawasan N adalah berkadar dengan ukuran bahagian ini dan tidak bergantung pada lokasi dan bentuknya. Kawasan yang diliputi oleh kebarangkalian geometri boleh menjadi: segmen (ukuran ialah panjang) angka geometri pada satah (ukuran ialah luas) jasad geometri dalam ruang (ukuran ialah isipadu) Mari kita takrifkan kebarangkalian geometri untuk kes angka rata. Biarkan kawasan M menjadi sebahagian daripada kawasan N. Acara A terdiri daripada pukulan titik yang dilemparkan secara rawak pada kawasan N dalam kawasan M. Kebarangkalian geometri bagi peristiwa A ialah nisbah luas kawasan itu. kawasan M ke kawasan kawasan N: Dalam kes ini, kebarangkalian titik yang dilemparkan secara rawak mengenai sempadan kawasan itu diandaikan sama dengan sifar . Pertimbangkan contoh: Jam tangan mekanikal dengan dail pukul dua belas putus dan berhenti berfungsi. Cari kebarangkalian bahawa jarum jam dibekukan pada pukul 5 tetapi tidak pada pukul 8. Penyelesaian. Bilangan hasil adalah tidak terhingga, kami menggunakan definisi kebarangkalian geometri. Sektor antara 5 dan 8 adalah sebahagian daripada kawasan keseluruhan dail, oleh itu, . Operasi pada peristiwa: Peristiwa A dan B dipanggil sama jika berlakunya peristiwa A melibatkan kejadian B dan sebaliknya. Kesatuan atau jumlah peristiwa ialah peristiwa A, yang bermaksud berlakunya sekurang-kurangnya satu peristiwa. A = Persimpangan atau hasil daripada peristiwa dipanggil peristiwa A, yang terdiri dalam pelaksanaan semua peristiwa. A=? Perbezaan antara peristiwa A dan B dipanggil peristiwa C, yang bermaksud peristiwa A berlaku, tetapi peristiwa B tidak berlaku. C=AB Contoh: A + B - “2 jatuh; empat; 6 atau 3 mata” A B - “6 mata digulung” A - B - “2 dan 4 mata dilancarkan” Acara tambahan kepada acara A ialah peristiwa yang bermaksud peristiwa A tidak berlaku. Hasil pengalaman asas ialah hasil pengalaman yang saling mengecualikan antara satu sama lain dan akibat daripada pengalaman salah satu daripada peristiwa ini berlaku, dan tidak kira apa pun peristiwa A, ia boleh dinilai dengan hasil asas bahawa peristiwa ini berlaku atau berlaku. tidak berlaku. Keseluruhan semua hasil asas pengalaman dipanggil ruang peristiwa asas. Sifat kebarangkalian: Sifat 1. Jika semua kes menguntungkan untuk peristiwa A tertentu, maka peristiwa ini pasti akan berlaku. Oleh itu, peristiwa yang sedang dipertimbangkan adalah pasti, dan kebarangkalian kejadiannya, kerana dalam kes ini Harta 2. Jika tidak ada satu kes yang menguntungkan untuk peristiwa A ini, maka peristiwa ini tidak boleh berlaku akibat daripada eksperimen. Oleh itu, peristiwa yang sedang dipertimbangkan adalah mustahil, dan kebarangkalian kejadiannya, kerana dalam kes ini m=0: Harta 3. Kebarangkalian berlakunya peristiwa membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu. Harta 4. Kebarangkalian berlakunya peristiwa berlawanan ditentukan dengan cara yang sama seperti kebarangkalian berlakunya peristiwa A: di mana (n-m) ialah bilangan kes yang memihak kepada berlakunya peristiwa bertentangan. Oleh itu, kebarangkalian peristiwa berlawanan berlaku adalah sama dengan perbezaan antara satu dan kebarangkalian kejadian itu berlaku A: Penambahan dan pendaraban kebarangkalian. Peristiwa A dipanggil kes khas bagi peristiwa B jika, apabila A berlaku, B juga berlaku. Fakta bahawa A ialah kes khas bagi B, kita tulis A? B. Peristiwa A dan B dipanggil sama jika setiap satu daripadanya adalah kes khas bagi yang lain. Kami menulis kesamaan peristiwa A dan B sebagai A \u003d B. Jumlah peristiwa A dan B ialah peristiwa A + B, yang berlaku jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa berlaku: A atau B. Teorem penambahan kebarangkalian 1. Kebarangkalian berlakunya satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian kejadian ini. P=P+P dan hanya apabila kedua-dua peristiwa berlaku: A dan B pada masa yang sama. Peristiwa rawak A dan B dipanggil bersama jika kedua-dua peristiwa ini boleh berlaku semasa ujian tertentu. Teorem penambahan 2. Kebarangkalian hasil tambah peristiwa bersama dikira dengan formula P=P+P-P Contoh tugasan pada teorem penambahan. Dalam peperiksaan geometri, pelajar mendapat satu soalan daripada senarai soalan peperiksaan. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan bulatan bertulis ialah 0.2. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan Paralelogram ialah 0.15. Tiada soalan yang berkaitan dengan dua topik ini pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan mengenai salah satu daripada dua topik ini dalam peperiksaan. Penyelesaian. Kebarangkalian jumlah dua peristiwa tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini: 0.2 + 0.15 = 0.35. Jawapan: 0.35. Dua mesin layan diri yang sama menjual kopi di pusat membeli-belah. Kebarangkalian bahawa mesin akan kehabisan kopi pada penghujung hari ialah 0.3. Kebarangkalian kedua-dua mesin akan kehabisan kopi ialah 0.12. Cari kebarangkalian bahawa pada penghujung hari akan ada kopi yang tinggal di kedua-dua mesin layan diri. Penyelesaian. Pertimbangkan peristiwa A - "kopi akan berakhir di mesin pertama", B - "kopi akan berakhir di mesin kedua". Kemudian A B - "kopi akan berakhir di kedua-dua mesin layan diri", A + B - "kopi akan berakhir dengan sekurang-kurangnya satu mesin layan diri". Mengikut keadaan P(A) = P(B) = 0.3; P(A B) = 0.12. Peristiwa A dan B adalah bersama, kebarangkalian jumlah dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tanpa kebarangkalian hasil darabnya: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A B) = 0.3 + 0.3? 0.12 = 0.48. Oleh itu, kebarangkalian kejadian yang bertentangan, yang terdiri daripada fakta bahawa kopi kekal dalam kedua-dua mesin, adalah sama dengan 1? 0.48 = 0.52. Jawapan: 0.52. Peristiwa bagi peristiwa A dan B dipanggil bebas jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengubah kebarangkalian kejadian yang lain. Peristiwa A dikatakan bergantung kepada peristiwa B jika kebarangkalian peristiwa A berubah bergantung kepada sama ada peristiwa B berlaku atau tidak. Kebarangkalian bersyarat P(A|B) bagi peristiwa A ialah kebarangkalian yang dikira dengan mengandaikan bahawa peristiwa B telah berlaku. Begitu juga, P(B|A) menandakan kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B, dengan syarat A telah berlaku. Untuk acara bebas, mengikut takrifan, P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Teorem pendaraban bagi peristiwa bersandar Kebarangkalian hasil darab peristiwa bersandar adalah sama dengan hasil darab be0.01 = 0.0198 + 0.0098 = 0.0296. Jawapan: 0.0296.

Pada tahun 2003, keputusan telah dibuat untuk memasukkan unsur-unsur teori kebarangkalian dalam kursus sekolah matematik sekolah pendidikan am (surat arahan No. 03-93in / 13-03 pada 23 September 2003 Kementerian Pendidikan Persekutuan Rusia "Mengenai pengenalan unsur kombinatorik, statistik dan teori kebarangkalian ke dalam kandungan pendidikan matematik sekolah rendah", "Matematik di Sekolah", No. 9, 2003). Pada masa ini, unsur-unsur teori kebarangkalian telah wujud dalam pelbagai bentuk dalam buku teks algebra sekolah yang terkenal untuk kelas yang berbeza selama lebih daripada sepuluh tahun (contohnya, I.F. “Algebra: Buku teks untuk gred 7-9 institusi pendidikan” disunting oleh G.V. Dorofeev; " Algebra dan Permulaan Analisis: Buku Teks untuk Gred 10-11 Institusi Pendidikan Am "G.V. Dorofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedova"), dan dalam bentuk alat bantu mengajar yang berasingan. Walau bagaimanapun, pembentangan bahan mengenai teori kebarangkalian di dalamnya, sebagai peraturan, tidak sistematik, dan guru, selalunya, tidak merujuk kepada bahagian ini, tidak memasukkannya ke dalam kurikulum. Dokumen yang diterima pakai oleh Kementerian Pendidikan pada tahun 2003 memperuntukkan kemasukan bahagian-bahagian ini secara beransur-ansur dalam kursus sekolah, membolehkan komuniti pengajar bersedia untuk perubahan yang sepadan. Pada tahun 2004-2008 Beberapa buku teks sedang diterbitkan untuk melengkapkan buku teks algebra sedia ada. Ini adalah penerbitan Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teori dan statistik kebarangkalian", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teori dan Statistik Kebarangkalian: Panduan Guru", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: elemen statistik dan teori kebarangkalian: buku teks. Elaun untuk pelajar 7-9 sel. pendidikan umum institusi", Tkacheva M.V., Fedorova N.E. "Elemen statistik dan kebarangkalian: Proc. Elaun untuk 7-9 sel. pendidikan umum institusi." Alat bantu mengajar juga disediakan untuk membantu guru. Selama beberapa tahun, semua alat bantu mengajar ini telah diuji di sekolah. Dalam keadaan apabila tempoh peralihan pengenalan ke dalam kurikulum sekolah telah berakhir, dan bahagian statistik dan teori kebarangkalian telah mengambil tempat mereka dalam kurikulum gred 7-9, analisis dan pemahaman tentang ketekalan definisi dan sebutan utama yang digunakan dalam buku teks ini. adalah diperlukan. Semua buku teks ini dicipta tanpa adanya tradisi mengajar bahagian matematik ini di sekolah. Ketiadaan ini, secara sengaja atau tidak, mencetuskan provokasi pengarang buku teks untuk membandingkannya dengan buku teks sedia ada untuk universiti. Yang terakhir, bergantung pada tradisi yang telah ditetapkan dalam pengkhususan individu pendidikan tinggi, sering dibenarkan untuk ketidakkonsistenan istilah yang ketara dan perbezaan dalam sebutan konsep dan formula asas. Analisis kandungan buku teks sekolah di atas menunjukkan bahawa pada hari ini mereka telah mewarisi ciri-ciri ini daripada buku teks sekolah tinggi. Dengan tahap ketepatan yang lebih tinggi, boleh dikatakan bahawa pilihan bahan pendidikan khusus dalam bahagian baru matematik untuk sekolah, mengenai konsep "rawak", sedang berlaku dalam cara yang paling rawak, sehingga nama dan notasi. Oleh itu, pasukan pengarang buku teks sekolah terkemuka mengenai teori dan statistik kebarangkalian memutuskan untuk menyertai usaha mereka di bawah naungan Institut Pendidikan Terbuka Moscow untuk membangunkan kedudukan yang dipersetujui mengenai penyatuan definisi utama dan notasi yang digunakan dalam buku teks sekolah mengenai kebarangkalian teori dan statistik. Mari analisa pengenalan topik "Teori Kebarangkalian" dalam buku teks sekolah. Ciri-ciri umum: Kandungan pengajaran topik "Elemen Teori Kebarangkalian", yang diketengahkan dalam "Program untuk Institusi Pendidikan Am. Matematik", memastikan perkembangan lanjut kebolehan matematik pelajar, orientasi kepada profesion yang berkaitan dengan matematik secara signifikan, dan persediaan untuk belajar di universiti. Kekhususan kandungan matematik topik yang sedang dipertimbangkan memungkinkan untuk mengukuhkan tugas utama yang dikenal pasti untuk kajian mendalam matematik seperti berikut. 1. Meneruskan pendedahan kandungan matematik sebagai sistem ilmu deduktif. - membina sistem definisi konsep asas; - mengenal pasti sifat tambahan bagi konsep yang diperkenalkan; - untuk mewujudkan hubungan antara konsep yang diperkenalkan dan yang telah dikaji sebelumnya. 2. Sistematisasi beberapa cara kebarangkalian untuk menyelesaikan masalah; mendedahkan komposisi operasi bagi mencari penyelesaian kepada masalah jenis tertentu. 3. Untuk mewujudkan keadaan untuk pelajar memahami dan memahami idea utama kepentingan praktikal teori kebarangkalian dengan menganalisis fakta teori utama. Untuk mendedahkan aplikasi praktikal teori yang dipelajari dalam topik ini. Pencapaian matlamat pendidikan yang ditetapkan akan dipermudahkan oleh penyelesaian tugas-tugas berikut: 1. Untuk membentuk idea tentang pelbagai cara untuk menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa (statistik, klasik, geometri, aksiomatik) 2. Untuk membentuk pengetahuan tentang operasi asas pada peristiwa dan keupayaan untuk mengaplikasikannya untuk menerangkan beberapa peristiwa melalui yang lain. 3. Untuk mendedahkan intipati teori penambahan dan pendaraban kebarangkalian; tentukan had penggunaan teorem ini. Tunjukkan aplikasi mereka untuk terbitan formula kebarangkalian penuh. 4. Kenal pasti algoritma untuk mencari kebarangkalian kejadian a) mengikut takrifan klasik kebarangkalian; b) mengenai teori penambahan dan pendaraban; c) mengikut formula 0.99 + 0.98P(A|Bn) Pertimbangkan contoh: Talian automatik menghasilkan bateri. Kebarangkalian bahawa bateri yang telah siap rosak ialah 0.02. Sebelum pembungkusan, setiap bateri melalui sistem kawalan. Kebarangkalian bahawa sistem akan menolak bateri yang buruk ialah 0.99. Kebarangkalian bahawa sistem akan tersilap menolak bateri yang baik ialah 0.01. Cari kebarangkalian bahawa bateri yang dipilih secara rawak akan ditolak. Penyelesaian. Keadaan di mana bateri akan ditolak mungkin timbul akibat daripada peristiwa berikut: A - "bateri benar-benar rosak dan ditolak secara adil" atau B - "bateri baik, tetapi ditolak secara tidak sengaja". Ini adalah peristiwa yang tidak serasi, kebarangkalian jumlahnya adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini. Kami mempunyai: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0.02P(A|B3) + … + P(Bn)P(A|B2) + P(B3)P(A|B1 ) + P(B2) kebarangkalian salah satu daripadanya dengan kebarangkalian bersyarat yang lain, dengan syarat yang pertama berlaku: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P( B) P(A| B) (bergantung pada peristiwa mana yang berlaku dahulu). Akibat daripada teorem: Teorem pendaraban untuk peristiwa bebas. Kebarangkalian hasil darab peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya: P(A B) = P(A) P(B) Jika A dan B adalah bebas, maka pasangan itu juga bebas: (;), (; B), (A;). Contoh tugasan pada teorem pendaraban: Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia memenangi grandmaster B. dengan kebarangkalian 0.52. Jika A. bermain hitam, maka A. menewaskan B. dengan kebarangkalian 0.3. Grandmasters A. dan B. bermain dua permainan, dan dalam permainan kedua mereka menukar warna kepingan. Cari kebarangkalian bahawa A. menang kedua-dua kali. Penyelesaian. Peluang untuk memenangi perlawanan pertama dan kedua adalah bebas antara satu sama lain. Kebarangkalian hasil darab peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya: 0.52 0.3 = 0.156. Jawapan: 0.156. Kedai itu mempunyai dua mesin pembayaran. Setiap daripada mereka boleh rosak dengan kebarangkalian 0.05, tanpa mengira automaton yang lain. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu automata boleh diservis. Penyelesaian. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua automata rosak. Peristiwa ini adalah bebas, kebarangkalian hasil darabnya adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini: 0.05 0.05 = 0.0025. Peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa sekurang-kurangnya satu automaton boleh diservis adalah sebaliknya. Oleh itu, kebarangkaliannya ialah 1? 0.0025 = 0.9975. Jawapan: 0.9975. Jumlah formula kebarangkalian Akibat daripada teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian ialah formula jumlah kebarangkalian: Kebarangkalian P(A) peristiwa A, yang boleh berlaku hanya jika salah satu peristiwa (hipotesis) B1, B2, B3 ... Bn berlaku, membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi berpasangan, adalah sama dengan jumlah hasil darab kebarangkalian bagi setiap peristiwa (hipotesis) B1, B2, B3, ..., Bn dan kebarangkalian bersyarat yang sepadan bagi peristiwa itu. A: P(A) = P(B1) daripada jumlah kebarangkalian. 5. Bentuk preskripsi yang membolehkan anda memilih salah satu algoritma secara rasional apabila menyelesaikan masalah tertentu. Matlamat pendidikan yang dipilih untuk mengkaji unsur-unsur teori kebarangkalian akan ditambah dengan menetapkan matlamat pembangunan dan pendidikan. Membangunkan matlamat: untuk membentuk dalam diri pelajar minat yang berterusan dalam subjek, untuk mengenal pasti dan mengembangkan kebolehan matematik; dalam proses pembelajaran untuk membangunkan bidang pertuturan, pemikiran, emosi-kehendak dan konkrit-motivasi; penemuan bebas oleh pelajar tentang cara baru untuk menyelesaikan masalah dan tugasan; aplikasi pengetahuan dalam situasi dan keadaan baharu; membangunkan keupayaan untuk menerangkan fakta, hubungan antara fenomena, menukar bahan daripada satu bentuk perwakilan kepada yang lain (lisan, tanda-simbolik, grafik); untuk mengajar untuk menunjukkan penggunaan kaedah yang betul, untuk melihat logik penaakulan, persamaan dan perbezaan fenomena. Matlamat pendidikan: untuk membentuk idea moral dan estetik anak sekolah, sistem pandangan tentang dunia, keupayaan untuk mengikuti norma tingkah laku dalam masyarakat; untuk membentuk keperluan individu, motif tingkah laku sosial, aktiviti, nilai dan orientasi nilai; untuk mendidik seseorang yang mampu mendidik diri dan mendidik diri. Mari analisa buku teks algebra untuk gred 9 "Algebra: elemen statistik dan teori kebarangkalian" Makarychev Yu.N. Buku teks ini ditujukan untuk pelajar dalam gred 7-9, ia melengkapkan buku teks: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", disunting oleh Teleyakovsky S.A. Buku ini mengandungi empat perenggan. Setiap perenggan mengandungi maklumat teori dan latihan berkaitan. Pada akhir perenggan, latihan untuk pengulangan diberikan. Untuk setiap perenggan, latihan tambahan dengan tahap kerumitan yang lebih tinggi diberikan berbanding dengan latihan utama. Menurut "Program untuk Institusi Pendidikan Am", 15 jam diperuntukkan untuk mempelajari topik "Teori dan Statistik Kebarangkalian" dalam kursus algebra sekolah. Bahan mengenai topik ini jatuh pada gred ke-9 dan dibentangkan dalam perenggan berikut: §3 "Unsur kombinatorik" mengandungi 4 mata: Contoh masalah gabungan. Contoh mudah menunjukkan penyelesaian masalah gabungan dengan menghitung pilihan yang mungkin. Kaedah ini digambarkan dengan membina pokok pilihan yang mungkin. Peraturan pendaraban dipertimbangkan. Permutasi. Konsep itu sendiri dan formula untuk mengira pilih atur diperkenalkan. Penginapan. Konsep ini diperkenalkan pada contoh konkrit. Formula untuk bilangan penempatan diperolehi. Gabungan. Konsep dan formula bilangan gabungan. Tujuan bahagian ini adalah untuk memberi pelajar cara yang berbeza untuk menerangkan semua kemungkinan kejadian asas dalam pelbagai jenis pengalaman rawak. §4 "Maklumat awal daripada teori kebarangkalian". Pembentangan bahan bermula dengan pertimbangan eksperimen, selepas itu konsep "peristiwa rawak" dan "kekerapan relatif peristiwa rawak" diperkenalkan. Takrifan statistik dan klasik bagi kebarangkalian diperkenalkan. Perenggan itu berakhir dengan titik "penambahan dan pendaraban kebarangkalian." Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian dipertimbangkan, konsep berkaitan kejadian tidak serasi, berlawanan, bebas diperkenalkan. Bahan ini direka untuk pelajar yang menunjukkan minat dan kebolehan untuk matematik dan boleh digunakan untuk kerja individu atau dalam aktiviti kokurikulum bersama pelajar. Cadangan metodologi untuk buku teks ini diberikan dalam beberapa artikel oleh Makarychev dan Mindyuk ("Unsur kombinatorik dalam kursus algebra sekolah", "Maklumat pengenalan daripada teori kebarangkalian dalam kursus algebra sekolah"). Dan juga beberapa kenyataan kritikal mengenai tutorial ini terkandung dalam artikel oleh Studenetskaya dan Fadeeva, yang akan membantu untuk mengelakkan kesilapan semasa bekerja dengan buku teks ini. Tujuan: peralihan daripada penerangan kualitatif tentang peristiwa kepada penerangan matematik. Topik "Teori Kebarangkalian" dalam buku teks Mordkovich A.G., Semenov P.V. untuk darjah 9-11. Pada masa ini, salah satu buku teks yang sedia ada di sekolah ialah buku teks Mordkovich A.G., Semenov P.V. "Peristiwa, kebarangkalian, pemprosesan data statistik", ia juga mempunyai bab tambahan untuk gred 7-9. Mari kita analisanya. Menurut Program Kerja Algebra, 20 jam diperuntukkan untuk kajian topik "Unsur Kombinatorik, Statistik dan Teori Kebarangkalian". Bahan mengenai topik "Teori Kebarangkalian" didedahkan dalam perenggan berikut: § 1. Masalah gabungan yang paling mudah. Peraturan pendaraban dan pokok varian. Permutasi. Ia bermula dengan masalah gabungan mudah, kemudian mempertimbangkan jadual pilihan yang mungkin, yang menunjukkan prinsip peraturan pendaraban. Kemudian pokok kemungkinan varian dan pilih atur dipertimbangkan. Selepas bahan teori, terdapat latihan untuk setiap sub-item. § 2. Pemilihan beberapa elemen. Gabungan. Pertama, formula untuk 2 elemen dipaparkan, kemudian untuk tiga, dan kemudian yang umum untuk n elemen. § 3. Peristiwa rawak dan kebarangkaliannya. Takrifan klasik kebarangkalian diperkenalkan. Kelebihan manual ini ialah ia adalah salah satu daripada sedikit yang mengandungi perenggan yang berkaitan dengan jadual dan pokok varian. Perkara ini adalah perlu kerana jadual dan pokok pilihan yang mengajar pelajar tentang pembentangan dan analisis awal data. Juga dalam buku teks ini, formula gabungan berjaya diperkenalkan dahulu untuk dua elemen, kemudian untuk tiga dan umum untuk n elemen. Dari segi kombinatorik, bahan tersebut dipersembahkan dengan jayanya. Setiap perenggan mengandungi latihan, yang membolehkan anda menyatukan bahan. Komen mengenai tutorial ini terkandung dalam artikel oleh Studenetskaya dan Fadeeva. Dalam gred 10, tiga perenggan diberikan mengenai topik ini. Dalam yang pertama daripada mereka “Peraturan pendaraban. Pilih atur dan faktorial”, sebagai tambahan kepada peraturan pendaraban itu sendiri, penekanan utama adalah pada terbitan dua identiti gabungan asas daripada peraturan ini: untuk bilangan pilih atur dan untuk bilangan subset yang mungkin bagi set yang terdiri daripada n unsur. Pada masa yang sama, faktorial telah diperkenalkan sebagai cara yang mudah untuk memendekkan jawapan dalam banyak masalah gabungan khusus sebelum konsep "permutasi". Dalam perenggan kedua kelas 10 “Memilih berbilang elemen. Pekali binomial" dianggap masalah gabungan klasik yang dikaitkan dengan pemilihan serentak (atau berurutan) beberapa elemen daripada set terhingga tertentu. Yang paling penting dan benar-benar baru untuk sekolah pendidikan am Rusia ialah perenggan terakhir "Peristiwa rawak dan kebarangkalian mereka." Ia menganggap skema probabilistik klasik, menganalisis formula P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1- P() dan cara menggunakannya. Perenggan itu berakhir dengan peralihan kepada pengulangan bebas ujian dengan dua hasil. Ini adalah model kebarangkalian yang paling penting dari sudut pandangan praktikal (percubaan Bernoulli), yang mempunyai sejumlah besar aplikasi. Bahan yang terakhir membentuk peralihan antara kandungan bahan pendidikan dalam gred 10 dan 11. Dalam gred ke-11, topik "Elemen Teori Kebarangkalian" ditumpukan kepada dua perenggan buku teks dan buku masalah. § 22 memperkatakan kebarangkalian geometri, § 23 mengulang dan mengembangkan pengetahuan tentang ulangan bebas percubaan dengan dua hasil.

