Jangkaan matematik ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak

Jangkaan matematik, definisi, jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret dan berterusan, selektif, jangkaan bersyarat, pengiraan, sifat, tugas, anggaran jangkaan, varians, fungsi taburan, formula, contoh pengiraan

Kembangkan kandungan

Runtuhkan kandungan

Jangkaan matematik adalah, definisi

Salah satu konsep terpenting dalam statistik matematik dan teori kebarangkalian, mencirikan taburan nilai atau kebarangkalian pembolehubah rawak. Biasanya dinyatakan sebagai purata wajaran semua parameter yang mungkin bagi pembolehubah rawak. Digunakan secara meluas dalam analisis teknikal, penyelidikan siri nombor, kajian proses berterusan dan panjang. Ia penting dalam menilai risiko, meramal penunjuk harga apabila berdagang dalam pasaran kewangan, dan digunakan dalam pembangunan strategi dan kaedah taktik permainan dalam teori perjudian.

Jangkaan matematik adalah nilai min pembolehubah rawak, taburan kebarangkalian pembolehubah rawak dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian.

Jangkaan matematik adalah ukuran nilai min pembolehubah rawak dalam teori kebarangkalian. Jangkaan matematik pembolehubah rawak x dilambangkan M(x).

Jangkaan matematik adalah

Jangkaan matematik adalah dalam teori kebarangkalian, purata wajaran semua nilai yang mungkin yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak ini.

Jangkaan matematik adalah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dengan kebarangkalian nilai ini.

Jangkaan matematik adalah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam kerangka teori nombor besar dan jarak jauh.

Jangkaan matematik adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang boleh diperoleh atau hilang oleh pemain, secara purata, untuk setiap pertaruhan. Dalam bahasa penjudi, ini kadangkala dipanggil "kelebihan pemain" (jika positif untuk pemain) atau "kepingan rumah" (jika negatif untuk pemain).

Jangkaan matematik adalah Peratusan keuntungan setiap kemenangan didarab dengan keuntungan purata tolak kebarangkalian kerugian didarab dengan kerugian purata.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak dalam teori matematik

Salah satu ciri berangka yang penting bagi pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik. Mari kita perkenalkan konsep sistem pembolehubah rawak. Pertimbangkan satu set pembolehubah rawak yang merupakan keputusan eksperimen rawak yang sama. Jika adalah salah satu nilai yang mungkin sistem, maka peristiwa itu sepadan dengan kebarangkalian tertentu yang memenuhi aksiom Kolmogorov. Fungsi yang ditakrifkan untuk sebarang kemungkinan nilai pembolehubah rawak dipanggil undang-undang pengedaran bersama. Fungsi ini membolehkan anda mengira kebarangkalian sebarang peristiwa daripada. Khususnya, hukum bersama taburan pembolehubah rawak dan, yang mengambil nilai daripada set dan, diberikan oleh kebarangkalian.

Istilah "jangkaan" diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) dan berasal daripada konsep "nilai hasil yang dijangkakan", yang pertama kali muncul pada abad ke-17 dalam teori perjudian dalam karya Blaise Pascal dan Christian Huygens . Walau bagaimanapun, pemahaman teori dan penilaian lengkap pertama konsep ini diberikan oleh Pafnuty Lvovich Chebyshev (pertengahan abad ke-19).

Hukum taburan pembolehubah berangka rawak (fungsi taburan dan siri taburan atau ketumpatan kebarangkalian) menerangkan sepenuhnya kelakuan pembolehubah rawak. Tetapi dalam beberapa masalah adalah memadai untuk mengetahui beberapa ciri berangka bagi kuantiti yang dikaji (contohnya, nilai purata dan kemungkinan sisihan daripadanya) untuk menjawab soalan yang dikemukakan. Utama ciri berangka pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik, varians, mod dan median.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab nilai yang mungkin dan kebarangkalian sepadannya. Kadangkala jangkaan matematik dipanggil purata wajaran, kerana ia lebih kurang sama dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak pada bilangan yang besar eksperimen. Daripada definisi jangkaan matematik, ia berikutan bahawa nilainya tidak kurang daripada nilai terkecil yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan tidak lebih daripada yang terbesar. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah pembolehubah bukan rawak (malar).

Jangkaan matematik mempunyai yang mudah makna fizikal: jika jisim unit diletakkan pada garis lurus, meletakkan beberapa jisim pada beberapa titik (untuk pengedaran diskret), atau "menyapu" dengan ketumpatan tertentu (untuk pengedaran yang benar-benar berterusan), maka titik yang sepadan dengan jangkaan matematik akan menjadi koordinat "pusat graviti" garis lurus.

Nilai purata pembolehubah rawak ialah nombor tertentu, iaitu, seolah-olah, "wakil"nya dan menggantikannya dalam pengiraan anggaran kasar. Apabila kita sebut: "purata masa operasi lampu ialah 100 jam" atau "purata titik hentaman dianjakkan relatif kepada sasaran sebanyak 2 m ke kanan", kami menunjukkan dengan ini ciri berangka tertentu pembolehubah rawak yang menerangkannya. lokasi pada paksi berangka, i.e. huraian jawatan.

Daripada ciri-ciri kedudukan dalam teori kebarangkalian, peranan yang paling penting dimainkan oleh jangkaan matematik pembolehubah rawak, yang kadang-kadang dipanggil hanya nilai purata pembolehubah rawak.

Pertimbangkan pembolehubah rawak X, yang mempunyai nilai yang mungkin x1, x2, …, xn dengan kebarangkalian p1, p2, …, pn. Kita perlu mencirikan dengan beberapa nombor kedudukan nilai pembolehubah rawak pada paksi-x, dengan mengambil kira hakikat bahawa nilai-nilai ini mempunyai kebarangkalian yang berbeza. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang dipanggil "purata wajaran" nilai xi, dan setiap nilai xi semasa purata perlu diambil kira dengan "berat" berkadar dengan kebarangkalian nilai ini. Oleh itu, kita akan mengira min pembolehubah rawak X, yang akan kami nyatakan M|X|:

Purata wajaran ini dipanggil jangkaan matematik pembolehubah rawak. Oleh itu, kami memperkenalkan sebagai pertimbangan salah satu konsep teori kebarangkalian yang paling penting - konsep jangkaan matematik. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.

X disebabkan oleh pergantungan yang pelik dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak dengan sejumlah besar eksperimen. Pergantungan ini adalah jenis yang sama seperti pergantungan antara kekerapan dan kebarangkalian, iaitu: dengan sejumlah besar eksperimen, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak mendekati (menumpu dalam kebarangkalian) jangkaan matematiknya. Daripada kehadiran hubungan antara kekerapan dan kebarangkalian, seseorang boleh menyimpulkan sebagai akibat kewujudan hubungan yang serupa antara min aritmetik dan jangkaan matematik. Sesungguhnya, pertimbangkan pembolehubah rawak X, dicirikan oleh satu siri pengedaran:

Biar terhasil N eksperimen bebas, dalam setiap satunya nilai X menerima nilai tertentu. Katakan nilai x1 muncul m1 masa, nilai x2 muncul m2 kali, makna umum xi muncul mi kali. Mari kita hitung min aritmetik bagi nilai X yang diperhatikan, yang, berbeza dengan jangkaan matematik M|X| kami akan menandakan M*|X|:

Dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen N frekuensi pi akan menghampiri (bertumpu dalam kebarangkalian) kebarangkalian yang sepadan. Oleh itu, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak M|X| dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen, ia akan mendekati (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Kaitan antara min aritmetik dan jangkaan matematik yang dirumuskan di atas membentuk kandungan salah satu bentuk hukum nombor besar.

Kita sedia maklum bahawa semua bentuk hukum nombor besar menyatakan fakta bahawa purata tertentu adalah stabil dalam sebilangan besar eksperimen. Di sini kita bercakap tentang kestabilan min aritmetik daripada satu siri cerapan yang mempunyai nilai yang sama. Dengan sebilangan kecil eksperimen, min aritmetik keputusannya adalah rawak; dengan peningkatan yang mencukupi dalam bilangan eksperimen, ia menjadi "hampir tidak rawak" dan, menstabilkan, mendekati nilai malar - jangkaan matematik.

