Jenis fungsi dan sifatnya. Konsep asas dan sifat fungsi

Definisi: Fungsi berangka ialah surat-menyurat yang mengaitkan setiap nombor x daripada set yang diberikan tunggal y.

Jawatan:

di mana x ialah pembolehubah tidak bersandar (argumen), y ialah pembolehubah bersandar (fungsi). Set nilai x dipanggil domain fungsi (ditandakan D(f)). Set nilai y dipanggil julat nilai fungsi (ditandakan E(f)). Graf fungsi ialah set titik dalam satah dengan koordinat (x, f(x))

Kaedah untuk menentukan fungsi.

kaedah analisis (menggunakan formula matematik);
kaedah jadual (menggunakan jadual);
kaedah deskriptif (menggunakan penerangan lisan);
kaedah grafik (menggunakan graf).

Sifat asas fungsi.

1. Genap dan ganjil

Fungsi dipanggil walaupun
– domain takrifan fungsi adalah simetri kira-kira sifar
f(-x) = f(x)

Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi 0y

Suatu fungsi dipanggil ganjil jika
– domain takrifan fungsi adalah simetri kira-kira sifar
– untuk mana-mana x daripada domain definisi f(-x) = –f(x)

Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.

2. Kekerapan

Fungsi f(x) dipanggil berkala dengan kala jika untuk sebarang x daripada domain takrifan f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Jadual fungsi berkala terdiri daripada serpihan serupa yang berulang tanpa had.

3. Monotony (bertambah, berkurang)

Fungsi f(x) meningkat pada set P jika bagi mana-mana x 1 dan x 2 daripada set ini, supaya x 1

Fungsi f(x) berkurangan pada set P jika bagi mana-mana x 1 dan x 2 daripada set ini, sehingga x 1 f(x 2) .

4. Keterlaluan

Titik X max dipanggil titik maksimum bagi fungsi f(x) jika untuk semua x dari beberapa kejiranan X max ketaksamaan f(x) f(X max) dipenuhi.

Nilai Y max =f(X max) dipanggil maksimum bagi fungsi ini.

X max – titik maksimum
Pada maks - maksimum

Titik X min dipanggil titik minimum bagi fungsi f(x) jika bagi semua x dari beberapa kejiranan X min, ketaksamaan f(x) f(X min) dipenuhi.

Nilai Y min =f(X min) dipanggil minimum bagi fungsi ini.

X min – titik minimum
Y min – minimum

X min , X max – titik melampau
Y min , Y maks – melampau.

5. Sifar fungsi

Sifar bagi fungsi y = f(x) ialah nilai hujah x di mana fungsi menjadi sifar: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – sifar bagi fungsi y = f(x).

Tugasan dan ujian pada topik "Sifat asas fungsi"

Ciri Fungsi - Fungsi angka darjah 9
Pelajaran: 2 Tugasan: 11 Ujian: 1
Sifat logaritma - Demonstratif dan fungsi logaritma darjah 11
Pelajaran: 2 Tugasan: 14 Ujian: 1
Fungsi punca kuasa dua, sifat dan grafnya - Fungsi punca kuasa dua. Sifat gred punca kuasa dua 8
Pelajaran: 1 Tugasan: 9 Ujian: 1
Fungsi kuasa, sifat dan grafnya - Darjah dan akar. Fungsi kuasa darjah 11
Pelajaran: 4 Tugasan: 14 Ujian: 1
Fungsi - Topik Penting Untuk ulangan Peperiksaan Negeri Bersatu dalam matematik
Tugasan: 24

Setelah mempelajari topik ini, anda seharusnya dapat mencari domain takrifan pelbagai fungsi, menentukan selang monotonisitas fungsi menggunakan graf, dan memeriksa fungsi untuk kesamaan dan keganjilan. Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan masalah yang sama menggunakan contoh berikut.

Contoh.

1. Cari domain takrifan fungsi.

Penyelesaian: domain takrifan fungsi didapati daripada keadaan

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan pertanyaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Domain definisi dan julat nilai sesuatu fungsi. Dalam matematik asas, fungsi dikaji hanya pada set nombor nyata R.Ini bermakna hujah fungsi hanya boleh mengambil nilai sebenar yang fungsinya ditakrifkan, i.e. ia juga hanya menerima nilai sebenar. banyak X semua nilai hujah yang sah yang sah x, yang mana fungsi y= f(x)ditakrifkan, dipanggil domain fungsi. banyak Y semua nilai sebenar y, yang diterima oleh fungsi, dipanggil julat fungsi. Sekarang anda boleh memberi lebih banyak lagi definisi yang tepat ciri-ciri: peraturan(undang-undang) kesesuaian antara set X dan Y, mengikut mana bagi setiap elemen daripada setX boleh mencari satu dan hanya satu elemen daripada set Y, dipanggil fungsi.

Daripada takrifan ini, sesuatu fungsi dianggap ditakrifkan jika:

Domain fungsi ditentukan X ;

Julat fungsi ditentukan Y ;

Peraturan (undang-undang) surat-menyurat diketahui, dan sedemikian rupa untuk setiap

Hanya satu nilai fungsi boleh ditemui untuk nilai argumen.

Keperluan keunikan fungsi ini adalah wajib.

Fungsi monotonik. Jika untuk mana-mana dua nilai hujah x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f(x 2) > f(x 1), kemudian fungsi f(x) dipanggil semakin meningkat; jika ada x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f(x 2) < f(x 1), kemudian fungsi f(x) dipanggil semakin berkurangan. Fungsi yang hanya bertambah atau berkurang sahaja dipanggil membosankan.

Fungsi terhad dan tidak terhad. Fungsi itu dipanggil terhad, jika perkara sedemikian wujud nombor positif M apa | f(x) | M untuk semua nilai x. Jika nombor sedemikian tidak wujud, maka fungsinya ialah tidak terhad.

CONTOH.

Fungsi yang ditunjukkan dalam Rajah 3 adalah terhad, tetapi tidak monotonik. Fungsi dalam Rajah 4 adalah sebaliknya, monotonik, tetapi tidak terhad. (Tolong jelaskan ini!).

Fungsi berterusan dan tidak berterusan. Fungsi y = f (x) dipanggil berterusan pada titikx = a, Jika:

1) fungsi ditakrifkan apabila x = a, iaitu f (a) wujud;

2) wujud terhingga had lim f (x) ;

x→a

(lihat Had Fungsi)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Jika sekurang-kurangnya satu daripada syarat ini tidak dipenuhi, maka fungsi itu dipanggil bahan letupan pada titik x = a.

Jika fungsi berterusan semasa semua orang titik domain definisinya, maka ia dipanggil fungsi berterusan.

Fungsi genap dan ganjil. Jika untuk mana-mana x f(- x) = f (x), maka fungsi itu dipanggil malah; jika ia berlaku: f(- x) = - f (x), maka fungsi itu dipanggil ganjil. Jadual malah berfungsisimetri tentang paksi Y(Gamb. 5), graf fungsi ganjil Simmetrik berkenaan dengan asal usul(Gamb. 6).

Fungsi berkala. Fungsi f (x) - berkala, jika perkara sedemikian wujud bukan sifar nombor T untuk apa mana-mana x dari domain takrifan fungsi yang berikut memegang: f (x + T) = f (x). ini paling kurang nombor itu dipanggil tempoh fungsi. Semua fungsi trigonometri adalah berkala.

Contoh 1. Buktikan dosa itu x mempunyai tempoh 2.

Penyelesaian: Kita tahu bahawa dosa ( x+ 2n) = dosa x, Di mana n= 0, ± 1, ± 2, …

Oleh itu, penambahan 2 n bukan kepada hujah sinus

Berubah maknanya. Adakah terdapat nombor lain dengan ini

Harta yang sama?

Mari kita anggap itu P- nombor sedemikian, i.e. kesamarataan:

dosa( x+P) = dosa x,

Sah untuk sebarang nilai x. Tetapi kemudian ia telah

Tempat dan masa x= / 2, i.e.

Dosa(/2 + P) = dosa / 2 = 1.

Tetapi mengikut formula pengurangan sin ( / 2 + P) = cos P. Kemudian

Daripada dua kesamaan terakhir ia mengikuti bahawa cos P= 1, tetapi kita

Kami tahu bahawa ini hanya benar apabila P = 2n. Sejak kecil

Nombor bukan sifar daripada 2 n ialah 2, maka nombor ini

Dan ada dosa tempoh x. Ia boleh dibuktikan dengan cara yang sama seperti 2 daripada n ialah , jadi ini adalah tempoh dosa 2 x.

Fungsi sifar. Nilai hujah di mana fungsi bersamaan dengan 0 dipanggil sifar (akar) fungsi. Fungsi boleh mempunyai berbilang sifar Contohnya, fungsi y = x (x + 1) (x-3) mempunyai tiga sifar: x= 0, x= -1, x= 3. Secara geometri fungsi null - ini ialah absis bagi titik persilangan graf fungsi dengan paksi X .

Rajah 7 menunjukkan graf fungsi dengan sifar: x= a, x = b Dan x= c.

Asimtot. Jika graf fungsi menghampiri garis tertentu secara tidak tentu apabila ia bergerak menjauhi asal, maka garis ini dipanggil asimtot.

Fungsi sifar
Sifar bagi sesuatu fungsi ialah nilai X, di mana fungsi bertukar kepada 0, iaitu, f(x)=0.

Sifar ialah titik persilangan graf fungsi dengan paksi Oh.

pariti fungsi
Fungsi dipanggil walaupun untuk mana-mana X daripada domain takrifan kesamaan f(-x) = f(x) dipegang

Fungsi genap adalah simetri tentang paksi Oh

Fungsi pariti ganjil
Sesuatu fungsi dipanggil ganjil jika ada X daripada domain takrifan kesamaan f(-x) = -f(x) dipegang.

Fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.
Fungsi yang bukan genap mahupun ganjil dipanggil fungsi umum.

Meningkatkan fungsi
Suatu fungsi f(x) dikatakan bertambah jika nilai yang lebih tinggi hujah sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar, i.e.

Fungsi menurun
Fungsi f(x) dipanggil menurun jika nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil, i.e.

Selang di mana fungsi sama ada hanya berkurangan atau hanya meningkat dipanggil selang monotoni. Fungsi f(x) mempunyai 3 selang kemonotonan:

Cari selang kemonotonan menggunakan perkhidmatan Selang peningkatan dan penurunan fungsi

Maksimum tempatan
titik x 0 dipanggil titik maksimum tempatan, jika ada X dari sekitar satu titik x 0 ketaksamaan berlaku: f(x 0) > f(x)

Minimum tempatan
titik x 0 dipanggil titik minimum tempatan, jika ada X dari sekitar satu titik x 0 ketaksamaan kekal: f(x 0)< f(x).

Mata maksimum tempatan dan mata minimum tempatan dipanggil titik ekstrem tempatan.

titik ekstrem tempatan.

Kekerapan fungsi
Fungsi f(x) dipanggil berkala, dengan noktah T, jika ada X kesamaan f(x+T) = f(x) dipegang.

Selang ketekalan tanda
Selang di mana fungsi sama ada positif atau negatif sahaja dipanggil selang tanda malar.

Kesinambungan fungsi
Fungsi f(x) dipanggil selanjar pada titik x 0 jika had fungsi sebagai x → x 0 sama dengan nilai berfungsi pada ketika ini, i.e. .