Persamaan satah. Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah? Susunan kapal terbang bersama

Dalam sangat kes am normal ke permukaan mewakili kelengkungan setempatnya, dan dengan itu arah pantulan spekular (Rajah 3.5). Berhubung dengan pengetahuan kita, kita boleh mengatakan bahawa normal ialah vektor yang menentukan orientasi muka (Rajah 3.6).

nasi. 3.5 Rajah. 3.6

Banyak algoritma penyingkiran garis dan permukaan tersembunyi hanya menggunakan tepi dan bucu, jadi untuk menggabungkannya dengan model pencahayaan, anda perlu mengetahui nilai anggaran normal pada tepi dan bucu. Biarkan persamaan satah muka poligon diberikan, maka normal kepada bucu sepunya adalah sama dengan nilai purata normal kepada semua poligon yang menumpu kepada bucu ini. Sebagai contoh, dalam rajah. 3.7 arah anggaran normal pada satu titik V 1 terdapat:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 +b 1 +b 4 )j + (c 0 +c 1 +c 4 )k, (3.15)

di mana a 0 , a 1 , a 4 ,b 0 ,b 1 ,b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - pekali persamaan satah tiga poligon P 0 , P 1 , P 4 , sekeliling V 1 . Ambil perhatian bahawa jika anda ingin mencari arah normal sahaja, maka membahagikan hasilnya dengan bilangan muka tidak perlu.

Jika persamaan satah tidak diberikan, maka normal kepada bucu boleh ditentukan dengan purata hasil darab vektor semua tepi yang bersilang pada bucu. Sekali lagi, memandangkan V 1 teratas dalam Rajah. 3.7, cari arah anggaran normal:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

nasi. 3.7 - Penghampiran normal kepada permukaan poligon

Ambil perhatian bahawa hanya normal luar diperlukan. Di samping itu, jika vektor yang terhasil tidak dinormalisasi, maka nilainya bergantung pada bilangan dan luas poligon tertentu, serta pada bilangan dan panjang tepi tertentu. Pengaruh poligon dengan kawasan yang lebih besar dan tulang rusuk yang lebih panjang.

Apabila normal permukaan digunakan untuk menentukan keamatan dan transformasi perspektif dilakukan pada imej objek atau pemandangan, maka normal perlu dikira sebelum pembahagian perspektif. Jika tidak, arah normal akan diherotkan, dan ini akan menyebabkan keamatan yang ditentukan oleh model pencahayaan ditentukan dengan salah.

Jika penerangan analitikal satah (permukaan) diketahui, maka normal dikira secara langsung. Mengetahui persamaan satah setiap muka polihedron, anda boleh mencari arah normal luar.

Jika persamaan satah ialah:

maka vektor normal kepada satah ini ditulis seperti berikut:

, (3.18)

di mana
- vektor unit paksi x,y,z masing-masing.

Nilai d dikira menggunakan titik sewenang-wenang kepunyaan satah, sebagai contoh, untuk titik (
)

Contoh. Pertimbangkan poligon rata 4 sisi yang diterangkan oleh 4 bucu V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) dan V4(1,1,1) (lihat Rajah. 3.7).

Persamaan satah mempunyai bentuk:

x + y + z - 1 = 0.

Mari kita dapatkan normal pada satah ini menggunakan hasil vektor sepasang vektor yang merupakan tepi bersebelahan dengan salah satu bucu, contohnya, V1:

Banyak algoritma penyingkiran garis dan permukaan tersembunyi hanya menggunakan tepi atau bucu, jadi untuk menggabungkannya dengan model pencahayaan, anda perlu mengetahui nilai anggaran normal pada tepi dan bucu.

Biarkan persamaan satah muka polihedron diberikan, maka normal kepada bucu sepunya mereka adalah sama dengan nilai purata normal kepada semua muka yang menumpu pada bucu ini.

Iaitu, tentang apa yang anda lihat dalam tajuk. Pada dasarnya, ini adalah "analog spatial" masalah mencari tangen dan normal kepada graf fungsi satu pembolehubah, dan oleh itu tiada kesukaran yang perlu timbul.

Mari kita mulakan dengan soalan asas: APA ITU satah tangen dan APA ITU normal? Ramai yang menyedari konsep ini pada tahap intuisi. Model paling mudah yang terlintas di fikiran ialah bola yang terletak di atasnya kadbod rata nipis. Kadbod terletak sedekat mungkin dengan sfera dan menyentuhnya pada satu titik. Di samping itu, pada titik sentuhan, ia tetap dengan jarum yang melekat lurus ke atas.

Secara teorinya, terdapat definisi yang agak bijak tentang satah tangen. Bayangkan sewenang-wenangnya permukaan dan perkara yang menjadi miliknya. Ia adalah jelas bahawa banyak yang melalui perkara itu. garisan spatial yang tergolong dalam permukaan ini. Siapa ada persatuan apa? =) …Saya secara peribadi memperkenalkan sotong. Katakan bahawa setiap baris tersebut mempunyai tangen spatial pada titik.

Definisi 1: satah tangen ke permukaan pada satu titik ialah kapal terbang, mengandungi tangen kepada semua lengkung yang dimiliki oleh permukaan yang diberikan dan melalui titik itu.

Definisi 2: biasa ke permukaan pada satu titik ialah lurus melalui titik yang diberi berserenjang dengan satah tangen.

Ringkas dan elegan. Ngomong-ngomong, supaya anda tidak mati bosan dengan kesederhanaan bahan, sedikit kemudian saya akan berkongsi dengan anda satu rahsia elegan yang membolehkan anda melupakan tentang menjejalkan pelbagai definisi SEKALI DAN UNTUK SEMUA.