Sifat kestabilan purata untuk sebilangan besar percubaan adalah mudah untuk disahkan secara eksperimen. Sebagai contoh, menimbang mana-mana badan di makmal pada skala yang tepat, hasil daripada menimbang kita mendapat nilai baru setiap kali; untuk mengurangkan ralat pemerhatian, kami menimbang badan beberapa kali dan menggunakan min aritmetik bagi nilai yang diperolehi. Adalah mudah untuk melihat bahawa dengan peningkatan lagi dalam bilangan eksperimen (penimbang), min aritmetik bertindak balas terhadap peningkatan ini semakin berkurangan, dan dengan bilangan eksperimen yang cukup besar ia boleh dikatakan berhenti berubah.

Perlu diingatkan bahawa ciri yang paling penting bagi kedudukan pembolehubah rawak - jangkaan matematik - tidak wujud untuk semua pembolehubah rawak. Adalah mungkin untuk membuat contoh pembolehubah rawak sedemikian yang jangkaan matematiknya tidak wujud, kerana jumlah atau kamiran yang sepadan menyimpang. Walau bagaimanapun, untuk amalan, kes sebegini tidak begitu menarik minat. Biasanya, pembolehubah rawak yang kita hadapi mempunyai julat nilai yang mungkin terhad dan, sudah tentu, mempunyai jangkaan.

Sebagai tambahan kepada ciri-ciri kedudukan pembolehubah rawak yang paling penting - jangkaan matematik, ciri-ciri kedudukan lain kadang-kadang digunakan dalam amalan, khususnya, mod dan median pembolehubah rawak.

Mod pembolehubah rawak ialah nilai yang paling berkemungkinan. Istilah "nilai berkemungkinan besar", secara tegasnya, terpakai hanya untuk kuantiti tidak berterusan; Untuk nilai berterusan mod ialah nilai di mana ketumpatan kebarangkalian adalah maksimum. Angka-angka menunjukkan mod untuk pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan, masing-masing.

Jika poligon taburan (lengkung agihan) mempunyai lebih daripada satu maksimum, taburan itu dikatakan sebagai "polimodal".

Kadang-kadang terdapat pengedaran yang mempunyai di tengah bukan maksimum, tetapi minimum. Pengagihan sedemikian dipanggil "antimodal".

DALAM kes am mod dan jangkaan matematik pembolehubah rawak tidak bertepatan. Dalam kes tertentu, apabila taburan adalah simetri dan modal (iaitu mempunyai mod) dan terdapat jangkaan matematik, maka ia bertepatan dengan mod dan pusat simetri taburan.

Satu lagi ciri kedudukan sering digunakan - apa yang dipanggil median pembolehubah rawak. Ciri ini biasanya digunakan hanya untuk pembolehubah rawak berterusan, walaupun ia boleh ditakrifkan secara rasmi untuk pembolehubah tak selanjar juga. Secara geometri, median ialah absis bagi titik di mana kawasan yang dibatasi oleh lengkung taburan dibelah dua.

Dalam kes taburan modal simetri, median bertepatan dengan min dan mod.

Jangkaan matematik ialah nilai purata pembolehubah rawak - ciri berangka bagi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak. Dalam cara yang paling umum, jangkaan matematik pembolehubah rawak X(w) ditakrifkan sebagai kamiran Lebesgue berkenaan dengan ukuran kebarangkalian R dalam asal ruang kebarangkalian:

Jangkaan matematik juga boleh dikira sebagai kamiran Lebesgue X dengan taburan kebarangkalian px kuantiti X:

Secara semula jadi, seseorang boleh mentakrifkan konsep pembolehubah rawak dengan jangkaan matematik yang tidak terhingga. Contoh biasa ialah masa pulang dalam beberapa jalan rawak.

Dengan bantuan jangkaan matematik, banyak ciri berangka dan fungsi taburan ditentukan (sebagai jangkaan matematik bagi fungsi sepadan pembolehubah rawak), contohnya, fungsi penjanaan, fungsi ciri, momen sebarang susunan, khususnya, serakan. , kovarians.

Jangkaan matematik adalah ciri lokasi nilai pembolehubah rawak (nilai purata taburannya). Dalam kapasiti ini, jangkaan matematik berfungsi sebagai beberapa parameter taburan "tipikal" dan peranannya adalah serupa dengan peranan momen statik - koordinat pusat graviti taburan jisim - dalam mekanik. Daripada ciri-ciri lain lokasi, dengan bantuan yang taburan diterangkan dalam istilah umum - median, mod, jangkaan matematik berbeza dalam nilai yang lebih besar yang ia dan ciri serakan yang sepadan - serakan - ada dalam had teorem teori kebarangkalian. Dengan kesempurnaan yang paling besar, makna jangkaan matematik didedahkan oleh undang-undang nombor besar (ketaksamaan Chebyshev) dan undang-undang nombor besar yang diperkukuh.

Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret

Biarkan terdapat beberapa pembolehubah rawak yang boleh mengambil salah satu daripada beberapa nilai berangka (contohnya, bilangan mata dalam gulungan dadu boleh menjadi 1, 2, 3, 4, 5, atau 6). Selalunya dalam amalan, untuk nilai sedemikian, persoalan timbul: apakah nilai yang diambil "secara purata" pada dalam jumlah yang banyak ujian? Apakah purata pulangan (atau kerugian) kami daripada setiap operasi berisiko?

Katakan ada sejenis loteri. Kami ingin memahami sama ada ia menguntungkan atau tidak untuk mengambil bahagian di dalamnya (atau mengambil bahagian berulang kali, secara kerap). Katakan setiap tiket keempat menang, hadiahnya ialah 300 rubel, dan harga mana-mana tiket ialah 100 rubel. Dengan jumlah penyertaan yang tidak terhingga, inilah yang berlaku. Dalam tiga perempat daripada kes, kami akan kalah, setiap tiga kerugian akan menelan belanja 300 rubel. Dalam setiap kes keempat, kami akan memenangi 200 rubel. (hadiah tolak kos), iaitu, untuk empat penyertaan, kami kehilangan purata 100 rubel, untuk satu - purata 25 rubel. Secara keseluruhan, kadar purata kerosakan kami ialah 25 rubel setiap tiket.

Kami membuang dadu. Jika ia tidak menipu (tanpa mengalihkan pusat graviti, dsb.), maka berapa banyak mata yang kita akan ada secara purata pada satu masa? Oleh kerana setiap pilihan berkemungkinan sama, kami mengambil min aritmetik bodoh dan mendapat 3.5. Oleh kerana ini adalah PURATA, tidak perlu marah kerana tiada lontaran tertentu akan memberikan 3.5 mata - baiklah, kiub ini tidak mempunyai wajah dengan nombor sedemikian!

Sekarang mari kita ringkaskan contoh kita:

Mari lihat gambar di atas. Di sebelah kiri ialah jadual taburan pembolehubah rawak. Nilai X boleh mengambil salah satu daripada n nilai yang mungkin (diberikan di baris atas). Tidak boleh ada nilai lain. Di bawah setiap nilai yang mungkin, kebarangkaliannya ditandatangani di bawah. Di sebelah kanan ialah formula, di mana M(X) dipanggil jangkaan matematik. Maksud nilai ini ialah dengan sejumlah besar ujian (dengan sampel yang besar) nilai purata akan cenderung kepada jangkaan yang sangat matematik ini.

Mari kita kembali kepada kiub bermain yang sama. Jangkaan matematik bilangan mata dalam lontaran ialah 3.5 (kira sendiri menggunakan formula jika anda tidak percaya). Katakan anda melemparkannya beberapa kali. 4 dan 6 jatuh. Secara purata, ternyata 5, iaitu, jauh dari 3.5. Mereka melemparkannya lagi, 3 jatuh, iaitu, secara purata (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... Entah bagaimana jauh dari jangkaan matematik. Sekarang lakukan percubaan gila - gulung kiub 1000 kali! Dan jika purata tidak betul-betul 3.5, maka ia akan hampir dengan itu.

Mari kita hitung jangkaan matematik untuk loteri yang diterangkan di atas. Jadual akan kelihatan seperti ini:

Maka jangkaan matematik adalah, seperti yang telah kami tetapkan di atas.:

Seperkara lagi ialah ia juga "di jari", tanpa formula, ia akan menjadi sukar jika terdapat lebih banyak pilihan. Baiklah, katakan terdapat 75% tiket yang hilang, 20% tiket yang menang dan 5% tiket yang menang.

Kini beberapa sifat jangkaan matematik.

Mudah untuk membuktikannya:

Pengganda berterusan boleh diambil daripada tanda jangkaan, iaitu:

Ini ialah kes khas bagi sifat lineariti jangkaan matematik.

