Penyelesaian remeh sistem. Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am

Penyelesaian sistem linear persamaan algebra(SLAU) sudah pasti topik yang paling penting kursus algebra linear. Jumlah yang besar masalah daripada semua cabang matematik dikurangkan kepada sistem penyelesaian persamaan linear. Faktor ini menerangkan sebab untuk mencipta artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh

angkat kaedah terbaik menyelesaikan sistem persamaan algebra linear anda,
mengkaji teori kaedah yang dipilih,
selesaikan sistem persamaan linear anda, setelah mempertimbangkan secara terperinci penyelesaian contoh dan masalah biasa.

Penerangan ringkas tentang bahan artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep, dan memperkenalkan beberapa notasi.

Seterusnya, kami mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian unik. Pertama, kita akan memberi tumpuan kepada kaedah Cramer, kedua, kita akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, ketiga, kita akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah pengecualian berurutan pembolehubah tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dalam pelbagai cara.

Selepas itu, kita beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear Pandangan umum, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem merosot. Kami merumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kami mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (dalam kes keserasian mereka) menggunakan konsep asas minor bagi matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian contoh.

Pastikan anda memikirkan struktur penyelesaian umum sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem penyelesaian asas dan tunjukkan cara menulis keputusan bersama SLAE dengan bantuan vektor sistem asas penyelesaian. Untuk pemahaman yang lebih baik mari kita lihat beberapa contoh.

Kesimpulannya, kami mempertimbangkan sistem persamaan yang dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah, dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p mungkin sama dengan n ) dalam bentuk

Pembolehubah tidak diketahui, - pekali (sesetengah nyata atau nombor kompleks), - ahli percuma (juga nombor nyata atau kompleks).

Bentuk SLAE ini dipanggil menyelaras.

AT bentuk matriks sistem persamaan ini mempunyai bentuk ,
di mana - matriks utama sistem, - matriks-lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks-lajur ahli bebas.

Jika kita menambah pada matriks A sebagai lajur (n + 1)-ke-matriks-lajur sebutan bebas, maka kita mendapat apa yang dipanggil matriks yang diperluaskan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks tambahan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur ahli bebas dipisahkan oleh garis menegak dari seluruh lajur, iaitu,

Dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui, yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks kerana nilai yang diberikan bagi pembolehubah yang tidak diketahui juga bertukar menjadi identiti.

Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.

Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil tidak serasi.

Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka - tidak pasti.

Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Penyelesaian sistem asas persamaan algebra linear.

Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka kita akan memanggil SLAE tersebut rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes sistem homogen, semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sama dengan sifar.

Kami mula mengkaji SLAE tersebut dalam sekolah Menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.

Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer.

Mari kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear

di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .

Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan adalah penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan menggantikan 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma:

Dengan tatatanda sedemikian, pembolehubah yang tidak diketahui dikira dengan formula kaedah Cramer sebagai . Beginilah cara penyelesaian sistem persamaan algebra linear ditemui dengan kaedah Cramer.

Contoh.

Kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk . Kira penentunya (jika perlu, lihat artikel):

Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.

Karang dan hitung penentu yang diperlukan (penentu diperoleh dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur ahli bebas, penentu - dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur ahli bebas, - dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur ahli bebas ):

Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula :

Jawapan:

Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan sistem lebih daripada tiga.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks , di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.

Oleh kerana , maka matriks A adalah boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua bahagian kesamaan dengan di sebelah kiri, maka kita mendapat formula untuk mencari matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui. Jadi kami mendapat penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear kaedah matriks.

Contoh.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear kaedah matriks.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Kerana

maka SLAE boleh diselesaikan dengan kaedah matriks. Dengan menggunakan matriks songsang penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai .

Mari kita bina matriks songsang menggunakan matriks daripada penambahan algebra elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Ia kekal untuk mengira - matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang pada lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel):

Jawapan:

atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks segi empat sama pesanan lebih tinggi daripada yang ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss.

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri dalam pengecualian berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah yang tidak diketahui. x n kekal dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui dipanggil kaedah Gauss langsung. Selepas selesai larian hadapan kaedah Gaussian, x n didapati daripada persamaan terakhir, x n-1 dikira daripada persamaan kedua terakhir menggunakan nilai ini, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil kaedah Gauss terbalik.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Kami mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dari yang kedua. Untuk melakukan ini, tambahkan persamaan pertama yang didarab dengan persamaan kedua sistem, tambahkan yang pertama didarab dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan yang pertama didarab dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a .

Kita akan mendapat keputusan yang sama jika kita menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.

Seterusnya, kami bertindak sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang terhasil, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, tambahkan kedua didarab dengan persamaan ketiga sistem, tambah kedua didarab dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambah kedua didarab dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a . Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.

Seterusnya, kami meneruskan ke penghapusan x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Oleh itu, kami meneruskan kursus terus kaedah Gauss sehingga sistem mengambil bentuk

Mulai sekarang kita mulakan lejang terbalik Kaedah Gauss: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi bagi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama.

