Vektor berserenjang dengan dua vektor. Mencari vektor berserenjang dengan vektor tertentu, contoh dan penyelesaian

ohm. Untuk melakukan ini, kami mula-mula memperkenalkan konsep segmen.

Definisi 1

Segmen ialah sebahagian daripada garis lurus yang dibatasi oleh titik di kedua-dua belah.

Definisi 2

Hujung segmen akan dipanggil titik yang mengehadkannya.

Untuk memperkenalkan definisi vektor, salah satu hujung segmen akan dipanggil permulaannya.

Definisi 3

Kami akan memanggil vektor (segmen terarah) seperti segmen, yang mana ia ditunjukkan titik sempadan yang mana permulaannya dan yang mana penghujungnya.

Notasi: \overline(AB) - vektor AB , bermula di titik A dan berakhir di titik B .

Jika tidak, dalam satu huruf kecil: \overline(a) (Gamb. 1).

Definisi 4

Vektor sifar ialah sebarang titik yang dimiliki oleh satah.

Jawatan: \overline(0) .

Kami kini memperkenalkan secara langsung takrifan vektor kolinear.

Kami juga memperkenalkan definisi produk skalar, yang kami perlukan di bawah.

Definisi 6

Hasil darab skalar bagi dua vektor yang diberi ialah skalar (atau nombor) yang sama dengan hasil darab panjang dua vektor ini dengan kosinus sudut antara vektor yang diberi.

Secara matematik ia mungkin kelihatan seperti ini:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Produk titik juga boleh didapati menggunakan koordinat vektor seperti berikut

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Tanda perpendicularity melalui proportionality

Teorem 1

Untuk vektor bukan sifar berserenjang antara satu sama lain, adalah perlu dan mencukupi bahawa hasil darab skalar vektor ini adalah sama dengan sifar.

Bukti.

Keperluan: Mari kita diberi vektor \overline(α) dan \overline(β) , yang mempunyai koordinat (α_1,α_2,α_3) dan (β_1,β_2,β_3) , masing-masing, dan ia berserenjang antara satu sama lain. Kemudian kita perlu membuktikan persamaan berikut

Oleh kerana vektor \overline(α) dan \overline(β) adalah berserenjang, sudut di antara mereka ialah 90^0 . Mari cari hasil kali skalar bagi vektor-vektor ini menggunakan formula dari Definisi 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Kecukupan: Biarkan kesaksamaan benar \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Mari kita buktikan bahawa vektor \overline(α) dan \overline(β) akan berserenjang antara satu sama lain.

Mengikut takrifan 6, kesaksamaan akan menjadi benar

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Oleh itu, vektor \overline(α) dan \overline(β) akan berserenjang antara satu sama lain.

Teorem telah terbukti.

Contoh 1

Buktikan bahawa vektor dengan koordinat (1,-5,2) dan (2,1,3/2) adalah berserenjang.

Bukti.

Mari cari produk titik untuk vektor ini melalui formula yang diberikan di atas

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Oleh itu, dengan Teorem 1, vektor ini berserenjang.

Mencari vektor serenjang kepada dua vektor yang diberi melalui hasil silang

Mari kita mula-mula memperkenalkan konsep produk vektor.

Definisi 7

Hasil darab vektor bagi dua vektor akan dipanggil vektor sedemikian yang akan berserenjang dengan kedua-dua vektor yang diberikan, dan panjangnya akan sama dengan hasil darab panjang vektor ini dengan sinus sudut antara vektor ini, dan vektor ini dengan dua yang awal mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat Cartes.

Jawatan: \overline(α)x\overline(β)x.

Untuk mencari produk vektor, kami akan menggunakan formula

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Oleh kerana vektor hasil silang dua vektor adalah berserenjang dengan kedua-dua vektor ini, maka ia akan menjadi vektor tuntutan. Iaitu, untuk mencari vektor yang berserenjang dengan dua vektor, anda hanya perlu mencari hasil silangnya.

Contoh 2

Cari vektor berserenjang dengan vektor dengan koordinat \overline(α)=(1,2,3) dan \overline(β)=(-1,0,3)

Cari hasil silang bagi vektor-vektor ini.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\garis atas(i)-(3+3)\garisan(j)+(0+2)\garisan(k)=6\garisan(i)-6\garisan(j)+2\garisan(k) =(6,6,2) x

Arahan

Jika vektor asal ditunjukkan dalam lukisan dalam sistem koordinat dua dimensi segi empat tepat dan yang berserenjang perlu dibina di tempat yang sama, teruskan dari takrifan keserenjangan vektor pada satah. Ia menyatakan bahawa sudut antara sepasang segmen terarah sedemikian mestilah sama dengan 90°. Ia adalah mungkin untuk membina bilangan tak terhingga bagi vektor tersebut. Oleh itu, lukiskan serenjang dengan vektor asal di mana-mana tempat yang sesuai pada satah, ketepikan di atasnya segmen yang sama dengan panjang pasangan mata tertib yang diberikan, dan tetapkan salah satu hujungnya sebagai permulaan vektor serenjang. Lakukan ini dengan protraktor dan pembaris.

Jika vektor asal diberikan oleh koordinat dua dimensi ā = (X₁;Y₁), teruskan daripada fakta bahawa hasil darab skalar sepasang vektor serenjang mestilah sama dengan sifar. Ini bermakna anda perlu memilih untuk vektor yang dikehendaki ō = (X₂,Y₂) koordinat sedemikian di mana kesamaan (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 akan dipegang. Ini boleh dilakukan seperti ini: pilih sebarang nilai bukan sifar untuk koordinat X₂, dan hitung koordinat Y₂ menggunakan formula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (15;5) akan ada vektor ō, dengan abscissa sama dengan satu dan ordinat sama dengan -(15*1)/5 = -3, i.e. ō = (1;-3).

Untuk sistem koordinat tiga dimensi dan mana-mana ortogonal yang lain, syarat yang diperlukan dan mencukupi yang sama untuk keserenjangan vektor adalah benar - hasil darab skalarnya mestilah sama dengan sifar. Oleh itu, jika segmen terarah asal diberikan oleh koordinat ā = (X₁,Y₁,Z₁), untuk pasangan tertib titik ō = (X₂,Y₂,Z₂) berserenjang dengannya, pilih koordinat sedemikian yang memenuhi syarat (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cara paling mudah adalah dengan memberikan nilai tunggal kepada X₂ dan Y₂, dan mengira Z₂ daripada persamaan dipermudahkan Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (3,5,4) ini akan mengambil bentuk berikut: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Kemudian ambil absis dan ordinat bagi vektor serenjang sebagai kesatuan, dan dalam kes ini akan sama dengan -(3+5)/4 = -2.

Sumber:

• cari vektor jika ia berserenjang

Serenjang dipanggil vektor, sudut antaranya ialah 90º. Vektor berserenjang dibina menggunakan alat lukisan. Jika koordinatnya diketahui, maka adalah mungkin untuk menyemak atau mencari keserenjangan vektor dengan kaedah analisis.

Anda perlu

• - protraktor;
• - kompas;
• - pembaris.

Arahan

Bina vektor berserenjang dengan yang diberi. Untuk melakukan ini, pada titik yang merupakan permulaan vektor, pulihkan serenjang dengannya. Ini boleh dilakukan dengan protraktor, mengetepikan sudut 90º. Jika tiada protraktor, buat dengan kompas.

Tetapkannya ke titik permulaan vektor. Lukis bulatan dengan jejari sewenang-wenangnya. Kemudian bina dua berpusat pada titik di mana bulatan pertama bersilang dengan garis tempat vektor terletak. Jejari bulatan ini mestilah sama antara satu sama lain dan lebih besar daripada bulatan yang dibina pertama. Di titik persilangan bulatan, bina satu garis lurus yang akan berserenjang dengan vektor asal pada titik permulaannya, dan ketepikan di atasnya satu vektor berserenjang dengan yang diberikan.

Vektor unit ialah: , di mana ialah modulus bagi vektor.

Jawapan:
.

Catatan. Koordinat vektor unit mestilah tidak lebih daripada satu.

6.3. Cari kosinus panjang dan arah bagi suatu vektor . Bandingkan dengan jawapan dalam perenggan sebelumnya. Buat kesimpulan sendiri.

Panjang vektor ialah modulusnya:

Dan kita boleh mencari kosinus arah menggunakan formula salah satu cara untuk menentukan vektor:

Daripada apa yang kita perolehi, kita melihat bahawa kosinus arah ialah koordinat bagi vektor unit.

Jawapan:
,
,
,
.

6.4. Cari
.

Ia adalah perlu untuk melaksanakan operasi pendaraban vektor dengan nombor, penambahan dan modulus.

Kami mendarabkan koordinat vektor dengan sebutan nombor dengan sebutan.

Kami menambah koordinat bagi istilah vektor mengikut sebutan.

Cari modulus vektor.

Jawapan:

6.5. Tentukan koordinat vektor
, kolinear kepada vektor , mengetahui bahawa
dan ia diarahkan ke arah yang bertentangan dengan vektor .

vektor kolinear kepada vektor , jadi vektor unitnya adalah sama dengan vektor unit hanya dengan tanda tolak, kerana diarahkan ke arah yang bertentangan.

Vektor unit mempunyai panjang 1, yang bermaksud bahawa jika ia didarab dengan 5, maka panjangnya akan sama dengan lima.

Kita dapati

Jawapan:

6.6. Kira produk titik
Dan
. Adakah vektor serenjang Dan ,Dan antara mereka sendiri?

Mari kita laksanakan hasil darab skalar bagi vektor.

Jika vektor adalah serenjang, hasil darab titiknya ialah sifar.

Kami melihat bahawa dalam kes kami vektor Dan adalah serenjang.

Jawapan:
,
, vektor tidak berserenjang.

Catatan. Makna geometri hasil skalar tidak banyak digunakan dalam amalan, tetapi masih wujud. Hasil daripada tindakan sedemikian boleh digambarkan dan dikira secara geometri.

6.7. Cari kerja yang dilakukan oleh titik bahan yang dikenakan daya
, apabila memindahkannya dari titik B ke titik C.

Makna fizikal produk skalar ialah kerja. Paksa vektor di sini , vektor sesaran ialah
. Dan hasil daripada vektor ini akan menjadi kerja yang diingini.

Mencari pekerjaan

6.8. Cari sudut dalaman di puncak A dan sudut luar di bahagian atas C segi tiga ABC .

Daripada takrifan, hasil darab skalar bagi vektor, kita memperoleh formula untuk mencari sudut: .

DALAM
kita akan mencari sudut dalam sebagai sudut antara vektor yang keluar dari satu titik.

Untuk mencari sudut luar, anda perlu menggabungkan vektor supaya ia keluar dari titik yang sama. Angka itu menerangkan perkara ini.

Perlu diperhatikan bahawa
, hanya mempunyai koordinat awal yang berbeza.

Mencari vektor dan sudut yang diperlukan

Jawapan: sudut dalaman di puncak A \u003d , sudut luar di bucu B = .

6.9. Cari unjuran vektor: dan

Ingat vektor-orts:
,
,
.

Unjuran juga didapati daripada hasil skalar

-unjuran b pada a.

Sebelum ini diperoleh oleh kami vektor

,
,

Mencari unjuran

Mencari unjuran kedua

Jawapan:
,

Catatan. Tanda tolak apabila mencari unjuran bermakna unjuran tidak jatuh pada vektor itu sendiri, tetapi dalam arah yang bertentangan, pada garis di mana vektor ini terletak.

6.10. Kira
.

Lakukan hasil darab silang bagi vektor

Jom cari modul

Kami mencari sinus sudut antara vektor daripada takrif produk vektor bagi vektor

Jawapan:
,
,
.

6.11. Cari luas segi tiga ABC dan panjang ketinggian pubescent dari titik C.

Makna geometri modul hasil silang adalah bahawa ia adalah kawasan segi empat selari yang dibentuk oleh vektor-vektor ini. Luas segi tiga sama dengan separuh luas segi empat selari.

Luas segi tiga juga boleh didapati sebagai hasil darab ketinggian dengan tapak dibahagikan dengan dua, dari mana anda boleh memperoleh formula untuk mencari ketinggian.

Oleh itu, kita dapati ketinggian

Jawapan:
,
.

6.12. Cari vektor unit berserenjang dengan vektor Dan .

Hasil darab titik ialah vektor yang berserenjang dengan dua yang asal. Vektor unit ialah vektor dibahagikan dengan panjangnya.

Sebelum ini, kami telah menemui:

,

Jawapan:
.

6.13. Tentukan kosinus magnitud dan arah momen daya
digunakan untuk A berkenaan dengan titik C.

Makna fizikal produk vektor ialah momen daya. Mari beri ilustrasi untuk tugasan ini.

Mencari momen kekuatan

Jawapan:
.

6.14. Adakah vektor berbohong ,Dan dalam pesawat yang sama? Bolehkah vektor ini membentuk asas ruang? kenapa? Jika boleh, kembangkan vektor dalam asas ini
.

Untuk memeriksa sama ada vektor terletak pada satah yang sama, adalah perlu untuk melakukan hasil campuran vektor ini.

Hasil campuran tidak sama dengan sifar, oleh itu, vektor tidak terletak pada satah yang sama (bukan coplanar) dan boleh membentuk asas. Jom reput atas dasar ini.

Kami mengembangkan dalam asas dengan menyelesaikan persamaan

Jawapan: Vektor ,Dan jangan berbaring dalam satah yang sama.
.

6.15. Cari
. Berapakah isipadu piramid dengan bucu A, B, C, D dan ketinggiannya diturunkan dari titik A ke tapak BCD.

G maksud geometri hasil campuran ialah isipadu selari yang dibentuk oleh vektor-vektor ini.

Isipadu piramid adalah enam kali lebih kecil daripada isipadu parallelepiped.

Isipadu piramid juga boleh didapati seperti ini:

Dapatkan formula untuk mencari ketinggian

Mencari ketinggian

Jawapan: isipadu = 2.5, tinggi = .

6.16. Kira
Dan
.

Kami menjemput anda untuk memikirkan tugas ini sendiri.

- Mari buat kerja.

Sebelum ini diterima

Jawapan:
.

6.17. Kira

Jom buat langkah demi langkah

3)

Kami meringkaskan nilai yang diperolehi

Jawapan:
.

6.18. Cari vektor
, mengetahui bahawa ia berserenjang dengan vektor Dan , dan unjurannya pada vektor sama dengan 5.

Mari pecahkan masalah ini kepada dua subtugas.

1) Cari vektor yang berserenjang dengan vektor Dan panjang sewenang-wenangnya.

Kami akan mendapat vektor serenjang hasil daripada hasil silang

Sebelum ini, kami telah menemui:

Vektor yang dikehendaki hanya berbeza dari segi panjang, daripada yang diperolehi

2) Cari melalui persamaan

6.19. Cari vektor
, memenuhi syarat
,
,
.

Mari kita pertimbangkan syarat-syarat ini dengan lebih terperinci.

Ini adalah sistem persamaan linear. Jom buat dan selesaikan sistem ini.

Jawapan:

6.20. Tentukan koordinat bagi beberapa vektor
, coplanar dengan vektor Dan , dan berserenjang dengan vektor
.

Dalam tugasan ini, terdapat dua syarat: vektor adalah coplanar dan berserenjang, kami mula-mula memenuhi syarat pertama, dan kemudian yang kedua.

1) Jika vektor adalah coplanar, maka hasil campurannya adalah sifar.

Dari sini kita memperoleh beberapa pergantungan koordinat vektor

Mari cari vektor .

2) Jika vektor adalah serenjang, maka hasil darab skalarnya ialah sifar

Kami telah memperoleh pergantungan kedua koordinat vektor yang dikehendaki

Untuk sebarang nilai vektor akan memenuhi syarat. Pengganti
.

Jawapan:
.

Geometri analitik

Dalam bahagian soalan, cari vektor berserenjang dengan dua vektor yang diberikan oleh pengarang Anna Afanasyeva jawapan terbaik ialah Vektor berserenjang dengan dua vektor tidak selari didapati sebagai hasil vektor mereka ahb, untuk mencarinya anda perlu membuat penentu, baris pertama yang akan terdiri daripada vektor unit I, j, k, kedua daripada koordinat vektor a, ketiga koordinat vektor dalam . Penentu dianggap sebagai pengembangan di sepanjang baris pertama, dalam kes anda ia akan menjadi axb=20i-10k, atau axb=(20,0,-10).

Jawapan daripada 22 jawapan[guru]

helo! Berikut ialah pilihan topik dengan jawapan kepada soalan anda: cari vektor berserenjang dengan dua vektor yang diberikan

Jawapan daripada Regangan[orang baru]
Vektor berserenjang dengan dua vektor tidak selari didapati sebagai hasil silang mereka ahb, untuk mencarinya, anda perlu membuat penentu, baris pertama yang akan terdiri daripada vektor unit I, j, k, kedua koordinat bagi vektor a, pertiga daripada koordinat vektor dalam. Penentu dianggap sebagai pengembangan di sepanjang baris pertama, dalam kes anda ia akan menjadi axb=20i-10k, atau axb=(20,0,-10).

Jawapan daripada HAYKA[guru]
Kira-kira membuat keputusan seperti ini; Tapi baca sendiri dulu! !
Hitung hasil darab titik bagi vektor d dan r jika d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modulus vektor a ialah 4, modulus vektor b ialah 6. Sudut antara vektor a dan b ialah 60 darjah, vektor c berserenjang dengan vektor a dan b.
Titik E dan F terletak masing-masing pada sisi AD dan BC segiempat selari ABCD, dengan AE=ED, BF: FC = 4: 3. a) Ungkapkan vektor EF dalam sebutan vektor m = vektor AB dan vektor n = vektor AD . b) Bolehkah vektor EF = x didarab dengan CD vektor untuk beberapa nilai x? .

Artikel ini mendedahkan maksud keserenjang dua vektor pada satah dalam ruang tiga dimensi dan mencari koordinat vektor berserenjang dengan satu atau sepasang keseluruhan vektor. Topik ini boleh digunakan untuk masalah yang berkaitan dengan persamaan garis dan satah.

Kami akan mempertimbangkan syarat yang perlu dan mencukupi untuk dua vektor berserenjang, memutuskan kaedah mencari vektor berserenjang dengan yang diberikan, dan menyentuh situasi dalam mencari vektor yang berserenjang dengan dua vektor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Keadaan yang diperlukan dan mencukupi untuk dua vektor berserenjang

Mari kita gunakan peraturan tentang vektor serenjang pada satah dan dalam ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Diberi nilai sudut antara dua vektor bukan sifar bersamaan dengan 90 ° (π 2 radian) dipanggil berserenjang.

Apakah maksud ini, dan dalam situasi apakah perlu mengetahui tentang keserenjangannya?

Penubuhan perpendicularity adalah mungkin melalui lukisan. Apabila memplot vektor pada satah dari titik tertentu, anda boleh mengukur sudut di antara mereka secara geometri. Keserenjangan vektor, jika ia ditetapkan, tidak sepenuhnya tepat. Selalunya, masalah ini tidak membenarkan anda melakukan ini dengan protraktor, jadi kaedah ini hanya terpakai apabila tiada perkara lain yang diketahui tentang vektor.

Kebanyakan kes membuktikan keserenjangan dua vektor bukan sifar pada satah atau di angkasa dilakukan menggunakan keadaan yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor.

Teorem 1

Hasil darab skalar bagi dua vektor bukan sifar a → dan b → sama dengan sifar untuk memenuhi kesamaan a → , b → = 0 adalah mencukupi untuk keserenjangannya.

Bukti 1

Biarkan vektor yang diberi a → dan b → berserenjang, maka kita akan membuktikan kesamaan a ⇀ , b → = 0 .

Daripada definisi hasil darab titik bagi vektor kita tahu bahawa ia sama hasil darab panjang vektor yang diberi dan kosinus sudut di antaranya. Mengikut keadaan, a → dan b → adalah berserenjang, dan, oleh itu, berdasarkan definisi, sudut di antara mereka ialah 90 °. Kemudian kita mempunyai → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Bahagian kedua bukti

Di bawah keadaan apabila a ⇀ , b → = 0 membuktikan keserenjangan a → dan b → .

Malah, buktinya adalah sebaliknya daripada yang sebelumnya. Adalah diketahui bahawa a → dan b → bukan sifar, jadi daripada kesamaan a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ kita dapati kosinus. Kemudian kita dapat cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Oleh kerana kosinus ialah sifar, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut a → , b → ^ bagi vektor a → dan b → ialah 90 ° . Mengikut definisi, ini adalah harta yang perlu dan mencukupi.

Keadaan serenjang pada satah koordinat

Bab hasil darab titik dalam koordinat menunjukkan ketaksamaan (a → , b →) = a x b x + a y b y , sah untuk vektor dengan koordinat a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) , pada satah dan (a → , b → ) = a x b x + a y b y untuk vektor a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) dalam ruang. Keadaan yang perlu dan mencukupi untuk dua vektor berserenjang dalam satah koordinat ialah a x · b x + a y · b y = 0 , untuk ruang tiga dimensi a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Mari kita praktikkan dan lihat contoh.

Contoh 1

Semak sifat serenjang dua vektor a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mencari produk skalar. Jika mengikut syarat ia akan sama dengan sifar, maka ia adalah serenjang.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Keadaan ini dipenuhi, yang bermaksud bahawa vektor yang diberikan adalah berserenjang pada satah.

Jawapan: ya, vektor yang diberi a → dan b → adalah berserenjang.

Contoh 2

Diberi vektor koordinat i → , j → , k → . Semak sama ada vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → boleh berserenjang.

Penyelesaian

Untuk mengingati bagaimana koordinat vektor ditentukan, anda perlu membaca artikel tentang koordinat vektor dalam koordinat segi empat tepat. Oleh itu, kita memperoleh bahawa vektor yang diberi i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → mempunyai koordinat yang sepadan (1, - 1, 0) dan (1, 2, 2) . Gantikan nilai berangka dan dapatkan: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Ungkapan itu bukan sifar, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , yang bermaksud bahawa vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → bukan berserenjang kerana keadaan tidak dipenuhi.

Jawapan: tidak, vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → tidak berserenjang.

Contoh 3

Diberi vektor a → = (1 , 0 , - 2) dan b → = (λ , 5 , 1) . Cari nilai λ yang mana vektor yang diberi adalah berserenjang.

Penyelesaian

Kami menggunakan keadaan tegak lurus dua vektor dalam ruang dalam bentuk segi empat sama, maka kami dapat

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Jawapan: vektor adalah berserenjang pada nilai λ = 2.

Terdapat kes apabila persoalan perpendicularity adalah mustahil walaupun dalam keadaan yang perlu dan mencukupi. Dengan data yang diketahui pada tiga sisi segitiga pada dua vektor, adalah mungkin untuk mencari sudut antara vektor dan semaknya.

Contoh 4

Diberi segitiga A B C dengan sisi A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm Periksa vektor A B → dan A C → untuk keserenjangan.

Penyelesaian

Apabila vektor A B → dan A C → berserenjang, segitiga A B C dianggap segi empat tepat. Kemudian kita menggunakan teorem Pythagoras, di mana BC ialah hipotenus bagi segi tiga. Kesamaan B C 2 = A B 2 + A C 2 mesti dipenuhi. Ia berikutan bahawa 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Oleh itu, A B dan A C ialah kaki bagi segi tiga A B C, oleh itu, A B → dan A C → adalah berserenjang.

Adalah penting untuk mempelajari cara mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan yang diberikan. Ini boleh dilakukan di atas satah dan di angkasa, dengan syarat vektornya berserenjang.

Mencari vektor yang berserenjang dengan yang diberikan dalam satah.

Vektor bukan sifar a → boleh mempunyai bilangan vektor serenjang yang tidak terhingga dalam satah. Mari kita wakili pada garis koordinat.

Vektor bukan sifar a → , terletak pada garis a, diberi. Kemudian b → yang diberi, terletak pada mana-mana garis yang berserenjang dengan garis a, menjadi berserenjang dan a → . Jika vektor i → berserenjang dengan vektor j → atau mana-mana vektor λ · j → dengan λ sama dengan sebarang nombor nyata kecuali sifar, maka cari koordinat bagi vektor b → berserenjang dengan a → = (a x , a y) berkurang kepada satu set penyelesaian yang tidak terhingga. Tetapi adalah perlu untuk mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan a → = (a x , a y) . Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menuliskan keadaan keserenjangan vektor dalam bentuk berikut a x · b x + a y · b y = 0 . Kami mempunyai b x dan b y , yang merupakan koordinat yang dikehendaki bagi vektor serenjang. Apabila a x ≠ 0 , nilai b y ialah bukan sifar dan b x dikira daripada ketaksamaan a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Apabila a x = 0 dan a y ≠ 0, kami menetapkan b x sebarang nilai selain sifar, dan b y ditemui daripada ungkapan b y = - a x · b x a y .

Contoh 5

Diberi vektor dengan koordinat a → = (- 2 , 2) . Cari vektor yang berserenjang dengan yang diberi.

Penyelesaian

Nyatakan vektor yang diingini sebagai b → (b x , b y) . Anda boleh mencari koordinatnya daripada keadaan bahawa vektor a → dan b → adalah berserenjang. Kemudian kita dapat: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Berikan b y = 1 dan gantikan: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Oleh itu daripada rumus kita dapat b x = - 2 - 2 = 1 2 . Oleh itu, vektor b → = (1 2 , 1) ialah vektor berserenjang dengan a → .

Jawapan: b → = (1 2 , 1) .

Sekiranya persoalan ruang tiga dimensi dibangkitkan, masalah itu diselesaikan mengikut prinsip yang sama. Untuk vektor yang diberi a → = (a x , a y , a z) terdapat set tak terhingga vektor serenjang. Akan membetulkannya pada satah 3D koordinat. Diberi a → berbaring di atas garisan a . Satah berserenjang dengan garis lurus a dilambangkan dengan α. Dalam kes ini, sebarang vektor bukan sifar b → dari satah α adalah berserenjang dengan a → .

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat b → berserenjang dengan vektor bukan sifar a → = (a x , a y , a z) .

Biarkan b → diberikan dengan koordinat b x , b y dan b z . Untuk mencari mereka, adalah perlu untuk menggunakan takrifan keadaan serenjang dua vektor. Kesamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 mesti dipegang. Daripada keadaan a → - bukan sifar, yang bermaksud bahawa salah satu koordinat mempunyai nilai yang tidak sama dengan sifar. Katakan bahawa a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 atau a z ≠ 0). Oleh itu, kita mempunyai hak untuk membahagikan keseluruhan ketaksamaan a x b x + a y b y + a z b z = 0 dengan koordinat ini, kita mendapat ungkapan b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Kami menetapkan sebarang nilai kepada koordinat b y dan b x , hitung nilai b x , berdasarkan formula, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vektor serenjang yang dikehendaki akan mempunyai nilai a → = (a x , a y , a z) .

Mari kita lihat bukti dengan contoh.

Contoh 6

Diberi vektor dengan koordinat a → = (1 , 2 , 3) ​​​​  . Cari vektor yang berserenjang dengan yang diberi.

Penyelesaian

Nyatakan vektor yang dikehendaki sebagai b → = (b x , b y , b z) . Berdasarkan syarat bahawa vektor adalah berserenjang, hasil kali skalar mestilah sama dengan sifar.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Jika nilai b y = 1 , b z = 1 , maka b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Ia berikutan bahawa koordinat bagi vektor b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → ialah salah satu vektor serenjang dengan yang diberikan.

Jawapan: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Mencari koordinat bagi vektor yang berserenjang dengan dua vektor yang diberi

Anda perlu mencari koordinat vektor dalam ruang tiga dimensi. Ia berserenjang dengan vektor bukan kolinear a → (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Di bawah syarat bahawa vektor a → dan b → adalah kolinear, dalam masalah ia akan mencukupi untuk mencari vektor berserenjang dengan a → atau b → .

Apabila menyelesaikan, konsep produk vektor bagi vektor digunakan.

Hasil silang vektor a → dan b → ialah vektor yang berserenjang serentak dengan kedua-dua a → dan b → . Untuk menyelesaikan masalah ini, produk vektor a → × b → digunakan. Untuk ruang tiga dimensi ia mempunyai bentuk a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Marilah kita menganalisis produk vektor dengan lebih terperinci menggunakan contoh masalah.

Contoh 7

Vektor b → = (0 , 2 , 3) ​​​​dan a → = (2 , 1 , 0) diberikan. Cari koordinat mana-mana vektor berserenjang dengan data pada masa yang sama.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikannya, anda perlu mencari hasil silang vektor. (Mesti rujuk perenggan pengiraan penentu matriks untuk mencari vektor). Kita mendapatkan:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Jawapan: (3 , - 6 , 4) - koordinat vektor yang berserenjang serentak dengan diberi a → dan b → .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter