Jenis-jenis matriks. Pandangan Matriks Stepwise

ODA. Meja segi empat tepat dengan t garisan dan P lajur nombor nyata dipanggil matriks saiz t×n. Matriks dilambangkan dengan huruf Latin besar: A, B, ..., dan susunan nombor dibezakan dengan kurungan bulat atau persegi.

Nombor yang disertakan dalam jadual dipanggil elemen matriks dan dilambangkan dengan huruf Latin kecil dengan indeks berganda, di mana i- nombor garisan j– nombor lajur di persimpangan yang mana elemen itu terletak. Secara umum, matriks ditulis seperti berikut:

Dua matriks dipertimbangkan sama rata jika unsur-unsur yang sepadan adalah sama.

Jika bilangan baris matriks t sama dengan bilangan lajurnya P, maka matriks dipanggil segi empat sama(sebaliknya segi empat tepat).

Matriks Saiz
dipanggil matriks baris. Matriks Saiz

dipanggil matriks lajur.

Unsur matriks dengan indeks yang sama (
dsb.), bentuk pepenjuru utama matriks. pepenjuru yang lain dipanggil pepenjuru sisi.

Matriks segi empat sama dipanggil pepenjuru jika semua elemennya yang terletak di luar pepenjuru utama adalah sama dengan sifar.

Matriks pepenjuru yang entri pepenjurunya sama dengan satu dipanggil bujang matriks dan mempunyai tatatanda piawai E:

Jika semua elemen matriks yang terletak di atas (atau di bawah) pepenjuru utama adalah sama dengan sifar, matriks dikatakan mempunyai bentuk segi tiga:

§2. Operasi matriks

1. Transposisi matriks - satu penjelmaan di mana baris matriks ditulis sebagai lajur sambil mengekalkan susunannya. Untuk matriks segi empat sama, penjelmaan ini bersamaan dengan pemetaan simetri berkenaan dengan pepenjuru utama:

.

2. Matriks yang sama dimensi boleh dijumlahkan (ditolak). Jumlah (perbezaan) matriks ialah matriks dengan dimensi yang sama, setiap unsurnya adalah sama dengan jumlah (perbezaan) unsur-unsur yang sepadan bagi matriks asal:

3. Mana-mana matriks boleh didarab dengan nombor. Hasil darab matriks dengan nombor ialah matriks tertib yang sama, setiap unsurnya adalah sama dengan hasil darab unsur sepadan matriks asal dengan nombor ini:

.

4. Jika bilangan lajur satu matriks sama dengan bilangan baris yang lain, maka anda boleh mendarabkan matriks pertama dengan yang kedua. Hasil darab matriks tersebut ialah matriks, setiap unsurnya adalah sama dengan hasil tambah berpasangan bagi unsur-unsur baris yang sepadan bagi matriks pertama dan unsur-unsur lajur yang sepadan bagi matriks kedua.

Akibat. Eksponentasi matriks kepada>1 ialah hasil darab matriks A kepada sekali. Ditakrifkan untuk matriks segi empat sama sahaja.

Contoh.

Sifat operasi pada matriks.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T =kA T;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T =B T A T;

Sifat yang disenaraikan di atas adalah serupa dengan sifat operasi pada nombor. Terdapat juga sifat khusus matriks. Ini termasuk, sebagai contoh, sifat tersendiri bagi pendaraban matriks. Jika produk AB wujud, maka produk BA

Mungkin tidak wujud

Mungkin berbeza daripada AB.

Contoh. Syarikat itu mengeluarkan produk dua jenis A dan B dan menggunakan tiga jenis bahan mentah S 1 , S 2 , dan S 3 . Kadar penggunaan bahan mentah diberikan oleh matriks N=
, di mana n ij- kuantiti bahan mentah j dibelanjakan untuk pengeluaran satu unit keluaran i. Pelan pengeluaran diberikan oleh matriks C = (100 200), dan kos seunit bagi setiap jenis bahan mentah diberikan oleh matriks. . Tentukan kos bahan mentah yang diperlukan untuk keluaran yang dirancang dan jumlah kos bahan mentah.

Penyelesaian. Kos bahan mentah ditakrifkan sebagai hasil darab matriks C dan N:

Kami mengira jumlah kos bahan mentah sebagai produk S dan P.

Matriks ialah jadual nombor segi empat tepat, yang terdiri daripada m rentetan yang sama panjang atau n lajur yang sama panjang.

aij- unsur matriks, yang berada dalam i -baris ke- dan j -lajur ke.

Untuk ringkasnya, matriks boleh dilambangkan dengan satu huruf besar, contohnya, TAPI atau AT.

Secara umum, matriks saiz m× n tulis macam ni

Contoh:

Jika bilangan baris dalam matriks adalah sama dengan bilangan lajur, maka matriks itu dipanggil segi empat sama, dan bilangan baris atau lajurnya dipanggil mengikut tertib matriks. Dalam contoh di atas, matriks kedua ialah segi empat sama - susunannya ialah 3, dan matriks keempat - susunannya ialah 1.

Matriks di mana bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur dipanggil segi empat tepat. Dalam contoh, ini adalah matriks pertama dan yang ketiga.

pepenjuru utama Matriks segi empat sama ialah pepenjuru dari kiri atas ke sudut kanan bawah.

Matriks segi empat sama di mana semua unsur di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil segi tiga matriks.

.

Matriks segi empat sama di mana semua unsur, kecuali mungkin pada pepenjuru utama, adalah sama dengan sifar, dipanggil pepenjuru matriks. Sebagai contoh, atau.

Matriks pepenjuru di mana semua entri pepenjuru adalah sama dengan satu dipanggil bujang matriks dan dilambangkan dengan huruf E. Contohnya, matriks identiti tertib ke-3 mempunyai bentuk .

kembali kepada kandungan

(36) 85. Apakah operasi linear pada matriks? Contoh.

Dalam semua kes apabila objek matematik baru diperkenalkan, adalah perlu untuk bersetuju dengan peraturan tindakan pada mereka, dan juga untuk menentukan objek mana yang dianggap sama antara satu sama lain.

Sifat objek tidak relevan. Ia boleh menjadi nombor nyata atau kompleks, vektor, matriks, rentetan atau sesuatu yang lain.

Operasi piawai termasuk operasi linear, iaitu: pendaraban dengan nombor dan penambahan; dalam kes ini - pendaraban matriks dengan nombor dan penambahan matriks.

Apabila mendarab matriks dengan nombor, setiap elemen matriks didarab dengan nombor itu, dan penambahan matriks membayangkan penambahan berpasangan bagi unsur yang terletak dalam kedudukan yang setara.

Ungkapan terminologi "gabungan linear<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

matriks A = || a i j|| dan B = || a i j|| dianggap sama jika mereka mempunyai dimensi yang sama dan elemen matriks yang sepadan adalah sama berpasangan:

Penambahan matriks Operasi tambah hanya ditakrifkan untuk matriks yang sama saiz. Hasil penambahan matriks A = || a i j|| dan B = || b i j|| ialah matriks C = || c i j|| , yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah unsur matriks yang sepadan.

Matriks dilambangkan dengan huruf Latin besar ( TAPI, AT, DARIPADA,...).

Definisi 1. Jadual segi empat tepat bentuk,

yang terdiri daripada m garisan dan n lajur dipanggil matriks.

Elemen matriks, i – nombor baris, j – nombor lajur.

Jenis matriks:

elemen pada pepenjuru utama:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Penentu urutan ke-2, ke-3 dan ke-

Biarkan dua matriks persegi diberikan:

Definisi 1. Penentu susunan kedua matriks TAPI 1 ialah nombor yang dilambangkan dengan ∆ dan sama dengan , di mana

Contoh. Kirakan penentu tertib ke-2:

Definisi 2. Penentu bagi susunan ke-3 matriks segi empat sama TAPI 2 dipanggil beberapa bentuk:

Ini adalah salah satu cara untuk mengira penentu.

Contoh. Kira

Definisi 3. Jika penentu terdiri daripada n-baris dan n-lajur, maka ia dipanggil penentu tertib ke-n.

Sifat penentu:

Penentu tidak berubah semasa transposisi (iaitu, jika baris dan lajur di dalamnya bertukar-tukar sambil mengekalkan susunan).

Jika mana-mana dua baris atau dua lajur ditukar ganti dalam penentu, maka penentu hanya menukar tanda.

Faktor sepunya mana-mana baris (lajur) boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

Jika semua elemen mana-mana baris (lajur) penentu adalah sama dengan sifar, maka penentu adalah sama dengan sifar.

Penentu adalah sifar jika unsur-unsur mana-mana dua baris adalah sama atau berkadar.

Penentu tidak berubah jika unsur-unsur yang sepadan bagi baris lain (lajur) yang didarab dengan nombor yang sama ditambah kepada unsur-unsur mana-mana baris (lajur).

Contoh.

Definisi 4. Penentu yang diperoleh daripada yang diberikan dengan memadam lajur dan baris dipanggil bawah umur elemen yang sepadan. M ij unsur a ij .

Definisi 5. Penambahan algebra unsur a ij , dipanggil ungkapan

§3. Tindakan Matriks

Operasi linear

1) Apabila menambah matriks, unsur-unsurnya dengan nama yang sama ditambah.

Apabila menolak matriks, unsur-unsurnya dengan nama yang sama ditolak.

Apabila mendarab matriks dengan nombor, setiap elemen matriks didarab dengan nombor itu:

3.2 Pendaraban matriks.

Kerja matriks TAPI kepada matriks AT ialah matriks baharu yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah hasil darab unsur-unsur baris ke-i matriks TAPI kepada elemen sepadan lajur ke-j matriks AT. Produk matriks TAPI kepada matriks AT hanya boleh didapati jika bilangan lajur matriks TAPI sama dengan bilangan baris matriks AT. Jika tidak, kerja itu mustahil.

Ulasan:

(tidak tertakluk kepada sifat komutatif)

§ 4. Matriks songsang

Matriks songsang hanya wujud untuk matriks segi empat sama, dan matriks mestilah bukan tunggal.

Definisi 1. Matriks TAPI dipanggil tidak merosot jika penentu matriks ini tidak sama dengan sifar

Definisi 2. TAPI-1 dipanggil matriks songsang untuk matriks persegi bukan tunggal yang diberikan TAPI, jika apabila mendarab matriks ini dengan yang diberi kedua-duanya di sebelah kanan, maka di sebelah kiri, matriks identiti diperolehi.

Algoritma untuk mengira matriks songsang

1 cara (menggunakan penambahan algebra)

Contoh 1:

Matriks. Jenis-jenis matriks. Operasi pada matriks dan sifatnya.

Penentu matriks susunan ke-n. N, Z, Q, R, C,

Matriks tertib m*n ialah jadual nombor segi empat tepat yang mengandungi baris-m dan lajur-n.

Kesamaan matriks:

Dua matriks dipanggil sama jika bilangan baris dan lajur salah satu daripadanya adalah sama, masing-masing, dengan bilangan baris dan lajur yang lain dan, masing-masing. unsur-unsur matriks ini adalah sama.

Nota: Elemen dengan indeks yang sama dipadankan.

Jenis matriks:

Matriks Kuasa Dua: Matriks dikatakan segi empat sama jika bilangan baris sama dengan bilangan lajur.

Segi empat tepat: Matriks dikatakan segi empat tepat jika bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur.

Matriks baris: matriks tertib 1*n (m=1) mempunyai bentuk a11,a12,a13 dan dipanggil matriks baris.

Lajur matriks:………….

Diagonal: pepenjuru matriks segi empat sama, pergi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, iaitu, terdiri daripada unsur a11, a22 ...... - dipanggil pepenjuru utama. (definisi: matriks segi empat sama, semua unsurnya sama dengan sifar, kecuali yang terletak pada pepenjuru utama, dipanggil matriks pepenjuru.

Identiti: Matriks pepenjuru dipanggil identiti jika semua elemen terletak pada pepenjuru utama dan sama dengan 1.

Segi tiga atas: A=||aij|| dipanggil matriks segi tiga atas jika aij=0. Dengan syarat i>j.

Segi tiga bawah: aij=0. i

Sifar: Ini adalah matriks yang Elsnya ialah 0.

Operasi pada matriks.

1. Transposisi.

2. Pendaraban matriks dengan nombor.

3. Penambahan matriks.

4. Pendaraban matriks.

Tindakan sv-va asas pada matriks.

1.A+B=B+A (komutatif)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (persekutuan)

3.a(A+B)=aA+aB (pengagihan)

4.(a+b)A=aA+bA (distributif)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (tiada komu.)

7.A(BC)=(AB)C (bersekutu) – dilaksanakan jika def. Produk matriks dilakukan.

8.A(B+C)=AB+AC (distributif)

(B+C)A=BA+CA (distributif)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Penentu bagi matriks segi empat sama - definisi dan sifatnya. Penguraian penentu dalam baris dan lajur. Kaedah untuk mengira penentu.

Jika matriks A mempunyai susunan m>1, maka penentu matriks ini ialah nombor.

Pelengkap algebra Aij unsur aij bagi matriks A ialah Mij kecil didarab dengan nombor

TEOREM1: Penentu matriks A adalah sama dengan hasil tambah semua elemen baris (lajur) arbitrari dan pelengkap algebranya.

Sifat asas penentu.

1. Penentu sesuatu matriks tidak akan berubah apabila ia ditukar.

2. Apabila mengubah suai dua baris (lajur), penentu bertukar tanda, tetapi nilai mutlaknya tidak berubah.

3. Penentu bagi matriks yang mempunyai dua baris (lajur) yang sama ialah 0.

4. Apabila mendarab baris (lajur) matriks dengan nombor, penentunya didarab dengan nombor ini.

5. Jika salah satu baris (lajur) matriks terdiri daripada 0, maka penentu matriks ini ialah 0.

6. Jika semua elemen baris ke-i (lajur) matriks dibentangkan sebagai hasil tambah dua sebutan, maka penentunya boleh diwakili sebagai hasil tambah penentu dua matriks.

7. Penentu tidak akan berubah jika, masing-masing, unsur-unsur satu lajur (baris) ditambah kepada unsur-unsur lajur lain (baris) dengan mendarabkan. untuk nombor yang sama.

8. Jumlah unsur arbitrari mana-mana lajur (baris) penentu kepada pelengkap algebra yang sepadan bagi unsur lajur lain (baris) ialah 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Kaedah untuk mengira penentu:

1. Mengikut takrifan atau Teorem 1.

2. Pengurangan kepada bentuk segi tiga.

Definisi dan sifat matriks songsang. Pengiraan matriks songsang. Persamaan matriks.

Takrif: Matriks segi empat sama tertib n dipanggil songsangan bagi matriks A dengan susunan yang sama dan ditandakan.

Untuk membolehkan matriks A mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentu matriks A adalah berbeza daripada 0.

Sifat Matriks Songsang:

1. Keunikan: untuk matriks A tertentu, songsangannya adalah unik.

2. penentu matriks

3. Operasi mengambil transposisi dan mengambil matriks songsang.

Persamaan matriks:

Biarkan A dan B ialah dua matriks persegi yang sama susunan.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Konsep kebergantungan linear dan kebebasan lajur matriks. Sifat pergantungan linear dan kebebasan linear sistem lajur.

Lajur А1,А2…An dipanggil bersandar linear jika terdapat gabungan linear bukan remeh daripadanya bersamaan dengan lajur ke-0.

Lajur А1,А2…An dipanggil bebas linear jika terdapat gabungan linear bukan remeh daripadanya bersamaan dengan lajur ke-0.

Gabungan linear dipanggil remeh jika semua pekali С(l) adalah sama dengan 0 dan bukan remeh sebaliknya.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. Untuk membolehkan lajur bergantung secara linear, adalah perlu dan memadai bahawa sesetengah lajur menjadi gabungan linear lajur lain.

Biarkan 1 daripada lajur https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> menjadi gabungan linear lajur lain.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> adalah bergantung secara linear, maka semua lajur adalah bergantung secara linear.

4. Jika sistem lajur adalah bebas linear, maka mana-mana subsistemnya juga bebas linear.

(Semua yang dikatakan tentang lajur juga benar untuk baris).

Matriks bawah umur. Dasar bawah umur. Kedudukan matriks. Kaedah pinggir bawah umur untuk mengira pangkat matriks.

Tertib minor bagi matriks A ialah penentu yang unsur-unsurnya terletak di persilangan baris-k dan baris-k matriks A.

Jika semua minor bagi susunan k bagi matriks A = 0, maka sebarang minor bagi susunan k + 1 juga sama dengan 0.

Dasar bawah umur.

Kedudukan matriks A ialah susunan minor asasnya.

Kaedah menyempadankan kanak-kanak di bawah umur: - Kami memilih unsur bukan sifar matriks A (Jika elemen sedemikian tidak wujud, maka pangkat A \u003d 0)

Kami bersempadan dengan bawah bawah perintah pertama sebelum ini dengan bawah bawah perintah ke-2. (Jika bawah umur ini tidak bersamaan dengan 0, maka pangkat >=2) Jika pangkat bawah umur ini =0, maka kita bersempadan dengan bawah umur urutan pertama yang dipilih dengan bawah umur urutan ke-2 yang lain. (Jika semua bawah umur dari urutan ke-2 = 0, maka pangkat matriks = 1).

Kedudukan matriks. Kaedah untuk mencari pangkat matriks.

Kedudukan matriks A ialah susunan minor asasnya.

Kaedah pengiraan:

1) Kaedah bersempadan bawah umur: -Pilih elemen bukan sifar matriks A (jika tiada unsur sedemikian, maka pangkat = 0) - Sempadankan kecil urutan pertama sebelumnya dengan kecil tertib ke-2..gif" lebar= "40" ketinggian="22" >r+1 En+1=0.

2) Membawa matriks kepada bentuk berperingkat: kaedah ini berdasarkan transformasi asas. Di bawah transformasi asas, pangkat matriks tidak berubah.

Transformasi berikut dipanggil transformasi asas:

Permutasi dua baris (lajur).

Pendaraban semua elemen bagi beberapa lajur (baris) dengan nombor bukan =0.

Penambahan kepada semua elemen lajur tertentu (baris) unsur lajur lain (baris), yang sebelumnya didarab dengan nombor yang sama.

Asas teorem kecil. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk penentu sama dengan sifar.

Asas minor bagi matriks A ialah minor bagi tertib ke-k terbesar berbeza daripada 0.

Asas teorem kecil:

Baris asas (lajur) adalah bebas secara linear. Mana-mana baris (lajur) matriks A ialah gabungan linear baris asas (lajur).

Nota: Baris dan lajur di persimpangan yang terdapat minor asas dipanggil baris dan lajur asas, masing-masing.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Syarat yang perlu dan mencukupi untuk penentu sama dengan sifar:

Untuk penentu susunan ke-n = 0, adalah perlu dan mencukupi bahawa barisnya (lajur) bergantung secara linear.

Sistem persamaan linear, klasifikasi dan bentuk tatatanda. Peraturan Cramer.

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linear dengan tiga tidak diketahui:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

dipanggil penentu sistem.

Kami menyusun tiga lagi penentu seperti berikut: kami menggantikan berturut-turut 1, 2 dan 3 lajur dalam penentu D dengan lajur ahli bebas

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kami mendarabkan persamaan pertama sistem dengan pelengkap algebra A11 unsur a11, persamaan ke-2 dengan A21 dan persamaan ke-3 dengan A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Pertimbangkan setiap kurungan dan bahagian kanan persamaan ini. Dengan teorem tentang pengembangan penentu dari segi unsur-unsur lajur pertama

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Begitu juga, ia boleh ditunjukkan bahawa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Oleh itu, kita mendapat kesamarataan: .

Akibatnya, .

Persamaan dan diterbitkan serupa, dari mana penegasan teorem berikut.

Sistem persamaan linear. Keadaan keserasian untuk persamaan linear. Teorem Kronecker-Capelli.

Penyelesaian sistem persamaan algebra ialah set n nombor C1,C2,C3……Cn, yang, apabila digantikan ke dalam sistem asal sebagai ganti x1,x2,x3…..xn, menukarkan semua persamaan bagi sistem menjadi identiti.

Sistem persamaan algebra linear dipanggil konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Sistem gabungan dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak tentu jika ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Syarat untuk keserasian sistem persamaan algebra linear.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREM: Untuk sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui adalah konsisten, adalah perlu dan memadai bahawa pangkat matriks lanjutan adalah sama dengan pangkat matriks A.

Nota: Teorem ini hanya memberikan kriteria untuk kewujudan penyelesaian, tetapi tidak menunjukkan cara untuk mencari penyelesaian.

10 soalan.

Sistem persamaan linear. Kaedah minor asas ialah kaedah umum untuk mencari semua penyelesaian kepada sistem persamaan linear.

A=a21 a22…..a2n

Kaedah minor asas:

Biarkan sistem itu konsisten dan RgA=RgA’=r. Biarkan minor asas dicat di sudut kiri atas matriks A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Catatan: Jika pangkat matriks utama dan dipertimbangkan adalah sama dengan r=n, maka dalam kes ini dj=bj dan sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Sistem persamaan linear homogen.

Sistem persamaan algebra linear dipanggil homogen jika semua sebutan bebasnya adalah sama dengan sifar.

AX=0 ialah sistem homogen.

AX = B ialah sistem tidak homogen.

Sistem homogen sentiasa serasi.

X1 =x2 =..=xn =0

Teorem 1.

Sistem homogen mempunyai penyelesaian tidak homogen apabila pangkat matriks sistem kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Teorem 2.

Sistem persamaan n-linear homogen dengan n-tidak diketahui mempunyai penyelesaian bukan sifar apabila penentu matriks A adalah sama dengan sifar. (detA=0)

Sifat penyelesaian sistem homogen.

Mana-mana kombinasi linear penyelesaian kepada sistem homogen itu sendiri adalah penyelesaian kepada sistem ini.

α1C1 +α2C2 ; α1 dan α2 ialah beberapa nombor.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, i.e. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Untuk sistem yang tidak homogen, harta ini tidak dipegang.

Sistem keputusan asas.

Teorem 3.

Jika pangkat sistem matriks persamaan dengan n-tidak diketahui ialah r, maka sistem ini mempunyai n-r penyelesaian bebas linear.

Biarkan asas minor berada di sudut kiri atas. Jika r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Sistem n-r penyelesaian bebas linear bagi sistem persamaan linear homogen dengan n-tidak diketahui pangkat r dipanggil sistem penyelesaian asas.

Teorem 4.

Sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan linear ialah gabungan linear penyelesaian kepada sistem asas.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Jika r

12 soalan.

Penyelesaian umum sistem tidak homogen.

Tidur (gen. tidak seragam) \u003d COO + SCH (peribadi)

AX=B (sistem heterogen); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, kerana (ASoo) = 0

Tidur \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

Kaedah Gauss.

Ini adalah kaedah penghapusan berturut-turut bagi yang tidak diketahui (pembolehubah) - ia terdiri daripada fakta bahawa dengan bantuan transformasi asas, sistem persamaan asal dikurangkan kepada sistem yang setara dalam bentuk berperingkat, dari mana semua pembolehubah lain ditemui secara berurutan , bermula daripada pembolehubah terakhir.

Biarkan a≠0 (jika ini tidak berlaku, maka ini dicapai dengan menyusun semula persamaan).

1) kita mengecualikan pembolehubah x1 daripada persamaan kedua, ketiga ... n-th, mendarabkan persamaan pertama dengan nombor yang sesuai dan menambah keputusan yang diperolehi kepada persamaan ke-2, ke-3 ... n-th, maka kita dapat:

Kami mendapat sistem yang setara dengan yang asal.

2) tidak termasuk pembolehubah x2

3) kami mengecualikan pembolehubah x3, dsb.

Meneruskan proses penghapusan berurutan pembolehubah x4;x5...xr-1 kita dapat untuk langkah (r-1)-th.

Nombor sifar n-r terakhir dalam persamaan bermakna bahagian kirinya kelihatan seperti: 0x1 +0x2+..+0xn

Jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor вr+1, вr+2… tidak sama dengan sifar, maka kesamaan yang sepadan adalah tidak konsisten dan sistem (1) tidak konsisten. Oleh itu, untuk mana-mana sistem yang konsisten, vr+1 … vm ini bersamaan dengan sifar.

Persamaan n-r terakhir dalam sistem (1;r-1) ialah identiti dan boleh diabaikan.

Dua kes mungkin:

a) bilangan persamaan sistem (1; r-1) adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, iaitu r \u003d n (dalam kes ini, sistem mempunyai bentuk segi tiga).

b)r

Peralihan daripada sistem (1) kepada sistem yang setara (1; r-1) dipanggil pergerakan langsung kaedah Gauss.

Mengenai mencari pembolehubah daripada sistem (1; r-1) - dengan laluan terbalik kaedah Gauss.

Transformasi Gaussian dilakukan dengan mudah dengan melaksanakannya bukan dengan persamaan, tetapi dengan matriks lanjutan pekalinya.

13 soalan.

matriks yang serupa.

Kami akan mempertimbangkan hanya matriks segi empat sama tertib n/

Matriks A dikatakan serupa dengan matriks B (A~B) jika wujud matriks bukan tunggal S sedemikian rupa sehingga A=S-1BS.

Sifat matriks serupa.

1) Matriks A adalah serupa dengan dirinya sendiri. (A~A)

Jika S=E maka EAE=E-1AE=A

2) Jika A~B, maka B~A

Jika A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Jika A~B dan pada masa yang sama B~C, maka A~C

Diberi bahawa A=S1-1BS1, dan B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, di mana S3 = S2S1

4) Penentu bagi matriks yang serupa adalah sama.

Memandangkan A~B, adalah perlu untuk membuktikan bahawa detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (kurangkan) = detB.

5) Kedudukan matriks yang serupa adalah sama.

Vektor eigen dan nilai eigen bagi matriks.

Nombor λ dipanggil nilai eigen bagi matriks A jika terdapat vektor bukan sifar X (lajur matriks) sehingga AX = λ X, vektor X dipanggil vektor eigen bagi matriks A, dan set semua nilai eigen ​dipanggil spektrum matriks A.

Sifat vektor eigen.

1) Apabila mendarab vektor eigen dengan nombor, kita mendapat vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Vektor eigen dengan nilai eigen berbeza berpasangan adalah bebas linear λ1, λ2,.. λk.

Biarkan sistem terdiri daripada vektor pertama, mari kita ambil langkah induktif:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - darab dengan A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Darab dengan λn+1 dan tolak

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Adalah perlu bahawa C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Persamaan ciri.

A-λE dipanggil matriks ciri untuk matriks A.

Agar vektor bukan sifar X menjadi vektor eigen bagi matriks A, sepadan dengan nilai eigen λ, adalah perlu bahawa ia menjadi penyelesaian kepada sistem homogen persamaan algebra linear (A - λE)X = 0

Sistem ini mempunyai penyelesaian bukan remeh apabila det (A - XE) = 0 - ini adalah persamaan ciri.

Kenyataan!

Persamaan ciri matriks serupa bertepatan.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Polinomial ciri.

det(A – λЕ) - fungsi berkenaan dengan parameter λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Polinomial ini dipanggil polinomial ciri bagi matriks A.

Akibat:

1) Jika matriks ialah A~B, maka jumlah unsur pepenjurunya adalah sama.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Set nilai eigen bagi matriks serupa bertepatan.

Jika persamaan ciri matriks adalah sama, maka mereka tidak semestinya serupa.

Untuk matriks A

Untuk matriks B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Untuk matriks A tertib n boleh diagonal, adalah perlu bahawa wujud vektor eigen bebas linear bagi matriks A.

Akibat.

Jika semua nilai eigen bagi matriks A adalah berbeza, maka ia boleh diserong.

Algoritma untuk mencari vektor eigen dan nilai eigen.

1) karang persamaan ciri

2) cari punca-punca persamaan

3) menyusun sistem persamaan untuk menentukan vektor eigen.

λi (A-λi E)X = 0

4) cari sistem asas penyelesaian

x1,x2..xn-r, dengan r ialah pangkat bagi matriks ciri.

r = Rg(A - λi E)

5) vektor eigen, nilai eigen λi ditulis sebagai:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, di mana C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) kita semak sama ada matriks boleh dikurangkan kepada bentuk pepenjuru.

7) cari Ag

Ag = S-1AS S=

15 soalan.

Asas garis, satah, ruang.

DIV_ADBLOCK410">

Modul vektor ialah panjangnya, iaitu jarak antara A dan B (││, ││). Modulus vektor adalah sama dengan sifar, apabila vektor ini adalah sifar (│ō│=0)

4. Vektor Orth.

Orth bagi vektor yang diberikan ialah vektor yang mempunyai arah yang sama dengan vektor yang diberikan dan mempunyai modul yang sama dengan satu.

Vektor yang sama mempunyai ort yang sama.

5. Sudut antara dua vektor.

Ini adalah bahagian yang lebih kecil dari kawasan itu, dibatasi oleh dua sinar yang terpancar dari titik yang sama dan diarahkan ke arah yang sama dengan vektor yang diberikan.

Penambahan vektor. Mendarab vektor dengan nombor.

1) Penambahan dua vektor

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Pendaraban vektor dengan skalar.

Hasil darab vektor dan skalar ialah vektor baharu yang mempunyai:

a) = hasil darab modulus vektor yang didarab dengan nilai mutlak skalar.

b) arah adalah sama dengan vektor darab jika skalar adalah positif, dan bertentangan jika skalar adalah negatif.

λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Sifat operasi linear pada vektor.

1. Undang-undang Komunitativiti.

2. Undang-undang pergaulan.

3. Penambahan dengan sifar.

a(vektor)+ō= a(vektor)

4. Penambahan dengan sebaliknya.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Hukum pengagihan.

Ungkapan vektor dari segi modulus dan vektor unitnya.

Bilangan maksimum vektor bebas linear dipanggil asas.

Asas pada garis ialah sebarang vektor bukan sifar.

Asas pada satah ialah mana-mana dua vektor bukan kalenar.

Asas dalam ruang ialah sistem mana-mana tiga vektor bukan koplanar.

Pekali pengembangan vektor dalam beberapa asas dipanggil komponen atau koordinat vektor dalam asas yang diberikan.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> lakukan penambahan dan pendaraban dengan skalar, kemudian sebagai menghasilkan sebarang bilangan tindakan sedemikian yang kami dapat:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> dipanggil bersandar linear jika terdapat gabungan linear bukan remeh daripadanya bersamaan dengan ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> dipanggil bebas linear jika tiada gabungan linear bukan remeh daripadanya.

Sifat vektor bersandar linear dan bebas:

1) sistem vektor yang mengandungi vektor sifar adalah bergantung secara linear.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> bergantung secara linear, sesetengah vektor mestilah gabungan linear bagi vektor lain.

3) jika beberapa vektor daripada sistem a1 (vektor), a2 (vektor) ... ak (vektor) adalah bersandar secara linear, maka semua vektor adalah bersandar secara linear.

4)jika semua vektor https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Operasi linear dalam koordinat.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK413">

Hasil darab skalar bagi 2 vektor ialah nombor yang sama dengan hasil darab vektor dan kosinus sudut di antara keduanya.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 jika dan hanya jika vektor adalah ortogon atau mana-mana vektor adalah sama dengan 0.

4. Pengagihan (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Ungkapan hasil darab skalar a dan b dari segi koordinatnya

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Apabila keadaan () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> dan vektor ketiga dipanggil yang memenuhi persamaan berikut:

3. - betul

Sifat produk vektor:

4. Hasil darab vektor bagi vektor koordinat

asas ortonormal.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Selalunya 3 simbol digunakan untuk menandakan ort asas ortonormal

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Jika adalah asas ortonormal, maka

DIV_ADBLOCK414">

Garis lurus di atas kapal terbang. Susunan bersama 2 garis lurus. Jarak dari titik ke garis lurus. Sudut antara dua garis. Keadaan selari dan serenjang 2 garis lurus.

1. Kes khas lokasi 2 garis lurus pada satah.

1) - persamaan paksi selari lurus OX

2) - persamaan garis lurus selari dengan paksi OS

2. Susunan bersama 2 garis lurus.

Teorem 1 Biarkan persamaan garis diberikan berkenaan dengan sistem koordinat afin

A) Maka syarat yang perlu dan mencukupi apabila ia bersilang ialah:

B) Kemudian syarat yang perlu dan mencukupi untuk fakta bahawa garis adalah selari ialah syarat:

B) Kemudian syarat yang perlu dan mencukupi untuk garisan bergabung menjadi satu ialah syarat:

3. Jarak dari satu titik ke garisan.

Teorem. Jarak dari titik ke garis berbanding dengan sistem koordinat Cartes:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Sudut antara dua garis lurus. Keadaan berserenjang.

Biarkan 2 garis lurus diberikan berkenaan dengan sistem koordinat Cartesan dengan persamaan am.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Jika , maka garis-garisnya adalah serenjang.

24 soalan.

satah di angkasa. Keadaan kesepadanan untuk vektor dan satah. Jarak dari satu titik ke satah. Keadaan keselarian dan keserenjangan dua satah.

1. Keadaan kesepadanan untuk vektor dan satah.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Sudut antara 2 satah. Keadaan berserenjang.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Jika , maka satah adalah serenjang.

25 soalan.

Garis lurus di angkasa. Pelbagai jenis persamaan garis lurus dalam ruang.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Persamaan vektor bagi garis lurus dalam ruang.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Persamaan kanonik adalah langsung.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 soalan.

Ellipse. Terbitan Persamaan Elips Kanonik. Borang. Hartanah

Elips ialah lokus titik yang jumlah jarak dari dua jarak tetap, dipanggil fokus, ialah nombor 2a yang diberikan lebih besar daripada jarak 2c antara fokus.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="imej043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

dalam Rajah.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e tangen kepada elips

DIV_ADBLOCK417">

Persamaan kanonik bagi hiperbola

Borang dan St.

y=±b/a darab dengan punca (x2-a2)

Paksi simetri hiperbola ialah paksinya

Segmen 2a - paksi sebenar hiperbola

Sipi e=2c/2a=c/a

Jika b=a kita mendapat hiperbola sama kaki

Asymptot ialah garis lurus jika, dengan penyingkiran tanpa had titik M1 di sepanjang lengkung, jarak dari titik ke garis lurus cenderung kepada sifar.

lim d=0 untuk x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

tangen hiperbola

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

parabola - lokus titik yang sama jarak dari titik yang dipanggil fokus dan garis tertentu dipanggil directrix

Persamaan parabola kanonik

harta benda

paksi simetri parabola melalui fokusnya dan berserenjang dengan directrix

jika anda memutarkan parabola, anda mendapat paraboloid elips

semua parabola adalah serupa

Soalan 30. Penyiasatan tentang persamaan bentuk am lengkung tertib kedua.

Jenis lengkung def. dengan istilah utama A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->lengkung jenis parabola

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Jika E=0 => Ax2+2Dx+F=0

kemudian x1=x2 - bergabung menjadi satu

x1≠x2 - garis selari Oy

x1≠x2 dan punca khayalan, tidak mempunyai imej geometri

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Kesimpulan: lengkung parabola adalah sama ada parabola, atau 2 garis selari, atau khayalan, atau bergabung menjadi satu.

2.AC>0 -> lengkung jenis elips

Melengkapkan persamaan asal kepada kuasa dua penuh, kita menukarnya kepada persamaan kanonik, kemudian kita mendapat kes

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - elips

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - elips khayalan

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - titik dengan koordinat x0 y0

Kesimpulan: lengkung el. jenis adalah sama ada elips, atau khayalan, atau titik

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hiperbola, paksi nyata adalah selari

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hiperbola, paksi nyata selari dengan Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e dua baris

Kesimpulan: lengkung jenis hiperbola adalah sama ada hiperbola atau dua garis lurus

Matriks dalam matematik adalah salah satu objek terpenting yang mempunyai kepentingan gunaan. Selalunya lawatan ke dalam teori matriks bermula dengan perkataan: "Matriks ialah jadual segi empat tepat ...". Kami akan memulakan lawatan ini dari sudut yang sedikit berbeza.

Buku telefon dalam sebarang saiz dan dengan sebarang bilangan data pelanggan hanyalah matriks. Matriks ini kelihatan seperti ini:

Adalah jelas bahawa kita semua menggunakan matriks sedemikian hampir setiap hari. Matriks ini datang dalam pelbagai bilangan baris (dibezakan sebagai direktori yang dikeluarkan oleh syarikat telefon, yang boleh mengandungi beribu-ribu, ratusan ribu, malah berjuta-juta baris, dan buku nota baharu yang baru anda mulakan, yang mempunyai kurang daripada sepuluh baris) dan lajur (direktori pegawai beberapa organisasi di mana mungkin terdapat lajur seperti jawatan dan nombor pejabat dan buku nota anda yang sama, di mana mungkin tiada data selain nama, dan, oleh itu, ia hanya mempunyai dua lajur - nama dan nombor telefon).

Semua jenis matriks boleh ditambah dan didarab, dan operasi lain boleh dilakukan pada mereka, tetapi tidak perlu menambah dan mendarab direktori telefon, tidak ada faedah daripada ini, dan selain itu, anda boleh menggerakkan fikiran anda.

Tetapi sangat banyak matriks boleh dan harus ditambah dan didarabkan dan pelbagai tugas mendesak boleh diselesaikan dengan cara ini. Di bawah adalah contoh matriks tersebut.

Matriks di mana lajur adalah output unit bagi jenis produk tertentu, dan baris ialah tahun di mana output produk ini direkodkan:

Anda boleh menambah matriks jenis ini, yang mengambil kira pengeluaran produk serupa oleh pelbagai perusahaan, untuk mendapatkan data ringkasan untuk industri.

Atau matriks, yang terdiri, sebagai contoh, satu lajur, yang mana barisnya ialah kos purata bagi jenis produk tertentu:

Matriks daripada dua jenis terakhir boleh didarab, dan hasilnya ialah matriks baris yang mengandungi kos semua jenis produk mengikut tahun.

Matriks, definisi asas

Meja segi empat tepat yang terdiri daripada nombor yang disusun dalam m garisan dan n lajur dipanggil mn-matriks (atau hanya matriks ) dan ditulis seperti ini:

(1)

Dalam matriks (1) nombor dipanggilnya elemen (seperti dalam penentu, indeks pertama bermaksud bilangan baris, yang kedua - lajur, di persimpangan yang mana terdapat elemen; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matriks dipanggil segi empat tepat , jika .

Jika m = n, maka matriks dipanggil segi empat sama , dan nombor n ialahnya mengikut tertib .

Penentu bagi matriks segi empat sama A dipanggil penentu yang unsur-unsurnya ialah unsur-unsur matriks A. Ia dilambangkan dengan simbol | A|.

Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa (atau tidak merosot , bukan tunggal ) jika penentunya tidak sama dengan sifar, dan istimewa (atau merosot , tunggal ) jika penentunya ialah sifar.

Matriks dipanggil sama rata jika mereka mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama dan semua elemen padanan adalah sama.

Matriks dipanggil null jika semua unsurnya sama dengan sifar. Matriks sifar akan dilambangkan dengan simbol 0 atau .

Sebagai contoh,

matriks baris (atau huruf kecil ) dipanggil 1 n-matriks, dan matriks lajur (atau kolumnar ) – m 1-matriks.

Matriks A" , yang diperoleh daripada matriks A menukar baris dan lajur di dalamnya dipanggil dialihkan berkenaan dengan matriks A. Oleh itu, untuk matriks (1), matriks terpindah ialah

Peralihan kepada operasi matriks A" , dialihkan berkenaan dengan matriks A, dipanggil transposisi matriks A. Untuk mn-matriks transposed ialah nm-matriks.

Matriks yang ditukarkan berkenaan dengan matriks ialah A, itu dia

(A")" = A .

Contoh 1 Cari Matriks A" , dialihkan berkenaan dengan matriks

dan ketahui sama ada penentu bagi matriks asal dan transpos adalah sama.

pepenjuru utama Matriks persegi ialah garis khayalan yang menghubungkan unsur-unsurnya, yang mana kedua-dua indeks adalah sama. Unsur-unsur ini dipanggil pepenjuru .

Matriks segi empat sama di mana semua unsur di luar pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil pepenjuru . Tidak semua unsur pepenjuru bagi matriks pepenjuru semestinya bukan sifar. Sebahagian daripadanya mungkin sama dengan sifar.

Matriks segi empat sama di mana unsur-unsur pada pepenjuru utama adalah sama dengan nombor bukan sifar yang sama, dan semua yang lain sama dengan sifar, dipanggil matriks skalar .

matriks identiti dipanggil matriks pepenjuru di mana semua unsur pepenjuru adalah sama dengan satu. Sebagai contoh, matriks identiti urutan ketiga ialah matriks

Contoh 2 Data matriks:

Penyelesaian. Mari kita hitung penentu bagi matriks ini. Menggunakan peraturan segitiga, kita dapati

Penentu matriks B kira dengan formula

Kami mudah mendapatkannya

Oleh itu, matriks A dan bukan tunggal (bukan degenerasi, bukan tunggal), dan matriks B- istimewa (merosot, tunggal).

Penentu matriks identiti bagi sebarang susunan jelas sama dengan satu.

Selesaikan sendiri masalah matriks, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 3 Data matriks

,

,

Tentukan yang mana antara mereka bukan tunggal (tidak merosot, tidak tunggal).

Aplikasi matriks dalam pemodelan matematik dan ekonomi

Dalam bentuk matriks, data berstruktur tentang objek tertentu ditulis secara ringkas dan mudah. Model matriks dicipta bukan sahaja untuk menyimpan data berstruktur ini, tetapi juga untuk menyelesaikan pelbagai masalah dengan data ini menggunakan algebra linear.

Oleh itu, model matriks ekonomi yang terkenal ialah model input-output yang diperkenalkan oleh ahli ekonomi Amerika yang berasal dari Rusia Wassily Leontiev. Model ini berdasarkan andaian bahawa keseluruhan sektor pembuatan ekonomi dibahagikan kepada n industri bersih. Setiap industri hanya menghasilkan satu jenis produk dan industri yang berbeza menghasilkan produk yang berbeza. Oleh kerana pembahagian kerja antara industri ini, wujudlah hubungan antara industri, yang mana maksudnya ialah sebahagian daripada pengeluaran setiap industri dipindahkan ke industri lain sebagai sumber pengeluaran.

Jumlah pengeluaran i-industri ke-(diukur dengan unit ukuran tertentu) yang dihasilkan dalam tempoh pelaporan, dilambangkan dengan dan dipanggil jumlah keluaran i industri ke. Isu diletakkan dengan mudah n-baris komponen matriks.

Bilangan unit produk i-industri yang akan dibelanjakan j-industri ke- untuk pengeluaran unit keluarannya, dilambangkan dan dipanggil pekali kos langsung.