Satu lagi akibat daripada kelinearan jangkaan matematik:

iaitu jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik pembolehubah rawak.

Biarkan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas, Kemudian:

Ini juga mudah dibuktikan) XY itu sendiri adalah pembolehubah rawak, manakala jika nilai awal boleh mengambil n Dan m nilai, masing-masing, kemudian XY boleh mengambil nilai nm. Kebarangkalian setiap nilai dikira berdasarkan fakta bahawa kebarangkalian acara bebas membiak. Akibatnya, kami mendapat ini:

Jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan

Pembolehubah rawak berterusan mempunyai ciri seperti ketumpatan taburan (ketumpatan kebarangkalian). Ia, sebenarnya, mencirikan keadaan yang beberapa nilai dari set nombor nyata pembolehubah rawak mengambil lebih kerap, beberapa - kurang kerap. Sebagai contoh, pertimbangkan carta ini:

Di sini X- sebenarnya pembolehubah rawak, f(x)- ketumpatan pengedaran. Berdasarkan graf ini, semasa eksperimen, nilai X selalunya akan menjadi nombor yang hampir kepada sifar. peluang untuk melebihi 3 atau kurang -3 agak teori semata-mata.

Biarkan, sebagai contoh, terdapat pengedaran seragam:

Ini agak konsisten dengan pemahaman intuitif. Katakan jika kita mendapat banyak nombor nyata rawak dengan taburan seragam, setiap segmen |0; 1| , maka min aritmetik hendaklah kira-kira 0.5.

Sifat jangkaan matematik - kelinearan, dsb., terpakai untuk pembolehubah rawak diskret, juga terpakai di sini.

Hubungan jangkaan matematik dengan penunjuk statistik lain

Dalam analisis statistik, bersama-sama dengan jangkaan matematik, terdapat sistem penunjuk saling bergantung yang mencerminkan kehomogenan fenomena dan kestabilan proses. Selalunya, penunjuk variasi tidak mempunyai makna bebas dan digunakan untuk analisis data selanjutnya. Pengecualian ialah pekali variasi, yang mencirikan kehomogenan data, yang bernilai ciri statistik.

Tahap kebolehubahan atau kestabilan proses dalam sains statistik boleh diukur menggunakan beberapa penunjuk.

Paling penunjuk penting mencirikan kebolehubahan pembolehubah rawak ialah Penyerakan, yang paling rapat dan secara langsung berkaitan dengan jangkaan matematik. Parameter ini digunakan secara aktif dalam jenis analisis statistik lain (ujian hipotesis, analisis hubungan sebab-akibat, dsb.). Seperti sisihan linear min, varians juga mencerminkan sejauh mana data tersebar di sekeliling saiz sederhana.

Ia berguna untuk menterjemah bahasa tanda ke dalam bahasa perkataan. Ternyata varians ialah purata kuasa dua sisihan. Iaitu, nilai purata terlebih dahulu dikira, kemudian perbezaan antara setiap nilai asal dan purata diambil, kuasa dua, ditambah dan kemudian dibahagikan dengan bilangan nilai dalam populasi ini. Perbezaan antara nilai berasingan dan purata mencerminkan ukuran sisihan. Ia kuasa dua untuk memastikan bahawa semua sisihan menjadi nombor positif secara eksklusif dan untuk mengelakkan pembatalan bersama positif dan sisihan negatif apabila merumuskannya. Kemudian, memandangkan sisihan kuasa dua, kita hanya mengira min aritmetik. Purata - segi empat sama - sisihan. Sisihan adalah kuasa dua, dan purata dipertimbangkan. Jawapan kepada perkataan ajaib "penyebaran" hanyalah tiga perkataan.

Walau bagaimanapun, dalam bentuk tulen, seperti min aritmetik, atau indeks, varians tidak digunakan. Ia adalah penunjuk tambahan dan perantaraan yang digunakan untuk jenis analisis statistik yang lain. Dia tidak mempunyai unit ukuran biasa pun. Berdasarkan formula, ini ialah kuasa dua unit data asal.

Mari kita ukur pembolehubah rawak N kali, sebagai contoh, kita mengukur kelajuan angin sepuluh kali dan ingin mencari nilai purata. Bagaimanakah nilai min berkaitan dengan fungsi taburan?

Atau kita akan membaling dadu berkali-kali. Bilangan mata yang akan jatuh pada dadu semasa setiap lontaran adalah pembolehubah rawak dan boleh mengambil sebarang nilai semula jadi dari 1 hingga 6. N ia bercita-cita untuk nombor tertentu- jangkaan matematik Mx. DALAM kes ini Mx = 3.5.

Bagaimanakah nilai ini terhasil? Biar masuk N percubaan n1 apabila 1 mata digugurkan, n2 kali - 2 mata dan seterusnya. Kemudian bilangan hasil di mana satu mata jatuh:

Begitu juga untuk keputusan apabila 2, 3, 4, 5 dan 6 mata jatuh.

Sekarang mari kita anggap bahawa kita tahu hukum taburan pembolehubah rawak x, iaitu, kita tahu bahawa pembolehubah rawak x boleh mengambil nilai x1, x2, ..., xk dengan kebarangkalian p1, p2, ... , pk.

Jangkaan matematik Mx bagi pembolehubah rawak x ialah:

Jangkaan matematik tidak selalunya merupakan anggaran munasabah bagi beberapa pembolehubah rawak. Jadi, untuk menganggarkan purata upah adalah lebih munasabah untuk menggunakan konsep median, iaitu nilai sedemikian sehingga bilangan orang yang menerima kurang daripada gaji median dan lebih, adalah sama.

Kebarangkalian p1 bahawa pembolehubah rawak x kurang daripada x1/2 dan kebarangkalian p2 bahawa pembolehubah rawak x lebih besar daripada x1/2 adalah sama dan sama dengan 1/2. Median tidak ditentukan secara unik untuk semua pengedaran.

Sisihan Piawai atau Piawai dalam statistik, darjah sisihan data pemerhatian atau set daripada nilai AVERAGE dipanggil. Ditandakan dengan huruf s atau s. Sisihan piawai yang kecil menunjukkan bahawa data dikumpulkan di sekitar min, dan sisihan piawai yang besar menunjukkan bahawa data awal adalah jauh daripadanya. Sisihan piawai sama punca kuasa dua kuantiti yang dipanggil serakan. Ia ialah purata jumlah perbezaan kuasa dua bagi data awal yang menyimpang daripada min. Sisihan piawai pembolehubah rawak ialah punca kuasa dua varians:

Contoh. Di bawah keadaan ujian apabila menembak pada sasaran, hitung varians dan sisihan piawai pembolehubah rawak:

Variasi- turun naik, kebolehubahan nilai atribut dalam unit populasi. Nilai berangka yang berasingan bagi ciri yang berlaku dalam populasi yang dikaji dipanggil varian nilai. Ketidakcukupan nilai purata untuk ciri yang lengkap agregat menjadikan kita menambah nilai purata dengan penunjuk yang membolehkan kita menilai tipikal purata ini dengan mengukur turun naik (variasi) sifat yang dikaji. Pekali variasi dikira dengan formula:

Variasi rentang(R) ialah perbezaan antara maksimum dan nilai minimum sifat dalam populasi kajian. Penunjuk ini memberikan yang paling banyak idea umum tentang turun naik sifat yang dikaji, kerana ia hanya menunjukkan perbezaan antara nilai mengehadkan pilihan. pergantungan nilai yang melampau tanda memberikan julat variasi tidak stabil, watak rawak.

Sisihan linear purata ialah min aritmetik bagi sisihan mutlak (modulo) semua nilai populasi yang dianalisis daripada nilai puratanya:

Jangkaan matematik dalam teori perjudian

Jangkaan matematik adalah jumlah purata wang pemain perjudian boleh menang atau kalah pada pertaruhan yang diberikan. Ini adalah konsep yang sangat penting untuk pemain, kerana ia adalah asas kepada penilaian kebanyakan situasi permainan. Jangkaan matematik juga merupakan alat terbaik untuk menganalisis reka letak kad asas dan situasi permainan.

Katakan anda bermain syiling dengan rakan, membuat pertaruhan $1 yang sama setiap kali, tidak kira apa yang berlaku. Ekor - anda menang, kepala - anda kalah. Peluang untuk mendapatkannya adalah satu lawan satu dan anda bertaruh $1 hingga $1. Oleh itu, jangkaan matematik anda adalah sifar, kerana Secara matematik, anda tidak boleh tahu sama ada anda akan mendahului atau kalah selepas dua pusingan atau selepas 200.

