Definisi1: Suatu fungsi dikatakan mempunyai pada satu titik maksimum tempatan, jika terdapat kejiranan suatu titik sedemikian rupa sehingga untuk sebarang titik M dengan koordinat (x, y) ketidaksamaan memegang: . Dalam kes ini, iaitu, kenaikan fungsi< 0.

Definisi2: Suatu fungsi dikatakan mempunyai minimum setempat pada suatu titik jika terdapat kejiranan titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk mana-mana titik M dengan koordinat (x, y) ketidaksamaan memegang: . Dalam kes ini, iaitu, kenaikan fungsi > 0.

Definisi 3: Titik minima tempatan dan maksimum dipanggil titik melampau.

Keterlaluan Bersyarat

Apabila mencari ekstrem fungsi banyak pembolehubah, masalah sering timbul berkaitan dengan apa yang dipanggil ekstrem bersyarat. Konsep ini boleh dijelaskan menggunakan contoh fungsi dua pembolehubah.

Biarkan fungsi dan garis diberikan L dalam kapal terbang 0xy. Tugasnya adalah untuk mendapatkan talian L mencari titik sedemikian P(x, y), di mana nilai fungsi adalah terbesar atau terkecil berbanding dengan nilai fungsi ini pada titik pada garis L, terletak berhampiran titik P. Mata sedemikian P dipanggil titik ekstrem bersyarat berfungsi dalam talian L. Berbeza dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi bukan di semua titik kejiranan, tetapi hanya pada titik yang terletak pada garis L.

Ia benar-benar jelas bahawa titik ekstrem biasa (mereka juga berkata ekstrem tanpa syarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk mana-mana garisan yang melalui titik ini. Sebaliknya, tentu saja, tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem biasa. Biar saya jelaskan apa yang saya katakan contoh biasa. Graf fungsi ialah hemisfera atas (Lampiran 3 (Rajah 3)).

Fungsi ini mempunyai maksimum pada asal; puncak sepadan dengannya M hemisfera. Jika talian L terdapat garisan yang melalui titik-titik tersebut A Dan DALAM(persamaan dia x+y-1=0), maka jelas secara geometri bahawa untuk titik-titik garis ini nilai tertinggi fungsi dicapai pada titik yang terletak di tengah antara titik A Dan DALAM. Ini ialah titik ekstrem bersyarat (maksimum) fungsi pada baris ini; ia sepadan dengan titik M 1 pada hemisfera, dan dari angka itu jelas bahawa tidak boleh bercakap tentang mana-mana ekstrem biasa di sini.

Perhatikan bahawa di bahagian akhir masalah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup kita perlu mencari nilai ekstrem fungsi di sempadan rantau ini, i.e. pada beberapa baris, dan dengan itu menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat.

Sekarang mari kita meneruskan pencarian praktikal untuk titik ekstrem bersyarat bagi fungsi Z= f(x, y) dengan syarat pembolehubah x dan y dikaitkan dengan persamaan (x, y) = 0. Kami akan memanggil hubungan ini sebagai persamaan sambungan. Jika daripada persamaan gandingan y boleh dinyatakan secara eksplisit dalam sebutan x: y=(x), kita memperoleh fungsi satu pembolehubah Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Setelah menemui nilai x di mana fungsi ini mencapai ekstrem, dan kemudian ditentukan daripada persamaan sambungan nilai y yang sepadan, kita memperoleh titik yang dikehendaki bagi ekstrem bersyarat.

Jadi, dalam contoh di atas, daripada persamaan hubungan x+y-1=0 kita ada y=1-x. Dari sini

Adalah mudah untuk menyemak bahawa z mencapai maksimum pada x = 0.5; tetapi kemudian daripada persamaan sambungan y = 0.5, dan kita mendapat tepat titik P, didapati daripada pertimbangan geometri.

Masalah ekstrem bersyarat sangat mudah diselesaikan walaupun persamaan sambungan boleh diwakili persamaan parametrik x=x(t), y=y(t). Menggantikan ungkapan bagi x dan y ke dalam fungsi ini, kita sekali lagi datang kepada masalah mencari ekstrem bagi fungsi satu pembolehubah.