Peristiwa yang berlaku secara realiti atau dalam imaginasi kita boleh dibahagikan kepada 3 kumpulan. Ini adalah peristiwa tertentu yang pasti akan berlaku, peristiwa mustahil dan peristiwa rawak. Teori kebarangkalian mengkaji peristiwa rawak, i.e. peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak. Artikel ini akan dibentangkan dalam ringkasan formula teori kebarangkalian dan contoh penyelesaian masalah dalam teori kebarangkalian, yang akan berada dalam tugas ke-4 PENGGUNAAN dalam matematik (peringkat profil).

Mengapa kita memerlukan teori kebarangkalian

Dari segi sejarah, keperluan untuk mengkaji masalah ini timbul pada abad ke-17 berkaitan dengan pembangunan dan profesionalisasi perjudian dan kemunculan kasino. Ia adalah fenomena sebenar yang memerlukan kajian dan penyelidikannya.

Bermain kad, dadu, rolet mencipta situasi di mana mana-mana bilangan terhingga peristiwa yang berkemungkinan sama boleh berlaku. Terdapat keperluan untuk memberikan anggaran berangka tentang kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa.

Pada abad ke-20, ternyata sains yang kelihatan remeh ini bermain peranan penting dalam pengetahuan tentang proses asas yang berlaku dalam dunia mikro. Teori kebarangkalian moden telah dicipta.

Konsep asas teori kebarangkalian

Objek kajian teori kebarangkalian ialah peristiwa dan kebarangkaliannya. Sekiranya peristiwa itu kompleks, maka ia boleh dipecahkan kepada komponen mudah, kebarangkalian yang mudah dicari.

Jumlah peristiwa A dan B dipanggil peristiwa C, yang terdiri daripada fakta bahawa sama ada peristiwa A, atau peristiwa B, atau peristiwa A dan B berlaku pada masa yang sama.

Hasil darab peristiwa A dan B ialah peristiwa C, yang terdiri daripada fakta bahawa kedua-dua peristiwa A dan peristiwa B berlaku.

Peristiwa A dan B dikatakan tidak serasi jika ia tidak boleh berlaku pada masa yang sama.

Sesuatu peristiwa A dikatakan mustahil jika ia tidak boleh berlaku. Peristiwa sedemikian dilambangkan dengan simbol .

Sesuatu peristiwa A dipanggil pasti jika ia pasti akan berlaku. Peristiwa sedemikian dilambangkan dengan simbol .

Biarkan setiap peristiwa A diberi nombor P(A). Nombor P(A) ini dipanggil kebarangkalian kejadian A jika syarat berikut dipenuhi dengan surat-menyurat sedemikian.

Kes khas yang penting ialah keadaan apabila terdapat kemungkinan hasil asas yang sama, dan hasil ini secara sewenang-wenangnya membentuk peristiwa A. Dalam kes ini, kebarangkalian boleh diperkenalkan dengan formula . Kebarangkalian yang diperkenalkan dengan cara ini dipanggil kebarangkalian klasik. Ia boleh dibuktikan bahawa sifat 1-4 memegang dalam kes ini.

Masalah dalam teori kebarangkalian, yang terdapat pada peperiksaan dalam matematik, terutamanya berkaitan dengan kebarangkalian klasik. Tugas sedemikian boleh menjadi sangat mudah. Terutama mudah ialah masalah dalam teori kebarangkalian dalam versi demo. Adalah mudah untuk mengira bilangan hasil yang menggalakkan, bilangan semua hasil ditulis secara langsung dalam keadaan.

Kami mendapat jawapan mengikut formula.

Contoh tugasan daripada peperiksaan dalam matematik untuk menentukan kebarangkalian

Terdapat 20 pai di atas meja - 5 dengan kubis, 7 dengan epal dan 8 dengan nasi. Marina mahu mengambil pai. Apakah kebarangkalian dia akan mengambil kuih beras itu?

Penyelesaian.

Terdapat 20 hasil asas yang sama secara keseluruhannya, iaitu, Marina boleh mengambil mana-mana daripada 20 pai. Tetapi kita perlu menganggarkan kebarangkalian bahawa Marina akan mengambil patty nasi, iaitu, di mana A adalah pilihan patty nasi. Ini bermakna kita mempunyai sejumlah 8 hasil yang menggalakkan (memilih pai beras). Kemudian kebarangkalian akan ditentukan oleh formula:

Peristiwa Bebas, Bertentangan dan Sewenang-wenangnya

Walau bagaimanapun, tugas yang lebih kompleks mula muncul dalam bank tugas yang terbuka. Oleh itu, marilah kita menarik perhatian pembaca kepada soalan lain yang dikaji dalam teori kebarangkalian.

Peristiwa A dan B dipanggil bebas jika kebarangkalian setiap satu daripadanya tidak bergantung kepada sama ada peristiwa lain berlaku.

Peristiwa B terdiri daripada fakta bahawa peristiwa A tidak berlaku, i.e. peristiwa B adalah bertentangan dengan peristiwa A. Kebarangkalian peristiwa bertentangan adalah sama dengan satu tolak kebarangkalian peristiwa langsung, i.e. .

Teorem penambahan dan pendaraban, rumus

Untuk peristiwa A dan B sewenang-wenangnya, kebarangkalian jumlah peristiwa ini adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka tanpa kebarangkalian acara bersama, iaitu .

Bagi peristiwa bebas A dan B, kebarangkalian hasil darab peristiwa ini adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya, i.e. dalam kes ini.

2 pernyataan terakhir dipanggil teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Tidak selalu mengira bilangan hasil adalah begitu mudah. Dalam sesetengah kes, perlu menggunakan formula kombinatorik. Perkara yang paling penting ialah mengira bilangan acara yang memenuhi syarat tertentu. Kadangkala pengiraan sedemikian boleh menjadi tugas bebas.

Dalam berapa banyak cara 6 orang pelajar boleh duduk di 6 tempat duduk kosong? Pelajar pertama akan mengambil mana-mana daripada 6 tempat. Setiap pilihan ini sepadan dengan 5 cara untuk meletakkan pelajar kedua. Untuk pelajar ketiga terdapat 4 tempat percuma, untuk keempat - 3, untuk kelima - 2, keenam akan mengambil satu-satunya tempat yang tinggal. Untuk mencari nombor semua pilihan, anda perlu mencari produk, yang dilambangkan dengan simbol 6! dan baca "enam faktorial".