Keuntungan setiap jam anda adalah sifar. Pembayaran setiap jam ialah jumlah wang yang anda jangkakan untuk menang dalam satu jam. Anda boleh membalikkan syiling 500 kali dalam masa sejam, tetapi anda tidak akan menang atau kalah kerana kemungkinan anda tidak positif mahupun negatif. Jika dilihat, dari sudut pemain yang serius, sistem pertaruhan sebegitu tidaklah buruk. Tetapi ia hanya membuang masa.

Tetapi andaikan seseorang ingin bertaruh $2 melawan $1 anda dalam permainan yang sama. Kemudian anda serta-merta mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen daripada setiap pertaruhan. Kenapa 50 sen? Secara purata, anda memenangi satu pertaruhan dan kalah yang kedua. Pertaruhan dolar pertama dan kalah $1, pertaruhan kedua dan menang $2. Anda telah bertaruh $1 dua kali dan mendahului $1. Jadi setiap pertaruhan satu dolar anda memberi anda 50 sen.

Jika syiling jatuh 500 kali dalam satu jam, keuntungan setiap jam anda akan menjadi $250, kerana. secara purata, anda kehilangan $1 250 kali dan memenangi $2 250 kali. $500 tolak $250 bersamaan dengan $250, iaitu jumlah kemenangan. Ambil perhatian bahawa nilai jangkaan, iaitu jumlah yang anda menang secara purata pada satu pertaruhan, ialah 50 sen. Anda memenangi $250 dengan membuat pertaruhan satu dolar 500 kali, yang bersamaan dengan 50 sen pertaruhan anda.

Jangkaan matematik tiada kaitan dengan keputusan jangka pendek. Lawan anda, yang memutuskan untuk bertaruh $2 terhadap anda, boleh menewaskan anda pada sepuluh lambungan pertama berturut-turut, tetapi anda, dengan kelebihan pertaruhan 2-bersama-1, semuanya sama, membuat 50 sen pada setiap $1 pertaruhan di bawah mana-mana keadaan. Tidak kira sama ada anda menang atau kalah satu pertaruhan atau beberapa pertaruhan, tetapi hanya dengan syarat anda mempunyai wang tunai yang mencukupi untuk mengimbangi kos dengan mudah. Jika anda terus bertaruh dengan cara yang sama, maka dalam jangka masa yang panjang kemenangan anda akan mencapai jumlah nilai yang dijangkakan dalam gulungan individu.

Setiap kali anda membuat pertaruhan yang lebih baik (pertaruhan yang boleh menguntungkan dalam jangka masa panjang) apabila peluang memihak kepada anda, anda pasti akan memenangi sesuatu padanya, sama ada anda kalah atau tidak dalam tangan tertentu. Sebaliknya, jika anda membuat pertaruhan dengan keputusan yang lebih teruk (pertaruhan yang tidak menguntungkan dalam jangka masa panjang) apabila kemungkinan tidak memihak kepada anda, anda kehilangan sesuatu, tidak kira sama ada anda menang atau kalah dalam tangan ini.

Anda bertaruh dengan hasil terbaik jika jangkaan anda adalah positif, dan ia adalah positif jika kemungkinan memihak kepada anda. Dengan bertaruh dengan hasil yang paling teruk, anda mempunyai jangkaan negatif, yang berlaku apabila kemungkinan menentang anda. Pemain yang serius hanya bertaruh dengan keputusan terbaik, dengan yang paling teruk - mereka berlipat. Apakah maksud kemungkinan yang memihak kepada anda? Anda mungkin akan menang lebih daripada kemungkinan sebenar. Kemungkinan sebenar untuk memukul ekor adalah 1 berbanding 1, tetapi anda mendapat 2 berbanding 1 kerana nisbah pertaruhan. Dalam kes ini, kemungkinan memihak kepada anda. Anda pasti mendapat hasil terbaik dengan jangkaan positif sebanyak 50 sen setiap pertaruhan.

Ini lagi contoh kompleks jangkaan matematik. Rakan itu menulis nombor dari satu hingga lima dan bertaruh $5 terhadap $1 anda bahawa anda tidak akan memilih nombor itu. Adakah anda bersetuju dengan pertaruhan sedemikian? Apakah jangkaan di sini?

Secara purata, anda akan tersilap empat kali. Berdasarkan ini, kemungkinan untuk anda meneka nombornya ialah 4 berbanding 1. Kemungkinan anda akan kehilangan satu dolar dalam satu percubaan. Walau bagaimanapun, anda menang 5 berbanding 1, dengan kemungkinan tewas 4 berbanding 1. Oleh itu, kemungkinan berpihak kepada anda, anda boleh mengambil pertaruhan dan berharap untuk keputusan yang terbaik. Jika anda membuat pertaruhan ini lima kali, secara purata anda akan kehilangan empat kali $1 dan memenangi $5 sekali. Berdasarkan ini, untuk kelima-lima percubaan anda akan memperoleh $1 dengan jangkaan matematik positif sebanyak 20 sen setiap pertaruhan.

Seorang pemain yang akan menang lebih daripada pertaruhannya, seperti dalam contoh di atas, sedang menangkap peluang. Sebaliknya, dia merosakkan peluang apabila dia menjangkakan untuk menang kurang daripada yang dia pertaruhkan. Penaruh boleh mempunyai jangkaan positif atau negatif bergantung pada sama ada dia menangkap atau merosakkan peluang.

Jika anda bertaruh $50 untuk memenangi $10 dengan peluang 4 hingga 1 untuk menang, anda akan mendapat jangkaan negatif sebanyak $2, kerana secara purata, anda akan menang empat kali $10 dan kehilangan $50 sekali, yang menunjukkan bahawa kerugian setiap pertaruhan ialah $10. Tetapi jika anda bertaruh $30 untuk memenangi $10, dengan kemungkinan yang sama untuk menang 4 berbanding 1, maka dalam kes ini anda mempunyai jangkaan positif sebanyak $2, kerana anda sekali lagi menang empat kali $10 dan kehilangan $30 sekali, untuk keuntungan $10. Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa pertaruhan pertama adalah buruk dan yang kedua adalah baik.

Jangkaan matematik adalah pusat mana-mana situasi permainan. Apabila pembuat taruhan menggalakkan peminat bola sepak untuk bertaruh $11 untuk memenangi $10, mereka mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen untuk setiap $10. Jika kasino membayar walaupun wang dari talian pas Craps, maka jangkaan positif rumah itu ialah kira-kira $1.40 untuk setiap $100; permainan ini disusun supaya setiap orang yang bertaruh pada baris ini kehilangan 50.7% secara purata dan menang 49.3% pada setiap masa. Tidak dinafikan, jangkaan positif yang kelihatan minimum inilah yang membawa keuntungan besar kepada pemilik kasino di seluruh dunia. Seperti yang dinyatakan oleh pemilik kasino Vegas World Bob Stupak, “Seperseribu peratus daripada kebarangkalian negatif dalam jarak yang cukup jauh akan merosakkan lelaki terkaya di dunia".

Jangkaan matematik semasa bermain poker

Permainan Poker adalah yang paling mendedahkan dan contoh yang baik dari segi penggunaan teori dan sifat jangkaan matematik.

Nilai Jangkaan dalam Poker ialah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam rangka teori bilangan besar dan jarak jauh. Poker yang berjaya adalah tentang sentiasa menerima pergerakan dengan jangkaan matematik yang positif.

Makna matematik jangkaan matematik semasa bermain poker terletak pada fakta bahawa kita sering menghadapi pembolehubah rawak semasa membuat keputusan (kita tidak tahu kad yang lawan ada di tangannya, kad mana yang akan datang pada pusingan pertaruhan berikutnya). Kita mesti mempertimbangkan setiap penyelesaian dari sudut pandangan teori nombor besar, yang mengatakan bahawa dengan sampel yang cukup besar, nilai purata pembolehubah rawak akan cenderung kepada jangkaan matematiknya.

Di antara formula khusus untuk mengira jangkaan matematik, yang berikut paling sesuai dalam poker:

Apabila bermain poker, jangkaan matematik boleh dikira untuk kedua-dua pertaruhan dan panggilan. Dalam kes pertama, ekuiti lipatan harus diambil kira, dalam kes kedua, kemungkinan periuk sendiri. Apabila menilai jangkaan matematik bagi langkah tertentu, perlu diingat bahawa lipatan sentiasa mempunyai jangkaan matematik sifar. Oleh itu, membuang kad akan sentiasa menjadi keputusan yang lebih menguntungkan daripada sebarang langkah negatif.

Jangkaan memberitahu anda apa yang anda boleh jangkakan (keuntungan atau kerugian) untuk setiap dolar yang anda risiko. Kasino menghasilkan wang kerana jangkaan matematik semua permainan yang diamalkan di dalamnya memihak kepada kasino. Dengan siri permainan yang cukup panjang, boleh dijangka bahawa pelanggan akan kehilangan wangnya, kerana "kebarangkalian" memihak kepada kasino. Walau bagaimanapun, pemain kasino profesional mengehadkan permainan mereka kepada tempoh masa yang singkat, dengan itu meningkatkan kemungkinan yang memihak kepada mereka. Begitu juga dengan pelaburan. Jika jangkaan anda positif, anda boleh mendapat lebih banyak wang membuat banyak dagangan dalam tempoh yang singkat. Jangkaan ialah peratusan keuntungan setiap kemenangan anda dikali keuntungan purata anda tolak kebarangkalian kerugian anda dikali kerugian purata anda.

Poker juga boleh dipertimbangkan dari segi jangkaan matematik. Anda boleh menganggap bahawa langkah tertentu menguntungkan, tetapi dalam beberapa kes ia mungkin bukan yang terbaik, kerana langkah lain lebih menguntungkan. Katakan anda mencapai rumah penuh dalam poker cabutan lima kad. Lawan anda bertaruh. Anda tahu bahawa jika anda naik ante, dia akan memanggil. Jadi menaikkan kelihatan seperti taktik terbaik. Tetapi jika anda menaikkan, dua pemain yang tinggal pasti akan berlipat. Tetapi jika anda memanggil pertaruhan, anda akan benar-benar yakin bahawa dua pemain lain selepas anda akan melakukan perkara yang sama. Apabila anda menaikkan pertaruhan, anda mendapat satu unit, dan hanya dengan menelefon, anda mendapat dua. Jadi panggilan memberi anda nilai jangkaan positif yang lebih tinggi dan merupakan taktik terbaik.

Jangkaan matematik juga boleh memberi gambaran tentang taktik poker mana yang kurang menguntungkan dan mana yang lebih menguntungkan. Sebagai contoh, jika anda memainkan tangan tertentu dan anda fikir kerugian purata anda ialah 75 sen termasuk antes, maka anda harus memainkan tangan itu kerana ini lebih baik daripada melipat apabila ante ialah $1.

Satu lagi sebab penting untuk memahami intipati jangkaan matematik ialah ia memberikan anda rasa ketenangan fikiran sama ada anda memenangi pertaruhan atau tidak: jika anda membuat pertaruhan yang baik atau dilipat mengikut masa, anda akan tahu bahawa anda telah memperoleh atau menyimpan sejumlah wang yang tidak dapat disimpan oleh pemain yang lemah. Ia lebih sukar untuk dilipat jika anda kecewa kerana lawan anda mempunyai tangan yang lebih baik dalam undian. Yang berkata, wang yang anda simpan dengan tidak bermain, bukannya bertaruh, ditambah kepada kemenangan semalaman atau bulanan anda.

Ingatlah bahawa jika anda bertukar tangan, lawan anda akan menghubungi anda, dan seperti yang anda akan lihat dalam artikel Teorem Asas Poker, ini hanyalah salah satu kelebihan anda. Anda harus bergembira apabila ini berlaku. Anda juga boleh belajar untuk menikmati kehilangan tangan, kerana anda tahu bahawa pemain lain dalam kasut anda akan kehilangan lebih banyak lagi.

Seperti yang dibincangkan dalam contoh permainan syiling pada permulaan, kadar pulangan setiap jam adalah berkaitan dengan nilai yang dijangkakan, dan konsep ini amat penting untuk pemain profesional. Apabila anda akan bermain poker, anda mesti menganggarkan secara mental berapa banyak yang anda boleh menang dalam satu jam permainan. Dalam kebanyakan kes, anda perlu bergantung pada gerak hati dan pengalaman anda, tetapi anda juga boleh menggunakan beberapa pengiraan matematik. Sebagai contoh, jika anda bermain draw lowball dan anda melihat tiga pemain bertaruh $10 dan kemudian menarik dua kad, yang merupakan taktik yang sangat buruk, anda boleh mengira sendiri bahawa setiap kali mereka bertaruh $10 mereka kehilangan kira-kira $2. Setiap daripada mereka melakukan ini lapan kali sejam, yang bermaksud bahawa ketiga-tiga mereka kehilangan kira-kira $48 sejam. Anda adalah salah satu daripada empat pemain yang tinggal, yang lebih kurang sama, jadi empat pemain ini (dan anda di antara mereka) mesti berkongsi $48, dan masing-masing akan mendapat keuntungan $12 sejam. Kadar setiap jam anda dalam kes ini hanyalah bahagian anda daripada jumlah wang yang hilang oleh tiga pemain buruk setiap jam.

Dalam tempoh masa yang panjang, jumlah kemenangan pemain adalah jumlah jangkaan matematiknya dalam pengagihan berasingan. Lebih banyak anda bermain dengan jangkaan positif, lebih banyak anda menang, dan sebaliknya, lebih banyak tangan anda bermain dengan jangkaan negatif, lebih banyak anda kalah. Akibatnya, anda harus mengutamakan permainan yang boleh memaksimumkan jangkaan positif anda atau menafikan jangkaan negatif anda supaya anda boleh memaksimumkan keuntungan setiap jam anda.

Jangkaan matematik yang positif dalam strategi permainan

Jika anda tahu cara mengira kad, anda mungkin mempunyai kelebihan berbanding kasino jika mereka tidak menyedari dan menendang anda keluar. Kasino suka penjudi yang mabuk dan tidak tahan mengira kad. Kelebihannya akan membolehkan anda menang lebih banyak kali daripada yang anda kalah dari semasa ke semasa. pengurusan yang baik modal menggunakan pengiraan jangkaan boleh membantu anda memanfaatkan kelebihan anda dan mengurangkan kerugian anda. Tanpa kelebihan, lebih baik anda memberikan wang itu untuk amal. Dalam permainan di bursa saham, kelebihan diberikan oleh sistem permainan, yang mencipta lebih banyak keuntungan daripada kerugian, perbezaan harga dan komisen. Tiada jumlah pengurusan wang akan menyelamatkan sistem permainan yang buruk.

Jangkaan positif ditakrifkan oleh nilai yang lebih besar daripada sifar. Semakin besar angka ini, semakin kuat jangkaan statistik. Jika nilainya kurang daripada sifar, maka jangkaan matematik juga akan menjadi negatif. Semakin besar modulus nilai negatif, maka keadaan yang lebih teruk. Jika keputusan adalah sifar, maka jangkaan adalah pulang modal. Anda hanya boleh menang apabila anda mempunyai jangkaan matematik yang positif, sistem permainan yang munasabah. Bermain mengikut gerak hati membawa kepada bencana.

Jangkaan matematik dan perdagangan saham

Jangkaan matematik adalah penunjuk statistik yang dituntut secara meluas dan popular dalam perdagangan pertukaran dalam pasaran kewangan. Pertama sekali, parameter ini digunakan untuk menganalisis kejayaan perdagangan. Ia tidak sukar untuk meneka bahawa lebih nilai yang diberikan, lebih banyak sebab untuk menganggap perdagangan yang dikaji berjaya. Sudah tentu, analisis kerja peniaga tidak boleh dijalankan hanya dengan bantuan parameter ini. Walau bagaimanapun, nilai yang dikira, digabungkan dengan kaedah lain untuk menilai kualiti kerja, boleh meningkatkan ketepatan analisis dengan ketara.

Jangkaan matematik sering dikira dalam perkhidmatan pemantauan akaun dagangan, yang membolehkan anda menilai dengan cepat kerja yang dilakukan pada deposit. Sebagai pengecualian, kami boleh memetik strategi yang menggunakan "tinggal lebih lama" daripada dagangan yang rugi. Seorang peniaga mungkin bertuah untuk beberapa waktu, dan oleh itu, dalam kerjanya mungkin tidak ada kerugian sama sekali. Dalam kes ini, tidak mungkin untuk menavigasi hanya dengan jangkaan, kerana risiko yang digunakan dalam kerja tidak akan diambil kira.

Dalam dagangan di pasaran, jangkaan matematik paling kerap digunakan apabila meramalkan keuntungan strategi dagangan atau apabila meramalkan pendapatan pedagang berdasarkan statistik dagangannya sebelum ini.

