Sudut antara dua garis lurus dalam formula satah. Sudut antara garis lurus pada satah

sudut antara garisan dalam ruang kita akan panggil mana-mana sudut bersebelahan, dibentuk oleh dua garis lurus yang dilukis melaluinya titik sewenang-wenangnya selari dengan data.

Biarkan dua baris diberikan dalam ruang:

Jelas sekali, sudut φ antara garis lurus boleh diambil sebagai sudut antara vektor arah dan . Sejak , kemudian menggunakan formula untuk kosinus sudut antara vektor yang kita dapat

Keadaan keselarian dan keserenjangan dua garis lurus adalah bersamaan dengan keadaan keselarian dan keserenjangan vektor arahnya dan:

Dua lurus selari jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, i.e. l 1 selari l 2 jika dan hanya jika selari .

Dua lurus berserenjang jika dan hanya jika hasil tambah hasil pekali yang sepadan adalah sama dengan sifar: .

U gol antara garisan dan satah

Biar lurus d- tidak berserenjang dengan satah θ;
d′− unjuran garis d ke satah θ;
Sudut terkecil antara garis lurus d Dan d' kami akan telefon sudut antara garis lurus dan satah.
Mari kita nyatakan sebagai φ=( d,θ)
Jika d⊥θ, kemudian ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem segi empat tepat koordinat
Persamaan satah:

θ: Ax+Oleh+Cz+D=0

Kami menganggap bahawa garis lurus ditakrifkan oleh titik dan vektor arah: d[M 0,hlm→]
vektor n→(A,B,C)⊥θ
Kemudian ia kekal untuk mengetahui sudut antara vektor n→ dan hlm→, mari kita nyatakan sebagai γ=( n→,hlm→).

Jika sudut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jika sudut ialah γ>π/2, maka sudut yang dikehendaki ialah φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Kemudian, sudut antara garis lurus dan satah boleh dikira menggunakan formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√hlm 21+hlm 22+hlm 23

Soalan29. Konsep bentuk kuadratik. Tandakan kepastian bentuk kuadratik.

Bentuk kuadratik j (x 1, x 2, …, x n) n pembolehubah nyata x 1, x 2, …, x n dipanggil jumlah bentuk
, (1)

di mana a ij – beberapa nombor dipanggil pekali. Tanpa kehilangan sifat umum, kita boleh menganggapnya a ij = seorang ji.

Bentuk kuadratik dipanggil sah, Jika a ij Î GR. Matriks bentuk kuadratik dipanggil matriks yang terdiri daripada pekalinya. Bentuk kuadratik (1) sepadan dengan satu-satunya matriks simetri
Itu dia A T = A. Oleh itu, bentuk kuadratik(1) boleh ditulis dalam bentuk matriks j ( X) = x T Ah, Di mana x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Dan, sebaliknya, setiap matriks simetri (2) sepadan dengan bentuk kuadratik unik sehingga notasi pembolehubah.

Kedudukan bentuk kuadratik dipanggil pangkat matriksnya. Bentuk kuadratik dipanggil tidak merosot, jika matriksnya bukan tunggal A. (ingat bahawa matriks A dipanggil tidak merosot jika penentunya tidak sama dengan sifar). Jika tidak, bentuk kuadratik merosot.

pasti positif(atau positif sepenuhnya) jika

j ( X) > 0 , untuk sesiapa X = (X 1 , X 2 , …, x n), kecuali X = (0, 0, …, 0).

Matriks A bentuk kuadratik pasti positif j ( X) juga dipanggil pasti positif. Oleh itu, bentuk kuadratik pasti positif sepadan dengan matriks pasti positif unik dan sebaliknya.

Bentuk kuadratik (1) dipanggil ditakrifkan secara negatif(atau negatif sepenuhnya) jika

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), kecuali X = (0, 0, …, 0).

Begitu juga seperti di atas, matriks bentuk kuadratik pasti negatif juga dipanggil pasti negatif.

Akibatnya, bentuk kuadratik pasti positif (negatif) j ( X) mencapai nilai minimum (maksimum) j ( X*) = 0 pada X* = (0, 0, …, 0).

Perhatikan bahawa kebanyakan daripada bentuk kuadratik bukan tanda-pasti, iaitu, ia tidak positif atau negatif. Bentuk kuadratik sedemikian lenyap bukan sahaja pada asal sistem koordinat, tetapi juga pada titik lain.

Bila n> 2, kriteria khas diperlukan untuk menyemak tanda bentuk kuadratik. Mari lihat mereka.

Majoriti bawah umur bentuk kuadratik dipanggil minor:

iaitu, ini adalah bawah umur dari urutan 1, 2, ..., n matriks A, terletak di sebelah kiri bucu atas, yang terakhir adalah bertepatan dengan penentu matriks A.

Kriteria Kepastian Positif (Kriteria Sylvester)

X) = x T Ah adalah positif pasti, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua minor utama matriks A positif, iaitu: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Kriteria kepastian negatif Untuk bentuk kuadratik j ( X) = x T Ah adalah negatif pasti, adalah perlu dan mencukupi bahawa anak bawah umur utamanya yang tertib genap adalah positif, dan tertib ganjil - negatif, iaitu: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Ia berguna untuk setiap pelajar yang sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk mengulang topik "Mencari sudut antara garis lurus." Seperti yang ditunjukkan oleh statistik, apabila lulus ujian pensijilan, tugas dihidupkan bahagian ini Stereometri menyebabkan kesukaran untuk Kuantiti yang besar pelajar. Pada masa yang sama, tugas yang memerlukan mencari sudut antara garis lurus terdapat dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu bagi kedua-dua asas dan tahap profil. Ini bermakna semua orang harus dapat menyelesaikannya.

Detik asas

Terdapat 4 jenis kedudukan relatif garisan dalam ruang. Mereka boleh bertepatan, bersilang, selari atau bersilang. Sudut di antara mereka boleh menjadi akut atau lurus.

Untuk mencari sudut antara garisan dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu atau, sebagai contoh, dalam penyelesaian, pelajar sekolah di Moscow dan bandar lain boleh menggunakan beberapa cara untuk menyelesaikan masalah dalam bahagian stereometri ini. Anda boleh menyelesaikan tugas menggunakan pembinaan klasik. Untuk melakukan ini, adalah bernilai mempelajari aksiom asas dan teorem stereometri. Pelajar perlu boleh membuat penaakulan secara logik dan mencipta lukisan untuk membawa tugasan kepada masalah planimetrik.

Anda juga boleh menggunakan kaedah koordinat vektor menggunakan formula mudah, peraturan dan algoritma. Perkara utama dalam kes ini ialah melakukan semua pengiraan dengan betul. Asah kemahiran anda dalam menyelesaikan masalah dalam stereometri dan bidang lain kursus sekolah akan membantu anda projek pendidikan"Shkolkovo".

Oh-oh-oh-oh-oh... baik, sukar, seolah-olah dia membaca ayat untuk dirinya sendiri =) Namun, kelonggaran akan membantu kemudian, terutamanya sejak hari ini saya membeli aksesori yang sesuai. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya berharap pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Kedudukan relatif dua garis lurus

Ini berlaku apabila penonton menyanyi bersama dalam korus. Dua garis lurus boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Notasi bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik .

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" supaya kesamaan itu dipenuhi

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan cipta tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan –1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan dipotong dengan 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua, apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya adalah berkadar: , Tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, ia agak jelas.

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIADA nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan itu dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan mencipta sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pembolehubah adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, anda boleh menggunakan skema penyelesaian yang baru dibincangkan. Ngomong-ngomong, ia sangat mengingatkan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami lihat di dalam kelas Konsep kebergantungan linear (dalam) vektor. Asas vektor. Tetapi terdapat pembungkusan yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Untuk memikirkan susunan bersama langsung:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, yang bermaksud bahawa vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti lebih jauh, terus ke Kashchei the Immortal =)

b) Cari vektor arah garis:

Garisan mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau bertepatan. Tidak perlu mengira penentu di sini.

Jelas sekali bahawa pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, dan .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Oleh itu,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memuaskan persamaan ini(sebarang nombor biasanya memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dibincangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan apa-apa untuknya keputusan bebas, adalah lebih baik untuk meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk membina garis selari dengan yang diberikan?

Atas kejahilan ini tugas paling mudah Nightingale the Perompak menghukum dengan keras.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Mari kita nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan keadaan tentang dia? Garis lurus melalui titik itu. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor arah garis lurus "tse" juga sesuai untuk membina garis lurus "de".

Kami mengambil vektor arah daripada persamaan:

Jawab:

Contoh geometri kelihatan mudah:

Ujian analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Dalam kebanyakan kes, ujian analitik boleh dilakukan secara lisan dengan mudah. Lihatlah dua persamaan, dan ramai di antara anda akan dengan cepat menentukan keselarian garisan tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk penyelesaian bebas hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta pelbagai teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garisan bertepatan adalah kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang biasa anda ketahui kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Di sini anda pergi makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Kaedah grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian kepada sistem. Pada asasnya, kami melihat penyelesaian grafik sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk mencipta lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persimpangan itu sendiri mungkin terletak di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan menggunakan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang relevan, ambil pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Semakan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan tugas kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal bagi kebanyakan orang masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada perkara ini.

Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran:

Tidak ada sepasang kasut pun yang haus sebelum kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garis lurus

Mari kita mulakan dengan tipikal dan sangat tugas penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang ini, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk membina garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan berserenjang dengan garis yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Dengan syarat diketahui bahawa . Alangkah baiknya untuk mencari vektor pengarah baris. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kembangkan lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pemeriksaan analitikal penyelesaian:

1) Kami mengeluarkan vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab skalar bagi vektor kita sampai pada kesimpulan bahawa garis-garis itu memang berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Ujian itu, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang jika persamaan diketahui dan tempoh.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam masalah, jadi mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik.

Adakah kita perjalanan yang lucu berterusan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kami adalah jalur lurus sungai dan tugas kami adalah untuk pergi ke sana dengan laluan terpendek. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah untuk bergerak di sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "rho", sebagai contoh: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: apa yang anda perlu lakukan ialah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan menjalankan pengiraan:

Jawab:

Mari buat lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda melukis lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. = 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Mari kita pertimbangkan tugas lain berdasarkan lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik yang simetri kepada titik berbanding dengan garis lurus . Saya cadangkan anda melakukan langkah-langkah itu sendiri, tetapi saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan keputusan pertengahan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat titik tengah segmen kita dapati .

Adalah idea yang baik untuk menyemak bahawa jaraknya juga 2.2 unit.

Kesukaran mungkin timbul dalam pengiraan di sini, tetapi mikrokalkulator adalah bantuan besar dalam menara, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Saya telah menasihati anda berkali-kali dan akan mengesyorkan anda sekali lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk anda membuat keputusan sendiri. Saya akan memberi anda sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk menyelesaikannya. Memberi taklimat pada akhir pelajaran, tetapi lebih baik anda cuba meneka sendiri, saya rasa kepintaran anda telah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah jamb:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut "raspberi".

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah sudut "menatal" pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, contohnya jika .

Mengapa saya memberitahu anda ini? Nampaknya kita boleh bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah hasil negatif, dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan anak panah (mengikut arah jam).

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis lurus? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian Dan Kaedah satu

Pertimbangkan dua garis lurus, diberikan oleh persamaan V Pandangan umum:

Jika lurus tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Paling banyak perhatian rapat mari kita balikkan kepada penyebut - ini betul-betul produk skalar mengarah vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut formula menjadi sifar, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garis lurus dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, adalah mudah untuk memformalkan penyelesaian dalam dua langkah:

1) Jom kira produk skalar mengarah vektor garis lurus:
, yang bermaksud garisan tidak berserenjang.

2) Cari sudut antara garis lurus menggunakan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang Mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan arctangent (lihat. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapan anda, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam kedua-dua darjah dan radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, tolak, bukan masalah besar. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam penyataan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "membuka skru" sudut bermula tepat dengannya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama. Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Arahan

Nota

Tempoh fungsi trigonometri Tangen adalah sama dengan 180 darjah, yang bermaksud bahawa sudut cerun garis lurus tidak boleh, dalam nilai mutlak, melebihi nilai ini.

Nasihat yang berguna

Jika cerun adalah sama antara satu sama lain, maka sudut antara garis tersebut adalah sama dengan 0, kerana garis tersebut sama ada bertepatan atau selari.

Untuk menentukan nilai sudut antara garis bersilang, kedua-dua garisan (atau salah satu daripadanya) perlu dipindahkan ke kedudukan baharu menggunakan kaedah terjemahan selari sehingga ia bersilang. Selepas ini, anda harus mencari sudut antara garis bersilang yang terhasil.

Anda perlu

• pembaris, segi tiga tepat, pensel, protraktor.

Arahan

Jadi, biarkan vektor V = (a, b, c) dan satah A x + B y + C z = 0 diberikan, dengan A, B dan C ialah koordinat bagi N normal. Kemudian kosinus sudut α antara vektor V dan N adalah sama dengan: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Untuk mengira sudut dalam darjah atau radian, anda perlu mengira songsang kepada fungsi kosinus daripada ungkapan yang terhasil, i.e. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Contoh: cari sudut antara vektor(5, -3, 8) dan kapal terbang, diberikan oleh persamaan am 2 x – 5 y + 3 z = 0. Penyelesaian: tuliskan koordinat vektor biasa satah N = (2, -5, 3). Gantikan semuanya nilai yang diketahui ke dalam formula yang diberi: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Video mengenai topik

Garis lurus yang mempunyai lilitan yang sama dengan titik biasa, adalah tangen kepada bulatan. Satu lagi ciri tangen ialah ia sentiasa berserenjang dengan jejari yang dilukis ke titik sentuhan, iaitu tangen dan jejari membentuk garis lurus. sudut. Jika dua tangen kepada bulatan AB dan AC dilukis dari satu titik A, maka ia sentiasa sama antara satu sama lain. Menentukan sudut antara tangen ( sudut ABC) dibuat menggunakan teorem Pythagoras.

Arahan

Untuk menentukan sudut, anda perlu mengetahui jejari bulatan OB dan OS dan jarak titik permulaan tangen dari pusat bulatan - O. Jadi, sudut ABO dan ACO adalah sama, jejari OB ialah, contohnya, 10 cm, dan jarak ke pusat bulatan AO ialah 15 cm. Tentukan panjang tangen menggunakan rumus mengikut teorem Pythagoras: AB = Punca kuasa dua daripada AO2 – OB2 atau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

A. Biarkan dua garis lurus diberikan Garis lurus ini, seperti yang ditunjukkan dalam Bab 1, membentuk pelbagai sudut positif dan negatif, yang boleh sama ada akut atau tumpul. Mengetahui salah satu sudut ini, kita boleh mencari sudut lain dengan mudah.

Dengan cara ini, untuk semua sudut ini nilai berangka tangen adalah sama, perbezaannya hanya boleh dalam tanda

Persamaan garis. Nombor ialah unjuran vektor arah bagi garis lurus pertama dan kedua. Sudut antara vektor ini adalah sama dengan salah satu sudut yang dibentuk oleh garis lurus. Oleh itu, masalah datang kepada penentuan sudut antara vektor

Untuk kesederhanaan, kita boleh bersetuju bahawa sudut antara dua garis lurus ialah sudut positif akut (seperti, sebagai contoh, dalam Rajah 53).

Maka tangen sudut ini akan sentiasa positif. Oleh itu, jika terdapat tanda tolak di sebelah kanan formula (1), maka kita mesti membuangnya, iaitu, simpan hanya nilai mutlak.

Contoh. Tentukan sudut antara garis lurus

Mengikut formula (1) yang kita ada

Dengan. Jika ditunjukkan sisi sudut mana yang merupakan permulaan dan yang mana penghujungnya, maka, sentiasa mengira arah sudut lawan jam, kita boleh mengekstrak sesuatu yang lebih daripada formula (1). Seperti yang mudah dilihat dari Rajah. 53, tanda yang diperoleh di sebelah kanan formula (1) akan menunjukkan jenis sudut - akut atau tumpul - garis lurus kedua terbentuk dengan yang pertama.

(Sememangnya, daripada Rajah 53 kita melihat bahawa sudut antara vektor arah pertama dan kedua sama ada sama dengan sudut yang dikehendaki antara garis lurus, atau berbeza daripadanya sebanyak ±180°.)

d. Jika garisan selari, maka vektor arahnya adalah selari.Menggunakan syarat keselarian dua vektor, kita dapat!

Ini adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian dua baris.

Contoh. Langsung

adalah selari kerana

e. Jika garisan berserenjang maka vektor arahnya juga berserenjang. Menggunakan syarat keserenjang dua vektor, kita memperoleh keadaan keserenjang dua garis lurus, iaitu

Contoh. Langsung

adalah serenjang kerana fakta bahawa

Sehubungan dengan keadaan selari dan serenjang, kami akan menyelesaikan dua masalah berikut.

f. Lukis garis melalui titik selari dengan garis yang diberi

Penyelesaiannya dijalankan seperti ini. Oleh kerana garis yang dikehendaki adalah selari dengan yang ini, maka untuk vektor arahnya kita boleh mengambil yang sama seperti garis yang diberikan, iaitu, vektor dengan unjuran A dan B. Dan kemudian persamaan garis yang dikehendaki akan ditulis dalam borang (§ 1)

Contoh. Persamaan garis yang melalui titik (1; 3) selari dengan garis

akan ada seterusnya!

g. Lukis garisan melalui titik yang berserenjang dengan garis yang diberi

Di sini adalah tidak sesuai lagi untuk mengambil vektor dengan unjuran A dan sebagai vektor pemandu, tetapi perlu mengambil vektor berserenjang dengannya. Oleh itu, unjuran vektor ini mesti dipilih mengikut keadaan keserenjang kedua-dua vektor, iaitu mengikut keadaan

Syarat ini boleh dipenuhi tak terkira kaedah, kerana di sini adalah satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Tetapi cara yang paling mudah ialah pergi. Kemudian persamaan garis yang dikehendaki akan ditulis dalam bentuk

Contoh. Persamaan garis yang melalui titik (-7; 2) dalam garis serenjang

akan ada yang berikut (mengikut formula kedua)!

h. Dalam kes apabila garis diberikan oleh persamaan bentuk