Kami akan berkenalan dengan formula kerja dan algoritma penyelesaian secara langsung contoh khusus. Dalam kebanyakan masalah, ia diperlukan untuk menyusun kedua-dua persamaan satah tangen dan persamaan normal:

Contoh 1

Penyelesaian:jika permukaan diberi oleh persamaan (iaitu secara tersirat), maka persamaan satah tangen kepada permukaan tertentu pada satu titik boleh didapati dengan formula berikut:

Saya memberi perhatian khusus kepada terbitan separa yang luar biasa - mereka tidak boleh keliru Dengan terbitan separa bagi fungsi yang diberikan secara tersirat (walaupun permukaannya ditakrifkan secara tersirat). Apabila mencari derivatif ini, seseorang harus dipandu oleh peraturan untuk membezakan fungsi tiga pembolehubah, iaitu, apabila membezakan berkenaan dengan sebarang pembolehubah, dua huruf yang lain dianggap pemalar:

Tanpa berlepas dari daftar tunai, kita dapati derivatif separa pada titik:

Begitu juga:

Ini adalah saat yang paling tidak menyenangkan dalam keputusan itu, di mana kesilapan, jika tidak dibenarkan, sentiasa dibayangkan. Walau bagaimanapun, wujud penerimaan yang berkesan ujian, yang saya bincangkan dalam pelajaran Derivatif arah dan kecerunan.

Semua "bahan" telah ditemui, dan kini terpulang kepada penggantian berhati-hati dengan pemudahan selanjutnya:

– persamaan am satah tangen yang dikehendaki.

Saya amat mengesyorkan menyemak peringkat keputusan ini. Mula-mula anda perlu memastikan bahawa koordinat titik sentuh benar-benar memenuhi persamaan yang ditemui:

- persamaan sebenar.

Sekarang kita "mengeluarkan" pekali persamaan am satah dan semaknya untuk kebetulan atau berkadaran dengan nilai yang sepadan. AT kes ini berkadar. Seperti yang anda ingat dari kursus geometri analitik, - ini adalah vektor biasa satah tangen, dan dia - vektor panduan garis lurus biasa. Jom mengarang persamaan kanonik normal mengikut vektor titik dan arah:

Pada dasarnya, penyebut boleh dikurangkan dengan "dua", tetapi tidak ada keperluan khusus untuk ini.

Jawab:

Ia tidak dilarang untuk menetapkan persamaan dengan beberapa huruf, bagaimanapun, sekali lagi - mengapa? Di sini dan jadi sangat jelas apa itu.

Dua contoh seterusnya untuk penyelesaian bebas. "Pemutar lidah matematik" kecil:

Contoh 2

Cari persamaan satah tangen dan normal pada permukaan pada titik itu.

Dan tugas yang menarik dari sudut pandangan teknikal:

Contoh 3

Susun persamaan satah tangen dan normal ke permukaan pada satu titik

Pada titik itu.

Terdapat setiap peluang bukan sahaja untuk menjadi keliru, tetapi juga untuk menghadapi kesukaran ketika menulis. persamaan kanonik garis. Dan persamaan normal, seperti yang anda mungkin faham, biasanya ditulis dalam bentuk ini. Walaupun, disebabkan kealpaan atau kejahilan beberapa nuansa, bentuk parametrik adalah lebih daripada boleh diterima.

Contoh penyelesaian penamat pada akhir pelajaran.

Adakah terdapat satah tangen pada mana-mana titik di permukaan? Secara umum, sudah tentu tidak. Contoh klasik- ini adalah permukaan kon dan titik - tangen pada titik ini secara langsung terbentuk permukaan kon, dan, sudah tentu, jangan berbaring dalam satah yang sama. Adalah mudah untuk mengesahkan perselisihan dan secara analitikal: .

Satu lagi punca masalah ialah hakikat tidak wujud beberapa terbitan separa pada satu titik. Walau bagaimanapun, ini tidak bermakna tiada satah tangen tunggal pada titik tertentu.

Tetapi ia adalah sains yang agak popular daripada maklumat praktikal yang penting, dan kami kembali kepada perkara yang mendesak:

Bagaimana untuk menulis persamaan satah tangen dan normal pada satu titik,
jika permukaan diberikan oleh fungsi eksplisit?

Mari kita tulis semula secara tersirat:

Dan dengan prinsip yang sama kita dapati derivatif separa:

Oleh itu, formula satah tangen diubah menjadi persamaan berikut:

Dan selaras dengan itu, persamaan kanonik perkara biasa:

Kerana ia mudah diteka - ia "sebenar" terbitan separa bagi fungsi dua pembolehubah pada titik , yang kami gunakan untuk menetapkan dengan huruf "Z" dan ditemui 100500 kali.

Perhatikan bahawa dalam artikel ini sudah cukup untuk mengingati formula pertama, dari mana, jika perlu, mudah untuk memperoleh segala-galanya. (sudah tentu, mempunyai peringkat asas latihan). Inilah pendekatan yang perlu diambil semasa belajar sains tepat, iaitu daripada maklumat yang minimum, seseorang harus berusaha untuk "menarik keluar" kesimpulan dan akibat maksimum. "Soobrazhalovka" dan pengetahuan sedia ada untuk membantu! Prinsip ini juga berguna kerana ia berkemungkinan besar menyelamatkan anda dalam keadaan kritikal apabila anda mengetahui sangat sedikit.

Mari kita kerjakan formula "diubah suai" dengan beberapa contoh:

Contoh 4

Susun persamaan satah tangen dan normal ke permukaan pada titik.

Lapisan kecil di sini ternyata dengan simbol - kini surat itu menandakan titik pesawat, tetapi apa yang boleh anda lakukan - surat yang begitu popular ....

Penyelesaian: kita akan menyusun persamaan satah tangen yang dikehendaki mengikut formula:

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik:

Pengiraan terbitan separa tertib pertama pada ketika ini:

Dengan cara ini:

berhati-hati, jangan tergesa-gesa:

Mari kita tulis persamaan kanonik bagi normal pada titik:

Jawab:

Dan contoh terakhir untuk penyelesaian do-it-yourself:

Contoh 5

Susun persamaan satah tangen dan normal pada permukaan pada titik itu.

Yang terakhir adalah kerana, sebenarnya, saya telah menerangkan semua perkara teknikal dan tiada apa yang istimewa untuk ditambah. Malah fungsi yang ditawarkan dalam tugasan ini adalah membosankan dan membosankan - dalam praktiknya anda hampir dijamin untuk menemui "polinomial", dan dalam pengertian ini, Contoh No. 2 dengan eksponen kelihatan seperti "kambing hitam". Dengan cara ini, ia lebih berkemungkinan bertemu permukaan, diberikan oleh persamaan dan ini adalah satu lagi sebab mengapa fungsi itu dimasukkan dalam artikel "nombor kedua".

Dan akhirnya, rahsia yang dijanjikan: jadi bagaimana untuk mengelakkan definisi menjejalkan? (sudah tentu, saya tidak maksudkan situasi apabila pelajar sedang demam menjejalkan sesuatu sebelum peperiksaan)

Takrif mana-mana konsep/fenomena/objek, pertama sekali, memberikan jawapan kepada soalan seterusnya: APA INI? (siapa/begitu/begitu/begitu). Secara sedar bertindak balas kepada soalan ini, anda harus cuba renungkan ketara tanda-tanda, pasti mengenal pasti konsep/fenomena/objek ini atau itu. Ya, pada mulanya ia ternyata agak terikat lidah, tidak tepat dan berlebihan (guru akan membetulkan =)), tetapi dari masa ke masa, ucapan saintifik yang layak berkembang.

Berlatih pada objek yang paling abstrak, sebagai contoh, jawab soalan: siapa Cheburashka? Ia tidak begitu mudah ;-) Ini adalah " watak dongeng dengan telinga besar, mata dan rambut perang"? Jauh dan sangat jauh dari definisi - anda tidak pernah tahu ada watak yang mempunyai ciri sedemikian .... Tetapi ini lebih dekat dengan definisi: "Cheburashka adalah watak yang dicipta oleh penulis Eduard Uspensky pada tahun 1966, yang ... (menyenaraikan yang utama ciri khas)» . Beri perhatian kepada seberapa baik bermula

Boleh setel cara yang berbeza(satu titik dan vektor, dua titik dan vektor, tiga titik, dsb.). Dengan ini, persamaan satah boleh mempunyai jenis lain. Juga, dalam keadaan tertentu, satah boleh selari, berserenjang, bersilang, dsb. Kami akan membincangkan perkara ini dalam artikel ini. Kita akan belajar cara menulis persamaan am satah dan bukan sahaja.

Bentuk normal persamaan

Katakan terdapat ruang R 3 yang mempunyai sistem koordinat segi empat tepat XYZ. Kami menetapkan vektor α, yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui penghujung vektor α kami melukis satah P, yang akan berserenjang dengannya.

Nyatakan dengan P titik arbitrari Q=(x, y, z). Kami akan menandatangani vektor jejari titik Q dengan huruf p. Panjang vektor α ialah p=IαI dan Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

ia vektor unit, yang diarahkan ke sisi, seperti vektor α. α, β dan γ ialah sudut yang terbentuk di antara vektor Ʋ dan arah positif paksi ruang x, y, z, masing-masing. Unjuran beberapa titik QϵП pada vektor Ʋ ialah nilai tetap, yang sama dengan p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Persamaan ini masuk akal apabila p=0. Satu-satunya perkara ialah satah P dalam kes ini akan bersilang dengan titik O (α=0), yang merupakan asalan, dan vektor unit Ʋ yang dilepaskan dari titik O akan berserenjang dengan P, tanpa mengira arahnya, yang bermaksud bahawa vektor Ʋ ditentukan daripada tanda-tepat. Persamaan sebelumnya ialah persamaan satah P kami, dinyatakan dalam bentuk vektor. Tetapi dalam koordinat ia akan kelihatan seperti ini:

P di sini lebih besar daripada atau sama dengan 0. Kami telah menemui persamaan satah di angkasa dalam bentuk normalnya.

Persamaan Am

Jika kita mendarabkan persamaan dalam koordinat dengan sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar, kita mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan, yang menentukan satah yang sama. Ia akan kelihatan seperti ini:

Di sini A, B, C ialah nombor yang berbeza secara serentak daripada sifar. Persamaan ini dirujuk sebagai persamaan satah am.

Persamaan satah. Kes khas

Persamaan dalam Pandangan umum boleh diubah suai di bawah syarat tambahan. Mari kita pertimbangkan sebahagian daripada mereka.

Andaikan pekali A ialah 0. Ini bermakna satah yang diberi adalah selari dengan paksi Ox yang diberi. Dalam kes ini, bentuk persamaan akan berubah: Ву+Cz+D=0.

Begitu juga, bentuk persamaan akan berubah di bawah keadaan berikut:

• Pertama, jika B = 0, maka persamaan akan berubah kepada Ax + Cz + D = 0, yang akan menunjukkan keselarian dengan paksi Oy.
• Kedua, jika С=0, maka persamaan diubah menjadi Ах+Ву+D=0, yang akan menunjukkan selari dengan paksi yang diberikan Oz.
• Ketiga, jika D=0, persamaan akan kelihatan seperti Ax+By+Cz=0, yang bermaksud bahawa satah bersilang O (asalan).
• Keempat, jika A=B=0, maka persamaan akan berubah kepada Cz+D=0, yang akan membuktikan selari dengan Oksi.
• Kelima, jika B=C=0, maka persamaan menjadi Ax+D=0, yang bermaksud bahawa satah ke Oyz adalah selari.
• Keenam, jika A=C=0, maka persamaan akan mengambil bentuk Ву+D=0, iaitu, ia akan melaporkan keselarian kepada Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Dalam kes apabila nombor A, B, C, D bukan sifar, bentuk persamaan (0) boleh seperti berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

di mana a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Kami mendapat hasilnya Perlu diingat bahawa satah ini akan bersilang dengan paksi Ox pada satu titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c) .

Dengan mengambil kira persamaan x/a + y/b + z/c = 1, adalah mudah untuk mewakili secara visual penempatan satah berbanding sistem koordinat yang diberikan.

Koordinat vektor biasa

Vektor normal n kepada satah P mempunyai koordinat yang merupakan pekali bagi persamaan am bagi satah yang diberi, iaitu, n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat bagi n normal, adalah memadai untuk mengetahui persamaan am bagi satah tertentu.

Apabila menggunakan persamaan dalam segmen, yang mempunyai bentuk x/a + y/b + z/c = 1, serta apabila menggunakan persamaan am, seseorang boleh menulis koordinat mana-mana vektor normal bagi satah tertentu: (1 /a + 1/b + 1/ Dengan).

Perlu diingatkan bahawa vektor biasa membantu menyelesaikan pelbagai masalah. Yang paling biasa adalah tugas yang terdiri dalam membuktikan keserenjangan atau keselarian satah, masalah dalam mencari sudut antara satah atau sudut antara satah dan garis.

Pandangan persamaan satah mengikut koordinat titik dan vektor normal

Vektor bukan sifar n berserenjang dengan satah tertentu dipanggil normal (normal) untuk satah tertentu.

Katakan bahawa dalam ruang koordinat (sistem koordinat segi empat tepat) Oxyz diberikan:

• titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektor sifar n=A*i+B*j+C*k.

Ia adalah perlu untuk mengarang persamaan untuk satah yang akan melalui titik Mₒ berserenjang dengan n normal.

Dalam ruang, kita memilih mana-mana titik sewenang-wenangnya dan menandakannya dengan M (x y, z). Biarkan vektor jejari mana-mana titik M (x, y, z) ialah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jejari bagi titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan tergolong dalam satah yang diberi jika vektor MₒM berserenjang dengan vektor n. Kami menulis keadaan ortogonal menggunakan hasil skalar:

[MₒM, n] = 0.

Oleh kerana MₒM \u003d r-rₒ, persamaan vektor satah akan kelihatan seperti ini:

Persamaan ini boleh mengambil bentuk lain. Untuk ini, sifat produk skalar digunakan, dan sebelah kiri persamaan. = - . Jika dilambangkan sebagai c, maka persamaan berikut akan diperolehi: - c \u003d 0 atau \u003d c, yang menyatakan ketekalan unjuran ke vektor normal vektor jejari bagi titik-titik tertentu yang dimiliki oleh satah.

Sekarang anda boleh dapatkan pandangan koordinat entri persamaan vektor bagi satah kita = 0. Oleh kerana r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B*j +C* k, kami ada:

Ternyata kita mempunyai persamaan untuk satah yang melalui titik berserenjang dengan n normal:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pandangan persamaan satah mengikut koordinat dua titik dan kolinear vektor kepada satah

Kami mentakrifkan dua titik arbitrari M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita boleh menyusun persamaan untuk satah tertentu, yang akan melalui titik yang tersedia M′ dan M ″, serta mana-mana titik M dengan koordinat (x, y, z) secara selari vektor yang diberi a.

Dalam kes ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) mestilah sejajar dengan vektor a=(a′,a″,a‴), yang bermaksud bahawa (M′M, M″M, a)=0.

Jadi, persamaan satah kita di angkasa akan kelihatan seperti ini:

Jenis persamaan satah yang bersilang tiga titik

Katakan kita mempunyai tiga titik: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak tergolong dalam garis lurus yang sama. Ia adalah perlu untuk menulis persamaan satah yang melalui tiga titik yang diberikan. Teori geometri mendakwa bahawa satah jenis ini benar-benar wujud, hanya ia satu-satunya dan tidak dapat ditiru. Oleh kerana satah ini bersilang dengan titik (x′, y′, z′), bentuk persamaannya adalah seperti berikut:

Di sini A, B, C berbeza daripada sifar pada masa yang sama. Juga, satah yang diberikan bersilang dua lagi titik: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, syarat-syarat berikut mesti dipenuhi:

Sekarang kita boleh mengarang sistem homogen dengan u yang tidak dikenali, v, w:

Dalam kami kes x,y atau z berdiri titik sewenang-wenangnya, yang memenuhi persamaan (1). Dengan mengambil kira persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan yang ditunjukkan dalam rajah di atas memenuhi vektor N (A, B, C), yang bukan remeh. Itulah sebabnya penentu sistem ini sama dengan sifar.

Persamaan (1), yang telah kita perolehi, ialah persamaan satah. Ia melepasi tepat melalui 3 mata, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu mengembangkan penentu kita ke atas elemen dalam baris pertama. Ia berikutan daripada sifat sedia ada penentu bahawa satah kita secara serentak bersilang tiga titik yang diberi pada mulanya (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Iaitu, kami telah menyelesaikan tugas yang ditetapkan sebelum kami.

Sudut dihedral antara satah

Sudut dihedral ialah spatial angka geometri, dibentuk oleh dua satah separuh yang terpancar dari satu garis lurus. Dalam erti kata lain, ini adalah bahagian ruang yang dihadkan oleh separuh pesawat ini.

Katakan kita mempunyai dua satah dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahawa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) adalah berserenjang mengikut kapal terbang yang diberi. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ adalah sama dengan sudut (dihedral), iaitu antara satah ini. Produk skalar kelihatan seperti:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tepat kerana

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Memadai untuk mengambil kira bahawa 0≤φ≤π.

Malah, dua satah yang bersilang membentuk dua sudut (dihedral): φ 1 dan φ 2 . Jumlahnya adalah sama dengan π (φ 1 + φ 2 = π). Bagi kosinus mereka, nilai mutlaknya adalah sama, tetapi mereka berbeza dalam tanda, iaitu, cos φ 1 =-cos φ 2. Jika dalam persamaan (0) kita gantikan A, B dan C dengan nombor -A, -B dan -C, masing-masing, maka persamaan yang kita dapat akan menentukan satah yang sama, satu-satunya sudut φ dalam persamaan cosφ= NN 1 //N||N 1 | akan digantikan dengan π-φ.

Persamaan satah serenjang

Satah dipanggil berserenjang jika sudut di antaranya ialah 90 darjah. Menggunakan bahan yang digariskan di atas, kita boleh mencari persamaan satah berserenjang dengan yang lain. Katakan kita mempunyai dua satah: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Kita boleh menyatakan bahawa ia akan berserenjang jika cosφ=0. Ini bermakna NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan satah selari

Selari ialah dua satah yang tidak mengandungi titik sepunya.

Keadaan (persamaan mereka adalah sama seperti dalam perenggan sebelumnya) ialah vektor N dan N¹, yang berserenjang dengan mereka, adalah kolinear. Dan ini bermakna bahawa syarat berikut perkadaran:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika syarat perkadaran dilanjutkan - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahawa pesawat ini bertepatan. Ini bermakna persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menerangkan satu satah.

Jarak ke satah dari titik

Katakan kita mempunyai satah P, yang diberikan oleh persamaan (0). Ia adalah perlu untuk mencari jarak kepadanya dari titik dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, anda perlu membawa persamaan satah P ke dalam bentuk normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

Dalam kes ini, ρ(x,y,z) ialah vektor jejari titik Q kita yang terletak pada P, p ialah panjang serenjang dengan P yang dilepaskan dari titik sifar, v ialah vektor unit yang terletak di arah a.