AT kes am jawapan kepada soalan ini diberikan oleh formula untuk bilangan pilih atur unsur n. Dalam kes kita, .

Pertimbangkan sekarang satu lagi kes dengan pelajar kami. Dalam berapa banyak cara 2 orang pelajar boleh duduk di 6 tempat duduk kosong? Pelajar pertama akan mengambil mana-mana daripada 6 tempat. Setiap pilihan ini sepadan dengan 5 cara untuk meletakkan pelajar kedua. Untuk mencari bilangan semua pilihan, anda perlu mencari produk.

Dalam kes umum, jawapan kepada soalan ini diberikan oleh formula untuk bilangan penempatan n unsur oleh unsur k

Dalam kes kita.

Dan kes terakhir daripada siri ini. Berapa banyak cara yang ada untuk memilih 3 pelajar daripada 6 orang? Pelajar pertama boleh dipilih dalam 6 cara, yang kedua dalam 5 cara, dan yang ketiga dalam 4 cara. Tetapi di antara pilihan ini, tiga pelajar yang sama berlaku 6 kali. Untuk mencari bilangan semua pilihan, anda perlu mengira nilai: . Dalam kes umum, jawapan kepada soalan ini diberikan oleh formula untuk bilangan gabungan unsur oleh unsur:

Dalam kes kita.

Contoh penyelesaian masalah daripada peperiksaan dalam matematik untuk menentukan kebarangkalian

Tugasan 1. Daripada koleksi, ed. Yashchenko.

Terdapat 30 pai di atas pinggan: 3 dengan daging, 18 dengan kubis dan 9 dengan ceri. Sasha secara rawak memilih satu pai. Cari kebarangkalian bahawa dia berakhir dengan ceri.

.

Jawapan: 0.3.

Masalah 2. Daripada koleksi, ed. Yashchenko.

Dalam setiap kumpulan 1000 mentol, purata 20 mentol rosak. Cari kebarangkalian bahawa mentol lampu yang dipilih secara rawak daripada kumpulan adalah baik.

Penyelesaian: Bilangan mentol lampu yang boleh diservis ialah 1000-20=980. Maka kebarangkalian mentol yang diambil secara rawak daripada kumpulan itu boleh digunakan ialah:

Jawapan: 0.98.

Kebarangkalian pelajar U. menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul dalam ujian matematik ialah 0.67. Kebarangkalian bahawa U. menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul ialah 0.73. Cari kebarangkalian bahawa U. menyelesaikan 9 masalah dengan betul.

Jika kita membayangkan garis nombor dan menandakan titik 8 dan 9 di atasnya, maka kita akan melihat bahawa keadaan "U. menyelesaikan dengan betul tepat 9 masalah” disertakan dalam keadaan “U. menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul", tetapi tidak terpakai pada syarat "W. menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul.

Walau bagaimanapun, syarat "U. menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul" terkandung dalam keadaan "U. menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul. Oleh itu, jika kita menetapkan peristiwa: “W. menyelesaikan dengan betul tepat 9 masalah" - melalui A, "U. menyelesaikan lebih daripada 8 masalah dengan betul" - melalui B, "U. menyelesaikan lebih daripada 9 masalah dengan betul "melalui C. Kemudian penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini:

Jawapan: 0.06.

Dalam peperiksaan geometri, pelajar menjawab satu soalan daripada senarai soalan peperiksaan. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan trigonometri ialah 0.2. Kebarangkalian bahawa ini ialah soalan Sudut Luar ialah 0.15. Tiada soalan yang berkaitan dengan dua topik ini pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan mengenai salah satu daripada dua topik ini dalam peperiksaan.

Mari kita fikirkan apa acara yang kita ada. Kami diberi dua peristiwa yang tidak serasi. Iaitu, sama ada soalan itu akan berkaitan dengan topik "Trigonometri", atau dengan topik "Sudut luar". Mengikut teorem kebarangkalian, kebarangkalian peristiwa tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian setiap peristiwa, kita mesti mencari jumlah kebarangkalian peristiwa ini, iaitu:

Jawapan: 0.35.

Bilik itu diterangi oleh tanglung dengan tiga lampu. Kebarangkalian satu lampu terbakar dalam setahun ialah 0.29. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu lampu tidak terbakar dalam tempoh setahun.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan kejadian. Kami mempunyai tiga mentol lampu, setiap satunya mungkin terbakar atau tidak secara bebas daripada mana-mana mentol lampu lain. Ini adalah acara bebas.

Kemudian kami akan menunjukkan varian acara tersebut. Kami menerima notasi: - mentol menyala, - mentol terbakar. Dan seterusnya kita mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa. Sebagai contoh, kebarangkalian kejadian di mana tiga acara bebas"mentol lampu terbakar", "mentol lampu dihidupkan", "mentol lampu dihidupkan": di mana kebarangkalian kejadian "mentol lampu menyala" dikira sebagai kebarangkalian kejadian yang bertentangan dengan peristiwa "mentol lampu dimatikan", iaitu: .

Semua buku boleh dimuat turun secara percuma dan tanpa pendaftaran.

BARU. Korolyuk V.S., Portenko N.I., Skorokhod A.V. Turbin A.F. Buku panduan teori kebarangkalian dan statistik matematik. ed ke-2. disemak semula Tambah. 1985 640 ms djvu. 13.2 MB.
Buku panduan ini adalah edisi yang diperluas dan disemak untuk buku "Buku Panduan Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik" yang disunting oleh V. S. Korolyuk, diterbitkan pada tahun 1978 oleh rumah penerbitan Naukova Dumka. Dari segi keluasan liputan idea utama, kaedah, dan keputusan khusus teori kebarangkalian moden, teori proses rawak, dan sebahagiannya statistik matematik, Buku Panduan adalah satu-satunya penerbitan seumpamanya.
Untuk saintis dan jurutera.

muat turun

BARU. F. Mosteller, R. Rourke, J. Thomas. Kebarangkalian. 1969 432 ms pdf. 12.6 MB.
Buku ini, yang ditulis oleh sekumpulan ahli matematik dan pendidik Amerika yang terkenal, adalah pengenalan asas kepada teori dan statistik kebarangkalian - cabang matematik yang kini semakin banyak digunakan dalam sains dan dalam amalan. Ditulis dalam bahasa yang rancak dan terang, ia mengandungi banyak contoh yang diambil untuk kebanyakan bahagian daripada alam kehidupan seharian. Walaupun fakta bahawa untuk membaca buku itu sudah cukup untuk mempunyai pengetahuan matematik dalam jumlah sekolah, ia adalah pengenalan yang betul sepenuhnya kepada teori kebarangkalian. Saya membaca dalam buku ini apa yang saya tidak pernah lihat pada orang lain.

. . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Andronov A.M., Kopytov E.A., Greenglaz L.Ya. Teori kebarangkalian dan statistik matematik. 2004 460 muka surat djvu. 6.7 MB.
Daripada penerbit:
Sebelum anda - buku teks lanjutan mengenai teori kebarangkalian dan statistik matematik. Bahan tradisional ditambah dengan soalan seperti kebarangkalian gabungan peristiwa rawak, jalan rawak, transformasi linear vektor rawak, penentuan berangka kebarangkalian tidak pegun bagi keadaan proses Markov diskret, aplikasi kaedah pengoptimuman untuk menyelesaikan masalah statistik matematik, model regresi. Perbezaan utama antara buku yang dicadangkan dan buku teks dan monograf yang terkenal mengenai teori kebarangkalian dan statistik matematik terletak pada tumpuannya pada penggunaan komputer peribadi yang berterusan semasa mengkaji bahan tersebut. Persembahan disertai banyak contoh penyelesaian masalah yang dipertimbangkan dalam persekitaran pakej Mathcad dan STATISTICA. Buku ini ditulis berdasarkan lebih daripada tiga puluh tahun pengalaman pengarang dalam mengajar disiplin teori kebarangkalian, statistik matematik dan teori proses rawak untuk pelajar pelbagai kepakaran institusi pendidikan tinggi. Ia menarik minat pelajar dan guru universiti, dan untuk semua orang yang berminat dalam penggunaan kaedah statistik probabilistik moden.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Agekyan. Teori kebarangkalian untuk angkasawan dan ahli fizik. 260 muka surat. Saiz 1.7 Mb. Buku ini mengandungi bahan sedemikian rupa untuk digunakan dalam pemprosesan hasil pengukuran oleh ahli fizik dan ahli astronomi. Buku yang berguna untuk mengira ralat.

Muat turun

I.I. Bavrin. statistik matematik teori kebarangkalian. tahun 2005. 161 ms djv. 1.7 MB.
Asas teori kebarangkalian dan statistik matematik digariskan dalam aplikasi fizik, kimia, biologi, geografi, ekologi, latihan untuk kerja bebas Semua konsep dan peruntukan asas digambarkan dengan contoh dan tugas yang dianalisis
Bagi pelajar sains semula jadi universiti pedagogi Boleh digunakan oleh pelajar dari universiti lain

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Borodin A. N. Kursus Asas dalam Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik. 1999 224 ms djvu. 3.6 MB.
Buku teks mengandungi pembentangan sistematik bahagian utama kursus asas dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik. Satu bahagian baharu telah ditambahkan pada bahagian tradisional - "Prosedur anggaran rekursif", memandangkan kepentingan khas prosedur ini untuk aplikasi. Bahan teori disertakan Kuantiti yang besar contoh dan tugasan daripada pelbagai bidang ilmu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . muat turun

Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Teori Kebarangkalian. perangkaan matematik. tahun 2005. 296 ms djvu. 2.8 MB.
Bahagian pertama membincangkan konsep asas teori kebarangkalian, menggunakan pembinaan matematik yang agak mudah, tetapi, bagaimanapun, pembentangan adalah berdasarkan pembinaan aksiomatik yang dicadangkan oleh Ahli Akademik A. N. Kolmogorov. Bahagian kedua menggariskan konsep asas statistik matematik. Masalah yang paling biasa untuk menganggar parameter yang tidak diketahui dan menguji hipotesis statistik dipertimbangkan, dan kaedah utama untuk penyelesaiannya diterangkan. Setiap kedudukan yang diberikan digambarkan melalui contoh. Bahan yang dibentangkan secara keseluruhan sepadan dengan standard pendidikan negeri.
Pelajar, pelajar siswazah dan profesor universiti, penyelidik pelbagai kepakaran dan mereka yang ingin mendapatkan idea pertama tentang teori kebarangkalian dan statistik matematik.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muat turun

V.N. Vapnik. Pemulihan pergantungan pada data empirikal. 1979 449 ms djvu. 6.3 MB.
Monograf dikhaskan untuk masalah memulihkan kebergantungan daripada data empirikal. Ia meneroka kaedah meminimumkan risiko pada sampel saiz terhad, mengikut mana, apabila memulihkan pergantungan fungsi, seseorang harus memilih fungsi yang memenuhi kompromi tertentu antara nilai yang mencirikan "kerumitan"nya dan nilai yang mencirikan tahap penghampirannya kepada set data empirikal. Penggunaan kaedah ini kepada tiga masalah utama pemulihan kebergantungan dipertimbangkan: masalah pengecaman pola pembelajaran, pemulihan regresi, dan tafsiran hasil eksperimen tidak langsung. Ditunjukkan bahawa mengambil kira jumlah data empirikal yang terhad membolehkan menyelesaikan masalah pengecaman corak dengan dimensi ruang ciri yang besar, memulihkan kebergantungan regresi tanpa adanya model fungsi yang dipulihkan, dan mendapatkan penyelesaian yang stabil untuk masalah yang salah mentafsir keputusan eksperimen tidak langsung. Algoritma yang sepadan untuk memulihkan kebergantungan diberikan.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

A.I. Volkovets, A.B. Gurinovich. Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik. Nota kuliah. 2003 84 ms. PDF. 737 Kb.
Abstrak kuliah mengenai kursus "Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik" merangkumi 17 kuliah mengenai topik yang ditakrifkan oleh program kerja standard untuk mempelajari disiplin ini. Tujuan kajian adalah untuk menguasai kaedah asas penerangan rasmi dan analisis fenomena rawak, pemprosesan dan analisis keputusan eksperimen fizikal dan berangka. Untuk mempelajari disiplin ini, pelajar memerlukan pengetahuan yang diperoleh dalam kajian bahagian "Siri", "Set dan operasi pada mereka", "Kalkulus pembezaan dan integral" kursus matematik yang lebih tinggi.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Volodin. Kuliah mengenai teori kebarangkalian dan statistik matematik. 2004 257 muka surat. Saiz 1.4 Mb. PDF. Theorver menekankan kaedah untuk membina model probabilistik dan pelaksanaan kaedah ini pada tugasan sebenar Sains semula jadi. Dalam statistik, tumpuan adalah pada kaedah untuk mengira risiko peraturan statistik tertentu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Wentzel, Ovtcharov. Teori kebarangkalian dan aplikasi kejuruteraannya. tahun 2000. 480 muka surat djvu. 10.3 MB.
Buku ini menyediakan pembentangan sistematik asas-asas teori kebarangkalian dari sudut pandangan aplikasi praktikal mereka dalam kepakaran: sibernetik, Matematik gunaan, komputer, sistem kawalan automatik, teori mekanisme, kejuruteraan radio, teori kebolehpercayaan, pengangkutan, komunikasi, dsb. Walaupun terdapat pelbagai bidang yang menjadi milik aplikasi, semuanya diserap dengan asas metodologi tunggal.
Bagi pelajar institusi pendidikan teknikal tinggi. Ia boleh berguna untuk guru, jurutera dan saintis pelbagai profil, yang dalam aktiviti praktikal mereka berhadapan dengan keperluan untuk menetapkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan analisis proses rawak.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Wentzel, Ovtcharov. Teori Kebarangkalian. 1969 365 ms djvu. 8.3 MB.
Buku ini adalah koleksi tugas dan latihan. Semua masalah ada jawapan, dan kebanyakannya ada penyelesaian.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

N. Ya. VILENKIN, V. G. POTAPOV. MASALAH-BENGKEL TEORI KEBARANGKALIAN DENGAN ELEMEN KOMBINATORIK DAN STATISTIK MATEMATIK. Tutorial. 1979 113 ms djvu. 1.3 MB.
Buku yang dibawa kepada perhatian pembaca adalah buku kerja praktikal untuk kursus "Teori Kebarangkalian". Buku tugasan terdiri daripada tiga bab, yang seterusnya dibahagikan kepada perenggan. Pada permulaan setiap perenggan, maklumat teori utama diberikan sesingkat mungkin, kemudian contoh tipikal dianalisis secara terperinci, dan, akhirnya, masalah untuk penyelesaian bebas dicadangkan, disediakan dengan jawapan dan arahan. Buku tugas juga mengandungi teks kerja makmal, pelaksanaannya akan membantu pelajar separuh masa untuk lebih memahami konsep asas statistik matematik.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muat turun

Gmurman. Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik. 2003 480 ms DJVU. 5.8 MB.
Buku ini pada dasarnya mengandungi semua bahan program mengenai teori kebarangkalian dan statistik matematik. perhatian yang besar ditumpukan kepada kaedah statistik pemprosesan data eksperimen. Pada akhir setiap bab terdapat masalah dengan jawapan. Ia bertujuan untuk pelajar universiti dan orang yang menggunakan kaedah probabilistik dan statistik dalam menyelesaikan masalah praktikal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Kolmogorov. Teori Kebarangkalian. Saiz 2.0 Mb.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Kibzun et al.Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik. Aduh. elaun. Kursus asas dengan contoh dan tugasan. Saiz 1.7 Mb. djvu. 225 ms.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

M. Katz. Kebebasan statistik dalam teori kebarangkalian, analisis dan teori nombor. 152 muka surat djv. 1.3 MB.
Buku ini dipersembahkan dalam bentuk yang sangat mudah diakses dan bentuk yang menarik aplikasi beberapa idea teori kebarangkalian dalam bidang matematik yang lain. Bahagian utama buku ini ditumpukan kepada konsep kemerdekaan statistik.
Buku ini akan berguna dan menarik untuk pelajar, ahli matematik, ahli fizik, jurutera.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

M. Katz. Kebarangkalian dan soalan berkaitan dalam fizik. 408 hlm. djv. 3.8 MB.
Penulis biasa kepada pembaca Soviet dari terjemahan karyanya "Statistical Independence in Probability Theory, Analysis and Number Theory" (IL, 1963). miliknya sebuah buku baru terutamanya didedikasikan kepada salah satu daripada tugasan yang paling menarik fizik: terangkan bagaimana sistem bilangan zarah yang sangat besar (gas dalam kapal) mencapai keseimbangan, dan terangkan bagaimana ketakterbalikan proses ini dalam masa adalah konsisten dengan keterbalikan dalam masa persamaan asal. Perhatian terbesar diberikan kepada aspek probabilistik masalah; Model statistik dianggap meniru ciri utama masalah. Dua bab pertama juga menarik minat bebas - menggunakan contoh yang dipilih dengan baik, penulis menunjukkan bagaimana konsep kebarangkalian timbul dalam matematik dan masalah fizikal dan apakah radas analisis yang digunakan oleh teori kebarangkalian. Edisi ini termasuk artikel oleh Katz dan pengarang lain yang berkaitan dengan isu yang dibangkitkan dalam buku itu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Kendall. Stuart. Analisis statistik pelbagai variasi dan siri masa. 375 ms DJVU. 8.2 MB.
Buku ini adalah jilid terakhir kursus tiga jilid mengenai statistik oleh M. Kendall dan A. Stewart, jilid pertama yang diterbitkan pada tahun 1966 di bawah tajuk "Teori Pengagihan:", dan yang kedua - pada tahun 1973 di bawah tajuk "Inferens dan Sambungan Statistik".
Buku ini mengandungi maklumat tentang analisis varians, reka bentuk eksperimen, teori sampel tinjauan, analisis pelbagai dimensi dan siri masa.
Seperti dua jilid pertama, buku ini mengandungi banyak cadangan praktikal dan contoh aplikasinya, dan pembentangan menggabungkan terbitan yang lebih atau kurang terperinci hasil utama dengan penghitungan yang agak ringkas. sebilangan besar maklumat lebih peribadi.
Buku ini akan menarik minat pelajar sarjana dan siswazah yang pakar dalam statistik matematik, serta pelbagai saintis yang berurusan dengan aplikasinya.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Kendall. Stuart. TEORI AGIHAN. Jilid 1. 590 muka surat 10.3 Mb. 6.1 MB.
Kandungan: Taburan kekerapan. Ukuran lokasi dan serakan. Momen dan separa invarian. Fungsi ciri. pengagihan piawai. Kalkulus Kebarangkalian. Kebarangkalian dan inferens statistik. Pemilihan rawak. ralat piawai. Taburan pensampelan yang tepat. Pengiraan taburan sampel. Pengiraan taburan sampel. Statistik ordinal. Taburan normal berbilang ubah dan bentuk kuadratik. Taburan yang berkaitan dengan normal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Kendall. Stuart. KESIMPULAN DAN HUBUNGAN STATISTIK. Jilid 2. 900 muka surat djvu. 10.3 MB.
Buku ini mengandungi maklumat tentang teori anggaran, ujian hipotesis, analisis korelasi, regresi, kaedah bukan parametrik, analisis urutan.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

N.Sh. Kremer. Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik. Buku teks. ed. ke-2, disemak. Tambah. 2004 575 ms djvu. 12.2 MB.
Ini bukan sahaja buku teks, tetapi juga panduan ringkas untuk menyelesaikan masalah. Asas teori kebarangkalian dan statistik matematik yang dinyatakan disertakan dengan sejumlah besar masalah (termasuk masalah ekonomi), diberikan dengan penyelesaian dan untuk kerja bebas. Pada masa yang sama, penekanan diberikan kepada konsep asas kursus, makna dan aplikasi teori dan kemungkinannya. Contoh diberikan tentang penggunaan kaedah probabilistik dan matematik-statistik dalam masalah beratur dan model pasaran kewangan.
Untuk pelajar dan pelajar siswazah kepakaran ekonomi dan bidang, serta profesor universiti, penyelidik dan ahli ekonomi.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Kobzar A.I. Statistik matematik gunaan. Untuk jurutera dan saintis. 2006 814 ms djvu. 7.7 MB.
Buku ini membincangkan cara menganalisis pemerhatian dengan kaedah statistik matematik. Secara konsisten dalam bahasa yang boleh diakses oleh pakar - bukan ahli matematik, kaedah moden analisis taburan kebarangkalian, penilaian parameter taburan, ujian hipotesis statistik, penilaian hubungan antara pembolehubah rawak, perancangan eksperimen statistik. Perhatian utama diberikan kepada penjelasan contoh penggunaan kaedah statistik matematik moden.
Buku ini bertujuan untuk jurutera, penyelidik, ahli ekonomi, pakar perubatan, pelajar siswazah dan pelajar yang ingin cepat, ekonomi dan pada tahap yang tinggi. tahap profesional menggunakan seluruh senjata statistik matematik moden untuk menyelesaikan masalah gunaan mereka.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muat turun

M.L. Krasnov. Teori Kebarangkalian. Buku teks. tahun 2001. 296 ms djvu. 3.9 MB.
Apabila mengkaji pelbagai fenomena dalam alam semula jadi dan masyarakat, penyelidik berhadapan dengan dua jenis eksperimen - eksperimen yang hasilnya tidak dapat diramal dengan jelas dalam keadaan tertentu, dan yang hasilnya tidak dapat diramalkan dengan jelas dalam keadaan yang dikawal oleh penyelidik, tetapi seseorang hanya boleh membuat andaian tentang spektrum keputusan yang mungkin. Dalam kes pertama, seseorang bercakap tentang fenomena deterministik, dalam kedua - fenomena yang menanggung watak rawak. Pada masa yang sama, mereka bermaksud bahawa a priori (lebih awal, sebelum eksperimen dijalankan atau pemerhatian fenomena selesai) dalam kes pertama kita dapat meramalkan hasilnya, tetapi tidak dalam yang kedua. Untuk perkara berikut, tidak penting apa yang menyebabkan ketidakpastian sedemikian - undang-undang alam yang mendasari fenomena yang dikaji atau ketidaklengkapan maklumat tentang proses yang menyebabkan fenomena ini. Keadaan penting ialah kehadiran fakta yang tidak dapat diramalkan. Teori kebarangkalian, asas di mana bahagian ini dikhaskan, direka bentuk untuk membolehkan penyelidik menerangkan eksperimen dan fenomena tersebut dan memberikannya alat yang boleh dipercayai untuk mengkaji realiti dalam situasi di mana penerangan deterministik adalah mustahil.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

E.L. Kuleshov. Teori Kebarangkalian. Kuliah untuk ahli fizik. 2002 116 muka surat djvu. 919 Kb.
Untuk pelajar senior.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . muat turun

Lazakovich, Stashulenok, Yablonsky. Kursus teori kebarangkalian. Tutorial. 2003 322 ms. PDF. 2.9 MB.
Manual latihan adalah berdasarkan kadar tahunan syarahan yang diberikan oleh pengarang selama beberapa tahun kepada pelajar Fakulti Mekanik dan Matematik Universiti Negeri Belarusia. Buku ini mengandungi bahagian berikut: ruang kebarangkalian, kebebasan, pembolehubah rawak, ciri berangka pembolehubah rawak, fungsi ciri, teorem had, asas teori proses rawak, unsur statistik dan aplikasi matematik, yang mengandungi jadual taburan kebarangkalian utama dan nilai sebahagian daripadanya. Kebanyakan bab termasuk lampiran, yang mengandungi bahan sokongan dan topik untuk pembelajaran kendiri.
Pembentangan disertakan dengan sejumlah besar contoh, latihan dan masalah yang menggambarkan konsep asas dan menerangkan kemungkinan aplikasi kenyataan yang terbukti.
Bagi pelajar pengkhususan matematik universiti.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Loev M. Teori Kebarangkalian. 1962 449 ms djvu. 6.2 MB.
Buku ini adalah kursus sistematik yang luas dalam teori kebarangkalian moden, ditulis pada tahap teori yang tinggi. Berdasarkan teori ukuran, penulis mengkaji peristiwa rawak, pembolehubah rawak dan urutannya, fungsi taburan dan fungsi ciri, had teorem teori kebarangkalian dan proses rawak. Pembentangan disertai dengan sejumlah besar tugas darjah yang berbeza-beza kesukaran.
Buku untuk pelajar sarjana dan siswazah - ahli matematik yang mempelajari teori.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Lvovsky B.N. Kaedah statistik untuk membina formula empirikal: Proc. elaun. ed. ke-2, disemak. Tambah. 1988 239 ms djvu. 2.3 MB.
Edisi ke-2 manual menggariskan kaedah utama untuk memproses data eksperimen. Kaedah pemprosesan awal hasil pemerhatian diterangkan secara terperinci. Kaedah statistik untuk membina formula empirikal, kaedah Kemungkinan maksimum, kaedah min dan analisis co-fasih dipertimbangkan. Metodologi untuk merancang dan memproses eksperimen aktif diliputi. Asas analisis serakan diberikan.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Yu.D. Editor Maksimov. Cabang kebarangkalian matematik. Buku teks. tahun 2001. 581 ms djvu. 7.4 MB.
Bahagian:!. Teori Kebarangkalian. 2. Perangkaan matematik. 3. Teori proses rawak. 4. Teori beratur.
Buku teks untuk bujang salah teknikal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Maksimov Yu.D. Matematik. Vshusk 9. Teori Kebarangkalian. Ringkasan terperinci. Buku Panduan Pengagihan Berterusan Satu Dimensi. 2002 98 muka surat djv. 4.3 MB.
Manual ini mematuhi standard pendidikan negeri dan program semasa disiplin "Matematik" untuk pengajian sarjana muda dalam semua bidang teknikal dan ekonomi am. Ia adalah abstrak terperinci kuliah tentang teori kebarangkalian, pada asasnya sepadan dengan abstrak asas (isu 7 daripada siri abstrak asas dalam matematik yang diterbitkan oleh penerbitan SPBPU).Berbeza dengan abstrak rujukan, berikut adalah bukti teorem dan terbitan formula yang digugurkan dalam abstrak rujukan, dan panduan kepada taburan berterusan satu dimensi.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

J. Neveu. Asas Matematik teori kebarangkalian. 1969 310 ms djv. 3.0 MB.
Pengarang buku ini terkenal dengan karyanya mengenai aplikasi kaedah analisis fungsi dan teori ukuran kepada soalan teori kebarangkalian. Buku yang ditulis dengan mahir mengandungi padat dan pada masa yang sama eksposisi lengkap asas-asas teori kebarangkalian. Termasuk banyak tambahan yang berguna dan bersenam.
Buku boleh layan buku teks yang bagus untuk pelajar dan pelajar siswazah yang ingin mengkaji secara serius teori proses rawak, dan buku rujukan yang sangat baik untuk pakar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

D.T. Menulis. Nota kuliah tentang teori kebarangkalian dan statistik matematik. 2004 256 ms djvu. 1.4 MB.
Buku ini adalah kursus kuliah tentang teori kebarangkalian dan statistik matematik. Bahagian pertama buku ini mengandungi konsep asas dan teorem teori kebarangkalian, seperti peristiwa rawak, kebarangkalian, fungsi rawak, korelasi, kebarangkalian bersyarat, hukum nombor besar, dan teorem had. Bahagian kedua buku ini dikhaskan untuk statistik matematik, ia menetapkan asas) kaedah persampelan, teori anggaran dan ujian hipotesis. Pembentangan bahan teori disertai dengan pertimbangan sejumlah besar contoh dan masalah, dan dijalankan dalam bahasa yang boleh diakses, jika boleh, ketat.
Direka untuk pelajar ekonomi dan universiti teknikal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Poddubnaya O.N. Kuliah mengenai teori kebarangkalian. 2006 125 ms pdf. 2.0 Mb.
Jelas tertulis. Kelebihan kursus, sebagai contoh, termasuk fakta bahawa pernyataan teori diterangkan melalui contoh.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Rozanov. Teori Kebarangkalian. Konsep asas. Hadkan teorem. proses rawak. 1967 498 ms djvu. 7.6 MB.
Buku itu ditulis oleh ahli matematik Amerika yang terkenal dan ditumpukan kepada salah satu trend moden yang penting dalam teori kebarangkalian, yang tidak cukup dicerminkan dalam kesusasteraan dalam bahasa Rusia. Penulis tertarik kepada hasil yang bermakna, dan bukannya keluasan maksimum, dan mempertimbangkan beberapa contoh dan aplikasi. Buku ini berjaya menggabungkan tahap pembentangan saintifik yang tinggi dan, pada masa yang sama, kebolehcapaian untuk penonton pelajar.
Untuk pakar dalam teori kebarangkalian, ahli fizik, jurutera, pelajar siswazah dan pelajar universiti.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Poincare A. Teori Kebarangkalian. 1999 284 hlm. djv. 700 Kb.
Buku ini adalah salah satu bahagian kursus kuliah oleh A. Poincaré. Ia membincangkan kedua-dua asas umum teori kebarangkalian dan isu bukan tradisional yang praktikalnya tidak terkandung dalam mana-mana kursus. Pelbagai aplikasi untuk fizik, matematik dan mekanik dipertimbangkan.
Buku ini berguna kepada pelbagai pembaca - ahli fizik, ahli matematik, ahli sejarah sains.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Pyt'ev Yu. P. Shishmarev IA Kursus dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik untuk ahli fizik. Proc. elaun. Universiti Negeri Moscow 1983. 256 ms djvu. 4.6 MB.
Buku ini berdasarkan kursus enam bulan kuliah, dibaca oleh pengarang di Fakulti Fizik. Banyak ruang diberikan kepada teori proses rawak: Markov dan pegun. Penyampaian adalah secara matematik yang ketat, walaupun tidak berdasarkan penggunaan kamiran Lebesgue. Bahagian kursus yang dikhaskan untuk statistik matematik mengandungi bahagian yang memberi tumpuan kepada aplikasi untuk tugas mengautomasikan perancangan, analisis dan tafsiran eksperimen fizikal. Teori statistik "instrumen + komputer" kompleks pengukuran dan pengkomputeran dibentangkan, yang memungkinkan untuk meningkatkan parameter peralatan eksperimen sebenar dengan ketara dengan memproses data pada komputer. Elemen teori dimasukkan semakan statistik hipotesis yang digunakan dalam masalah pentafsiran data eksperimen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . muat turun

Saveliev. teori asas kebarangkalian. Buku teks, Universiti Negeri Novosibirsk, 2005.
Bahagian 1 ditumpukan kepada teori. Saiz 660 Kb. Bahagian 2 ditumpukan kepada analisis contoh. Saiz 810 Kb. Bahagian 3. Kamiran Riemann dan Stieltjes. 240 muka surat djvu. 5.0 Mb. Bahagian 3 manual memperincikan unsur-unsur pembezaan dan kalkulus kamiran, yang digunakan dalam Bahagian I. Bahan gabungan daripada manual pengarang "Kuliah tentang analisis matematik, 2.1" (Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1973) dan "Integrasi fungsi yang boleh diukur secara seragam" (Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1984). Objek utama ialah kamiran Stieltjes. Ia ditakrifkan sebagai fungsi linear bersempadan pada ruang fungsi tanpa ketakselanjaran kompleks, yang telah dipertimbangkan dalam Bahagian 1. Kamiran Stieltjes digunakan secara meluas bukan sahaja dalam teori kebarangkalian, tetapi juga dalam geometri, mekanik dan bidang matematik yang lain. Lampiran dalam bahagian 3 manual menambah lampiran dalam bahagian 2. Untuk kesempurnaan, bahagian 3 mengulangi beberapa tempat dari bahagian 1. Lampiran mengekalkan penomboran dan perenggan manual pengarang "Kuliah Analisis Matematik".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun bahagian 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun bahagian 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun bahagian 3

Savrasov Yu.S. Penyelesaian yang optimum. Kuliah tentang kaedah pemprosesan ukuran. tahun 2000. 153 ms djvu. 1.1 Mb.
Kaedah untuk memproses ukuran yang memberikan pengekstrakan paling lengkap dipertimbangkan. informasi berguna tentang parameter yang diukur atau fenomena yang diperhatikan. Kaedah yang dikemukakan berkaitan dengan bidang teori kebarangkalian, statistik matematik, teori keputusan, teori utiliti, teori penapisan untuk sistem dinamik dengan masa diskret. Bahan buku adalah berdasarkan kuliah yang diberikan oleh penulis pada tahun 1994-1997. pelajar tahun ketiga jabatan asas "Radiofizik" Institut Fizik dan Teknologi Moscow. Dalam borang yang dicadangkan, buku itu akan berguna kepada pelajar fizikal dan kepakaran teknikal, jurutera dalam bidang radar, pemprosesan maklumat dan sistem kawalan automatik.
Banyak contoh telah dianalisis.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muat turun

Samoilenko N.I., Kuznetsov A.I., Kostenko A.B. Teori Kebarangkalian. Buku teks. tahun 2009. 201 ms. PDF. 2.1 MB.
Buku teks memperkenalkan konsep asas dan kaedah teori kebarangkalian. Kaedah yang diberikan digambarkan oleh contoh biasa. Setiap topik diakhiri dengan bahagian praktikal untuk pemerolehan sendiri kemahiran mengenai penggunaan kaedah teori kebarangkalian dalam menyelesaikan masalah stokastik.
Untuk pelajar universiti.
Contoh dari buku teks: melambung syiling adalah satu pengalaman, jatuh kepala atau ekor adalah satu peristiwa; mengeluarkan kad dari dek pilihan - pengalaman, penampilan sut merah atau hitam - acara; memberi kuliah adalah satu pengalaman, kehadiran pelajar di kuliah adalah satu acara.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Sekey. Paradoks teori kebarangkalian dan statistik matematik. Saiz 3.8 Mb. djv. 250 muka surat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Muat turun

Sevastyanov B.A. Kursus Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik. Buku teks. 1982 255 ms djvu. 2.8 MB.
Buku ini berdasarkan kursus satu tahun kuliah yang diberikan oleh penulis selama beberapa tahun di Jabatan Matematik Fakulti Mekanik dan Matematik Universiti Negeri Moscow. Konsep asas dan fakta teori kebarangkalian diperkenalkan pada mulanya untuk skema terhingga. Jangkaan matematik secara amnya ditakrifkan dengan cara yang sama seperti kamiran Lebesgue, tetapi pembaca tidak dijangka mempunyai pengetahuan terdahulu tentang penyepaduan Lebesgue.
Buku ini mengandungi bahagian berikut: ujian bebas dan rantai Markov, teorem had Moivre - Laplace dan Poisson, pembolehubah rawak, ciri dan fungsi penjanaan, hukum nombor besar, teorem had pusat, konsep asas statistik matematik, ujian hipotesis statistik, anggaran statistik, selang keyakinan .
Bagi pelajar sarjana universiti dan kolej teknikal yang mempelajari teori kebarangkalian.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

A.N. Sobolevsky. Teori kebarangkalian dan statistik matematik untuk ahli fizik. 2007 47 muka surat djv. 515 Kb.
Buku teks mengandungi pembentangan asas teori kebarangkalian dan statistik matematik untuk pelajar fizik pengkhususan teori. Bersama dengan bahan klasik (skim ujian bebas Bernoulli, terhingga rantai homogen Markov, proses penyebaran), perhatian yang besar diberikan kepada topik seperti teori sisihan besar, konsep entropi dalam pelbagai pilihan, undang-undang stabil dan taburan kebarangkalian menurun, kalkulus pembezaan stokastik. Buku teks ini bertujuan untuk pelajar yang pakar dalam pelbagai bahagian teori dan fizik matematik.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .muat turun

Tarasov L. V. Corak dunia sekeliling. Dalam 3 buah buku. 2004 djvu.
1. Peluang, keperluan, kebarangkalian. 384 muka surat 6.8 Mb.
Buku ini adalah pengenalan yang agak popular dan pada masa yang sama saintifik ketat pengenalan terperinci kepada teori kebarangkalian, yang termasuk analisis terperinci masalah yang sedang dipertimbangkan, generalisasi luas rancangan falsafah, penyelewengan yang bersifat sejarah. Buku ini mempunyai watak pendidikan yang jelas; bahannya berstruktur ketat, dibina berdasarkan bukti, disediakan dengan sejumlah besar graf dan gambar rajah; sejumlah besar masalah asal diberikan, beberapa daripadanya ditangani dalam buku, dan beberapa ditawarkan kepada pembaca untuk penyelesaian bebas. Buku itu adalah karya siap dan pada masa yang sama adalah buku pertama set tiga jilid pengarang.
2. Kebarangkalian dalam masyarakat moden. 360 muka surat 4.5 Mb.
Buku ini menunjukkan peranan asas teori kebarangkalian dalam masyarakat moden, yang berdasarkan kepada yang sangat maju Teknologi maklumat. Buku ini agak popular dan pada masa yang sama pengenalan terperinci secara saintifik kepada penyelidikan operasi dan teori maklumat. Ia mempunyai watak pendidikan yang jelas; bahannya berstruktur ketat, dibina berdasarkan bukti, disediakan dengan sejumlah besar graf dan gambar rajah; sejumlah besar tugasan diberikan, beberapa daripadanya diuruskan dalam buku, dan beberapa ditawarkan kepada pembaca untuk penyelesaian bebas.
3. 440 muka surat 7.5 Mb. Evolusi pengetahuan sains semula jadi.
Di sini, dalam bentuk yang popular dan sistematik, evolusi gambar sains semula jadi dunia dianalisis: dari program saintifik zaman dahulu kepada gambar mekanikal, kemudian kepada gambar elektromagnet, dan akhirnya kepada lukisan kontemporari. Peralihan daripada keteraturan dinamik (ditentukan secara tegar) kepada ketetapan statistik (kebarangkalian) ditunjukkan apabila pemahaman saintifik tentang dunia sekeliling semakin mendalam. Evolusi konsep fizik kuantum, fizik zarah asas, dan kosmologi dipertimbangkan dengan terperinci yang mencukupi. Kesimpulannya, idea-idea organisasi kendiri sistem tidak seimbang terbuka (kemunculan struktur dissipative) dibincangkan.
Untuk pelbagai pembaca, dan terutamanya untuk pelajar sekolah menengah (bermula dari gred 9), serta untuk pelajar sekolah teknik dan institusi pendidikan tinggi.

Kajian unsur statistik dan teori kebarangkalian bermula pada gred 7. Kemasukan maklumat asas daripada statistik dan teori kebarangkalian ke dalam kursus algebra bertujuan untuk membangunkan pelajar kemahiran penting dalam masyarakat moden seperti memahami dan mentafsir hasil kajian statistik, yang dibentangkan secara meluas dalam media. media massa. Dalam buku teks sekolah moden, konsep kebarangkalian kejadian rawak diperkenalkan berdasarkan Pengalaman hidup dan intuisi pelajar.

Saya ingin ambil perhatian bahawa dalam gred 5-6, pelajar sepatutnya sudah mendapat idea tentang peristiwa rawak dan kebarangkalian mereka, jadi dalam gred 7-9 adalah mungkin untuk memperkenalkan asas teori kebarangkalian dengan cepat, mengembangkan julat maklumat yang dilaporkan. kepada mereka.

Institusi pendidikan kami sedang menguji program " Sekolah rendah abad ke-21". Dan sebagai seorang guru matematik, saya memutuskan untuk meneruskan ujian projek ini dalam gred 5-6. Kursus ini dilaksanakan berdasarkan set pendidikan dan metodologi M.B. Volovich "Matematik. 5-6 kelas. Dalam buku teks "Matematik. Gred 6 ”6 jam diperuntukkan untuk mengkaji unsur-unsur teori kebarangkalian. Di sini kami memberikan maklumat awal yang pertama tentang konsep seperti ujian, kebarangkalian kejadian rawak, peristiwa tertentu dan mustahil. Tetapi perkara yang paling penting yang mesti dipelajari oleh pelajar ialah dengan sebilangan kecil percubaan, adalah mustahil untuk meramalkan keputusan sesuatu peristiwa rawak. Walau bagaimanapun, jika terdapat banyak ujian, maka keputusan menjadi agak boleh diramalkan. Untuk menyedarkan pelajar bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku boleh dikira, formula diberikan untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku apabila semua hasil yang dipertimbangkan adalah "sama".

Topik: Konsep "kebarangkalian". Acara Rawak.

Objektif Pelajaran:

• untuk memberikan kenalan dengan konsep "ujian", "hasil", "peristiwa rawak", "peristiwa tertentu", "peristiwa mustahil", untuk memberi gambaran awal tentang "kebarangkalian sesuatu peristiwa" , untuk membentuk keupayaan untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa;
• membangunkan keupayaan untuk menentukan kebolehpercayaan, kemustahilan peristiwa;
• meningkatkan rasa ingin tahu.

peralatan:

1. M.B. Volovich Matematik, gred 6, M.: Ventana-Graf, 2006.
2. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk Elemen statistik dan teori kebarangkalian, Moscow: Pendidikan, 2008.
3. 1 syiling ruble, dadu.

SEMASA KELAS

I. Detik organisasi

II. Aktualisasi pengetahuan pelajar

Selesaikan rebus:

(Kebarangkalian)

III. Penjelasan bahan baru

Jika syiling, sebagai contoh, ruble, dilambung ke atas dan dibiarkan jatuh ke lantai, maka hanya dua hasil yang mungkin: "syiling jatuh ke bawah" dan "syiling jatuh ekor ke atas." Kes apabila syiling jatuh di tepinya, berguling ke dinding dan bersandar padanya, sangat jarang berlaku dan biasanya tidak dipertimbangkan.
Untuk masa yang lama di Rusia mereka bermain "lambungan" - mereka melemparkan syiling jika perlu untuk menyelesaikan masalah kontroversi yang tidak mempunyai penyelesaian yang jelas adil, atau mereka memainkan beberapa jenis hadiah. Dalam situasi ini, mereka menggunakan peluang: ada yang memikirkan kehilangan "kepala", yang lain - "ekor".
Melambung syiling kadangkala terpaksa dilakukan walaupun apabila menyelesaikan isu yang sangat penting.
Sebagai contoh, perlawanan separuh akhir untuk Kejohanan Eropah pada tahun 1968 antara pasukan USSR dan Itali berakhir dengan keputusan seri. Pemenang tidak didedahkan sama ada dalam masa tambahan atau dalam penentuan sepakan penalti. Kemudian diputuskan bahawa pemenang akan ditentukan oleh peluang Baginda. Mereka melemparkan syiling. Kes itu memihak kepada orang Itali.
Dalam kehidupan seharian, dalam aktiviti praktikal dan saintifik, kita sering memerhatikan fenomena tertentu, menjalankan eksperimen tertentu.
Peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak semasa pemerhatian atau eksperimen dipanggil peristiwa rawak.
Corak peristiwa rawak dikaji oleh cabang khusus matematik yang dipanggil teori kebarangkalian.

Jom belanja pengalaman 1: Petya melemparkan syiling itu ke atas sebanyak 3 kali. Dan semua 3 kali "helang" jatuh - syiling jatuh dengan jata ke atas. Cuba teka jika boleh?
Jawapan: Mungkin. "Helang" dan "ekor" jatuh sepenuhnya secara tidak sengaja.

Pengalaman 2: (pelajar bekerja secara berpasangan) Baling syiling 1 ruble sebanyak 50 kali dan hitung berapa kali syiling itu muncul. Catatkan keputusan dalam buku nota.
Dalam kelas, hitung berapa banyak eksperimen yang telah dijalankan oleh semua pelajar dan berapakah jumlah bilangan tajuk.

Pengalaman 3: Syiling yang sama dilambung ke atas 1000 kali. Dan semua 1000 kali "helang" jatuh. Cuba teka jika boleh?
Mari kita bincangkan pengalaman ini.
Lambungan syiling dipanggil ujian. Kehilangan "kepala" atau "ekor" - hasil(hasil) ujian. Jika ujian diulang berkali-kali di bawah keadaan yang sama, maka maklumat tentang hasil semua ujian dipanggil perangkaan.
Statistik menangkap sebagai nombor m hasil (hasil) yang menarik minat kami, dan jumlah bilangan N ujian.
Definisi: Hubungan itu dipanggil kekerapan statistik hasil minat kepada kami.

Pada abad ke-18, seorang saintis Perancis, ahli kehormat Akademi Sains St. Petersburg, Buffon, untuk memeriksa ketepatan pengiraan kebarangkalian "helang" jatuh, melambung syiling sebanyak 4040 kali. "Helang" jatuh sebanyak 2048 kali.
Pada abad ke-19, saintis Inggeris Pearson melemparkan syiling sebanyak 24,000 kali. "Eagle" jatuh 12,012 kali.
Mari kita gantikan ke dalam formula, yang membolehkan kita mengira kekerapan statistik kejadian hasil yang menarik kepada kita, m= 12 012, N= 24,000. Kita dapat = 0.5005.

Pertimbangkan contoh membaling dadu. Kami akan menganggap bahawa dadu ini mempunyai bentuk biasa dan diperbuat daripada bahan homogen, dan oleh itu, apabila ia dilemparkan, peluang untuk mendapatkan sebarang bilangan mata dari 1 hingga 6 pada muka atasnya adalah sama. Mereka mengatakan terdapat enam kemungkinan hasil yang sama cabaran ini: gulung mata 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah paling mudah untuk dikira jika semuanya n kemungkinan hasil adalah "sama" (tiada satu pun daripada mereka mempunyai kelebihan berbanding yang lain).
Dalam kes ini, kebarangkalian P dikira dengan formula R= , di mana n ialah bilangan hasil yang mungkin.
Dalam contoh lambungan syiling, hanya terdapat dua hasil ("kepala" dan "ekor"), i.e. P= 2. Kebarangkalian R tajuk adalah sama dengan .
Pengalaman 4: Apakah kebarangkalian apabila sebiji dadu dilempar, ia akan timbul:
a) 1 mata; b) lebih daripada 3 mata.
Jawapan: a), b).

Definisi: Jika sesuatu peristiwa sentiasa berlaku di bawah syarat yang dipertimbangkan, maka ia dipanggil sahih. Kebarangkalian kejadian tertentu berlaku ialah 1.

Terdapat peristiwa yang, di bawah syarat yang dipertimbangkan, tidak pernah berlaku. Sebagai contoh, Pinocchio, atas nasihat musang Alice dan kucing Basilio, memutuskan untuk mengebumikan syiling emasnya di medan Keajaiban supaya pokok wang muncul daripada mereka. Apakah kebarangkalian bahawa syiling yang ditanam mereka akan menumbuhkan pokok? Kebarangkalian pokok wang tumbuh daripada syiling yang ditanam oleh Pinocchio ialah 0.

Definisi: Jika sesuatu peristiwa tidak pernah berlaku di bawah syarat yang dipertimbangkan, maka ia dipanggil mustahil. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah 0.

IV. Minit pendidikan jasmani

"Mimpi ajaib"

Semua orang boleh menari, berlari, melompat dan bermain,
Tetapi tidak semua orang tahu bagaimana untuk berehat, untuk berehat.
Mereka mempunyai permainan sedemikian, sangat mudah, mudah.
Pergerakan menjadi perlahan, ketegangan hilang,
Dan ia menjadi jelas: kelonggaran adalah menyenangkan.
Bulu mata jatuh, mata tertutup
Kami berehat dengan tenang, kami tertidur dengan mimpi ajaib.
Bernafas dengan mudah, sekata, dalam.
Ketegangan telah hilang dan seluruh badan berehat.
Bagaikan kita berbaring di atas rumput...
Di atas rumput lembut hijau...
Matahari semakin panas sekarang, tangan kami hangat.
Matahari lebih panas sekarang, kaki kami hangat.
Bernafas dengan mudah, bebas, dalam.
Bibir hangat dan lembik, tetapi tidak sama sekali letih.
Bibir sedikit terbuka, dan santai.
Dan lidah kita yang taat terbiasa dengan santai."
Lebih kuat, lebih pantas, lebih bertenaga:
“Seronoknya berehat, dan kini tiba masanya untuk bangun.
Kepalkan jari anda dengan kuat menjadi penumbuk
Dan tekan ke dada anda - seperti itu!
Regangkan, senyum, tarik nafas dalam-dalam, bangun!
Buka mata anda luas - satu, dua, tiga, empat!
Kanak-kanak berdiri dan menyanyi bersama Dengan cikgu sebutkan:
"Kami ceria, ceria lagi dan bersedia untuk kelas."

V. Penyatuan

Tugasan 1:

Manakah antara peristiwa berikut yang pasti dan yang mana mustahil:

a) Lempar dua dadu. Turun 2 mata. (asli)
b) Lempar dua dadu. Turun 1 mata. (mustahil)
c) Lempar dua dadu. Turun 6 mata. (asli)
d) Lempar dua dadu. Bilangan mata yang digulung kurang daripada 13. (sah)

Tugasan 2:

Kotak itu mengandungi 5 pensel hijau, 5 merah dan 10 pensel hitam. Dapat 1 pensel. Bandingkan kebarangkalian peristiwa berikut menggunakan ungkapan: lebih berkemungkinan, kurang berkemungkinan, berkemungkinan sama.

a) Pensel itu ternyata berwarna;
b) pensel ternyata berwarna hijau;
c) pensel berwarna hitam.

Jawab:

a) kemungkinan sama;
b) kemungkinan besar pensel itu ternyata hitam;
c) kemungkinan yang sama.

Tugasan 3: Petya melempar dadu sebanyak 23 kali. Walau bagaimanapun, 1 mata digolek 3 kali, 2 mata digolek 5 kali, 3 mata digolek 4 kali, 4 mata digolek 3 kali, 5 mata digolek 6 kali. Dalam kes lain, 6 mata jatuh. Semasa melakukan tugasan, bulatkan perpuluhan kepada perseratus.

1. Kira kekerapan statistik kejadian bilangan mata tertinggi, kebarangkalian bahawa 6 mata akan jatuh, dan terangkan mengapa kekerapan statistik berbeza dengan ketara daripada kebarangkalian kejadian 6 mata yang ditemui oleh formula.
2. Kira kekerapan statistik kejadian bilangan mata genap, kebarangkalian itu nombor genap mata, dan terangkan mengapa kekerapan statistik adalah berbeza dengan ketara daripada kebarangkalian bilangan mata genap yang ditemui oleh formula.

Tugasan 4: Untuk menghias pokok Krismas, mereka membawa kotak yang mengandungi 10 bola merah, 7 hijau, 5 biru dan 8 bola emas. Satu bola diambil secara rawak dari kotak itu. Apakah kebarangkalian bahawa ia akan menjadi: a) merah; b) emas; c) merah atau emas?

VI. Kerja rumah

1. 1 bola diambil dari kotak yang mengandungi bola merah dan hijau dan kemudian dimasukkan semula ke dalam kotak. Adakah mungkin untuk menganggap bahawa mengeluarkan bola dari kotak adalah satu ujian? Apakah keputusan ujian itu?
2. Sebuah kotak mengandungi 2 bola merah dan 8 bola hijau.

a) Cari kebarangkalian bahawa sebiji bola yang ditarik secara rawak berwarna merah.
b) Cari kebarangkalian bahawa sebiji bola yang ditarik secara rawak berwarna hijau.
c) Dua bola diambil secara rawak dari kotak itu. Bolehkah kedua-dua bola berwarna merah?

VII. Hasil

- Anda mempelajari paling banyak maklumat daripada teori kebarangkalian - apakah peristiwa rawak dan kekerapan statistik keputusan ujian, cara mengira kebarangkalian peristiwa rawak dengan kemungkinan hasil yang sama. Tetapi kita mesti ingat bahawa tidak selalu mungkin untuk menilai keputusan percubaan dengan hasil rawak dan mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa walaupun dengan sejumlah besar percubaan. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk mencari kebarangkalian untuk mendapat selesema: terlalu banyak faktor setiap kali mempengaruhi hasil peristiwa ini.