Memudahkan ungkapan dengan eksponen rasional. Ungkapan kuasa (ungkapan dengan kuasa) dan transformasinya

Ungkapan a n (kuasa dengan eksponen integer) akan ditakrifkan dalam semua kes, kecuali untuk kes apabila a = 0 dan n adalah kurang daripada atau sama dengan sifar.

Sifat ijazah

Sifat utama darjah dengan eksponen integer:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n \u003d a (m-n) (dengan a tidak sama dengan sifar);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n * b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (untuk b tidak sama dengan sifar);

a 0 = 1 (apabila a tidak sama dengan sifar);

Sifat ini akan sah untuk sebarang nombor a, b dan sebarang integer m dan n. Ia juga perlu diperhatikan harta berikut:

Jika m>n, maka a m > a n , untuk a>1 dan a m

Konsep darjah suatu nombor boleh digeneralisasikan kepada kes di mana nombor rasional bertindak sebagai eksponen. Pada masa yang sama, saya ingin semua harta di atas dipenuhi, atau sekurang-kurangnya sebahagian daripadanya.

Sebagai contoh, jika sifat (a m) n = a (m*n) telah dilaksanakan, kesamaan berikut akan menjadi benar:

(a (m/n)) n = a m .

Kesamaan ini bermakna nombor a (m/n) mestilah punca ke-n bagi nombor a m .

Kuasa beberapa nombor a (lebih besar daripada sifar) dengan eksponen rasional r = (m/n), di mana m ialah beberapa integer, n ialah beberapa nombor asli lebih besar daripada satu, dipanggil nombor n√(a m). Berdasarkan takrifan: a (m/n) = n√(a m).

Untuk semua r positif, kuasa sifar akan ditentukan. Mengikut takrifan, 0 r = 0. Kami juga ambil perhatian bahawa untuk sebarang integer, sebarang m dan n asli, dan positif a kesamaan berikut adalah benar: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Contohnya: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .

Takrif darjah dengan eksponen rasional secara langsung membayangkan fakta bahawa untuk mana-mana a positif dan mana-mana r rasional, nombor a r akan positif.

Sifat asas ijazah dengan eksponen rasional

Untuk sebarang nombor rasional p, q dan sebarang a>0 dan b>0, kesamaan berikut adalah benar:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Sifat-sifat ini mengikuti dari sifat-sifat akar. Semua sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama, jadi kami mengehadkan diri kami untuk membuktikan hanya satu daripadanya, contohnya, yang pertama (a p)*(a q) = a (p + q) .

Biarkan p = m/n dan q = k/l, dengan n, l ialah beberapa nombor asli dan m, k ialah beberapa integer. Kemudian anda perlu membuktikan bahawa:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Pertama, kita bawa pecahan m/n k/l kepada penyebut sepunya. Kami mendapat pecahan (m*l)/(n*l) dan (k*n)/(n*l). Kami menulis semula bahagian kiri persamaan menggunakan notasi ini dan dapatkan:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Pelajaran video "Ijazah dengan penunjuk rasional" mengandungi bahan pendidikan visual untuk mengajar pelajaran mengenai topik ini. Tutorial video mengandungi maklumat tentang konsep ijazah dengan eksponen rasional, sifat darjah tersebut, serta contoh yang menerangkan penggunaan bahan pendidikan untuk menyelesaikan masalah praktikal. Tugas pelajaran video ini adalah untuk mempersembahkan bahan pendidikan secara visual dan jelas, untuk memudahkan perkembangan dan hafalannya oleh pelajar, untuk membentuk kebolehan menyelesaikan masalah menggunakan konsep yang dipelajari.

Kelebihan utama pelajaran video adalah keupayaan untuk membuat transformasi dan pengiraan visual, keupayaan untuk menggunakan kesan animasi untuk meningkatkan kecekapan pembelajaran. Iringan suara membantu mengembangkan ucapan matematik yang betul, dan juga memungkinkan untuk menggantikan penjelasan guru, membebaskannya untuk kerja individu.

Tutorial video bermula dengan memperkenalkan topik. Mengaitkan kajian topik baharu dengan bahan yang telah dikaji sebelum ini, adalah dicadangkan untuk mengingati bahawa n √a sebaliknya dilambangkan dengan 1/n untuk n semula jadi dan a positif. Perwakilan n-root ini dipaparkan pada skrin. Selanjutnya, adalah dicadangkan untuk mempertimbangkan maksud ungkapan a m / n, di mana a ialah nombor positif, dan m / n ialah beberapa pecahan. Takrif darjah yang diserlahkan dalam kotak diberikan dengan eksponen rasional sebagai a m/n = n √ a m . Adalah diperhatikan bahawa n boleh menjadi nombor asli, dan m - integer.

Selepas menentukan darjah dengan eksponen rasional, maknanya didedahkan melalui contoh: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Satu contoh juga ditunjukkan di mana kuasa yang diwakili oleh perpuluhan ditukar kepada pecahan biasa untuk diwakili sebagai punca: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 dan contoh dengan eksponen negatif: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Secara berasingan, ciri kes tertentu ditunjukkan apabila asas darjah adalah sifar. Adalah diperhatikan bahawa ijazah ini masuk akal hanya dengan eksponen pecahan positif. Dalam kes ini, nilainya adalah sama dengan sifar: 0 m/n =0.

Satu lagi ciri darjah dengan eksponen rasional diperhatikan - bahawa darjah dengan eksponen pecahan tidak boleh dipertimbangkan dengan eksponen pecahan. Contoh tatatanda darjah yang salah diberikan: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Selanjutnya dalam pelajaran video, sifat ijazah dengan eksponen rasional dipertimbangkan. Adalah diperhatikan bahawa sifat ijazah dengan eksponen integer juga akan sah untuk ijazah dengan eksponen rasional. Adalah dicadangkan untuk menarik balik senarai hartanah yang juga sah dalam kes ini:

Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, penunjuknya ditambah: a p a q \u003d a p + q.
Pembahagian darjah dengan asas yang sama dikurangkan kepada darjah dengan asas tertentu dan perbezaan dalam eksponen: a p:a q =a p-q .
Jika kita menaikkan kuasa kepada kuasa tertentu, maka sebagai hasilnya kita mendapat kuasa dengan asas yang diberikan dan hasil darab eksponen: (a p) q =a pq .

Semua sifat ini sah untuk kuasa dengan eksponen rasional p, q dan asas positif a>0. Juga, transformasi darjah kekal benar apabila membuka kurungan:

(ab) p =a p b p - menaikkan hasil darab dua nombor kepada kuasa tertentu dengan eksponen rasional dikurangkan kepada hasil darab nombor, setiap satunya dinaikkan kepada kuasa tertentu.
(a/b) p =a p /b p - eksponen dengan eksponen rasional pecahan dikurangkan kepada pecahan yang pengangka dan penyebutnya dinaikkan kepada kuasa yang diberikan.

Tutorial video membincangkan penyelesaian contoh yang menggunakan sifat darjah yang dipertimbangkan dengan eksponen rasional. Dalam contoh pertama, adalah dicadangkan untuk mencari nilai ungkapan yang mengandungi pembolehubah x kepada kuasa pecahan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Walaupun kerumitan ungkapan, menggunakan sifat darjah, ia diselesaikan dengan agak mudah. Penyelesaian tugas bermula dengan penyederhanaan ungkapan, yang menggunakan peraturan menaikkan darjah dengan eksponen rasional kepada kuasa, serta mendarab kuasa dengan asas yang sama. Selepas menggantikan nilai yang diberikan x=8 ke dalam ungkapan ringkas x 1/3 +48, mudah untuk mendapatkan nilai - 50.

Dalam contoh kedua, diperlukan untuk mengurangkan pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi kuasa dengan eksponen rasional. Dengan menggunakan sifat darjah, kita memilih faktor x 1/3 daripada perbezaan, yang kemudiannya dikurangkan dalam pengangka dan penyebut, dan menggunakan rumus perbezaan kuasa dua, pengangka diuraikan kepada faktor, yang memberikan lebih banyak pengurangan bagi faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut. Hasil daripada penjelmaan tersebut ialah pecahan pendek x 1/4 +3.

Pelajaran video "Ijazah dengan penunjuk rasional" boleh digunakan dan bukannya guru menerangkan topik baru pelajaran. Selain itu, manual ini mengandungi maklumat yang mencukupi untuk belajar sendiri oleh pelajar. Bahan tersebut boleh berguna dalam pembelajaran jarak jauh.

Ungkapan bentuk a (m/n) , di mana n ialah beberapa nombor asli, m ialah beberapa integer dan asas darjah a lebih besar daripada sifar, dipanggil darjah dengan eksponen pecahan. Selain itu, persamaan berikut adalah benar. n√(a m) = a (m/n) .

Seperti yang kita sedia maklum, nombor dalam bentuk m/n, di mana n ialah beberapa nombor asli dan m ialah beberapa integer, dipanggil nombor pecahan atau rasional. Daripada perkara di atas, kita mendapat bahawa ijazah ditakrifkan, untuk mana-mana eksponen rasional dan mana-mana asas positif darjah.

Untuk sebarang nombor rasional p,q dan sebarang a>0 dan b>0, kesamaan berikut adalah benar:

1. (a p)*(a q) = a (p+q)
2. (a p): (b q) = a (p-q)
3. (a p) q = a (p*q)
4. (a*b) p = (a p)*(b p)
5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Sifat ini digunakan secara meluas apabila menukar pelbagai ungkapan yang mengandungi darjah dengan eksponen pecahan.

Contoh penjelmaan ungkapan yang mengandungi darjah dengan eksponen pecahan

Mari lihat beberapa contoh yang menunjukkan cara sifat ini boleh digunakan untuk mengubah ungkapan.

1. Kira 7 (1/4) * 7 (3/4) .

7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Kira 9 (2/3) : 9 (1/6) .

9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Kira (16 (1/3)) (9/4) .

(16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Kira 24 (2/3) .

24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Kira (8/27) (1/3) .

(8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Permudahkan ungkapan ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Kira (25 (1/5))*(125 (1/5)).

(25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Permudahkan ungkapan

(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)).
(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
= ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
= 1 + a - (1-a) = 2*a.

Seperti yang anda lihat, menggunakan sifat ini, anda boleh memudahkan beberapa ungkapan yang mengandungi darjah dengan eksponen pecahan.

Pelajaran #30 (Algebra dan Permulaan Analisis, Gred 11)

Topik pelajaran: Ijazah dengan eksponen rasional.

Matlamat pelajaran: 1 . Kembangkan konsep ijazah, berikan konsep ijazah dengan penunjuk rasional; untuk mengajar cara menterjemah ijazah dengan penunjuk rasional kepada akar dan sebaliknya; mengira kuasa dengan eksponen rasional.

2. Perkembangan ingatan, pemikiran.

3. Pembentukan aktiviti.

“Biar seseorang cuba mencoret

dari ijazah matematik dan dia akan melihat

Anda tidak akan pergi jauh tanpa mereka." M.V. Lomonosov

Semasa kelas.

I. Komunikasi topik dan tujuan pelajaran.

II. Pengulangan dan penyatuan bahan yang diliputi.

1. Analisis contoh rumah yang belum diselesaikan.

2. Mengawal kerja bebas:

Pilihan 1.

1. Selesaikan persamaan: √(2x - 1) = 3x - 12

2. Selesaikan ketaksamaan: √(3x - 2) ≥ 4 - x

Pilihan 2.

1. Selesaikan persamaan: 3 - 2x \u003d √ (7x + 32)

2. Selesaikan ketaksamaan: √(3x + 1) ≥ x - 1

III. Mempelajari bahan baharu.

1 . Ingat lanjutan konsep nombor: N є Z є Q є R.

Ini paling baik diwakili sebagai rajah di bawah:

Semulajadi (N)

Sifar

Nombor bukan negatif

Nombor negatif

Nombor pecahan

Integer (Z)

Tidak rasional

Rasional (Q)

Nombor sebenar

2. Dalam gred yang lebih rendah, konsep darjah nombor dengan eksponen integer telah ditakrifkan. a) Ingat takrif darjah a) dengan semula jadi, b) dengan integer negatif, c) dengan eksponen sifar.Tegaskan bahawa ungkapan a n masuk akal untuk semua integer n dan sebarang nilai a, kecuali a=0 dan n≤0.

b) Senaraikan sifat darjah dengan eksponen integer.

3 . kerja lisan.

satu). Kira: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Tulis sebagai eksponen negatif:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .

3).Bandingkan dengan unit: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Sekarang anda perlu memahami maksud ungkapan 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 dan lain-lain. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menggeneralisasikan konsep ijazah sedemikian rupa sehingga semua sifat ijazah yang disenaraikan dipenuhi. Pertimbangkan persamaan (a m/n ) n = a m . Kemudian, mengikut takrifan punca ke-n, adalah munasabah untuk mengandaikan bahawa a m/n akan menjadi punca ke-n a m . Takrif darjah dengan eksponen rasional diberikan.

5. Pertimbangkan contoh 1 dan 2 daripada buku teks.

6. Marilah kita membuat beberapa teguran yang berkaitan dengan konsep ijazah dengan eksponen yang rasional.

Catatan 1 : Untuk sebarang a>0 dan nombor rasional r, nombor a r>0

Catatan 2 : Dengan sifat asas pecahan, nombor rasional m/n boleh ditulis sebagai mk/nk untuk sebarang nombor asli k. Kemudiannilai darjah tidak bergantung kepada bentuk penulisan nombor rasional, sejak a mk/nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m/n

Nota 3: Apabila a Mari kita jelaskan ini dengan contoh. Pertimbangkan (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Sebaliknya: 1/3 = 2/6 dan kemudian (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Kami mendapat percanggahan.