Kestabilan rod termampat tegasan kritikal formula Euler. Formula Euler untuk daya kritikal

Lentur membujur

Apabila mengira kekuatan ia diandaikan, Apa keseimbangan struktur di bawah pengaruh kuasa luar adalah mampan. Walau bagaimanapun, kegagalan struktur mungkin berlaku disebabkan oleh fakta bahawa keseimbangan struktur untuk satu sebab atau yang lain ternyata tidak stabil. Dalam banyak kes, sebagai tambahan kepada memeriksa kekuatan, ia juga perlu untuk dijalankan pemeriksaan kestabilan elemen struktur.

Keadaan keseimbangan dipertimbangkan mampan, jika bagi sebarang kemungkinan sisihan sistem daripada kedudukan keseimbangan timbul kuasa yang berusaha untuk mengembalikannya ke kedudukan asalnya.

Mari kita pertimbangkan jenis keseimbangan yang diketahui.

Tak stabil keseimbangan negeri akan berlaku dalam kes apabila, semasa sekurang-kurangnya satu penyimpangan sistem yang mungkin dari kedudukan keseimbangan, daya timbul, berusaha untuk mengeluarkannya dari kedudukan asalnya.

Keadaan keseimbangan akan menjadi acuh tak acuh, jika, dengan pelbagai sisihan sistem dari kedudukan keseimbangan, timbul daya yang cenderung untuk mengembalikannya ke kedudukan awal, tetapi dengan sekurang-kurangnya salah satu sisihan yang mungkin sistem terus kekal dalam keseimbangan tanpa adanya daya yang cenderung untuk kembali. ke kedudukan awal atau keluarkannya dari kedudukan ini.

Pada kehilangan kestabilan, sifat perubahan operasi struktur, kerana jenis ubah bentuk ini bertukar menjadi yang lain, lebih berbahaya, mampu membawa kepada kemusnahannya di bawah beban dengan ketara kurang daripada yang dijangkakan daripada pengiraan kekuatan. Ia adalah sangat ketara kehilangan kestabilan disertai dengan peningkatan ubah bentuk yang besar, oleh itu fenomena ini bersifat malapetaka.

Semasa peralihan daripada keadaan keseimbangan stabil kepada keadaan tidak stabil, struktur itu melalui keadaan keseimbangan acuh tak acuh. Sekiranya struktur dalam keadaan ini diberi sedikit sisihan daripada kedudukan awal, maka selepas tindakan punca yang menyebabkan penyelewengan ini terhenti, struktur tidak akan kembali ke kedudukan asalnya, tetapi akan dapat mengekalkan kedudukan baru yang diberikan. kepadanya kerana penyelewengan.

Keadaan keseimbangan acuh tak acuh, yang mewakili, seolah-olah, sempadan antara dua keadaan asas - stabil dan tidak stabil, dipanggil keadaan kritikal. Beban di mana struktur mengekalkan keadaan keseimbangan acuh tak acuh dipanggil beban kritikal.

Eksperimen menunjukkan bahawa ia biasanya cukup untuk meningkatkan sedikit beban berbanding dengan nilai kritikalnya untuk struktur kehilangan kapasiti menanggung beban akibat ubah bentuk yang besar dan gagal. Dalam peralatan pembinaan, kehilangan kestabilan walaupun satu elemen struktur menyebabkan pengagihan semula daya di seluruh struktur dan sering membawa kepada kemalangan.

Lenturan rod yang dikaitkan dengan kehilangan kestabilan dipanggil lenturan membujur.

Daya kritikal. Voltan kritikal

Nilai terkecil bagi daya mampatan di mana bentuk awal keseimbangan rod - rectilinear - menjadi tidak stabil - melengkung - dipanggil kritikal.

Dalam mengkaji kestabilan bentuk keseimbangan sistem anjal, langkah pertama telah diambil Euler.

DALAM peringkat elastik ubah bentuk rod di bawah tekanan, tidak melebihi had perkadaran, daya kritikal dikira dengan Formula Euler:

di mana Imin – momen inersia minimum bahagian rod(disebabkan oleh fakta bahawa lenturan rod berlaku dalam satah dengan ketegaran paling sedikit), namun, pengecualian hanya boleh berlaku dalam kes di mana keadaan untuk mengikat hujung rod berbeza dalam satah yang berbeza, ℓ - geometri panjang batang, μ – atau (bergantung kepada kaedah mengikat hujung rod), Nilai μ diberikan di bawah rajah yang sepadan untuk mengikat rod

Voltan kritikal dikira seperti berikut

, Di mana fleksibiliti batang,

A jejari kilasan bahagian.

Mari kita perkenalkan konsepnya fleksibiliti yang melampau.

Magnitud λ sebelum ini hanya bergantung pada jenis bahan:

jika anda keluli 3 E=2∙10 11 Pa, dan σ pts =200 MPa, Itu fleksibiliti yang melampau

Untuk kayu (pine, spruce) fleksibiliti yang melampauλ pra=70, untuk besi tuang λ pra=80

Oleh itu, untuk rod yang sangat fleksibel λ≥λ sebelum ini daya kritikal ditentukan oleh Formula Euler.

Dalam peringkat elastoplastik ubah bentuk rod, apabila nilai fleksibiliti berada dalam julat λ 0 ≤λ≤λ pr,(rod fleksibiliti sederhana) pengiraan dijalankan mengikut formula empirik, sebagai contoh, anda boleh menggunakan formula Yasinsky F.S. Nilai parameter yang dimasukkan ke dalamnya ditentukan secara empirik untuk setiap bahan.

σ к =а-bλ, atau F cr= A(a— bλ)

di mana a Dan b– pemalar ditentukan secara eksperimen ( Oleh itu, untuk keluli3 A=310MPa, b=1.14 MPa.

Pada nilai fleksibiliti rod 0≤λ≤λ 0(rod fleksibiliti rendah) tiada kehilangan kestabilan diperhatikan.

Oleh itu, had kebolehgunaan Formula Euler — Ia digunakan hanya dalam zon ubah bentuk elastik.

Keadaan kestabilan. Jenis masalah semasa mengira kestabilan.

Keadaan kestabilan rod termampat ialah ketaksamaan:

Di sini tegasan kestabilan yang dibenarkan [σ mulut] bukan nilai tetap, kerana ia berada di bawah keadaan kekuatan, tetapi bergantung kepada yang berikut faktor:

1) pada panjang rod, pada dimensi dan juga pada bentuk keratan rentas,

2) mengenai kaedah mengikat hujung batang,

3) pada bahan rod.

Seperti mana-mana nilai yang dibenarkan, [σ mulut] ditentukan oleh nisbah tegasan berbahaya bagi rod termampat kepada faktor keselamatan. Untuk rod termampat, yang dipanggil tekanan kritikal σ cr, di mana batang kehilangan kestabilan bentuk keseimbangan asal.

sebab tu

Nilai faktor keselamatan dalam masalah kestabilan diambil lebih besar sedikit daripada nilai, iaitu jika k=1÷2, kemudian kmulut=2÷5.

Tegasan yang dibenarkan untuk kestabilan boleh dikaitkan dengan tegasan yang dibenarkan untuk kekuatan:

Dalam kes ini ,

di mana σт– tegasan yang berbahaya dari sudut kekuatan (untuk bahan plastik ini adalah kekuatan hasil, dan untuk bahan rapuh ini adalah kekuatan mampatan σ Matahari ).

Pekali φ<1 dan itulah sebabnya ia dipanggil faktor pengurangan tekanan dibenarkan utama, iaitu [σ] dari segi kekuatan, atau sebaliknya

Dengan kata itu keadaan kestabilan untuk rod termampat mengambil bentuk:

Nilai berangka pekali φ dipilih daripada jadual bergantung pada bahan dan jumlah fleksibiliti batang, di mana:

μ – faktor panjang berkurangan(bergantung pada kaedah mengamankan hujung rod), ℓ - geometri panjang batang,

i – jejari kilasan keratan rentas relatif kepada salah satu paksi pusat utama bahagian di sekeliling keratan rentas akan berputar selepas beban mencapai nilai kritikal.

Pekali φ berbeza dalam julat 0≤φ≤1, bergantung, seperti yang telah disebutkan, pada kedua-dua sifat fizikal dan mekanikal bahan dan pada fleksibiliti λ. Hubungan antara φ dan λ untuk pelbagai bahan biasanya dibentangkan dalam bentuk jadual secara bertahap ∆λ=10.

Apabila mengira nilai φ untuk rod dengan nilai fleksibiliti yang tidak boleh dibahagikan dengan 10, gunakan peraturan interpolasi linear.

Nilai pekali φ bergantung kepada fleksibiliti λ untuk bahan

Berdasarkan keadaan kestabilan, kami menyelesaikannya tiga jenis tugasan:

1. Pemeriksaan kestabilan.
2. Pemilihan bahagian.
3. Penentuan beban yang dibenarkan(atau beban selamat, atau kapasiti beban rod: [F]=φ[σ] A .

Masalah yang paling sukar ialah menyelesaikan masalah memilih bahagian, memandangkan luas keratan rentas yang diperlukan disertakan dalam kedua-dua belah kiri dan kanan keadaan kestabilan:

Hanya di sebelah kanan ketaksamaan ini adalah luas keratan rentas dalam bentuk tersirat: ia termasuk dalam formula jejari kilasan, yang seterusnya dimasukkan ke dalam formula untuk fleksibiliti, di mana nilai pekali lengkok bergantung φ . Oleh itu, di sini kita perlu menggunakan kaedah percubaan dan kesilapan, yang dinyatakan dalam bentuk kaedah penghampiran berturut-turut:

1 percubaan: kami tertanya-tanya φ1 dari zon tengah meja, cari , tentukan dimensi bahagian, kira , kemudian fleksibiliti , tentukan daripada jadual dan bandingkan dengan nilai φ1. Jika , maka.

Universiti Pengangkutan Negeri Irkutsk

Kerja makmal No. 16

secara disiplin "Kekuatan bahan"

PENENTUAN EKSPERIMEN KUASA KRITIKAL

DENGAN BENGKUNG MAMPU

Jabatan PM

Kerja makmal No. 16

Penentuan eksperimen daya kritikal semasa lenturan membujur

Tujuan kerja: kajian tentang fenomena kehilangan kestabilan rod keluli termampat dalam anjal

peringkat. Penentuan eksperimen nilai-nilai beban mampat kritikal

rod dengan kaedah pengikat yang berbeza dan membandingkannya dengan yang teori

nilai.

Peruntukan am

Ia tidak mencukupi untuk menguji rod termampat untuk kekuatan mengikut keadaan yang diketahui:

,

di mana [σ] ialah tegasan yang dibenarkan untuk bahan rod, P - daya mampatan, F – luas keratan rentas.

Dalam amalan, jurutera berurusan dengan rod fleksibel, plat mampat nipis, dan struktur berdinding nipis tertakluk kepada mampatan, kegagalannya bukan disebabkan oleh kehilangan kapasiti galas, tetapi oleh kehilangan kestabilan.

Kehilangan kestabilan merujuk kepada kehilangan bentuk keseimbangan asal.

Kekuatan bahan mengambil kira kestabilan elemen struktur yang beroperasi dalam pemampatan.

Pertimbangkan rod nipis panjang (Rajah 1) yang dimuatkan dengan daya mampatan paksi P .

P< P cr P > P cr

nasi. 1. Rod dimuatkan dengan daya mampatan paksi P .

Pada nilai daya rendah F rod mengecut semasa kekal lurus. Lebih-lebih lagi, jika rod terpesong dari kedudukan ini dengan beban melintang kecil, ia akan bengkok, tetapi apabila ia dikeluarkan, rod kembali ke keadaan lurus. Ini bermakna bahawa untuk kuasa tertentu P keseimbangan bentuk rectilinear bagi rod adalah stabil.

Jika anda terus meningkatkan daya mampatan P , maka pada nilai tertentu, bentuk keseimbangan rectilinear menjadi tidak stabil dan bentuk keseimbangan baru rod timbul - curvilinear (Rajah 1, b) . Oleh kerana lenturan rod, momen lentur akan muncul di bahagiannya, yang akan menyebabkan tekanan tambahan, dan rod mungkin tiba-tiba gagal.

Kelengkungan rod panjang yang dimampatkan oleh daya membujur dipanggil lenturan membujur .

Nilai terbesar bagi daya mampatan di mana bentuk kesetimbangan rectilinear rod adalah stabil dipanggil kritikal - P cr.

Apabila beban kritikal dicapai, perubahan kualitatif yang tajam dalam bentuk keseimbangan awal berlaku, yang membawa kepada kegagalan struktur. Oleh itu, daya kritikal dianggap sebagai beban pecah.

Formula Euler dan Jasinski

Masalah menentukan daya kritikal rod termampat pertama kali diselesaikan oleh L. Euler, ahli Akademi Sains St. Petersburg, pada tahun 1744. Formula Euler mempunyai bentuk

(1)

di mana E – modulus keanjalan bahan rod; J min- momen inersia terkecil keratan rentas rod (kerana kelengkungan rod semasa kehilangan kestabilan berlaku dalam satah paling kurang ketegaran, iaitu, keratan rentas rod berputar mengelilingi paksi berbanding dengan momen inersia adalah minimum, iaitu sama ada di sekeliling paksi x , atau di sekeliling paksi y );

(μ· l ) – panjang rod dikurangkan, ini adalah hasil darab panjang rod l dengan pekali μ, yang bergantung pada kaedah mengikat hujung rod.

Pekali μ dipanggil faktor pengurangan panjang ;nilainya untuk kes-kes yang paling biasa mengikat hujung rod ditunjukkan dalam Rajah. 2:

A- kedua-dua hujung rod berengsel dan boleh bergerak lebih rapat;

b- satu hujung diapit tegar, satu lagi bebas;

V- satu hujung berengsel, yang kedua mempunyai "meterai terapung melintang";

G - satu hujung diapit tegar, yang kedua mempunyai "meterai terapung melintang";

d- satu hujung dipasang dengan tegar, di sisi lain terdapat sokongan berengsel dan boleh alih;

e- kedua-dua hujung dicubit kuat, tetapi boleh bergerak lebih rapat.

Daripada contoh-contoh ini jelas bahawa pekali μ ialah salingan bilangan separuh gelombang garis kenyal rod apabila kehilangan kestabilan.

nasi. 2. Pekali μ paling kerap

kes mengikat hujung rod.

Tegasan normal dalam keratan rentas rod termampat, sepadan dengan nilai kritikal daya mampatan, juga dipanggil kritikal.

Mari kita tentukan berdasarkan formula Euler:

(2)

Ciri geometri bahagian i min, ditentukan oleh formula

dipanggil jejari kilasan bahagian (berbanding dengan paksi c J min). Untuk bahagian segi empat tepat

Dengan mengambil kira (3), formula (2) akan mengambil bentuk:

(4)

Nisbah panjang batang yang dikurangkan kepada jejari minimum lilitan keratan rentasnya mengikut cadangan profesor Institut Jurutera Kereta Api St. Petersburg F.S. Yasinsky (1856-1899) dipanggil fleksibiliti rod dan dilambangkan dengan huruf λ :

Nilai tanpa dimensi ini pada masa yang sama mencerminkan parameter berikut: panjang rod, kaedah pengancingnya dan ciri keratan rentas.

Akhirnya, menggantikan (5) ke dalam formula (4), kita perolehi

Apabila mendapatkan formula Euler, diandaikan bahawa bahan rod adalah kenyal dan mengikut hukum Hooke. Akibatnya, formula Euler hanya boleh digunakan pada tegasan kurang daripada had kekadaran σ pc, iaitu apabila

Keadaan ini menentukan had kebolehgunaan formula Euler:

Kuantiti di sebelah kanan ketaksamaan ini dipanggil fleksibiliti yang melampau :

nilainya bergantung kepada sifat fizikal dan mekanikal bahan rod.

Untuk keluli karbon rendah Seni. 3, yang mana σ pc= 200 MPa, E = 2· 10 5 MPa:

Begitu juga, anda boleh mengira nilai fleksibiliti maksimum untuk bahan lain: untuk besi tuang λ sebelum ini= 80, untuk pain λ sebelum ini = 110.

Oleh itu, formula Euler boleh digunakan untuk rod yang fleksibilitinya lebih besar daripada atau sama dengan fleksibiliti muktamad, i.e.

λ ≥ λ sebelum ini

Ini mesti difahami dengan cara ini: jika fleksibiliti rod lebih besar daripada fleksibiliti maksimum, maka daya kritikal mesti ditentukan menggunakan formula Euler.

Pada λ < λ sebelum ini Formula Euler untuk rod tidak terpakai. Dalam kes ini, apabila fleksibiliti rod kurang daripada maksimum, nilai empirikal digunakan dalam pengiraan. Formula Yasinski :

σ cr = a – b· λ , (7)

di mana A Dan b - pekali yang ditentukan secara eksperimen yang malar untuk bahan tertentu; mereka mempunyai dimensi ketegangan.

Pada beberapa nilai fleksibiliti λ O voltan σ cr, dikira mengikut formula (7), menjadi sama dengan tegasan mampatan muktamad, iaitu, kekuatan alah σ T untuk bahan plastik atau kekuatan mampatan σ Matahari- untuk bahan rapuh. Batang fleksibiliti rendah ( λ < λ O) tidak dikira pada kestabilan, tetapi pada kekuatan di bawah pemampatan mudah.

Oleh itu, bergantung kepada fleksibiliti, pengiraan kestabilan rod termampat dijalankan secara berbeza.

Untuk mencari tegasan genting, adalah perlu untuk mengira daya genting, iaitu, daya mampatan paksi terkecil yang mampu mengekalkan rod mampat yang sedikit melengkung dalam keseimbangan.

Masalah ini pertama kali diselesaikan oleh Ahli Akademik Akademi Sains St. Petersburg L. Euler pada tahun 1744.

Ambil perhatian bahawa rumusan masalah adalah berbeza daripada semua bahagian kursus yang dipertimbangkan sebelum ini. Jika sebelum ini kita menentukan ubah bentuk rod di bawah beban luaran yang diberikan, maka di sini kita menimbulkan masalah songsang: memandangkan kelengkungan paksi rod termampat, kita harus menentukan pada berapa nilai daya mampatan paksi R kelengkungan sedemikian mungkin.

Mari kita pertimbangkan batang lurus keratan rentas malar, disokong berengsel di hujungnya; salah satu penyokong membolehkan pergerakan membujur hujung rod yang sepadan (Rajah 3). Kami mengabaikan berat joran itu sendiri.

Rajah.3. Skim pengiraan dalam "Masalah Euler"

Marilah kita memuatkan rod dengan daya mampatan membujur yang digunakan secara berpusat dan memberikannya kelengkungan yang sangat sedikit pada satah yang paling tidak tegar; rod disimpan dalam keadaan melengkung, yang mungkin kerana .

Ubah bentuk lenturan rod diandaikan sangat kecil, jadi untuk menyelesaikan masalah yang ditimbulkan seseorang boleh menggunakan persamaan pembezaan anggaran untuk paksi melengkung rod. Dengan memilih asal pada titik A dan arah paksi koordinat, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3, kita mempunyai:

(1)

Mari kita ambil bahagian dari jauh X dari asal usul; ordinat bagi paksi melengkung dalam bahagian ini ialah di, dan momen lentur adalah sama dengan

Mengikut skema asal, momen lentur ternyata negatif, tetapi ordinat untuk arah paksi yang dipilih adalah di ternyata positif. (Jika rod dibengkokkan dengan cembung ke bawah, maka momen itu akan menjadi positif, dan di- negatif dan .)

Persamaan pembezaan yang baru diberikan mengambil bentuk:

membahagi kedua-dua belah persamaan dengan EJ dan menandakan pecahan melalui kami membawanya ke bentuk:

Kamiran am persamaan ini mempunyai bentuk:

Penyelesaian ini melibatkan tiga perkara yang tidak diketahui: pemalar penyepaduan A Dan b dan nilainya, kerana magnitud daya kritikal tidak diketahui oleh kami.

Keadaan sempadan di hujung rod memberikan dua persamaan:

di titik A di x = 0 pesongan di = 0,

DALAM X= 1 di = 0.

Ia mengikuti daripada syarat pertama (sejak cos kx =1)

Jadi paksi melengkung ialah sinusoid dengan persamaan

(2)

Menggunakan syarat kedua, kita gantikan ke dalam persamaan ini

di= 0 dan X = l

kita dapat:

Ia mengikutinya sama ada A atau kl adalah sama dengan sifar.

Jika A adalah sama dengan sifar, maka daripada persamaan (2) ia mengikuti bahawa pesongan dalam mana-mana bahagian rod adalah sama dengan sifar, iaitu, rod kekal lurus. Ini bercanggah dengan premis asal kesimpulan kami. Oleh itu dosa kl= 0, dan kuantiti boleh mempunyai siri nilai tak terhingga berikut:

di manakah sebarang integer.

Dari sini, dan sejak itu

Dalam erti kata lain, beban yang mampu mengekalkan keseimbangan rod yang sedikit melengkung secara teori boleh mempunyai beberapa nilai. Tetapi kerana kita sedang mencari, dan ia menarik dari sudut pandangan praktikal, nilai terkecil daya mampatan paksi di mana lenturan membujur menjadi mungkin, kita harus menerima .

Punca pertama =0 memerlukan ia sama dengan sifar, yang tidak sepadan dengan data awal masalah; oleh itu punca ini mesti dibuang dan nilainya diambil sebagai punca terkecil. Kemudian kita mendapat ungkapan untuk daya kritikal:

Oleh itu, lebih banyak titik lenturan pada paksi lengkung sinusoidal rod, lebih besar daya kritikal yang sepatutnya. Kajian yang lebih lengkap menunjukkan bahawa bentuk keseimbangan yang ditentukan oleh formula (1) adalah tidak stabil; mereka berubah menjadi bentuk yang stabil hanya dengan kehadiran sokongan perantaraan pada titik DALAM Dan DENGAN(Gamb. 1).

Rajah.1

Oleh itu, tugas telah diselesaikan; bagi rod kami daya kritikal terkecil ditentukan oleh formula

dan paksi melengkung mewakili gelombang sinus

Nilai pemalar pengamiran A kekal tidak ditentukan; makna fizikalnya akan menjadi jelas jika kita meletakkan ; maka (iaitu di tengah-tengah panjang rod) akan menerima nilai:

Bermaksud, A- ini ialah pesongan rod dalam keratan rentas di tengah-tengah panjangnya. Oleh kerana pada nilai kritikal daya R keseimbangan rod melengkung adalah mungkin dengan pelbagai sisihan daripada bentuk rectilinearnya, selagi sisihan ini kecil, adalah wajar bahawa pesongan f tetap tidak pasti.

Dalam kes ini, ia mestilah sangat kecil sehingga kita mempunyai hak untuk menggunakan persamaan pembezaan anggaran paksi melengkung, iaitu, supaya ia masih kecil berbanding dengan perpaduan.

Setelah menerima nilai daya genting, kini kita boleh mencari nilai tegasan genting dengan membahagikan daya dengan luas keratan rentas rod. F; kerana magnitud daya kritikal ditentukan dengan mempertimbangkan ubah bentuk rod, di mana pelemahan tempatan kawasan keratan rentas mempunyai kesan yang sangat lemah, formula untuk memasukkan momen inersia, oleh itu, apabila mengira tegasan kritikal; serta semasa merangka keadaan kestabilan, adalah kebiasaan untuk memasukkan yang penuh daripada yang lemah ke dalam pengiraan, luas keratan rentas rod. Kemudian ia akan sama

Oleh itu, jika luas rod termampat dengan fleksibiliti sedemikian dipilih hanya mengikut keadaan kekuatan, maka rod akan runtuh kerana kehilangan kestabilan bentuk rectilinearnya.

PANJANG ROD DISEMAK panjang bersyarat bagi rod termampat dengan syarat tertentu untuk mengikat hujungnya, yang panjangnya, dari segi nilai daya kritikal, adalah bersamaan dengan panjang rod dengan hujung berengsel

(bahasa Bulgaria; Български) - panjang yang diberi diberi

(bahasa Czech; Čeština) - vzpěrná delka prutu

(Jerman; Deutsch) - reduzierte Stablänge; ideelle Stablänge

(Hungary; Magyar) - rúd kihajlas! hossza

(Mongolia) - tuivangiin khorvulsen urt

(bahasa Poland; Polska) - długość sprowadzona pręta

(bahasa Romania; Român) - lungime convenţională dan barei

(Bahasa Serbo-Croatia; Srpski jezik; Hrvatski jezik) - reduovana dužina štapa

(Bahasa Sepanyol; Español) - luz efectiva de una barra

(bahasa Inggeris; Inggeris) - mengurangkan panjang bar

(Bahasa Perancis; Français) - longueur réduite d'une barre

Kamus pembinaan.

Lihat apakah "PANJANG BATANG BERHASIL" dalam kamus lain:

panjang batang dikurangkan- Panjang bersyarat rod termampat dengan syarat tertentu untuk mengamankan hujungnya, panjangnya, dari segi nilai daya kritikal, adalah bersamaan dengan panjang rod dengan hujung berengsel [Kamus terminologi untuk pembinaan dalam 12 bahasa ​(VNIIIS... ...

panjang batang dikurangkan- Panjang bersyarat bagi rod satu rentang, daya gentingnya, apabila hujungnya diengsel, adalah sama seperti rod yang diberikan. [Koleksi terma yang disyorkan. Isu 82. Mekanik struktur. Akademi Sains USSR. Panitia secara saintifik... ... Panduan Penterjemah Teknikal

Corak ubah bentuk dan pekali di bawah pelbagai keadaan pengikat dan kaedah penggunaan beban Kelenturan nisbah rod panjang reka bentuk rod ... Wikipedia

- (meter kekuatan). Nama ini diberikan kepada skala spring dalam kursus fizik, dan dalam mekanik kepada instrumen untuk mengukur kerja mekanikal (cm). Imej tertua skala musim bunga, menurut Carsten, dicetak pada tahun 1726, tanpa penerangan, dalam buku: Leupold, ... ... Kamus Ensiklopedia F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

LANGKAH-LANGKAH- LANGKAH ditentukan oleh fizikal kuantiti yang dibandingkan dengan kuantiti lain untuk mengukur kuantiti yang terakhir. Ukuran asas sistem metrik yang paling biasa: panjang meter pada 0° rod platinum yang disimpan di Biro Pengukuran Antarabangsa dan... ... Ensiklopedia Perubatan Hebat

Mari kita pertimbangkan sebatang rod dengan keratan rentas malar, kedua-dua hujungnya berengsel (Rajah 12.3). Batang dimampatkan dengan daya kritikal. Kami menganggap pergerakan kecil bahagian rod. Setelah memberikan pesongan paksi rod dalam bahagian tertentu, kita dapati nilai daya mampatan paksi di mana pesongan sedemikian mungkin. Kami akan menganggap bahawa tegasan dalam rod tidak melebihi had perkadaran.

nasi. 12.3. Skema membengkokkan rod dengan daya kritikal F cr.

Mari letakkan asal koordinat pada titik TENTANG, paksi z diarahkan sepanjang paksi rod, paksi y– di sebelah kiri asal. Mari kita tentukan pesongan rod dalam bahagian sewenang-wenangnya z.

Mari kita gunakan persamaan pembezaan anggaran untuk paksi melengkung rod:

Mari kita tentukan momen lentur dalam bahagian sewenang-wenangnya rod:

Ungkapan terakhir ialah persamaan pembezaan homogen dengan pekali malar.

Penyelesaian kepada persamaan ini boleh ditulis sebagai fungsi harmonik:

y = A dosa kz +B cos kz.

Pemalar penyepaduan A Dan DALAM didapati daripada keadaan sempadan:

di z = 0, y = 0,B = 0 dan persamaan pembezaan mengambil bentuk berikut:

y = A dosa kz.

Batang itu membengkok di sepanjang sinusoid.

Pada z= l, y= 0 A dosa kl = 0.

Adalah diketahui bahawa hasil darab dua faktor adalah sama dengan sifar hanya jika salah satu faktor adalah sama dengan sifar. Mari kita lihat kedua-dua kes.

biarlah A = 0, Itu y(z) sentiasa sifar dan tiada pesongan sama sekali. Penyelesaian ini bercanggah dengan andaian yang diterima bahawa rod telah bengkok, i.e. A 0. Oleh itu, syarat dosa mesti dipenuhi kl= 0, dari mana:

kl= 0, , 2 , 3 , …, n

di mana n– sebarang integer.

Mari tentukan nilai apa n mendekati penyelesaian masalah ini. Pertimbangkan syaratnya

Daripada ungkapan terakhir ia mengikuti bahawa jika k= 0, maka F cr=0, iaitu rod tidak dimuatkan, dan ini bercanggah dengan keadaan masalah. Oleh itu, nilai k= 0 boleh dikecualikan daripada penyelesaian. Dalam kes umum kita mempunyai:

Menyamakan F = F cr, kita dapat ungkapan

di manakah nilai terkecil bagi daya mampatan di mana

terdapat selekoh membujur, jadi anda harus mengambil n = 1.

Kemudian persamaan untuk menentukan daya genting akan mengambil bentuk

Oleh itu, rod membengkok di sepanjang sinusoid dengan satu separuh gelombang.

Pada z = l/2 Pesongan rod mempunyai nilai maksimum.

Pada n= 2 dan n= 3 rod bengkok di sepanjang dua dan tiga separuh gelombang sinusoid, masing-masing (Rajah 12.4, b, c).

Pesongan rod dalam bahagian sewenang-wenangnya di bawah pengaruh daya mampatan boleh ditentukan dengan formula

Kehilangan kestabilan rod berlaku pada satah yang paling tidak tegar, i.e. J = J min , oleh itu, apabila menentukan daya genting, momen paksi inersia terkecil bahagian harus diambil kira, kemudian akhirnya:

Oleh itu kita ada Formula Euler(1744) untuk menentukan daya genting bagi sebatang rod dengan dua hujung berengsel (kes utama).

nasi. 12.4. Skema paksi melengkung rod pada pelbagai nilai n

Magnitud daya genting adalah berkadar terus dengan ketegaran terkecil bahagian dan berkadar songsang dengan kuasa dua panjang rod..

Seperti yang dapat dilihat daripada formula Euler, magnitud daya kritikal bergantung pada ciri geometri rod dan modulus keanjalan bahan, tetapi tidak bergantung pada ciri kekuatan bahan.

Contohnya, daya kritikal F cr boleh dikatakan tidak bergantung pada gred keluli.

Daya tegangan muktamad bergantung pada ciri kekuatan (bergantung pada gred keluli ia akan berbeza) dan tidak bergantung pada panjang rod. Oleh itu, boleh dikatakan bahawa terdapat perbezaan yang ketara antara kerja rod dalam tegangan dan mampatan.

Yang dipanggil kes utama mengamankan hujung rod termampat apabila kedua-dua hujung rod berengsel. Dalam amalan, kaedah lain untuk mengamankan hujung rod digunakan.

Mari kita pertimbangkan bagaimana keadaan untuk mengikat rod mempengaruhi magnitud daya kritikal.

Kes kedua: satu hujung rod diapit tegar, yang kedua adalah bebas (Rajah 12.5, a).

nasi. 12.5. Skim memasang rod untuk kes kedua

Jika kestabilan hilang, hujung atas rod akan terpesong dengan jumlah tertentu dan berputar, manakala hujung picit yang lebih rendah akan kekal menegak. Paksi melengkung akan sama seperti separuh batang dalam kes pertama (Rajah 12.5, b).

Untuk mendapatkan pematuhan penuh dengan kes pertama, mari teruskan secara mental paksi melengkung rod ke bawah. Kemudian bentuk kehilangan kestabilan akan sepenuhnya bertepatan dengan kes pertama. Daripada ini kita boleh menyimpulkan bahawa daya kritikal untuk kes ini akan sama seperti untuk rod 2 m panjang berkadar tetap di hujungnya

Kes ketiga: kedua-dua hujung rod diikat dengan tegar (Rajah 12.6).

Selepas kehilangan kestabilan, hujung rod tidak berputar. Bahagian tengah panjang batang l/2, disebabkan oleh simetri, akan berfungsi dalam keadaan yang sama seperti rod dengan hujung yang disokong berengsel, tetapi dengan panjang l. Kemudian, berdasarkan formula, kita dapat:

nasi. 12.6. Skim pengikat rod

pada kali ketiga

Kes keempat: satu hujung rod diapit tegar, dan satu lagi diikat. Dalam kes ini, bahagian atas rod adalah lebih kurang 2 l/3 mempunyai bentuk sinusoid separuh gelombang dan berada dalam keadaan yang sama seperti rod dengan penyokong berengsel di hujungnya (Rajah 12.7).

nasi. 12.7. Skim pengikat rod

pada kali keempat

Menganalisis ungkapan terakhir untuk menentukan daya kritikal, kami sampai pada kesimpulan bahawa semakin tegar hujung rod dipasang, semakin besar beban yang boleh diambil oleh rod ini.

Oleh itu, kebergantungan untuk menentukan daya kritikal di bawah pelbagai keadaan pengikat rod boleh digabungkan menjadi satu formula:

di manakah panjang batang yang dikurangkan;

Pekali pengurangan panjang rod, bergantung kepada kaedah

mengamankan hujung batang;

Panjang batang sebenar.

Konsep panjang yang diberikan Batang itu pertama kali diperkenalkan oleh profesor Institut Kereta Api St. Petersburg F. S. Yasinsky pada tahun 1892.

Perlu juga diperhatikan bahawa apabila membuat formula untuk menentukan daya kritikal dalam rod dengan keadaan pengikat yang berbeza di hujungnya, analogi digunakan dalam bentuk lengkokan bahagian individu mereka.

Walau bagaimanapun, penyelesaian ini juga boleh diperolehi secara matematik. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menulis untuk setiap kes persamaan pembezaan garis elastik rod semasa lengkok dan menyelesaikannya menggunakan keadaan sempadan.

Pekali panjang longitudinal rod, bergantung pada keadaan pengikatnya, dibentangkan dalam Rajah. 12.8.

Rajah 12.8. Faktor pengurangan panjang untuk pelbagai kes

mengamankan hujung rod