Pelajaran "Bagaimana untuk mengraf fungsi y = f(kx) jika graf fungsi y = f(x) diketahui". Transformasi carta

Bahan yang dibentangkan dalam tutorial video adalah kesinambungan topik memplot fungsi melalui pelbagai transformasi. Kami akan melihat bagaimana graf fungsi itu dibina. y=f(kx) jika graf fungsi itu diketahui y=f(x) . AT kes ini k- mana-mana nombor sebenar, tidak sama dengan sifar.

Mari kita pertimbangkan dahulu kes apabila k ialah nombor positif. Sebagai contoh, mari kita plot fungsi y=f(3 x) , jika graf fungsi y=f(X) kita ada. Dalam rajah, paksi koordinat menunjukkan graf y=f(X) di mana terdapat titik dengan koordinat A dan B. Memilih nilai arbitrari X dan menggantikannya ke dalam fungsi y=f(3 x), cari nilai fungsi yang sepadan di. Oleh itu, titik graf fungsi diperolehi y=f(3 x) A 1 dan B 1, yang koordinatnya sama dengan titik A dan B. Iaitu, kita boleh mengatakan bahawa daripada graf fungsi y=f(x) dengan pemampatan dengan faktor k kepada paksi-y, anda boleh mendapatkan graf fungsi y=f(kx) . Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa titik persilangan dengan paksi-y kekal di tempat yang sama semasa pemampatan.

Dalam kes bila k- nombor negatif, graf fungsi y=f(kx) ditukar daripada graf fungsi y=f(x) dengan meregangkan dari paksi-y dengan faktor 1/ k.

1) pertama, sebahagian daripada gelombang graf fungsi dibina y=dosaX(lihat gambar);

2) kerana k= 2, graf fungsi itu dimampatkan y=sinx kepada paksi ordinat, nisbah mampatan ialah 2. Cari titik persilangan dengan paksi x. Kerana graf fungsi y=dosaX memotong paksi-x pada titik π, kemudian graf fungsi itu y=dosa 2X melintasi paksi-x pada titik π/k = π/2. Dengan cara yang sama, semua titik lain graf fungsi ditemui y=dosa 2x dan keseluruhan graf dibina pada titik-titik ini.

Pertimbangkan contoh ke-2 - memplot graf fungsi y=cos(x/2).

1) kami membina sebahagian daripada gelombang graf fungsi y \u003d cos X(lihat gambar);

2) kerana k=1/2, bentangkan graf bagi fungsi itu y=dosaX daripada paksi-y dengan faktor ½.

Cari titik persilangan graf dengan paksi X. Kerana graf fungsi y=cosX memotong paksi-x pada titik π/2, kemudian graf fungsi itu y=cos(x/2) memotong paksi-x pada titik π. Dengan cara yang sama, kita dapati semua titik lain pada graf fungsi tersebut y=cos(x/2), kami akan membina keseluruhan graf menggunakan titik ini.

Seterusnya, pertimbangkan pilihan untuk membina graf fungsi y= f(kx), di mana k ialah nombor negatif. Sebagai contoh, apabila k= -1 ciri y= f(kx) = f(- x). Rajah menunjukkan graf y=f(X), di mana terdapat titik dengan koordinat A dan B. Memilih nilai arbitrari x dan menggantikannya ke dalam fungsi y= f(- x), cari nilai fungsi yang sepadan di. Dapatkan titik graf fungsi y= f(- x) A 1 dan B 1, yang akan simetri kepada titik A dan B berkenaan dengan paksi-y. Iaitu, apabila menggunakan simetri tentang paksi-y daripada graf fungsi y=f(kx) kita mendapat graf fungsi y=f(- x).

Mari kita teruskan untuk memplot graf fungsi y= f(kx) untuk k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) membina sebahagian daripada gelombang carta y=dosaX;

2) kerana k= 4, kita akan meregangkan separuh gelombang graf berbanding paksi absis, di mana faktor regangan ialah 4;

3) melakukan transformasi simetri tentang paksi-x;

4) regangan dari paksi-y (faktor regangan ialah 2);

5) melengkapkan pembinaan keseluruhan graf.

Dalam tutorial video ini, kami mengkaji secara terperinci cara membina graf fungsi langkah demi langkah y=f(kx) pada nilai yang berbeza k.