Jika persamaan gandingan mempunyai lebih daripada rupa yang kompleks dan kami tidak dapat sama ada menyatakan secara eksplisit satu pembolehubah dalam sebutan yang lain, atau menggantikannya dengan persamaan parametrik, maka tugas mencari ekstrem bersyarat menjadi lebih sukar. Kami akan terus menganggap bahawa dalam ungkapan fungsi z= f(x, y) pembolehubah (x, y) = 0. Jumlah terbitan bagi fungsi z= f(x, y) adalah sama dengan:

Di mana terbitan y` didapati menggunakan peraturan pembezaan fungsi tersirat. Pada titik ekstrem bersyarat, jumlah derivatif yang ditemui mestilah sama dengan sifar; ini memberikan satu persamaan yang mengaitkan x dan y. Oleh kerana mereka juga mesti memenuhi persamaan gandingan, kita mendapat sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui

Mari kita ubah sistem ini kepada yang lebih mudah dengan menulis persamaan pertama dalam bentuk perkadaran dan memperkenalkan alat bantu baharu yang tidak diketahui:

(tanda tolak di hadapan adalah untuk kemudahan). Daripada persamaan ini adalah mudah untuk berpindah ke sistem berikut:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

yang, bersama-sama dengan persamaan sambungan (x, y) = 0, membentuk sistem tiga persamaan dengan x, y dan yang tidak diketahui.

Persamaan ini (*) paling mudah diingat menggunakan peraturan berikut: untuk mencari titik yang boleh menjadi titik ekstrem bersyarat bagi fungsi

Z= f(x, y) dengan persamaan sambungan (x, y) = 0, anda perlu membentuk fungsi tambahan

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Di manakah beberapa pemalar, dan cipta persamaan untuk mencari titik ekstrem fungsi ini.

Sistem persamaan yang ditunjukkan menyediakan, sebagai peraturan, sahaja syarat yang perlu, iaitu tidak setiap pasangan nilai x dan y yang memenuhi sistem ini semestinya merupakan titik ekstrem bersyarat. Saya tidak akan memberikan syarat yang mencukupi untuk titik ekstrem bersyarat; sangat kerap kandungan tertentu masalah itu sendiri memberitahu anda apakah titik yang ditemui itu. Teknik yang diterangkan untuk menyelesaikan masalah pada ekstrem bersyarat dipanggil kaedah pengganda Lagrange.

Pertama, mari kita pertimbangkan kes fungsi dua pembolehubah. Ekstrem bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$ pada titik $M_0(x_0;y_0)$ ialah ekstrem bagi fungsi ini, dicapai di bawah syarat pembolehubah $x$ dan $y$ dalam sekitar titik ini memenuhi persamaan sambungan $\ varphi (x,y)=0$.

Nama ekstrem "bersyarat" adalah disebabkan oleh fakta bahawa syarat tambahan $\varphi(x,y)=0$ dikenakan ke atas pembolehubah. Jika satu pembolehubah boleh dinyatakan daripada persamaan sambungan melalui yang lain, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat dikurangkan kepada masalah menentukan ekstrem biasa fungsi satu pembolehubah. Sebagai contoh, jika persamaan sambungan membayangkan $y=\psi(x)$, kemudian menggantikan $y=\psi(x)$ kepada $z=f(x,y)$, kita memperoleh fungsi satu pembolehubah $z =f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. DALAM kes am Walau bagaimanapun, kaedah ini tidak banyak digunakan, jadi pengenalan algoritma baru diperlukan.

Kaedah pengganda Lagrange untuk fungsi dua pembolehubah.

Kaedah pengganda Lagrange terdiri daripada membina fungsi Lagrange untuk mencari ekstrem bersyarat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda$ dipanggil pengganda Lagrange). Syarat-syarat yang diperlukan untuk ekstrem ditentukan oleh sistem persamaan dari mana titik pegun ditentukan:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=0;\\ & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.

Keadaan yang mencukupi untuk menentukan sifat ekstrem ialah tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jika pada titik pegun $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ mempunyai minimum bersyarat pada ketika ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.

Terdapat satu lagi cara untuk menentukan sifat ekstrem. Daripada persamaan gandingan kita perolehi: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, oleh itu pada mana-mana titik pegun kita ada:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Faktor kedua (terletak dalam kurungan) boleh diwakili dalam bentuk ini:

Unsur penentu $\left| diserlahkan dengan warna merah. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, iaitu Hessian bagi fungsi Lagrange. Jika $H > 0$, maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, iaitu kita mempunyai minimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$.

Nota mengenai tatatanda penentu $H$. tunjukkan\sembunyi

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Dalam situasi ini, peraturan yang dirumuskan di atas akan berubah seperti berikut: jika $H > 0$, maka fungsi mempunyai minimum bersyarat, dan jika $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritma untuk mengkaji fungsi dua pembolehubah untuk ekstrem bersyarat

1. Karang fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Selesaikan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.$
3. Tentukan sifat ekstrem dalam setiap yang terdapat dalam perenggan sebelumnya titik pegun. Untuk melakukan ini, gunakan mana-mana kaedah berikut:
   • Susun penentu $H$ dan ketahui tandanya
   • Dengan mengambil kira persamaan gandingan, hitung tanda $d^2F$

Kaedah pengganda lagrange untuk fungsi n pembolehubah

Katakan kita mempunyai fungsi $n$ pembolehubah $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan $m$ persamaan gandingan ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Menandakan pengganda Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kami menyusun fungsi Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Syarat yang diperlukan untuk kehadiran ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik pegun dan nilai pengganda Lagrange ditemui:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Anda boleh mengetahui sama ada fungsi mempunyai minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemui, seperti sebelum ini, menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik yang ditemui $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut mempunyai minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Penentu matriks $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(n)) \\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_1) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)^(2)) & \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(n))\\ \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(3) \sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)\sebahagian x_(2)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(2)) & \ frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)^(2))\\ \end( tatasusunan) \kanan|$, diserlahkan dengan warna merah dalam matriks $L$, ialah Hessian bagi fungsi Lagrange. Kami menggunakan peraturan berikut:

• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ bertepatan dengan tanda $(-1)^m$, maka titik pegun yang dikaji ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ berselang-seli, dan tanda kecil $H_(2m+1)$ bertepatan dengan tanda nombor $(-1)^(m+1 )$, maka titik pegun ialah titik maksimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Contoh No 1

Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=x+3y$ di bawah keadaan $x^2+y^2=10$.

Tafsiran geometri masalah ini adalah seperti berikut: ia diperlukan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi aplikasi satah $z=x+3y$ untuk titik persilangannya dengan silinder $x^2+y ^2=10$.

Agak sukar untuk menyatakan satu pembolehubah melalui yang lain daripada persamaan gandingan dan menggantikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan kaedah Lagrange.

Menandakan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kami menyusun fungsi Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\sebahagian x)=1+2\lambda x; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=3+2\lambda y. $$

Mari kita tulis satu sistem persamaan untuk menentukan titik pegun bagi fungsi Lagrange:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \tamat (diselaraskan)\kanan.$$

Jika kita menganggap $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Percanggahan yang terhasil menunjukkan bahawa $\lambda\neq 0$. Di bawah keadaan $\lambda\neq 0$, daripada persamaan pertama dan kedua kita ada: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita dapat:

$$ \kiri(-\frac(1)(2\lambda) \kanan)^2+\kiri(-\frac(3)(2\lambda) \kanan)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(diselaraskan) $$

Jadi, sistem mempunyai dua penyelesaian: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami mengira penentu $H$ pada setiap titik.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \kanan| $$

Pada titik $M_1(1;3)$ kita dapat: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik Fungsi $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=z(1;3)=10$.

Begitu juga, pada titik $M_2(-1,-3)$ kita dapati: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Saya perhatikan bahawa daripada mengira nilai penentu $H$ pada setiap titik, adalah lebih mudah untuk mengembangkannya dalam pandangan umum. Untuk tidak mengacaukan teks dengan butiran, saya akan menyembunyikan kaedah ini di bawah nota.

Menulis penentu $H$ dalam bentuk am. tunjukkan\sembunyi

$$ H=8\cdot\left|\mulakan(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\kanan| =8\cdot\kiri(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\kanan) =-8\lambda\cdot\kiri(y^2+x^2\kanan). $$

Pada dasarnya, sudah jelas tanda yang ada pada $H$. Oleh kerana tiada mata $M_1$ atau $M_2$ bertepatan dengan asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh itu, tanda $H$ adalah bertentangan dengan tanda $\lambda$. Anda boleh melengkapkan pengiraan:

$$ \mulakan(diselaraskan) &H(M_1)=-8\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri(3^2+1^2\kanan)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(diselaraskan) $$

Soalan tentang sifat ekstrem pada titik pegun $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ boleh diselesaikan tanpa menggunakan penentu $H$. Mari kita cari tanda $d^2F$ pada setiap titik pegun:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Biar saya ambil perhatian bahawa notasi $dx^2$ bermakna tepat $dx$ dinaikkan kepada kuasa kedua, i.e. $\kiri(dx \kanan)^2$. Oleh itu kita mempunyai: $dx^2+dy^2>0$, oleh itu, dengan $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita mendapat $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Jawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=10$

Contoh No. 2

Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ di bawah keadaan $x+y=0$.

Kaedah pertama (kaedah pengganda Lagrange)

Menandakan $\varphi(x,y)=x+y$, kami menyusun fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=9y^2-x+\lambda.\\ \kiri \( \mula(dijajar) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(aligned) \right.

Setelah menyelesaikan sistem, kami mendapat: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Kami mempunyai dua titik pegun: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun menggunakan penentu $H$.

$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, oleh itu pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Kami menyiasat sifat ekstrem pada setiap titik menggunakan kaedah yang berbeza, berdasarkan tanda $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Daripada persamaan sambungan $x+y=0$ kita ada: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Oleh kerana $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Begitu juga, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cara kedua

Daripada persamaan sambungan $x+y=0$ kita dapat: $y=-x$. Menggantikan $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita memperoleh beberapa fungsi pembolehubah $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Oleh itu, kami mengurangkan masalah mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah kepada masalah menentukan ekstrem fungsi satu pembolehubah.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Kami memperoleh mata $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Kajian lanjut diketahui dari kursus tersebut kalkulus pembezaan berfungsi dengan satu pembolehubah. Dengan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik pegun atau menyemak perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik yang ditemui, kami memperoleh kesimpulan yang sama seperti apabila menyelesaikan kaedah pertama Sebagai contoh, kami akan menyemak tanda $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Oleh kerana $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ ialah titik minimum bagi fungsi $u(x)$, dan $u_(\min)=u(0)=0 $ . Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Nilai fungsi $u(x)$ untuk keadaan sambungan tertentu bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, i.e. extrema yang ditemui bagi fungsi $u(x)$ ialah extrema bersyarat yang dicari bagi fungsi $z(x,y)$.

Jawab: pada titik $(0;0)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Mari kita pertimbangkan contoh lain di mana kita akan menjelaskan sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.

Contoh No. 3

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi $z=5xy-4$ jika pembolehubah $x$ dan $y$ adalah positif dan memenuhi persamaan sambungan $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Mari kita karang fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Mari cari titik pegun bagi fungsi Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kiri \( \mula(diselaraskan) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; y > 0. \end(aligned) \right.

Semua transformasi selanjutnya dijalankan dengan mengambil kira $x > 0; \; y > 0$ (ini dinyatakan dalam pernyataan masalah). Daripada persamaan kedua kita nyatakan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Menggantikan $x=2y$ ke dalam persamaan ketiga, kita dapat: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Oleh kerana $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Kami menentukan sifat ekstrem pada titik $(2;1)$ berdasarkan tanda $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Oleh kerana $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Pada dasarnya, di sini anda boleh segera menggantikan koordinat titik pegun $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, mendapatkan:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Walau bagaimanapun, dalam masalah lain pada ekstrem bersyarat mungkin terdapat beberapa titik pegun. Dalam kes sedemikian, adalah lebih baik untuk mewakili $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian menggantikan koordinat setiap titik pegun yang ditemui ke dalam ungkapan yang terhasil:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$

Menggantikan $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita dapat:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Oleh kerana $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Jawab: pada titik $(2;1)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=6$.

Dalam bahagian seterusnya kita akan mempertimbangkan penggunaan kaedah Lagrange untuk fungsi lebih pembolehubah.

Contoh

Cari ekstrem bagi fungsi dengan syarat itu X Dan di dikaitkan dengan hubungan: .
Secara geometri, masalahnya bermaksud perkara berikut: pada elips
.

kapal terbang
Masalah ini boleh diselesaikan dengan cara ini: dari persamaan
X:

kita jumpa
dengan syarat itu
.

, dikurangkan kepada masalah mencari ekstrem fungsi satu pembolehubah pada selang Secara geometri, masalahnya bermaksud perkara berikut: pada elips
Secara geometri, masalahnya bermaksud perkara berikut: pada elips
, anda perlu mencari nilai maksimum atau minimum bagi pemohon (Gamb.9). Masalah ini boleh diselesaikan dengan cara ini: dari persamaan
Masalah ini boleh diselesaikan dengan cara ini: dari persamaan
. Menggantikan nilai y yang ditemui ke dalam persamaan satah, kita memperoleh fungsi satu pembolehubah X:

Oleh itu, masalah mencari ekstrem fungsi
kita jumpa
, dikurangkan kepada masalah mencari ekstrem fungsi satu pembolehubah pada selang.

Jadi, masalah mencari ekstrem bersyarat– ini adalah masalah mencari ekstrem fungsi objektif
, dengan syarat pembolehubah X Dan di tertakluk kepada sekatan
, dipanggil persamaan sambungan.

Katakan begitu titik
, memenuhi persamaan gandingan, ialah titik maksimum bersyarat tempatan (minimum), jika ada kejiranan
supaya untuk sebarang mata
, yang koordinatnya memenuhi persamaan sambungan, ketaksamaan itu dipenuhi.

Jika daripada persamaan gandingan seseorang boleh mencari ungkapan untuk di, kemudian, dengan menggantikan ungkapan ini ke dalam fungsi asal, kita menukar yang terakhir menjadi fungsi kompleks bagi satu pembolehubah X.

Kaedah umum untuk menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat ialah Kaedah pengganda Lagrange. Mari kita buat fungsi tambahan, di mana ─ beberapa nombor. Fungsi ini dipanggil Fungsi Lagrange, A ─ Pengganda Lagrange. Oleh itu, tugas mencari ekstrem bersyarat telah dikurangkan kepada mencari titik ekstrem tempatan untuk fungsi Lagrange. Untuk mencari titik ekstrem yang mungkin, anda perlu menyelesaikan sistem 3 persamaan dengan tiga yang tidak diketahui x, y Dan.

Kemudian anda harus menggunakan syarat yang mencukupi berikut untuk ekstrem.

TEOREM. Biarkan titik itu menjadi titik ekstrem yang mungkin untuk fungsi Lagrange. Mari kita anggap bahawa di sekitar titik itu
terdapat terbitan separa urutan kedua berterusan bagi fungsi Dan . Mari kita nyatakan

Kemudian jika
, Itu
─ titik ekstrem bersyarat bagi fungsi
dengan persamaan gandingan
dalam kes ini, jika
, Itu
─ titik minimum bersyarat, jika
, Itu
─ titik maksimum bersyarat.

§8. Kecerunan dan terbitan berarah

Biarkan fungsi
ditakrifkan di beberapa kawasan (terbuka). Pertimbangkan mana-mana perkara
kawasan ini dan mana-mana garis lurus berarah (paksi) , melalui titik ini (Rajah 1). biarlah
- beberapa titik lain pada paksi ini,
– panjang segmen antara
Dan
, diambil dengan tanda tambah, jika arah
bertepatan dengan arah paksi , dan dengan tanda tolak jika arahnya bertentangan.

biarlah
menghampiri selama-lamanya
. had

dipanggil terbitan bagi suatu fungsi
dalam arah (atau sepanjang paksi ) dan dilambangkan seperti berikut:

.

Derivatif ini mencirikan "kadar perubahan" fungsi pada titik
dalam arah . Khususnya, derivatif separa biasa ,juga boleh dianggap sebagai derivatif "berkenaan dengan arah".

Sekarang mari kita anggap bahawa fungsi
mempunyai derivatif separa berterusan di rantau yang sedang dipertimbangkan. Biarkan paksi membentuk sudut dengan paksi koordinat
Dan . Di bawah andaian yang dibuat, terbitan arah wujud dan dinyatakan oleh formula

.

Jika vektor
diberikan oleh koordinatnya
, maka terbitan bagi fungsi tersebut
mengikut arah vektor
boleh dikira menggunakan formula:

.

Vektor dengan koordinat
dipanggil vektor kecerunan fungsi
pada titik
. Vektor kecerunan menunjukkan arah peningkatan terpantas dalam fungsi pada titik tertentu.

Contoh

Diberi fungsi, titik A(1, 1) dan vektor
. Cari: 1)grad z pada titik A; 2) terbitan pada titik A dalam arah vektor .

Terbitan separa bagi fungsi tertentu pada satu titik
:

;
.

Kemudian vektor kecerunan fungsi pada titik ini ialah:
. Vektor kecerunan juga boleh ditulis menggunakan penguraian vektor Dan :

. Terbitan fungsi mengikut arah vektor :

Jadi,
,
.◄

Perlu dan syarat yang mencukupi ekstrem fungsi dua pembolehubah. Titik dipanggil titik minimum (maksimum) fungsi jika dalam kejiranan tertentu titik fungsi itu ditakrifkan dan memenuhi ketaksamaan (masing-masing, titik maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem fungsi.

Keadaan yang perlu untuk ekstrem. Jika pada titik ekstrem fungsi mempunyai derivatif separa pertama, maka ia lenyap pada ketika ini. Ia berikutan bahawa untuk mencari titik ekstrem bagi fungsi sedemikian, seseorang mesti menyelesaikan sistem persamaan Titik yang koordinatnya memenuhi sistem ini dipanggil titik kritikal fungsi. Antaranya mungkin terdapat mata maksimum, mata minimum, dan juga mata yang bukan mata ekstrem.

Keadaan ekstrem yang mencukupi digunakan untuk mengenal pasti titik ekstrem daripada set titik kritikal dan disenaraikan di bawah.

Biarkan fungsi mempunyai terbitan separa kedua berterusan pada titik kritikal. Jika pada ketika ini benar

keadaan maka ia adalah titik minimum pada dan titik maksimum pada Jika pada titik kritikal maka ia bukan titik ekstrem. Dalam kes ini, kajian yang lebih halus tentang sifat titik kritikal diperlukan, yang dalam kes ini mungkin atau mungkin bukan titik ekstrem.

Ekstrema fungsi tiga pembolehubah. Dalam kes fungsi tiga pembolehubah definisi titik ekstrem mengulangi secara verbatim takrifan yang sepadan untuk fungsi dua pembolehubah. Kami mengehadkan diri kami untuk membentangkan prosedur untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem. Apabila menyelesaikan sistem persamaan, seseorang harus mencari titik kritikal fungsi, dan kemudian pada setiap titik kritikal mengira nilai

Jika ketiga-tiga kuantiti adalah positif, maka titik kritikal yang dimaksudkan ialah titik minimum; jika maka titik kritikal ini adalah titik maksimum.

Ekstrem bersyarat fungsi dua pembolehubah. Titik dipanggil titik minimum (maksimum) bersyarat bagi fungsi dengan syarat terdapat kejiranan titik di mana fungsi itu ditakrifkan dan di mana (masing-masing) untuk semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan.

Untuk mencari titik ekstrem bersyarat, gunakan fungsi Lagrange

di mana nombor itu dipanggil pengganda Lagrange. Menyelesaikan sistem tiga persamaan

cari titik genting bagi fungsi Lagrange (serta nilai faktor tambahan A). Dalam ini titik kritikal mungkin terdapat keterlaluan bersyarat. Sistem di atas hanya menyediakan syarat yang diperlukan untuk ekstrem, tetapi tidak mencukupi: ia boleh dipenuhi dengan koordinat titik yang bukan titik ekstrem bersyarat. Walau bagaimanapun, berdasarkan intipati masalah, selalunya mungkin untuk mewujudkan sifat titik kritikal.

Ekstrem bersyarat bagi fungsi beberapa pembolehubah. Mari kita pertimbangkan fungsi pembolehubah di bawah syarat ia dikaitkan dengan persamaan