Contoh.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kaedah Gaussian.

Penyelesaian.

Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua bahagian persamaan kedua dan ketiga, kami menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan:

Sekarang kita hapuskan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah ke kiri dan bahagian yang betul sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan:

Mengenai ini, kursus ke hadapan kaedah Gauss selesai, kita memulakan kursus terbalik.

Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil, kita dapati x 3:

Daripada persamaan kedua kita dapat .

Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang selebihnya dan ini melengkapkan laluan terbalik kaedah Gauss.

Jawapan:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

AT kes am bilangan persamaan sistem p tidak sepadan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:

SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga terpakai kepada sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan merosot.

Teorem Kronecker-Capelli.

Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi, dan apabila ia tidak serasi, memberikan Teorem Kronecker–Capelli:
agar sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p boleh sama dengan n) menjadi konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan pangkat matriks tambahan, iaitu, Rank(A)=Rank(T) .

Mari kita pertimbangkan aplikasi teorem Kronecker-Cappelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear sebagai contoh.

Contoh.

Ketahui jika sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

. Marilah kita menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua berbeza dengan sifar. Mari kita bincangkan golongan bawah umur peringkat ketiga yang mengelilinginya:

Oleh kerana semua kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama ialah dua.

Sebaliknya, pangkat matriks tambahan adalah bersamaan dengan tiga, sejak yang kecil bagi urutan ketiga

berbeza dengan sifar.

Dengan cara ini, Rang(A) , oleh itu, mengikut teorem Kronecker-Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.

Jawapan:

Tiada sistem penyelesaian.

Jadi, kami telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker-Capelli.

Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian SLAE jika keserasiannya diwujudkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep asas minor bagi matriks dan teorem pada pangkat matriks.

kecil perintah tertinggi matriks A yang bukan sifar dipanggil asas.

Ia mengikuti daripada takrif asas minor bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A, boleh terdapat beberapa asas bawah, satu bawah umur asas sentiasa ada.

Sebagai contoh, pertimbangkan matriks .

Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.

Anak bawah umur berikut bagi urutan kedua adalah asas, kerana mereka bukan sifar

bawah umur bukan asas, kerana ia sama dengan sifar.

Teorem pangkat matriks.

Jika pangkat matriks tertib p dengan n ialah r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen sepadan baris (dan lajur). ) yang membentuk asas minor.

Apakah yang diberikan oleh teorem pangkat matriks kepada kita?

Jika, dengan teorem Kronecker-Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana minor asas matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang tidak membentuk minor asas yang dipilih. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).

Akibatnya, selepas membuang persamaan berlebihan sistem, dua kes adalah mungkin.

Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Contoh.

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem adalah sama dengan dua, kerana minor bagi urutan kedua berbeza dengan sifar. Kedudukan matriks lanjutan juga bersamaan dengan dua, kerana satu-satunya kecil bagi susunan ketiga adalah sama dengan sifar

dan minor bagi susunan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker-Capelli, seseorang boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2 .

Sebagai asas minor, kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua:

Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pangkat matriks:

Oleh itu kita telah memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan dengan kaedah Cramer:

Jawapan:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil kurang daripada bilangan pembolehubah tidak diketahui n, kemudian di sebelah kiri persamaan kita meninggalkan sebutan yang membentuk asas minor, dan memindahkan sebutan yang tinggal ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan.

Pembolehubah yang tidak diketahui (terdapat r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.

Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r daripadanya) yang berakhir di sebelah kanan dipanggil percuma.

Sekarang kita menganggap bahawa pembolehubah bebas yang tidak diketahui boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah tidak diketahui utama r akan dinyatakan dari segi pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil dengan kaedah Cramer, kaedah matriks, atau kaedah Gauss.

Mari kita ambil contoh.

Contoh.

Selesaikan Sistem Persamaan Algebra Linear .

Penyelesaian.

Cari pangkat matriks utama sistem dengan kaedah sempadan bawah umur. Marilah kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor pesanan pertama bukan sifar. Mari mulakan mencari kanak-kanak bawah perintah bukan sifar kedua yang mengelilingi kanak-kanak bawah umur ini:

Oleh itu, kami menjumpai anak bawah umur bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga:

Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks tambahan juga sama dengan tiga, iaitu, sistemnya konsisten.

Yang didapati bukan sifar bawah perintah ketiga akan diambil sebagai yang asas.

Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil:

Kami meninggalkan istilah yang menyertai minor asas di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan selebihnya dari tanda yang bertentangan ke sebelah kanan:

Kami memberikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kami ambil , di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE mengambil borang

Kami menyelesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang diperoleh dengan kaedah Cramer:

Akibatnya, .

Dalam jawapan, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah tidak diketahui percuma.

Jawapan:

Di mana nombor sewenang-wenangnya.

rumuskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bagi bentuk am, kita mula-mula mengetahui keserasiannya menggunakan teorem Kronecker-Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak konsisten.

Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih minor asas dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas yang dipilih.

Jika susunan asas minor adalah sama dengan nombor pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan mana-mana kaedah yang diketahui oleh kami.

Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka kita tinggalkan istilah dengan pembolehubah tidak diketahui utama di sebelah kiri persamaan sistem, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan tetapkan nilai arbitrari kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati yang tidak diketahui utama pembolehubah kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Menggunakan kaedah Gauss, seseorang boleh menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa penyiasatan awal mereka untuk keserasian. Proses penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakkonsistenan SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.

Dari sudut pandangan kerja pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.

Menonton Penerangan terperinci dan menganalisis contoh dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Merekod penyelesaian umum sistem algebra linear homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem asas penyelesaian.

Dalam bahagian ini kita akan bercakap pada sistem homogen dan tak homogen bersama persamaan algebra linear yang mempunyai set tak terhingga penyelesaian.

Mari kita berurusan dengan sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem keputusan asas Sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah set (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.

Jika kita menetapkan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ialah lajur matriks dimensi n dengan 1), maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan arbitrari. pekali malarС 1 , С 2 , …, С (n-r) , iaitu, .

Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?

Maksudnya mudah: formula menetapkan segala-galanya penyelesaian yang mungkin SLAE asal, dengan kata lain, mengambil mana-mana set nilai pemalar sewenang-wenang С 1 , С 2 , …, С (n-r) , mengikut formula kita mendapat salah satu daripada penyelesaian SLAE homogen asal.

Oleh itu, jika kita menemui sistem penyelesaian asas, maka kita boleh menetapkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian untuk SLAE homogen.

Kami memilih minor asas bagi sistem persamaan linear asal, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem, dan memindahkan ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda bertentangan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Mari beri percuma yang tidak diketahui nilai pembolehubah 1,0,0,…,0 dan hitung yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, dengan kaedah Cramer. Oleh itu, X (1) akan diperolehi - penyelesaian pertama sistem asas. Jika diberi percuma nilai yang tidak diketahui 0,1,0,0,…,0 dan hitung yang tidak diketahui utama, maka kita dapat X (2) . Dan sebagainya. Jika kita memberikan pembolehubah tidak diketahui bebas nilai 0,0,…,0,1 dan mengira yang tidak diketahui utama, maka kita mendapat X (n-r) . Beginilah cara sistem asas penyelesaian SLAE homogen akan dibina dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan algebra linear yang tidak homogen, penyelesaian umum diwakili sebagai

Mari lihat contoh.

Contoh.

Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari kita cari pangkat matriks utama dengan kaedah pinggir bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua:

A minor daripada urutan kedua, berbeza daripada sifar, ditemui. Mari kita lihat di bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar:

Semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dari urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan ialah dua. Mari ambil bahagian bawah umur asas. Untuk kejelasan, kami perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas, oleh itu, ia boleh dikecualikan:

Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui bebas ke sebelah kanan:

Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya ialah dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama dari sistem persamaan
.

Walaupun di sekolah, setiap daripada kita mempelajari persamaan dan, pastinya, sistem persamaan. Tetapi tidak ramai yang tahu bahawa terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya. Hari ini kita akan menganalisis secara terperinci semua kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, yang terdiri daripada lebih daripada dua kesamaan.

cerita

Hari ini diketahui bahawa seni menyelesaikan persamaan dan sistemnya berasal dari Babylon Purba dan Mesir. Walau bagaimanapun, persamaan dalam bentuk biasa muncul selepas kemunculan tanda sama dengan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556. ahli matematik Inggeris Rekod. Ngomong-ngomong, tanda ini dipilih atas alasan: ini bermakna dua segmen yang sama selari. Dan kebenarannya adalah contoh terbaik persamaan tidak dapat dibayangkan.

Pengasas sebutan huruf moden yang tidak diketahui dan tanda-tanda darjah ialah ahli matematik Perancis Walau bagaimanapun, jawatannya berbeza dengan ketara daripada hari ini. Contohnya, segi empat sama nombor yang tidak diketahui dia menetapkan huruf Q (lat. "quadratus"), dan kubus - huruf C (lat. "kubus"). Tatatanda ini kelihatan janggal sekarang, tetapi pada masa itu ia adalah cara yang paling mudah difahami untuk menulis sistem persamaan algebra linear.

Walau bagaimanapun, kelemahan dalam kaedah penyelesaian ketika itu ialah ahli matematik hanya mempertimbangkan akar positif. Mungkin ini disebabkan oleh fakta bahawa nilai negatif tidak mempunyai apa-apa permohonan praktikal. Satu cara atau yang lain, tetapi yang pertama untuk dipertimbangkan akar negatif Ia adalah ahli matematik Itali Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dan Rafael Bombelli yang memulakannya pada abad ke-16. TAPI rupa moden, kaedah penyelesaian utama (melalui diskriminasi) dicipta hanya pada abad ke-17 terima kasih kepada kerja Descartes dan Newton.