Berkenaan dengan pengurusan wang, adalah sangat penting untuk memahami bahawa apabila membuat perdagangan dengan jangkaan negatif, tidak ada skim pengurusan wang yang pasti boleh membawa keuntungan yang tinggi. Jika anda terus bermain pertukaran di bawah syarat-syarat ini, maka tidak kira bagaimana anda menguruskan wang anda, anda akan kehilangan keseluruhan akaun anda, tidak kira betapa besarnya pada mulanya.

Aksiom ini bukan sahaja benar untuk permainan jangkaan negatif atau dagangan, ia juga benar untuk permainan odds genap. Oleh itu, satu-satunya kes di mana anda mempunyai peluang untuk mendapat manfaat dalam jangka panjang ialah apabila membuat tawaran dengan jangkaan matematik yang positif.

Perbezaan antara jangkaan negatif dan jangkaan positif ialah perbezaan antara hidup dan mati. Tidak kira positif atau negatif jangkaan itu; yang penting sama ada positif atau negatif. Oleh itu, sebelum mempertimbangkan pengurusan wang, anda mesti mencari permainan dengan jangkaan yang positif.

Jika anda tidak mempunyai permainan itu, maka tiada jumlah pengurusan wang di dunia akan menyelamatkan anda. Sebaliknya, jika anda mempunyai jangkaan yang positif, maka adalah mungkin, melalui pengurusan wang yang betul, untuk mengubahnya menjadi fungsi pertumbuhan eksponen. Tidak kira sekecil mana harapan positif itu! Dalam erti kata lain, tidak kira betapa menguntungkan sistem perdagangan berdasarkan satu kontrak. Jika anda mempunyai sistem yang memenangi $10 setiap kontrak pada satu dagangan (selepas yuran dan slippage), anda boleh menggunakan teknik pengurusan wang untuk menjadikannya lebih menguntungkan daripada sistem yang menunjukkan keuntungan purata $1,000 setiap dagangan (selepas potongan komisen dan gelinciran).

Apa yang penting bukanlah sejauh mana sistem itu menguntungkan, tetapi sejauh mana ia boleh dikatakan bahawa sistem itu akan menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum pada masa hadapan. Oleh itu, persediaan paling penting yang boleh dilakukan oleh peniaga adalah untuk memastikan bahawa sistem menunjukkan nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan.

Untuk mempunyai nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan, adalah sangat penting untuk tidak mengehadkan darjah kebebasan sistem anda. Ini dicapai bukan sahaja dengan menghapuskan atau mengurangkan bilangan parameter untuk dioptimumkan, tetapi juga dengan mengurangkan sebanyak mungkin lebih peraturan sistem. Setiap parameter yang anda tambah, setiap peraturan yang anda buat, setiap perubahan kecil yang anda buat pada sistem mengurangkan bilangan darjah kebebasan. Sebaik-baiknya, anda ingin membina yang agak primitif dan sistem mudah, yang akan sentiasa membawa keuntungan kecil dalam hampir mana-mana pasaran. Sekali lagi, adalah penting untuk anda memahami bahawa tidak kira betapa menguntungkannya sesuatu sistem, asalkan ia menguntungkan. Wang yang anda perolehi dalam perdagangan akan diperoleh melalui pengurusan yang berkesan wang.

Sistem perdagangan hanyalah alat yang memberikan anda jangkaan matematik yang positif supaya pengurusan wang boleh digunakan. Sistem yang berfungsi (menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum) dalam hanya satu atau beberapa pasaran, atau mempunyai peraturan atau parameter yang berbeza untuk pasaran yang berbeza, kemungkinan besar tidak akan berfungsi dalam masa nyata untuk masa yang lama. Masalah dengan kebanyakan pedagang teknikal ialah mereka menghabiskan terlalu banyak masa dan usaha untuk pengoptimuman. peraturan yang berbeza dan nilai parameter sistem perdagangan. Ini memberikan hasil yang bertentangan sepenuhnya. Daripada membazir tenaga dan masa komputer untuk meningkatkan keuntungan sistem perdagangan, arahkan tenaga anda untuk meningkatkan tahap kebolehpercayaan untuk mendapatkan keuntungan minimum.

Mengetahui bahawa pengurusan wang adalah adil permainan nombor, yang memerlukan penggunaan jangkaan positif, peniaga mungkin berhenti mencari "holy grail" perdagangan saham. Sebaliknya, dia boleh mula menguji kaedah dagangannya, mengetahui bagaimana kaedah ini betul secara logik, sama ada ia memberikan jangkaan positif. Kaedah yang betul pengurusan wang, digunakan untuk mana-mana, walaupun kaedah perdagangan yang sangat sederhana, akan melakukan kerja yang lain.

Bagi mana-mana peniaga untuk berjaya dalam kerjanya, dia perlu menyelesaikan tiga yang paling banyak tugas penting: . Untuk memastikan bahawa bilangan transaksi yang berjaya melebihi kesilapan dan salah pengiraan yang tidak dapat dielakkan; Sediakan sistem dagangan anda supaya peluang untuk mendapatkan wang sekerap mungkin; Mencapai hasil positif yang stabil daripada operasi anda.

Dan di sini, bagi kami, peniaga yang bekerja, jangkaan matematik boleh memberikan bantuan yang baik. Istilah ini dalam teori kebarangkalian adalah salah satu kunci. Ia boleh digunakan untuk memberikan anggaran purata beberapa nilai rawak. Jangkaan matematik pembolehubah rawak adalah seperti pusat graviti, jika anda bayangkan segala-galanya kemungkinan kebarangkalian titik dengan jisim yang berbeza.

Berhubung dengan strategi dagangan, untuk menilai keberkesanannya, jangkaan matematik untung (atau kerugian) paling kerap digunakan. Parameter ini ditakrifkan sebagai jumlah produk tahap keuntungan dan kerugian tertentu dan kebarangkalian kejadiannya. Sebagai contoh, strategi perdagangan yang dibangunkan mengandaikan bahawa 37% daripada semua operasi akan membawa keuntungan, dan bahagian selebihnya - 63% - akan menjadi tidak menguntungkan. Pada masa yang sama, purata pendapatan daripada transaksi yang berjaya ialah $7, dan purata kerugian ialah $1.4. Mari kita mengira jangkaan matematik perdagangan menggunakan sistem berikut:

Apakah nombor yang diberi? Ia mengatakan bahawa, mengikut peraturan sistem ini, secara purata, kami akan menerima 1.708 dolar daripada setiap transaksi yang ditutup. Sejak anggaran kecekapan yang terhasil Di atas sifar, maka sistem sedemikian boleh digunakan untuk kerja sebenar. Jika, sebagai hasil pengiraan, jangkaan matematik ternyata negatif, maka ini sudah menunjukkan kerugian purata dan perdagangan sedemikian akan membawa kepada kehancuran.

Jumlah keuntungan setiap dagangan juga boleh dinyatakan sebagai nilai relatif sebagai %. Sebagai contoh:

– peratusan pendapatan setiap 1 transaksi - 5%;

– peratusan operasi dagangan yang berjaya - 62%;

– peratusan kerugian setiap 1 dagangan - 3%;

- peratusan transaksi yang tidak berjaya - 38%;

Iaitu, transaksi purata akan membawa 1.96%.

Ia adalah mungkin untuk membangunkan sistem yang, walaupun terdapat banyak kerugian perdagangan, akan memberikan hasil yang positif, sejak MO>0.

Namun, menunggu sahaja tidak cukup. Sukar untuk membuat wang jika sistem memberikan isyarat dagangan yang sangat sedikit. Dalam kes ini, keuntungannya akan setanding dengan faedah bank. Biarkan setiap operasi membawa masuk hanya 0.5 dolar secara purata, tetapi bagaimana jika sistem mengandaikan 1000 transaksi setahun? Ini akan menjadi jumlah yang sangat serius dalam masa yang agak singkat. Ia mengikuti secara logik daripada ini bahawa yang lain ciri khas Sistem perdagangan yang baik boleh dianggap sebagai tempoh pegangan yang singkat.

