Persamaan garis lurus dan lengkung pada satah. Persamaan garis

Sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Bilangan garis lurus yang tidak terhingga boleh dilukis melalui mana-mana titik.

Melalui mana-mana dua titik tidak bertepatan satu garis lurus boleh dilukis.

Dua garis mencapah dalam satah sama ada bersilang pada satu titik atau berada

selari (mengikut dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat tiga pilihan untuk kedudukan relatif dua baris:

• garis bersilang;

• garisan selari;

• garis lurus bersilang.

Lurus barisan— lengkung algebra tertib pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesan

diberikan pada satah oleh persamaan darjah pertama (persamaan linear).

Persamaan am garis lurus.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

dan berterusan A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil umum

persamaan garis lurus. Bergantung pada nilai pemalar A, B Dan DENGAN Kes khas berikut adalah mungkin:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui asalan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = C = 0, A ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

. A = C = 0, B ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana yang diberikan

syarat awal.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan, vektor dengan komponen (A, B)

berserenjang dengan garis yang diberikan oleh persamaan

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui suatu titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari pekali C

Mari kita gantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil Kita dapat: 3 - 2 + C = 0, oleh itu

C = -1. Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua mata diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dan M2 (x 2, y 2, z 2), Kemudian persamaan garis,

melalui titik-titik ini:

Jika mana-mana penyebut adalah sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar. hidup

satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k dipanggil cerun langsung.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kecerunan.

Jika persamaan am garis Ax + Wu + C = 0 membawa kepada:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil

persamaan garis lurus dengan kecerunan k.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan tugasan

garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi syarat

Aα 1 + Bα 2 = 0 dipanggil vektor arah garis lurus.

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Mengikut definisi,

pekali mesti memenuhi syarat berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

di x = 1, y = 2 kita dapat C/A = -3, iaitu persamaan yang diperlukan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan -С, kita dapat:

atau di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali a ialah koordinat titik persilangan

lurus dengan paksi Oh, A b- koordinat titik persilangan garis dengan paksi Oh.

Contoh. Persamaan am garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis.

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + Wu + C = 0 bahagi dengan nombor yang dipanggil

faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis.

Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ*C< 0.

r- panjang serenjang jatuh dari asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Oh.

Contoh. Persamaan am garis diberikan 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

Persamaan garis:

cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus,

selari dengan paksi atau melalui asalan.

Sudut antara garis lurus pada satah.

Definisi. Jika dua baris diberi y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini

akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Langsung Ax + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 selari apabila pekali adalah berkadar

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis

didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu.

Definisi. Garisan yang melalui satu titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Teorem. Jika mata diberi M(x 0, y 0), kemudian jarak ke garis lurus Ax + Wu + C = 0 ditakrifkan sebagai:

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1)- tapak serenjang jatuh dari satu titik M untuk diberikan

langsung. Kemudian jarak antara titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan pada 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 secara berserenjang

diberi garis lurus. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem terbukti.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis lurus. Keadaan keselarian dan keserenjangan dua garis lurus. Menentukan titik persilangan dua garis

Contoh masalah dengan penyelesaian

Cari persamaan garis yang melalui dua titik: (-1, 2) dan (2, 1).

Penyelesaian.

Menurut Pers.

mempercayainya x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (tidak kira mata mana yang dianggap pertama dan mata mana yang dianggap kedua), kita dapat

selepas dipermudahkan kita memperoleh persamaan akhir yang diperlukan dalam bentuk

x + 3y - 5 = 0.

Sisi segi tiga diberikan oleh persamaan: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (A.C. ) x - y + 2 = 0, (B.C. ) 3 x + 4 y -12 = 0. Cari koordinat bucu segitiga itu.

Penyelesaian.

Koordinat puncak A kita dapati dengan menyelesaikan sistem yang terdiri daripada persamaan sisi AB Dan A.C.:

Kami menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui menggunakan kaedah yang diketahui daripada algebra asas, dan kami memperoleh

Puncak A mempunyai koordinat

Koordinat puncak B kita akan dapati dengan menyelesaikan sistem persamaan sisi AB Dan B.C.:

kita terima.