Pada pertengahan abad ke-18, ahli matematik Switzerland Gabriel Cramer menemui cara baru untuk memudahkan penyelesaian sistem persamaan linear. Kaedah ini kemudiannya dinamakan sempena namanya dan sehingga hari ini kami menggunakannya. Tetapi kita akan bercakap tentang kaedah Cramer sedikit kemudian, tetapi buat masa ini kita akan membincangkan persamaan linear dan kaedah untuk menyelesaikannya secara berasingan daripada sistem.

Persamaan linear

Persamaan linear ialah persamaan termudah dengan pembolehubah. Mereka dikelaskan sebagai algebra. tulis dalam bentuk umum seperti berikut: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... dan n * x n \u003d b. Kami memerlukan perwakilan mereka dalam bentuk ini apabila menyusun sistem dan matriks dengan lebih lanjut.

Sistem persamaan algebra linear

Takrif istilah ini adalah seperti berikut: ia adalah satu set persamaan yang mempunyai sepunya tidak diketahui dan penyelesaian sepunya. Sebagai peraturan, di sekolah, semuanya diselesaikan oleh sistem dengan dua atau tiga persamaan. Tetapi terdapat sistem dengan empat atau lebih komponen. Mari kita fikirkan dahulu cara menulisnya supaya mudah untuk menyelesaikannya kemudian. Pertama, sistem persamaan algebra linear akan kelihatan lebih baik jika semua pembolehubah ditulis sebagai x dengan indeks yang sesuai: 1,2,3, dan seterusnya. Kedua, semua persamaan hendaklah dibawa ke bentuk kanonik: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Selepas semua tindakan ini, kita boleh mula bercakap tentang cara mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear. Matriks sangat berguna untuk ini.

matriks

Matriks ialah jadual yang terdiri daripada baris dan lajur, dan di persimpangan mereka adalah unsur-unsurnya. Ini sama ada boleh menjadi nilai atau pembolehubah tertentu. Selalunya, untuk menetapkan elemen, subskrip diletakkan di bawahnya (contohnya, 11 atau 23). Indeks pertama bermaksud nombor baris dan yang kedua adalah nombor lajur. Atas matriks, seperti yang lain unsur matematik anda boleh melakukan pelbagai operasi. Oleh itu, anda boleh:

2) Darab matriks dengan beberapa nombor atau vektor.

3) Transpose: tukar baris matriks kepada lajur dan lajur kepada baris.

4) Darab matriks jika bilangan baris satu daripadanya adalah sama dengan bilangan lajur yang lain.

Kami akan membincangkan semua teknik ini dengan lebih terperinci, kerana ia akan berguna kepada kami pada masa akan datang. Menolak dan menambah matriks adalah sangat mudah. Oleh kerana kita mengambil matriks dengan saiz yang sama, setiap elemen satu jadual sepadan dengan setiap elemen yang lain. Oleh itu, kita menambah (tolak) kedua-dua elemen ini (ia adalah penting bahawa ia berada di tempat yang sama dalam matriks mereka). Apabila mendarab matriks dengan nombor atau vektor, anda hanya perlu mendarab setiap elemen matriks dengan nombor itu (atau vektor). Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Kadang-kadang sangat menarik untuk melihat dia masuk kehidupan sebenar, sebagai contoh, apabila anda menukar orientasi tablet atau telefon anda. Ikon pada desktop ialah matriks, dan apabila anda menukar kedudukan, ia bertukar dan menjadi lebih lebar, tetapi ketinggiannya berkurangan.

Mari kita analisa proses sedemikian sebagai Walaupun ia tidak berguna kepada kita, ia masih berguna untuk mengetahuinya. Anda boleh mendarab dua matriks hanya jika bilangan lajur dalam satu jadual adalah sama dengan bilangan baris dalam satu lagi. Sekarang mari kita ambil unsur-unsur baris satu matriks dan unsur-unsur lajur sepadan yang lain. Kami mendarabkannya dengan satu sama lain dan kemudian menambahnya (iaitu, sebagai contoh, hasil darab unsur a 11 dan a 12 dengan b 12 dan b 22 akan sama dengan: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Oleh itu, satu elemen jadual diperolehi, dan ia diisi lagi dengan kaedah yang sama.

Sekarang kita boleh mula mempertimbangkan bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan.

Kaedah Gauss

Topik ini bermula di sekolah. Kami tahu betul konsep "sistem dua persamaan linear" dan tahu cara menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika bilangan persamaan lebih daripada dua? Ini akan membantu kita

Sudah tentu, kaedah ini mudah digunakan jika anda membuat matriks daripada sistem. Tetapi anda tidak boleh mengubahnya dan menyelesaikannya dalam bentuk tulennya.

Jadi, bagaimanakah sistem persamaan Gaussian linear diselesaikan dengan kaedah ini? By the way, walaupun kaedah ini dinamakan sempena namanya, ia ditemui pada zaman purba. Gauss mencadangkan yang berikut: untuk menjalankan operasi dengan persamaan untuk akhirnya mengurangkan keseluruhan populasi kepada pandangan melangkah. Iaitu, adalah perlu bahawa dari atas ke bawah (jika diletakkan dengan betul) dari persamaan pertama hingga terakhir, satu yang tidak diketahui berkurangan. Dalam erti kata lain, kita perlu memastikan bahawa kita mendapat, katakan, tiga persamaan: dalam pertama - tiga tidak diketahui, dalam kedua - dua, dalam ketiga - satu. Kemudian daripada persamaan terakhir kita dapati yang pertama tidak diketahui, gantikan nilainya ke dalam persamaan kedua atau pertama, dan kemudian cari dua pembolehubah yang tinggal.

Kaedah Cramer

Untuk menguasai kaedah ini, adalah penting untuk menguasai kemahiran penambahan, penolakan matriks, dan anda juga perlu dapat mencari penentu. Oleh itu, jika anda melakukan semua ini dengan teruk atau tidak tahu caranya, anda perlu belajar dan berlatih.

Apakah intipati kaedah ini, dan bagaimana untuk membuatnya supaya sistem persamaan Cramer linear diperolehi? Semuanya sangat mudah. Kita perlu membina matriks daripada pekali berangka (hampir selalu) bagi sistem persamaan algebra linear. Untuk melakukan ini, kami hanya mengambil nombor di hadapan yang tidak diketahui dan meletakkannya dalam jadual mengikut susunan yang ditulis dalam sistem. Jika nombor itu didahului oleh tanda "-", maka kami menulis pekali negatif. Jadi, kami telah menyusun matriks pertama bagi pekali yang tidak diketahui, tidak termasuk nombor selepas tanda yang sama (secara semula jadi, persamaan harus dikurangkan kepada bentuk kanonik, apabila hanya nombor di sebelah kanan, dan semua yang tidak diketahui dengan pekali berada di sebelah kiri). Kemudian anda perlu mencipta beberapa lagi matriks - satu untuk setiap pembolehubah. Untuk melakukan ini, dalam matriks pertama, kami menggantikan setiap lajur dengan pekali dengan lajur nombor selepas tanda sama. Oleh itu, kita memperoleh beberapa matriks dan kemudian mencari penentunya.

Selepas kita telah menemui penentu, perkara itu kecil. Kami mempunyai matriks awal, dan terdapat beberapa matriks terhasil yang sepadan dengan pembolehubah yang berbeza. Untuk mendapatkan penyelesaian sistem, kami membahagikan penentu jadual yang terhasil dengan penentu jadual awal. Nombor yang terhasil ialah nilai salah satu pembolehubah. Begitu juga, kita dapati semua yang tidak diketahui.

Kaedah Lain

Terdapat beberapa kaedah lagi untuk mendapatkan penyelesaian kepada sistem persamaan linear. Sebagai contoh, kaedah yang dipanggil Gauss-Jordan, yang digunakan untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan kuadratik dan juga berkaitan dengan penggunaan matriks. Terdapat juga kaedah Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear. Ia adalah yang paling mudah untuk menyesuaikan diri dengan komputer dan digunakan dalam teknologi komputer.

Kes-kes yang sukar

Kerumitan biasanya timbul apabila bilangan persamaan kurang daripada bilangan pembolehubah. Kemudian kita boleh mengatakan dengan pasti bahawa sama ada sistem itu tidak konsisten (iaitu, ia tidak mempunyai akar), atau bilangan penyelesaiannya cenderung kepada infiniti. Jika kita mempunyai kes kedua, maka kita perlu menulis penyelesaian umum sistem persamaan linear. Ia akan mengandungi sekurang-kurangnya satu pembolehubah.

Kesimpulan

Di sini kita sampai ke penghujungnya. Mari kita ringkaskan: kami telah menganalisis apa itu sistem dan matriks, belajar bagaimana untuk mencari penyelesaian umum kepada sistem persamaan linear. Di samping itu, pilihan lain telah dipertimbangkan. Kami mendapati bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan: kaedah Gauss dan Kami bercakap tentang kes yang sukar dan cara lain untuk mencari penyelesaian.

Malah, topik ini jauh lebih luas, dan jika anda ingin memahaminya dengan lebih baik, maka kami menasihati anda untuk membaca lebih banyak kesusasteraan khusus.

Kaedah Gaussian mempunyai beberapa kelemahan: adalah mustahil untuk mengetahui sama ada sistem itu konsisten atau tidak sehingga semua transformasi yang diperlukan dalam kaedah Gaussian telah dijalankan; kaedah Gaussian tidak sesuai untuk sistem dengan pekali huruf.

Pertimbangkan kaedah lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kaedah ini menggunakan konsep pangkat matriks dan mengurangkan penyelesaian mana-mana sistem sendi kepada penyelesaian sistem yang digunakan oleh peraturan Cramer.

Contoh 1 Cari penyelesaian umum sistem seterusnya persamaan linear menggunakan sistem asas penyelesaian sistem homogen terkurang dan penyelesaian tertentu sistem tak homogen.

1. Kami membuat matriks A dan matriks tambahan sistem (1)

2. Terokai sistem (1) untuk keserasian. Untuk melakukan ini, kami mencari pangkat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jika ternyata , maka sistem (1) tidak serasi. Jika kita mendapat itu , maka sistem ini konsisten dan kami akan menyelesaikannya. (Kajian konsistensi adalah berdasarkan teorem Kronecker-Capelli).

a. Kita dapati rA.

Untuk mencari rA, kami akan mempertimbangkan berturut-turut bukan sifar urutan matriks pertama, kedua, dsb. A dan kanak-kanak bawah umur di sekeliling mereka.

M1=1≠0 (kami ambil 1 dari kiri bucu atas matriks TAPI).

Bersempadan M1 baris kedua dan lajur kedua matriks ini. . Kami terus ke sempadan M1 baris kedua dan lajur ketiga..gif" width="37" height="20 src=">. Sekarang kita bersempadan dengan bukan sifar minor М2′ pesanan kedua.

Kami ada: (kerana dua lajur pertama adalah sama)

(kerana baris kedua dan ketiga adalah berkadar).

Kita nampak itu rA=2, dan merupakan asas minor bagi matriks A.

b. Kita dapati .

Cukup asas minor М2′ matriks A bersempadan dengan lajur ahli percuma dan semua baris (kami hanya mempunyai baris terakhir).

. Ia berikutan daripada ini bahawa М3′′ kekal sebagai asas minor matriks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Kerana М2′- asas minor bagi matriks A sistem (2) , maka sistem ini adalah setara dengan sistem (3) , yang terdiri daripada dua persamaan pertama sistem (2) (untuk М2′ berada dalam dua baris pertama matriks A).

(3)

Memandangkan anak bawah umur asas ialah https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Dalam sistem ini, dua percuma yang tidak diketahui ( x2 dan x4 ). sebab tu FSR sistem (4) terdiri daripada dua penyelesaian. Untuk mencari mereka, kami memperuntukkan orang yang tidak diketahui secara percuma (4) nilai dahulu x2=1 , x4=0 , dan kemudian - x2=0 , x4=1 .

Pada x2=1 , x4=0 kita mendapatkan:

Sistem ini sudah ada satu-satu nya penyelesaian (ia boleh didapati dengan peraturan Cramer atau dengan mana-mana kaedah lain). Menolak persamaan pertama daripada persamaan kedua, kita dapat:

Keputusan dia akan x1= -1 , x3=0 . Memandangkan nilai x2 dan x4 , yang telah kami berikan, kami dapat yang pertama keputusan asas sistem (2) : .

Sekarang kita masukkan (4) x2=0 , x4=1 . Kita mendapatkan:

Kami menyelesaikan sistem ini menggunakan teorem Cramer:

Kami memperoleh penyelesaian asas kedua sistem (2) : .

Penyelesaian β1 , β2 dan mekap FSR sistem (2) . Maka penyelesaian amnya ialah

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Di sini C1 , C2 adalah pemalar arbitrari.

4. Cari satu persendirian penyelesaian sistem heterogen(1) . Seperti dalam perenggan 3 , bukannya sistem (1) pertimbangkan sistem yang setara (5) , yang terdiri daripada dua persamaan pertama sistem (1) .

(5)

Kami memindahkan yang tidak diketahui percuma ke sebelah kanan x2 dan x4.

(6)

Mari beri percuma yang tidak diketahui x2 dan x4 nilai sewenang-wenangnya, contohnya, x2=2 , x4=1 dan pasangkannya (6) . Jom dapatkan sistem

Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik (kerana penentunya М2′0). Menyelesaikannya (menggunakan teorem Cramer atau kaedah Gauss), kami memperoleh x1=3 , x3=3 . Memandangkan nilai yang tidak diketahui percuma x2 dan x4 , kita mendapatkan penyelesaian khusus sistem tidak homogen(1)α1=(3,2,3,1).

5. Sekarang tinggal menulis penyelesaian am α sistem tidak homogen(1) : ia sama dengan jumlah keputusan peribadi sistem ini dan penyelesaian umum sistem homogen terkurangnya (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ini bermaksud: (7)

6. Peperiksaan. Untuk menyemak sama ada anda telah menyelesaikan sistem dengan betul (1) , kami memerlukan penyelesaian umum (7) menggantikan dalam (1) . Jika setiap persamaan menjadi identiti ( C1 dan C2 harus dimusnahkan), maka penyelesaiannya dijumpai dengan betul.

Kami akan menggantikan (7) contohnya, hanya dalam persamaan terakhir sistem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Kami dapat: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Di mana -1=-1. Kami mendapat identiti. Kami melakukan ini dengan semua persamaan lain sistem (1) .

Komen. Pengesahan biasanya agak menyusahkan. Kami boleh mengesyorkan "pengesahan separa" berikut: dalam penyelesaian keseluruhan sistem (1) tetapkan beberapa nilai kepada pemalar arbitrari dan gantikan penyelesaian tertentu yang terhasil hanya ke dalam persamaan yang dibuang (iaitu, ke dalam persamaan dari (1) yang tidak termasuk dalam (5) ). Jika anda mendapat identiti, maka kemungkinan besar, penyelesaian sistem (1) ditemui dengan betul (tetapi semakan sedemikian tidak memberikan jaminan penuh ketepatan!). Contohnya, jika dalam (7) letak C2=- 1 , C1=1, maka kita dapat: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Menggantikan ke dalam persamaan terakhir sistem (1), kita mempunyai: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , iaitu –1=–1. Kami mendapat identiti.

Contoh 2 Cari penyelesaian umum kepada sistem persamaan linear (1) , menyatakan perkara yang tidak diketahui utama dari segi yang percuma.

Penyelesaian. Seperti dalam contoh 1, karang matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> matriks ini. Sekarang kita tinggalkan hanya persamaan sistem tersebut (1) , pekali yang termasuk dalam minor asas ini (iaitu, kita mempunyai dua persamaan pertama) dan pertimbangkan sistem yang terdiri daripada mereka, yang bersamaan dengan sistem (1).

Mari kita pindahkan yang tidak diketahui bebas ke sebelah kanan persamaan ini.

sistem (9) kita selesaikan dengan kaedah Gaussian, mempertimbangkan bahagian yang betul sebagai ahli percuma.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Pilihan 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Pilihan 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Pilihan 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Pilihan 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Sistem persamaan linear di mana semua sebutan bebas adalah sama dengan sifar dipanggil homogen :

Mana-mana sistem homogen sentiasa konsisten, kerana ia sentiasa ada sifar (remeh ) penyelesaian. Persoalannya timbul dalam keadaan apa sistem homogen akan mempunyai penyelesaian yang tidak remeh.

Teorem 5.2.Sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika pangkat matriks asas adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Akibat. Sistem homogen persegi mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu matriks utama sistem itu tidak sama dengan sifar.

Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l yang mana sistem mempunyai penyelesaian bukan remeh dan cari penyelesaian ini:

Penyelesaian. Sistem ini akan mempunyai penyelesaian bukan remeh apabila penentu matriks utama adalah sama dengan sifar:

Oleh itu, sistem ini bukan remeh apabila l=3 atau l=2. Untuk l=3, pangkat matriks utama sistem ialah 1. Kemudian, tinggalkan hanya satu persamaan dan andaikan bahawa y=a dan z=b, kita mendapatkan x=b-a, iaitu

Untuk l=2, pangkat matriks utama sistem ialah 2. Kemudian, pilih sebagai minor asas:

kita mendapat sistem yang dipermudahkan

Dari sini kita dapati itu x=z/4, y=z/2. Andainya z=4a, kita mendapatkan

Set semua penyelesaian sistem homogen mempunyai yang sangat penting sifat linear : jika X lajur 1 dan X 2 - penyelesaian sistem homogen AX = 0, maka sebarang kombinasi linear daripadanya a X 1+b X 2 juga akan menjadi penyelesaian sistem ini. Memang sejak AX 1 = 0 dan AX 2 = 0 , kemudian A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Disebabkan oleh sifat ini, jika sistem linear mempunyai lebih daripada satu penyelesaian, maka akan terdapat banyak penyelesaian ini secara tak terhingga.

Lajur Bebas Linear E 1 , E 2 , E k, yang merupakan penyelesaian sistem homogen, dipanggil sistem keputusan asas sistem persamaan linear homogen jika penyelesaian umum sistem ini boleh ditulis sebagai gabungan linear lajur ini:

Jika sistem homogen mempunyai n pembolehubah, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan r, kemudian k = n-r.

Contoh 5.7. Cari sistem asas penyelesaian bagi sistem persamaan linear berikut:

Penyelesaian. Cari pangkat matriks utama sistem:

Oleh itu, set penyelesaian sistem persamaan ini membentuk subruang linear dimensi n - r= 5 - 2 = 3. Kami memilih sebagai minor asas

Kemudian, meninggalkan hanya persamaan asas (selebihnya akan menjadi gabungan linear persamaan ini) dan pembolehubah asas (selebihnya, yang dipanggil pembolehubah bebas, kita pindahkan ke kanan), kita mendapat sistem persamaan yang dipermudahkan:

Andainya x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, kita dapati

, .

Andainya a= 1, b=c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas pertama; mengandaikan b= 1, a = c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas kedua; mengandaikan c= 1, a = b= 0, kita memperoleh penyelesaian asas ketiga. Akibatnya, sistem asas penyelesaian biasa terbentuk

Dengan menggunakan sistem asas, penyelesaian umum sistem homogen boleh ditulis sebagai

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Mari kita perhatikan beberapa sifat penyelesaian sistem tak homogen bagi persamaan linear AX=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sepadan AX = 0.

Penyelesaian umum sistem tidak homogenadalah sama dengan jumlah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX = 0 dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem tidak homogen. Sesungguhnya, biarkan Y 0 ialah penyelesaian tertentu arbitrari bagi sistem tidak homogen, i.e. AY 0 = B, dan Y ialah penyelesaian umum bagi sistem tidak homogen, i.e. AY=B. Menolak satu kesamaan daripada yang lain, kita dapat
A(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX=0. Akibatnya, Y-Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

biarlah sistem heterogen mempunyai bentuk AX = B 1 + B 2 . Kemudian penyelesaian umum sistem sedemikian boleh ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , di mana AX 1 = B 1 dan AX 2 = B 2. Sifat ini menyatakan sifat universal mana-mana sistem linear(algebra, pembezaan, fungsian, dsb.). Dalam fizik, sifat ini dipanggil prinsip superposisi, dalam kejuruteraan elektrik dan radio - prinsip tindanan. Contohnya, dalam teori linear litar elektrik arus dalam mana-mana litar boleh diperolehi sebagai jumlah algebra arus yang disebabkan oleh setiap sumber tenaga secara berasingan.

Kami akan terus menggilap teknik tersebut transformasi asas pada sistem persamaan linear homogen.
Menurut perenggan pertama, bahan itu mungkin kelihatan membosankan dan biasa, tetapi tanggapan ini mengelirukan. Di samping pembangunan selanjutnya teknik akan ada banyak maklumat baru, jadi sila cuba untuk tidak mengabaikan contoh dalam artikel ini.

Apakah sistem persamaan linear homogen?

Jawapannya mencadangkan dirinya sendiri. Sistem persamaan linear adalah homogen jika sebutan bebasnya semua orang persamaan sistem ialah sifar. Sebagai contoh:

Ia agak jelas bahawa sistem homogen sentiasa konsisten, iaitu, ia sentiasa mempunyai penyelesaian. Dan, pertama sekali, apa yang dipanggil remeh penyelesaian . Remeh, bagi mereka yang tidak memahami maksud kata adjektif sama sekali, bermakna bespontovoe. Bukan dari segi akademik, sudah tentu, tetapi dengan mudah difahami =) ... Mengapa perlu berpusu-pusu, mari kita ketahui sama ada sistem ini mempunyai penyelesaian lain:

Contoh 1

Penyelesaian: untuk menyelesaikan sistem homogen adalah perlu untuk menulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi asas membawanya ke bentuk berperingkat. Ambil perhatian bahawa tidak perlu menulis bar menegak dan lajur sifar ahli percuma di sini - selepas semua, apa sahaja yang anda lakukan dengan sifar, mereka akan kekal sifar:

(1) Baris pertama ditambah ke baris kedua, didarab dengan -2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -3.

(2) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1.

Membahagikan baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.

Hasil daripada transformasi asas, sistem homogen yang setara diperolehi , dan, menggunakan langkah terbalik kaedah Gaussian, adalah mudah untuk mengesahkan bahawa penyelesaian itu unik.

Jawab:

Mari kita rumuskan satu kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian remeh sahaja, jika kedudukan matriks sistem(dalam kes ini 3) adalah sama dengan bilangan pembolehubah (dalam kes ini, 3 pcs.).

Kami memanaskan badan dan menala radio kami kepada gelombang transformasi asas:

Contoh 2

Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen

Untuk membetulkan algoritma akhirnya, mari analisa tugas akhir:

Contoh 7

Selesaikan sistem homogen, tulis jawapan dalam bentuk vektor.

Penyelesaian: kami menulis matriks sistem dan, menggunakan transformasi asas, kami membawanya ke bentuk berperingkat:

(1) Tanda baris pertama telah ditukar. Sekali lagi, saya menarik perhatian kepada teknik yang berulang kali ditemui, yang membolehkan anda memudahkan tindakan berikut dengan ketara.

(1) Baris pertama ditambah pada baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama didarab dengan 2 ditambah pada baris ke-4.

(3) Tiga baris terakhir adalah berkadar, dua daripadanya telah dikeluarkan.

Hasilnya adalah standard matriks langkah, dan penyelesaiannya diteruskan di sepanjang trek ibu jari:

– pembolehubah asas;
adalah pembolehubah bebas.

Kami menyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas. Daripada persamaan ke-2:

- gantikan dalam persamaan 1:

Jadi penyelesaian umum ialah:

Oleh kerana terdapat tiga pembolehubah bebas dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, sistem asas mengandungi tiga vektor.

Mari kita gantikan tiga kali ganda nilai ke dalam penyelesaian am dan dapatkan vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahawa adalah sangat wajar untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ia tidak akan mengambil banyak masa, tetapi ia akan menjimatkan seratus peratus daripada ralat.

Untuk tiga nilai cari vektor

Dan akhirnya untuk triple kita mendapat vektor ketiga:

Jawab: , di mana

Ingin melarikan diri nilai pecahan boleh mempertimbangkan kembar tiga dan dapatkan jawapan dalam bentuk yang setara:

Bercakap tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dalam masalah dan tanya soalan - adakah mungkin untuk memudahkan penyelesaian selanjutnya? Lagipun, di sini kita mula-mula menyatakan pembolehubah asas dari segi pecahan, kemudian pembolehubah asas dari segi pecahan, dan, saya mesti katakan, proses ini bukanlah yang paling mudah dan bukan yang paling menyenangkan.

Penyelesaian kedua:

Ideanya adalah untuk mencuba pilih pembolehubah asas yang lain. Mari kita lihat matriks dan perhatikan dua matriks di lajur ketiga. Jadi mengapa tidak mendapat sifar di bahagian atas? Mari kita buat satu lagi transformasi asas: