Nyatakan struktur penyelesaian umum persamaan pembezaan. Struktur penyelesaian am kepada persamaan pembezaan homogen linear

D U pesanan yang lebih tinggi

Seperti yang telah kita katakan, persamaan pembezaan boleh mengandungi terbitan pelbagai susunan.

Persamaan pembezaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang mengandungi begitu banyak pemalar penyepaduan arbitrari → apakah susunannya persamaan pembezaan, iaitu untuk persamaan pembezaan tertib ke-2 akan terdapat dua pemalar arbitrari C1 dan C2, untuk susunan ke-3 →C1, C2, dan C3, dsb.

Oleh itu, penyelesaian umum (kamiran am) bagi persamaan pembezaan sedemikian akan menjadi fungsi

.

Untuk mendapatkan penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan tersebut, adalah perlu untuk menetapkan seberapa banyak keadaan awal sebagai susunan persamaan pembezaan, atau berapa banyak pemalar arbitrari yang diperoleh dalam penyelesaian umum.

D U masuk pembezaan penuh. Faktor penyepaduan

Persamaan pembezaan bentuk dipanggil persamaan pembezaan dalam pembezaan lengkap jika bahagian kirinya ialah pembezaan lengkap beberapa fungsi lancar, iaitu Jika , . Perlu dan keadaan yang mencukupi agar fungsi sedemikian wujud mempunyai bentuk:

Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dalam jumlah pembezaan, anda perlu mencari fungsinya. Kemudian penyelesaian umum persamaan pembezaan boleh ditulis dalam bentuk untuk pemalar arbitrari C.

Faktor penyepaduan bagi persamaan pembezaan

dipanggil fungsi sedemikian, selepas pendaraban yang mana persamaan pembezaan bertukar menjadi persamaan dalam jumlah pembezaan. Jika fungsi M dan N dalam persamaan mempunyai terbitan separa berterusan dan tidak lenyap secara serentak, maka faktor penyepaduan wujud. Walau bagaimanapun, kaedah umum tiada cara untuk mencarinya.

Struktur penyelesaian umum LNDU

Pertimbangkan persamaan pembezaan tak homogen linear

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− walau apa pun titik awal (x0, y0, ) , x0∈ , terdapat nilai C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 supaya fungsi y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) memenuhi keadaan awal y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Pernyataan berikut adalah benar (teorem mengenai struktur penyelesaian am linear persamaan homogen).

Jika semua pekali persamaan persamaan pembezaan homogen linear adalah selanjar pada selang , dan fungsi y1(x), y2(x),..., yn(x) membentuk sistem penyelesaian kepada persamaan homogen yang sepadan , maka penyelesaian umum persamaan tak homogen nampak macam

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

dengan C1,...,Cn ialah pemalar arbitrari, y*(x) ialah penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen.

LNDU pesanan ke-2

Persamaan pembezaan tak homogen linear bagi urutan kedua.

Persamaan bentuk y" + py" + qy = f(x), dengan p dan q - nombor nyata, f(x) - fungsi berterusan, dipanggil persamaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

Penyelesaian umum persamaan ialah hasil tambah penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen dan penyelesaian umum persamaan homogen sepadan. Mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen telah dikaji. Untuk mencari penyelesaian tertentu, kami menggunakan kaedah tersebut pekali tidak pasti, yang tidak mengandungi proses penyepaduan.

Mari kita pertimbangkan pelbagai jenis sisi kanan persamaan y" + py" + qy = f(x).

1) Bahagian kanan mempunyai bentuk F(x) = Pn(x), di mana Pn(x) ialah polinomial bagi darjah n. Kemudian penyelesaian tertentu untuk y boleh dicari dalam bentuk di mana Qn (x) ialah polinomial yang sama darjah dengan Pn (x), dan r ialah bilangan punca. persamaan ciri, sama dengan sifar.

Contoh. Cari penyelesaian umum bagi persamaan y" – 2y" + y = x+1.

Penyelesaian: Penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan mempunyai bentuk Y = ex (C1 + C2x). Oleh kerana tiada punca bagi persamaan ciri k2 – 2k + 1 = 0 adalah sama dengan sifar (k1 = k2 = 1), kita mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk di mana A dan B adalah pekali yang tidak diketahui. Membezakan dua kali dan menggantikan “ dan “ ke dalam persamaan ini, kita dapati –2A + Ax + B = x + 1.

Menyamakan pekali untuk kuasa yang sama bagi x dalam kedua-dua belah kesamaan: A = 1, –2A + B = 1, kita dapati A = 1, B = 3. Jadi, penyelesaian tertentu persamaan yang diberikan mempunyai bentuk = x + 3, dan penyelesaian amnya ialah y = ex (C1 + C2x) + x + Z.

2) Bahagian kanan mempunyai bentuk f(x) = eax Pn(x), dengan Рn (x) ialah polinomial bagi darjah n. Kemudian penyelesaian tertentu harus dicari dalam bentuk di mana Qn(x) ialah polinomial yang sama darjah dengan Pn (x), dan r ialah bilangan punca persamaan ciri yang sama dengan a. Jika a = 0, maka f(x) = Pn (x), iaitu, kes 1 berlaku.

LOD dengan pekali malar.

Pertimbangkan persamaan pembezaan

di manakah pemalar sebenar.

Untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan (8), kita lakukan ini. Kami menyusun persamaan ciri untuk persamaan (8): (9)

Biarkan punca persamaan (9), dan di antaranya mungkin terdapat gandaan. mungkin kes berikut:

a) - nyata dan berbeza. Penyelesaian umum persamaan homogen ialah ;

b) punca-punca persamaan ciri adalah nyata, tetapi di antara mereka terdapat gandaan, i.e. , maka penyelesaian umum ialah

c) jika punca-punca persamaan ciri adalah kompleks (k=a±bi), maka penyelesaian umum mempunyai bentuk .

Struktur am penyelesaian kepada LDE pesanan ke-2

Pertimbangkan persamaan pembezaan homogen linear

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Penyelesaian umum persamaan ini pada selang ialah fungsi y = Φ(x, C1,..., Cn), bergantung pada n pemalar arbitrari C1,..., Cn dan memuaskan. syarat berikut:

− untuk mana-mana nilai yang boleh diterima daripada pemalar C1,..., Cn fungsi y = Φ(x, C1,..., Cn) ialah penyelesaian kepada persamaan pada ;

− walau apa pun titik awal (x0, y0, ) , x0∈ , terdapat nilai C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 supaya fungsi y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) memenuhi keadaan awal y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Pengetahuan tentang sistem asas penyelesaian kepada persamaan memungkinkan untuk membina penyelesaian umum untuk persamaan ini. Mari kita ingat takrif penyelesaian am bagi persamaan pembezaan n-perintah ke-

Fungsi
, ditakrifkan dalam beberapa domain variasi pembolehubah
, pada setiap titik yang terdapat kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada masalah Cauchy, dan yang mempunyai terbitan separa berterusan berkenaan dengan X terpulang kepada pesanan n inklusif, dipanggil penyelesaian umum persamaan (15) di kawasan yang ditunjukkan jika:

sistem persamaan

boleh diselesaikan di kawasan yang ditentukan berkenaan dengan pemalar sewenang-wenangnya
, Jadi

(16)

2. fungsi
ialah penyelesaian kepada persamaan (15) untuk semua nilai pemalar arbitrari
, dinyatakan oleh formula (16), apabila titik
tergolong dalam kawasan yang dipertimbangkan.

Teorem 1. (pada struktur penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen linear). Jika fungsi
,
, …,
bentuk sistem asas penyelesaian kepada persamaan linear homogen n-perintah ke-
dalam selang waktu
, iaitu dalam selang kesinambungan pekali, maka fungsi
ialah penyelesaian umum kepada persamaan ini di rantau ini D:
,
,
.

Bukti. Pada setiap titik kawasan yang ditunjukkan terdapat kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada masalah Cauchy. Mari kita tunjukkan bahawa fungsi
memenuhi definisi penyelesaian umum kepada persamaan n-perintah ke-.

sistem persamaan

boleh diselesaikan dalam domain D relatif kepada pemalar arbitrari
kerana penentu sistem ini ialah penentu Wronski untuk sistem asas penyelesaian (12) dan, oleh itu, berbeza daripada sifar.

2. Fungsi
dengan sifat penyelesaian persamaan linear homogen, ia adalah penyelesaian kepada persamaan
untuk semua nilai pemalar arbitrari
.

Oleh itu fungsi
adalah penyelesaian umum kepada persamaan
di kawasan tersebut D. Teorem terbukti.

Contoh.

.

Penyelesaian kepada persamaan ini jelas merupakan fungsi
,
. Keputusan ini membentuk sistem keputusan asas, kerana

.

Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan asal ialah fungsi.

Struktur penyelesaian am kepada persamaan linear tak homogen tertib ke-n.

Mari kita pertimbangkan yang tidak homogen persamaan linear n-perintah ke-

Mari kita tunjukkan bahawa, seperti dalam kes persamaan tak homogen linear tertib pertama, pengamiran persamaan (1) dikurangkan kepada pengamiran persamaan homogen jika satu penyelesaian tertentu bagi persamaan tidak homogen (1) diketahui.

biarlah
- penyelesaian tertentu kepada persamaan (1), i.e.

,
. (2)

Mari letak
, Di mana z– baru bukan fungsi yang diketahui daripada X. Kemudian persamaan (1) akan mengambil bentuk

atau
,

dari mana, berdasarkan identiti (2), kita memperoleh

. (3)

Ini ialah persamaan linear homogen, bahagian kirinya adalah sama dengan persamaan tidak homogen (1) yang sedang dipertimbangkan. Itu. kita telah memperoleh persamaan homogen yang sepadan dengan persamaan tidak homogen ini (1).

,
, …,
,

ialah sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen (3). Kemudian semua penyelesaian kepada persamaan ini terkandung dalam formula untuk penyelesaian amnya, i.e.

.

Mari kita gantikan nilai ini z ke dalam formula
, kita dapat

.

Fungsi yang terhasil ialah penyelesaian umum kepada persamaan (1) di rantau ini D.

Oleh itu, kami telah menunjukkan bahawa penyelesaian am bagi persamaan linear tidak homogen (1) adalah sama dengan hasil tambah beberapa penyelesaian tertentu bagi persamaan ini dan penyelesaian am bagi persamaan linear homogen sepadan.

Contoh. Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut

.

Penyelesaian. Kami mempunyai penyelesaian tertentu kepada persamaan linear tak homogen ini mempunyai bentuk

.

Penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan
, seperti yang telah kami tunjukkan sebelum ini, mempunyai borang

Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan asal ialah:
.

Dalam kebanyakan kes, tugas mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen adalah lebih mudah jika anda menggunakan sifat berikut:

Teorem. Jika dalam persamaan (1) sebelah kanan nampak macam

dan diketahui bahawa
, A - penyelesaian khusus persamaan
, kemudian jumlah penyelesaian khusus ini +akan menjadi penyelesaian separa persamaan (1).

Bukti. Sesungguhnya, sejak dengan syarat terdapat penyelesaian tertentu kepada persamaan tersebut
, A - penyelesaian khusus persamaan
, Itu

,
.

mereka. +ialah penyelesaian khusus kepada persamaan (1).

Untuk persamaan pembezaan tak homogen linear n- pesanan pertama

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + an(x)y = f(x),

di mana y = y(x) - fungsi tidak diketahui, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) - diketahui, berterusan, adil:
1) jika y 1(x) Dan y 2(x) ialah dua penyelesaian kepada persamaan tidak homogen, kemudian fungsinya
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - penyelesaian persamaan homogen yang sepadan;
2) jika y 1(x) penyelesaian kepada persamaan tidak homogen, dan y 2(x) ialah penyelesaian kepada persamaan homogen yang sepadan, kemudian fungsinya
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - penyelesaian persamaan bukan homogen;
3) jika y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n penyelesaian bebas linear bagi persamaan homogen, dan ych(x) - keputusan sewenang-wenangnya persamaan tak homogen,
kemudian untuk mana-mana nilai awal
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Ungkapan
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
dipanggil keputusan umum persamaan pembezaan tak homogen linear n-perintah ke-.

Untuk mencari penyelesaian separa bagi persamaan pembezaan tak homogen dengan pekali malar dengan sisi kanan bentuk:
Pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)dosa( bx),
di mana Pk(x), Q m(x) - polinomial darjah k Dan m Oleh itu, terdapat algoritma mudah untuk membina penyelesaian tertentu, dipanggil kaedah pemilihan.

Kaedah pemilihan, atau kaedah pekali yang tidak ditentukan, adalah seperti berikut.
Penyelesaian yang diperlukan untuk persamaan ditulis sebagai:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + Qr(x)exp(a x)dosa( bx))xs,
di mana Pr(x), Qr(x) - polinomial darjah r= maks( k, m) Dengan tidak diketahui pekali
pr , pr- 1, ..., hlm 1, hlm 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Oleh itu, untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan tak homogen linear dengan pekali malar, seseorang harus
cari penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan (tulis persamaan ciri, cari semua punca persamaan ciri l 1, l 2, ... , ln, tuliskan sistem asas penyelesaian y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
cari sebarang penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen ych(x);
tuliskan ungkapan untuk penyelesaian am
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar dengan sebelah kanan jenis khas. Kaedah pekali yang tidak ditentukan.

Persamaan pembezaan bentuk (1)

di mana , f ialah fungsi yang diketahui, dipanggil persamaan pembezaan linear bagi tertib ke-n dengan pekali malar. Jika , maka persamaan (1) dipanggil homogen, sebaliknya - tidak homogen.

Untuk persamaan tak homogen linear dengan pekali malar dan dengan sebelah kanan bentuk khas, iaitu, terdiri daripada hasil tambah dan hasil fungsi, penyelesaian tertentu boleh dicari dengan kaedah pekali tidak ditentukan. Jenis penyelesaian tertentu bergantung pada punca-punca persamaan ciri. Di bawah ialah jadual jenis penyelesaian separa kepada persamaan tak homogen linear dengan sisi kanan khas.

satah kompleks. Modulus dan hujah bagi nombor kompleks. Maksud utama hujah. Makna geometri

Nombor kompleks ditulis dalam bentuk: a+ bi. Di sini a dan b ialah nombor nyata, dan i ialah unit khayalan, i.e. i 2 = –1. Nombor a dipanggil absis, dan b ialah ordinat bagi nombor kompleks a+ bi. Dua nombor kompleks a+ bi dan a – bi dipanggil nombor kompleks konjugasi.

Perwakilan geometri nombor kompleks. Nombor nyata diwakili oleh titik pada garis nombor:

Di sini, titik A bermaksud nombor –3, titik B bermaksud nombor 2, dan O bermaksud sifar. Sebaliknya, nombor kompleks diwakili oleh titik pada satah koordinat. Untuk tujuan ini, kami memilih koordinat segi empat tepat (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua-dua paksi. Kemudian nombor kompleks a+ bi akan diwakili oleh titik P dengan absis a dan ordinat b (lihat rajah). Sistem koordinat ini dipanggil satah kompleks.

Modulus nombor kompleks ialah panjang OP vektor yang mewakili nombor kompleks pada satah koordinat (kompleks). Modulus nombor kompleks a+ bi dilambangkan dengan | a+ bi | atau huruf r dan sama dengan:

Nombor kompleks konjugat mempunyai modulus yang sama. __

Argumen nombor kompleks ialah sudut antara paksi OX dan vektor OP yang mewakili nombor kompleks ini. Oleh itu, tan = b/a.

Struktur penyelesaian umum persamaan sedemikian ditentukan oleh teorem berikut.

Teorem 1. Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen (1) diwakili sebagai hasil tambah beberapa penyelesaian tertentu bagi persamaan ini y h dan penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan

Bukti. Kita perlu membuktikan bahawa jumlah (3)

Terdapat penyelesaian umum untuk persamaan (1).

Mari kita buktikan dahulu bahawa fungsi (3) ialah penyelesaian kepada persamaan (1). Menggantikan sebaliknya di jumlah dalam persamaan (1) ialah:

Oleh kerana – ialah penyelesaian kepada persamaan (2), ungkapan dalam kurungan pertama persamaan (4) adalah sama dengan sifar. Kerana y h ialah penyelesaian kepada persamaan (1), maka ungkapan dalam kurungan kedua (4) adalah sama dengan f(x). Oleh itu, persamaan (4) adalah identiti. Oleh itu, bahagian pertama teorem terbukti.

Mari kita buktikan bahawa ungkapan (3) ialah penyelesaian umum kepada persamaan (1), i.e. Mari kita buktikan bahawa pemalar sewenang-wenang yang termasuk di dalamnya boleh dipilih supaya syarat awal (5)

walau apa pun nombornya x 0, y 0, dan (jika hanya kawasan di mana fungsi a 1, a 2 Dan f(x) berterusan).

Menyedari bahawa kita boleh mewakilinya sebagai , Di mana y 1 , y 2 penyelesaian bebas linear kepada persamaan (2), dan C 1 Dan C 2 adalah pemalar arbitrari, kita boleh menulis semula kesamaan (3) dalam bentuk . Kemudian, berdasarkan syarat (5), kita akan mempunyai sistem

.

Daripada sistem persamaan ini adalah perlu untuk menentukan C 1 Dan C 2. Mari kita tulis semula sistem dalam borang

(6)

Penentu sistem – terdapat penentu Wronski untuk penyelesaian pada 1 Dan pukul 2 pada titik. Oleh kerana fungsi-fungsi ini bebas secara linear mengikut keadaan, penentu Wronski tidak sama dengan sifar, oleh itu sistem (6) mempunyai penyelesaian yang unik C 1 Dan C 2, iaitu terdapat makna sedemikian C 1 Dan C 2 di mana formula (3) menentukan penyelesaian persamaan (1) memenuhi syarat awal yang diberikan.

Oleh itu, jika penyelesaian umum persamaan homogen (2) diketahui, maka tugas utama apabila mengintegrasikan persamaan tidak homogen (1) adalah untuk mencari sebarang penyelesaian tertentu. y h.

Persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar dengan sisi kanan khas. Kaedah pekali yang tidak ditentukan.

Kadangkala adalah mungkin untuk mencari penyelesaian yang lebih mudah tanpa menggunakan penyepaduan. Ini berlaku di kes khas apabila fungsi f(x) mempunyai jenis khas.

Mari kita mempunyai persamaan, (1)

di mana hlm Dan q nombor nyata dan f(x) mempunyai rupa yang istimewa. Mari kita pertimbangkan beberapa kemungkinan sedemikian untuk persamaan (1).

Biarkan bahagian kanan persamaan (1) ialah hasil darab fungsi eksponen kepada polinomial, i.e. nampak macam , (2)

di mana polinomial darjah ke-n. Kemudian kes berikut adalah mungkin:

a) nombor – bukan akar persamaan ciri .

Dalam kes ini, penyelesaian tertentu mesti dicari dalam bentuk (3)

mereka. dalam bentuk polinomial juga n-ijazah ke-, di mana A 0, A 1,…, A n pekali perlu ditentukan.

Untuk menentukannya, kita dapati derivatif dan .

Menggantikan y h, dan ke dalam persamaan (1) dan mengurangkan kedua-dua belah dengan faktor kita akan mempunyai:

Berikut ialah polinomial darjah ke-n, – polinomial darjah ke- (n-1), dan – polinomial darjah ke-2 (n-2).

Oleh itu, di sebelah kiri dan kanan tanda sama terdapat polinomial n-ijazah ke-. Menyamakan pekali pada darjah yang sama X(bilangan pekali yang tidak diketahui adalah sama dengan ), kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan pekali A 0, A 1, ..., A n.

jika bahagian kanan persamaan (1) mempunyai bentuk: