Persamaan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga jika. Tiga kes apabila menyelesaikan sistem persamaan linear

1. Sistem persamaan linear dengan parameter

Sistem persamaan linear dengan parameter diselesaikan dengan kaedah asas yang sama seperti sistem persamaan biasa: kaedah penggantian, kaedah menambah persamaan, dan kaedah grafik. Pengetahuan tentang tafsiran grafik sistem linear memudahkan untuk menjawab soalan tentang bilangan akar dan kewujudannya.

Contoh 1.

Cari semua nilai untuk parameter a yang sistem persamaannya tidak mempunyai penyelesaian.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Penyelesaian.

Mari lihat beberapa cara untuk menyelesaikan tugasan ini.

1 cara. Kami menggunakan sifat: sistem tidak mempunyai penyelesaian jika nisbah pekali di hadapan x adalah sama dengan nisbah pekali di hadapan y, tetapi tidak sama dengan nisbah sebutan bebas (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Kemudian kita mempunyai:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 atau sistem

(dan 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Daripada persamaan pertama a 2 = 4, oleh itu, dengan mengambil kira syarat bahawa a ≠ 2, kita mendapat jawapannya.

Jawapan: a = -2.

Kaedah 2. Kami menyelesaikan dengan kaedah penggantian.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Selepas mengambil faktor sepunya y daripada kurungan dalam persamaan pertama, kita dapat:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Sistem tidak mempunyai penyelesaian jika persamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian, iaitu

(dan 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Jelas sekali, a = ±2, tetapi dengan mengambil kira syarat kedua, jawapannya hanya datang dengan jawapan tolak.

Jawapan: a = -2.

Contoh 2.

Cari semua nilai untuk parameter a yang sistem persamaannya mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Penyelesaian.

Mengikut sifat, jika nisbah pekali x dan y adalah sama, dan sama dengan nisbah ahli bebas sistem, maka ia mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga (iaitu a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Oleh itu 8/a = a/2 = 2/1. Menyelesaikan setiap persamaan yang terhasil, kita dapati a = 4 ialah jawapan dalam contoh ini.

Jawapan: a = 4.

2. Sistem persamaan rasional dengan parameter

Contoh 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Penyelesaian.

Mari kita darabkan persamaan pertama sistem dengan 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Menolak persamaan kedua daripada yang pertama, kita mendapat 5|x| = 4 – a. Persamaan ini akan mempunyai penyelesaian unik untuk a = 4. Dalam kes lain, persamaan ini akan mempunyai dua penyelesaian (untuk< 4) или ни одного (при а > 4).

Jawapan: a = 4.

Contoh 4.

Cari semua nilai parameter a yang mana sistem persamaan mempunyai penyelesaian unik.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Penyelesaian.

Kami akan menyelesaikan sistem ini menggunakan kaedah grafik. Oleh itu, graf bagi persamaan kedua sistem ialah parabola yang dinaikkan sepanjang paksi Oy ke atas oleh satu segmen unit. Persamaan pertama menentukan set garis selari dengan garis y = -x (Rajah 1). Jelas dilihat daripada rajah bahawa sistem mempunyai penyelesaian jika garis lurus y = -x + a adalah tangen kepada parabola pada satu titik dengan koordinat (-0.5, 1.25). Menggantikan koordinat ini ke dalam persamaan garis lurus dan bukannya x dan y, kita dapati nilai parameter a:

1.25 = 0.5 + a;

Jawapan: a = 0.75.

Contoh 5.

Menggunakan kaedah penggantian, ketahui pada nilai parameter a, sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Penyelesaian.

Daripada persamaan pertama kita ungkapkan y dan gantikan kepada yang kedua:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Mari kita kurangkan persamaan kedua kepada bentuk kx = b, yang akan mempunyai penyelesaian unik untuk k ≠ 0. Kami mempunyai:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Kami mewakili trinomial segi empat sama a 2 + 3a + 2 sebagai hasil darab kurungan

(a + 2)(a + 1), dan di sebelah kiri kita ambil x daripada kurungan:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Jelas sekali, a 2 + 3a tidak sepatutnya sama dengan sifar, oleh itu,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, yang bermaksud a ≠ 0 dan ≠ -3.

Jawapan: a ≠ 0; ≠ -3.

Contoh 6.

Menggunakan kaedah penyelesaian grafik, tentukan pada nilai parameter a sistem mempunyai penyelesaian unik.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Penyelesaian.

Berdasarkan keadaan, kami membina bulatan dengan pusat di tempat asal dan jejari 3 unit segmen, inilah yang ditentukan oleh persamaan pertama sistem

x 2 + y 2 = 9. Persamaan kedua sistem (y = |x| + a) ialah garis putus-putus. Dengan menggunakan rajah 2 Kami menganggap semua kemungkinan kes lokasinya berbanding dengan bulatan. Adalah mudah untuk melihat bahawa a = 3.

