Pelajar universiti sering mencari maklumat "Bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada persamaan dalam pembezaan penuh?". Daripada pelajaran ini anda akan menerima arahan lengkap ditambah penyelesaian siap sedia. Pertama, pengenalan ringkas - Apakah persamaan dalam jumlah pembezaan? Bagaimana untuk mencari penyelesaian kepada persamaan pembezaan jumlah?
Seterusnya ialah analisis contoh sedia, selepas itu anda mungkin tidak mempunyai soalan lagi mengenai topik ini.

Persamaan dalam jumlah pembezaan

Definisi 1. Persamaan bentuk M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 dipanggil persamaan dalam jumlah pembezaan, jika kebergantungan di hadapan tanda sama ialah jumlah pembezaan beberapa fungsi dua pembolehubah u(x,y), maka terdapat formula yang adil
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx.
(1)
Oleh itu, persamaan asal dalam kandungan bermakna jumlah pembezaan fungsi adalah sama dengan sifar
du(x,y)=0 . Mengintegrasikan pembezaan yang kita dapat kamiran am
alat kawalan jauh dalam borang
u(x,y)=C.
(2) Dalam pengiraan, sebagai peraturan, pemalar ditetapkan sama dengan sifar.
Sebelum pengiraan, persoalan selalu timbul

"Bagaimana untuk menyemak bahawa persamaan pembezaan yang diberikan ialah persamaan pembezaan jumlah?"

Soalan ini dijawab dengan syarat berikut. Syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk jumlah pembezaan
(3)
Syarat yang perlu dan mencukupi untuk jumlah pembezaan ialah
kesamaan derivatif separa
Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan, ia diperiksa terlebih dahulu untuk mengenal pasti sama ada persamaan itu dalam jumlah pembezaan atau mungkin yang lain.
(4)
Dari segi kandungan, syarat ini bermakna terbitan campuran fungsi adalah sama antara satu sama lain. Dalam formula, mengambil kira kebergantungan perlu dan keadaan yang mencukupi

kewujudan perbezaan total

kita boleh tulis dalam borang

Kriteria yang diberikan digunakan semasa menyemak persamaan untuk pematuhan dengan jumlah pembezaan, walaupun semasa mempelajari topik ini, guru tidak akan bertanya kepada anda jenis persamaan yang berbeza.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan dalam jumlah pembezaan
Daripada tatatanda (4) terbitan separa bagi jumlah pembezaan fungsi itu berikutan bahawa kita boleh mencari u(x,y) dengan menyepadukan Formula ini memberikan pilihan dalam pengiraan, oleh itu, untuk penyepaduan, pilih terbitan separa yang kamirannya lebih mudah ditemui dalam amalan. Seterusnya - kedua perkara penting iaitu "+ C" yang sepatutnya ditakrifkan.
Oleh itu, jika kita menyepadukan terbitan separa M(x,y) berkenaan dengan “x”, maka terbitan bergantung kepada y dan begitu juga sebaliknya - jika kita menyepadukan N(x,y) berkenaan dengan y, maka terbitan bergantung kepada “x”.
Seterusnya, untuk menentukan pemalar, ambil terbitan u(x,y) berkenaan dengan pembolehubah lain daripada pembolehubah yang penyepaduan dilakukan dan samakannya dengan terbitan separa kedua.
Dalam formula ia akan kelihatan seperti ini

Sebagai peraturan, beberapa istilah dipermudahkan dan kita memperoleh persamaan untuk terbitan pemalar. Untuk persamaan pertama yang kita dapat

Akhir sekali, kamiran am selepas menentukan pemalar mempunyai bentuk

Dalam bentuk simetri kita memperoleh jawapan untuk persamaan lain.
Rakaman hanya kelihatan rumit, tetapi pada hakikatnya semuanya kelihatan lebih mudah dan jelas. Analisis jumlah masalah pembezaan berikut.

Jawapan sedia untuk persamaan dalam jumlah pembezaan

Contoh 1.

