Sudut adalah positif dan negatif. Sudut negatif

Membilang sudut pada bulatan trigonometri.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Ia hampir sama seperti dalam pelajaran sebelum ini. Ada kapak, bulatan, sudut, semuanya chin-china. Menambah bilangan suku (di penjuru segi empat sama besar) - dari yang pertama hingga keempat. Dan kemudian tiba-tiba siapa yang tidak tahu? Seperti yang anda lihat, suku (ia juga dipanggil perkataan indah "kuadran") dinomborkan mengikut lawan jam. Menambah nilai sudut pada paksi. Semuanya jelas, tiada embel-embel.

Dan menambah anak panah hijau. Dengan tambahan. Apa yang dia maksudkan? Biar saya ingatkan anda bahawa sisi tetap sudut sentiasa dipaku pada paksi positif OH. Jadi, jika kita memutar bahagian sudut yang bergerak tambah anak panah, iaitu dalam nombor suku menaik, sudut akan dianggap positif. Sebagai contoh, gambar menunjukkan sudut positif +60°.

Jika kita menangguhkan sudut dalam arah bertentangan, mengikut arah jam, sudut akan dianggap negatif. Tuding pada gambar (atau sentuh gambar pada tablet), anda akan melihat anak panah biru dengan tolak. Ini adalah arah bacaan negatif sudut. Sudut negatif (-60°) ditunjukkan sebagai contoh. Dan anda juga akan melihat bagaimana nombor pada paksi telah berubah ... Saya juga menterjemahkannya ke sudut negatif. Penomboran kuadran tidak berubah.

Di sini, biasanya, salah faham pertama bermula. Macam mana!? Dan jika sudut negatif pada bulatan bertepatan dengan positif!? Dan secara umum, ternyata kedudukan yang sama dari sisi alih (atau titik pada bulatan nombor) boleh dipanggil kedua-dua sudut negatif dan positif!?

ya. Tepat sekali. Katakan sudut positif 90 darjah mengambil bulatan betul-betul sama kedudukan sebagai sudut negatif tolak 270 darjah. Sudut positif, contohnya +110° darjah, mengambil masa betul-betul sama kedudukan sebagai sudut negatif ialah -250°.

Tiada masalah. Semuanya betul.) Pilihan pengiraan sudut positif atau negatif bergantung kepada keadaan tugasan. Jika syarat tidak mengatakan apa-apa teks kosong tentang tanda sudut, (seperti "tentukan yang terkecil positif sudut", dsb.), maka kami bekerja dengan nilai yang sesuai untuk kami.

Pengecualian (dan bagaimana tanpanya?!) adalah ketaksamaan trigonometri, tetapi di sana kita akan menguasai helah ini.

Dan sekarang soalan untuk anda. Bagaimanakah saya tahu bahawa kedudukan sudut 110° adalah sama dengan kedudukan sudut -250°?
Saya akan membayangkan bahawa ini adalah disebabkan oleh perolehan penuh. Dalam 360°... Tidak jelas? Kemudian kita melukis bulatan. Kami melukis di atas kertas. Menanda sudut kira-kira 110°. Dan percaya berapa baki sehingga pusingan penuh. Hanya tinggal 250°...

faham? Dan sekarang - perhatian! Jika sudut 110° dan -250° menduduki bulatan sama kedudukan, kemudian apa? Ya, hakikat bahawa sudut adalah 110 ° dan -250 ° betul-betul sama sinus, kosinus, tangen dan kotangen!
Itu. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) dan seterusnya. Sekarang ini sangat penting! Dan dengan sendirinya - terdapat banyak tugas di mana ia perlu untuk memudahkan ungkapan, dan sebagai asas untuk pembangunan seterusnya formula pengurangan dan selok-belok trigonometri yang lain.

Sudah tentu, saya mengambil 110 ° dan -250 ° secara rawak, semata-mata sebagai contoh. Kesemua kesamaan ini berfungsi untuk mana-mana sudut yang menduduki kedudukan yang sama pada bulatan. 60° dan -300°, -75° dan 285°, dan seterusnya. Saya segera perhatikan bahawa sudut dalam pasangan ini - pelbagai. Tetapi mereka mempunyai fungsi trigonometri - sama.

Saya rasa anda faham apa itu sudut negatif. Ia agak mudah. Berlawanan arah jam ialah kiraan positif. Sepanjang perjalanan, ia adalah negatif. Pertimbangkan sudut positif atau negatif bergantung pada kita. Dari keinginan kita. Nah, dan lebih banyak lagi dari tugas, sudah tentu ... Saya harap anda memahami bagaimana untuk bergerak dalam fungsi trigonometri dari sudut negatif ke positif dan sebaliknya. Lukis bulatan, sudut anggaran, dan lihat berapa banyak yang hilang sebelum pusingan penuh, i.e. sehingga 360°.

Sudut lebih besar daripada 360°.

Mari kita berurusan dengan sudut yang lebih besar daripada 360 °. Dan perkara seperti itu berlaku? Sudah tentu ada. Bagaimana untuk melukis mereka pada bulatan? Tidak menjadi masalah! Katakan kita perlu memahami dalam suku sudut 1000 ° yang manakah akan jatuh? Dengan mudah! Kami membuat satu pusingan penuh lawan jam (sudut diberikan kepada kami positif!). Putar semula 360°. Baiklah, mari kita teruskan! Satu lagi giliran - ia telah ternyata 720 °. Berapa banyak yang tinggal? 280°. Ia tidak mencukupi untuk pusingan penuh ... Tetapi sudutnya lebih daripada 270 ° - dan ini adalah sempadan antara suku ketiga dan keempat. Jadi sudut 1000° kita jatuh ke suku keempat. Semuanya.

Seperti yang anda lihat, ia agak mudah. Biar saya ingatkan anda sekali lagi bahawa sudut 1000° dan sudut 280°, yang kami perolehi dengan membuang pusingan penuh "tambahan", sebenarnya, pelbagai sudut. Tetapi fungsi trigonometri sudut ini betul-betul sama! Itu. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° dll. Jika saya sinus, saya tidak akan perasan perbezaan antara dua sudut ini...

