Jenis-jenis persamaan linear. Menyelesaikan persamaan linear mudah

Sistem persamaan linear ialah gabungan n persamaan linear, setiap satu mengandungi k pembolehubah. Ia ditulis seperti ini:

Ramai, apabila berhadapan dengan algebra yang lebih tinggi buat kali pertama, tersilap percaya bahawa bilangan persamaan semestinya bertepatan dengan bilangan pembolehubah. Dalam algebra sekolah ini biasanya berlaku, tetapi untuk algebra yang lebih tinggi ini, secara amnya, tidak benar.

Penyelesaian sistem persamaan ialah urutan nombor (k 1 , k 2 , ..., k n ), yang merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan sistem, i.e. apabila menggantikan ke dalam persamaan ini dan bukannya pembolehubah x 1 , x 2 , ..., x n memberikan kesamaan berangka yang betul.

Sehubungan itu, untuk menyelesaikan sistem persamaan bermakna mencari set semua penyelesaiannya atau membuktikan bahawa set ini kosong. Oleh kerana bilangan persamaan dan bilangan yang tidak diketahui mungkin tidak sama, tiga kes mungkin:

1. Sistem ini tidak konsisten, i.e. set semua penyelesaian adalah kosong. Kes yang agak jarang berlaku yang mudah dikesan tanpa mengira kaedah untuk menyelesaikan sistem.
2. Sistem ini konsisten dan ditakrifkan, i.e. mempunyai tepat satu penyelesaian. Versi klasik, terkenal sejak sekolah lagi.
3. Sistem ini konsisten dan tidak ditentukan, i.e. mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Ini adalah pilihan yang paling sukar. Tidak cukup untuk menyatakan bahawa "sistem mempunyai set penyelesaian yang tidak terhingga" - adalah perlu untuk menerangkan bagaimana set ini disusun.

Pembolehubah x i dipanggil dibenarkan jika ia dimasukkan dalam hanya satu persamaan sistem, dan dengan pekali 1. Dengan kata lain, dalam persamaan yang tinggal, pekali bagi pembolehubah x i mestilah sama dengan sifar.

Jika kita memilih satu pembolehubah yang dibenarkan dalam setiap persamaan, kita mendapat satu set pembolehubah yang dibenarkan untuk keseluruhan sistem persamaan. Sistem itu sendiri, yang ditulis dalam bentuk ini, juga akan dipanggil dibenarkan. Secara umumnya, satu dan sistem awal yang sama boleh dikurangkan kepada sistem yang dibenarkan berbeza, tetapi ini tidak membimbangkan kita sekarang. Berikut ialah contoh sistem yang dibenarkan:

Kedua-dua sistem dibenarkan berkenaan dengan pembolehubah x 1 , x 3 dan x 4 . Walau bagaimanapun, dengan kejayaan yang sama boleh dikatakan bahawa sistem kedua dibenarkan berkenaan dengan x 1 , x 3 dan x 5 . Ia cukup untuk menulis semula persamaan terkini dalam bentuk x 5 = x 4 .

Sekarang pertimbangkan kes yang lebih umum. Katakan kita mempunyai k pembolehubah dalam jumlah, yang mana r dibenarkan. Kemudian dua kes mungkin:

1. Bilangan pembolehubah yang dibenarkan r adalah sama dengan jumlah bilangan pembolehubah k : r = k . Kami mendapat sistem persamaan k di mana r = k dibenarkan pembolehubah. Sistem sedemikian adalah kolaboratif dan pasti, kerana x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Bilangan pembolehubah yang dibenarkan r adalah kurang daripada jumlah bilangan pembolehubah k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Jadi, dalam sistem di atas, pembolehubah x 2 , x 5 , x 6 (untuk sistem pertama) dan x 2 , x 5 (untuk yang kedua) adalah percuma. Kes apabila terdapat pembolehubah bebas lebih baik dirumuskan sebagai teorem:

Sila ambil perhatian: ini adalah perkara yang sangat penting! Bergantung pada cara anda menulis sistem akhir, pembolehubah yang sama boleh dibenarkan dan percuma. Kebanyakan tutor matematik lanjutan mengesyorkan menulis pembolehubah dalam susunan leksikografi, i.e. indeks menaik. Walau bagaimanapun, anda tidak perlu mengikuti nasihat ini sama sekali.

Teorem. Jika dalam sistem n persamaan pembolehubah x 1 , x 2 , ..., x r dibenarkan, dan x r + 1 , x r + 2 , ..., x k adalah bebas, maka:

1. Jika kita menetapkan nilai pembolehubah bebas (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), dan kemudian cari nilai x 1 , x 2 , . .., x r , kita mendapat satu daripada penyelesaian.
2. Jika nilai pembolehubah bebas dalam dua penyelesaian adalah sama, maka nilai pembolehubah yang dibenarkan juga sama, i.e. penyelesaian adalah sama.

Apakah maksud teorem ini? Untuk mendapatkan semua penyelesaian sistem persamaan yang dibenarkan, cukuplah untuk memilih pembolehubah bebas. Kemudian, dengan memberikan nilai yang berbeza kepada pembolehubah bebas, kami akan mendapat penyelesaian siap sedia. Itu sahaja - dengan cara ini anda boleh mendapatkan semua penyelesaian sistem. Tiada penyelesaian lain.

Kesimpulan: sistem persamaan yang dibenarkan sentiasa serasi. Jika bilangan persamaan dalam sistem yang dibenarkan adalah sama dengan bilangan pembolehubah, sistem akan pasti; jika kurang, ia akan menjadi tidak tentu.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi persoalannya timbul: bagaimana untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan asal? Untuk ini ada

Mula-mula anda perlu memahami apa itu.

Terdapat definisi yang mudah persamaan linear, yang diberikan di sekolah biasa: "persamaan di mana pembolehubah berlaku hanya dalam darjah pertama." Tetapi ia tidak sepenuhnya benar: persamaan itu tidak linear, ia tidak dikurangkan kepada sedemikian, ia dikurangkan kepada kuadratik.

Definisi yang lebih tepat ialah: persamaan linear adalah persamaan yang transformasi yang setara boleh dikurangkan kepada bentuk di mana title="(!LANG:a,b dalam bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Malah, untuk memahami sama ada persamaan adalah linear atau tidak, ia mesti dipermudahkan dahulu, iaitu, dibawa ke bentuk di mana pengelasannya akan menjadi jelas. Ingat, anda boleh melakukan apa sahaja dengan persamaan yang tidak mengubah akarnya - ini transformasi setara. Daripada transformasi setara yang paling mudah, kita boleh membezakan:

1. pengembangan kurungan
2. membawa serupa
3. pendaraban dan/atau pembahagian kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar
4. penambahan dan/atau penolakan daripada kedua-dua bahagian nombor atau ungkapan yang sama*

Anda boleh melakukan transformasi ini tanpa rasa sakit, tanpa memikirkan sama ada anda "merosakkan" persamaan atau tidak.
*Tafsiran tertentu bagi transformasi terakhir ialah "pemindahan" istilah dari satu bahagian ke bahagian lain dengan perubahan tanda.

Contoh 1:
(kurungan terbuka)
(tambah pada kedua-dua bahagian dan tolak / pindahkan dengan perubahan tanda nombor ke kiri, dan pembolehubah ke kanan)
(Berikan yang serupa)
(bahagi dengan 3 kedua-dua belah persamaan)

Jadi kami mendapat persamaan yang mempunyai punca yang sama dengan yang asal. Kami mengingatkan pembaca bahawa "selesaikan persamaan" bermakna untuk mencari semua akarnya dan membuktikan bahawa tidak ada yang lain, dan "akar persamaan"- ini ialah nombor yang, apabila digantikan dengan yang tidak diketahui, akan mengubah persamaan menjadi kesamaan sebenar. Nah, dalam persamaan terakhir, mencari nombor yang menukar persamaan menjadi kesamaan yang betul adalah sangat mudah - ini adalah nombornya. Tiada nombor lain akan menjadikan persamaan ini sebagai identiti. Jawapan:

Contoh 2:
(darab kedua-dua belah persamaan dengan , pastikan kita tidak mendarab dengan : title="(!LANG:x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(kurungan terbuka)
(istilah pindah)
(Berikan yang serupa)
(bahagikan kedua-dua bahagian dengan )

Ini adalah bagaimana semua persamaan linear diselesaikan. Bagi pembaca yang lebih muda, kemungkinan besar, penjelasan ini kelihatan rumit, jadi kami menawarkan versinya "persamaan linear untuk gred 5"

Sistem persamaan digunakan secara meluas dalam industri ekonomi dalam pemodelan matematik pelbagai proses. Contohnya, apabila menyelesaikan masalah pengurusan dan perancangan pengeluaran, laluan logistik (masalah pengangkutan) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan bukan sahaja dalam bidang matematik, tetapi juga dalam fizik, kimia dan biologi, apabila menyelesaikan masalah mencari saiz populasi.

Sistem persamaan linear ialah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa pembolehubah yang mana ia perlu untuk mencari penyelesaian yang sama. Urutan nombor sedemikian yang mana semua persamaan menjadi kesamaan benar atau membuktikan bahawa urutan itu tidak wujud.

Persamaan Linear

Persamaan bentuk ax+by=c dipanggil linear. Penamaan x, y ialah yang tidak diketahui, yang nilainya mesti ditemui, b, a ialah pekali pembolehubah, c ialah sebutan bebas bagi persamaan.
Menyelesaikan persamaan dengan memplot grafnya akan kelihatan seperti garis lurus, semua titik adalah penyelesaian polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling mudah ialah contoh sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dengan F1,2 ialah fungsi dan (x, y) ialah pembolehubah fungsi.

Menyelesaikan sistem persamaan - ia bermakna untuk mencari nilai-nilai sedemikian (x, y) yang mana sistem itu menjadi kesamaan sebenar, atau untuk menentukan bahawa tiada nilai yang sesuai bagi x dan y.

Sepasang nilai (x, y), ditulis sebagai koordinat titik, dipanggil penyelesaian kepada sistem persamaan linear.

Jika sistem mempunyai satu penyelesaian biasa atau tiada penyelesaian, ia dipanggil setara.

Sistem persamaan linear homogen ialah sistem yang sisi kanannya sama dengan sifar. Jika bahagian kanan selepas tanda "sama" mempunyai nilai atau dinyatakan oleh fungsi, sistem sedemikian tidak homogen.

Bilangan pembolehubah boleh lebih daripada dua, maka kita harus bercakap tentang contoh sistem persamaan linear dengan tiga pembolehubah atau lebih.

Menghadapi sistem, pelajar sekolah menganggap bahawa bilangan persamaan mestilah bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, tetapi ini tidak begitu. Bilangan persamaan dalam sistem tidak bergantung pada pembolehubah, boleh ada bilangan yang besar secara sewenang-wenangnya.

Kaedah mudah dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tiada cara analitikal umum untuk menyelesaikan sistem sedemikian, semua kaedah adalah berdasarkan penyelesaian berangka. Kursus matematik sekolah menerangkan secara terperinci kaedah seperti pilih atur, penambahan algebra, penggantian, serta kaedah grafik dan matriks, penyelesaian dengan kaedah Gauss.

Tugas utama dalam pengajaran kaedah penyelesaian adalah untuk mengajar cara menganalisis sistem dengan betul dan mencari algoritma penyelesaian optimum untuk setiap contoh. Perkara utama bukanlah untuk menghafal sistem peraturan dan tindakan untuk setiap kaedah, tetapi untuk memahami prinsip menerapkan kaedah tertentu.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear gred ke-7 program sekolah pendidikan am agak mudah dan dijelaskan dengan terperinci. Dalam mana-mana buku teks matematik, bahagian ini diberi perhatian yang cukup. Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss dan Cramer dikaji dengan lebih terperinci dalam kursus pertama institusi pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan kaedah penggantian

Tindakan kaedah penggantian bertujuan untuk menyatakan nilai satu pembolehubah melalui kedua. Ungkapan digantikan ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian ia dikurangkan kepada bentuk pembolehubah tunggal. Tindakan diulang bergantung pada bilangan yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita berikan contoh sistem persamaan linear kelas ke-7 dengan kaedah penggantian:

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, pembolehubah x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ungkapan yang terhasil, digantikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai ganti X, membantu memperoleh satu pembolehubah Y dalam persamaan ke-2 . Penyelesaian contoh ini tidak menyebabkan kesukaran dan membolehkan anda mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir ialah menyemak nilai yang diperoleh.

Ia tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan penggantian. Persamaan boleh menjadi kompleks dan ungkapan pembolehubah dari segi yang tidak diketahui kedua akan menjadi terlalu rumit untuk pengiraan selanjutnya. Apabila terdapat lebih daripada 3 yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian penggantian juga tidak praktikal.

Penyelesaian contoh sistem persamaan tak homogen linear:

Penyelesaian menggunakan penambahan algebra

Apabila mencari penyelesaian kepada sistem dengan kaedah penambahan, penambahan sebutan demi sebutan dan pendaraban persamaan dengan pelbagai nombor dilakukan. Matlamat akhir operasi matematik ialah persamaan dengan satu pembolehubah.

Aplikasi kaedah ini memerlukan latihan dan pemerhatian. Bukan mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah penambahan dengan bilangan pembolehubah 3 atau lebih. Penambahan algebra berguna apabila persamaan mengandungi pecahan dan nombor perpuluhan.

Algoritma tindakan penyelesaian:

1. Darab kedua-dua belah persamaan dengan beberapa nombor. Hasil daripada operasi aritmetik, salah satu pekali pembolehubah mestilah sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ungkapan yang terhasil mengikut istilah dan cari salah satu yang tidak diketahui.
3. Gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari pembolehubah yang tinggal.

Kaedah penyelesaian dengan memperkenalkan pembolehubah baru

Pembolehubah baru boleh diperkenalkan jika sistem perlu mencari penyelesaian untuk tidak lebih daripada dua persamaan, bilangan yang tidak diketahui juga harus tidak lebih daripada dua.

Kaedah ini digunakan untuk memudahkan salah satu persamaan dengan memperkenalkan pembolehubah baru. Persamaan baru diselesaikan berkenaan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang terhasil digunakan untuk menentukan pembolehubah asal.

Ia boleh dilihat daripada contoh bahawa dengan memperkenalkan pembolehubah baru t, adalah mungkin untuk mengurangkan persamaan pertama sistem kepada trinomial persegi piawai. Anda boleh menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminasi.

Adalah perlu untuk mencari nilai diskriminasi menggunakan formula yang terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D ialah diskriminasi yang dikehendaki, b, a, c ialah pengganda polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar, maka terdapat dua penyelesaian: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminasi kurang daripada sifar, maka hanya terdapat satu penyelesaian: x= -b / 2*a.

Penyelesaian untuk sistem yang terhasil didapati dengan kaedah penambahan.

Kaedah visual untuk menyelesaikan sistem

Sesuai untuk sistem dengan 3 persamaan. Kaedah ini terdiri daripada memplot graf bagi setiap persamaan yang disertakan dalam sistem pada paksi koordinat. Koordinat titik persilangan lengkung akan menjadi penyelesaian umum sistem.

Kaedah grafik mempunyai beberapa nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik telah dibina untuk setiap baris, nilai pembolehubah x dipilih secara sewenang-wenangnya: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai untuk y didapati: 3 dan 0. Titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditanda pada graf dan disambungkan dengan garis.

Langkah-langkah mesti diulang untuk persamaan kedua. Titik persilangan garis ialah penyelesaian sistem.

Dalam contoh berikut, adalah diperlukan untuk mencari penyelesaian grafik kepada sistem persamaan linear: 0.5x-y+2=0 dan 0.5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, sistem tidak mempunyai penyelesaian, kerana graf adalah selari dan tidak bersilang sepanjang keseluruhannya.

Sistem daripada Contoh 2 dan 3 adalah serupa, tetapi apabila dibina, ia menjadi jelas bahawa penyelesaiannya berbeza. Harus diingat bahawa tidak selalu mungkin untuk mengatakan sama ada sistem mempunyai penyelesaian atau tidak, ia sentiasa perlu untuk membina graf.

Matriks dan jenisnya

Matriks digunakan untuk menulis secara ringkas sistem persamaan linear. Matriks ialah jenis jadual khas yang diisi dengan nombor. n*m mempunyai n - baris dan m - lajur.

Matriks ialah segi empat sama apabila bilangan lajur dan baris adalah sama. Vektor matriks ialah matriks satu lajur dengan bilangan baris yang berkemungkinan tidak terhingga. Matriks dengan unit di sepanjang salah satu pepenjuru dan unsur sifar lain dipanggil identiti.

Matriks songsang ialah matriks sedemikian, apabila didarab dengan mana matriks asal bertukar menjadi unit satu, matriks sedemikian wujud hanya untuk kuasa dua asal.

Peraturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, pekali dan ahli bebas persamaan ditulis sebagai nombor matriks, satu persamaan ialah satu baris matriks.

Baris matriks dipanggil bukan sifar jika sekurang-kurangnya satu elemen baris itu tidak sama dengan sifar. Oleh itu, jika dalam mana-mana persamaan bilangan pembolehubah berbeza, maka adalah perlu untuk memasukkan sifar sebagai ganti yang tidak diketahui yang hilang.

Lajur matriks mestilah sepadan dengan pembolehubah. Ini bermakna pekali pembolehubah x hanya boleh ditulis dalam satu lajur, contohnya yang pertama, pekali y yang tidak diketahui - hanya dalam yang kedua.

Apabila mendarab matriks, semua elemen matriks didarab berturut-turut dengan nombor.

Pilihan untuk mencari matriks songsang

Formula untuk mencari matriks songsang adalah agak mudah: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 ialah matriks songsang dan |K| - penentu matriks. |K| mestilah tidak sama dengan sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian.

Penentu mudah dikira untuk matriks dua dengan dua, ia hanya perlu untuk mendarab unsur secara menyerong antara satu sama lain. Untuk pilihan "tiga dengan tiga", terdapat formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda boleh menggunakan formula, atau anda boleh ingat bahawa anda perlu mengambil satu elemen daripada setiap baris dan setiap lajur supaya nombor lajur dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan kaedah matriks

Kaedah matriks untuk mencari penyelesaian memungkinkan untuk mengurangkan entri yang menyusahkan apabila menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar pembolehubah dan persamaan.

Dalam contoh, a nm ialah pekali persamaan, matriks ialah vektor x n ialah pembolehubah, dan b n ialah sebutan bebas.

Penyelesaian sistem dengan kaedah Gauss

Dalam matematik yang lebih tinggi, kaedah Gauss dikaji bersama dengan kaedah Cramer, dan proses mencari penyelesaian kepada sistem dipanggil kaedah penyelesaian Gauss-Cramer. Kaedah ini digunakan untuk mencari pembolehubah sistem dengan bilangan persamaan linear yang banyak.

Kaedah Gaussian sangat serupa dengan penyelesaian penggantian dan penambahan algebra, tetapi lebih sistematik. Dalam kursus sekolah, penyelesaian Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan kaedah ini adalah untuk membawa sistem kepada bentuk trapezoid terbalik. Dengan penjelmaan dan penggantian algebra, nilai satu pembolehubah ditemui dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua ialah ungkapan dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - masing-masing dengan 3 dan 4 pembolehubah.

Selepas membawa sistem kepada bentuk yang diterangkan, penyelesaian selanjutnya dikurangkan kepada penggantian berurutan pembolehubah yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku teks sekolah untuk gred 7, contoh penyelesaian Gaussian diterangkan seperti berikut:

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, pada langkah (3) dua persamaan telah diperolehi 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Penyelesaian mana-mana persamaan akan membolehkan anda mengetahui salah satu pembolehubah x n.

Teorem 5, yang disebut dalam teks, menyatakan bahawa jika salah satu persamaan sistem digantikan dengan yang setara, maka sistem yang terhasil juga akan setara dengan yang asal.

Kaedah Gaussian sukar difahami oleh pelajar sekolah menengah, tetapi merupakan salah satu cara yang paling menarik untuk mengembangkan kepintaran kanak-kanak yang belajar dalam program pengajian lanjutan dalam kelas matematik dan fizik.

Untuk memudahkan pengiraan rakaman, adalah kebiasaan untuk melakukan perkara berikut:

Pekali persamaan dan sebutan bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks sepadan dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan bahagian kiri persamaan dari bahagian kanan. Angka Rom menunjukkan bilangan persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menulis matriks untuk berfungsi, kemudian semua tindakan yang dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang terhasil ditulis selepas tanda "anak panah" dan terus melakukan operasi algebra yang diperlukan sehingga hasilnya dicapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu pepenjuru adalah 1, dan semua pekali lain adalah sama dengan sifar, iaitu, matriks dikurangkan kepada satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat pengiraan dengan nombor kedua-dua belah persamaan.

Notasi ini kurang rumit dan membolehkan anda tidak terganggu dengan menyenaraikan banyak perkara yang tidak diketahui.

Aplikasi percuma mana-mana kaedah penyelesaian akan memerlukan penjagaan dan jumlah pengalaman tertentu. Tidak semua kaedah digunakan. Beberapa cara mencari penyelesaian lebih disukai dalam bidang tertentu aktiviti manusia, sementara yang lain wujud untuk tujuan pembelajaran.

Persamaan linear. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Persamaan linear.

Persamaan linear bukanlah topik yang paling sukar dalam matematik sekolah. Tetapi terdapat beberapa helah di sana yang boleh membingungkan walaupun pelajar terlatih. Bolehkah kita memikirkannya?)

Persamaan linear biasanya ditakrifkan sebagai persamaan bentuk:

kapak + b = 0 di mana a dan b- sebarang nombor.

2x + 7 = 0. Di sini a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Di sini a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Di sini a=12, b=1/2

Tidak ada yang rumit, bukan? Terutama jika anda tidak perasan perkataan: "di mana a dan b ialah sebarang nombor"... Dan jika anda perasan, tetapi dengan cuai memikirkannya?) Lagipun, jika a=0, b=0(ada sebarang nombor yang mungkin?), maka kita mendapat ungkapan lucu:

Tetapi bukan itu sahaja! Jika, katakan, a=0, a b=5, ternyata sesuatu yang tidak masuk akal:

Apa yang merenggangkan dan melemahkan keyakinan dalam matematik, ya ...) Terutama dalam peperiksaan. Tetapi daripada ungkapan aneh ini, anda juga perlu mencari X! Yang tidak wujud sama sekali. Dan, yang menghairankan, X ini sangat mudah dicari. Kami akan belajar bagaimana untuk melakukannya. Dalam pelajaran ini.

Bagaimana untuk mengenali persamaan linear dalam rupa? Ia bergantung pada rupa apa.) Caranya ialah persamaan linear dipanggil bukan sahaja persamaan bentuk kapak + b = 0 , tetapi juga sebarang persamaan yang dikurangkan kepada bentuk ini melalui penjelmaan dan pemudahan. Dan siapa tahu sama ada ia berkurangan atau tidak?)

Persamaan linear boleh dikenal pasti dalam beberapa kes. Katakan, jika kita mempunyai persamaan di mana hanya ada yang tidak diketahui dalam darjah pertama, ya nombor. Dan persamaan tidak pecahan dibahagikan dengan tidak diketahui , ia penting! Dan pembahagian oleh nombor, atau pecahan berangka - itu sahaja! Sebagai contoh:

Ini adalah persamaan linear. Terdapat pecahan di sini, tetapi tiada x dalam segi empat sama, dalam kubus, dsb., dan tiada x dalam penyebutnya, i.e. Tidak pembahagian dengan x. Dan inilah persamaannya

tidak boleh dipanggil linear. Di sini x semua dalam ijazah pertama, tetapi ada pembahagian dengan ungkapan dengan x. Selepas pemudahan dan transformasi, anda boleh mendapatkan persamaan linear, dan satu kuadratik, dan apa sahaja yang anda suka.

Ternyata mustahil untuk mengetahui persamaan linear dalam beberapa contoh yang rumit sehingga anda hampir menyelesaikannya. Ia menjengkelkan. Tetapi dalam tugasan, sebagai peraturan, mereka tidak bertanya tentang bentuk persamaan, bukan? Dalam tugasan, persamaan disusun memutuskan. Ini membuatkan saya gembira.)

Penyelesaian persamaan linear. Contoh.

Keseluruhan penyelesaian persamaan linear terdiri daripada transformasi persamaan yang sama. Dengan cara ini, transformasi ini (sebanyak dua!) mendasari penyelesaian semua persamaan matematik. Dengan kata lain, keputusan mana-mana Persamaan bermula dengan transformasi yang sama ini. Dalam kes persamaan linear, ia (penyelesaian) pada transformasi ini berakhir dengan jawapan penuh. Ia masuk akal untuk mengikuti pautan, bukan?) Selain itu, terdapat juga contoh penyelesaian persamaan linear.

Mari kita mulakan dengan contoh yang paling mudah. Tanpa sebarang perangkap. Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan berikut.

x - 3 = 2 - 4x

Ini adalah persamaan linear. Xs semuanya kepada kuasa pertama, tiada pembahagian oleh X. Tetapi, sebenarnya, kami tidak peduli apa persamaan itu. Kita perlu menyelesaikannya. Skim di sini adalah mudah. Kumpul semua dengan x di sebelah kiri persamaan, semuanya tanpa x (nombor) di sebelah kanan.

Untuk melakukan ini, anda perlu memindahkan - 4x ke sebelah kiri, dengan perubahan tanda, sudah tentu, tetapi - 3 - ke kanan. By the way, ini adalah transformasi persamaan pertama yang serupa. Terkejut? Jadi, mereka tidak mengikuti pautan, tetapi sia-sia ...) Kami mendapat:

x + 4x = 2 + 3

Kami memberikan yang serupa, kami menganggap:

Apa yang kita perlukan untuk gembira sepenuhnya? Ya, supaya terdapat X bersih di sebelah kiri! Lima menghalang. Singkirkan lima dengan transformasi identik kedua bagi persamaan. Iaitu, kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan 5. Kami mendapat jawapan sedia:

Contoh asas, sudah tentu. Ini adalah untuk memanaskan badan.) Tidak begitu jelas mengapa saya teringat perubahan yang serupa di sini? OKEY. Kami mengambil lembu jantan dengan tanduk.) Mari kita tentukan sesuatu yang lebih mengagumkan.

Sebagai contoh, berikut adalah persamaan ini:

Di mana kita bermula? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Boleh jadi begitu. Langkah kecil di sepanjang jalan yang panjang. Dan anda boleh serta-merta, dengan cara yang universal dan berkuasa. Melainkan, sudah tentu, dalam senjata anda terdapat transformasi persamaan yang sama.

Saya bertanya kepada anda satu soalan penting: Apakah yang paling anda tidak suka tentang persamaan ini?

95 orang daripada 100 akan menjawab: pecahan ! Jawapannya betul. Jadi mari kita singkirkan mereka. Jadi kita mulakan segera dengan transformasi identik kedua. Apakah yang anda perlukan untuk mendarab pecahan di sebelah kiri supaya penyebutnya dikurangkan sepenuhnya? Betul, 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tetapi matematik membolehkan kita mendarab kedua-dua belah dengan nombor yang sama. Macam mana kita nak keluar? Mari kita darab kedua-dua belah dengan 12! Itu. kepada penyebut biasa. Kemudian tiga akan dikurangkan, dan empat. Jangan lupa bahawa anda perlu mendarab setiap bahagian sepenuhnya. Inilah rupa langkah pertama:

Memperluas kurungan:

Nota! Penbilang (x+2) Saya ambil dalam kurungan! Ini kerana apabila mendarab pecahan, pengangka didarab dengan keseluruhan, sepenuhnya! Dan kini anda boleh mengurangkan pecahan dan mengurangkan:

Membuka kurungan yang tinggal:

Bukan contoh, tetapi keseronokan murni!) Sekarang kita ingat mantera dari gred yang lebih rendah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan! Dan gunakan transformasi ini:

Berikut adalah beberapa seperti:

Dan kami membahagikan kedua-dua bahagian dengan 25, i.e. gunakan transformasi kedua sekali lagi:

Itu sahaja. Jawapan: X=0,16

Ambil perhatian: untuk membawa persamaan mengelirukan asal kepada bentuk yang menyenangkan, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi yang sama- terjemahan kiri-kanan dengan perubahan tanda dan darab-bahagi persamaan dengan nombor yang sama. Ini adalah cara universal! Kami akan bekerja dengan cara ini mana-mana persamaan! sama sekali. Itulah sebabnya saya terus mengulangi transformasi yang serupa ini sepanjang masa.)

Seperti yang anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linear adalah mudah. Kami mengambil persamaan dan memudahkannya dengan bantuan transformasi yang sama sehingga kami mendapat jawapannya. Masalah utama di sini adalah dalam pengiraan, dan bukan dalam prinsip penyelesaian.

Tetapi ... Terdapat kejutan sedemikian dalam proses menyelesaikan persamaan linear yang paling asas yang boleh menyebabkan mereka menjadi pingsan yang kuat ...) Nasib baik, hanya terdapat dua kejutan seperti itu. Mari kita panggil mereka kes khas.

Kes khas dalam menyelesaikan persamaan linear.

Kejutan dahulu.

Katakan anda menjumpai persamaan asas, seperti:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Sedikit bosan, kami memindahkan dengan X ke kiri, tanpa X - ke kanan ... Dengan perubahan tanda, semuanya adalah chin-chinar ... Kami mendapat:

2x-5x+3x=5-2-3

Kami percaya, dan ... oh saya! Kita mendapatkan:

Dengan sendirinya, kesaksamaan ini tidak boleh dipertikaikan. Sifar adalah benar-benar sifar. Tetapi X sudah tiada! Dan kita mesti menulis dalam jawapan, x sama dengan apa. Jika tidak, penyelesaiannya tidak dikira, ya...) Jalan buntu?

Tenang! Dalam kes yang meragukan sedemikian, peraturan yang paling umum menjimatkan. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan? Ini bermaksud, cari semua nilai x yang, apabila digantikan dengan persamaan asal, akan memberi kita kesamaan yang betul.

Tetapi kita mempunyai persamaan yang betul sudah berlaku! 0=0, di mana sebenarnya?! Ia masih perlu memikirkan apa x ini diperolehi. Apakah nilai x yang boleh digantikan asal persamaan jika x ini masih mengecil ke sifar? Jom?)

ya!!! Xs boleh diganti mana-mana! Apa yang kamu mahu. Sekurang-kurangnya 5, sekurang-kurangnya 0.05, sekurang-kurangnya -220. Mereka tetap akan mengecut. Jika anda tidak percaya saya, anda boleh menyemaknya.) Gantikan mana-mana nilai x dalam asal persamaan dan mengira. Sepanjang masa kebenaran tulen akan diperolehi: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.

Inilah jawapan anda: x ialah sebarang nombor.

Jawapan boleh ditulis dalam simbol matematik yang berbeza, intipati tidak berubah. Ini adalah jawapan yang betul dan lengkap.

Kejutan kedua.

Mari kita ambil persamaan linear asas yang sama dan tukar hanya satu nombor di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Selepas transformasi yang sama, kami mendapat sesuatu yang menarik:

Macam ni. Menyelesaikan persamaan linear, mendapat kesamaan aneh. Dari segi matematik, kita ada kesamarataan yang salah. Dan dalam istilah mudah, ini tidak benar. Rave. Namun begitu, karut ini adalah alasan yang baik untuk penyelesaian persamaan yang betul.)

Sekali lagi, kami berfikir berdasarkan peraturan am. Apakah x, apabila digantikan ke dalam persamaan asal, akan berikan kepada kita betul kesaksamaan? Ya, tiada! Tidak ada x seperti itu. Apa sahaja yang anda gantikan, semuanya akan berkurangan, karut akan kekal.)

Inilah jawapan anda: tiada penyelesaian.

Ini juga merupakan jawapan yang betul-betul sah. Dalam matematik, jawapan sedemikian sering berlaku.

Macam ni. Sekarang, saya harap, kehilangan Xs dalam proses menyelesaikan sebarang persamaan (bukan sahaja linear) tidak akan mengganggu anda sama sekali. Perkara itu sudah biasa.)

Sekarang bahawa kita telah menangani semua perangkap dalam persamaan linear, masuk akal untuk menyelesaikannya.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Dan seterusnya, adalah logik untuk membiasakan diri dengan persamaan jenis lain. Seterusnya dalam barisan ialah persamaan linear, kajian bertujuan yang bermula dalam pelajaran algebra dalam gred 7.

Adalah jelas bahawa pertama anda perlu menerangkan apa itu persamaan linear, berikan definisi persamaan linear, pekalinya, tunjukkan bentuk amnya. Kemudian anda boleh memikirkan berapa banyak penyelesaian persamaan linear bergantung pada nilai pekali, dan bagaimana punca ditemui. Ini akan membolehkan anda meneruskan untuk menyelesaikan contoh, dan dengan itu menyatukan teori yang dipelajari. Dalam artikel ini kita akan melakukan ini: kita akan membincangkan secara terperinci semua perkara teori dan praktikal mengenai persamaan linear dan penyelesaiannya.

Katakan segera bahawa di sini kita akan mempertimbangkan hanya persamaan linear dengan satu pembolehubah, dan dalam artikel berasingan kita akan mengkaji prinsip penyelesaian persamaan linear dalam dua pembolehubah.

Navigasi halaman.

Apakah persamaan linear?

Takrifan persamaan linear diberikan melalui bentuk tatatandanya. Selain itu, dalam buku teks matematik dan algebra yang berbeza, rumusan definisi persamaan linear mempunyai beberapa perbezaan yang tidak menjejaskan intipati isu.

Sebagai contoh, dalam buku teks algebra untuk gred 7 oleh Yu. N. Makarycheva dan lain-lain, persamaan linear ditakrifkan seperti berikut:

Definisi.

Taip persamaan ax=b, di mana x ialah pembolehubah, a dan b ialah beberapa nombor, dipanggil persamaan linear dengan satu pembolehubah.

Mari kita berikan contoh persamaan linear yang sepadan dengan definisi bersuara. Sebagai contoh, 5 x=10 ialah persamaan linear dengan satu pembolehubah x , di sini pekali a ialah 5 , dan nombor b ialah 10 . Contoh lain: −2.3 y=0 juga merupakan persamaan linear, tetapi dengan pembolehubah y , di mana a=−2.3 dan b=0 . Dan dalam persamaan linear x=−2 dan −x=3.33 a tidak hadir secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan −1, manakala dalam persamaan pertama b=−2 dan dalam kedua - b=3.33 .

Setahun sebelumnya, dalam buku teks matematik oleh N. Ya. Vilenkin, persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui, sebagai tambahan kepada persamaan bentuk a x = b, juga dianggap persamaan yang boleh dikurangkan kepada bentuk ini dengan memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan kepada yang lain dengan tanda yang berlawanan, serta dengan mengurangkan sebutan serupa. Menurut definisi ini, persamaan bentuk 5 x=2 x+6 , dsb. juga linear.

Seterusnya, takrifan berikut diberikan dalam buku teks algebra untuk 7 kelas oleh A. G. Mordkovich:

Definisi.

Persamaan linear dengan satu pembolehubah x ialah persamaan bentuk a x+b=0 , di mana a dan b ialah beberapa nombor, dipanggil pekali persamaan linear.

Sebagai contoh, persamaan linear jenis ini ialah 2 x−12=0, di sini pekali a adalah sama dengan 2, dan b adalah sama dengan -12, dan 0.2 y+4.6=0 dengan pekali a=0.2 dan b =4.6. Tetapi pada masa yang sama, terdapat contoh persamaan linear yang mempunyai bentuk bukan a x+b=0 , tetapi a x=b , contohnya, 3 x=12 .

Mari, supaya kita tidak mempunyai sebarang percanggahan pada masa hadapan, di bawah persamaan linear dengan satu pembolehubah x dan pekali a dan b kita akan memahami persamaan bentuk a x+b=0 . Persamaan linear jenis ini nampaknya paling wajar, kerana persamaan linear adalah persamaan algebra ijazah pertama. Dan semua persamaan lain yang ditunjukkan di atas, serta persamaan yang dikurangkan kepada bentuk a x+b=0 dengan bantuan transformasi setara, akan dipanggil persamaan dikurangkan kepada persamaan linear. Dengan pendekatan ini, persamaan 2 x+6=0 ialah persamaan linear, dan 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, dsb. ialah persamaan linear.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear?

Kini tiba masanya untuk memikirkan bagaimana persamaan linear a x+b=0 diselesaikan. Dalam erti kata lain, sudah tiba masanya untuk mengetahui sama ada persamaan linear mempunyai punca, dan jika ya, berapa banyak dan bagaimana untuk mencarinya.

Kehadiran punca persamaan linear bergantung kepada nilai pekali a dan b. Dalam kes ini, persamaan linear a x+b=0 mempunyai

• satu-satunya punca pada a≠0 ,
• tidak mempunyai punca untuk a=0 dan b≠0 ,
• mempunyai banyak punca tak terhingga untuk a=0 dan b=0 , dalam hal ini sebarang nombor adalah punca persamaan linear.

Mari kita terangkan bagaimana keputusan ini diperolehi.

Kita tahu bahawa untuk menyelesaikan persamaan, adalah mungkin untuk beralih dari persamaan asal kepada persamaan setara, iaitu, kepada persamaan dengan punca yang sama atau, seperti yang asal, tanpa punca. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan transformasi setara berikut:

• pemindahan sebutan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan tanda berlawanan,
• dan juga mendarab atau membahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar yang sama.

Jadi, dalam persamaan linear dengan satu pembolehubah bentuk a x+b=0, kita boleh memindahkan sebutan b dari sebelah kiri ke sebelah kanan dengan tanda yang bertentangan. Dalam kes ini, persamaan akan mengambil bentuk a x=−b.

Dan kemudian pembahagian kedua-dua bahagian persamaan dengan nombor a menunjukkan dirinya. Tetapi ada satu perkara: nombor a boleh sama dengan sifar, dalam hal ini pembahagian sedemikian adalah mustahil. Untuk menangani masalah ini, kami mula-mula akan menganggap bahawa nombor a adalah berbeza daripada sifar, dan pertimbangkan kes sifar a secara berasingan sedikit kemudian.

Jadi, apabila a tidak sama dengan sifar, maka kita boleh membahagikan kedua-dua bahagian persamaan a x=−b dengan a , selepas itu ia ditukar kepada bentuk x=(−b):a , hasil ini boleh ditulis menggunakan a garis pepejal sebagai .

Oleh itu, untuk a≠0, persamaan linear a·x+b=0 adalah bersamaan dengan persamaan , dari mana puncanya kelihatan.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa punca ini adalah unik, iaitu, persamaan linear tidak mempunyai punca lain. Ini membolehkan anda melakukan kaedah yang bertentangan.

Mari kita nyatakan punca sebagai x 1 . Katakan terdapat punca lain bagi persamaan linear, yang kita nyatakan x 2, dan x 2 ≠ x 1, yang, disebabkan oleh definisi nombor yang sama melalui perbezaan adalah bersamaan dengan keadaan x 1 − x 2 ≠0 . Oleh kerana x 1 dan x 2 ialah punca-punca persamaan linear a x+b=0, maka kesamaan berangka a x 1 +b=0 dan a x 2 +b=0 berlaku. Kita boleh menolak bahagian yang sepadan bagi kesamaan ini, yang sifat-sifat kesamaan berangka membenarkan kita lakukan, kita mempunyai x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , dari mana a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 dan kemudian a (x 1 − x 2)=0 . Dan kesamaan ini adalah mustahil, kerana kedua-dua a≠0 dan x 1 − x 2 ≠0. Jadi kita telah mencapai percanggahan, yang membuktikan keunikan punca persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0 .

Jadi kita telah menyelesaikan persamaan linear a x+b=0 dengan a≠0 . Keputusan pertama yang diberikan pada permulaan subseksyen ini adalah wajar. Terdapat dua lagi yang memenuhi syarat a=0 .

Untuk a=0 persamaan linear a·x+b=0 menjadi 0·x+b=0 . Daripada persamaan ini dan sifat mendarab nombor dengan sifar, ia mengikuti bahawa tidak kira apa nombor yang kita ambil sebagai x, apabila kita menggantikannya ke dalam persamaan 0 x+b=0, kita mendapat kesamaan berangka b=0. Kesamaan ini adalah benar apabila b=0 , dan dalam kes lain apabila b≠0 kesamaan ini adalah palsu.

Oleh itu, untuk a=0 dan b=0, sebarang nombor ialah punca persamaan linear a x+b=0, kerana di bawah keadaan ini, menggantikan sebarang nombor dan bukannya x memberikan kesamaan berangka yang betul 0=0. Dan untuk a=0 dan b≠0, persamaan linear a x+b=0 tidak mempunyai punca, kerana di bawah keadaan ini, menggantikan sebarang nombor dan bukannya x membawa kepada kesamaan berangka yang salah b=0.

Justifikasi di atas memungkinkan untuk membentuk urutan tindakan yang membolehkan menyelesaikan sebarang persamaan linear. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear ialah:

• Pertama, dengan menulis persamaan linear, kita dapati nilai pekali a dan b.
• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan ini mempunyai banyak punca tak terhingga, iaitu, sebarang nombor ialah punca bagi persamaan linear ini.
• Jika a berbeza daripada sifar, maka
• pekali b dipindahkan ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan, manakala persamaan linear diubah menjadi bentuk a x=−b ,
• selepas itu kedua-dua bahagian persamaan yang terhasil dibahagikan dengan nombor bukan sifar a, yang memberikan punca yang dikehendaki bagi persamaan linear asal.

Algoritma bertulis adalah jawapan lengkap kepada persoalan bagaimana menyelesaikan persamaan linear.

Sebagai kesimpulan perenggan ini, patut dikatakan bahawa algoritma yang serupa digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b. Perbezaannya terletak pada fakta bahawa apabila a≠0, kedua-dua bahagian persamaan segera dibahagikan dengan nombor ini, di sini b sudah berada dalam bahagian persamaan yang dikehendaki dan ia tidak perlu dipindahkan.

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b, algoritma berikut digunakan:

• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan itu mempunyai banyak punca tak terhingga, iaitu sebarang nombor.
• Jika a=0 dan b≠0 , maka persamaan asal tidak mempunyai punca.
• Jika a bukan sifar, maka kedua-dua belah persamaan dibahagikan dengan nombor bukan sifar a, dari mana satu-satunya punca persamaan yang sama dengan b / a ditemui.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Mari kita teruskan untuk berlatih. Marilah kita menganalisis bagaimana algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear digunakan. Mari kita kemukakan penyelesaian contoh tipikal yang sepadan dengan nilai berbeza bagi pekali persamaan linear.

Contoh.

Selesaikan persamaan linear 0 x−0=0 .

Keputusan.

Dalam persamaan linear ini, a=0 dan b=−0 , yang sama dengan b=0 . Oleh itu, persamaan ini mempunyai banyak punca tak terhingga, sebarang nombor adalah punca persamaan ini.

Jawapan:

x ialah sebarang nombor.

Contoh.

Adakah persamaan linear 0 x+2.7=0 mempunyai penyelesaian?

Keputusan.

Dalam kes ini, pekali a adalah sama dengan sifar, dan pekali b persamaan linear ini adalah sama dengan 2.7, iaitu, ia berbeza daripada sifar. Oleh itu, persamaan linear tidak mempunyai punca.