Penyelesaian: Bahagian kiri persamaan ialah pembezaan penuh beberapa fungsi, kerana syaratnya telah dipenuhi

Dari sini tulis terbitan separa bagi fungsi dua pembolehubah daripada "x"

dan dengan penyepaduan kita dapati bentuknya

Untuk mentakrifkan lagi pemalar cari terbitan separa bagi fungsi berkenaan dengan"y" dan samakan dengan nilai dalam persamaan

Istilah yang serupa kami membatalkan di sebelah kanan dan kiri, selepas itu kami mencari pemalar melalui penyepaduan

Sekarang kita mempunyai semua kuantiti untuk direkodkan penyelesaian umum persamaan pembezaan dalam bentuk

Bagaimana anda boleh yakin skema untuk menyelesaikan persamaan dalam jumlah pembezaan Ia tidak rumit dan sesiapa sahaja boleh mempelajarinya. Faktor dalam pembezaan adalah penting kerana ia mesti disepadukan dan dibezakan untuk mencari penyelesaian.

Contoh 2. (6.18) Cari kamiran bagi persamaan pembezaan

Penyelesaian: Menurut teori, bahagian kiri persamaan haruslah jumlah pembezaan beberapa fungsi dua pembolehubah u(x,y), dan kami menyemak sama ada keadaan itu dipenuhi

Dari sini kita ambil terbitan separa dan melalui kamiran kita dapati fungsinya

Kami mengira terbitan separa bagi fungsi dua pembolehubah berkenaan dengan y dan samakannya dengan sebelah kanan persamaan pembezaan.

Derivatif dinyatakan oleh pergantungan

Dengan mengambil kira pemalar, kami mendapatnya dalam bentuk

Itu sahaja untuk pengiraan contoh ini selesai.

Contoh 3. (6.20)Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian: Bahagian kiri persamaan akan menjadi jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi dua pembolehubah u(x; y) jika keadaan dipenuhi

Dari sini kita mula menyelesaikan persamaan, atau lebih tepatnya penyepaduan salah satu terbitan separa

Seterusnya, kita mencari derivatif bagi fungsi yang terhasil berkenaan dengan pembolehubah y dan menyamakannya dengan sebelah kanan kebergantungan pembezaan

Ini membolehkan anda mencari pemalar sebagai fungsi y. Jika kita mula mendedahkan pergantungan pembezaan di sebelah kanan, kita dapati bahawa pemalar bergantung pada x. ia tidak akan berubah untuk persamaan yang diberikan nampak macam

Ini menyimpulkan contoh. Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan kita boleh menulis formula

Untuk menyatukan topik, kami meminta anda menyemak secara bebas bahawa persamaan ini ialah persamaan dalam jumlah pembezaan dan menyelesaikannya:
Di sini anda akan menemui fungsi akar, fungsi trigonometri, eksponen, logaritma, dalam satu perkataan - segala-galanya yang boleh mengharapkan anda dalam modul dan peperiksaan.
Selepas ini, ia akan menjadi lebih mudah untuk anda menyelesaikan persamaan jenis ini.
Dalam artikel seterusnya anda akan menjadi biasa dengan persamaan bentuk
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
yang agak serupa dengan persamaan dalam jumlah pembezaan, tetapi ia tidak memenuhi syarat kesamaan derivatif separa. Mereka dikira dengan mencari faktor penyepaduan, mendarab dengan mana persamaan yang diberikan menjadi persamaan dalam jumlah pembezaan.

Dalam topik ini, kita akan melihat kaedah membina semula fungsi daripada jumlah pembezaannya dan memberi contoh masalah dengan analisis lengkap penyelesaian.

Ia berlaku bahawa persamaan pembezaan (DE) dalam bentuk P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 mungkin mengandungi pembezaan lengkap beberapa fungsi di sebelah kiri. Kemudian kita boleh mencari kamiran am bagi persamaan pembezaan jika kita mula-mula membina semula fungsi daripada jumlah pembezaannya.

Contoh 1

Pertimbangkan persamaan P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Bahagian kiri mengandungi pembezaan fungsi tertentu U(x, y) = 0. Untuk melakukan ini, syarat ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x mesti dipenuhi.

Jumlah pembezaan fungsi U (x, y) = 0 mempunyai bentuk d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Dengan mengambil kira syarat ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x kita perolehi:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Dengan mengubah persamaan pertama daripada sistem persamaan yang terhasil, kita boleh memperoleh:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Kita boleh mencari fungsi φ (y) daripada persamaan kedua sistem yang diperoleh sebelumnya:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Ini adalah bagaimana kami menemui fungsi yang dikehendaki U (x, y) = 0.

Contoh 2

Cari alat kawalan jauh (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 penyelesaian umum.

Penyelesaian

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Mari kita semak sama ada syarat ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x berpuas hati:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Syarat kami dipenuhi.

Berdasarkan pengiraan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa bahagian kiri persamaan pembezaan asal ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi U (x, y) = 0. Kita perlu mencari fungsi ini.

Oleh kerana (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ialah jumlah pembezaan bagi fungsi U (x, y) = 0, maka

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Mari kita sepadukan persamaan pertama sistem berkenaan dengan x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Sekarang kita bezakan hasil yang terhasil berkenaan dengan y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Mengubah persamaan kedua sistem, kita memperoleh: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ini bermakna bahawa
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

di mana C ialah pemalar arbitrari.

Kami dapat: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Kamiran am bagi persamaan asal ialah x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Mari kita lihat kaedah lain untuk mencari fungsi menggunakan jumlah pembezaan yang diketahui. Ia melibatkan penggunaan kamiran lengkung dari titik tetap (x 0, y 0) ke titik dengan koordinat boleh ubah (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Dalam kes sedemikian, nilai kamiran tidak bergantung dalam apa cara sekalipun pada laluan penyepaduan. Kita boleh mengambil garis putus sebagai laluan penyepaduan, pautannya terletak selari dengan paksi koordinat.

Contoh 3

Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Penyelesaian

Mari kita semak sama ada syarat ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x berpuas hati:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ternyata bahagian kiri persamaan pembezaan diwakili oleh jumlah pembezaan beberapa fungsi U (x, y) = 0. Untuk mencari fungsi ini, adalah perlu untuk mengira kamiran garis dari titik (1 ; 1) kepada (x, y). Marilah kita ambil sebagai jalan integrasi garis putus-putus, bahagian yang akan melalui garis lurus y = 1 dari titik (1, 1) ke (x, 1) dan kemudian dari titik (x, 1) ke (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Kami telah memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan bentuk x y - x y 2 + C = 0.

Contoh 4

Tentukan penyelesaian am bagi persamaan pembezaan y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Penyelesaian

Mari kita semak sama ada keadaan ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x berpuas hati.

Oleh kerana ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, maka keadaan itu tidak akan dipenuhi. Ini bermakna bahagian kiri persamaan pembezaan bukanlah pembezaan lengkap fungsi tersebut. Ini ialah persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan dan penyelesaian lain sesuai untuk menyelesaikannya.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Definisi: Persamaan bentuk

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

di mana bahagian kiri ialah jumlah pembezaan beberapa fungsi dua pembolehubah, dipanggil persamaan pembezaan jumlah.

Mari kita nyatakan fungsi dua pembolehubah ini dengan F(x,y). Kemudian persamaan (9) boleh ditulis semula sebagai dF(x,y) = 0, dan persamaan ini mempunyai penyelesaian am F(x,y) = C.

Biarkan persamaan bentuk (9) diberikan. Untuk mengetahui sama ada ia adalah persamaan pembezaan jumlah, anda perlu menyemak sama ada ungkapan itu

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

jumlah pembezaan beberapa fungsi dua pembolehubah. Untuk melakukan ini, anda perlu menyemak kesaksamaan

Mari kita andaikan bahawa untuk ungkapan tertentu (10), kesamaan (11) dipenuhi dalam beberapa domain yang disambungkan secara ringkas (S) dan, oleh itu, ungkapan (10) ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi F(x,y) dalam (S ).

Mari kita pertimbangkan cara seterusnya mencari antiderivatif ini. Ia adalah perlu untuk mencari fungsi F(x,y) sedemikian

di mana fungsi (y) akan ditakrifkan di bawah. Daripada formula (12) ia kemudiannya mengikuti itu

di semua titik rantau (S). Sekarang mari kita pilih fungsi (y) supaya kesamaan dipegang

Untuk melakukan ini, kita menulis semula kesamaan (14) yang kita perlukan, menggantikan F(x,y) ungkapannya mengikut formula (12):

Mari kita bezakan berkenaan dengan y di bawah tanda kamiran (ini boleh dilakukan kerana P(x,y) dan - fungsi berterusan dua pembolehubah):

Oleh kerana mengikut (11), maka, menggantikan dengan di bawah tanda kamiran dalam (16), kita mempunyai:

Setelah menyepadukan ke atas y, kita dapati fungsi itu sendiri (y), yang dibina sedemikian rupa sehingga kesamaan (14) dipenuhi. Menggunakan kesamaan (13) dan (14), kita melihatnya

dalam kawasan (S). (18)

Contoh 5. Semak sama ada persamaan pembezaan yang diberi ialah persamaan pembezaan jumlah dan selesaikannya.

Ini ialah persamaan pembezaan dalam jumlah pembezaan. Malah, dengan menetapkan, kami yakin bahawa

dan ini adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk fakta bahawa ungkapan itu

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi U(x,y). Selain itu, ini adalah fungsi yang berterusan dalam R.

Oleh itu, untuk menyepadukan persamaan pembezaan ini, anda perlu mencari fungsi yang bahagian kiri persamaan pembezaan ialah pembezaan total. Biarkan fungsi sedemikian ialah U(x,y), kemudian

Mengintegrasikan sisi kiri dan kanan di atas x, kita dapat:

Untuk mencari q(y), kita menggunakan fakta bahawa

Menggantikan nilai yang ditemui μ(y) kepada (*), akhirnya kita memperoleh fungsi U(x,y):

Kamiran am bagi persamaan asal mempunyai bentuk

Jenis asas persamaan pembezaan tertib pertama (bersambung).

Persamaan pembezaan linear

Definisi: Persamaan linear tertib pertama ialah persamaan bentuk

y" + P(x)y = f(x), (21)

di mana P(x) dan f(x) ialah fungsi selanjar.

Nama persamaan dijelaskan oleh fakta bahawa terbitan y" ialah fungsi linear daripada y, iaitu, jika kita menulis semula persamaan (21) dalam bentuk y" = - P(x) + f(x), maka sebelah kanan mengandungi y sahaja hingga darjah pertama.

Jika f(x) = 0, maka persamaannya

yґ+ P(x) y = 0 (22)

dipanggil persamaan homogen linear. Jelas sekali, persamaan linear homogen ialah persamaan dengan pembolehubah yang boleh dipisahkan:

y" +P(x)y = 0; ,

Jika f(x) ? 0, kemudian persamaan

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

dipanggil persamaan tak homogen linear.

DALAM kes am pembolehubah dalam persamaan (21) tidak boleh dipisahkan.

Persamaan (21) diselesaikan seperti berikut: kita akan mencari penyelesaian dalam bentuk hasil darab dua fungsi U(x) dan V(x):

Mari cari derivatif:

y" = U"V + UV" (25)

dan gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Mari kumpulkan istilah di sebelah kiri:

U"V + U = f(x). (26)

Marilah kita mengenakan syarat pada salah satu faktor (24), iaitu, kita menganggap bahawa fungsi V(x) adalah sedemikian rupa sehingga ia menukarkan ungkapan dalam kurungan segi empat sama dalam (26), i.e. bahawa ia adalah penyelesaian kepada persamaan pembezaan

V" + P(x)V = 0. (27)

Ini adalah persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, kita dapati V(x) daripadanya:

Sekarang mari cari fungsinya U(x) supaya, dengan fungsi V(x) telah dijumpai, hasil darab U V ialah penyelesaian kepada persamaan (26). Untuk melakukan ini, adalah perlu bahawa U(x) menjadi penyelesaian kepada persamaan

Ini adalah persamaan yang boleh dipisahkan, jadi

Menggantikan fungsi yang ditemui (28) dan (30) ke dalam formula (4), kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan (21):

Oleh itu, kaedah yang dipertimbangkan (kaedah Bernoulli) mengurangkan penyelesaian persamaan linear(21) kepada penyelesaian dua persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Contoh 6. Cari kamiran am bagi persamaan itu.

Persamaan ini tidak linear berkenaan dengan y dan y", tetapi ia menjadi linear jika kita menganggap x sebagai fungsi yang diingini dan y sebagai hujah. Sesungguhnya, lulus ke, kita memperoleh

Untuk menyelesaikan persamaan yang terhasil, kami menggunakan kaedah penggantian (Bernoulli). Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan dalam bentuk x(y)=U(y)V(y), kemudian. Kami mendapat persamaan:

Mari kita pilih fungsi V(y) supaya. Kemudian

Bahagian sebelah kiri persamaan pembezaan bentuk kadangkala pembezaan lengkap fungsi tertentu. Jika anda memulihkan fungsi daripada jumlah pembezaannya, anda akan menemui kamiran am bagi persamaan pembezaan. Dalam artikel ini kami akan menerangkan kaedah untuk memulihkan fungsi daripada jumlah pembezaannya, bahan teori Kami akan memberikan contoh dan tugasan dengan penerangan terperinci penyelesaian.

Bahagian kiri persamaan pembezaan ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi U(x, y) = 0 jika keadaan dipenuhi.

Oleh kerana jumlah pembezaan fungsi U(x, y) = 0 ialah , maka jika syarat itu dipenuhi, kita boleh mengatakan bahawa . Oleh itu, .

Daripada persamaan pertama sistem yang kita ada . Fungsi ini boleh didapati menggunakan persamaan kedua sistem:

Dengan cara ini fungsi yang dikehendaki U(x, y) = 0 akan ditemui.

Mari kita lihat contoh.

Contoh.

Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan .

Penyelesaian.

Dalam contoh ini. Syaratnya puas hati kerana

oleh itu, bahagian kiri persamaan pembezaan asal ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi U(x, y) = 0. Tugas kita datang untuk mencari fungsi ini.

Kerana ialah jumlah pembezaan bagi fungsi U(x, y) = 0, maka . Kami menyepadukan persamaan pertama sistem berkenaan dengan x dan membezakan hasil yang terhasil berkenaan dengan y . Sebaliknya, daripada persamaan kedua sistem kita ada . Oleh itu,

di mana C ialah pemalar arbitrari.

Oleh itu, dan kamiran am bagi persamaan asal ialah .

Terdapat kaedah lain untuk mencari fungsi dengan jumlah pembezaannya. Ia terdiri daripada mengambil kamiran lengkung dari titik tetap (x 0 , y 0) ke titik dengan koordinat boleh ubah (x, y): . Dalam kes ini, nilai kamiran tidak bergantung pada laluan pengamiran. Adalah mudah untuk mengambil sebagai laluan penyepaduan garis putus yang pautannya selari dengan paksi koordinat.

Mari kita lihat contoh.

Contoh.

Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan .

Penyelesaian.

Mari semak sama ada syarat dipenuhi:

Oleh itu, bahagian kiri persamaan pembezaan ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi U(x, y) = 0. Mari cari fungsi ini dengan mengira kamiran lengkung dari titik (1; 1) hingga (x, y). Sebagai laluan integrasi, kita akan mengambil garis putus: bahagian pertama garis putus akan mengikuti garis lurus y = 1 dari titik (1, 1) hingga (x, 1), bahagian kedua laluan akan ambil ruas garis lurus dari titik (x, 1) ke (x, y).

Definisi 8.4. Persamaan pembezaan bentuk

di mana
dipanggil persamaan pembezaan total.

Ambil perhatian bahawa bahagian kiri persamaan sedemikian ialah jumlah pembezaan bagi beberapa fungsi
.

Secara umum, persamaan (8.4) boleh diwakili sebagai

Daripada persamaan (8.5), kita boleh mempertimbangkan persamaan itu

,

penyelesaiannya ialah kamiran am bagi persamaan (8.4). Oleh itu, untuk menyelesaikan persamaan (8.4) adalah perlu untuk mencari fungsi
. Selaras dengan takrifan persamaan (8.4), kita ada

(8.6)

Fungsi
kita akan mencari fungsi yang memenuhi salah satu syarat ini (8.6):

di mana - fungsi sewenang-wenangnya, bebas daripada .

Fungsi
ditakrifkan supaya syarat ungkapan kedua (8.6) dipenuhi

(8.7)

Daripada ungkapan (8.7) fungsi ditentukan
. Menggantikannya ke dalam ungkapan untuk
dan dapatkan kamiran am bagi persamaan asal.

Masalah 8.3. Integrasi Persamaan

Di sini
.

Oleh itu, persamaan ini tergolong dalam jenis persamaan pembezaan dalam jumlah pembezaan. Fungsi
kita akan cari dalam borang

.

Di sisi lain,

.

Dalam beberapa kes keadaan
mungkin tidak dipenuhi.

Kemudian persamaan tersebut dikurangkan kepada jenis yang sedang dipertimbangkan dengan mendarab dengan apa yang dipanggil faktor penyepaduan, yang, dalam kes umum, adalah fungsi sahaja atau .

Jika sesetengah persamaan mempunyai faktor penyepaduan yang bergantung hanya pada , maka ia ditentukan oleh formula

mana kaitannya sepatutnya hanya fungsi .

Begitu juga, faktor penyepaduan bergantung hanya pada , ditentukan oleh formula

mana kaitannya
sepatutnya hanya fungsi .

Ketiadaan dalam hubungan yang diberikan, dalam kes pertama, pembolehubah , dan dalam kedua - pembolehubah , adalah tanda kewujudan faktor penyepaduan bagi persamaan yang diberikan.

Masalah 8.4. Kurangkan persamaan ini kepada persamaan dalam jumlah pembezaan.

.

Pertimbangkan hubungannya:

.

Topik 8.2. Persamaan pembezaan linear

Definisi 8.5. Persamaan pembezaan
dipanggil linear jika ia adalah linear berkenaan dengan fungsi yang dikehendaki , terbitannya dan tidak mengandungi hasil darab fungsi yang diingini dan terbitannya.

Bentuk umum persamaan pembezaan linear diwakili oleh hubungan berikut:

(8.8)

Jika dalam hubungan (8.8) sebelah kanan
, maka persamaan sedemikian dipanggil homogen linear. Dalam kes apabila sebelah kanan
, maka persamaan sedemikian dipanggil linear tak homogen.

Mari kita tunjukkan bahawa persamaan (8.8) boleh disepadukan dalam kuadratur.

Pada peringkat pertama, kami mempertimbangkan persamaan homogen linear.

Persamaan sedemikian adalah persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. sungguh,

;

/

Hubungan terakhir menentukan penyelesaian umum linear persamaan homogen.

Untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan tak homogen linear, kaedah mempelbagaikan terbitan pemalar digunakan. Idea kaedah ini ialah penyelesaian umum persamaan tak homogen linear adalah dalam bentuk yang sama dengan penyelesaian persamaan homogen sepadan, tetapi pemalar arbitrari. digantikan dengan beberapa fungsi
untuk ditentukan. Jadi kita ada:

(8.9)

Menggantikan kepada hubungan (8.8) dengan ungkapan yang sepadan
Dan
, kita dapat

Menggantikan ungkapan terakhir kepada hubungan (8.9), kita memperoleh kamiran am bagi persamaan tak homogen linear.

Oleh itu, penyelesaian umum persamaan tak homogen linear ditentukan oleh dua kuadratur: penyelesaian umum persamaan homogen linear dan penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen linear.

Masalah 8.5. Integrasi Persamaan

Oleh itu, persamaan asal tergolong dalam jenis persamaan pembezaan tak homogen linear.

Pada peringkat pertama, kita akan mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen linear.

;

Pada peringkat kedua, kita menentukan penyelesaian umum bagi persamaan tak homogen linear, yang terdapat dalam bentuk

,

di mana
- fungsi yang perlu ditentukan.

Jadi kita ada:

Menggantikan hubungan untuk Dan ke dalam persamaan tak homogen linear asal kita perolehi:

;

;

.

Penyelesaian umum persamaan tak homogen linear akan mempunyai bentuk:

.