Persamaan satah. Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah?
Susunan kapal terbang bersama. Tugasan

Geometri ruang tidak jauh lebih rumit daripada geometri "rata", dan penerbangan kami ke angkasa lepas bermula dengan artikel ini. Untuk memahami topik, seseorang mesti mempunyai pemahaman yang baik vektor, di samping itu, adalah wajar untuk membiasakan diri dengan geometri pesawat - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, jadi maklumat akan dicerna dengan lebih baik. Dalam satu siri pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan artikel Persamaan garis lurus pada satah. Tetapi kini Batman telah meninggalkan TV skrin rata dan dilancarkan dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulakan dengan lukisan dan simbol. Secara skematik, satah boleh dilukis sebagai segi empat selari, yang memberikan kesan ruang:

Pesawat itu tidak terhingga, tetapi kita mempunyai peluang untuk menggambarkan hanya sekepingnya. Dalam amalan, sebagai tambahan kepada segi empat selari, bujur atau awan juga dilukis. Atas sebab teknikal, adalah lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara ini dan dalam kedudukan ini. Pesawat sebenar, yang akan kami pertimbangkan dalam contoh praktikal, boleh disusun mengikut keinginan anda - ambil lukisan secara mental di tangan anda dan putarkannya di angkasa, memberikan satah apa-apa cerun, mana-mana sudut.

Notasi: adalah kebiasaan untuk menetapkan pesawat dalam huruf Yunani kecil, nampaknya supaya tidak mengelirukan mereka terus di atas kapal terbang atau dengan lurus di angkasa. Saya sudah biasa menggunakan surat itu. Dalam lukisan, ia adalah huruf "sigma", dan bukan lubang sama sekali. Walaupun, pesawat berlubang, ia pastinya sangat lucu.

Dalam sesetengah kes, adalah mudah untuk menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip untuk menetapkan pesawat, contohnya, .

Jelas sekali bahawa pesawat itu ditentukan secara unik oleh tiga titik berbeza yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Oleh itu, sebutan tiga huruf pesawat agak popular - mengikut mata milik mereka, sebagai contoh, dll. Selalunya surat disertakan dalam kurungan: , supaya tidak mengelirukan satah dengan angka geometri yang lain.

Untuk pembaca yang berpengalaman, saya akan berikan menu pintasan:

• Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan dua vektor?
• Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan am satah

Persamaan am satah mempunyai bentuk , di mana pekalinya serentak bukan sifar.

Beberapa pengiraan teori dan masalah praktikal adalah sah untuk asas ortonormal biasa dan untuk asas afin ruang (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor). Untuk kesederhanaan, kita akan menganggap bahawa semua peristiwa berlaku dalam asas ortonormal dan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan.

Dan sekarang mari kita latih sedikit imaginasi spatial. Tidak mengapa jika anda mengalaminya buruk, sekarang kami akan mengembangkannya sedikit. Malah bermain saraf memerlukan latihan.

Dalam kes yang paling umum, apabila nombor tidak sama dengan sifar, satah memotong ketiga-tiga paksi koordinat. Sebagai contoh, seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahawa pesawat itu terus bergerak tanpa had ke semua arah, dan kami mempunyai peluang untuk menggambarkan hanya sebahagian daripadanya.

Pertimbangkan persamaan termudah bagi satah:

Bagaimana untuk memahami persamaan ini? Fikirkanlah: "Z" SELALU, untuk sebarang nilai "X" dan "Y" adalah sama dengan sifar. Ini ialah persamaan satah koordinat "asli". Sesungguhnya, secara rasmi persamaan itu boleh ditulis semula seperti berikut: , dari mana jelas kelihatan bahawa kita tidak peduli, nilai "x" dan "y" diambil, adalah penting bahawa "z" adalah sama dengan sifar.

Begitu juga:
ialah persamaan satah koordinat ;
ialah persamaan satah koordinat.

Mari kita rumitkan masalah sedikit, pertimbangkan satah (di sini dan seterusnya dalam perenggan kita menganggap bahawa pekali berangka tidak sama dengan sifar). Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk: . Bagaimana untuk memahaminya? "X" adalah SENTIASA, untuk sebarang nilai "y" dan "z" adalah sama dengan nombor tertentu. Satah ini selari dengan satah koordinat. Contohnya, satah selari dengan satah dan melalui satu titik.

Begitu juga:
- persamaan satah, yang selari dengan satah koordinat;
- persamaan satah yang selari dengan satah koordinat.

Tambah ahli: . Persamaan boleh ditulis semula seperti ini: , iaitu, "Z" boleh menjadi apa sahaja. Apakah maksudnya? "X" dan "Y" disambungkan dengan nisbah yang melukis garis lurus tertentu dalam satah (anda akan mengenali persamaan garis lurus dalam satah?). Memandangkan Z boleh menjadi apa-apa, baris ini "direplikasi" pada sebarang ketinggian. Oleh itu, persamaan mentakrifkan satah selari dengan paksi koordinat

Begitu juga:
- persamaan satah, yang selari dengan paksi koordinat;
- persamaan satah, yang selari dengan paksi koordinat.

Jika sebutan bebas adalah sifar, maka pesawat akan terus melalui paksi yang sepadan. Contohnya, "perkadaran langsung" klasik:. Lukis garis lurus dalam satah dan darab secara mental ke atas dan ke bawah (kerana “z” ialah sebarang). Kesimpulan: satah yang diberikan oleh persamaan melalui paksi koordinat.

Kami membuat kesimpulan kajian: persamaan satah melalui asal. Nah, di sini agak jelas bahawa titik itu memenuhi persamaan yang diberikan.

Dan, akhirnya, kes yang ditunjukkan dalam lukisan: - satah berkawan dengan semua paksi koordinat, sementara ia sentiasa "memotong" segitiga yang boleh terletak di mana-mana lapan oktan.

Ketaksamaan linear dalam ruang

Untuk memahami maklumat, perlu belajar dengan baik ketaksamaan linear dalam satah kerana banyak perkara akan serupa. Perenggan itu akan menjadi gambaran keseluruhan ringkas dengan beberapa contoh, kerana bahan itu agak jarang dalam amalan.

Jika persamaan mentakrifkan satah, maka ketaksamaan
bertanya separuh ruang. Jika ketidaksamaan tidak ketat (dua yang terakhir dalam senarai), maka penyelesaian ketidaksamaan, sebagai tambahan kepada separuh ruang, termasuk satah itu sendiri.

Contoh 5

Cari vektor normal unit bagi satah itu .

Keputusan: Vektor unit ialah vektor yang panjangnya adalah satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Agak jelas bahawa vektor adalah kolinear:

Mula-mula, kita keluarkan vektor normal daripada persamaan satah: .

Bagaimana untuk mencari vektor unit? Untuk mencari vektor unit, anda perlukan setiap koordinat vektor dibahagikan dengan panjang vektor.

Mari kita tulis semula vektor biasa dalam bentuk dan cari panjangnya:

Mengikut perkara di atas:

Jawab:

Semak: , yang diperlukan untuk menyemak.

Pembaca yang telah mengkaji dengan teliti perenggan terakhir pelajaran, mungkin menyedarinya koordinat vektor unit adalah betul-betul kosinus arah vektor:

Mari kita menyimpang dari masalah yang dibongkar: apabila anda diberi vektor bukan sifar sewenang-wenangnya, dan mengikut syarat ia diperlukan untuk mencari kosinus arahnya (lihat tugasan terakhir pelajaran Hasil darab titik bagi vektor), maka anda, sebenarnya, juga mencari kolinear vektor unit kepada yang diberikan. Malah, dua tugasan dalam satu botol.

Keperluan untuk mencari vektor normal unit timbul dalam beberapa masalah analisis matematik.

Kami memikirkan memancing vektor biasa, sekarang kami akan menjawab soalan yang bertentangan:

Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan vektor normal?

Pembinaan tegar vektor biasa dan titik ini terkenal dengan sasaran dart. Sila hulurkan tangan anda ke hadapan dan pilih titik sewenang-wenangnya dalam ruang, contohnya, kucing kecil di papan sisi. Jelas sekali, melalui titik ini, anda boleh melukis satu satah berserenjang dengan tangan anda.

Persamaan satah yang melalui titik berserenjang dengan vektor dinyatakan dengan formula:

Biarlah perlu untuk mencari persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus. Dengan menandakan vektor jejari mereka dengan dan vektor jejari semasa dengan , kita boleh mendapatkan persamaan yang dikehendaki dalam bentuk vektor dengan mudah. Sesungguhnya, vektor , mestilah coplanar (semuanya terletak pada satah yang dikehendaki). Oleh itu, hasil darab skalar vektor bagi vektor ini mestilah sama dengan sifar:

Ini ialah persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu, dalam bentuk vektor.

Beralih kepada koordinat, kita mendapat persamaan dalam koordinat:

Jika tiga titik yang diberikan terletak pada garis lurus yang sama, maka vektor-vektor itu akan menjadi kolinear. Oleh itu, unsur-unsur sepadan dua baris terakhir penentu dalam persamaan (18) akan berkadar dan penentu akan sama sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan (18) akan menjadi identiti bagi mana-mana nilai x, y, dan z. Secara geometri, ini bermakna bahawa satah melalui setiap titik ruang, di mana tiga titik yang diberikan juga terletak.

Catatan 1. Masalah yang sama boleh diselesaikan tanpa menggunakan vektor.

Menandakan koordinat bagi tiga titik yang diberikan, masing-masing, melalui kita menulis persamaan mana-mana satah yang melalui titik pertama:

Untuk mendapatkan persamaan satah yang dikehendaki, seseorang mesti memerlukan persamaan (17) dipenuhi dengan koordinat dua titik yang lain:

Daripada persamaan (19), adalah perlu untuk menentukan nisbah dua pekali kepada yang ketiga dan memasukkan nilai yang ditemui ke dalam persamaan (17).

Contoh 1. Tulis persamaan untuk satah yang melalui titik.

Persamaan bagi satah yang melalui titik pertama ini ialah:

Syarat untuk satah (17) melalui dua titik lain dan titik pertama ialah:

Menambah persamaan kedua kepada yang pertama, kita dapat:

Menggantikan persamaan kedua, kita dapat:

Menggantikan ke dalam persamaan (17) dan bukannya A, B, C, masing-masing, 1, 5, -4 (nombor yang berkadar dengannya), kita dapat:

Contoh 2. Tulis satu persamaan untuk satah yang melalui titik (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Persamaan mana-mana satah yang melalui titik (0, 0, 0) akan menjadi]

Syarat untuk melepasi satah ini melalui titik (1, 1, 1) dan (2, 2, 2) ialah:

Mengurangkan persamaan kedua dengan 2, kita melihat bahawa untuk menentukan dua yang tidak diketahui, hubungan itu mempunyai satu persamaan dengan

Dari sini kita dapat . Menggantikan sekarang ke dalam persamaan satah dan bukannya nilainya, kita dapati:

Ini adalah persamaan satah yang diperlukan; ia bergantung kepada sewenang-wenangnya

kuantiti B, C (iaitu, daripada nisbah, iaitu, terdapat bilangan satah tak terhingga yang melalui tiga titik tertentu (tiga titik tertentu terletak pada satu garis lurus).

Catatan 2. Masalah melukis satah melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama mudah diselesaikan dalam bentuk umum jika kita menggunakan penentu. Sesungguhnya, oleh kerana dalam persamaan (17) dan (19) pekali A, B, C tidak boleh serentak sama dengan sifar, maka, dengan mempertimbangkan persamaan ini sebagai sistem homogen dengan tiga A, B, C yang tidak diketahui, kita menulis perlu dan mencukupi. syarat untuk kewujudan penyelesaian sistem ini, selain sifar (bahagian 1, ch. VI, § 6):

Memperluaskan penentu ini dengan unsur-unsur baris pertama, kami memperoleh persamaan darjah pertama berkenaan dengan koordinat semasa , yang akan dipenuhi, khususnya, dengan koordinat tiga titik yang diberikan.

Yang terakhir ini juga boleh disahkan secara langsung jika kita menggantikan koordinat mana-mana titik ini dan bukannya ke dalam persamaan yang ditulis menggunakan penentu. Di sebelah kiri, penentu diperoleh, di mana sama ada unsur-unsur baris pertama adalah sifar, atau terdapat dua baris yang sama. Oleh itu, persamaan yang dirumus mewakili satah yang melalui tiga titik tertentu.

Untuk membolehkan satu satah dilukis melalui mana-mana tiga titik di angkasa, adalah perlu bahawa titik ini tidak terletak pada satu garis lurus.

Pertimbangkan titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dalam sistem koordinat Cartesan biasa.

Agar satu titik M(x, y, z) sewenang-wenangnya terletak pada satah yang sama dengan titik M 1 , M 2 , M 3 , vektor-vektor tersebut mestilah sepasang.

(
) = 0

Oleh itu,

Persamaan satah yang melalui tiga titik:

Persamaan satah berkenaan dengan dua titik dan kolinear vektor kepada satah.

Biarkan titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) dan vektor
.

Mari kita susun persamaan satah yang melalui titik yang diberikan M 1 dan M 2 dan titik arbitrari M (x, y, z) selari dengan vektor .

vektor
dan vektor
mestilah coplanar, i.e.

(
) = 0

Persamaan satah:

Persamaan satah berkenaan dengan satu titik dan dua vektor,

satah kolinear.

Biarkan dua vektor diberikan
dan
, satah kolinear. Kemudian untuk titik arbitrari M(x, y, z) kepunyaan satah, vektor
mestilah coplanar.

Persamaan satah:

Persamaan satah mengikut titik dan vektor normal .

Teorem. Jika titik M diberi dalam ruang 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), maka persamaan satah yang melalui titik M 0 berserenjang dengan vektor normal (A, B, C) kelihatan seperti:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bukti. Untuk titik sewenang-wenangnya M(x, y, z) kepunyaan satah, kami menyusun vektor . Kerana vektor - vektor normal, maka ia berserenjang dengan satah, dan, oleh itu, berserenjang dengan vektor
. Kemudian hasil kali skalar

= 0

Oleh itu, kita memperoleh persamaan satah

Teorem telah terbukti.

Persamaan satah dalam segmen.

Jika dalam persamaan am Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, bahagikan kedua-dua bahagian dengan (-D)

,

menggantikan
, kita memperoleh persamaan satah dalam segmen:

Nombor a, b, c ialah titik persilangan satah, masing-masing, dengan paksi x, y, z.

Persamaan satah dalam bentuk vektor.

di mana

- jejari-vektor titik semasa M(x, y, z),

Vektor unit yang mempunyai arah serenjang jatuh ke satah dari asal.

,  dan  ialah sudut yang dibentuk oleh vektor ini dengan paksi x, y, z.

p ialah panjang serenjang ini.

Dalam koordinat, persamaan ini mempunyai bentuk:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Jarak dari satu titik ke satah.

Jarak dari titik sewenang-wenang M 0 (x 0, y 0, z 0) ke satah Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 ialah:

Contoh. Cari persamaan satah itu, dengan mengetahui bahawa titik P (4; -3; 12) ialah tapak serenjang yang dijatuhkan dari asal ke satah ini.

Jadi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, gunakan formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Contoh. Cari persamaan satah yang melalui dua titik P(2; 0; -1) dan

Q(1; -1; 3) berserenjang dengan satah 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vektor normal kepada satah 3x + 2y - z + 5 = 0
selari dengan satah yang dikehendaki.

Kita mendapatkan:

Contoh. Cari persamaan satah yang melalui titik A(2, -1, 4) dan

В(3, 2, -1) berserenjang dengan satah X + di + 2z – 3 = 0.

Persamaan satah yang dikehendaki mempunyai bentuk: A x+ B y+ C z+ D = 0, vektor normal kepada satah ini (A, B, C). vektor
(1, 3, -5) kepunyaan kapal terbang. Satah yang diberikan kepada kita, berserenjang dengan yang dikehendaki, mempunyai vektor normal (1, 1, 2). Kerana titik A dan B tergolong dalam kedua-dua satah, dan satah itu saling berserenjang, kemudian

Jadi vektor biasa (11, -7, -2). Kerana titik A tergolong dalam satah yang dikehendaki, maka koordinatnya mesti memenuhi persamaan satah ini, i.e. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Secara keseluruhan, kita mendapat persamaan satah: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Contoh. Cari persamaan satah itu, dengan mengetahui bahawa titik P(4, -3, 12) ialah tapak serenjang yang dijatuhkan dari asal ke satah ini.

Mencari koordinat bagi vektor normal
= (4, -3, 12). Persamaan satah yang dikehendaki mempunyai bentuk: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Untuk mencari pekali D, kita gantikan koordinat titik Р ke dalam persamaan:

16 + 9 + 144 + D = 0

Secara keseluruhan, kita mendapat persamaan yang dikehendaki: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Contoh. Diberi koordinat bucu piramid A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Cari panjang tepi A 1 A 2 .

Cari sudut di antara tepi A 1 A 2 dan A 1 A 4.

Cari sudut di antara tepi A 1 A 4 dan muka A 1 A 2 A 3 .

Mula-mula, cari vektor normal pada muka A 1 A 2 A 3 sebagai hasil silang vektor
dan
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Cari sudut antara vektor normal dan vektor
.

-4 – 4 = -8.

Sudut yang dikehendaki  antara vektor dan satah akan sama dengan  = 90 0 - .

Cari luas muka A 1 A 2 A 3 .

Cari isipadu piramid itu.

Cari persamaan satah А 1 А 2 А 3 .

Kami menggunakan formula untuk persamaan satah yang melalui tiga titik.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Apabila menggunakan versi PC " Kursus matematik yang lebih tinggi” anda boleh menjalankan program yang akan menyelesaikan contoh di atas untuk sebarang koordinat bucu piramid.

Klik dua kali ikon untuk melancarkan program:

Dalam tetingkap program yang terbuka, masukkan koordinat bucu piramid dan tekan Enter. Oleh itu, semua mata keputusan boleh diperolehi satu persatu.

Nota: Untuk menjalankan program, anda mesti memasang Maple ( Waterloo Maple Inc.) pada komputer anda, mana-mana versi bermula dengan MapleV Release 4.

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat cara menggunakan penentu untuk mengarang persamaan satah. Jika anda tidak tahu apa itu penentu, pergi ke bahagian pertama pelajaran - " Matriks dan penentu». Jika tidak, anda berisiko tidak memahami apa-apa dalam bahan hari ini.

Persamaan satah dengan tiga titik

Mengapa kita memerlukan persamaan satah sama sekali? Ia mudah: mengetahuinya, kita boleh mengira sudut, jarak dan omong kosong lain dalam masalah C2 dengan mudah. Secara umum, persamaan ini sangat diperlukan. Oleh itu, kami merumuskan masalah:

Satu tugas. Terdapat tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Koordinat mereka:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Ia dikehendaki menulis persamaan satah yang melalui tiga titik ini. Dan persamaan sepatutnya kelihatan seperti:

Ax + By + Cz + D = 0

di mana nombor A , B , C dan D ialah pekali yang sebenarnya anda ingin cari.

Nah, bagaimana untuk mendapatkan persamaan satah, jika hanya koordinat titik diketahui? Cara paling mudah ialah dengan menggantikan koordinat ke dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0. Anda mendapat sistem tiga persamaan yang mudah diselesaikan.

Ramai pelajar mendapati penyelesaian ini sangat membosankan dan tidak boleh dipercayai. Peperiksaan matematik tahun lepas menunjukkan kebarangkalian untuk membuat ralat pengiraan adalah sangat tinggi.

Oleh itu, guru yang paling maju mula mencari penyelesaian yang lebih mudah dan lebih elegan. Dan mereka mendapatinya! Benar, teknik yang diperolehi lebih berkemungkinan berkaitan dengan matematik yang lebih tinggi. Secara peribadi, saya terpaksa membelek seluruh senarai buku teks Persekutuan untuk memastikan kami mempunyai hak untuk menggunakan teknik ini tanpa sebarang justifikasi dan bukti.

Persamaan satah melalui penentu

Cukuplah mengomel, mari kita berniaga. Sebagai permulaan, teorem tentang bagaimana penentu matriks dan persamaan satah berkaitan.

Teorem. Biarkan koordinat tiga titik di mana satah mesti dilukis diberi: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Kemudian persamaan satah ini boleh ditulis dalam sebutan penentu:

Sebagai contoh, mari kita cuba mencari sepasang satah yang benar-benar berlaku dalam masalah C2. Lihatlah betapa pantas segala-galanya dikira:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Kami menyusun penentu dan menyamakannya dengan sifar:

Membuka penentu:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Seperti yang anda lihat, semasa mengira nombor d, saya mengubah sedikit persamaan supaya pembolehubah x, y, dan z berada dalam urutan yang betul. Itu sahaja! Persamaan satah sudah sedia!

Satu tugas. Tulis persamaan untuk satah yang melalui titik:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Gantikan segera koordinat titik dalam penentu:

Mengembangkan penentu sekali lagi:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Jadi, persamaan satah diperoleh semula! Sekali lagi, pada langkah terakhir, saya terpaksa menukar tanda di dalamnya untuk mendapatkan formula yang lebih "cantik". Ia tidak perlu melakukan ini dalam penyelesaian ini, tetapi ia masih disyorkan - untuk memudahkan penyelesaian masalah selanjutnya.

Seperti yang anda lihat, kini lebih mudah untuk menulis persamaan satah. Kami menggantikan titik ke dalam matriks, mengira penentu - dan itu sahaja, persamaan sudah sedia.

Ini boleh menjadi akhir pelajaran. Walau bagaimanapun, ramai pelajar sentiasa melupakan apa yang ada di dalam penentu. Sebagai contoh, baris mana yang mengandungi x 2 atau x 3 , dan baris mana hanya x . Untuk akhirnya menangani perkara ini, mari kita kesan dari mana setiap nombor datang.

Dari manakah datangnya formula dengan penentu?

Jadi, mari kita fikirkan dari mana datangnya persamaan yang keras dengan penentu. Ini akan membantu anda mengingatinya dan menerapkannya dengan jayanya.

Semua satah yang berlaku dalam Masalah C2 ditakrifkan oleh tiga titik. Titik ini sentiasa ditanda pada lukisan, atau ditunjukkan terus dalam teks masalah. Walau apa pun, untuk menyusun persamaan, kita perlu menulis koordinatnya:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Pertimbangkan satu lagi titik pada satah kami dengan koordinat sewenang-wenangnya:

T = (x, y, z)

Kami mengambil sebarang titik dari tiga yang pertama (contohnya, titik M ) dan menarik vektor daripadanya ke setiap tiga titik yang tinggal. Kami mendapat tiga vektor:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Sekarang mari kita buat matriks segi empat sama daripada vektor ini dan samakan penentunya kepada sifar. Koordinat vektor akan menjadi baris matriks - dan kita akan mendapat penentu yang sama yang ditunjukkan dalam teorem:

Formula ini bermakna isipadu kotak yang dibina pada vektor MN , MK dan MT adalah sama dengan sifar. Oleh itu, ketiga-tiga vektor terletak pada satah yang sama. Khususnya, titik arbitrari T = (x, y, z) adalah tepat yang kami cari.

Menggantikan titik dan baris penentu

Penentu mempunyai beberapa sifat hebat yang menjadikannya lebih mudah penyelesaian masalah C2. Sebagai contoh, tidak penting bagi kita dari mana untuk menarik vektor. Oleh itu, penentu berikut memberikan persamaan satah yang sama seperti yang di atas:

Anda juga boleh menukar garis penentu. Persamaan akan kekal tidak berubah. Sebagai contoh, ramai orang suka menulis garis dengan koordinat titik T = (x; y; z) di bahagian paling atas. Sila, jika ia sesuai untuk anda:

Ia mengelirukan sesetengah orang bahawa salah satu baris mengandungi pembolehubah x , y dan z , yang tidak hilang apabila menggantikan titik. Tetapi mereka tidak sepatutnya hilang! Dengan menggantikan nombor ke dalam penentu, anda harus mendapatkan pembinaan berikut:

Kemudian penentu dikembangkan mengikut skema yang diberikan pada permulaan pelajaran, dan persamaan piawai satah diperoleh:

Ax + By + Cz + D = 0

Lihat satu contoh. Dia adalah yang terakhir dalam pelajaran hari ini. Saya akan menukar garisan dengan sengaja untuk memastikan jawapannya adalah persamaan satah yang sama.

Satu tugas. Tulis persamaan untuk satah yang melalui titik:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Jadi, kami mempertimbangkan 4 perkara:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pertama, mari kita buat penentu piawai dan samakannya dengan sifar:

Membuka penentu:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Itu sahaja, kami mendapat jawapan: x + y + z − 2 = 0 .

Sekarang mari kita susun semula beberapa baris dalam penentu dan lihat apa yang berlaku. Sebagai contoh, mari kita tulis baris dengan pembolehubah x, y, z bukan di bahagian bawah, tetapi di bahagian atas:

Mari kembangkan lagi penentu yang terhasil:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kami mendapat persamaan satah yang sama: x + y + z − 2 = 0. Jadi, ia benar-benar tidak bergantung pada susunan baris. Ia kekal untuk menulis jawapan.

Jadi, kita telah melihat bahawa persamaan satah tidak bergantung pada jujukan garis. Adalah mungkin untuk menjalankan pengiraan yang serupa dan membuktikan bahawa persamaan satah tidak bergantung pada titik yang koordinatnya kita tolak daripada titik lain.

Dalam masalah yang dipertimbangkan di atas, kami menggunakan titik B 1 = (1, 0, 1), tetapi agak mungkin untuk mengambil C = (1, 1, 0) atau D 1 = (0, 1, 1). Secara umum, mana-mana titik dengan koordinat yang diketahui terletak pada satah yang dikehendaki.

Dalam rangka bahan ini, kita akan menganalisis cara mencari persamaan satah jika kita mengetahui koordinat tiga titik berbeza yang tidak terletak pada satu garis lurus. Untuk melakukan ini, kita perlu ingat apakah sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang tiga dimensi. Pertama, kami memperkenalkan prinsip asas persamaan ini dan menunjukkan cara menggunakannya dalam menyelesaikan masalah tertentu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sebagai permulaan, kita perlu mengingati satu aksiom, yang berbunyi seperti ini:

Definisi 1

Jika tiga titik tidak bertepatan antara satu sama lain dan tidak terletak pada satu garis lurus, maka dalam ruang tiga dimensi hanya satu satah melaluinya.

Dengan kata lain, jika kita mempunyai tiga titik berbeza yang koordinatnya tidak bertepatan dan tidak boleh disambungkan dengan garis lurus, maka kita boleh menentukan satah yang melaluinya.

Katakan kita mempunyai sistem koordinat segi empat tepat. Mari kita nyatakan ia O x y z . Ia mengandungi tiga titik M dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) yang tidak boleh disambung secara lurus barisan. Berdasarkan syarat ini, kita boleh menulis persamaan satah yang kita perlukan. Terdapat dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

1. Pendekatan pertama menggunakan persamaan am satah. Dalam bentuk literal, ia ditulis sebagai A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Dengan itu, anda boleh menetapkan dalam sistem koordinat segi empat tepat alfa satah tertentu, yang melalui titik pertama yang diberikan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Ternyata vektor satah biasa α akan mempunyai koordinat A , B , C .

Definisi N

Mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat titik yang dilalui satah, kita boleh menulis persamaan am satah ini.

Daripada ini kita akan meneruskan lebih jauh.

Oleh itu, mengikut keadaan masalah, kami mempunyai koordinat titik yang diingini (walaupun tiga), di mana pesawat itu melepasi. Untuk mencari persamaan, anda perlu mengira koordinat vektor normalnya. Nyatakan ia n → .

Ingat peraturan: mana-mana vektor bukan sifar bagi satah tertentu adalah berserenjang dengan vektor normal satah yang sama. Maka kita mempunyai bahawa n → akan berserenjang dengan vektor yang terdiri daripada titik awal M 1 M 2 → dan M 1 M 3 → . Kemudian kita boleh menandakan n → sebagai hasil vektor dalam bentuk M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Oleh kerana M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dan M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (bukti kesamaan ini diberikan dalam artikel yang dikhaskan untuk mengira koordinat vektor dari koordinat titik), maka ternyata:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z satu

Jika kita mengira penentu, kita akan mendapat koordinat bagi vektor normal n → yang kita perlukan. Sekarang kita boleh menulis persamaan yang kita perlukan untuk satah yang melalui tiga titik tertentu.

2. Pendekatan kedua untuk mencari persamaan yang melalui M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) ialah berdasarkan konsep seperti persamaan vektor.

Jika kita mempunyai satu set titik M (x, y, z) , maka dalam sistem koordinat segi empat tepat mereka mentakrifkan satah untuk titik yang diberikan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2, y). 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) hanya jika vektor M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) dan M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) akan menjadi koplanar.

Pada rajah ia akan kelihatan seperti ini:

Ini bermakna hasil campuran vektor M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → akan sama dengan sifar: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , kerana ini ialah syarat utama untuk persamaan: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) dan M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Kami menulis persamaan yang terhasil dalam bentuk koordinat:

Selepas kita mengira penentu, kita boleh mendapatkan persamaan satah yang kita perlukan untuk tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Daripada persamaan yang terhasil, anda boleh pergi ke persamaan satah dalam segmen atau kepada persamaan normal satah, jika diperlukan oleh keadaan masalah.

Dalam perenggan seterusnya, kami akan memberikan contoh bagaimana pendekatan yang kami nyatakan dilaksanakan dalam amalan.

Contoh tugas untuk menyusun persamaan satah yang melalui 3 mata

Sebelum ini, kami mengenal pasti dua pendekatan yang boleh digunakan untuk mencari persamaan yang dikehendaki. Mari lihat bagaimana ia digunakan dalam penyelesaian masalah dan bila untuk memilih setiap satu.

Contoh 1

Terdapat tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, dengan koordinat M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Tulis persamaan untuk satah yang melaluinya.

Keputusan

Kami menggunakan kedua-dua kaedah secara bergilir-gilir.

1. Cari koordinat bagi dua vektor yang kita perlukan M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Sekarang kita mengira produk vektor mereka. Dalam kes ini, kami tidak akan menerangkan pengiraan penentu:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Kami mempunyai vektor normal satah yang melalui tiga titik yang diperlukan: n → = (- 5 , 30 , 2) . Seterusnya, kita perlu mengambil salah satu titik, sebagai contoh, M 1 (- 3 , 2 , - 1) , dan tulis persamaan untuk satah dengan vektor n → = (- 5 , 30 , 2) . Kami mendapat bahawa: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ini adalah persamaan satah yang kita perlukan, yang melalui tiga titik.

2. Kami menggunakan pendekatan yang berbeza. Kami menulis persamaan untuk satah dengan tiga titik M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) dalam borang berikut:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Di sini anda boleh menggantikan data daripada keadaan masalah. Oleh kerana x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, hasilnya kita akan dapat:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Kami mendapat persamaan yang kami perlukan.

Jawapan:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Tetapi bagaimana jika mata yang diberikan masih terletak pada garis lurus yang sama dan kita perlu menyusun persamaan satah untuk mereka? Di sini mesti dikatakan dengan segera bahawa keadaan ini tidak akan betul sepenuhnya. Tidak terhingga banyak pesawat boleh melalui titik sedemikian, jadi mustahil untuk mengira satu jawapan. Mari kita pertimbangkan masalah sedemikian untuk membuktikan ketidaktepatan rumusan soalan tersebut.

Contoh 2

Kami mempunyai sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang 3D yang mengandungi tiga titik dengan koordinat M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Ia adalah perlu untuk menulis persamaan untuk satah yang melaluinya.

Keputusan

Kami menggunakan kaedah pertama dan mulakan dengan mengira koordinat dua vektor M 1 M 2 → dan M 1 M 3 → . Mari kita hitung koordinatnya: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Produk vektor akan sama dengan:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Oleh kerana M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , maka vektor kami akan menjadi kolinear (baca semula artikel tentang mereka jika anda terlupa definisi konsep ini). Oleh itu, titik awal M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2, 0) , M 3 (- 1 , 1, 1) berada pada garis lurus yang sama, dan masalah kita mempunyai tak terhingga banyak pilihan respons.

Jika kita menggunakan kaedah kedua, kita dapat:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Daripada kesamaan yang terhasil ia juga mengikuti bahawa mata yang diberikan M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2, 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) berada pada garis yang sama.

Jika anda ingin mencari sekurang-kurangnya satu jawapan kepada masalah ini daripada bilangan pilihannya yang tidak terhingga, maka anda perlu mengikuti langkah berikut:

1. Tulis persamaan garis lurus M 1 M 2, M 1 M 3 atau M 2 M 3 (jika perlu, lihat bahan tentang tindakan ini).

2. Ambil satu titik M 4 (x 4 , y 4 , z 4) yang tidak terletak pada garis M 1 M 2 .

3. Tuliskan persamaan satah yang melalui tiga titik berbeza M 1 , M 2 dan M 4 yang tidak terletak pada satu garis lurus.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter