Guci mengandungi putih hitam. Masalah tentang bola
Masalah 174tv
a) 3 bola putih;
b) kurang daripada 3 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
Masalah 176tv
Sebuah guci mengandungi 6 bola hitam dan 5 bola putih. 5 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa di antara mereka terdapat:
a) 3 bola putih;
b) kurang daripada 3 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
Masalah 178tv
Sebuah guci mengandungi 4 bola hitam dan 5 bola putih. 4 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa di antara mereka terdapat:
a) 2 bola putih;
b) kurang daripada 2 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
Masalah 180tv
Sebuah urn mengandungi 6 bola hitam dan 7 bola putih. 4 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa di antara mereka terdapat:
a) 4 bola putih;
b) kurang daripada 4 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
Masalah 184tv
Sebuah guci mengandungi 8 bola hitam dan 6 bola putih. 4 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa di antara mereka terdapat:
a) 3 bola putih;
b) kurang daripada 3 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
Masalah 186tv
Sebuah guci mengandungi 4 bola hitam dan 6 bola putih. 4 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa di antara mereka terdapat:
a) 3 bola putih;
b) kurang daripada 3 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
Masalah 188tv
Sebuah urn mengandungi 5 bola hitam dan 6 bola putih. 5 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa di antara mereka terdapat:
a) 4 bola putih;
b) kurang daripada 4 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
Jawatan No 1
Acara Rawak
Pilihan 6.
Tugasan 1.1. Tiga syiling dilemparkan. Cari kebarangkalian bahawa hanya dua syiling akan mempunyai "jata".
Peristiwa A dalam kajian - hanya dua daripada tiga syiling akan mempunyai jata. Syiling mempunyai dua sisi, yang bermaksud bahawa jumlah acara semasa melontar tiga syiling ialah 8. Dalam tiga kes, hanya dua syiling akan mempunyai jata. Kami mengira kebarangkalian peristiwa A menggunakan formula:
P(A) = m/n = 3/8.
Jawab: kebarangkalian 3/8.
Masalah 1.2. Perkataan EVENT terdiri daripada kad, setiap satunya mempunyai satu huruf tertulis di atasnya. Kad itu kemudiannya dicampur dan dikeluarkan satu demi satu tanpa kembali. Cari kebarangkalian bahawa huruf-huruf itu dikeluarkan mengikut susunan perkataan yang diberi.
Ujian ini terdiri daripada mengambil kad dengan huruf dalam susunan rawak tanpa kembali. Peristiwa asas ialah urutan huruf yang terhasil. Peristiwa A terdiri daripada menerima perkataan yang betul ACARA . Peristiwa asas ialah pilih atur 7 huruf, yang bermaksud mengikut formula kita mempunyai n= 7!
Huruf dalam perkataan EVENT tidak berulang, jadi pilih atur tidak boleh dilakukan di mana perkataan itu tidak berubah. Nombor mereka ialah 1.
Oleh itu,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Jawapan: P(A) = 1/5040.
Masalah 1.3. Seperti dalam masalah sebelumnya, cari kebarangkalian yang sepadan bagi kes apabila perkataan yang diberikan ialah perkataan ANTONOV ILYA.
Masalah ini diselesaikan sama seperti yang sebelumnya.
n= 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Jawapan: P(A) =1/9979200.
Masalah 1.4. Sebuah guci mengandungi 8 bola hitam dan 6 bola putih. 5 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa di antara mereka terdapat:
a) 3 bola putih;
b) kurang daripada 3 bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
8 jam Ujian akan mengeluarkan 5 bola secara rawak. peringkat rendah
6 b peristiwa adalah semua kemungkinan gabungan 5 daripada 14 bola. Bilangan mereka adalah sama
a) A 1 - antara bola yang ditarik terdapat 3 bola putih. Ini bermakna antara bola yang ditarik terdapat 3 putih dan 2 hitam. Menggunakan peraturan pendaraban, kita dapat
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.
b) A 2 - antara bola yang ditarik terdapat kurang daripada 3 bola putih. Acara ini terdiri daripada tiga acara yang tidak serasi:
Dalam 1 - antara bola yang ditarik hanya terdapat 2 bola putih dan 3 bola hitam,
Dalam 2 - antara bola yang ditarik hanya terdapat satu bola putih dan 4 bola hitam
Dalam 3 - antara bola yang ditarik tidak ada satu bola putih, semua 5 bola berwarna hitam:
A 2 = B 1 B 2 B 3.
Memandangkan peristiwa B 1, B 2 dan B 3 tidak serasi, anda boleh menggunakan formula:
P(A 2) = P(B 1) + P(B 2) + P(B 3);
P(A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
c) - antara bola yang ditarik tidak ada satu pun bola putih. Dalam kes ini:
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 28/1001 = 973/1001.
Jawapan: P(A 1) = 280/1001, P(A 2) = 483/1001, P(A 3) = 973/1001.
Masalah 1.6. Guci pertama mengandungi 5 bola putih dan 7 bola hitam, dan guci kedua mengandungi 6 bola putih dan 4 bola hitam. 2 bola diambil secara rawak dari urn pertama, dan 2 bola dari yang kedua. Cari kebarangkalian bahawa antara bola yang ditarik:
a) semua bola adalah warna yang sama;
b) hanya tiga bola putih;
c) sekurang-kurangnya satu bola putih.
1 urn 2 urn Bola diambil dari kedua-dua urn secara bebas. Ujian
5 b 6 b sedang melukis dua bola dari bekas pertama dan dua bola
7j 4j dari balang kedua. Acara asas akan menjadi gabungan
2 atau 2 daripada 12 atau 10 bola masing-masing.
2 2 a) A 1 - semua bola yang dilukis adalah sama warna, i.e. adakah mereka semua putih?
atau semua hitam.
Mari kita tentukan semua acara yang mungkin untuk setiap urn:
Dalam 1 - 2 bola putih diambil dari urn pertama;
Dalam 2 - 1 bola putih dan 1 hitam diambil dari urn pertama;
Dalam 3 - 2 bola hitam diambil dari urn pertama;
C 1 - 2 bola putih diambil dari urn kedua;
C 2 - 1 bola putih dan 1 bola hitam diambil dari urn kedua;
Daripada 3 - 2 bola hitam diambil dari urn kedua.
Ini bermakna A 1 = 
, dari mana, dengan mengambil kira kebebasan dan ketidakserasian peristiwa, kita memperoleh
P(A 1) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 3) * P(C 3).
Jom cari kuantiti peristiwa asas n 1 dan n 2 untuk balang pertama dan kedua, masing-masing. Kami ada:
Mari cari bilangan setiap elemen peristiwa yang menentukan peristiwa berikut:
B 1: m 11 = C 1: m 21 =
B 2: m 12 = C 2: m 22 =
B 3: m 13 = C 3: m 23 =
Oleh itu,
P(A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - antara bola yang ditarik hanya ada 3 bola putih. Dalam kes ini
A 2 = (B 1 C 2 (B 2 C 1);
P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 - antara bola yang ditarik terdapat sekurang-kurangnya satu bola putih.
Tidak ada satu bola putih pun di antara bola yang dipulihkan. Kemudian
P() = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 7/165 = 158/165.
Jawapan: P(A 1) = 46/495, P(A 2) = 1/3, P(A 3) = 158/165.
Masalah 1.7. Guci mengandungi 5 bola hitam dan putih, 4 bola putih ditambah kepadanya. Selepas ini, 3 bola diambil secara rawak dari urn. Cari kebarangkalian bahawa semua bola yang dilukis berwarna putih, dengan mengandaikan bahawa semua cadangan yang mungkin tentang kandungan asal urn adalah sama mungkin.
Terdapat dua jenis ujian di sini: pertama, kandungan awal urn ditetapkan dan kemudian bola ke-3 ditarik secara rawak, dengan keputusan ujian kedua bergantung pada keputusan yang pertama. Oleh itu, jumlah formula kebarangkalian digunakan.
acara A - 3 bola putih dilukis secara rawak. Kemungkinan kejadian ini bergantung pada bagaimana gubahan asal bola dalam balang.
Mari kita pertimbangkan peristiwa:
Dalam 1 - terdapat 5 bola putih di dalam urn;
Dalam 2 - terdapat 4 bola putih dan 1 hitam dalam urn;
Dalam 3 - terdapat 3 bola putih dan 2 bola hitam di dalam urn;
Dalam 4 - terdapat 2 bola putih dan 3 bola hitam di dalam urn;
Pada pukul 5 - terdapat 1 bola putih dan 4 bola hitam di dalam tempayan.
Pada 6 - terdapat 5 bola hitam di dalam urn;
Jumlah bilangan hasil asas
Kami akan mencari kebarangkalian bersyarat peristiwa A dalam keadaan yang berbeza.
P(A/B 1) = 1.
P(A/B2) = 56/84 = 2/3.
P(A/B 3) = 35/84 = 5/12.
P(A/B 4) = 5/21.
P(A/B 5) = 5/42.
P(A/B 6) = 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Jawapan: P(A) = 209/504.
Masalah 1.9. Terdapat 11 senapang dalam piramid, 3 daripadanya dengan pemandangan optik. Penembak, menembak dari senapang dengan penglihatan optik, boleh mengenai sasaran dengan kebarangkalian 87/100, dan menembak dari senapang tanpa penglihatan optik, dengan kebarangkalian 52/100. Cari kebarangkalian bahawa seorang penembak akan mengenai sasaran apabila menembak dari senapang rawak.
Memandangkan senapang dipilih satu demi satu, kami memperoleh dan, masing-masing (untuk B 1) dan (untuk B 2); maka P(B 1) = 3/11, P(B 2) = 8/11.
Kebarangkalian bersyarat dinyatakan dalam pernyataan masalah:
P(A/B 1) = 0.87 dan P(A.B 2) = 0.52.
Oleh itu,
P(A) = 0.87 * 3/11 + 0.52 * 8/11 = 0.615.
Jawapan: P(A) =0.615.
Masalah 1.10. Di kedai pemasangan, motor elektrik disambungkan ke peranti. Motor elektrik dibekalkan oleh tiga pengeluar. Dalam stok terdapat motor elektrik kilang-kilang ini, masing-masing, dalam kuantiti M 1 = 13, M 2 = 12, dan M 3 = 17 keping, yang boleh beroperasi tanpa kegagalan sehingga akhir tempoh jaminan dengan kebarangkalian 0.91, 0.82, dan 0.77, masing-masing. Seorang pekerja secara rawak mengambil satu motor elektrik dan memasangnya pada peranti. Cari kebarangkalian bahawa motor elektrik dipasang dan beroperasi tanpa kegagalan sehingga tamat tempoh waranti masing-masing dibekalkan oleh pengeluar pertama, kedua atau ketiga.
Kebarangkalian bersyarat dinyatakan dalam pernyataan masalah: P(A/B 1) = 0.91, P(A/B 2) = 0.82, P(A/B 3) = 0.77.
Sama seperti masalah sebelumnya, mari cari kebarangkalian:
P(B 1) = 13/42 = 0.3095; P(B 2) = 12/42 = 0.2857; P(B 3) = 17/42 = 0.4048;
P(A) = 0.91 * 0.3095 + 0.82 * 0.2857 + 0.77 * 0.4048 = 0.8276.
Menggunakan formula Bayes (1.8.), kita mengira kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa (hipotesis) B 1:
P(B 1 /A) = 
P(B 2 /A) = 
P(B 3 /A) = 
Jawapan: P(B 1 /A) = 0.3403, P(B 2 /A) = 0.2831, P(B 3 /A) = 0.3766
Jawatan No. 2
Pembolehubah rawak.
6 - pilihan.
Tugasan 2.1. Dalam setiap n ujian bebas peristiwa A berlaku dengan kebarangkalian malar 0.36. Hitung semua kebarangkalian p k, k = 0, 1, 2, ..., 11, dengan k ialah kekerapan kejadian A. Lukiskan graf kebarangkalian p k.
Cari kekerapan yang paling berkemungkinan. Ditanya oleh:
n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64. Cari:
p 0, p 1, p 2, ..., p 11 dan k.
Menggunakan formula Bernoulli. Nilai p 0 dikira menggunakan formula pertama, dan kebarangkalian selebihnya p k - menggunakan yang kedua.
Untuk formula kita mengira faktor malar
p/q = 0.36/ 0.64 = 0.5625, p 0 = *0.36 0 * 0.64 11 = 0.0073787.
Kami menulis keputusan pengiraan dalam Jadual 1. Jika pengiraan adalah betul, maka kesamaan mesti dipenuhi
Menggunakan nilai kebarangkalian yang ditemui, kami akan membina grafnya (Rajah 1).
Mari cari kekerapan yang paling berkemungkinan mengikut syarat yang diberikan:
np - q = 11 * 0.36 - 0.64 = 3.32.np + k = 4.32
Ini bermakna kekerapan yang paling berkemungkinan ialah k = 4 dan, seperti yang diperoleh sebelum ini, nilai p 3 adalah maksimum.
| Jadual 1 | k | (n-k-1)/ k | Jadual 1 | k | r k |
| - | 0,9926213 |
p k
Rajah 1 Graf kebarangkalian p k Masalah 2.2.