Sumber dan pautan

dic.academic.ru - kamus dalam talian akademik

mathematics.ru - tapak pendidikan matematik

nsu.ru – laman web pendidikan Universiti Negeri Novosibirsk

webmath.ru portal pendidikan untuk pelajar, pemohon dan pelajar sekolah.

laman web matematik pendidikan exponenta.ru

ru.tradimo.com - sekolah perdagangan dalam talian percuma

crypto.hut2.ru - pelbagai disiplin sumber maklumat

poker-wiki.ru - ensiklopedia percuma poker

sernam.ru Perpustakaan Sains penerbitan sains semula jadi terpilih

reshim.su - laman web SELESAIKAN tugas mengawal kerja kursus

unfx.ru – Forex di UNFX: pendidikan, isyarat dagangan, pengurusan amanah

slovopedia.com - Besar Kamus ensiklopedia Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Panduan anda kepada dunia poker

statanaliz.info – blog maklumat « Analisis statistik data"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - analisis Forex terkini

fx-by.com - segala-galanya untuk seorang peniaga

biarlah sampel rawak dijana oleh pembolehubah rawak yang diperhatikan ξ, jangkaan dan varians matematik yang tidak diketahui. Sebagai anggaran untuk ciri-ciri ini, adalah dicadangkan untuk menggunakan min sampel

Dan varians sampel

. (3.14)

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat anggaran jangkaan dan varians matematik.

1. Kira jangkaan matematik bagi min sampel:

Oleh itu, min sampel ialah penganggar tidak berat sebelah untuk .

2. Ingat bahawa keputusan pemerhatian adalah pembolehubah rawak bebas, setiap satunya mempunyai hukum taburan yang sama dengan nilai , yang bermaksud bahawa , , . Kami akan menganggap bahawa varians adalah terhingga. Kemudian, menurut teorem Chebyshev mengenai hukum nombor besar, untuk mana-mana ε > 0 kita mempunyai kesamaan ,

yang boleh ditulis seperti ini: . (3.16) Membandingkan (3.16) dengan takrifan sifat ketekalan (3.11), kita melihat bahawa anggaran adalah anggaran konsisten jangkaan .

3. Cari varians bagi min sampel:

. (3.17)

Oleh itu, varians anggaran jangkaan berkurangan secara songsang dengan saiz sampel.

Ia boleh dibuktikan bahawa jika pembolehubah rawak ξ bertaburan normal, maka min sampel adalah anggaran berkesan jangkaan matematik, iaitu varians mengambil nilai terkecil berbanding dengan mana-mana anggaran jangkaan matematik yang lain. Untuk undang-undang pengedaran ξ yang lain, ini mungkin tidak berlaku.

Varians sampel ialah anggaran berat sebelah varians, kerana . (3.18)

Sesungguhnya, menggunakan sifat jangkaan matematik dan formula (3.17), kita dapati

.

Untuk mendapatkan anggaran varians yang tidak berat sebelah, anggaran (3.14) mesti diperbetulkan, iaitu, didarab dengan . Kemudian kita mendapat varians sampel tidak berat sebelah

. (3.19)

Perhatikan bahawa formula (3.14) dan (3.19) berbeza hanya dalam penyebut, dan untuk nilai yang besar sampel dan varians tidak berat sebelah berbeza sedikit. Walau bagaimanapun, untuk saiz sampel yang kecil, hubungan (3.19) harus digunakan.

Untuk menganggar sisihan piawai pembolehubah rawak, sisihan piawai yang dipanggil "diperbetulkan" digunakan, yang sama dengan punca kuasa dua varians tidak berat sebelah: .

Anggaran Selang

Dalam statistik, terdapat dua pendekatan untuk menganggar parameter taburan yang tidak diketahui: titik dan selang. Selaras dengan anggaran titik, yang telah dibincangkan dalam bahagian sebelumnya, hanya titik yang berdekatan dengan parameter anggaran terletak ditunjukkan. Walau bagaimanapun, adalah wajar untuk mengetahui sejauh mana parameter ini sebenarnya boleh berdiri daripada kemungkinan pelaksanaan anggaran dalam siri pemerhatian yang berbeza.

Jawapan kepada soalan ini - juga anggaran - memberikan cara lain untuk menganggar parameter - selang. Selaras dengan kaedah anggaran ini, selang didapati bahawa, dengan kebarangkalian hampir dengan satu, meliputi yang tidak diketahui nilai berangka parameter.

Konsep anggaran selang

Anggaran Mata ialah pembolehubah rawak dan untuk kemungkinan pelaksanaan sampel mengambil nilai hanya lebih kurang sama dengan nilai sebenar parameter. Lebih kecil perbezaan, lebih tepat anggaran. Oleh itu, nombor positif, untuk yang mana , mencirikan ketepatan anggaran dan dipanggil ralat anggaran (atau ralat marginal).

Kebarangkalian Keyakinan(atau kebolehpercayaan) dipanggil kebarangkalian β , dengan mana ketidaksamaan , iaitu

. (3.20)

Menggantikan ketidaksamaan ketaksamaan berganda yang setara , atau , kita mendapatkan

Selang waktu meliputi dengan kebarangkalian β , , parameter tidak diketahui , dipanggil selang keyakinan (atau anggaran selang), bersesuaian dengan tahap keyakinan β .

Pembolehubah rawak bukan sahaja anggaran, tetapi juga ralat: nilainya bergantung pada kebarangkalian β dan, sebagai peraturan, daripada sampel. Oleh itu, selang keyakinan adalah rawak dan ungkapan (3.21) hendaklah dibaca seperti berikut: “Selang itu akan meliputi parameter dengan kebarangkalian β ”, dan bukan seperti ini: “Parameter akan jatuh ke dalam selang dengan kebarangkalian β ”.

Maknanya selang keyakinan terdiri daripada fakta bahawa dengan pengulangan berulang volum sampel dalam bahagian relatif kes yang sama dengan β , selang keyakinan sepadan dengan tahap keyakinan β , meliputi nilai sebenar parameter anggaran. Oleh itu, tahap keyakinan β mencirikan kebolehpercayaan penilaian keyakinan: lebih banyak β , semakin besar kemungkinan pelaksanaan selang keyakinan mengandungi parameter yang tidak diketahui.

Sifat asas anggaran mata

Agar penilaian mempunyai nilai praktikal, ia mesti mempunyai sifat berikut.

1. Anggaran parameter dipanggil tidak berat sebelah jika jangkaan matematiknya sama dengan parameter anggaran, i.e.

Jika kesamaan (22.1) tidak berpuas hati, maka anggaran boleh sama ada melebihkan nilai (M>) atau meremehkannya (M<) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать ralat sistematik ke arah overestimation atau underestimation.

2. Anggaran parameter dipanggil konsisten jika ia mematuhi hukum nombor besar, i.e. menumpu dalam kebarangkalian kepada parameter anggaran dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan eksperimen (pemerhatian) dan, oleh itu, kesamaan berikut dipenuhi:

di mana > 0 ialah nombor kecil yang sewenang-wenangnya.

Untuk (22.2) dipegang, adalah memadai bahawa varians anggaran cenderung kepada sifar sebagai, iaitu,

dan lebih-lebih lagi, penganggar tidak berat sebelah. Ia adalah mudah untuk lulus daripada formula (22.3) kepada (22.2) jika kita menggunakan ketaksamaan Chebyshev.

Jadi, ketekalan anggaran bermakna, dengan bilangan eksperimen yang cukup besar dan dengan kepastian yang tinggi secara sewenang-wenangnya, sisihan anggaran daripada nilai sebenar parameter kurang daripada mana-mana di hadapan tetapkan nilai. Ini mewajarkan peningkatan dalam saiz sampel.

Oleh kerana ialah pembolehubah rawak yang nilainya berubah dari sampel ke sampel, maka ukuran penyebarannya di sekitar jangkaan matematik akan dicirikan oleh varians D. Biarkan dan menjadi dua anggaran tidak berat sebelah bagi parameter, i.e. M = dan M = , masing-masing D dan D dan, jika D< D , то в качестве оценки принимают.

3. Anggaran tidak berat sebelah yang mempunyai varians terkecil antara semua anggaran parameter tidak berat sebelah yang mungkin dikira daripada sampel dengan saiz yang sama dipanggil anggaran berkesan.

Dalam amalan, apabila menganggar parameter, tidak selalu mungkin untuk memenuhi keperluan 1, 2, 3 secara serentak. Walau bagaimanapun, pilihan anggaran harus sentiasa didahului oleh pemeriksaan kritikalnya dari semua sudut pandangan. Apabila pensampelan kaedah praktikal pemprosesan data eksperimen, perlu dipandu oleh sifat-sifat anggaran yang dirumuskan.

Anggaran jangkaan dan varians matematik untuk sampel

Paling ciri-ciri penting pembolehubah rawak ialah jangkaan dan varians matematik. Pertimbangkan persoalan ciri sampel yang manakah menganggarkan jangkaan dan varians matematik dari segi tidak berat sebelah, kecekapan dan ketekalan.

Teorem 23.1. Min aritmetik yang dikira daripada n pemerhatian bebas ke atas pembolehubah rawak yang mempunyai jangkaan matematik M = , adalah anggaran tidak berat sebelah bagi parameter ini.

Bukti.

Biarkan - n pemerhatian bebas ke atas pembolehubah rawak. Dengan keadaan M = , dan sejak adalah pembolehubah rawak dan mempunyai hukum taburan yang sama, maka. Mengikut definisi, min aritmetik

Pertimbangkan jangkaan matematik bagi min aritmetik. Menggunakan sifat jangkaan matematik, kami mempunyai:

mereka. . Berdasarkan (22.1) adalah anggaran yang tidak berat sebelah. ?

Teorem 23.2 . Min aritmetik yang dikira daripada n pemerhatian bebas ke atas pembolehubah rawak yang mempunyai M = u ialah anggaran yang konsisten bagi parameter ini.

Bukti.

Biarkan - n pemerhatian bebas ke atas pembolehubah rawak. Kemudian, berdasarkan Teorem 23.1, kita mempunyai M = .

Untuk min aritmetik, kami menulis ketaksamaan Chebyshev:

Menggunakan sifat serakan 4.5 dan (23.1), kita mempunyai:

kerana mengikut teorem.

Oleh itu,

Jadi, varians min aritmetik adalah n kali kurang daripada varians pembolehubah rawak. Kemudian

yang bermaksud itu adalah anggaran yang konsisten.

Komen : 1 . Kami menerima tanpa bukti hasil yang sangat penting untuk amalan. Jika N (a,), maka anggaran tidak berat sebelah bagi jangkaan matematik a mempunyai varians minimum yang sama dengan, oleh itu, adalah anggaran berkesan parameter a. ?

Mari kita beralih kepada anggaran varians dan semaknya untuk konsistensi dan tidak berat sebelah.

Teorem 23.3 . Jika sampel rawak terdiri daripada n pemerhatian bebas ke atas pembolehubah rawak dengan

M = dan D = , maka varians sampel

bukanlah anggaran tidak berat sebelah bagi varians am D -.

Bukti.

Biarkan - n pemerhatian bebas ke atas pembolehubah rawak. Bersyarat dan untuk semua orang. Kami mengubah formula (23.3) varians sampel:

Mari mudahkan ungkapan

Mengambil kira (23.1), dari mana

Anggaran jangkaan dan varians matematik.

Kami berkenalan dengan konsep parameter taburan dalam teori kebarangkalian. Contohnya, dalam undang-undang biasa taburan yang diberikan oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian

parameter ialah A– jangkaan matematik dan A ialah sisihan piawai. Dalam taburan Poisson, parameter ialah nombor a = ex.

Definisi. Anggaran statistik bagi parameter yang tidak diketahui bagi taburan teori ialah nilai anggarannya, yang bergantung pada data sampel(x 1, x 2, x 3,..., x k ; p 1, p 2, p 3,..., p k), iaitu, beberapa fungsi kuantiti ini.

Di sini x 1, x 2, x 3,..., x k– nilai ciri, p 1, p 2, p 3,..., p k adalah frekuensi yang sepadan. Anggaran statistik ialah pembolehubah rawak.

Nyatakan dengan θ ialah parameter anggaran, dan melalui θ * - miliknya penilaian statistik. Nilai | θ *–θ | dipanggil ketepatan penilaian. Semakin kurang | θ *–θ |, lebih baik, parameter yang tidak diketahui ditakrifkan dengan lebih tepat.

Menjaringkan θ * telah nilai praktikal, ia tidak sepatutnya mengandungi ralat sistematik dan pada masa yang sama mempunyai varians terkecil yang mungkin. Di samping itu, dengan peningkatan dalam saiz sampel, kebarangkalian penyelewengan kecil secara sewenang-wenangnya | θ *–θ | sepatutnya hampir 1.

Mari kita rumuskan definisi berikut.

1. Anggaran parameter dipanggil tidak berat sebelah jika jangkaan matematiknya ialah M(θ *) sama dengan parameter anggaran θ, i.e.

M(θ *) = θ, (1)

dan mengimbangi jika

M(θ *) ≠ θ, (2)

2. Anggaran θ* dipanggil konsisten jika bagi sebarang δ > 0

(3)

Persamaan (3) berbunyi seperti berikut: anggaran θ * menumpu dalam kebarangkalian kepada θ .

3. Anggaran θ* dipanggil berkesan jika, untuk n tertentu, ia mempunyai varians terkecil.

Teorem 1.Purata sampel Х В ialah anggaran yang tidak berat sebelah dan konsisten terhadap jangkaan matematik.

Bukti. Biarkan sampel mewakili, iaitu, semua elemen penduduk mempunyai peluang yang sama untuk dimasukkan ke dalam sampel. Nilai ciri x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n boleh diambil sebagai pembolehubah rawak bebas X 1, X 2, X 3, ..., X n dengan taburan dan ciri berangka yang sama, termasuk yang mempunyai jangkaan matematik yang sama sama dengan A,

Oleh kerana setiap kuantiti X 1, X 2, X 3, ..., X ms mempunyai taburan yang bertepatan dengan taburan penduduk umum, maka M(X)= a. sebab tu

dari mana ia mengikuti itu adalah anggaran yang konsisten M(X).

Menggunakan peraturan penyelidikan yang melampau, kita boleh membuktikan bahawa ia juga merupakan anggaran yang cekap M(X).

Biarkan terdapat pembolehubah rawak X dengan jangkaan matematik m dan penyebaran D, manakala kedua-dua parameter ini tidak diketahui. Lebih magnitud X dihasilkan N eksperimen bebas, yang menghasilkan satu set N keputusan berangka x 1 , x 2 , …, x N. Sebagai anggaran jangkaan matematik, adalah wajar untuk mencadangkan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan

(1)

Di sini sebagai x i nilai tertentu (nombor) yang diperoleh hasil daripada N eksperimen. Jika kita mengambil orang lain (bebas daripada yang sebelumnya) N eksperimen, maka, jelas, kita akan mendapat nilai yang berbeza. Jika anda mengambil lebih banyak N percubaan, kita akan mendapat satu lagi nilai baharu . Nyatakan dengan X i pembolehubah rawak terhasil daripada i percubaan ke, kemudian realisasi X i akan menjadi nombor yang diperoleh hasil daripada eksperimen ini. Adalah jelas bahawa pembolehubah rawak X i akan mempunyai ketumpatan taburan kebarangkalian yang sama dengan pembolehubah rawak asal X. Kami juga menganggap bahawa pembolehubah rawak X i Dan Xj adalah bebas di i, tidak sama j(pelbagai bebas relatif kepada satu sama lain eksperimen). Oleh itu, kami menulis semula formula (1) dalam bentuk (statistik) yang berbeza:

(2)

Mari kita tunjukkan bahawa anggaran itu tidak berat sebelah:

Oleh itu, jangkaan matematik bagi min sampel adalah sama dengan jangkaan matematik sebenar bagi pembolehubah rawak m. Ini adalah fakta yang agak boleh diramal dan difahami. Oleh itu, min sampel (2) boleh diambil sebagai anggaran jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak. Sekarang timbul persoalan: apakah yang berlaku kepada varians anggaran jangkaan apabila bilangan eksperimen meningkat? Pengiraan analitikal menunjukkan bahawa

di manakah varians anggaran jangkaan matematik (2), dan D- varians sebenar pembolehubah rawak X.

Daripada perkara di atas, ia mengikuti bahawa dengan peningkatan N(bilangan eksperimen) varians anggaran berkurangan, i.e. lebih banyak kita meringkaskan pelaksanaan bebas, lebih dekat dengan nilai jangkaan kita mendapat anggaran.

Anggaran varians matematik

Pada pandangan pertama, anggaran yang paling semula jadi nampaknya

(3)

di mana dikira dengan formula (2). Mari semak sama ada anggaran itu tidak berat sebelah. Formula (3) boleh ditulis seperti berikut:

Kami menggantikan ungkapan (2) ke dalam formula ini:

Mari cari jangkaan matematik anggaran varians:

(4)

Oleh kerana varians pembolehubah rawak tidak bergantung pada jangkaan matematik pembolehubah rawak, kami akan mengambil jangkaan matematik sama dengan 0, i.e. m = 0.

	(5)
di .	(6)