Mengapa semua ini perlu? Mengapakah kita perlu menterjemahkan sudut dari satu sama lain? Ya, semua untuk perkara yang sama.) Untuk memudahkan ungkapan. Penyederhanaan ungkapan, sebenarnya, adalah tugas utama matematik sekolah. Nah, di sepanjang jalan, kepala sedang berlatih.)

Baik, bolehkah kita berlatih?)

Kami menjawab soalan. Mudah pada mulanya.

1. Pada suku yang manakah sudut -325° jatuh?

2. Pada suku manakah sudut 3000° jatuh?

3. Pada suku yang manakah sudut -3000° jatuh?

Ada masalah? Atau rasa tidak selamat? Kami pergi ke Seksyen 555, Kerja amali dengan bulatan trigonometri. Di sana, dalam pelajaran pertama "Kerja praktikal ..." semuanya terperinci ... Dalam sebegitu persoalan ketidakpastian tidak sepatutnya!

4. Apakah tanda dosa555°?

5. Apakah tanda tg555°?

Berazam? Cemerlang! Keraguan? Ia adalah perlu untuk Seksyen 555 ... By the way, di sana anda akan belajar bagaimana untuk menarik tangen dan kotangen pada bulatan trigonometri. Satu perkara yang sangat berguna.

Dan sekarang soalan yang lebih bijak.

6. Bawa ungkapan sin777° kepada sinus sudut positif terkecil.

7. Bawa ungkapan cos777° kepada kosinus sudut negatif terbesar.

8. Tukarkan ungkapan cos(-777°) kepada kosinus sudut positif terkecil.

9. Bawa ungkapan sin777° kepada sinus sudut negatif terbesar.

Apa, soalan 6-9 hairan? Biasalah, tidak ada formulasi sebegitu pada peperiksaan ... Jadi, saya akan menterjemahkannya. Hanya untuk kamu!

Perkataan "mengurangkan ungkapan kepada ..." bermaksud mengubah ungkapan supaya nilainya tidak berubah dan penampilan telah berubah sesuai dengan tugas. Jadi, dalam tugasan 6 dan 9, kita harus mendapatkan sinus, di dalamnya adalah sudut positif terkecil. Semua yang lain tidak penting.

Saya akan memberikan jawapan mengikut urutan (melanggar peraturan kami). Tetapi apa yang perlu dilakukan, terdapat hanya dua tanda, dan hanya empat suku ... Anda tidak akan berselerak dalam pilihan.

6. dosa57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-dosa(-57°)

Saya rasa jawapan kepada soalan 6-9 mengelirukan sesetengah orang. terutamanya -dosa(-57°), betul?) Sesungguhnya, dalam peraturan asas untuk mengira sudut terdapat ruang untuk kesilapan ... Itulah sebabnya saya perlu membuat pelajaran: "Bagaimana untuk menentukan tanda-tanda fungsi dan memberikan sudut pada bulatan trigonometri?" Dalam Seksyen 555. Terdapat tugasan 4 - 9 diselesaikan. Disusun dengan baik, dengan semua perangkap. Dan mereka ada di sini.)

Dalam pelajaran seterusnya, kita akan berurusan dengan radian misteri dan nombor "Pi". Ketahui cara menukar darjah kepada radian dengan mudah dan betul dan begitu juga sebaliknya. Dan kami akan terkejut apabila mendapati bahawa maklumat asas ini di laman web ini sudah cukup untuk menyelesaikan beberapa teka-teki trigonometri bukan standard!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Dalam pelajaran lepas, kami berjaya menguasai (atau mengulangi - seperti yang disukai sesiapa) konsep utama semua trigonometri. ia bulatan trigonometri , sudut pada bulatan , sinus dan kosinus sudut ini dan juga menguasai tanda-tanda fungsi trigonometri dalam sukuan . Dipelajari secara terperinci. Pada jari, seseorang mungkin berkata.

Tetapi ini masih tidak mencukupi. Untuk berjaya menggunakan semua konsep mudah ini dalam amalan, kita memerlukan satu lagi kemahiran yang berguna. Iaitu, yang betul bekerja dengan sudut dalam trigonometri. Tanpa kemahiran ini dalam trigonometri - tiada apa-apa. Malah dalam contoh yang paling primitif. kenapa? Ya, kerana sudut adalah tokoh lakonan utama dalam semua trigonometri! Tidak, bukan fungsi trigonometri, bukan sinus dengan kosinus, bukan tangen dengan kotangen, iaitu sudut itu sendiri. Tiada sudut - tiada fungsi trigonometri, ya ...

Bagaimana untuk bekerja dengan sudut pada bulatan? Untuk melakukan ini, kita perlu mempelajari dua perkara secara ironi.

1) Bagaimana Adakah sudut pada bulatan dikira?

2) Apa adakah mereka dikira (diukur)?

Jawapan kepada soalan pertama adalah tajuk pelajaran hari ini. Kami akan menangani soalan pertama secara terperinci di sini dan sekarang. Jawapan kepada soalan kedua tidak akan diberikan di sini. Kerana ia agak maju. Seperti soalan kedua itu sendiri, ia sangat licin, ya.) Saya tidak akan pergi ke butiran buat masa ini. Ini adalah topik pelajaran berasingan seterusnya.

Boleh kita mula?

Bagaimanakah sudut dikira pada bulatan? Sudut positif dan negatif.

Mereka yang membaca tajuk perenggan itu mungkin sudah berambut panjang. Macam mana?! Sudut negatif? Adakah ini mungkin?

kepada negatif nombor kita sudah terbiasa dengannya. Kita boleh mewakilinya pada paksi berangka: positif ke kanan sifar, negatif ke kiri sifar. Ya, dan kami melihat termometer di luar tingkap secara berkala. Terutama pada musim sejuk, dalam fros.) Dan wang pada telefon berada dalam "tolak" (iaitu. kewajipan) kadang-kadang pergi. Semuanya sudah biasa.