Perbezaan ρ-ρº vektor jejari bagi beberapa titik Q=(x,y,z) kepunyaan P, serta vektor jejari bagi titik tertentu Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) ialah vektor sedemikian, nilai mutlak yang unjuran pada v adalah sama dengan jarak d, yang mesti ditemui dari Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tetapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Dengan itu kita akan dapati nilai mutlak ungkapan yang terhasil, iaitu yang diperlukan d.

Menggunakan bahasa parameter, kami mendapat yang jelas:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Sekiranya titik yang diberikan Q 0 berada di sisi lain satah P, serta asalan, maka antara vektor ρ-ρ 0 dan v adalah:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Dalam kes apabila titik Q 0, bersama-sama dengan asalan, terletak pada sisi yang sama P, maka sudut yang dicipta adalah akut, iaitu:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Akibatnya, ternyata dalam kes pertama (ρ 0 ,v)> р, dalam kes kedua (ρ 0 ,v)<р.

Satah tangen dan persamaannya

Satah tangen ke permukaan pada titik sentuhan Mº ialah satah yang mengandungi semua tangen yang mungkin kepada lengkung yang dilukis melalui titik ini di permukaan.

Dengan bentuk persamaan permukaan F (x, y, z) \u003d 0, persamaan satah tangen pada titik tangen Mº (xº, yº, zº) akan kelihatan seperti ini:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Jika anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x, y), maka satah tangen akan diterangkan oleh persamaan:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Persilangan dua satah

Dalam sistem koordinat (segi empat tepat) Oxyz terletak, dua satah П′ dan П″ diberikan, yang bersilang dan tidak bertepatan. Oleh kerana mana-mana satah yang terletak dalam sistem koordinat segi empat tepat ditentukan oleh persamaan am, kita akan menganggap bahawa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ С″z+D″=0. Dalam kes ini, kita mempunyai n' (A′, B′, C′) biasa bagi satah P′ dan n normal ″ (A″, B″, C″) bagi satah P″. Memandangkan pesawat kita tidak selari dan tidak bertepatan, vektor ini bukan kolinear. Dengan menggunakan bahasa matematik, kita boleh menulis keadaan ini seperti berikut: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Biarkan garis yang terletak pada persilangan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam kes ini a = P′ ∩ P″.

a ialah garis lurus yang terdiri daripada set semua titik satah (sepunya) П′ dan П″. Ini bermakna bahawa koordinat mana-mana titik kepunyaan garis a mesti pada masa yang sama memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″= 0. Ini bermakna bahawa koordinat titik akan menjadi penyelesaian tertentu bagi sistem persamaan berikut:

Akibatnya, ternyata penyelesaian (umum) sistem persamaan ini akan menentukan koordinat setiap titik garis lurus, yang akan bertindak sebagai titik persilangan П′ dan П″, dan menentukan lurus garis a dalam sistem koordinat Oxyz (segi empat tepat) dalam ruang.

Apa yang normal? Dalam istilah mudah, normal ialah serenjang. Iaitu, vektor normal garis adalah berserenjang dengan garis yang diberikan. Adalah jelas bahawa mana-mana garis lurus mempunyai bilangan yang tidak terhingga (serta vektor pengarah), dan semua vektor normal garis lurus akan menjadi kolinear (bersama arah atau tidak - tidak mengapa).

Berurusan dengan mereka akan menjadi lebih mudah daripada dengan vektor arah:

Jika garis lurus diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat segi empat tepat, maka vektor ialah vektor normal garis lurus ini.

Jika koordinat vektor arah perlu "ditarik keluar" dengan teliti daripada persamaan, maka koordinat vektor normal hanya "dialihkan".

Vektor normal sentiasa ortogon dengan vektor arah garis. Mari kita pastikan bahawa vektor ini adalah ortogon menggunakan produk skalar:

Saya akan memberikan contoh dengan persamaan yang sama seperti untuk vektor arah:

Adakah mungkin untuk menulis persamaan garis lurus, mengetahui satu titik dan vektor normal? Sekiranya vektor normal diketahui, maka arah garis paling lurus juga ditentukan secara unik - ini adalah "struktur tegar" dengan sudut 90 darjah.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

Jika beberapa titik kepunyaan garis dan vektor normal garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Susun persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis lurus.

Penyelesaian: Gunakan formula:

Persamaan umum garis lurus diperolehi, mari kita semak:

1) "Keluarkan" koordinat vektor normal daripada persamaan: - ya, sememangnya, vektor asal diperoleh daripada keadaan (atau vektor harus segaris dengan vektor asal).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan:

Kesaksamaan sebenar.

Selepas kami yakin bahawa persamaan itu betul, kami akan menyelesaikan bahagian kedua yang lebih mudah daripada tugas itu. Kami mengeluarkan vektor arah garis lurus:

Jawapan:

Dalam lukisan, keadaan adalah seperti berikut:

Untuk tujuan latihan, tugas yang sama untuk penyelesaian bebas:

Susun persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis lurus.

Bahagian akhir pelajaran akan ditumpukan kepada jenis persamaan yang kurang biasa, tetapi juga penting bagi garis lurus dalam satah

Persamaan garis lurus dalam segmen.
Persamaan garis lurus dalam bentuk parametrik

Persamaan garis lurus dalam segmen mempunyai bentuk , dengan pemalar bukan sifar. Sesetengah jenis persamaan tidak boleh diwakili dalam bentuk ini, contohnya, perkadaran langsung (memandangkan sebutan bebas ialah sifar dan tiada cara untuk mendapatkan satu di sebelah kanan).

Ini, secara kiasan, sejenis persamaan "teknikal". Tugas biasa adalah untuk mewakili persamaan umum garis lurus sebagai persamaan garis lurus dalam segmen. Mengapa ia mudah? Persamaan garis lurus dalam segmen membolehkan anda mencari dengan cepat titik persilangan garis lurus dengan paksi koordinat, yang sangat penting dalam beberapa masalah matematik yang lebih tinggi.

Cari titik persilangan garis dengan paksi. Kami menetapkan semula "y", dan persamaan mengambil bentuk . Titik yang dikehendaki diperolehi secara automatik: .

Sama dengan paksi ialah titik di mana garis bersilang dengan paksi-y.

Tindakan yang baru saya jelaskan secara terperinci dilakukan secara lisan.

Diberi garis lurus. Susun persamaan garis lurus dalam segmen dan tentukan titik persilangan graf dengan paksi koordinat.

Penyelesaian: Mari kita bawa persamaan ke bentuk . Pertama, kami mengalihkan istilah bebas ke sebelah kanan:

Untuk mendapatkan unit di sebelah kanan, kami membahagikan setiap sebutan persamaan dengan -11:

Kami membuat pecahan tiga tingkat:

Titik persilangan garis lurus dengan paksi koordinat muncul:

Jawapan:

Ia kekal untuk melampirkan pembaris dan melukis garis lurus.

Adalah mudah untuk melihat bahawa garis lurus ini ditentukan secara unik oleh segmen merah dan hijau, oleh itu namanya - "persamaan garis lurus dalam segmen".

Sudah tentu, mata tidak begitu sukar untuk dicari dari persamaan, tetapi masalahnya masih berguna. Algoritma yang dipertimbangkan akan diperlukan untuk mencari titik persilangan satah dengan paksi koordinat, untuk membawa persamaan garis tertib kedua kepada bentuk kanonik, dan dalam beberapa masalah lain. Oleh itu, beberapa garis lurus untuk penyelesaian bebas:

Susun persamaan garis lurus dalam segmen dan tentukan titik persilangannya dengan paksi koordinat.

Penyelesaian dan jawapan di akhir. Jangan lupa bahawa jika anda mahu, anda boleh melukis segala-galanya.

Bagaimana untuk menulis persamaan parametrik untuk garis lurus?

Persamaan parametrik garis lurus lebih relevan untuk garis lurus dalam ruang, tetapi tanpanya abstrak kita akan menjadi yatim.

Jika beberapa titik kepunyaan garis dan vektor arah garis ini diketahui, maka persamaan parametrik garis ini diberikan oleh sistem:

Susun persamaan parametrik garis lurus dengan titik dan vektor arah

Penyelesaian berakhir sebelum ia boleh bermula:

Parameter "te" boleh mengambil sebarang nilai daripada "tolak infiniti" kepada "tambah infiniti", dan setiap nilai parameter sepadan dengan titik tertentu pada satah. Sebagai contoh, jika , maka kita mendapat mata .

Masalah songsang: bagaimana untuk menyemak sama ada titik keadaan tergolong dalam baris tertentu?

Mari kita gantikan koordinat titik ke dalam persamaan parametrik yang diperoleh:

Daripada kedua-dua persamaan ia mengikuti bahawa , iaitu, sistem adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik.

Mari kita pertimbangkan tugas yang lebih bermakna:

Susun persamaan parametrik bagi garis lurus

Penyelesaian: Dengan syarat, garis lurus diberikan dalam bentuk umum. Untuk menyusun persamaan parametrik garis lurus, anda perlu mengetahui vektor pengarahnya dan beberapa titik kepunyaan garis lurus ini.

Mari cari vektor arah:

Sekarang anda perlu mencari beberapa titik kepunyaan garis (sesiapa sahaja akan melakukannya), untuk tujuan ini adalah mudah untuk menulis semula persamaan am dalam bentuk persamaan dengan cerun:

Ia memohon, sudah tentu, maksudnya

Kami menyusun persamaan parametrik garis lurus:

Dan akhirnya, tugas kreatif kecil untuk penyelesaian bebas.

Susun persamaan parametrik garis lurus jika titik kepunyaannya dan vektor normal diketahui

Tugas boleh dilakukan dalam lebih daripada satu cara. Salah satu versi penyelesaian dan jawapan pada akhirnya.

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: Cari cerun:

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan cerun:

Jawapan:

Contoh 4: Penyelesaian: Kami akan menyusun persamaan garis lurus mengikut formula:

Jawapan:

Contoh 6: Penyelesaian: Gunakan formula:

Jawab: (paksi-y)

Contoh 8: Penyelesaian: Mari kita buat persamaan garis lurus pada dua titik:

Darab kedua-dua belah dengan -4:

Dan bahagikan dengan 5:

Jawab:

Contoh 10: Penyelesaian: Gunakan formula:

Kami mengurangkan sebanyak -2:

Vektor arah langsung:
Jawab:

Contoh 12:
a) Penyelesaian: Mari kita tukar persamaan:

Dengan cara ini:

Jawab:

b) Penyelesaian: Mari kita tukar persamaan:

Dengan cara ini:

Jawab:

Contoh 15: Penyelesaian: Pertama, kita tulis persamaan am bagi garis lurus yang diberi titik dan vektor biasa :

Darab dengan 12:

Kami mendarab dengan 2 lagi supaya selepas membuka kurungan kedua, singkirkan pecahan:

Vektor arah langsung:
Kami menyusun persamaan parametrik garis lurus dengan titik dan vektor arah :
Jawab:

Masalah paling mudah dengan garis lurus pada satah.
Susunan garisan bersama. Sudut antara garisan

Kami terus mempertimbangkan garisan tak terhingga-tak terhingga ini.

Bagaimana untuk mencari jarak dari titik ke garis?
Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?
Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis?

Susunan bersama dua garis lurus

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Kes apabila dewan menyanyi bersama dalam korus. Dua baris boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Sila ingat tanda matematik persimpangan , ia akan berlaku sangat kerap. Entri bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik.

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali masing-masing adalah berkadar, iaitu, terdapat sejumlah "lambda" yang kesamaan itu dipegang.

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan karang tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan -1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan kurangkan sebanyak 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah adalah berkadar: , tapi .

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, jelas bahawa .

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah TIDAK berkadar, iaitu, TIDAK ada nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan menyusun sistem:

Ia mengikuti daripada persamaan pertama bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud bahawa sistem itu tidak konsisten (tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pada pembolehubah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, skema penyelesaian yang baru dipertimbangkan boleh digunakan. Dengan cara ini, ia sangat serupa dengan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan. Tetapi ada pakej yang lebih bertamadun:

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaiannya adalah berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, jadi vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

b) Cari vektor arah garis:

Garis mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau sama. Di sini penentu tidak diperlukan.

Jelas sekali, pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, manakala .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Dengan cara ini,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" boleh didapati secara langsung dengan nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh dilakukan melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memenuhi persamaan ini (sebarang nombor secara amnya memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Nyatakan garis lurus yang tidak diketahui dengan huruf . Apakah yang dikatakan syarat mengenainya? Garis itu melalui titik. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor pengarah garisan "ce" juga sesuai untuk membina garisan "te".

Kami mengeluarkan vektor arah dari persamaan:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Pengesahan analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Pengesahan analitik dalam kebanyakan kes mudah dilakukan secara lisan. Lihat dua persamaan dan ramai di antara anda akan dengan cepat mengetahui bagaimana garisan selari tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk menyelesaikan diri hari ini akan menjadi kreatif.

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Jalan terpendek adalah di penghujung.

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaian sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Begitu banyak untuk makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui - ini adalah dua garis lurus yang bersilang (paling kerap) pada satah.

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Cara grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dalam erti kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian sistem. Malah, kami telah mempertimbangkan kaedah grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk membuat lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa baris tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri boleh berada di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan dengan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan bagi persamaan telah digunakan.

Pengesahan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh buat sendiri. Tugas itu boleh dibahagikan dengan mudah kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada perkara ini.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir:

Garis serenjang. Jarak dari satu titik ke garis.
Sudut antara garisan

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis serenjang yang melalui titik.

Penyelesaian: Adalah diketahui dengan andaian bahawa . Adalah baik untuk mencari vektor arah garis lurus. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Jawapan:

Mari kita buka lakaran geometri:

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Ekstrak vektor arah daripada persamaan dan menggunakan hasil darab skalar bagi vektor, kami menyimpulkan bahawa garis itu sememangnya berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Pengesahan, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Cari titik persilangan garis serenjang, jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh buat sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam tugas itu, jadi mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik.

Jarak dari titik ke garisan

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "p", sebagai contoh: - jarak dari titik "m" ke garis lurus "d".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: semua yang anda perlu lakukan ialah memasukkan nombor dengan teliti ke dalam formula dan lakukan pengiraan:

Jawapan:

Mari kita laksanakan lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda membuat lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain mengikut lukisan yang sama:

Bagaimana untuk membina titik simetri tentang garis lurus?

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik , yang simetri kepada titik berkenaan dengan garis . Saya bercadang untuk melakukan tindakan sendiri, bagaimanapun, saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan hasil perantaraan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jiran "hijau" atau sudut "raspberi" yang berorientasikan bertentangan dianggap sedemikian.

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah "menatal" sudut pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, sebagai contoh, jika .

Mengapa saya berkata ini? Nampaknya anda boleh bertahan dengan konsep sudut biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, hasil negatif boleh diperolehi dengan mudah, dan ini tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan untuk sudut negatif, adalah penting untuk menunjukkan orientasinya (mengikut arah jam) dengan anak panah.

Berdasarkan perkara di atas, penyelesaiannya diformalkan dengan mudah dalam dua langkah:

1) Kira hasil skalar bagi vektor arah garis lurus:
jadi garisan tidak berserenjang.

2) Kami mencari sudut antara garis dengan formula:

Menggunakan fungsi songsang, adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan tangen arka:

Jawapan:

Dalam jawapannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam darjah dan dalam radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, jadi tolak, tidak mengapa. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam keadaan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "berpusing" sudut itu bermula dengan tepat daripadanya.

Terdapat juga penyelesaian ketiga. Ideanya adalah untuk mengira sudut antara vektor arah garisan:

Di sini kita tidak bercakap tentang sudut berorientasikan, tetapi "hanya kira-kira sudut", iaitu, hasilnya pasti akan positif. Tangkapannya ialah anda boleh mendapatkan sudut tumpul (bukan sudut yang anda perlukan). Dalam kes ini, anda perlu membuat tempahan bahawa sudut antara garis adalah sudut yang lebih kecil, dan tolak kosinus arka yang terhasil daripada radian "pi" (180 darjah).

Cari sudut antara garisan.

Ini adalah contoh buat sendiri. Cuba selesaikan dengan dua cara.

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 3: Penyelesaian: Cari vektor arah garis lurus:

Kami akan menyusun persamaan garis lurus yang dikehendaki menggunakan titik dan vektor arah

Nota: di sini persamaan pertama sistem didarab dengan 5, kemudian yang ke-2 ditolak sebutan dengan sebutan daripada persamaan pertama.
Jawapan:

Untuk mengkaji persamaan garis lurus, adalah perlu untuk mempunyai pemahaman yang baik tentang algebra vektor. Adalah penting untuk mencari vektor arah dan vektor normal garis. Artikel ini akan mempertimbangkan vektor normal garis lurus dengan contoh dan lukisan, mencari koordinatnya jika persamaan garis lurus diketahui. Penyelesaian terperinci akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Untuk menjadikan bahan lebih mudah dihadam, anda perlu memahami konsep garis, satah dan takrifan yang dikaitkan dengan vektor. Mula-mula, mari kita berkenalan dengan konsep vektor garis lurus.

Definisi 1

Vektor garis biasa sebarang vektor bukan sifar yang terletak pada mana-mana garis berserenjang dengan yang diberi dipanggil.

Jelas bahawa terdapat set tak terhingga bagi vektor normal yang terletak pada garisan tertentu. Pertimbangkan rajah di bawah.

Kita dapati bahawa garis itu berserenjang dengan salah satu daripada dua garis selari yang diberikan, kemudian keserenjangannya memanjang ke garis selari kedua. Oleh itu kita mendapat bahawa set vektor normal garis selari ini bertepatan. Apabila garis a dan a 1 selari, dan n → dianggap sebagai vektor normal bagi garis a , ia juga dianggap sebagai vektor normal untuk garis a 1 . Apabila garis a mempunyai vektor langsung, maka vektor t · n → adalah bukan sifar untuk sebarang nilai parameter t, dan juga normal untuk garis a.

Dengan menggunakan definisi vektor normal dan arah, seseorang boleh membuat kesimpulan bahawa vektor normal adalah berserenjang dengan arah. Pertimbangkan satu contoh.

Jika satah O x y diberikan, maka set vektor untuk O x ialah vektor koordinat j → . Ia dianggap bukan sifar dan tergolong dalam paksi koordinat O y, berserenjang dengan O x. Seluruh set vektor normal berkenaan dengan O x boleh ditulis sebagai t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Sistem segi empat tepat O x y z mempunyai vektor normal i → berkaitan dengan garis O z . Vektor j → juga dianggap normal. Ini menunjukkan bahawa mana-mana vektor bukan sifar yang terletak dalam mana-mana satah dan berserenjang dengan O z dianggap normal untuk O z .

Koordinat vektor normal garis - mencari koordinat vektor normal garis daripada persamaan garis yang diketahui

Apabila mempertimbangkan sistem koordinat segi empat tepat O x y, kita dapati bahawa persamaan garis lurus pada satah sepadan dengannya, dan penentuan vektor normal dibuat oleh koordinat. Jika persamaan garis lurus diketahui, tetapi adalah perlu untuk mencari koordinat vektor normal, maka adalah perlu untuk mengenal pasti pekali daripada persamaan A x + B y + C = 0, yang sepadan dengan koordinat vektor normal bagi garis lurus yang diberi.

Contoh 1

Satu garis lurus bentuk 2 x + 7 y - 4 = 0 _ diberi, cari koordinat bagi vektor normal.

Penyelesaian

Dengan syarat, kita mempunyai bahawa garis lurus diberikan oleh persamaan umum, yang bermaksud bahawa perlu untuk menulis pekali, yang merupakan koordinat vektor normal. Oleh itu, koordinat vektor mempunyai nilai 2 , 7 .

Jawapan: 2 , 7 .

Ada kalanya A atau B daripada persamaan adalah sifar. Mari kita pertimbangkan penyelesaian tugas sedemikian dengan contoh.

Contoh 2

Nyatakan vektor normal untuk garis yang diberi y - 3 = 0 .

Penyelesaian

Dengan syarat, kita diberi persamaan umum garis lurus, yang bermaksud kita menulisnya dengan cara ini 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Sekarang kita boleh melihat dengan jelas pekali, yang merupakan koordinat bagi vektor biasa. Jadi, kita dapati bahawa koordinat bagi vektor normal ialah 0 , 1 .

Jawapan: 0 , 1 .

Jika persamaan diberikan dalam segmen bentuk x a + y b \u003d 1 atau persamaan dengan cerun y \u003d k x + b, maka perlu untuk mengurangkan kepada persamaan umum garis lurus, di mana anda boleh mencari koordinat daripada vektor normal garis lurus ini.

Contoh 3

Cari koordinat bagi vektor normal jika persamaan garis lurus x 1 3 - y = 1 diberi.

Penyelesaian

Mula-mula anda perlu beralih daripada persamaan dalam selang x 1 3 - y = 1 kepada persamaan am. Kemudian kita mendapat bahawa x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Ini menunjukkan bahawa koordinat bagi vektor normal mempunyai nilai 3 , - 1 .

Jawapan: 3 , - 1 .

Jika garis ditakrifkan oleh persamaan kanonik garis pada satah x - x 1 a x = y - y 1 a y atau oleh parametrik x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , maka mendapat koordinat menjadi lebih rumit. Mengikut persamaan ini, dapat dilihat bahawa koordinat vektor arah akan menjadi a → = (a x , a y) . Kemungkinan mencari koordinat bagi vektor normal n → adalah mungkin disebabkan oleh keadaan bahawa vektor n → dan a → adalah berserenjang.

Ia adalah mungkin untuk mendapatkan koordinat vektor normal dengan mengurangkan persamaan kanonik atau parametrik garis lurus kepada satu umum. Kemudian kita dapat:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Untuk penyelesaiannya, anda boleh memilih mana-mana cara yang mudah.

Contoh 4

Cari vektor normal bagi garis yang diberi x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Penyelesaian

Daripada garis lurus x - 2 7 = y + 3 - 2 jelas bahawa vektor arah akan mempunyai koordinat a → = (7 , - 2) . Vektor normal n → = (n x , n y) bagi garis yang diberi adalah berserenjang dengan a → = (7 , - 2) .

Mari kita ketahui apakah hasil kali skalar itu bersamaan. Untuk mencari hasil darab skalar bagi vektor a → = (7 , - 2) dan n → = (n x , n y) kita tulis a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Nilai n x adalah sewenang-wenangnya, anda harus mencari n y . Jika n x = 1, maka kita mendapat bahawa 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Oleh itu, vektor normal mempunyai koordinat 1 , 7 2 .

Cara penyelesaian kedua datang kepada fakta bahawa perlu untuk datang ke bentuk umum persamaan dari yang kanonik. Untuk ini, kami mengubah

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Hasil koordinat vektor normal ialah 2 , 7 .

Jawapan: 2, 7 atau 1 , 7 2 .

Contoh 5

Nyatakan koordinat bagi vektor normal bagi garis x = 1 y = 2 - 3 · λ .

Penyelesaian

Mula-mula anda perlu melakukan transformasi untuk pergi ke bentuk umum garis lurus. Jom buat:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Ini menunjukkan bahawa koordinat bagi vektor normal ialah - 3 , 0 .

Jawapan: - 3 , 0 .

Pertimbangkan cara untuk mencari koordinat bagi vektor normal dalam persamaan garis lurus dalam ruang, diberikan oleh sistem koordinat segi empat tepat O x y z.

Apabila garis diberikan oleh persamaan satah bersilang A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , maka vektor normal bagi satah merujuk kepada A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, maka kita mendapat vektor dalam bentuk n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Apabila garis ditakrifkan menggunakan persamaan kanonik ruang, mempunyai bentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z atau parametrik, mempunyai bentuk x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , maka a x , a y dan a z dianggap sebagai koordinat bagi vektor arah bagi garis lurus yang diberi. Mana-mana vektor bukan sifar boleh menjadi normal untuk garis tertentu, dan berserenjang dengan vektor a → = (a x , a y , a z) . Ia berikutan bahawa mencari koordinat normal dengan persamaan parametrik dan kanonik dilakukan menggunakan koordinat vektor, yang berserenjang dengan vektor yang diberi a → = (a x, a y, a z) .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter