Terbitan pelajaran bagi nombor fungsi eksponen e

Graf bagi fungsi eksponen ialah garis melengkung, licin tanpa kekusutan, yang mana tangen boleh dilukis pada setiap titik yang dilaluinya. Adalah logik untuk mengandaikan bahawa jika tangen boleh dilukis, maka fungsi itu akan boleh dibezakan pada setiap titik domain definisinya.

Mari kita paparkan beberapa graf bagi fungsi y = x a dalam paksi koordinat yang sama Untuk a = 2; a = 2.3; a = 3; a = 3.4.

Pada satu titik dengan koordinat (0;1). Sudut tangen ini masing-masing adalah kira-kira 35, 40, 48 dan 51 darjah. Adalah logik untuk mengandaikan bahawa dalam selang dari 2 hingga 3 terdapat nombor di mana sudut kecenderungan tangen akan sama dengan 45 darjah.

Mari kita berikan rumusan yang tepat bagi pernyataan ini: terdapat nombor yang lebih besar daripada 2 dan kurang daripada 3, dilambangkan dengan huruf e, supaya fungsi eksponen y = e x pada titik 0 mempunyai terbitan sama dengan 1. Iaitu: (e ∆x -1) / ∆x cenderung kepada 1 kerana ∆x cenderung kepada sifar.

Nombor ini e adalah tidak rasional dan ditulis sebagai pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga:

e = 2.7182818284…

Oleh kerana e adalah positif dan bukan sifar, terdapat logaritma kepada asas e. Logaritma ini dipanggil logaritma semula jadi. Ditandakan dengan ln(x) = log e (x).

Terbitan bagi fungsi eksponen

Teorem: Fungsi e x boleh dibezakan pada setiap titik domain definisinya, dan (e x)’ = e x .

Fungsi eksponen a x boleh dibezakan pada setiap titik domain takrifnya, dan (a x)’ = (a x)*ln(a).
Akibat daripada teorem ini ialah hakikat bahawa fungsi eksponen adalah berterusan pada mana-mana titik dalam domain definisinya.

Contoh: cari terbitan bagi fungsi y = 2 x.

Dengan menggunakan formula untuk terbitan fungsi eksponen, kita memperoleh:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Jawapan: (2 x)*ln(2).

Antiderivatif bagi fungsi eksponen

Untuk fungsi eksponen a x yang ditakrifkan pada set nombor nyata, antiterbitan ialah fungsi (a x)/(ln(a)).
ln(a) ialah beberapa pemalar, maka (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x untuk sebarang x. Kami telah membuktikan teorem ini.

Mari kita pertimbangkan contoh mencari antiderivatif bagi fungsi eksponen.

Contoh: cari antiterbitan bagi fungsi f(x) = 5 x. Mari kita gunakan formula yang diberikan di atas dan peraturan untuk mencari antiderivatif. Kita dapat: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Apabila memperoleh formula pertama jadual, kita akan meneruskan dari definisi fungsi terbitan pada satu titik. Jom bawa ke mana x– sebarang nombor nyata, iaitu, x– sebarang nombor daripada domain takrifan fungsi. Mari kita tuliskan had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah di :

Perlu diingatkan bahawa di bawah tanda had ungkapan diperoleh, yang bukan ketidakpastian sifar dibahagikan dengan sifar, kerana pengangka tidak mengandungi nilai yang sangat kecil, tetapi tepatnya sifar. Dalam erti kata lain, kenaikan fungsi malar sentiasa sifar.

Oleh itu, terbitan bagi fungsi malaradalah sama dengan sifar di seluruh domain definisi.

Terbitan fungsi kuasa.

Formula untuk terbitan fungsi kuasa mempunyai bentuk , di mana eksponen hlm– sebarang nombor nyata.

Mari kita buktikan dahulu formula untuk eksponen semula jadi, iaitu, untuk p = 1, 2, 3, …

Kami akan menggunakan definisi derivatif. Mari kita tuliskan had nisbah pertambahan fungsi kuasa kepada pertambahan hujah:

Untuk memudahkan ungkapan dalam pengangka, kita beralih kepada formula binomial Newton:

Oleh itu,

Ini membuktikan formula untuk terbitan fungsi kuasa untuk eksponen semula jadi.

Terbitan bagi fungsi eksponen.

Kami membentangkan terbitan formula terbitan berdasarkan definisi:

Kita telah tiba pada ketidakpastian. Untuk mengembangkannya, kami memperkenalkan pembolehubah baharu, dan pada . lepas tu . Dalam peralihan terakhir, kami menggunakan formula untuk beralih kepada asas logaritma baharu.

Mari kita gantikan ke dalam had asal:

Jika kita mengingati had kedua yang luar biasa, kita sampai pada formula untuk terbitan fungsi eksponen:

Terbitan bagi fungsi logaritma.

Mari kita buktikan formula untuk terbitan bagi fungsi logaritma untuk semua x dari domain definisi dan semua nilai asas yang sah a logaritma Dengan definisi derivatif kita mempunyai:

Seperti yang anda perhatikan, semasa pembuktian, transformasi telah dijalankan menggunakan sifat-sifat logaritma. Kesaksamaan adalah benar kerana had kedua yang luar biasa.

Terbitan fungsi trigonometri.

Untuk mendapatkan formula bagi derivatif fungsi trigonometri, kita perlu mengingati beberapa formula trigonometri, serta had pertama yang luar biasa.

Dengan takrif terbitan untuk fungsi sinus yang kita ada .

Mari kita gunakan formula perbezaan sinus:

Ia kekal untuk beralih kepada had pertama yang luar biasa:

Oleh itu, terbitan fungsi dosa x ada kerana x.

Formula untuk terbitan kosinus dibuktikan dengan cara yang sama.

Oleh itu, terbitan bagi fungsi kerana x ada –dosa x.

Kami akan memperoleh formula untuk jadual terbitan bagi tangen dan kotangen menggunakan kaedah-kaedah pembezaan yang terbukti (terbitan pecahan).

Terbitan fungsi hiperbolik.

Peraturan pembezaan dan formula untuk terbitan fungsi eksponen daripada jadual terbitan membolehkan kita memperoleh formula untuk terbitan sinus hiperbolik, kosinus, tangen dan kotangen.

Terbitan bagi fungsi songsang.

Untuk mengelakkan kekeliruan semasa pembentangan, mari kita nyatakan dalam subskrip hujah fungsi yang mana pembezaan dilakukan, iaitu, ia adalah terbitan fungsi f(x) Oleh x.

Sekarang mari kita rumuskan peraturan untuk mencari terbitan bagi fungsi songsang.

Biarkan fungsi y = f(x) Dan x = g(y) saling songsang, ditakrifkan pada selang dan masing-masing. Jika pada satu titik terdapat terbitan bukan sifar terhingga bagi fungsi itu f(x), maka pada titik itu terdapat terbitan terhingga bagi fungsi songsang g(y), dan . Dalam jawatan lain .

Peraturan ini boleh dirumus semula untuk mana-mana x daripada selang , maka kita dapat .

Mari kita semak kesahihan formula ini.

Mari kita cari fungsi songsang untuk logaritma asli (Di sini y ialah fungsi, dan x- hujah). Setelah menyelesaikan persamaan ini untuk x, kita dapat (di sini x ialah fungsi, dan y– hujahnya). iaitu, dan fungsi saling songsang.

Daripada jadual derivatif kita melihat bahawa Dan .

Mari kita pastikan bahawa formula untuk mencari derivatif bagi fungsi songsang membawa kita kepada keputusan yang sama:

Objektif pelajaran: membentuk idea nombor e; membuktikan kebolehbezaan fungsi pada sebarang titik X;pertimbangkan bukti teorem tentang kebolehbezaan fungsi; menyemak kematangan kemahiran dan kebolehan semasa menyelesaikan contoh aplikasi mereka.

Objektif pelajaran.

Pendidikan: ulang takrif terbitan, peraturan pembezaan, terbitan fungsi asas, ingat graf dan sifat fungsi eksponen, membangunkan keupayaan untuk mencari terbitan fungsi eksponen, menguji pengetahuan menggunakan tugas pengesahan dan ujian.

Perkembangan: menggalakkan perkembangan perhatian, perkembangan pemikiran logik, intuisi matematik, keupayaan untuk menganalisis, dan menggunakan pengetahuan dalam situasi yang tidak standard.

Pendidikan: memupuk budaya maklumat, membangunkan kemahiran bekerja dalam kumpulan dan individu.

Kaedah pengajaran: lisan, visual, aktif.

Bentuk latihan: kolektif, individu, kumpulan.

peralatan : buku teks "Algebra dan permulaan analisis" (diedit oleh Kolmogorov), semua tugas kumpulan B "Segmen tertutup" diedit oleh A.L. Semenova, I.V. Yashchenko, projektor multimedia.

Langkah-langkah pengajaran:

1. Pernyataan topik, tujuan, dan objektif pelajaran (2 min.).
2. Persediaan untuk mempelajari bahan baharu dengan mengulangi bahan yang dipelajari sebelumnya (15 min.).
3. Pengenalan kepada bahan baharu (10 min.)
4. Pemahaman awal dan penyatuan pengetahuan baharu (15 min.).
5. Tugasan kerja rumah (1 min.).
6. Merumuskan (2 min.).

Kemajuan pelajaran

1. Detik organisasi.

Topik pelajaran diumumkan: “Terbitan fungsi eksponen. Nombor e.”, matlamat, objektif. Slaid 1. Persembahan

2. Pengaktifan ilmu sokongan.

Untuk melakukan ini, pada peringkat pertama pelajaran kita akan menjawab soalan dan menyelesaikan masalah pengulangan. Slaid 2.

Di papan tulis, dua pelajar bekerja pada kad, menyelesaikan tugas seperti Peperiksaan Negeri Bersepadu B8.

Tugasan untuk pelajar pertama:

Tugasan untuk pelajar kedua:

Selebihnya pelajar melakukan kerja bebas mengikut pilihan berikut:

Pilihan 1		Pilihan 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

Pasangan bertukar penyelesaian dan semak kerja masing-masing, semak jawapan pada slaid 3.

Penyelesaian dan jawapan pelajar yang bekerja di lembaga dipertimbangkan.

Menyemak kerja rumah No. 1904. Slaid 4 ditunjukkan.

3. Mengemas kini topik pelajaran, mewujudkan situasi masalah.

Guru meminta untuk mentakrifkan fungsi eksponen dan menyenaraikan sifat-sifat fungsi y = 2 x. Graf fungsi eksponen digambarkan sebagai garis licin, yang mana tangen boleh dilukis pada setiap titik. Tetapi kewujudan tangen kepada graf fungsi pada titik dengan absis x 0 adalah bersamaan dengan kebolehbezaannya pada x 0.

Untuk graf fungsi y = 2 x dan y = 3 x, kita lukis tangen padanya pada titik dengan absis 0. Sudut kecondongan tangen ini kepada paksi absis adalah lebih kurang sama dengan 35° dan 48°, masing-masing. . Slaid 5.

Kesimpulan: jika asas fungsi eksponen A meningkat daripada 2 kepada, sebagai contoh, 10, maka sudut antara tangen kepada graf fungsi pada titik x = 0 dan absis secara beransur-ansur meningkat daripada 35° kepada 66.5°. Adalah logik untuk menganggap bahawa ada sebabnya A, yang mana sudut sepadan ialah 45

Telah terbukti bahawa terdapat nombor yang lebih besar daripada 2 dan kurang daripada 3. Ia biasanya dilambangkan dengan huruf e. Dalam matematik ditetapkan bahawa nombor e– tidak rasional, i.e. mewakili pecahan bukan berkala perpuluhan tak terhingga.

e = 2.7182818284590…

Nota (tak serius sangat). Slaid 6.

Pada slaid seterusnya 7 terdapat potret ahli matematik yang hebat - John Napier, Leonard Euler dan maklumat ringkas tentang mereka.

• Pertimbangkan sifat bagi fungsi y=e x
• Bukti Teorem 1. Slaid 8.
• Bukti Teorem 2. Slaid 9.

4. Jeda dinamik atau kelonggaran untuk mata.

(Posisi permulaan - duduk, setiap senaman diulang 3-4 kali):

1. Condong ke belakang, tarik nafas dalam-dalam, kemudian, condong ke hadapan, hembus.

2. Bersandar di kerusi, tutup kelopak mata, tutup mata rapat-rapat tanpa membuka kelopak mata.

3. Lengan di sepanjang badan, pergerakan bulat bahu ke belakang dan ke belakang.

5. Pengukuhan bahan yang dipelajari.

5.1 Penyelesaian latihan No. 538, No. 540, No. 544c.

5.2 Aplikasi bebas pengetahuan, kemahiran dan kebolehan. Kerja ujian dalam bentuk ujian. Masa siap tugas - 5 minit.

Kriteria penilaian:

“5” – 3 mata

“4” – 2 mata

“3” - 1 mata

6. Merumuskan hasil kerja dalam pelajaran.

1. Refleksi.
2. Penggredan.
3. Penyerahan tugas ujian.

7. Kerja rumah: perenggan 41 (1, 2); No. 539 (a, b, d); 540 (c, d), 544 (a, b).

"Segmen tertutup" No. 1950, 2142.

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google dan log masuk kepadanya: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

TERBITAN FUNGSI EKSPONEN Nombor e Gred 11

PENGULANG adalah ibu kepada pembelajaran!

Definisi fungsi eksponen Fungsi yang diberikan oleh formula y = a x (dengan a > 0, a ≠ 1) dipanggil fungsi eksponen dengan asas a.

Sifat bagi fungsi eksponen y = a x a>1 0

Penentuan terbitan fungsi pada titik x 0. sebagai Δ → 0. Terbitan bagi fungsi f pada titik x 0 ialah nombor yang nisbah perbezaannya cenderung sebagai Δx → 0.

Makna geometri bagi terbitan x ₀ α A y = f(x) 0 x y к = tan α = f "(x ₀) Pekali sudut kepada tangen kepada graf fungsi f (x) pada titik (x 0) ; f (x 0) adalah sama dengan fungsi terbitan f "(x ₀). f(x 0)

Permainan: “Cari pasangan” (u + v)" cos x e (u v)" n xⁿ ⁻" p (u / v)" - 1 /(sin² x) a (x ⁿ)" - sin x n C "u" v +u v" kepada (C u)" 1 / (cos ² x) t (sin x)" (u" v – u v") / v² c (cos x)" 0 o (tg x)" u " + v " e (ctg x) " C u " n

Uji diri anda! (u + v)" u" + v" e (u v)" u" v + u v " to (u /v)" (u' v –u v") / v² s (x ⁿ)" n x ⁿ ⁻¹ p C" 0 o (Cu)" C u " n (sin x)" Cos x e (cos x)" - sin x n (tg x)" 1 / (cos² x) t (ctg x)" - 1 / (sin² x ) a

Eksponen ialah fungsi kuasa. Eksponen ialah fungsi di mana e ialah asas logaritma semula jadi.

1 y= e x 45° Fungsi y= e x dipanggil “eksponen” x ₀ =0; tg 45° = 1 Pada titik (0;1) pekali sudut kepada tangen kepada graf fungsi k = tg 45° = 1 - makna geometri bagi terbitan eksponen Eksponen y = e x

Teorem 1. Fungsi y = e boleh dibezakan pada setiap titik domain definisi, dan (e)" = e x x x Logaritma asli (ln) ialah logaritma kepada asas e: ln x = log x e ​​Fungsi eksponen boleh dibezakan pada setiap titik domain definisi, dan (a)" = a ∙ ln a x x Teorem 2.

Formula untuk membezakan fungsi eksponen (e)" = e ; (e)" = k e ; (a)" = a ∙ ln a; (a)" = k a ∙ ln a. x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.

"Senaman melahirkan penguasaan." Tacitus Publius Cornelius - ahli sejarah Rom purba

Contoh: Cari terbitan bagi fungsi: 1. = 3 e. (e)" = (5x)" e = 5 e. 3. (4)" = 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 x)" 2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2. 5 x 5 x x (3 e)" 5 x - 7 x x x -7 x -7 x x

Perkara menarik yang berdekatan

Leonhard Euler 1707 -1783 Saintis Rusia - ahli matematik, ahli fizik, mekanik, ahli astronomi... Memperkenalkan sebutan untuk nombor e Terbukti bahawa nombor e ≈ 2, 718281... adalah tidak rasional. John Napier 1550 – 1617 Ahli matematik Scotland, pencipta logaritma. Untuk menghormatinya, nombor e dipanggil "nombor Neper."

Pertumbuhan dan pereputan fungsi pada kadar eksponen dipanggil eksponen