Tetapi bagaimana dengan sudut? Ternyata sudut negatif dalam matematik juga berlaku! Semuanya bergantung pada cara mengira sudut ini ... tidak, bukan pada garis nombor, tetapi pada bulatan nombor! Maksud saya, dalam bulatan. Bulatan - ini dia, analog garis nombor dalam trigonometri!

Jadi, Bagaimanakah sudut pada bulatan dikira? Tiada apa yang perlu dilakukan, kita perlu melukis bulatan ini terlebih dahulu.

Saya akan melukis gambar yang cantik ini:

Ia hampir sama dengan gambar dari pelajaran sebelumnya. Ada kapak, ada bulatan, ada sudut. Tetapi terdapat juga maklumat baru.

Saya juga menambah nombor untuk 0°, 90°, 180°, 270° dan 360° pada paksi. Sekarang ini lebih menarik.) Apakah nombor ini? Betul! Ini adalah nilai sudut yang diukur dari sisi tetap kami, yang jatuh pada paksi koordinat. Kami ingat bahawa sisi tetap sudut sentiasa dilekatkan dengan kukuh pada semipaksi positif OX. Dan mana-mana sudut dalam trigonometri diukur daripada separuh paksi ini. Asal asas sudut ini mesti diingat secara ironi. Dan paksi - ia bersilang pada sudut tepat, bukan? Jadi kami menambah 90 ° dalam setiap suku tahun.

Dan banyak lagi yang ditambah anak panah merah. Dengan tambahan. Yang merah tu sengaja nak tangkap mata. Dan ia tersemat dalam ingatan saya dengan baik. Untuk ini mesti diingati dengan pasti.) Apakah maksud anak panah ini?

Jadi ternyata, jika kita membelok tambah anak panah(lawan arah jam, dalam perjalanan penomboran suku), kemudian sudut akan dianggap positif! Rajah menunjukkan sudut +45° sebagai contoh. Dengan cara ini, sila ambil perhatian bahawa sudut paksi 0°, 90°, 180°, 270° dan 360° juga digulung semula dengan tepat dalam tambah! Dengan anak panah merah.

Sekarang mari kita lihat gambar lain:

Hampir semuanya sama di sini. Hanya sudut pada paksi dinomborkan terbalik. ikut arah jam. Dan mereka mempunyai tanda tolak.) anak panah biru. Juga dengan tolak. Anak panah ini ialah arah bacaan negatif sudut pada bulatan. Dia menunjukkan kepada kita bahawa jika kita menangguhkan sudut kita mengikut arah jam, kemudian sudut akan dianggap negatif. Sebagai contoh, saya menunjukkan sudut -45°.

Ngomong-ngomong, sila ambil perhatian bahawa penomboran suku tidak pernah berubah! Tidak kira sama ada kita melencong dalam tambah atau tolak. Sentiasa tegas lawan jam.)

Ingat:

1. Permulaan pengiraan sudut adalah daripada semipaksi positif ОХ. Mengikut jam - "tolak", terhadap jam - "tambah".

2. Penomboran sukuan sentiasa lawan jam, tanpa mengira arah pengiraan sudut.

Dengan cara ini, menandatangani sudut pada paksi 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, setiap kali melukis bulatan, bukanlah satu keperluan sama sekali. Ini semata-mata untuk memahami intipati. Tetapi nombor ini mesti ada dalam kepala awak apabila menyelesaikan sebarang masalah dalam trigonometri. kenapa? Ya, kerana pengetahuan asas ini memberikan jawapan kepada banyak soalan lain dalam semua trigonometri! Soalan yang paling penting ialah pada suku manakah sudut yang kita minati jatuh? Percaya atau tidak, jawapan yang betul untuk soalan ini menyelesaikan bahagian terbesar semua masalah lain dengan trigonometri. Kami akan menangani pelajaran penting ini (taburan sudut dalam suku) dalam pelajaran yang sama, tetapi sedikit kemudian.

Nilai sudut yang terletak pada paksi koordinat (0°, 90°, 180°, 270° dan 360°) mesti diingat! Ingat dengan tegas, kepada automatisme. Dan kedua-duanya dalam tambah dan tolak.

Tetapi dari saat ini kejutan pertama bermula. Dan bersama-sama dengan mereka soalan rumit yang ditujukan kepada saya, ya ...) Dan apa yang akan berlaku jika sudut negatif pada bulatan sepadan dengan positif? Ternyata begitu titik yang sama pada bulatan boleh ditandakan sebagai sudut positif, dan sudut negatif ???

Agak betul! Begitu juga.) Sebagai contoh, sudut positif +270° menduduki pada bulatan kedudukan yang sama , iaitu sudut negatif -90°. Atau, sebagai contoh, sudut positif +45° pada bulatan akan mengambil masa kedudukan yang sama , iaitu sudut negatif -315°.

Kami melihat gambar seterusnya dan melihat segala-galanya:

Begitu juga, sudut positif +150° akan pergi di mana sudut negatif -210°, sudut positif +230° akan pergi ke tempat yang sama dengan sudut negatif -130°. Dan sebagainya…

Dan sekarang apa yang boleh saya lakukan? Bagaimana sebenarnya untuk mengira sudut, jika mungkin dengan cara ini dan itu? Betul ke?

Jawapan: bagaimanapun betul! Matematik tidak melarang mana-mana dua arah untuk mengira sudut. Dan pilihan arah tertentu bergantung semata-mata pada tugas. Jika tugas tidak mengatakan apa-apa dalam teks biasa tentang tanda sudut (seperti "tentukan yang terbesar negatif sudut" dll.), maka kami bekerja dengan sudut yang paling sesuai untuk kami.

Sudah tentu, sebagai contoh, dalam topik hebat seperti persamaan trigonometri dan ketaksamaan, arah pengiraan sudut boleh memberi kesan yang besar pada jawapannya. Dan dalam topik yang berkaitan, kami akan mempertimbangkan perangkap ini.