Koordinat puncak C kita perolehi dengan menyelesaikan sistem persamaan sisi B.C. Dan A.C.:

Puncak C mempunyai koordinat.

A (2, 5) selari dengan baris 3x - 4 y + 15 = 0.

Penyelesaian.

Mari kita buktikan bahawa jika dua garis adalah selari, maka persamaannya sentiasa boleh diwakili sedemikian rupa sehingga ia hanya berbeza dalam sebutan bebasnya. Sesungguhnya, daripada keadaan selari dua baris ia mengikutinya.

Mari kita nyatakan dengan t nilai keseluruhan perhubungan ini. Kemudian

dan daripada ini ia mengikuti itu

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Jika dua baris

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

adalah selari, keadaan (1) dipenuhi, dan, menggantikan dalam persamaan pertama ini A 1 dan B 1 mengikut formula (1), kita akan ada

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

atau, membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan , kita dapat

Membandingkan persamaan yang terhasil dengan persamaan garis lurus kedua A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, kami perhatikan bahawa persamaan ini hanya berbeza dalam sebutan bebas; Oleh itu kami telah membuktikan apa yang diperlukan. Sekarang mari kita mula menyelesaikan masalah. Kami akan menulis persamaan garis yang dikehendaki sedemikian rupa sehingga ia akan berbeza daripada persamaan garis yang diberikan hanya dengan sebutan bebas: kami akan mengambil dua sebutan pertama dalam persamaan yang dikehendaki daripada persamaan ini, dan kami akan menandakannya tempoh percuma oleh C. Kemudian persamaan yang diperlukan akan ditulis dalam bentuk

3x - 4y + C = 0, (3)

dan akan ditentukan C.

Memberi dalam persamaan (3) nilai C semua nilai sebenar yang mungkin, kita memperoleh satu set garis selari dengan yang diberikan. Oleh itu, persamaan (3) ialah persamaan bukan satu garis, tetapi bagi seluruh keluarga garis yang selari dengan garis 3 tertentu. x - 4y+ 15 = 0. Daripada keluarga garisan ini, kita harus memilih satu yang melalui titik itu A(2, 5).

Jika garis melalui satu titik, maka koordinat titik ini mesti memenuhi persamaan garis itu. Dan oleh itu kita akan tentukan C, jika dalam (3) kita gantikan bukannya koordinat semasa x Dan y koordinat titik A, iaitu x = 2, y= 5. Kita dapat dan C = 14.

Nilai yang ditemui C gantikan kepada (3), dan persamaan yang diperlukan akan ditulis seperti berikut:

3x - 4y + 14 = 0.

Masalah yang sama boleh diselesaikan dengan cara lain. Oleh kerana pekali sudut garis selari adalah sama antara satu sama lain, dan untuk garis tertentu 3 x - 4y+ 15 = 0 kecerunan, maka kecerunan garis lurus yang dikehendaki juga sama.

Sekarang kita menggunakan persamaan y - y 1 = k(x - x 1) sekumpulan garis lurus. titik A(2, 5) yang melaluinya garis lurus diketahui oleh kita, dan oleh itu, menggantikan ke dalam persamaan pensel garis lurus y - y 1 = k(x - x 1) nilai, kita dapat

atau selepas dipermudahkan 3 x - 4y+ 14 = 0, iaitu sama seperti sebelumnya.

Cari persamaan garis yang melalui suatu titikA (3, 4) pada sudut 60 darjah kepada garis lurus 2x + 3 y + 6 = 0.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan masalah, kita perlu menentukan pekali sudut garis I dan II (lihat rajah). Mari kita nyatakan pekali ini masing-masing dengan k 1 dan k 2, dan pekali sudut garis ini adalah melalui k. Ia adalah jelas bahawa.

Berdasarkan definisi sudut antara dua garis lurus, apabila menentukan sudut antara garis tertentu dan garis lurus, saya mengikuti dalam pengangka pecahan dalam rumus.

tolak kecerunan garis ini, kerana ia perlu diputar mengikut lawan jam di sekeliling titik C sehingga ia bertepatan dengan garis lurus I.

Memandangkan itu, kita dapat

Apabila menentukan sudut antara garis II dan garis tertentu, seseorang harus menolak pekali sudut garis II dalam pengangka bagi pecahan yang sama, i.e. k 2, kerana garisan II harus diputar mengikut lawan jam di sekeliling titik B sehingga ia bertepatan dengan baris ini:

Cari persamaan garis yang melalui suatu titikA (5, -1) berserenjang dengan garis 3x - 7 y + 14 = 0.

Penyelesaian.

Jika dua baris

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

adalah serenjang, maka kesamaan

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

atau, apa yang sama,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

dan daripada ini ia mengikuti itu

Kami menandakan makna umum ungkapan ini dengan t.

Kemudian ia mengikuti itu

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Menggantikan nilai-nilai ini A 2 dan B 2 dan persamaan baris kedua, kita dapat

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

atau, membahagi dengan t kedua-dua belah kesamarataan, kita akan ada

Membandingkan persamaan yang terhasil dengan persamaan garis lurus pertama

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

kita perhatikan bahawa pekali mereka pada x Dan y telah bertukar tempat, dan tanda antara sebutan pertama dan kedua telah bertukar kepada sebaliknya, tetapi syarat percuma adalah berbeza.

Sekarang mari kita mula menyelesaikan masalah. Ingin menulis persamaan garis yang berserenjang dengan garis 3 x - 7y+ 14 = 0, berdasarkan kesimpulan yang dibuat di atas, kami akan meneruskan seperti berikut: kami akan menukar pekali untuk x Dan y, dan gantikan tanda tolak di antara mereka dengan tanda tambah, dan nyatakan istilah bebas dengan huruf C. Kami mendapat 7 x + 3y + C= 0. Persamaan ini ialah persamaan keluarga garis yang berserenjang dengan garis 3 x - 7y+ 14 = 0. Takrifkan C daripada keadaan bahawa garis yang dikehendaki melalui titik itu A(5, -1). Adalah diketahui bahawa jika garis melalui titik, maka koordinat titik ini mesti memenuhi persamaan garis. Menggantikan 5 ke dalam persamaan terakhir dan bukannya x dan -1 sebaliknya y, kita dapat

Inilah maksudnya C Gantikan ke dalam persamaan terakhir dan dapatkan

7x + 3y - 32 = 0.

Mari kita selesaikan masalah yang sama dengan cara yang berbeza, menggunakan untuk ini persamaan pensel garis lurus

y - y 1 = k(x - x 1).

Kecerunan garisan ini ialah 3 x - 7y + 14 = 0

maka pekali sudut garis yang berserenjang dengannya,

Menggantikan ke dalam persamaan pensel garis lurus , dan sebaliknya x 1 dan y 1 koordinat titik ini A(5, -1), cari , atau 3 y + 3 = -7x+ 35, dan akhirnya 7 x + 3y- 32 = 0, iaitu sama seperti sebelumnya.

Persamaan terdapat banyak lengkung apabila membaca kesusasteraan ekonomi Mari kita tunjukkan beberapa keluk ini.

Keluk indiferen - lengkung yang menunjukkan gabungan berbeza dua produk yang mempunyai nilai yang sama, atau utiliti, untuk pengguna.

Keluk Belanjawan Pengguna - keluk yang menunjukkan kombinasi berbeza kuantiti dua barang yang boleh dibeli oleh pengguna pada tahap tertentu pendapatan wangnya.

Keluk kemungkinan pengeluaran - keluk yang menunjukkan gabungan berbeza dua barangan atau perkhidmatan yang boleh dihasilkan dalam keadaan guna tenaga penuh dan keluaran penuh dalam ekonomi dengan bekalan sumber yang berterusan dan teknologi yang berterusan.

Keluk permintaan pelaburan - keluk yang menunjukkan dinamik kadar faedah dan jumlah pelaburan pada kadar faedah yang berbeza.

Lengkung Phillips- keluk yang menunjukkan wujudnya hubungan yang stabil antara kadar pengangguran dan kadar inflasi.

Lengkung Laffer- keluk yang menunjukkan hubungan antara kadar cukai dan hasil cukai, mengenal pasti kadar cukai di mana hasil cukai mencapai maksimum.

Penyenaraian istilah yang ringkas menunjukkan betapa pentingnya ahli ekonomi dapat membina graf dan menganalisis persamaan lengkung, iaitu garis lurus dan lengkung tertib kedua - bulatan, elips, hiperbola, parabola. Di samping itu, apabila menyelesaikan kelas masalah yang besar, adalah perlu untuk memilih kawasan pada satah yang dibatasi oleh beberapa lengkung yang persamaannya diberikan Selalunya, masalah ini dirumuskan seperti berikut: cari rancangan pengeluaran terbaik untuk sumber yang diberikan. Penyerahan sumber biasanya berbentuk ketaksamaan, yang persamaannya diberikan. Oleh itu, kita perlu mencari nilai terbesar atau terkecil yang diambil oleh fungsi tertentu dalam kawasan yang ditentukan oleh persamaan sistem ketaksamaan.

Dalam geometri analitik garisan di atas kapal terbang ditakrifkan sebagai set titik yang koordinatnya memenuhi persamaan F(x,y)=0. Dalam kes ini, sekatan mesti dikenakan ke atas fungsi F supaya, dalam satu pihak, persamaan ini mempunyai set penyelesaian tak terhingga dan, sebaliknya, supaya set penyelesaian ini tidak mengisi "sekeping satah". .” Kelas garisan yang penting ialah yang mana fungsi F(x,y) ialah polinomial dalam dua pembolehubah, di mana garis yang ditakrifkan oleh persamaan F(x,y)=0 dipanggil algebra. Garis algebra yang ditakrifkan oleh persamaan darjah pertama ialah garis lurus. Persamaan darjah kedua, yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, mentakrifkan elips, hiperbola, parabola, atau garis yang berpecah kepada dua garis lurus.

Biarkan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat ditentukan pada satah. Garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh salah satu persamaan:

1 0 . Persamaan am garis

Ax + By + C = 0. (2.1)

vektor n(A,B) adalah ortogon kepada garis, nombor A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.

2 0 . Persamaan garis lurus dengan kecerunan

y - y o = k (x - x o), (2.2)

di mana k ialah kecerunan garis, iaitu, k = tg a , di mana a - magnitud sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan paksi Ox, M (x o, y o) - beberapa titik kepunyaan garis lurus.

Persamaan (2.2) mengambil bentuk y = kx + b jika M (0, b) ialah titik persilangan garis lurus dengan paksi Oy.

3 0 . Persamaan garis dalam segmen

x/a + y/b = 1, (2.3)

di mana a dan b ialah nilai segmen yang dipotong oleh garis lurus pada paksi koordinat.

4 0 . Persamaan garis yang melalui dua titik yang diberi ialah A(x 1, y 1) dan B(x 2, y 2):

. (2.4)

5 0 . Persamaan garis yang melalui titik tertentu A(x 1, y 1) selari dengan vektor tertentu a(m, n)

. (2.5)

6 0 . Persamaan normal garis

rn o - p = 0, (2.6)

di mana r- jejari titik arbitrari M(x, y) garis ini, n o ialah vektor unit ortogon ke garis ini dan diarahkan dari asal ke garis; p ialah jarak dari asal ke garis lurus.

Normal dalam bentuk koordinat mempunyai bentuk:

x cos a + y sin a - p = 0,

di mana a - magnitud sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan paksi Lembu.

Persamaan pensel garis dengan pusat di titik A(x 1, y 1) mempunyai bentuk:

y-y 1 = l (x-x 1),

di mana l - parameter rasuk. Jika rasuk ditakrifkan oleh dua garis lurus bersilang A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, maka persamaannya mempunyai bentuk:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

di mana l dan m - parameter rasuk yang tidak bertukar kepada 0 pada masa yang sama.

Sudut antara garis y = kx + b dan y = k 1 x + b 1 diberikan oleh formula:

tg j = .

Kesamaan 1 + k 1 k = 0 adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan garisan.

Untuk kedua-dua persamaan

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

memandangkan garis lurus yang sama, adalah perlu dan mencukupi bahawa pekalinya adalah berkadar:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

Persamaan (2.7), (2.8) mentakrifkan dua garis selari berbeza jika A 1 /A 2 = B 1 /B 2 dan B 1 /B 2¹ C1/C2; garis bersilang jika A 1 /A 2¹ B 1 / B 2 .

Jarak d dari titik M o (x o, y o) ke garis lurus ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik M o ke garis lurus. Jika garis lurus diberikan oleh persamaan normal, maka d =ê r O n o - r ê , Di mana r o - vektor jejari titik M o atau, dalam bentuk koordinat, d =ê x o cos a + y o sin a - р ê .

Persamaan am bagi lengkung tertib kedua mempunyai bentuk

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Diandaikan bahawa antara pekali persamaan a 11, a 12, a 22 terdapat bukan sifar.

Persamaan bulatan dengan pusat di titik C(a, b) dan jejari sama dengan R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Ellipseialah lokus geometri titik yang jumlah jaraknya dari dua titik F 1 dan F 2 (fokus) ialah nilai malar bersamaan dengan 2a.

Persamaan kanonik (paling mudah) bagi elips

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Elips yang diberikan oleh persamaan (2.10) adalah simetri berkenaan dengan paksi koordinat. Pilihan a Dan b dipanggil aci gandar elips.

Biarkan a>b, maka fokus F 1 dan F 2 berada pada paksi Ox pada satu jarak
c = dari asal. Nisbah c/a = e < 1 называется kesipian elips. Jarak dari titik M(x, y) elips ke fokusnya (vektor jejari fokus) ditentukan oleh formula:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Jika a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Jika a = b, maka elips ialah bulatan berpusat pada asal jejari a.

Hiperbolaialah lokus titik yang perbezaan jaraknya dari dua titik F 1 dan F 2 (fokus) adalah sama dalam nilai mutlak dengan nombor 2a yang diberi.

Persamaan hiperbola kanonik

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hiperbola yang diberikan oleh persamaan (2.11) adalah simetri tentang paksi koordinat. Ia bersilang dengan paksi Ox pada titik A (a,0) dan A (-a,0) - bucu hiperbola dan tidak bersilang dengan paksi Oy. Parameter a dipanggil separuh paksi sebenar, b -separuh paksi khayalan. Parameter c= ialah jarak dari fokus ke asal. Nisbah c/a = e >1 dipanggil kesipian hiperbola. Garis yang persamaannya ialah y =± b/a x dipanggil asimtot hiperbola. Jarak dari titik M(x,y) hiperbola ke fokusnya (vektor jejari fokus) ditentukan oleh formula:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Hiperbola yang a = b dipanggil sama sisi, persamaannya x 2 - y 2 = a 2, dan persamaan asimtot y =± x. Hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 dipanggil berkonjugasi.

Parabolaialah lokus titik yang sama jauh dari titik tertentu (fokus) dan garis tertentu (directrix).

Persamaan kanonik parabola mempunyai dua bentuk:

1) y 2 = 2рx - parabola adalah simetri tentang paksi Ox.

2) x 2 = 2рy - parabola adalah simetri tentang paksi Oy.

Dalam kedua-dua kes, p>0 dan puncak parabola, iaitu, titik yang terletak pada paksi simetri, terletak pada asalan.

Parabola yang persamaan y 2 = 2рx mempunyai fokus F(р/2,0) dan directrix x = - р/2, vektor jejari fokus titik M(x,y) padanya ialah r = x+ р/ 2.

Parabola yang persamaannya x 2 =2рy mempunyai fokus F(0, р/2) dan directrix y = - р/2; vektor jejari fokus titik M(x,y) parabola adalah sama dengan r = y + p/2.

Persamaan F(x, y) = 0 mentakrifkan garis yang membahagikan satah kepada dua bahagian atau lebih. Dalam beberapa bahagian ini ketaksamaan F(x, y) dipenuhi<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Dengan kata lain, garisan
F(x, y)=0 memisahkan bahagian satah, dengan F(x, y)>0, daripada bahagian satah, dengan F(x, y)<0.

Garis lurus yang persamaannya ialah Ax+By+C = 0 membahagikan satah itu kepada dua satah separuh. Dalam amalan, untuk mengetahui separuh satah mana kita mempunyai Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, kaedah pusat pemeriksaan digunakan. Untuk melakukan ini, ambil titik kawalan (sudah tentu, tidak terletak pada garis lurus yang persamaannya ialah Ax+By+C = 0) dan semak apakah tanda ungkapan Ax+By+C pada ketika ini. Tanda yang sama mempunyai ungkapan yang ditunjukkan di seluruh separuh satah di mana titik kawalan terletak. Dalam satah separuh kedua, Ax+By+C mempunyai tanda yang bertentangan.

Ketaksamaan tak linear dengan dua yang tidak diketahui diselesaikan dengan cara yang sama.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan ketaksamaan x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Ia boleh ditulis semula sebagai (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Persamaan (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 mentakrifkan bulatan dengan pusat di titik C(2,-3) dan jejari 5. Bulatan membahagikan satah kepada dua bahagian - dalaman dan luaran. Untuk mengetahui ketaksamaan ini yang mana, ambil titik kawalan di kawasan dalam, contohnya, pusat C(2,-3) bulatan kita. Menggantikan koordinat titik C ke sebelah kiri ketaksamaan, kita mendapat nombor negatif -25. Ini bermakna bahawa pada semua titik yang terletak di dalam bulatan ketidaksamaan
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Contoh 1.5.Tuliskan persamaan garis yang melalui titik A(3,1) dan condong ke garis 2x+3y-1 = 0 pada sudut 45 o.

Penyelesaian.Kami akan mencari dalam bentuk y=kx+b. Oleh kerana garis itu melalui titik A, koordinatnya memenuhi persamaan garis, i.e. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Saiz sudut antara garis lurus
y= k 1 x+b 1 dan y= kx+b ditentukan oleh formula tg j = . Oleh kerana pekali sudut k 1 garis lurus asal 2x+3y-1=0 adalah sama dengan - 2/3, dan sudut j = 45 o, maka kita mempunyai persamaan untuk menentukan k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 atau (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Kami mempunyai dua nilai k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Mencari nilai b yang sepadan menggunakan formula b=1-3k, kita memperoleh dua garis lurus yang dikehendaki, persamaannya ialah: x - 5y + 2 = 0 dan
5x + y - 16 = 0.

Contoh 1.6. Pada nilai parameter apa t adakah garis yang persamaannya 3tx-8y+1 = 0 dan (1+t)x-2ty = 0 selari?

Penyelesaian.Garis yang ditakrifkan oleh persamaan am adalah selari jika pekali bagi x Dan y adalah berkadar, i.e. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Menyelesaikan persamaan yang terhasil, kita dapati t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Contoh 1.7. Cari persamaan kord sepunya dua bulatan:
x 2 +y 2 =10 dan x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Penyelesaian.Mari cari titik persilangan bulatan untuk melakukan ini, selesaikan sistem persamaan:

.

Menyelesaikan persamaan pertama, kita dapati nilai x 1 = 3, x 2 = 1. Daripada persamaan kedua - nilai yang sepadan y: y 1 = 1, y 2 = 3. Sekarang kita memperoleh persamaan kord am, mengetahui dua titik A(3,1) dan B(1,3) kepunyaan baris ini: (y-1)/(3 -1) = (x-3)/(1-3), atau y+ x - 4 = 0.

Contoh 1.8. Bagaimanakah titik terletak pada satah yang koordinatnya memenuhi syarat (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Penyelesaian.Ketaksamaan pertama sistem menentukan bahagian dalam bulatan, tidak termasuk sempadan, i.e. bulatan dengan pusat pada titik (3,3) dan jejari . Ketaksamaan kedua mentakrifkan separuh satah yang ditakrifkan oleh garis yang persamaannya ialah x = y, dan, kerana ketaksamaan adalah ketat, titik garis itu sendiri tidak tergolong dalam setengah satah, dan semua titik di bawah garis ini tergolong dalam separuh satah. Oleh kerana kami sedang mencari mata yang memenuhi kedua-dua ketaksamaan, kawasan yang kami cari ialah bahagian dalam separuh bulatan.

Contoh 1.9.Hitung panjang sisi segi empat sama yang ditulis dalam elips yang persamaannya ialah x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Penyelesaian.biarlah M(s, s)- bucu segi empat sama terletak pada suku pertama. Kemudian sisi segi empat sama akan sama dengan 2 Dengan. Kerana titik M tergolong dalam elips, koordinatnya memenuhi persamaan elips c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, dari mana
c = ab/ ; Ini bermakna sisi segi empat sama ialah 2ab/.

Contoh 1.10.Mengetahui persamaan asimtot bagi hiperbola y =± 0.5 x dan salah satu titiknya M(12, 3), susun persamaan hiperbola itu.

Penyelesaian.Mari kita tulis persamaan kanonik hiperbola: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asimtot hiperbola diberikan oleh persamaan y =± 0.5 x, yang bermaksud b/a = 1/2, dari mana a=2b. Kerana M ialah titik hiperbola, maka koordinatnya memenuhi persamaan hiperbola, i.e. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Memandangkan a = 2b, kita dapati b: b 2 =9Þ b=3 dan a=6. Maka persamaan hiperbola ialah x 2/36 - y 2/9 = 1.

Contoh 1.11.Hitung panjang sisi bagi segi tiga sekata ABC yang ditulis dalam parabola dengan parameter r, dengan mengandaikan bahawa titik A bertepatan dengan bucu parabola.

Penyelesaian.Persamaan kanonik parabola dengan parameter r mempunyai bentuk y 2 = 2рx, puncaknya bertepatan dengan asalan, dan parabola adalah simetri tentang paksi absis. Oleh kerana garis lurus AB membentuk sudut 30 o dengan paksi Ox, persamaan garis lurus mempunyai bentuk: y = x. sejumlah besar carta

Oleh itu, kita boleh mencari koordinat titik B dengan menyelesaikan sistem persamaan y 2 = 2рx, y = x, dari mana x = 6р, y = 2р. Ini bermakna jarak antara titik A(0,0) dan B(6р,2р) adalah sama dengan 4р.

Garis yang melalui titik K(x 0 ; y 0) dan selari dengan garis y = kx + a didapati dengan rumus:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Di mana k ialah kecerunan garis.

Formula alternatif:
Garis yang melalui titik M 1 (x 1 ; y 1) dan selari dengan garis Ax+By+C=0 diwakili oleh persamaan

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Contoh No. 1. Tulis persamaan untuk garis lurus yang melalui titik M 0 (-2,1) dan pada masa yang sama:
a) selari dengan garis lurus 2x+3y -7 = 0;
b) berserenjang dengan garis lurus 2x+3y -7 = 0.
Penyelesaian . Mari kita bayangkan persamaan dengan cerun dalam bentuk y = kx + a. Untuk melakukan ini, alihkan semua nilai kecuali y ke sebelah kanan: 3y = -2x + 7 . Kemudian bahagikan bahagian kanan dengan faktor 3. Kami dapat: y = -2/3x + 7/3
Mari cari persamaan NK yang melalui titik K(-2;1), selari dengan garis lurus y = -2 / 3 x + 7 / 3
Menggantikan x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 kita dapat:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
atau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 atau 3y + 2x +1 = 0

Contoh No. 2. Tulis persamaan garis selari dengan garis 2x + 5y = 0 dan bentuk, bersama-sama dengan paksi koordinat, segitiga yang luasnya ialah 5.
Penyelesaian . Oleh kerana garisan adalah selari, persamaan garis yang dikehendaki ialah 2x + 5y + C = 0. Luas segi tiga tepat, dengan a dan b ialah kakinya. Mari cari titik persilangan garis yang dikehendaki dengan paksi koordinat:
;
.
Jadi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Mari kita gantikannya ke dalam formula untuk kawasan: . Kami mendapat dua penyelesaian: 2x + 5y + 10 = 0 dan 2x + 5y – 10 = 0.

Contoh No. 3. Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik (-2; 5) dan selari dengan garis 5x-7y-4=0.
Penyelesaian. Garis lurus ini boleh diwakili oleh persamaan y = 5 / 7 x – 4 / 7 (di sini a = 5 / 7). Persamaan garis yang dikehendaki ialah y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) atau 5x-7y+45=0 .

Contoh No. 4. Setelah menyelesaikan contoh 3 (A=5, B=-7) menggunakan formula (2), kita dapati 5(x+2)-7(y-5)=0.

Contoh No. 5. Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik (-2;5) dan selari dengan garis 7x+10=0.
Penyelesaian. Di sini A=7, B=0. Formula (2) memberikan 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Formula (1) tidak terpakai, kerana persamaan ini tidak boleh diselesaikan berkenaan dengan y (garis lurus ini selari dengan paksi ordinat).