Dalam setiap n percubaan bebas, peristiwa A berlaku dengan kebarangkalian malar 0.47. Cari kebarangkalian peristiwa A berlaku:
a) tepat 330 kali;
b) kurang daripada 330 dan lebih daripada 284 kali;
c) lebih daripada 330 kali. Cari kekerapan yang paling berkemungkinan. A)
n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64. n = 760, p = 0.47, M = 330.
R 760 (330). teorem tempatan Moivre - Laplace. Kami dapati:
Kami mencari nilai fungsi j(x) daripada jadual:
j(1.98) = 0.0562, P 760 (330) = 0.0562/ 13.76 = 0.00408.
b) n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64. R 760 (284 Kami menggunakan teorem kamiran Moivre-Laplace. Kami dapati: Kami mencari nilai fungsi Ф(х) daripada jadual: R 760 (284 V) n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64. R 760 (330 Kami ada: x 1 = -1.98, R 760 (330 Masalah 2.4. Di pertukaran telefon, sambungan yang salah berlaku dengan kebarangkalian 1/800. Cari kebarangkalian bahawa antara 5600 sambungan yang berikut berlaku: a) betul-betul 2 sambungan yang salah; b) kurang daripada 3 sambungan yang salah; c) lebih daripada 8 sambungan yang salah. a) Diberi: n = 5600, p = 1/800, k = 2. n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64. R 800 (2). Kami mendapat: l = 5600 * 1/800 = 7. R 800 (2) = b) Tetapkan k<3. n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64. R 200 (k<3). R 800 (k<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. V) Tetapkan k > 8. n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64. P 800 (k > 8). Masalah ini boleh diselesaikan dengan lebih mudah dengan mencari kebarangkalian peristiwa yang bertentangan, kerana dalam kes ini lebih sedikit istilah yang perlu dikira. Mengambil kira kes sebelum ini, kita ada Р 800 (k>8) = 1 – Р 800 (k8) = 1 - Р 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. Masalah 2.6. Pembolehubah rawak X diberikan oleh siri taburan. Cari fungsi taburan F(x) pembolehubah rawak X dan plotkannya. Kira untuk X nilai puratanya EX, serakan DX dan mod Mo. Mari kita plot fungsi taburan F(x) . Nilai EX purata dikira menggunakan formula: EX = 8*0.11 + 12*0.14 + 16*0.5 + 24*0.25 = 16.56. Varians: E(X 2) = 8 2 *0.11 + 12 2 *0.14 + 16 2 *0.5 + 24 2 *0.25 = 299.2 DX = 299.2 – 16.52 2 = 26.2896. Graf fungsi taburan Masalah 2.7. Pembolehubah rawak X ditentukan oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x) = Cari fungsi taburan F(x) bagi pembolehubah rawak X. Plotkan graf bagi fungsi f(x) dan F(x). Kira untuk X nilai puratanya EX, serakan DX, mod Mo dan median Me. K = 8, R = 12. Kami mencari fungsi taburan F(x) pembolehubah rawak berterusan menggunakan formula: Lukiskan graf bagi fungsi f(x) dan F(x). Nilai purata X dikira menggunakan formula: EX = Untuk mencari varians X, kami menggunakan formula: E(X 2) = DX = 40.5 – (4.5) 2. Graf menunjukkan bahawa f(x) mencapai maksimum pada titik x = 1/2 dan, oleh itu, Mo = 12. Untuk mencari median Me, anda perlu menyelesaikan persamaan x 2 / 256 = 1/2, atau x 2 = 128. Kami mempunyai x = ± 11.31, Me = 11.31. Graf fungsi taburan F(x). Jawatan No. 3. Masalah 3.1 Berdasarkan sampel A dan B Buat siri variasi; Kira frekuensi relatif (frekuensi) dan frekuensi terkumpul; Bina graf siri variasi (poligon dan histogram); Wujudkan fungsi pengedaran empirikal dan plotkannya; Kira ciri berangka siri variasi: min aritmetik, penyebaran, sisihan piawai, median Saya. Masalah 3.2. Kira anggaran tidak berat sebelah parameter populasi ,S 2 , Spo sampel A dan B (menggunakan keputusan yang diperoleh dalam tugasan 3.1.), serta lajur pertama sampel B. Sampel A6 N = 73 Mula selang pertama: 0 Panjang selang: 1 Sampel B6 N = 237 Mula selang pertama: 285 Panjang selang: 7 Penyelesaian masalah. Tugasan 3.1. Mula-mula, mari kita selesaikan masalah untuk sampel A. Kita dapati: x min = 0 dan x max = 11. Julat (11 - 0 + 1 = 12) agak kecil, jadi kami akan mengarang siri variasi mengikut nilai (Jadual 1). Ini bermakna kekerapan yang paling berkemungkinan ialah k = 4 dan, seperti yang diperoleh sebelum ini, nilai p 3 adalah maksimum. Kami mengira semua frekuensi relatif dengan ketepatan yang sama. Apabila membina graf, kami menggambarkan pada nilai paksi-x dari 0 hingga 11 dan pada paksi n i / n - nilai dari 0 hingga 0.25 (Rajah 1 dan 2). nasi. 1. Poligon siri variasi sampel A nasi. 2. Histogram siri variasi sampel A. Kami mencari fungsi taburan empirikal F * (x) menggunakan formula dan frekuensi terkumpul daripada jadual. 1. Kami ada: Apabila memplot graf F * (x), kami memplot nilai fungsi dalam julat dari 0 hingga 1.2 (Rajah 3). Rajah.3. Graf fungsi taburan empirikal sampel A. Pengiraan jumlah bagi min aritmetik dan varians menggunakan formula dan siri variasi (lihat Jadual 1) dibentangkan dalam Jadual. 2. Berdasarkan kekerapan maksimum, kita tentukan c = 7, dan langkah jadual k = 1.
.X
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
Sisihan Piawai 
Mod Mo ialah nilai dengan kekerapan maksimum, i.e. Mo = 7. Median Me ialah nilai ke-37 siri variasi: Me = 7.
Sekarang, dengan menggunakan sampel B, kita akan dapati x min = 288 dan x max = 350. Julat (350 - 288 + 1 = 63) agak besar, jadi kita akan mengarang siri variasi mengikut selang nilai, menggunakan permulaan selang pertama dan panjang selang yang diberikan semasa pensampelan (Jadual 3).
Jadual 3
nasi. 4. Poligon siri variasi sampel B.
nasi. 5. Histogram siri variasi sampel B.
Apabila membina graf, kami memplot sepanjang nilai paksi-x dari 285 hingga 355 dan sepanjang paksi n i / n - nilai dari 0 hingga 0.3 (Rajah 4 dan 5).
Seterusnya, kami mengambil kira bahawa akhir setiap selang diambil sebagai wakil. Mengambil hujung selang dan frekuensi terkumpul yang sepadan sebagai koordinat titik (lihat Jadual 3) dan menyambungkan titik ini dengan garis lurus, kami akan membina graf fungsi taburan empirikal (Rajah 6).
nasi. 6. Graf fungsi taburan empirikal sampel B.
Untuk mengira min aritmetik dan varians menggunakan formula dan jadual. 3 kita takrifkan c = 316 dan k = 7. Kami mengira jumlah menggunakan jadual. 4 (Jadual 4).
Menggunakan formula kita mengira min aritmetik 
dan varians 227.8
Kami mencari median menggunakan formula: Me =.
Masalah 3.2.
Menggunakan formula, kami mencari anggaran tidak berat sebelah bagi varians dan sisihan piawai:
n = 73, S -2 = 5.8143, S 2 = 73/72×5.8143 = 5.8951, S = 2.43.
Untuk sampel B kami ada
393.92, = 177.47, n = 237, S 2 = 237/236×177.47 = 178.222, S = 13.35.
Anggaran tidak berat sebelah untuk lajur pertama sampel B diperoleh dengan cara yang sama (jika sampel ini mengandungi beberapa elemen berulang, siri variasi tidak perlu disusun).
Contoh 1. Dalam balang pertama: tiga bola merah, satu bola putih. Dalam urn kedua: satu bola merah, tiga bola putih. Syiling dilambung secara rawak: jika ia adalah jata, ia dipilih dari urn pertama, jika tidak, dari yang kedua.
Penyelesaian:
a) kebarangkalian bahawa sebiji bola merah telah ditarik
A – mendapat bola merah
P 1 - jata jatuh, P 2 - jika tidak
b) Bola merah dipilih. Cari kebarangkalian bahawa ia diambil daripada bekas pertama daripada bekas kedua.
B 1 – dari bekas pertama, B 2 – dari bekas kedua
,
Contoh 2. Terdapat 4 biji bola di dalam sebuah kotak. Boleh: hanya putih, hanya hitam atau putih dan hitam. (Komposisi tidak diketahui).
Penyelesaian:
A – kebarangkalian bola putih muncul
a) Semua putih:
(kebarangkalian anda mendapat salah satu daripada tiga pilihan di mana terdapat pilihan putih)
(kebarangkalian bola putih muncul di mana semua orang berkulit putih)
b) Ditarik keluar di mana semua orang berkulit hitam
c) menarik keluar pilihan di mana semua orang adalah putih dan/atau hitam
- sekurang-kurangnya satu daripada mereka berwarna putih
P a +P b +P c =
Contoh 3. Terdapat 5 bola putih dan 4 bola hitam di dalam sebuah tempayan. 2 bola dikeluarkan daripadanya berturut-turut. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bola berwarna putih.
Penyelesaian:
5 bola putih, 4 bola hitam
P(A 1) – bola putih dikeluarkan
P(A 2) – kebarangkalian bahawa bola kedua juga berwarna putih
P(A) – bola putih dipilih secara berturut-turut
Contoh 3a. Pek itu mengandungi 2 wang kertas palsu dan 8 wang kertas sebenar. 2 keping wang ditarik keluar dari pek berturut-turut. Cari kebarangkalian bahawa kedua-duanya adalah palsu.
Penyelesaian:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022
Contoh 4. Terdapat 10 tong sampah. Terdapat 9 tempayan dengan 2 bola hitam dan 2 bola putih. Terdapat 5 putih dan 1 hitam dalam 1 urn. Sebiji bola telah diambil daripada bekas yang diambil secara rawak.
Penyelesaian:
P(A) - ? sebiji bola putih diambil daripada bekas yang mengandungi 5 putih
B – kebarangkalian diambil daripada bekas yang mengandungi 5 biji putih
, - dikeluarkan daripada orang lain
C 1 – kebarangkalian bola putih muncul pada tahap 9.
C 2 – kebarangkalian bola putih muncul, di mana terdapat 5 daripadanya
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Contoh 5. 20 penggelek silinder dan 15 penggelek berbentuk kon. Pemetik mengambil 1 roller, dan kemudian satu lagi.
Penyelesaian:
a) kedua-dua penggelek adalah silinder
P(C 1)=; P(Ts 2)=
C 1 – silinder pertama, C 2 – silinder kedua
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Sekurang-kurangnya satu silinder
K 1 – pertama berbentuk kon.
K 2 - berbentuk kon kedua.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) silinder pertama, tetapi bukan yang kedua
P(C)=P(C 1)P(K 2)
e) Bukan satu silinder.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Tepat 1 silinder
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Contoh 6. Terdapat 10 bahagian standard dan 5 bahagian yang rosak di dalam sebuah kotak.
Tiga bahagian dilukis secara rawak
a) Salah satu daripadanya rosak
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – kebarangkalian produk yang rosak
q – kebarangkalian bahagian piawai
n=3, tiga bahagian
b) dua daripada tiga bahagian rosak P(2)
c) sekurang-kurangnya satu standard
P(0) - tiada cacat
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - kebarangkalian sekurang-kurangnya satu bahagian adalah piawai
Contoh 7. Guci pertama mengandungi 3 bola putih dan hitam, dan guci ke-2 mengandungi 3 bola putih dan 4 bola hitam. 2 bola dipindahkan dari urn 1 ke 2nd tanpa melihat, dan kemudian 2 bola ditarik dari 2nd. Apakah kebarangkalian bahawa ia berbeza warna?
Penyelesaian:
Apabila memindahkan bola dari balang pertama, pilihan berikut adalah mungkin:
a) mengeluarkan 2 bola putih berturut-turut
P BB 1 =
Pada langkah kedua akan sentiasa kurang satu bola, kerana pada langkah pertama satu bola sudah dikeluarkan.
b) mengeluarkan satu bola putih dan satu bola hitam
Keadaan apabila bola putih dilukis dahulu, dan kemudian bola hitam
P kepala peledak =
Keadaan apabila bola hitam ditarik dahulu, dan kemudian bola putih
P BW =
Jumlah: P kepala peledak 1 =
c) mengeluarkan 2 bola hitam berturut-turut
P HH 1 =
Memandangkan 2 bola telah dipindahkan dari urn pertama ke urn kedua, jumlah bilangan bola dalam urn kedua ialah 9 (7 + 2). Sehubungan itu, kami akan mencari semua pilihan yang mungkin:
a) mula-mula sebiji bola putih dan kemudian sebiji bola hitam diambil dari balang kedua
P BB 2 P BB 1 - bermaksud kebarangkalian bahawa bola putih mula-mula ditarik, kemudian bola hitam, dengan syarat 2 bola putih diambil dari guci pertama berturut-turut. Itulah sebabnya bilangan bola putih dalam kes ini ialah 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - bermaksud kebarangkalian bahawa bola putih mula-mula ditarik, kemudian bola hitam, dengan syarat bola putih dan hitam diambil dari urn pertama. Itulah sebabnya bilangan bola putih dalam kes ini ialah 4 (3+1), dan bilangan bola hitam ialah lima (4+1).
P BC 2 P BC 1 - bermaksud kebarangkalian bahawa bola putih mula-mula ditarik, kemudian bola hitam, dengan syarat kedua-dua bola hitam diambil dari guci pertama berturut-turut. Itulah sebabnya bilangan bola hitam dalam kes ini ialah 6 (4+2).
Kebarangkalian bahawa 2 bola yang dilukis mempunyai warna yang berbeza adalah sama dengan:
Jawapan: P = 0.54
Contoh 7a. Daripada urn 1 yang mengandungi 5 bola putih dan 3 bola hitam, 2 bola telah dipindahkan secara rawak ke urn ke-2 yang mengandungi 2 bola putih dan 6 bola hitam. Kemudian 1 bola diambil secara rawak dari urn ke-2.
1) Apakah kebarangkalian bahawa bola yang dikeluarkan dari urn ke-2 bertukar menjadi putih?
2) Bola yang diambil dari urn ke-2 ternyata berwarna putih. Hitung kebarangkalian bahawa bola yang berlainan warna telah dipindahkan dari urn pertama ke 2.
Penyelesaian.
1) Peristiwa A - bola yang diambil dari urn ke-2 ternyata berwarna putih. Mari kita pertimbangkan pilihan berikut untuk berlakunya acara ini.
a) Dua bola putih diletakkan dari guci pertama ke dalam kedua: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Terdapat sejumlah 4 bola putih dalam urn kedua. Maka kebarangkalian untuk menarik sebiji bola putih dari bekas kedua ialah P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Bola putih dan hitam diletakkan dari guci pertama ke dalam kedua: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Terdapat sejumlah 3 bola putih dalam urn kedua. Maka kebarangkalian untuk menarik sebiji bola putih dari bekas kedua ialah P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Dua bola hitam diletakkan dari guci pertama ke dalam kedua: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Terdapat sejumlah 2 bola putih dalam urn kedua. Maka kebarangkalian untuk menarik sebiji bola putih dari bekas kedua ialah P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Maka kebarangkalian bahawa bola yang diambil dari urn ke-2 ternyata berwarna putih ialah:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Bola yang diambil dari urn ke-2 ternyata berwarna putih, i.e. jumlah kebarangkalian ialah P(A)=13/32.
Kebarangkalian bahawa bola yang berlainan warna (hitam dan putih) diletakkan di dalam bekas kedua dan putih dipilih: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Contoh 7b. Guci pertama mengandungi 8 bola putih dan 3 bola hitam, guci kedua mengandungi 5 bola putih dan 3 bola hitam. Satu bola dipilih secara rawak dari yang pertama, dan dua bola dari yang kedua. Selepas ini, satu bola diambil secara rawak daripada tiga bola yang dipilih. Bola terakhir ini ternyata berwarna hitam. Cari kebarangkalian bahawa sebiji bola putih diambil dari urn pertama.
Penyelesaian.
Mari kita pertimbangkan semua varian acara A - daripada tiga bola, bola yang ditarik ternyata hitam. Bagaimanakah boleh berlaku di antara ketiga-tiga bola itu terdapat bola hitam?
a) Sebiji bola hitam diambil dari balang pertama, dan dua bola putih diambil dari balang kedua.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Sebiji bola hitam diambil dari balang pertama, dua bola hitam diambil dari balang kedua.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Sebiji bola hitam diambil dari balang pertama, satu bola putih dan satu bola hitam diambil dari balang kedua.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Sebiji bola putih diambil dari balang pertama, dan dua bola hitam diambil dari balang kedua.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Sebiji bola putih diambil dari balang pertama, satu bola putih dan satu bola hitam diambil dari balang kedua.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Jumlah kebarangkalian ialah: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Kebarangkalian sebiji bola putih diambil dari bekas putih ialah:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Maka kebarangkalian bahawa bola putih telah dipilih daripada guci pertama, memandangkan bola hitam dipilih daripada tiga bola, adalah sama dengan:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Contoh 7c. Guci pertama mengandungi 12 bola putih dan 16 bola hitam, guci kedua mengandungi 8 bola putih dan 10 bola hitam. Pada masa yang sama, sebiji bola diambil dari urn 1 dan 2, dicampur dan dikembalikan satu kepada setiap urn. Kemudian sebiji bola diambil dari setiap urn. Mereka ternyata mempunyai warna yang sama. Tentukan kebarangkalian bahawa terdapat banyak bola putih yang tinggal dalam urn pertama seperti yang terdapat pada permulaan.
Penyelesaian.
Acara A - sebiji bola diambil serentak dari guli pertama dan kedua.
Kebarangkalian melukis bola putih dari balang pertama: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Kebarangkalian menarik bola hitam dari balang pertama: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Kebarangkalian melukis bola putih dari balang kedua: P2(B) = 8/18 = 4/9
Kebarangkalian menarik bola hitam dari balang kedua: P2(H) = 10/18 = 5/9
Peristiwa A berlaku. Acara B - sebiji bola diambil dari setiap balang. Selepas dikocok, kebarangkalian bola putih atau hitam kembali ke dalam bekas ialah ½.
Mari kita pertimbangkan pilihan untuk acara B - mereka ternyata mempunyai warna yang sama.
Untuk balang pertama
1) sebiji bola putih diletakkan di dalam urn pertama dan sebiji bola putih dicabut, dengan syarat sebiji bola putih dicabut sebelum ini, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) sebiji bola putih diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola putih ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola hitam ditarik keluar lebih awal, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) sebiji bola putih diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola putih ditarik keluar lebih awal, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) sebiji bola putih diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola hitam ditarik keluar lebih awal, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) sebiji bola hitam diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola putih ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola putih ditarik keluar lebih awal, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/ 392
6) sebiji bola hitam diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola putih ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola hitam ditarik keluar lebih awal, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) sebiji bola hitam diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola putih ditarik keluar lebih awal, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) sebiji bola hitam diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola hitam ditarik lebih awal, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Untuk balang kedua
1) sebiji bola putih diletakkan di dalam urn pertama dan sebiji bola putih dicabut, dengan syarat sebiji bola putih dicabut sebelum ini, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) sebiji bola putih diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola putih ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola hitam ditarik keluar lebih awal, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) sebiji bola putih diletakkan dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola putih ditarik keluar lebih awal, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) sebiji bola putih diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola hitam ditarik keluar lebih awal, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) sebiji bola hitam dimasukkan ke dalam bekas pertama dan sebiji bola putih ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola putih ditarik keluar lebih awal, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) sebiji bola hitam diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola putih ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola hitam ditarik keluar lebih awal, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) sebiji bola hitam diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam ditarik keluar, dengan syarat sebiji bola putih ditarik keluar lebih awal, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) sebiji bola hitam diletakkan di dalam bekas pertama dan sebiji bola hitam telah dilukis, dengan syarat sebiji bola hitam telah dilukis lebih awal, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Bola ternyata mempunyai warna yang sama:
a) putih
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) hitam
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Contoh 7d. Kotak pertama mengandungi 5 bola putih dan 4 bola biru, yang kedua mengandungi 3 dan 1, dan yang ketiga masing-masing mengandungi 4 dan 5. Sebuah kotak dipilih secara rawak dan sebiji bola yang ditarik keluar daripadanya ternyata berwarna biru. Apakah kebarangkalian bahawa bola ini adalah dari kotak kedua?
Penyelesaian.
A - acara melukis bola biru. Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan hasil acara sedemikian.
H1 - bola yang diambil dari kotak pertama,
H2 - bola ditarik keluar dari kotak kedua,
H3 - bola yang diambil dari kotak ketiga.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Mengikut syarat masalah, kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A adalah sama dengan:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Kebarangkalian bahawa bola ini adalah dari kotak kedua ialah:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2
Contoh 8. Lima kotak dengan 30 bola setiap satu mengandungi 5 bola merah (ini adalah kotak gubahan H1), enam kotak lain dengan 20 bola setiap satu mengandungi 4 bola merah (ini adalah kotak gubahan H2). Cari kebarangkalian bahawa sebiji bola merah yang diambil secara rawak terkandung dalam salah satu daripada lima kotak pertama.
Penyelesaian: Masalahnya adalah untuk menggunakan formula kebarangkalian jumlah.
P(H 1) = 5/11
Kebarangkalian itu mana-mana bola yang diambil terkandung dalam satu daripada enam kotak:
P(H2) = 6/11
Peristiwa itu berlaku - bola merah ditarik keluar. Oleh itu, ini boleh berlaku dalam dua kes:
a) ditarik keluar dari lima kotak pertama.
P 5 = 5 bola merah * 5 kotak / (30 bola * 5 kotak) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) ditarik keluar dari enam kotak lain.
P 6 = 4 bola merah * 6 kotak / (20 bola * 6 kotak) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Jumlah: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Oleh itu, kebarangkalian bahawa bola merah yang ditarik secara rawak terkandung dalam salah satu daripada lima kotak pertama ialah:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Contoh 9. Guci mengandungi 2 bola putih, 3 hitam dan 4 bola merah. Tiga bola diambil secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya dua bola akan mempunyai warna yang sama?
Penyelesaian. Terdapat tiga kemungkinan hasil:
a) antara tiga bola yang ditarik terdapat sekurang-kurangnya dua bola putih.
P b (2) = P 2b
Jumlah bilangan hasil asas yang mungkin untuk ujian ini adalah sama dengan bilangan cara di mana 3 bola boleh diekstrak daripada 9:
Mari kita cari kebarangkalian bahawa antara 3 bola yang dipilih, 2 adalah putih.
Bilangan pilihan untuk dipilih daripada 2 bola putih:
Bilangan pilihan untuk dipilih daripada 7 bola lain bola ketiga:
b) antara tiga bola yang ditarik terdapat sekurang-kurangnya dua bola hitam (iaitu sama ada 2 hitam atau 3 hitam).
Mari kita cari kebarangkalian bahawa antara 3 bola yang dipilih, 2 adalah hitam.
Bilangan pilihan untuk dipilih daripada 3 bola hitam:
Bilangan pilihan untuk dipilih daripada 6 bola lain bagi satu bola:
P 2j = 0.214
Mari kita cari kebarangkalian bahawa semua bola yang dipilih adalah hitam.
P h (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259
c) antara tiga bola yang ditarik terdapat sekurang-kurangnya dua bola merah (iaitu, sama ada 2 merah atau 3 merah).
Mari kita cari kebarangkalian bahawa antara 3 bola yang dipilih, 2 adalah merah.
Bilangan pilihan untuk dipilih daripada 4 bola hitam:
Bilangan pilihan untuk dipilih: 5 bola putih, baki 1 putih:
Mari kita cari kebarangkalian bahawa semua bola yang dipilih berwarna merah.
P hingga (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Maka kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya dua bola akan berwarna sama adalah sama dengan: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138
Contoh 10. Guci pertama mengandungi 10 bola, 7 daripadanya berwarna putih; Guci kedua mengandungi 20 bola, 5 daripadanya berwarna putih. Satu bola diambil secara rawak dari setiap guci, dan kemudian satu bola diambil secara rawak daripada kedua-dua bola ini. Cari kebarangkalian bahawa bola putih itu dilukis.
Penyelesaian. Kebarangkalian sebiji bola putih diambil dari bekas pertama ialah P(b)1 = 7/10. Sehubungan itu, kebarangkalian untuk menarik bola hitam ialah P(h)1 = 3/10.
Kebarangkalian sebiji bola putih diambil dari bekas kedua ialah P(b)2 = 5/20 = 1/4. Sehubungan itu, kebarangkalian untuk menarik bola hitam ialah P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Acara A - bola putih diambil daripada dua bola
Mari kita pertimbangkan kemungkinan hasil peristiwa A.
- Sebiji bola putih diambil dari tempayan pertama, dan sebiji bola putih dari tempayan kedua. Kemudian sebiji bola putih diambil dari kedua-dua bola ini. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Sebiji bola putih diambil dari bekas pertama dan sebiji bola hitam diambil dari bekas kedua. Kemudian sebiji bola putih diambil dari kedua-dua bola ini. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Sebiji bola hitam diambil dari urn pertama, dan bola putih dari urn kedua. Kemudian sebiji bola putih diambil dari kedua-dua bola ini. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Contoh 11. Terdapat n bola tenis di dalam kotak. Daripada jumlah ini, m telah dimainkan. Untuk permainan pertama, dua bola diambil secara rawak dan diletakkan semula selepas permainan. Untuk permainan kedua kami juga mengambil dua bola secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa permainan kedua akan dimainkan dengan bola baru?
Penyelesaian. Pertimbangkan acara A - permainan ini dimainkan untuk kali kedua dengan bola baru. Mari lihat peristiwa yang boleh membawa kepada ini.
Mari kita nyatakan dengan g = n-m bilangan bola baru sebelum ditarik keluar.
a) untuk permainan pertama dua bola baru ditarik keluar.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) untuk permainan pertama, mereka mengeluarkan satu bola baru dan satu sudah bermain satu.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) untuk permainan pertama, dua bola yang dimainkan telah ditarik keluar.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Mari kita lihat peristiwa permainan kedua.
a) Dua bola baru telah diundi, dalam keadaan P1: kerana bola baru telah dicabut untuk permainan pertama, maka untuk permainan kedua bilangannya berkurangan sebanyak 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Dua bola baru telah diundi, dalam keadaan P2: kerana satu bola baru telah dicabut untuk permainan pertama, maka untuk permainan kedua bilangannya berkurangan sebanyak 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Dua bola baru telah ditarik, dalam keadaan P3: oleh kerana sebelum ini tiada bola baru digunakan untuk permainan pertama, nombornya tidak berubah untuk permainan kedua g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Jumlah kebarangkalian P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Jawapan: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Contoh 12. Kotak pertama, kedua dan ketiga mengandungi 2 bola putih dan 3 bola hitam, kotak keempat dan kelima mengandungi 1 bola putih dan 1 bola hitam. Sebuah kotak dipilih secara rawak dan sebiji bola diambil daripadanya. Apakah kebarangkalian bersyarat bahawa kotak keempat atau kelima dipilih jika bola yang ditarik berwarna putih?
Penyelesaian.
Kebarangkalian untuk memilih setiap kotak ialah P(H) = 1/5.
Mari kita pertimbangkan kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A - melukis bola putih.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Jumlah kebarangkalian untuk melukis bola putih:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Kebarangkalian bersyarat bahawa kotak keempat dipilih
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Kebarangkalian bersyarat bahawa kotak kelima dipilih
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Secara keseluruhan, kebarangkalian bersyarat bahawa kotak keempat atau kelima dipilih ialah
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546
Contoh 13. Terdapat 7 bola putih dan 4 bola merah di dalam tempayan itu. Kemudian satu lagi bola berwarna putih atau merah atau hitam dimasukkan ke dalam urn dan selepas bercampur sebiji bola dikeluarkan. Ternyata merah. Apakah kebarangkalian bahawa a) sebiji bola merah diletakkan? b) bola hitam?
Penyelesaian.
a) bola merah
Acara A - bola merah diundi. Acara H - bola merah diletakkan. Kebarangkalian sebiji bola merah diletakkan di dalam balang P(H=K) = 1 / 3
Kemudian P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
b) bola hitam
Acara A - bola merah diundi. Acara H - bola hitam diletakkan.
Kebarangkalian bahawa sebiji bola hitam diletakkan di dalam balang P(H=H) = 1/3
Kemudian P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111
Contoh 14. Terdapat dua tempayan dengan bola. Satu mempunyai 10 bola merah dan 5 bola biru, yang kedua mempunyai 5 bola merah dan 7 bola biru. Apakah kebarangkalian bahawa sebiji bola merah akan diambil secara rawak dari guci pertama dan bola biru dari yang kedua?
Penyelesaian. Biarkan acara A1 menjadi bola merah yang ditarik dari urn pertama; A2 - bola biru diambil dari balang kedua:
,
Acara A1 dan A2 adalah bebas. Kebarangkalian kejadian bersama peristiwa A1 dan A2 adalah sama dengan
Contoh 15. Terdapat satu dek kad (36 keping). Dua kad diambil secara rawak berturut-turut. Apakah kebarangkalian bahawa kedua-dua kad yang dikeluarkan akan berwarna merah?
Penyelesaian. Biarkan acara A 1 menjadi kad merah pertama yang dikeluarkan. Acara A 2 - kad merah kedua dikeluarkan. B - kedua-dua kad yang dikeluarkan berwarna merah. Oleh kerana kedua-dua peristiwa A 1 dan peristiwa A 2 mesti berlaku, maka B = A 1 · A 2 . Peristiwa A 1 dan A 2 adalah bergantung, oleh itu, P(B) :
,
Dari sini
Contoh 16. Dua guci mengandungi bola yang hanya berbeza dalam warna, dan dalam guci pertama terdapat 5 bola putih, 11 bola hitam dan 8 bola merah, dan dalam yang kedua terdapat 10, 8, 6 bola, masing-masing. Satu bola diambil secara rawak dari kedua-dua guci. Apakah kebarangkalian kedua-dua bola adalah warna yang sama?
Penyelesaian. Biarkan indeks 1 bermakna putih, indeks 2 bermakna hitam; 3 - warna merah. Biarkan peristiwa A i ialah sebiji bola warna ke-i diambil dari balang pertama; acara B j - sebiji bola berwarna j diambil dari urn kedua; acara A - kedua-dua bola adalah warna yang sama.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Peristiwa A i dan B j adalah bebas, dan A i · B i dan A j · B j tidak serasi untuk i ≠ j. Oleh itu,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Contoh 17. Dari bekas dengan 3 bola putih dan 2 bola hitam, bola ditarik satu demi satu sehingga hitam muncul. Cari kebarangkalian bahawa 3 biji bola akan dikeluarkan daripada bekas itu? 5 bola?
Penyelesaian.
1) kebarangkalian bahawa 3 bola akan diambil dari urn (iaitu bola ketiga akan berwarna hitam, dan dua yang pertama berwarna putih).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) kebarangkalian bahawa 5 biji bola akan dikeluarkan dari urn
Keadaan ini tidak mungkin, kerana hanya 3 bola putih.
P=0
Takrifan klasik kebarangkalian mengurangkan konsep kebarangkalian kepada konsep kebarangkalian sama (kemungkinan sama) kejadian, yang dianggap asas dan tidak tertakluk kepada takrifan formal. Takrifan ini boleh digunakan dalam kes di mana adalah mungkin untuk mengenal pasti kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi dan berkemungkinan sama - hasil asas. Sebagai contoh, pertimbangkan guci dengan bola.
Biarkan sebuah tempayan mengandungi 7 bola yang sama, bercampur rata, 2 daripadanya merah, 1 biru dan 4 putih. Ujian ini terdiri daripada mengambil satu bola secara rawak dari sebuah guci. Setiap peristiwa yang boleh berlaku dalam ujian adalah hasil asas. Dalam contoh ini, terdapat tujuh hasil asas, yang akan kami nyatakan E 1 , E 2 ,..., E 7. Hasil E 1 , E 2 - rupa bola merah, E 3 - rupa bola biru, E 4 , E 5 , E 6 , E 7 - rupa bola putih. Dalam acara contoh kami E 1 , E 2 ,... E 7 - berpasangan tidak serasi. Di samping itu, mereka juga sama mungkin dalam ujian ini. Biarkan acara itu A terletak pada fakta bahawa bola yang diambil secara rawak dari guci ternyata berwarna (merah atau biru).
Mereka hasil asas di mana peristiwa itu menarik minat kita A datang, mereka memanggil hasil yang menggalakkan peristiwa A. Dalam contoh kami, hasil yang menguntungkan acara tersebut A, adalah hasil E 1 , E 2 dan E 3. Munasabah sebagai ukuran kemungkinan sesuatu kejadian berlaku A, iaitu kebarangkalian R(A), ambil nombor yang sama dengan nisbah hasil yang menguntungkan kepada kejadian peristiwa A, kepada bilangan semua hasil yang mungkin. Dalam contoh kita
R Contoh yang kami periksa membawa kami kepada definisi kebarangkalian, yang biasa dipanggil klasik .
Kebarangkalian kejadian A panggil nisbah nombor m hasil yang menguntungkan acara ini kepada jumlah keseluruhan n semua orang hasil asas:
R(A) = . (1.4.4)
Takrifan klasik kebarangkalian berfungsi sebagai model matematik yang baik untuk eksperimen rawak di mana bilangan hasil adalah terhingga, dan hasil itu sendiri adalah sama mungkin.
CONTOH 2. dadu dilempar. Cari kebarangkalian bahawa tidak lebih daripada empat mata akan digulung.
Penyelesaian. Jumlah bilangan hasil asas n= 6 (boleh gulung 1, 2, 3, 4, 5, 6). Di antara hasil ini, acara itu menguntungkan A(tidak lebih daripada empat mata akan digulung) hanya empat keputusan m= 4. Oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan
CONTOH 3. Apakah kebarangkalian meneka 4 nombor apabila mengisi kad lotto sukan “6” daripada “49”?
Penyelesaian. Jumlah bilangan hasil asas eksperimen adalah sama dengan bilangan cara di mana 6 nombor daripada 49 boleh dicoret, iaitu n = C. Mari cari bilangan hasil yang sesuai untuk acara yang kita minati
A= (4 nombor diteka), 4 nombor daripada 6 yang menang boleh dicoret C cara, manakala baki dua nombor mestilah tidak menang. Anda boleh memotong 2 nombor yang salah daripada 43 nombor yang tidak menang C cara. Oleh itu, bilangan hasil yang menggalakkan m = C× C. Dengan mengambil kira bahawa semua hasil eksperimen adalah tidak konsisten dan sama mungkin, kita dapati kebarangkalian yang diperlukan menggunakan formula kebarangkalian klasik:
P(A) = 
CONTOH 4. Nombor telefon yang dipilih secara rawak terdiri daripada 5 digit. Seberapa besar kemungkinan ia mengandungi: 1) semua nombor adalah berbeza; 2) adakah semua nombor ganjil?
Penyelesaian. 1. Oleh kerana setiap lima tempat dalam nombor lima digit boleh mengandungi mana-mana digit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, maka semua nombor lima digit yang berbeza akan 10 5 (00000 - ke-1, 00001 - ke-2, 00002 -ke-3, ..., 99998 - ke-99999, dan akhirnya, ke-99999 - ke-100,000). Nombor di mana semua nombor adalah berbeza adalah susunan 10 unsur 5.
Formula untuk nombor penempatan daripada n unsur oleh Jadual 1:
K! = = n (n - 1) ... (n - k + 1).
Oleh itu, bilangan kes yang menggalakkan m= = 10× 9× 8× 7× 6 dan kebarangkalian yang diingini
P(A) = 
= 0,3024.
2. Daripada 5 digit ganjil (1, 3, 5, 7, 9) anda boleh membentuk 5 5 nombor lima digit yang berbeza. 5 5 ialah bilangan hasil yang menggalakkan m . Oleh kerana semua kes yang sama mungkin n= 10 5 , maka kebarangkalian yang diperlukan
P (A) = = = = 0.03125.
CONTOH 5. Satu dek penuh kad (52 helai) dibahagikan secara rawak kepada dua pek sama 26 helai. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut:
A- setiap pek akan mengandungi dua ace;
DALAM- satu daripada pek tidak akan mengandungi satu ace, dan satu lagi tidak akan mempunyai keempat-empat;
DENGAN- satu pek akan mempunyai satu ace, dan satu lagi akan mempunyai tiga.
Penyelesaian. Jumlah bilangan kemungkinan hasil asas ujian adalah sama dengan bilangan cara di mana 26 kad boleh diekstrak daripada 52, iaitu bilangan kombinasi dari 52 hingga 26, n= . Bilangan acara yang menggalakkan A kes
m= (mengikut peraturan asas kombinatorik), di mana faktor pertama menunjukkan bahawa dua ace daripada empat boleh diambil dengan cara, faktor kedua menunjukkan bahawa baki 24 kad diambil daripada 48 kad yang tidak mengandungi ace dalam cara. Kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang menguntungkan kepada acara itu A, kepada jumlah bilangan semua hasil:
Peristiwa DALAM boleh dicapai dalam dua cara yang sama mungkin: sama ada paket pertama akan mempunyai semua empat ace, dan yang kedua - tiada, atau sebaliknya:
Begitu juga:
Ambil perhatian bahawa takrifan klasik kebarangkalian telah diperkenalkan untuk kes apabila ruang peristiwa asas adalah terhingga, dan semua hasil dan percubaan adalah sama mungkin dan tidak konsisten.
Frenulum pendek lidah (skalpel atau laser?
Mengapa Kolchak tidak sampai ke Volga?
"Petang teka-teki berdasarkan karya S.