TAFSIRAN TEKS:

Hari ini kita akan berkenalan dengan transformasi yang akan membantu anda mempelajari cara membuat graf fungsi y \u003d f (kx)

(y bersamaan dengan ef daripada hujah yang mewakili hasil darab ka dan x), jika graf fungsi y \u003d f (x) diketahui (y adalah sama dengan eff daripada x), di mana ka ialah sebarang nombor nyata (kecuali sifar)".

1) Pertimbangkan kes apabila k ialah nombor positif dalam contoh tertentu, apabila k = 3. Iaitu, anda perlu membuat graf fungsi

y \u003d f (3x) (y adalah sama dengan eff daripada tiga x), jika graf fungsi y \u003d f (x) diketahui. Biarkan pada graf fungsi y \u003d f (x) terdapat titik A dengan koordinat (6; 5) dan B dengan koordinat (-3; 2). Ini bermakna f (6) \u003d 5 dan f (- 3) \u003d 2 (ef dari enam adalah sama dengan lima dan ef dari tolak tiga sama dengan dua). Mari ikuti pergerakan titik ini apabila memplot fungsi y \u003d f (3x).

Ambil nilai arbitrari x = 2, hitung y, gantikan nilai x ke dalam graf fungsi y \u003d f (3x), kita dapat y \u003d 5. (pada skrin: y \u003d f (3x) \u003d f (3 2) \u003d f ( 6) = 5.) ​​​​Iaitu, pada graf fungsi y \u003d f (3x) terdapat titik dengan koordinat A 1 (2; 5). Jika x \u003d - 1, kemudian menggantikan nilai x ke dalam graf fungsi y \u003d f (3x), kami mendapat nilai y \u003d 2.

(Pada skrin: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Iaitu, pada graf fungsi y \u003d f (3x) terdapat titik dengan koordinat B 1 (- 1; 2). Jadi, pada graf fungsi y \u003d f (3x) terdapat titik dengan ordinat yang sama seperti pada graf fungsi y \u003d f (x), manakala absis titik adalah dua kali kurang dalam nilai mutlak .

Perkara yang sama akan berlaku untuk titik lain graf fungsi y \u003d f (x), apabila kita beralih ke graf fungsi y \u003d f (3x).

Biasanya penjelmaan sedemikian dipanggil mampatan kepada paksi y (y) dengan faktor 3.

Oleh itu, graf fungsi y = f (kx) diperoleh daripada graf fungsi y = f (x) dengan mengecut kepada paksi y (y) dengan pekali k. Ambil perhatian bahawa dengan penjelmaan sedemikian, titik persilangan graf fungsi y \u003d f (x) dengan paksi-y kekal pada tempatnya.

Jika k kurang daripada satu, maka mereka tidak bercakap tentang mampatan dengan pekali k, tetapi tentang regangan dari paksi-y dengan pekali (iaitu, jika k = , maka mereka bercakap tentang regangan dengan pekali 4).

CONTOH 1. Graf fungsi y \u003d sin 2x (y adalah sama dengan sinus dua x).

Penyelesaian. Mula-mula, mari kita bina separuh gelombang graf y \u003d sin x pada selang dari sifar hingga pi. Oleh kerana pekali adalah sama dengan dua, yang bermaksud bahawa k ialah nombor positif yang lebih besar daripada satu, maka kita akan memampatkan graf fungsi y \u003d sin x ke paksi ordinat dengan pekali 2. Cari titik persilangan dengan paksi OX. Jika graf fungsi y \u003d sin x bersilang dengan paksi OX pada titik π, maka graf fungsi y \u003d sin 2x akan bersilang pada titik (π: k \u003d π: 2 \u003d) (pi dibahagi dengan ka sama dengan pi dibahagi dua sama dengan pi dengan dua) . Dengan cara yang sama, kita dapati semua titik lain pada graf fungsi y \u003d sin2 x. Jadi, titik graf fungsi y \u003d sin x dengan koordinat (; 1) akan sepadan dengan titik graf fungsi y \u003d sin 2x dengan koordinat (; 1). Oleh itu, kita mendapat satu setengah gelombang graf fungsi y \u003d sin 2x. Dengan menggunakan keberkalaan fungsi, kami membina keseluruhan graf.

CONTOH 2. Graf fungsi y \u003d cos (y adalah sama dengan kosinus bagi x dan dua persendirian).

Penyelesaian. Mula-mula, mari kita bina separuh gelombang graf y \u003d cos x. Oleh kerana k ialah nombor positif kurang daripada e kesatuan, maka kita akan meregangkan graf fungsi y \u003d cos x dari paksi-y dengan faktor 2.

Cari titik persilangan dengan paksi-x. Jika graf fungsi y \u003d cos x bersilang dengan paksi OX pada satu titik, maka graf fungsi y \u003d cos akan bersilang pada titik π. (: k =π: = π). Dengan cara yang sama, kita dapati semua titik lain pada graf fungsi y \u003d cos. Oleh itu, kita mendapat satu setengah gelombang graf fungsi yang dikehendaki. Dengan menggunakan keberkalaan fungsi, kami membina keseluruhan graf.

Pertimbangkan kes apabila k sama dengan tolak satu. Iaitu, anda perlu memplot fungsi y \u003d f (-x) (y adalah sama dengan eff dari tolak x), jika graf fungsi y \u003d f (x) diketahui. Biarkan terdapat titik A pada carta dengan koordinat (4; 5) dan titik B (-5; 1). Ini bermakna f (4) = 5 dan f (- 5) = 1.

Oleh kerana apabila menggantikan formula y \u003d f (-x) bukannya x \u003d - 4 kita mendapat y \u003d f (4) \u003d 5, maka pada graf fungsi y \u003d f (-x) di sana ialah titik dengan koordinat A 1

(- 4; 5) (tolak empat, lima). Begitu juga, graf fungsi y \u003d f (-x) tergolong dalam titik B 1 (5; 1). Iaitu, graf fungsi y \u003d f (x) tergolong dalam titik A (4; 5) dan B (-5; 1), dan graf fungsi y \u003d f (-x) tergolong dalam titik A 1 (- 4; 5) dan B 1 (5; 1). Pasangan mata ini adalah simetri tentang paksi-y.

Oleh itu, graf fungsi y \u003d f (-x) menggunakan penjelmaan simetri tentang paksi-y boleh diperolehi daripada graf fungsi y \u003d f (x).

3) Akhir sekali, pertimbangkan kes di mana k ialah nombor negatif. Memandangkan kesamaan f (kx) = f (- |k|x) (ef daripada hasil darab ka dengan x adalah sama dengan eff daripada hasil tolak modulus ka dan x) adalah saksama, maka kita bercakap tentang membina graf bagi fungsi y = f (- |k|x), yang boleh dibina secara berperingkat:

1) plot fungsi y \u003d f (x);

2) tertaklukkan graf yang dibina kepada mampatan atau regangan ke paksi-y dengan pekali |k| (modul);

3) menjalankan penjelmaan simetri tentang paksi-y

(y) diperolehi dalam perenggan kedua graf.

CONTOH 3. Plotkan fungsi y \u003d 4 sin (-) (y ialah empat kali sinus bagi hasil tolak x dengan dua).

Penyelesaian. Pertama sekali, ingat bahawa dosa (- t) \u003d -sint (sint tolak te adalah sama dengan tolak sinus te), yang bermaksud bahawa y \u003d 4 dosa (-) \u003d - 4 dosa (y ialah sama dengan tolak empat kali sinus persendirian x dengan dua ). Kami akan membina secara berperingkat:

1) Mari kita bina satu setengah gelombang graf fungsi y \u003d sinx.

2) Kami meregangkan graf yang dibina daripada absis dengan faktor 4 dan mendapatkan satu setengah gelombang graf fungsi

y \u003d 4sinx (y ialah empat kali sinus x).

3) Kepada separuh gelombang graf fungsi y \u003d 4sinx yang dibina, kami menggunakan transformasi simetri tentang paksi x (x) dan kami mendapat separuh gelombang graf fungsi y \u003d - 4sinx.

4) Untuk setengah gelombang graf fungsi y= - 4sinx, kita akan meregangkan dari paksi-y dengan faktor 2; kita mendapat separuh gelombang graf fungsi - 4 sin.

5) Menggunakan separuh gelombang yang terhasil, kami akan membina keseluruhan graf.

>> Cara graf fungsi y = f(kx) jika graf fungsi diketahui

§13. Cara memplot graf fungsi y \u003d f (kx), jika graf fungsi diketahui

Dalam bahagian ini, kita akan berkenalan dengan satu lagi transformasi yang membolehkan, mengetahui jadual fungsi y \u003d / (x), agak cepat untuk membina graf fungsi y \u003d f (Ax), di mana k ialah sebarang nombor nyata (kecuali sifar). Mari kita pertimbangkan beberapa kes.

Tugasan 1. Mengetahui graf fungsi y \u003d f (x), plotkan fungsi y - f (kx), dengan k ialah nombor positif.
Untuk memudahkan anda memahami intipati perkara itu, pertimbangkan contoh khusus apabila k = 2. Bagaimana untuk memplot fungsi y \u003d f (2x), jika graf fungsi y \u003d f (x) diketahui?

Biarkan terdapat titik (4; 7) dan (-2; 3) pada graf fungsi y \u003d f (x). Ini bermakna f (4) = 7 dan f (-2) = 3. Di manakah titik akan bergerak apabila kita memplot fungsi y \u003d f (2x)? Lihat (Rajah 50): jika x \u003d 2, maka y \u003d f (2x) \u003d f (2 2) \u003d f (4) \u003d 7. Jadi, pada graf fungsi y \u003d f (2x) terdapat satu titik (2; 7 ). Selanjutnya, jika x \u003d -1, maka y \u003d f (2x) \u003d D-1-2) \u003d f (-2) \u003d 3. Jadi, pada graf fungsi y \u003d f (2x ) terdapat titik (-1; 3) . Jadi, pada graf fungsi y \u003d f (x) terdapat titik (4; 7) dan (-2; 3), dan pada graf fungsi y \u003d f (2x) terdapat titik (2 ; 7) dan (- 1; 3), i.e. titik dengan koordinat yang sama.

tetapi dua kali lebih kecil (modulo) abscissa. Begitu juga dengan titik lain graf fungsi y \u003d f (x), apabila kita beralih ke graf fungsi y \u003d f (2x) (Rajah 51). Penjelmaan sedemikian biasanya dipanggil mampatan kepada paksi-y dengan faktor 2.

Secara umum, graf fungsi y \u003d f (x) diperoleh daripada graf fungsi y-f (x) dengan mengecut kepada paksi y dengan pekali k. Perhatikan bahawa dengan penjelmaan ini, titik persilangan graf daripada fungsi y \u003d f (x) dengan paksi-y (jika x = 0, maka kx = 0).

Namun, jika hendak< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Contoh 1 Bina graf fungsi:

Penyelesaian: a) Mari kita bina setengah gelombang graf fungsi y \u003d sin x dan regangkannya dari paksi-y dengan faktor 2; kita mendapat satu setengah gelombang graf fungsi yang dikehendaki (Rajah 52). Kemudian kita akan membina keseluruhan graf (Gamb. 53).

b) Mari bina setengah gelombang graf fungsi y \u003d cos x dan mampatkannya ke paksi-y dengan faktor 2; kita mendapat satu setengah gelombang graf fungsi yang dikehendaki y \u003d cos 2x (Rajah 54). Kemudian kita akan membina keseluruhan graf (Gamb. 55).

Tugasan 2. Mengetahui graf fungsi y \u003d f (x), plotkan graf fungsi y \u003d f (kx), di mana k \u003d -1. Dalam erti kata lain, kita bercakap tentang membina graf fungsi y \u003d f (-x).

Katakan pada graf fungsi y \u003d f (x) terdapat titik (3; 5) dan (-6; 1). Ini bermakna f(З) = 5, dan f(-6) = 1. Sehubungan itu, terdapat titik (-3; 5) pada graf fungsi y \u003d f (-x), kerana apabila menggantikan ke dalam formula y \u003d f (-x) daripada nilai x \u003d -3 kami mendapat y \u003d f (3) \u003d 5. Begitu juga, kami memastikan bahawa graf fungsi y \u003d f (-x) tergolong dalam titik (6; 1).

Jadi, titik (3; 5) kepunyaan graf fungsi y \u003d f (x) sepadan dengan titik (-3; 5) kepunyaan graf fungsi y \u003d f (-x); titik (-6; 1) kepunyaan graf fungsi y \u003d f (x) sepadan dengan titik (6; 1) kepunyaan graf fungsi y \u003d f (-x). Pasangan mata ini adalah simetri tentang paksi-y (Rajah 56).

Merumuskan pertimbangan ini, kita sampai pada kesimpulan berikut: graf fungsi y \u003d f (-x) boleh diperoleh daripada graf fungsi " y \u003d f (x) menggunakan transformasi simetri tentang paksi y.

Komen. Jika kita bercakap tentang memplot graf fungsi y = f (-x), maka biasanya kita semak dahulu sama ada fungsi y = f (x) genap atau ganjil. Jika y \u003d f (x) - malah berfungsi, iaitu f (-x) \u003d f (x), maka graf fungsi y \u003d f (-x) bertepatan dengan graf fungsi y \u003d f (x). Jika y \u003d f (x) - fungsi ganjil, iaitu f (-x) \u003d -f (x), kemudian bukannya graf fungsi y \u003d f (-x), anda boleh plot fungsi y \u003d -f (x).

Tugasan 3. Mengetahui graf fungsi y \u003d f (x), plotkan graf fungsi y \u003d f (kx), dengan k ialah nombor negatif.
Oleh kerana dalam kes ini kesamaan f(kx) = f(-\k\x) adalah benar, maka kita bercakap tentang memplot fungsi y = f(-\k\x). Ini boleh dilakukan dalam tiga langkah:

1) membina graf fungsi y \u003d f (x);
2) untuk menjalankan pemampatannya (atau regangan) ke paksi-y dengan pekali | kepada |;
3) tundukkan graf termampat (atau diregangkan) kepada penjelmaan simetri tentang paksi-y.

Contoh 2 Bina graf bagi fungsi y \u003d -3 cos (~ 2x).

Penyelesaian. Perhatikan pertama sekali bahawa cos(-2x)=cos2x.
1) Mari bina graf fungsi y \u003d cosx, lebih tepat lagi, satu setengah gelombang graf (Rajah 57a. Semua pembinaan awal ditunjukkan oleh garis putus-putus).
2) Kami akan meregangkan graf yang dibina daripada paksi-x dengan faktor 3; kita mendapat satu setengah gelombang graf fungsi y \u003d Zcos x.
3) Mari kita tundukkan separuh gelombang terbina bagi graf fungsi y \u003d 3 cos x kepada penjelmaan simetri tentang paksi x; kita mendapat separuh gelombang graf fungsi y \u003d -3cos x.
4) Mari kita jalankan untuk separuh gelombang graf fungsi y \u003d -3cos x mampatan ke paksi y dengan faktor 2; kita mendapat separuh gelombang graf fungsi y \u003d -3cos2x (garis pepejal dalam Rajah 57a).
5) Menggunakan separuh gelombang yang terhasil, kami akan membina keseluruhan graf (Gamb. 576).

A.G. Algebra Mordkovich Gred 10

Perancangan tematik kalendar dalam matematik, video dalam matematik dalam talian, muat turun Matematik di sekolah

Isi pelajaran rumusan pelajaran rangka sokongan pembentangan pelajaran kaedah pecutan teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel pemeriksaan kendiri, latihan, kes, pencarian soalan perbincangan kerja rumah soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar grafik, jadual, skema humor, anekdot, jenaka, perumpamaan komik, pepatah, teka silang kata, petikan Alat tambah abstrak cip artikel untuk helaian tipu ingin tahu buku teks asas dan glosari tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks elemen inovasi dalam pelajaran menggantikan pengetahuan usang dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna pelan kalendar untuk setahun garis panduan program perbincangan Pelajaran Bersepadu

2. Jika 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Gamb. 3.8). Oleh itu, graf fungsi itu dimampatkan atau diregangkan.

YY

y

y

0 x X 0 x X

nasi. 3.7 Rajah. 3.8

Peraturan 2 Biarkan k > 1. Kemudian graf fungsi f(kx) diperoleh daripada graf fungsi f(x) dengan memerahnya di sepanjang paksi OX sebanyak k kali (sebaliknya: dengan memerah ke paksi OY sebanyak k kali. ).

Biar 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Contoh. Bina graf fungsi: 1)
dan
;

2)
dan
.

YY

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

nasi. 3.9 Rajah. 3.10

Komen. Sila ambil perhatian: dot terletak pada paksi OY kekal di tempatnya. Sesungguhnya, sebarang titik N(0, y) graf f(x) sepadan dengan satu titik
grafik f(kx).

Graf Fungsi
diperoleh dengan meregangkan graf fungsi
daripada paksi OY sebanyak 2 kali. Dalam kes ini, sekali lagi perkara itu kekal tidak berubah (lengkung (3) dalam Rajah 3.9).

Merangka Fungsi y=f(-x).

Fungsi f(x) dan f(-x) mengambil nilai yang sama untuk nilai yang bertentangan dengan argumen x. Oleh itu, titik N(x;y) dan M(-x;y) graf mereka akan simetri tentang paksi OY.

Peraturan 3 Untuk membina graf f (-x), adalah perlu untuk mencerminkan graf fungsi f (x) tentang paksi OY.

Contoh. Fungsi Plot
dan
.

Penyelesaian ditunjukkan dalam rajah. 3.11 dan 3.12.

Y
Y

nasi. 3.11 Rajah. 3.12

Merangka Fungsi y=f(-kx), dengan k > 0.

Peraturan 4 Kami membina graf fungsi y \u003d f (kx) mengikut peraturan 2. Graf fungsi f (kx) dicerminkan dari paksi OY mengikut peraturan

skrap 3. Hasilnya, kita mendapat graf bagi fungsi f(-kx).

Contoh. Fungsi Plot

.

Penyelesaian ditunjukkan dalam rajah. 3.13 dan 3.14.

hlm

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

nasi. 3.13 Rajah. 3.14

Merangka Fungsi
, di mana A > 0. Jika A > 1, maka bagi setiap nilai
menyelaraskan fungsi yang diberikan A kali lebih besar daripada ordinat bagi fungsi utama f(x). Dalam kes ini, graf f(x) diregangkan dengan A kali sepanjang paksi OY (jika tidak: dari paksi OX).

Jika 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в kali sepanjang paksi OY (atau jauh dari paksi OX).

Peraturan 5 Biarkan A > 1. Kemudian graf bagi fungsi tersebut
diperoleh daripada graf f(x) dengan meregangkannya A kali sepanjang paksi OY (atau menjauhi paksi OX).

Biar 0< A < 1. Тогда график функции
diperoleh daripada graf f(x) dengan memampatkannya ke dalam kali sepanjang paksi OY (atau ke paksi OX).

Contoh. Bina graf fungsi 1)
,
dan 2)
,

.

Y
Y

2

1

1
0p/2pp/3px

nasi. 3.15 Rajah. 3.16

Merangka Fungsi
.

Untuk semua orang
titik N(x, y) bagi fungsi f(x) dan M(x, -y) bagi fungsi -f(x) adalah simetri berkenaan dengan paksi OX, jadi kita memperoleh peraturan.

Peraturan 6 Untuk merancang fungsi
perlukan jadual
dicerminkan tentang paksi-x.

Contoh. Fungsi Plot
dan
(rajah 3.17 dan 3.18).

YY

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

nasi. 3.17 Rajah. 3.18

Merangka Fungsi
, di manaA>0.

Peraturan 7 Kami membina graf fungsi
, di mana A>0, mengikut peraturan 5. Graf yang terhasil dicerminkan daripada paksi OX mengikut peraturan 6.

Merangka Fungsi
.

Jika B>0, maka bagi setiap satu
ordinat bagi fungsi yang diberi ialah B unit lebih besar daripada ordinat bagi f(x). Jika B<0, то для каждого
ordinat bagi fungsi pertama berkurangan sebanyak unit berbanding dengan ordinat f(x). Oleh itu, kita mendapat peraturan.

Peraturan 8 Untuk merancang fungsi
mengikut graf y=f(x), graf ini mesti digerakkan sepanjang paksi OY oleh B unit ke atas jika B>0, atau dengan unit turun jika B<0.

Contoh. Bina graf fungsi: 1) dan

2)
(rajah 3.19 dan 3.20).

Y

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

nasi. 3.19 Rajah. 3.20

Skema untuk membina graf fungsi .

Pertama sekali, kami menulis persamaan fungsi dalam bentuk
dan menandakan
. Kemudian graf fungsi itu dibina mengikut skema berikut.

Kami memplot fungsi utama f(x).

Selaras dengan peraturan 1, kita plot f(x-a).

Dengan memampatkan atau meregangkan graf f(x-a), dengan mengambil kira tanda k, mengikut peraturan 2-4, kita membina graf bagi fungsi f .

Sila ambil perhatian: graf f(x-a) mengecut atau meregang berbanding garis lurus x=a (mengapa?)

Sila ambil perhatian: pada setiap langkah pembinaan, graf sebelumnya bertindak sebagai graf fungsi utama.

Contoh. Plot fungsi
. Di sini k=-2, jadi
. Memandangkan ganjil
, kita ada
.

(Gamb. 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

nasi. 3.21 Rajah. 3.22

YY

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

nasi. 3.23 Rajah. 3.24

Tugasan 2.

Pembinaan graf fungsi yang mengandungi tanda modulus.

Penyelesaian masalah ini juga terdiri daripada beberapa peringkat. Apabila melakukan ini, ingat definisi modul:

Merangka Fungsi
.

Untuk nilai-nilai tersebut
, untuk yang mana
, akan jadi
. Oleh itu, berikut adalah graf bagi fungsi tersebut
dan f(x) adalah sama. Untuk perkara yang sama
, yang mana f(x)<0, будет
. Tetapi plot -f(x) diperoleh daripada plot f(x) dengan mencerminkan paksi OX. Kami mendapat peraturan untuk membina graf fungsi
.

Peraturan 9 Kami membina graf bagi fungsi y=f(x). Selepas itu, bahagian graf f(x), di mana
, kita biarkan ia tidak berubah, dan bahagian di mana f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Komen. Sila ambil perhatian bahawa carta
sentiasa terletak di atas atau menyentuh paksi OX.

Contoh. Fungsi Plot

(Rajah 3.24, 3.25, 3.26).

YY

2

nasi. 3.25 Rajah. 3.26

Merangka Fungsi
.

Kerana
, kemudian
, iaitu, fungsi genap diberikan, graf yang simetri tentang paksi OY.

Peraturan 10 Kami membina graf bagi fungsi y=f(x) dengan
. Kami mencerminkan graf yang dibina daripada paksi OY. Kemudian jumlah kedua-dua lengkung yang diperoleh akan memberikan graf fungsi
.

Contoh. Fungsi Plot

(Gamb.3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

nasi. 3.27 Rajah. 3.28 Rajah. 3.29

Merangka Fungsi
.

Kami membina graf fungsi
mengikut peraturan 10.

Kami membina graf fungsi
mengikut peraturan 9.

Contoh. Fungsi Plot
dan
.

Kami mencerminkan bahagian negatif graf daripada paksi OX. Jadual
ditunjukkan dalam rajah. 3.30.

YY

2 0 2 x -1 0 1 x

nasi. 3.30 Rajah. 3.31

2. Kami merancang fungsi
(Gamb. 3.29).

Kami mencerminkan bahagian negatif graf daripada paksi OX. Jadual
ditunjukkan dalam rajah. 3.31.

Apabila membina graf bagi fungsi yang mengandungi tanda-tanda modul, adalah sangat penting untuk mengetahui selang ketekalan tanda bagi fungsi tersebut. Oleh itu, penyelesaian setiap masalah mesti bermula dengan definisi jurang ini.

Contoh. Plot fungsi
.

Domain . Ungkapan x+1 dan x-1 menukar tandanya pada titik x=-1 dan x=1. Oleh itu, kami membahagikan domain definisi kepada empat selang:

Diberi tanda-tanda x+1 dan x-1, kita ada

;

;

.

Oleh itu, fungsi boleh ditulis tanpa tanda modulo seperti berikut:

Fungsi
hiperbola sepadan, dan fungsi y=2 sepadan dengan garis lurus. Pembinaan lanjut boleh dilakukan dengan mata (Rajah 3.32).

Y

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Komen. Ambil perhatian bahawa untuk x=0 fungsi tidak ditakrifkan. Fungsi tersebut dikatakan rosak pada ketika ini. Pada rajah. 3.32 ini ditandakan dengan anak panah.

Tugasan 3. Memplot fungsi yang diberikan oleh beberapa ungkapan analitikal.

Dalam contoh sebelumnya, fungsi
kami telah membentangkan beberapa ungkapan analitikal. Ya, di antara
ia berubah mengikut hukum hiperbola
; buat sementara
, kecuali untuk x=0, ini ialah fungsi linear; buat sementara
sekali lagi kita mempunyai hiperbola
. Fungsi yang serupa akan sering berlaku pada masa hadapan. Mari kita pertimbangkan contoh mudah.

Laluan kereta api dari stesen A ke stesen B terdiri daripada tiga bahagian. Dalam bahagian pertama, dia mengambil kelajuan, iaitu, dalam selang
kelajuannya
, di mana
. Di bahagian kedua, dia bergerak pada kelajuan malar, iaitu, v \u003d c, jika
. Akhirnya, apabila membrek, kelajuannya akan menjadi
. Oleh itu, di antara
kelajuan pergerakan berubah mengikut undang-undang

Pemindahan selari.

PINDAH SEPANJANG Y-AXIS

f(x) => f(x) - b
Biarkan ia diperlukan untuk memplot fungsi y \u003d f (x) - b. Adalah mudah untuk melihat bahawa ordinat graf ini untuk semua nilai x pada |b| unit kurang daripada koordinat sepadan graf fungsi y = f(x) untuk b>0 dan |b| lebih unit - pada b 0 atau ke atas pada b Untuk memplot fungsi y + b = f(x), plotkan fungsi y = f(x) dan gerakkan paksi-x ke |b| unit untuk b>0 atau oleh |b| unit turun pada b

TRANSFER SEPANJANG X-AXIS

f(x) => f(x + a)
Biarkan ia diperlukan untuk memplot fungsi y = f(x + a). Pertimbangkan fungsi y = f(x), yang pada satu titik x = x1 mengambil nilai y1 = f(x1). Jelas sekali, fungsi y = f(x + a) akan mengambil nilai yang sama pada titik x2, koordinatnya ditentukan daripada kesamaan x2 + a = x1, i.e. x2 = x1 - a, dan kesamaan yang sedang dipertimbangkan adalah sah untuk keseluruhan semua nilai dari domain fungsi. Oleh itu, graf fungsi y = f(x + a) boleh diperolehi dengan sesaran selari graf fungsi y = f(x) di sepanjang paksi-x ke kiri oleh |a| satu untuk > 0 atau ke kanan oleh |a| unit untuk a Untuk memplot fungsi y = f(x + a), plot fungsi y = f(x) dan gerakkan paksi-y ke |a| unit di sebelah kanan untuk a>0 atau |a| unit ke kiri untuk a

Contoh:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Refleksi.

PENGGRAFAN FUNGSI PANDANGAN Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Jelas sekali, fungsi y = f(-x) dan y = f(x) mengambil nilai yang sama pada titik yang absisnya sama dalam nilai mutlak, tetapi bertentangan dalam tanda. Dalam erti kata lain, ordinat graf fungsi y = f(-x) dalam kawasan nilai positif (negatif) x akan sama dengan ordinat graf fungsi y = f(x) dengan nilai x negatif (positif) sepadan dengan nilai mutlak. Oleh itu, kita mendapat peraturan berikut.
Untuk memplot fungsi y = f(-x), anda hendaklah memplot fungsi y = f(x) dan memantulkannya di sepanjang paksi-y. Graf yang terhasil ialah graf bagi fungsi y = f(-x)

GRAFIS FUNGSI PANDANGAN Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinasi graf fungsi y = - f(x) untuk semua nilai argumen adalah sama dalam nilai mutlak, tetapi bertentangan dalam tanda dengan ordinat graf fungsi y = f(x) untuk nilai hujah yang sama. Oleh itu, kita mendapat peraturan berikut.
Untuk memplot fungsi y = - f(x), anda hendaklah memplot fungsi y = f(x) dan mencerminkannya tentang paksi-x.

Contoh:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Ubah bentuk.

DEFORMASI GRAF SEPANJANG PASIK Y

f(x) => kf(x)
Pertimbangkan fungsi bentuk y = k f(x), dengan k > 0. Mudah untuk melihatnya untuk nilai yang sama daripada hujah, ordinat graf fungsi ini akan menjadi k kali lebih besar daripada ordinat graf fungsi y \u003d f (x) untuk k > 1 atau 1/k kali kurang daripada ordinat graf bagi fungsi y = f (x) untuk k Untuk memplot graf fungsi y = k f (x) anda hendaklah memplot fungsi y = f(x) dan meningkatkan ordinatnya sebanyak k kali untuk k > 1 (regangkan graf sepanjang paksi ordinat) atau kurangkan ordinatnya sebanyak 1/k kali untuk k
k > 1- regangan dari paksi Lembu
0 - mampatan ke paksi OX

DEFORMASI GRAF SEPANJANG PAKSI X

f(x) => f(kx)
Biarkan ia dikehendaki untuk memplot fungsi y = f(kx), dengan k>0. Pertimbangkan fungsi y = f(x), yang dalam titik sewenang-wenangnya x = x1 mengambil nilai y1 = f(x1). Adalah jelas bahawa fungsi y = f(kx) mengambil nilai yang sama pada titik x = x2, koordinatnya ditentukan oleh kesamaan x1 = kx2, dan kesamaan ini sah untuk keseluruhan semua nilai x daripada domain fungsi. Akibatnya, graf fungsi y = f(kx) dimampatkan (untuk k 1) di sepanjang paksi absis berbanding dengan graf fungsi y = f(x). Oleh itu, kita mendapat peraturan.
Untuk memplot fungsi y = f(kx), plotkan fungsi y = f(x) dan mengurangkan absisnya sebanyak k kali untuk k>1 (mampatkan graf sepanjang paksi absis) atau meningkatkan absisnya sebanyak 1/k kali untuk k
k > 1- mampatan ke paksi Oy
0 - regangan dari paksi OY

Kerja itu dijalankan oleh Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov di bawah pengawasan Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014