Ingat:

Mana-mana titik pada bulatan boleh dilambangkan oleh kedua-dua sudut positif dan negatif. Sesiapa! Apa yang kita mahu.

Sekarang mari kita fikirkan tentang ini. Kami mendapati bahawa sudut 45° betul-betul sama dengan sudut -315°? Bagaimanakah saya mengetahui tentang 315 yang sama ini° ? tak boleh teka? Ya! Melalui pusingan penuh.) Dalam 360 °. Kami mempunyai sudut 45°. Berapa banyak yang hilang sebelum pusingan penuh? Tolak 45° daripada 360° - di sini kita dapat 315° . Kami berliku ke arah negatif - dan kami mendapat sudut -315 °. Masih kurang jelas? Kemudian lihat semula gambar di atas.

Dan ini harus selalu dilakukan apabila menterjemahkan sudut positif ke sudut negatif (dan sebaliknya) - lukis bulatan, perhatikan kira-kira sudut tertentu, kami mempertimbangkan berapa banyak darjah yang hilang sebelum pusingan penuh, dan kami menggulung perbezaan yang terhasil ke arah yang bertentangan. Dan itu sahaja.)

Apa lagi yang menarik tentang sudut yang menduduki kedudukan yang sama pada bulatan, apa pendapat anda? Dan hakikat bahawa sudut itu betul-betul sama sinus, kosinus, tangen dan kotangen! Adakah sentiasa!

Sebagai contoh:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Dan sekarang ini sangat penting! Untuk apa? Ya, semua untuk perkara yang sama!) Untuk memudahkan ungkapan. Untuk memudahkan ungkapan adalah prosedur utama untuk penyelesaian yang berjaya mana-mana tugasan dalam matematik. Dan trigonometri juga.

Jadi, kami mengetahui peraturan am untuk mengira sudut pada bulatan. Nah, jika kita di sini membayangkan selekoh penuh, kira-kira suku, maka sudah tiba masanya untuk memutar dan melukis sudut ini. Bolehkah kita melukis?)

Mari kita mulakan dengan positif sudut. Mereka akan lebih mudah untuk dilukis.

Lukis sudut dalam satu pusingan (antara 0° dan 360°).

Mari kita lukis, sebagai contoh, sudut 60°. Segala-galanya mudah di sini, tanpa sebarang masalah. Kami melukis paksi koordinat, bulatan. Anda boleh terus dengan tangan, tanpa sebarang kompas dan pembaris. Kami melukis secara skematik J: Kami tidak mempunyai penggubalan dengan anda. Tidak perlu mematuhi GOST, mereka tidak akan dihukum.)

Anda boleh (untuk diri sendiri) menandakan nilai sudut pada paksi dan menunjukkan anak panah ke arah melawan jam. Lagipun, kami akan menjimatkan wang sebagai tambahan?) Anda tidak boleh melakukan ini, tetapi anda perlu menyimpan segala-galanya di kepala anda.

Dan sekarang kita melukis sisi kedua (alih) sudut. suku tahun berapa? Pada yang pertama, sudah tentu! Untuk 60 darjah adalah antara 0° dan 90°. Jadi kami seri pada suku pertama. pada satu sudut kira-kira 60 darjah ke sisi tetap. Cara mengira kira-kira 60 darjah tanpa protraktor? Dengan mudah! 60° ialah dua pertiga sudut tepat! Kami secara mental membahagikan suku pertama bulatan kepada tiga bahagian, kami mengambil dua pertiga untuk diri kami sendiri. Dan kita melukis ... Berapa banyak yang sebenarnya kita sampai di sana (jika kita melampirkan protraktor dan mengukurnya) - 55 darjah atau 64 - tidak mengapa! Adalah penting bahawa masih di suatu tempat kira-kira 60°.

Kami mendapat imej:

Itu sahaja. Dan tiada alat diperlukan. Kami mengembangkan mata! Ia akan berguna dalam masalah geometri.) Lukisan yang tidak sedap dipandang ini boleh menjadi sangat diperlukan apabila anda perlu menconteng bulatan dan sudut dengan tergesa-gesa, tanpa benar-benar memikirkan tentang kecantikan. Tetapi pada masa yang sama coretan betul, tanpa kesilapan, dengan semua maklumat yang diperlukan. Sebagai contoh, sebagai bantuan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan.

Sekarang mari kita lukis sudut, sebagai contoh, 265°. Cuba teka di mana ia mungkin? Nah, jelas bahawa bukan pada suku pertama dan tidak juga pada suku kedua: mereka berakhir pada 90 dan 180 darjah. Anda boleh berfikir bahawa 265° ialah 180° ditambah lagi 85°. Iaitu, kepada separuh paksi negatif OX (di mana 180 °) mesti ditambah kira-kira 85°. Atau, lebih mudah lagi, untuk meneka bahawa 265 ° tidak mencapai OY separuh paksi negatif (di mana 270 °) daripada 5 ° yang malang. Pendek kata, pada suku ketiga akan ada sudut ini. Sangat dekat dengan paksi negatif OY, hingga 270 darjah, tetapi masih dalam yang ketiga!

Lukis:

Sekali lagi, ketepatan mutlak tidak diperlukan di sini. Biar pada hakikatnya sudut ini ternyata, katakan, 263 darjah. Tetapi soalan yang paling penting (suku berapa?) kami menjawab dengan betul. Mengapa ini soalan yang paling penting? Ya, kerana mana-mana kerja dengan sudut dalam trigonometri (sama ada kita melukis sudut ini atau tidak) bermula dengan jawapan kepada soalan ini! Adakah sentiasa. Jika anda mengabaikan soalan ini atau cuba menjawabnya secara mental, maka kesilapan hampir tidak dapat dielakkan, ya ... Adakah anda memerlukannya?

Ingat:

Sebarang kerja dengan sudut (termasuk melukis sudut ini pada bulatan) sentiasa bermula dengan menentukan suku di mana sudut ini jatuh.

Sekarang, saya harap anda akan melukis sudut dengan betul, contohnya, 182°, 88°, 280°. AT betul kuarters. Dalam ketiga, pertama dan keempat, jika ada ...)

Suku keempat berakhir pada sudut 360°. Ini adalah satu pusingan penuh. Lada jelas bahawa sudut ini menduduki kedudukan yang sama pada bulatan sebagai 0 ° (iaitu, titik rujukan). Tetapi sudut tidak berakhir di sana, ya...

Apa yang perlu dilakukan dengan sudut yang lebih besar daripada 360°?

"Adakah perkara seperti itu wujud?"- anda bertanya. Ada, bagaimana! Ia berlaku, sebagai contoh, sudut 444 °. Dan kadang-kadang, katakan, sudut 1000 °. Terdapat pelbagai jenis sudut.) Secara visual, sudut eksotik sebegitu dilihat sedikit lebih rumit daripada sudut biasa dalam satu pusingan. Tetapi anda juga perlu boleh melukis dan mengira sudut sedemikian, ya.

Untuk menarik sudut sedemikian pada bulatan dengan betul, anda perlu melakukan perkara yang sama - ketahui pada suku mana sudut faedah jatuh. Di sini keupayaan untuk menentukan suku dengan tepat adalah lebih penting daripada sudut dari 0 ° hingga 360 °! Prosedur untuk menentukan suku adalah rumit dengan hanya satu langkah. Yang mana satu, anda akan lihat tidak lama lagi.

Jadi, sebagai contoh, kita perlu mengetahui pada suku mana sudut 444° jatuh. Kami mula berputar. di mana? Sebagai tambahan, sudah tentu! Mereka memberi kami sudut positif! +444°. Kami memutar, kami memutar ... Kami memutar satu pusingan - kami mencapai 360 °.

Berapakah baki 444°?Kami mengira baki ekor:

444°-360° = 84°.

Jadi 444° ialah satu pusingan penuh (360°) ditambah 84° lagi. Jelas sekali, ini adalah suku pertama. Jadi, sudut 444° jatuh pada suku pertama. Separuh siap.

Tinggal sekarang untuk menggambarkan sudut ini. Bagaimana? Sangat ringkas! Kami membuat satu pusingan penuh di sepanjang anak panah merah (tambah) dan menambah 84 ° lagi.

seperti ini:

Di sini saya tidak mengacaukan lukisan - tanda suku, lukis sudut pada paksi. Semua kebaikan ini sepatutnya ada dalam kepala saya untuk masa yang lama.)

Tetapi saya menunjukkan dengan "siput" atau lingkaran bagaimana tepatnya sudut 444 ° terbentuk dari sudut 360 ° dan 84 °. Garis merah bertitik adalah satu pusingan penuh. Di mana 84° juga diskrukan (garisan pepejal). Dengan cara ini, sila ambil perhatian bahawa jika pusingan yang sangat penuh ini dibuang, maka ini tidak akan menjejaskan kedudukan sudut kami dalam apa jua cara!

Tetapi ini penting! Kedudukan sudut 444° bertepatan sepenuhnya dengan kedudukan sudut 84°. Tiada keajaiban, ia berlaku begitu sahaja.)

Adakah mungkin untuk membuang bukan satu pusingan penuh, tetapi dua atau lebih?

Kenapa tidak? Jika sudut itu besar, maka ia bukan sahaja mungkin, tetapi juga perlu! Sudut tidak akan berubah! Lebih tepat lagi, sudut itu sendiri, sudah tentu, akan berubah dalam magnitud. Tetapi kedudukannya pada bulatan - tidak mungkin!) Itulah sebabnya mereka penuh momentum, bahawa tidak kira berapa banyak salinan yang anda tambah, tidak kira berapa banyak yang anda tolak, anda akan tetap mencapai titik yang sama. Bagus, kan?

Ingat:

Jika kita menambah (tolak) kepada sudut sebarang keseluruhan bilangan pusingan lengkap, kedudukan sudut asal pada bulatan TIDAK akan berubah!

Sebagai contoh:

Pada suku manakah sudut 1000° jatuh?

Tiada masalah! Kami mempertimbangkan berapa banyak pusingan penuh berada dalam seribu darjah. Satu revolusi ialah 360°, satu lagi sudah 720°, yang ketiga ialah 1080°… Berhenti! Dada! Jadi, dalam sudut 1000 ° duduk dua pusing ganti penuh. Buangnya daripada 1000° dan hitung bakinya:

1000° - 2 360° = 280°

Jadi kedudukan sudut 1000° pada bulatan sama, yang sama dengan sudut 280°. Dengan siapa ia sudah lebih menyenangkan untuk bekerja.) Dan di manakah sudut ini jatuh? Ia jatuh pada suku keempat: 270° (separa paksi negatif OY) ditambah sepuluh lagi.

Lukis:

Di sini saya tidak lagi melukis dua pusingan penuh dengan lingkaran bertitik: ternyata panjang yang menyakitkan. Hanya melukis sisa ekor kuda daripada sifar, membuang semua giliran tambahan. Ia seolah-olah mereka tidak wujud.)

Sekali lagi. Dengan cara yang baik, sudut 444° dan 84°, serta 1000° dan 280° adalah berbeza. Tetapi untuk sinus, kosinus, tangen dan kotangen, sudut ini adalah sama!

Seperti yang anda lihat, untuk bekerja dengan sudut yang lebih besar daripada 360°, anda perlu menentukan berapa banyak pusingan penuh duduk dalam sudut besar tertentu. Ini adalah langkah tambahan yang mesti dilakukan terlebih dahulu apabila bekerja dengan sudut sedemikian. Tidak ada yang rumit, bukan?

Menjatuhkan pusingan penuh, sudah tentu, adalah pengalaman yang menyenangkan.) Tetapi dalam amalan, apabila bekerja dengan sudut yang benar-benar ngeri, kesukaran juga berlaku.

Sebagai contoh:

Pada suku manakah sudut 31240° jatuh?

Dan apa, kita akan menambah 360 darjah banyak, banyak kali? Ia adalah mungkin, jika ia tidak terbakar terutamanya. Tetapi kita bukan sahaja boleh menambah.) Kita juga boleh membahagikan!

Jadi mari kita bahagikan sudut besar kita kepada 360 darjah!

Dengan tindakan ini, kita hanya mengetahui berapa banyak revolusi penuh yang tersembunyi dalam 31240 darjah kita. Anda boleh berkongsi sudut, anda boleh (berbisik di telinga anda :)) pada kalkulator.)

Kami mendapat 31240:360 = 86.777777….

Hakikat bahawa nombor itu ternyata pecahan tidak menakutkan. Kami hanya keseluruhan Saya berminat dengan pusing ganti! Oleh itu, tidak perlu membahagikan hingga ke akhirnya.)

Jadi, di sudut shaggy kami terdapat sebanyak 86 pusingan penuh. Seram…

Dalam darjah ia akan menjadi86 360° = 30960°

Macam ni. Itulah berapa banyak darjah yang boleh dibuang tanpa rasa sakit dari sudut tertentu 31240 °. Kekal:

31240° - 30960° = 280°

Semuanya! Kedudukan sudut 31240° dikenal pasti sepenuhnya! Di tempat yang sama seperti 280°. Itu. suku keempat.) Nampaknya kita telah pun menggambarkan sudut ini sebelum ini? Bilakah sudut 1000° dilukis?) Di sana kami juga pergi 280 darjah. Kebetulan.)

Jadi moral cerita ini adalah:

Jika kita diberi sudut yang besar dan berat, maka:

1. Tentukan berapa banyak pusingan penuh duduk di sudut ini. Untuk melakukan ini, bahagikan sudut asal dengan 360 dan buang bahagian pecahan.

2. Kami mempertimbangkan berapa banyak darjah dalam bilangan revolusi yang diterima. Untuk melakukan ini, darabkan bilangan revolusi dengan 360.

3. Tolak pusingan ini dari sudut asal dan kerjakan dengan sudut biasa dalam julat dari 0° hingga 360°.

Bagaimana untuk bekerja dengan sudut negatif?

Tiada masalah! Dengan cara yang sama seperti yang positif, dengan hanya satu perbezaan tunggal. Apa? Ya! Anda perlu membelok sisi terbalik, tolak! mengikut arah jam.)

Mari kita lukis, sebagai contoh, sudut -200°. Pada mulanya, semuanya adalah seperti biasa untuk sudut positif - paksi, bulatan. Mari lukis anak panah biru dengan tolak dan tandakan sudut pada paksi dengan cara yang berbeza. Mereka, sudah tentu, juga perlu dikira ke arah negatif. Ini akan menjadi semua sudut yang sama, melangkah melalui 90°, tetapi dikira dalam arah yang bertentangan, tolak: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Gambar akan kelihatan seperti ini:

Apabila bekerja dengan sudut negatif, selalunya terdapat sedikit perasaan bingung. Macam mana?! Ternyata paksi yang sama ialah kedua-duanya, katakan, +90° dan -270°? Tidak, ada yang tidak kena di sini...

Ya, semuanya bersih dan telus! Lagipun, kita sudah tahu bahawa mana-mana titik pada bulatan boleh dipanggil kedua-dua sudut positif dan negatif! sama sekali. Termasuk pada beberapa paksi koordinat. Dalam kes kita, kita perlukan negatif pengiraan sudut. Jadi kami memotong semua penjuru hingga tolak.)

Sekarang melukis sudut tepat -200° tiada masalah. Ini ialah -180° dan tolak 20° lagi. Kami mula berliku dari sifar hingga tolak: kami terbang melalui suku keempat, yang ketiga juga melepasi, kami mencapai -180 °. Di mana hendak menggulung baki dua puluh? Ya, semuanya baik di sana! Mengikut jam.) Jumlah sudut -200° jatuh ke kedua suku.

Sekarang anda faham betapa pentingnya untuk mengingati sudut pada paksi koordinat?

Sudut pada paksi koordinat (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) mesti diingati dengan tepat untuk menentukan suku tempat sudut jatuh dengan tepat!

Dan jika sudutnya besar, dengan beberapa pusingan penuh? Tidak mengapa! Apakah perbezaannya apabila kelajuan penuh ini diputarkan - dalam tambah atau tolak? Titik pada bulatan tidak akan mengubah kedudukannya!

Sebagai contoh:

Dalam sukuan manakah sudut -2000° jatuh?

Semuanya sama! Sebagai permulaan, kami mempertimbangkan berapa banyak revolusi penuh berada di sudut jahat ini. Untuk tidak merosakkan tanda, mari kita tinggalkan tolak sahaja buat masa ini dan bahagikan sahaja 2000 dengan 360. Kita dapat 5 dengan ekor. Ekor tidak mengganggu kita lagi, kita akan mengiranya sedikit kemudian apabila kita melukis sudut. Kami percaya lima revolusi penuh dalam darjah:

5 360° = 1800°

Voot. Itulah berapa banyak darjah tambahan yang boleh anda buang dengan selamat dari sudut kami tanpa membahayakan kesihatan.

Kami mengira baki ekor:

2000° – 1800° = 200°

Dan sekarang anda juga boleh ingat tentang tolak.) Di manakah kita akan menggulung ekor 200 °? Kelemahan, sudah tentu! Kami diberi sudut negatif.)

2000° = -1800° - 200°

Jadi kami melukis sudut -200 °, hanya tanpa pusingan tambahan. Saya baru sahaja melukisnya, tetapi, biarlah, saya akan melukisnya sekali lagi. Dengan tangan.

Lada adalah jelas bahawa sudut yang diberikan -2000 °, serta -200 °, jatuh ke dalam suku kedua.

Jadi, kami mengelilingi diri kami dalam bulatan ... maaf ... pada misai:

Sekiranya sudut negatif yang sangat besar diberikan, maka bahagian pertama bekerja dengannya (mencari bilangan revolusi penuh dan membuangnya) adalah sama seperti ketika bekerja dengan sudut positif. Tanda tolak tidak memainkan sebarang peranan pada peringkat penyelesaian ini. Tanda itu diambil kira hanya pada bahagian paling akhir, apabila bekerja dengan sudut yang tinggal selepas penyingkiran pusingan penuh.

Seperti yang anda lihat, melukis sudut negatif pada bulatan tidak lebih sukar daripada melukis sudut positif.

Semuanya sama, hanya ke arah lain! Mengikut jam!

Dan sekarang - yang paling menarik! Kami telah merangkumi sudut positif, sudut negatif, sudut besar, sudut kecil - julat penuh. Kami juga mendapati bahawa mana-mana titik pada bulatan boleh dipanggil sudut positif dan negatif, kami membuang pusingan penuh ... Tiada pemikiran? Patut ditangguhkan...

Ya! Apa sahaja titik pada bulatan yang anda ambil, ia akan sepadan dengannya sudut yang tidak berkesudahan! Besar dan tidak begitu, positif dan negatif - semua orang! Dan perbezaan antara sudut ini adalah keseluruhan bilangan pusingan lengkap. Adakah sentiasa! Jadi bulatan trigonometri disusun, ya ...) Itulah sebabnya terbalik tugasnya adalah untuk mencari sudut oleh sinus / kosinus / tangen / kotangen yang diketahui - diselesaikan secara samar-samar. Dan lebih sukar. Berbeza dengan masalah langsung - untuk mencari keseluruhan set fungsi trigonometrinya untuk sudut tertentu. Dan dalam topik trigonometri yang lebih serius ( gerbang, trigonometri persamaan dan ketidaksamaan ) kita akan menghadapi cip ini sentiasa. Menjadi terbiasa.)

1. Pada suku manakah sudut -345° jatuh?

2. Pada suku manakah sudut 666° jatuh?

3. Pada suku manakah sudut 5555° jatuh?

4. Apakah suku sudut -3700° jatuh ke dalam?

5. Apakah tandanyacos999°?

6. Apakah tandanyactg999°?

Dan adakah ia berjaya? Hebat! Ada masalah? Kemudian kamu.

Jawapan:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Kali ini, jawapan diberikan mengikut urutan, melanggar tradisi. Kerana hanya ada empat suku, dan hanya ada dua tanda. Anda tidak akan lari...)

Dalam pelajaran seterusnya, kita akan bercakap tentang radian, tentang nombor misteri "pi", kita akan belajar bagaimana dengan mudah dan mudah menukar radian kepada darjah dan sebaliknya. Dan kami akan terkejut apabila mendapati bahawa walaupun pengetahuan dan kemahiran mudah ini sudah cukup untuk kami berjaya menyelesaikan banyak masalah bukan remeh dalam trigonometri!

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting kepada anda.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Sekiranya perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan / atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada badan-badan negara di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Sepasang sinar Oa dan Ob yang berbeza, yang keluar dari titik O yang sama, dipanggil sudut dan dilambangkan dengan simbol (a, b). Titik O dipanggil bucu sudut, dan sinar Oa u Ob ialah sisi sudut itu. Jika A dan B ialah dua titik bagi sinar Oa dan Ob, maka (a, b) juga dilambangkan dengan simbol AOB (Rajah 1.1).

Sudut (a, b) dipanggil terbentang jika sinar Oa dan Ob, yang muncul dari satu titik, terletak pada garis lurus yang sama dan tidak bertepatan (iaitu, ia berlawanan arah).

Rajah.1.1

Dua sudut dianggap sama jika satu sudut boleh ditindih pada sudut yang lain supaya sisi sudut itu bertepatan. Pembahagi dua sudut ialah sinar yang bermula pada bucu sudut dan membahagikan sudut kepada dua sudut yang sama.

Mereka mengatakan bahawa OS sinar yang terpancar dari bucu sudut AOB terletak di antara sisinya jika ia bersilang dengan segmen AB (Rajah 1.2). Titik C dikatakan terletak di antara sisi sudut jika sinar boleh dilukis melalui titik ini, bermula pada bucu sudut, dan terletak di antara sisi sudut. Set semua titik satah yang terletak di antara sisi sudut membentuk kawasan dalam sudut (Rajah 1.3). Set titik dalam satah yang tidak tergolong dalam kawasan dalam dan sisi sudut membentuk kawasan luar sudut.

Sudut (a, b) dianggap lebih besar daripada sudut (c, d) jika sudut (c, d) boleh ditindih pada sudut (a, b) supaya selepas menggabungkan sepasang sisi, sisi kedua daripada sudut (c, d) akan terletak di antara sisi sudut (a, b). Pada rajah. 1.4 AOB lebih besar daripada AOC.

Biarkan sinar c terletak di antara sisi sudut (a, b) (Rajah 1.5). Pasangan sinar a, c dan c, b membentuk dua sudut. Sudut (a, b) dikatakan sebagai hasil tambah dua sudut (a, c) dan (c, b), dan mereka menulis: (a, b) = (a, c) + (c, b).

Rajah.1.3

Biasanya dalam geometri mereka berurusan dengan sudut yang lebih kecil daripada yang dikembangkan. Walau bagaimanapun, hasil daripada menambah dua sudut, anda boleh mendapatkan sudut yang lebih besar daripada sudut yang dikembangkan. Dalam kes ini, bahagian pesawat itu, yang dianggap sebagai kawasan dalam sudut, ditandakan dengan arka. Pada rajah. 1.6 bahagian dalam sudut AOB, yang diperolehi hasil daripada penambahan sudut AOC dan COB dan sudut yang lebih besar, ditandakan dengan lengkok.

Rajah 1.5

Terdapat juga sudut yang lebih besar daripada 360°. Sudut sedemikian terbentuk, contohnya, oleh putaran kipas pesawat, putaran dram di mana tali dililit, dsb.

Pada masa hadapan, apabila mempertimbangkan setiap sudut, kami akan bersetuju untuk mempertimbangkan salah satu sisi sudut ini sebagai sisi awalnya, dan satu lagi sebagai sisi terakhirnya.

Mana-mana sudut, seperti sudut AOB (Rajah 1.7), boleh diperolehi hasil daripada putaran rasuk yang bergerak mengelilingi bucu O dari bahagian awal sudut (OA) ke bahagian akhir (OB). Kami akan mengukur sudut ini, dengan mengambil kira jumlah pusingan yang dibuat di sekitar titik O, serta arah di mana putaran berlaku.

Sudut positif dan negatif.

Biarkan kita mempunyai sudut yang dibentuk oleh sinar OA dan OB (Rajah 1.8). Rasuk boleh alih, berputar mengelilingi titik O dari kedudukan awalnya (OA), boleh mengambil kedudukan akhir (OB) dengan dua arah putaran yang berbeza. Arah ini ditunjukkan dalam Rajah 1.8 oleh anak panah yang sepadan.

Rajah.1.7

Sama seperti pada paksi nombor satu daripada dua arah dianggap positif dan satu lagi negatif, dua arah putaran yang berbeza bagi rasuk bergerak juga dibezakan. Kami bersetuju untuk mempertimbangkan arah putaran positif arah yang bertentangan dengan arah putaran mengikut arah jam. Arah putaran yang bertepatan dengan arah putaran jarum jam dianggap negatif.

Selaras dengan definisi ini, sudut juga dibahagikan kepada positif dan negatif.

Sudut positif ialah sudut yang terbentuk oleh putaran rasuk alih di sekeliling titik permulaan ke arah positif.

Rajah 1.9 menunjukkan beberapa sudut positif. (Arah putaran rasuk bergerak ditunjukkan oleh anak panah dalam lukisan.)

Sudut negatif ialah sudut yang terbentuk oleh putaran rasuk alih di sekeliling titik permulaan ke arah negatif.

Rajah 1.10 menunjukkan beberapa sudut negatif. (Arah putaran rasuk bergerak ditunjukkan oleh anak panah dalam lukisan.)

Tetapi dua rasuk bertepatan juga boleh membentuk sudut +360°n dan -360°n (n = 0,1,2,3,...). Mari kita nyatakan dengan b sudut putaran bukan negatif terkecil yang mungkin yang menterjemahkan rasuk OA ke kedudukan OB. Jika kini rasuk OB membuat revolusi lengkap tambahan di sekitar titik O, maka kita mendapat nilai sudut yang berbeza, iaitu: ABO \u003d b + 360 °.

Mengukur sudut dengan lengkok bulat. Unit lengkok dan sudut

Dalam sesetengah kes, adalah mudah untuk mengukur sudut menggunakan lengkok bulat. Kemungkinan pengukuran sedemikian adalah berdasarkan cadangan planimetri yang terkenal bahawa dalam satu bulatan (atau dalam bulatan yang sama) sudut pusat dan lengkok yang sepadan dengannya adalah dalam perkadaran langsung.

Biarkan beberapa lengkok bulatan tertentu diambil sebagai unit ukuran lengkok. Sudut pusat yang sepadan dengan lengkok ini akan diambil sebagai unit ukuran sudut. Di bawah keadaan ini, mana-mana lengkok bulat dan sudut pusat yang sepadan dengan lengkok ini akan mengandungi bilangan unit yang sama. Oleh itu, dengan mengukur lengkok bulatan, adalah mungkin untuk menentukan nilai sudut pusat yang sepadan dengan lengkok ini.

Pertimbangkan dua sistem yang paling biasa untuk mengukur lengkok dan sudut.

Ukuran darjah sudut

Apabila mengukur sudut dalam darjah, unit asas pengukuran sudut (sudut rujukan dengan sudut yang berbeza dibandingkan) diambil sebagai sudut satu darjah (ditandakan dengan 1?). Sudut satu darjah ialah sudut sama dengan 1/180 sudut lurus. Sudut yang sama dengan 1/60 sudut dalam 1° ialah sudut satu minit (ditandakan 1"). Sudut yang sama dengan 1/60 sudut dalam satu minit ialah sudut satu saat (ditandakan 1").

Ukuran sudut radian

Bersama-sama dengan ukuran darjah sudut dalam geometri dan trigonometri, satu lagi ukuran sudut digunakan, dipanggil radian. Pertimbangkan bulatan berjejari R dengan pusat O. Lukiskan dua jejari O A dan OB supaya panjang lengkok AB adalah sama dengan jejari bulatan (Rajah 1.12). Sudut pusat AOB yang terhasil akan menjadi sudut satu radian. Sudut 1 radian diambil sebagai unit ukuran untuk ukuran radian sudut. Apabila mengukur sudut dalam radian, sudut yang dibangunkan adalah sama dengan p radian.

Unit darjah dan radian ukuran sudut dikaitkan dengan kesamaan:

1 radian \u003d 180? / p57 ° 17 "45"; 1? \u003d p / 180 radian 0.017453 radian;

1"=p/180*60 radian0.000291 radian;

1""=p/180*60*60 radian0.000005 radian.

Ukuran darjah (atau radian) sudut juga dipanggil magnitud sudut. Nilai sudut AOB kadangkala dilambangkan /

Klasifikasi sudut

Sudut sama dengan 90°, atau dalam ukuran radian p/2, dipanggil sudut tegak; ia sering dilambangkan dengan huruf d. Sudut kurang daripada 90° dipanggil sudut akut; Sudut yang lebih besar daripada 90° tetapi kurang daripada 180° dipanggil sudut tumpul.

Dua sudut yang berkongsi sisi yang sama dan menambah sehingga 180° dipanggil sudut bersebelahan. Dua sudut yang berkongsi sisi yang sama dan menambah sehingga 90° dipanggil sudut pelengkap.