Jawapan: a = 3.

Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.

bilakah sistem persamaan mempunyai pelbagai penyelesaian? dan mendapat jawapan yang terbaik

Jawapan daripada CBETAET[guru]
1) apabila terdapat lebih banyak yang tidak diketahui dalam sistem daripada persamaan
2) apabila satu daripada persamaan sistem boleh dikurangkan kepada yang lain menggunakan operasi +, -*, /, tanpa membahagi dan mendarab dengan 0.
3) apabila terdapat 2 atau lebih persamaan yang sama dalam sistem (ini adalah kes khas titik 2).
4) apabila terdapat ketidakpastian dalam sistem selepas beberapa transformasi.
contohnya x + y = x + y, iaitu 0=0.
Semoga berjaya!
p.s. jangan lupa ucap terima kasih... ini sangat bagus =))
RS-232
Guru
(4061)
Hanya pangkat matriks sistem persamaan linear akan membantu di sini.

Balas daripada Tanpa Nama[pakar]
Bolehkah anda lebih spesifik?

Balas daripada Vladimir[orang baru]
Apabila pangkat matriks pekali SL kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Balas daripada Pelawat dari masa lalu[guru]
Jika kita bercakap tentang sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui, maka lihat angka itu.

Balas daripada RS-232[guru]
Apabila pangkat matriks sistem persamaan linear adalah kurang daripada bilangan pembolehubah.

Balas daripada Pengguna dipadamkan[guru]

Balas daripada Artem Kurguzov[orang baru]
Sistem persamaan linear yang konsisten adalah tidak tentu, iaitu, mempunyai banyak penyelesaian, jika pangkat sistem yang konsisten itu kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
Untuk sistem menjadi serasi, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks sistem ini sama dengan pangkat matriks lanjutannya. (Teorem Kronecker-Capelli)

Balas daripada 2 jawapan[guru]

hello! Berikut ialah pilihan topik dengan jawapan kepada soalan anda: bilakah sistem persamaan mempunyai banyak penyelesaian?

Tentukan sama ada sistem persamaan linear adalah konsisten menggunakan Teorem Kronecker-Capelli selalunya boleh lebih cepat daripada kaedah Gaussian, di mana yang tidak diketahui mesti dihapuskan secara berurutan. Teorem ini berdasarkan penggunaan pangkat matriks.

Teorem Kronecker-Capelli mengenai keserasian sistem. Sistem persamaan algebra linear adalah konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem ini sama dengan pangkat matriks lanjutannya, iaitu, supaya.

Kedudukan matriks ini dikaitkan dengan ketaksamaan , dan pangkat matriks DALAM hanya boleh menjadi satu unit lebih besar daripada pangkat matriks A.

Akibat daripada teorem Kronecker-Capelli mengenai bilangan penyelesaian. Biarkan untuk sistem m persamaan linear dengan n yang tidak diketahui memenuhi syarat keserasian, iaitu, pangkat matriks pekali sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutannya. Maka yang berikut adalah benar.

Jika pangkat matriks sistem persamaan linear adalah sama dengan bilangan persamaan, iaitu, sistem itu konsisten untuk sebarang sebutan bebas. Dalam kes ini, pangkat matriks lanjutan juga sama dengan m, kerana kedudukan matriks tidak boleh lebih besar daripada bilangan barisnya.

Semasa bukti teorem Kronecker-Capelli, formula eksplisit untuk penyelesaian sistem (dalam kes keserasiannya) telah diperolehi. Jika sudah diketahui bahawa sistem itu konsisten, maka untuk mencari penyelesaiannya, perlu:

1) cari dalam matriks sistem A pangkat berbeza daripada susunan kecil sifar sama dengan pangkat matriks sistem, iaitu pangkat r;

2) buang persamaan yang sepadan dengan baris matriks A, tidak termasuk di bawah umur;

3) pindahkan istilah dengan pekali tidak termasuk dalam , ke sebelah kanan, dan kemudian, memberikan yang tidak diketahui di sebelah kanan nilai arbitrari, tentukan yang selebihnya menggunakan formula Cramer r tidak diketahui daripada sistem r persamaan dengan penentu bukan sifar.

Contoh 1.

Penyelesaian. Kami mengira pangkat matriks sistem ini dan pangkat matriks lanjutan. Dalam kedua-dua kes ia adalah bersamaan dengan 3. Oleh itu, sistem persamaan linear adalah tekal. Oleh kerana pangkat matriks sistem adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga: satu yang tidak diketahui boleh diambil sewenang-wenangnya. kecil

adalah berbeza daripada sifar, jadi kami membuang persamaan terakhir dan memberikan yang tidak diketahui nilai arbitrari.

Baki yang tidak diketahui ditentukan daripada sistem

Menyelesaikan sistem terakhir menggunakan formula Cramer atau dengan cara lain, kami dapati

Dengan menambah di sini, kita memperoleh semua penyelesaian kepada sistem persamaan linear ini.

Contoh 2. Mengikut teorem Kronecker-Capelli, tentukan sama ada sistem persamaan adalah konsisten

Jika sistem itu konsisten, maka selesaikannya.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (SLAE) sudah pasti topik yang paling penting dalam kursus algebra linear. Sebilangan besar masalah daripada semua cabang matematik turun kepada penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menerangkan sebab artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh

pilih kaedah optimum untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear anda,
mengkaji teori kaedah yang dipilih,
selesaikan sistem persamaan linear anda dengan mempertimbangkan penyelesaian terperinci kepada contoh dan masalah biasa.

Penerangan ringkas tentang bahan artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.

Seterusnya, kita akan mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian yang unik. Pertama, kami akan memberi tumpuan kepada kaedah Cramer, kedua, kami akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kami akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah penghapusan berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara yang berbeza.

Selepas ini, kita akan beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem adalah tunggal. Mari kita rumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kita mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (jika ia serasi) menggunakan konsep asas minor bagi matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian kepada contoh.

Kami pasti akan memikirkan struktur penyelesaian umum sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem asas penyelesaian dan tunjukkan bagaimana penyelesaian umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem asas penyelesaian. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Kesimpulannya, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang boleh dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p boleh sama dengan n) dalam bentuk

Pembolehubah tidak diketahui, - pekali (beberapa nombor nyata atau kompleks), - sebutan bebas (juga nombor nyata atau kompleks).

Bentuk rakaman SLAE ini dipanggil menyelaras.

DALAM bentuk matriks menulis sistem persamaan ini mempunyai bentuk,
di mana - matriks utama sistem, - matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks lajur sebutan bebas.

Jika kita menambah lajur matriks sebutan bebas kepada matriks A sebagai lajur (n+1), kita mendapat apa yang dipanggil matriks lanjutan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks lanjutan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur istilah bebas dipisahkan oleh garis menegak dari lajur yang tinggal, iaitu,

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks untuk nilai tertentu bagi pembolehubah yang tidak diketahui juga menjadi identiti.

Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.

Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil bukan sendi.

Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka – tidak pasti.

Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Menyelesaikan sistem asas persamaan algebra linear.

Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka SLAE tersebut akan dipanggil rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes sistem homogen, semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sama dengan sifar.

Kami mula mempelajari SLAE sedemikian di sekolah menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.

Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer.

Katakan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear

di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .

Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan - penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan penggantian 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma:

Dengan tatatanda ini, pembolehubah yang tidak diketahui dikira menggunakan formula kaedah Cramer sebagai . Beginilah cara penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ditemui menggunakan kaedah Cramer.

Contoh.

kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk . Mari kita hitung penentunya (jika perlu, lihat artikel):

Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.

Mari kita karang dan mengira penentu yang diperlukan (kami memperolehi penentu dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur sebutan bebas, penentu dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur sebutan bebas, dan dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur sebutan bebas) :

Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula :

Jawapan:

Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan dalam sistem adalah lebih daripada tiga.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks, di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.

Oleh kerana , matriks A boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua belah kesamaan dengan sebelah kiri, kita mendapat formula untuk mencari lajur matriks pembolehubah yang tidak diketahui. Ini adalah bagaimana kami memperoleh penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks.

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan linear kaedah matriks.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Kerana

maka SLAE boleh diselesaikan menggunakan kaedah matriks. Menggunakan matriks songsang, penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai .

Mari bina matriks songsang menggunakan matriks daripada pelengkap algebra bagi unsur matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Ia kekal untuk mengira matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang ke lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel):

Jawapan:

atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama apabila mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear menggunakan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks kuasa dua tertib lebih tinggi daripada ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss.

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri daripada pengecualian berurutan bagi pembolehubah yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah tidak diketahui x n kekal dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui secara berurutan dipanggil kaedah Gaussian langsung. Selepas melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gaussian, x n didapati daripada persamaan terakhir, menggunakan nilai ini daripada persamaan kedua terakhir, x n-1 dikira, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil songsang kaedah Gaussian.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menukar persamaan sistem. Mari kita hapuskan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, kepada persamaan kedua sistem kita menambah yang pertama, didarab dengan , kepada persamaan ketiga kita menambah yang pertama, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah yang pertama, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, dan .

Kami akan mencapai keputusan yang sama jika kami telah menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.

Seterusnya, kami meneruskan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang dihasilkan, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, kepada persamaan ketiga sistem kita menambah kedua, didarab dengan , kepada persamaan keempat kita menambah kedua, didarab dengan , dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambah kedua, didarab dengan . Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, dan . Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.

Seterusnya, kami meneruskan untuk menghapuskan x 3 yang tidak diketahui, dan kami bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Jadi kami meneruskan perkembangan langsung kaedah Gaussian sehingga sistem mengambil bentuk

Dari saat ini kita mulakan kebalikan kaedah Gaussian: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada persamaan pertama .

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan linear Kaedah Gauss.

Penyelesaian.

Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua belah persamaan kedua dan ketiga kita menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan:

Sekarang kita hapuskan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah pada sisi kiri dan kanannya sisi kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan:

Ini melengkapkan lejang ke hadapan kaedah Gauss kita memulakan lejang terbalik.

Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil kita dapati x 3:

Daripada persamaan kedua kita dapat .

Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang tinggal dan dengan itu melengkapkan kebalikan kaedah Gauss.

Jawapan:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Secara umum, bilangan persamaan sistem p tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:

SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga digunakan untuk sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan tunggal.

Teorem Kronecker–Capelli.

Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi dan apabila ia tidak konsisten diberikan oleh Teorem Kronecker–Capelli:
Agar sistem persamaan p dengan n tidak diketahui (p boleh sama dengan n) menjadi konsisten, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem itu sama dengan pangkat matriks lanjutan, iaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).

Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, aplikasi teorem Kronecker–Capelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear.

Contoh.

Ketahui sama ada sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

. Jom gunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua berbeza dengan sifar. Mari lihat kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya:

Memandangkan semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan bagi urutan ketiga adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama adalah sama dengan dua.

Sebaliknya, pangkat matriks lanjutan adalah sama dengan tiga, kerana yang di bawah umur adalah dari urutan ketiga

berbeza dengan sifar.

Oleh itu, Rang(A), oleh itu, dengan menggunakan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.

Jawapan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, kita telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker–Capelli.

Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada SLAE jika keserasiannya diwujudkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep minor asas matriks dan teorem tentang pangkat matriks.

Kecil bagi susunan tertinggi matriks A, berbeza daripada sifar, dipanggil asas.

Daripada takrifan asas minor ia mengikuti bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A boleh terdapat beberapa asas minor;

Sebagai contoh, pertimbangkan matriks .

Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.

Kanak-kanak bawah umur peringkat kedua berikut adalah asas, kerana mereka bukan sifar

bawah umur bukan asas, kerana ia sama dengan sifar.

Teorem pangkat matriks.

Jika pangkat matriks tertib p dengan n adalah sama dengan r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen baris (dan lajur) yang sepadan yang membentuk. asas minor.

Apakah yang diberitahu oleh teorem kedudukan matriks kepada kita?

Jika, menurut teorem Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana asas minor bagi matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang melakukan tidak membentuk asas terpilih minor. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).

Akibatnya, selepas membuang persamaan sistem yang tidak perlu, dua kes adalah mungkin.

Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Contoh.

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem adalah sama dengan dua, kerana yang kecil adalah dari urutan kedua berbeza dengan sifar. Kedudukan Matriks Lanjutan juga sama dengan dua, kerana satu-satunya tertib ketiga adalah sifar

dan minor urutan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker–Capelli, kita boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2.

Sebagai asas minor kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua:

Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pada pangkat matriks:

Beginilah cara kami memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan menggunakan kaedah Cramer:

Jawapan:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil adalah kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n, maka di sebelah kiri persamaan kita meninggalkan sebutan yang membentuk asas kecil, dan kita memindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan persamaan sistem dengan tanda berlawanan.

Pembolehubah yang tidak diketahui (r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.

Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r keping) yang berada di sebelah kanan dipanggil percuma.

Kini kami percaya bahawa pembolehubah tidak diketahui bebas boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah utama r tidak diketahui akan dinyatakan melalui pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Mari kita lihat dengan contoh.

Contoh.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Mari cari pangkat matriks utama sistem dengan kaedah bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama. Mari mulakan mencari anak bawah umur bukan sifar bagi susunan kedua yang bersempadan dengan anak bawah umur ini:

Beginilah cara kami menemui minor bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga:

Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks lanjutan juga sama dengan tiga, iaitu, sistem adalah konsisten.

Kami mengambil bukan sifar minor yang ditemui pada urutan ketiga sebagai asas satu.

Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil:

Kami meninggalkan istilah yang terlibat dalam asas kecil di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan yang lain dengan tanda yang bertentangan ke bahagian kanan:

Mari kita berikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kita terima , di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE akan mengambil borang

Mari kita selesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang terhasil menggunakan kaedah Cramer:

Oleh itu, .

Dalam jawapan anda, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah bebas yang tidak diketahui.

Jawapan:

Di mana nombor sewenang-wenangnya.

Mari kita ringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear am, kita mula-mula menentukan keserasiannya menggunakan teorem Kronecker–Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak serasi.

Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih asas minor dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor terpilih.

Jika susunan asas minor adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati dengan mana-mana kaedah yang kami ketahui.

Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka di sebelah kiri persamaan sistem kita tinggalkan istilah dengan pembolehubah utama yang tidak diketahui, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan berikan nilai arbitrari kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati pembolehubah utama yang tidak diketahui menggunakan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Kaedah Gauss boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa mengujinya terlebih dahulu untuk ketekalan. Proses penghapusan berurutan pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakserasian SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.

Dari sudut pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.

Lihat penerangan terperinci dan contoh yang dianalisis dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Menulis penyelesaian umum kepada sistem algebra linear homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem asas penyelesaian.

Dalam bahagian ini kita akan bercakap tentang sistem homogen dan tak homogen serentak bagi persamaan algebra linear yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Mari kita mula-mula berurusan dengan sistem homogen.

Sistem penyelesaian asas sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah himpunan (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.

Jika kita menyatakan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ialah kolumnar matriks dimensi n dengan 1), maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan pekali malar arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), bahawa ialah, .

Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?

Maksudnya mudah: formula menentukan semua penyelesaian yang mungkin bagi SLAE asal, dengan kata lain, mengambil sebarang set nilai pemalar sewenang-wenang C 1, C 2, ..., C (n-r), menggunakan formula yang kita akan dapatkan salah satu daripada penyelesaian SLAE homogen asal.

Oleh itu, jika kita menemui sistem asas penyelesaian, maka kita boleh mentakrifkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen.

Kami memilih asas minor bagi sistem asal persamaan linear, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem dan memindahkan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas yang tidak diketahui ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda yang bertentangan. Mari kita berikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai 1,0,0,...,0 dan hitungkan yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, menggunakan kaedah Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - penyelesaian pertama sistem asas. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,1,0,0,…,0 dan mengira yang tidak diketahui utama, kita mendapat X (2) . Dan seterusnya. Jika kita memberikan nilai 0.0,...,0.1 kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui dan mengira yang tidak diketahui utama, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem asas penyelesaian kepada SLAE homogen akan dibina dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear, penyelesaian am diwakili dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi SLAE tak homogen asal, yang kita perolehi dengan memberikan nilai bebas yang tidak diketahui 0,0,…,0 dan mengira nilai yang tidak diketahui utama.

Mari lihat contoh.

Contoh.

Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari cari pangkat matriks utama menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Mari kita cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua:

Seorang bawahan daripada perintah kedua, berbeza daripada sifar, telah ditemui. Mari kita lihat peringkat bawah bawah umur ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar:

Semua bawah umur bersempadan urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan adalah sama dengan dua. Jom ambil. Untuk kejelasan, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan asas minor, oleh itu, ia boleh dikecualikan:

Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui percuma ke bahagian kanan:

Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya adalah sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah tidak diketahui bebas nilai x 2 = 1, x 4 = 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama daripada sistem persamaan
.

Walau bagaimanapun, dalam praktiknya dua lagi kes tersebar luas:

– Sistem tidak konsisten (tiada penyelesaian);
– Sistem ini konsisten dan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Nota : Istilah "konsistensi" membayangkan bahawa sistem mempunyai sekurang-kurangnya beberapa penyelesaian. Dalam beberapa masalah, perlu terlebih dahulu memeriksa sistem untuk keserasian bagaimana untuk melakukan ini, lihat artikel mengenai pangkat matriks.

Untuk sistem ini, kaedah penyelesaian yang paling universal digunakan - Kaedah Gaussian. Malah, kaedah "sekolah" juga akan membawa kepada jawapan, tetapi dalam matematik yang lebih tinggi adalah kebiasaan untuk menggunakan kaedah Gaussian penghapusan berurutan yang tidak diketahui. Mereka yang tidak biasa dengan algoritma kaedah Gaussian, sila kaji pelajaran terlebih dahulu Kaedah Gaussian untuk dummies.

Transformasi matriks asas itu sendiri adalah sama, perbezaannya adalah pada penghujung penyelesaian. Pertama, mari kita lihat beberapa contoh apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten).

Contoh 1

Apa yang menarik perhatian anda tentang sistem ini? Bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan pembolehubah. Jika bilangan persamaan kurang daripada bilangan pembolehubah, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa sistem itu sama ada tidak konsisten atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Dan yang tinggal hanyalah untuk mengetahui.

Permulaan penyelesaian adalah benar-benar biasa - kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, membawanya ke bentuk berperingkat:

(1) Pada langkah kiri atas kita perlu mendapatkan +1 atau –1. Tiada nombor sedemikian dalam lajur pertama, jadi menyusun semula baris tidak akan menghasilkan apa-apa. Unit ini perlu mengatur sendiri, dan ini boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: Pada baris pertama kami menambah baris ketiga, didarab dengan -1.

(2) Sekarang kita mendapat dua sifar dalam lajur pertama. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama didarab dengan 3. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama didarab dengan 5.

(3) Selepas transformasi telah selesai, ia sentiasa dinasihatkan untuk melihat sama ada mungkin untuk memudahkan rentetan yang terhasil? boleh. Kami membahagikan baris kedua dengan 2, pada masa yang sama mendapatkan –1 yang diperlukan pada langkah kedua. Bahagikan baris ketiga dengan –3.

(4) Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

Mungkin semua orang perasan garis buruk yang terhasil daripada transformasi asas: . Jelas bahawa ini tidak boleh begitu. Sesungguhnya, mari kita tulis semula matriks yang terhasil kembali kepada sistem persamaan linear:

Jika, sebagai hasil daripada transformasi asas, rentetan bentuk diperolehi, dengan nombor selain sifar, maka sistem itu tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian).

Bagaimana untuk menulis pengakhiran tugas? Mari kita lukis dengan kapur putih: "hasil daripada transformasi asas, rentetan bentuk , di mana " diperoleh dan berikan jawapan: sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten).

Sekiranya, mengikut syarat, diperlukan untuk MENYELIDIK sistem untuk keserasian, maka perlu untuk memformalkan penyelesaian dalam gaya yang lebih kukuh menggunakan konsep pangkat matriks dan teorem Kronecker-Capelli.

Sila ambil perhatian bahawa tidak ada pembalikan algoritma Gaussian di sini - tiada penyelesaian dan tiada apa-apa untuk dicari.

Contoh 2

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. Saya mengingatkan anda sekali lagi bahawa penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya; algoritma Gaussian tidak mempunyai "ketegaran" yang kuat.

Satu lagi ciri teknikal penyelesaian: transformasi asas boleh dihentikan serta merta, sebaik sahaja baris seperti , di mana . Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: anggap bahawa selepas transformasi pertama matriks diperoleh . Matriks belum lagi dikurangkan kepada bentuk eselon, tetapi tidak ada keperluan untuk transformasi asas selanjutnya, kerana garis bentuk telah muncul, di mana . Jawapan harus diberikan segera bahawa sistem tidak serasi.

Apabila sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian, ini hampir merupakan hadiah, kerana fakta bahawa penyelesaian pendek diperoleh, kadang-kadang secara literal dalam 2-3 langkah.

Tetapi segala-galanya di dunia ini seimbang, dan masalah di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga adalah lebih lama.

Contoh 3

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Terdapat 4 persamaan dan 4 tidak diketahui, jadi sistem boleh sama ada mempunyai penyelesaian tunggal, atau tidak mempunyai penyelesaian, atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Walau apa pun, kaedah Gaussian akan membawa kita kepada jawapannya. Ini adalah serba boleh.

Permulaan lagi standard. Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Itu sahaja, dan anda takut.

(1) Sila ambil perhatian bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagi dengan 2, jadi 2 adalah baik pada langkah kiri atas. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama, didarab dengan –4. Pada baris ketiga kita tambah baris pertama, didarab dengan –2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama, didarab dengan –1.

Perhatian! Ramai yang mungkin tergoda dengan baris keempat tolak baris pertama. Ini boleh dilakukan, tetapi ia tidak perlu; pengalaman menunjukkan bahawa kebarangkalian ralat dalam pengiraan meningkat beberapa kali. Hanya tambah: Pada baris keempat tambahkan baris pertama didarab dengan –1 – betul-betul seperti itu!

(2) Tiga baris terakhir adalah berkadar, dua daripadanya boleh dipadamkan.

Di sini sekali lagi kita perlu tunjukkan peningkatan perhatian, tetapi adakah garisan benar-benar berkadar? Untuk berada di bahagian yang selamat (terutamanya untuk teko), adalah idea yang baik untuk mendarab baris kedua dengan –1, dan membahagikan baris keempat dengan 2, menghasilkan tiga garisan yang sama. Dan hanya selepas itu keluarkan dua daripadanya.

Hasil daripada transformasi asas, matriks lanjutan sistem dikurangkan kepada bentuk berperingkat:

Apabila menulis tugasan dalam buku nota, adalah dinasihatkan untuk membuat nota yang sama dalam pensel untuk kejelasan.

Mari kita tulis semula sistem persamaan yang sepadan:

Tiada bau penyelesaian tunggal "biasa" untuk sistem di sini. Tidak ada garis buruk juga. Ini bermakna bahawa ini adalah kes ketiga yang tinggal - sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Kadang-kadang, mengikut syarat, adalah perlu untuk menyiasat keserasian sistem (iaitu membuktikan bahawa penyelesaian wujud sama sekali), anda boleh membaca tentang ini dalam perenggan terakhir artikel Bagaimana untuk mencari pangkat matriks? Tetapi buat masa ini mari kita pergi ke asas-asas:

Satu set penyelesaian tak terhingga kepada sistem ditulis secara ringkas dalam bentuk yang dipanggil penyelesaian umum sistem .

Kami mencari penyelesaian umum sistem menggunakan songsangan kaedah Gaussian.

Mula-mula kita perlu menentukan pembolehubah yang kita ada asas, dan pembolehubah apa percuma. Anda tidak perlu menyusahkan diri anda dengan istilah algebra linear, cuma ingat bahawa terdapat perkara sedemikian pembolehubah asas Dan pembolehubah bebas.

Pembolehubah asas sentiasa "duduk" dengan ketat pada langkah matriks.
Dalam contoh ini, pembolehubah asas ialah dan

Pembolehubah bebas adalah segala-galanya yang tinggal pembolehubah yang tidak menerima langkah. Dalam kes kami, terdapat dua daripadanya: – pembolehubah bebas.

Sekarang anda perlukan Semua pembolehubah asas ekspres hanya melalui pembolehubah bebas.

Pembalikan algoritma Gaussian secara tradisinya berfungsi dari bawah ke atas.
Daripada persamaan kedua sistem kita menyatakan pembolehubah asas:

Sekarang lihat persamaan pertama: . Mula-mula kita menggantikan ungkapan yang ditemui ke dalamnya:

Ia kekal untuk menyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas:

Akhirnya kami mendapat apa yang kami perlukan - Semua pembolehubah asas ( dan ) dinyatakan hanya melalui pembolehubah bebas:

Sebenarnya, penyelesaian umum sudah sedia:

Bagaimana untuk menulis penyelesaian am dengan betul?
Pembolehubah bebas ditulis ke dalam penyelesaian umum "dengan sendirinya" dan dengan ketat di tempatnya. Dalam kes ini, pembolehubah bebas hendaklah ditulis pada kedudukan kedua dan keempat:
.

Ungkapan yang terhasil untuk pembolehubah asas dan jelas perlu ditulis dalam kedudukan pertama dan ketiga:

Memberi pembolehubah bebas nilai sewenang-wenangnya, anda boleh menemui banyak yang tidak terhingga penyelesaian peribadi. Nilai yang paling popular adalah sifar, kerana penyelesaian tertentu adalah yang paling mudah diperoleh. Mari kita gantikan ke dalam penyelesaian umum:

– penyelesaian peribadi.

Satu lagi pasangan manis adalah satu, mari kita gantikannya ke dalam penyelesaian umum:

– satu lagi penyelesaian peribadi.

Adalah mudah untuk melihat bahawa sistem persamaan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga(kerana kita boleh memberikan pembolehubah bebas mana-mana nilai)

setiap satu penyelesaian tertentu mesti memuaskan kepada semua orang persamaan sistem. Ini adalah asas untuk semakan "cepat" tentang ketepatan penyelesaian. Ambil, sebagai contoh, penyelesaian tertentu dan gantikannya ke sebelah kiri setiap persamaan sistem asal:

Semuanya mesti bersatu. Dan dengan sebarang penyelesaian tertentu yang anda terima, semuanya juga harus bersetuju.

Tetapi, secara tegasnya, menyemak penyelesaian tertentu kadangkala menipu, i.e. beberapa penyelesaian tertentu mungkin memenuhi setiap persamaan sistem, tetapi penyelesaian umum itu sendiri sebenarnya didapati tidak betul.

Oleh itu, pengesahan penyelesaian umum adalah lebih teliti dan boleh dipercayai. Bagaimana untuk menyemak penyelesaian umum yang terhasil ?

Ia tidak sukar, tetapi agak membosankan. Kita perlu mengambil ekspresi asas pembolehubah, dalam kes ini dan , dan gantikannya ke sebelah kiri setiap persamaan sistem.

Di sebelah kiri persamaan pertama sistem:

Di sebelah kiri persamaan kedua sistem:

Bahagian kanan persamaan asal diperolehi.

Contoh 4

Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian. Cari penyelesaian umum dan dua penyelesaian khusus. Semak penyelesaian umum.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Di sini, dengan cara ini, sekali lagi bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, yang bermaksud dengan serta-merta jelas bahawa sistem itu akan sama ada tidak konsisten atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Apakah yang penting dalam proses keputusan itu sendiri? Perhatian, dan perhatian lagi. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Dan beberapa lagi contoh untuk mengukuhkan bahan

Contoh 5

Menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, cari dua penyelesaian tertentu dan semak penyelesaian umum

Penyelesaian: Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

(1) Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama didarab dengan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama didarab dengan 3.
(2) Pada baris ketiga kita tambah baris kedua, didarab dengan –5. Pada baris keempat kita tambahkan baris kedua, didarab dengan –7.
(3) Baris ketiga dan keempat adalah sama, kami memadamkan salah satu daripadanya.

Ini adalah keindahan:

Pembolehubah asas duduk di atas tangga, oleh itu - pembolehubah asas.
Terdapat hanya satu pembolehubah bebas yang tidak mendapat langkah:

terbalik:
Mari kita nyatakan pembolehubah asas melalui pembolehubah bebas:
Daripada persamaan ketiga:

Mari kita pertimbangkan persamaan kedua dan gantikan ungkapan yang ditemui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan persamaan pertama dan gantikan ungkapan yang ditemui dan ke dalamnya:

Ya, kalkulator yang mengira pecahan biasa masih mudah.

Jadi penyelesaian umum ialah:

Sekali lagi, bagaimana keadaannya? Pembolehubah bebas duduk bersendirian di tempat keempat yang sah. Ungkapan yang terhasil untuk pembolehubah asas juga mengambil tempat ordinal mereka.

Marilah kita segera menyemak penyelesaian umum. Kerja itu untuk orang kulit hitam, tetapi saya telah melakukannya, jadi tangkap ia =)

Kami menggantikan tiga wira , , ke sebelah kiri setiap persamaan sistem:

Sisi kanan persamaan yang sepadan diperolehi, dengan itu penyelesaian umum ditemui dengan betul.

Sekarang dari penyelesaian umum yang ditemui kami memperoleh dua penyelesaian tertentu. Satu-satunya pembolehubah bebas di sini ialah tukang masak. Tidak perlu memerah otak.

Biarlah begitu – penyelesaian peribadi.
Biarlah begitu – satu lagi penyelesaian peribadi.

Jawab: Penyelesaian umum: , penyelesaian peribadi: , .

Saya sepatutnya tidak ingat tentang orang kulit hitam... ...kerana pelbagai motif sadis muncul di kepala saya dan saya teringat photoshop terkenal di mana Ku Klux Klansmen berjubah putih berlari melintasi padang selepas seorang pemain bola sepak kulit hitam. Saya duduk dan tersenyum senyap. Anda tahu betapa mengganggu...

Banyak matematik berbahaya, jadi berikut ialah contoh terakhir yang serupa untuk anda selesaikan sendiri.

Contoh 6

Cari penyelesaian umum bagi sistem persamaan linear.

Saya telah menyemak penyelesaian umum, jawapannya boleh dipercayai. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya, perkara utama ialah penyelesaian umum bertepatan.

Mungkin, ramai orang perasan momen yang tidak menyenangkan dalam penyelesaian: selalunya, semasa proses terbalik kaedah Gaussian, kita terpaksa bermain-main dengan pecahan biasa. Dalam amalan, ini sememangnya kes di mana tiada pecahan adalah lebih jarang berlaku. Bersedia dari segi mental dan, yang paling penting, dari segi teknikal.

Saya akan memikirkan beberapa ciri penyelesaian yang tidak ditemui dalam contoh yang diselesaikan.

Penyelesaian umum sistem kadangkala termasuk pemalar (atau pemalar), contohnya: . Di sini salah satu pembolehubah asas adalah sama dengan nombor tetap: . Tidak ada yang eksotik tentang ini, ia berlaku. Jelas sekali, dalam kes ini, sebarang penyelesaian tertentu akan mengandungi lima dalam kedudukan pertama.

Jarang, tetapi terdapat sistem di mana bilangan persamaan adalah lebih besar daripada bilangan pembolehubah. Kaedah Gaussian berfungsi dalam keadaan yang paling teruk seseorang harus mengurangkan matriks lanjutan sistem kepada bentuk berperingkat menggunakan algoritma standard. Sistem sedemikian mungkin tidak konsisten, mungkin mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, dan, anehnya, mungkin mempunyai penyelesaian tunggal.