Jenis polinomial. Polinomial, bentuk piawainya, darjah dan pekali sebutan

- polinomial. Dalam artikel ini, kami akan membentangkan semua maklumat awal dan perlu tentang polinomial. Ini termasuk, pertama, takrif polinomial dengan takrifan yang disertakan bagi istilah polinomial, khususnya, istilah bebas dan istilah serupa. Kedua, kita memikirkan polinomial bentuk piawai, memberikan definisi yang sepadan dan memberi contoh mereka. Akhir sekali, kami memperkenalkan takrif darjah polinomial, memikirkan cara mencarinya, dan bercakap tentang pekali sebutan polinomial.

Navigasi halaman.

Polinomial dan ahlinya - definisi dan contoh

Dalam gred 7, polinomial dipelajari sejurus selepas monomial, ini boleh difahami, kerana definisi polinomial diberikan dalam bentuk monomial. Mari kita berikan takrifan ini untuk menerangkan apa itu polinomial.

Definisi.

Polinomial ialah jumlah monomial; monomial dianggap sebagai kes khas polinomial.

Takrif bertulis membolehkan anda memberikan seberapa banyak contoh polinomial yang anda suka. Mana-mana monomial 5 , 0 , −1 , x , 5 a b 3 , x 2 0.6 x (−2) y 12 , dsb. ialah polinomial. Juga mengikut takrifan 1+x , a 2 +b 2 dan adalah polinomial.

Untuk kemudahan menerangkan polinomial, takrif istilah polinomial diperkenalkan.

Definisi.

Istilah polinomial ialah monomial yang membentuk polinomial.

Sebagai contoh, polinomial 3 x 4 −2 x y+3−y 3 mempunyai empat sebutan: 3 x 4 , −2 x y , 3 dan −y 3 . Monomial dianggap polinomial yang terdiri daripada satu ahli.

Definisi.

Polinomial yang terdiri daripada dua dan tiga ahli mempunyai nama khas - binomial dan trinomial masing-masing.

Jadi x+y ialah binomial, dan 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b ialah trinomial.

Di sekolah, selalunya anda perlu bekerja dengannya binomial linear a x+b , dengan a dan b ialah beberapa nombor dan x ialah pembolehubah, dan dengan trinomial segi empat sama a x 2 +b x+c , dengan a , b dan c ialah beberapa nombor dan x ialah pembolehubah. Berikut ialah contoh binomial linear: x+1, x 7,2−4, dan berikut adalah contoh trinomial segi empat sama: x 2 +3 x−5 dan .

Polinomial dalam tatatanda mereka boleh mempunyai istilah yang serupa. Sebagai contoh, dalam polinomial 1+5 x−3+y+2 x sebutan serupa ialah 1 dan −3 , serta 5 x dan 2 x . Mereka mempunyai nama khas mereka sendiri - ahli yang serupa dalam polinomial.

Definisi.

Ahli polinomial yang serupa istilah serupa dalam polinomial dipanggil.

Dalam contoh sebelumnya, 1 dan −3 , serta pasangan 5 x dan 2 x , adalah seperti sebutan polinomial. Dalam polinomial dengan ahli yang serupa, adalah mungkin untuk melakukan pengurangan ahli yang serupa untuk memudahkan bentuknya.

Polinomial bentuk piawai

Untuk polinomial, serta untuk monomial, terdapat bentuk standard yang dipanggil. Mari kita bunyikan definisi yang sepadan.

Berdasarkan definisi ini, kita boleh memberikan contoh polinomial bentuk piawai. Jadi polinomial 3 x 2 −x y+1 dan ditulis dalam bentuk piawai. Dan ungkapan 5+3 x 2 −x 2 +2 x z dan x+x y 3 x z 2 +3 z bukan polinomial bentuk piawai, kerana yang pertama mengandungi sebutan yang serupa 3 x 2 dan −x 2 , dan dalam yang kedua, monomial x · y 3 · x · z 2 , yang bentuknya berbeza daripada yang standard.

Ambil perhatian bahawa jika perlu, anda sentiasa boleh membawa polinomial ke bentuk standard .

Satu lagi konsep tergolong dalam polinomial bentuk piawai - konsep istilah bebas polinomial.

Definisi.

Ahli bebas polinomial memanggil ahli polinomial bentuk piawai tanpa bahagian huruf.

Dengan kata lain, jika terdapat nombor dalam bentuk piawai polinomial, maka ia dipanggil ahli bebas. Sebagai contoh, 5 ialah sebutan bebas bagi polinomial x 2 z+5 , manakala polinomial 7 a+4 a b+b 3 tidak mempunyai sebutan bebas.

Tahap polinomial - bagaimana untuk mencarinya?

Takrifan penting lain yang berkaitan ialah takrifan darjah polinomial. Pertama, kita mentakrifkan darjah polinomial bentuk piawai, takrifan ini adalah berdasarkan darjah monomial yang terdapat dalam komposisinya.

Definisi.

Darjah polinomial bentuk piawai ialah kuasa terbesar bagi monomial yang termasuk dalam tatatandanya.

Mari beri contoh. Darjah polinomial 5 x 3 −4 adalah bersamaan dengan 3, kerana monomial 5 x 3 dan −4 yang termasuk di dalamnya masing-masing mempunyai darjah 3 dan 0, yang terbesar daripada nombor ini ialah 3, iaitu darjah polinomial mengikut takrifan. Dan darjah polinomial 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x adalah sama dengan nombor terbesar 2+3=5 , 4+1=5 dan 1 , iaitu 5 .

Sekarang mari kita ketahui cara mencari darjah polinomial bagi bentuk arbitrari.

Definisi.

Darjah polinomial bentuk arbitrari ialah darjah polinomial yang sepadan bagi bentuk piawai.

Jadi, jika polinomial tidak ditulis dalam bentuk standard, dan anda ingin mencari darjahnya, maka anda perlu membawa polinomial asal ke bentuk standard, dan cari darjah polinomial yang terhasil - ia akan menjadi yang dikehendaki. Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian.

Contoh.

Cari darjah polinomial 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Penyelesaian.

Mula-mula anda perlu mewakili polinomial dalam bentuk standard:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2 (a a) (b b) (c c)+y 2 z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Polinomial yang terhasil bagi bentuk piawai termasuk dua monomial −2 · a 2 · b 2 · c 2 dan y 2 · z 2 . Mari cari darjah mereka: 2+2+2=6 dan 2+2=4 . Jelas sekali, kuasa terbesar ini ialah 6 , yang mengikut takrifannya ialah darjah polinomial bentuk piawai. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, dan seterusnya darjah polinomial asal., 3 x dan 7 daripada polinomial 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

Bibliografi.

Algebra: buku teks untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ed ke-17 - M. : Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan / A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 10: buku teks. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - ed ke-3. - M.: Makrifat, 2010.- 368 hlm. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Konsep polinomial

Takrif polinomial: Polinomial ialah hasil tambah monomial. Contoh polinomial:

di sini kita melihat hasil tambah dua monomial, dan ini adalah polinomial, i.e. jumlah monomial.

Istilah yang membentuk polinomial dipanggil ahli polinomial.

Adakah perbezaan monomial adalah polinomial? Ya, ia adalah, kerana perbezaan mudah dikurangkan kepada jumlah, contohnya: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Monomial juga dianggap polinomial. Tetapi tidak ada jumlah dalam monomial, maka mengapa ia dianggap polinomial? Dan anda boleh menambah sifar padanya dan mendapatkan jumlahnya dengan monomial sifar. Jadi, monomial ialah kes khas polinomial, ia terdiri daripada satu ahli.

Nombor sifar ialah polinomial sifar.

Bentuk piawai polinomial

Apakah polinomial bentuk piawai? Polinomial ialah jumlah monomial, dan jika semua monomial yang membentuk polinomial ini ditulis dalam bentuk piawai, di samping itu, tidak sepatutnya ada yang serupa di antara mereka, maka polinomial itu ditulis dalam bentuk piawai.

Contoh polinomial dalam bentuk piawai:

di sini polinomial terdiri daripada 2 monomial, setiap satunya mempunyai bentuk piawai, antara monomial tidak ada yang serupa.

Sekarang contoh polinomial yang tidak mempunyai bentuk standard:

berikut adalah dua monomial: 2a dan 4a adalah serupa. Kita perlu menambahnya, maka polinomial akan mendapat bentuk standard:

Contoh yang lain:

Adakah polinomial ini dikurangkan kepada bentuk piawai? Tidak, ahli keduanya tidak ditulis dalam bentuk standard. Menulisnya dalam bentuk piawai, kami memperoleh polinomial bentuk piawai:

Darjah polinomial

Apakah darjah polinomial?

Definisi darjah polinomial:

Darjah polinomial ialah darjah terbesar yang dimiliki oleh monomial yang membentuk polinomial bentuk piawai tertentu.

Contoh. Apakah darjah polinomial 5h? Darjah polinomial 5h adalah sama dengan satu, kerana polinomial ini mengandungi hanya satu monomial dan darjahnya adalah sama dengan satu.

Contoh yang lain. Apakah darjah polinomial 5a 2 h 3 s 4 +1? Darjah polinomial 5a 2 h 3 s 4 + 1 ialah sembilan, kerana polinomial ini merangkumi dua monomial, monomial pertama 5a 2 h 3 s 4 mempunyai darjah tertinggi, dan darjahnya ialah 9.

Contoh yang lain. Apakah darjah polinomial 5? Darjah polinomial 5 ialah sifar. Jadi, darjah polinomial yang hanya terdiri daripada nombor, i.e. tanpa huruf, sama dengan sifar.

Contoh terakhir. Apakah darjah polinomial sifar, i.e. sifar? Darjah polinomial sifar tidak ditentukan.

Selepas mempelajari monomial, kita beralih kepada polinomial. Artikel ini akan memberitahu anda tentang semua maklumat yang diperlukan untuk melakukan tindakan ke atas mereka. Kami akan mentakrifkan polinomial dengan takrifan istilah polinomial yang disertakan, iaitu bebas dan serupa, mempertimbangkan polinomial bentuk piawai, memperkenalkan ijazah dan belajar cara mencarinya, bekerja dengan pekalinya.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polinomial dan ahlinya - definisi dan contoh

Takrif polinomial diperlukan dalam 7 kelas selepas mempelajari monomials. Mari kita lihat definisi penuhnya.

Definisi 1

polinomial jumlah monomial dipertimbangkan, dan monomial itu sendiri ialah kes khas polinomial.

Ia mengikuti dari definisi bahawa contoh polinomial boleh berbeza: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z dan seterusnya. Dari definisi kita mempunyai itu 1+x, a 2 + b 2 dan ungkapan x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x ialah polinomial.

Mari lihat beberapa definisi lagi.

Definisi 2

Ahli polinomial monomial konstituennya dipanggil.

Pertimbangkan contoh ini, di mana kita mempunyai polinomial 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , yang terdiri daripada 4 ahli: 3 x 4 , − 2 x y , 3 dan − y 3. Monomial sedemikian boleh dianggap sebagai polinomial, yang terdiri daripada satu istilah.

Definisi 3

Polinomial yang mempunyai 2, 3 trinomial dalam komposisinya mempunyai nama yang sepadan - binomial dan trinomial.

Ia berikutan daripada ini bahawa ungkapan bentuk x+y– ialah binomial, dan ungkapan 2 x 3 q − q x x + 7 b ialah trinomial.

Menurut kurikulum sekolah, mereka bekerja dengan binomial linear bentuk a x + b, di mana a dan b ialah beberapa nombor, dan x ialah pembolehubah. Pertimbangkan contoh binomial linear dalam bentuk: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 dengan contoh trinomial segi empat sama x 2 + 3 · x − 5 dan 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Untuk transformasi dan penyelesaian, adalah perlu untuk mencari dan membawa istilah yang serupa. Contohnya, polinomial dalam bentuk 1 + 5 x − 3 + y + 2 x mempunyai sebutan seperti 1 dan - 3, 5 x dan 2 x. Mereka dibahagikan kepada kumpulan khas yang dipanggil ahli polinomial yang serupa.

Definisi 4

Ahli polinomial yang serupa adalah seperti istilah dalam polinomial.

Dalam contoh di atas, kita mempunyai bahawa 1 dan - 3 , 5 x dan 2 x adalah sebutan serupa bagi sebutan polinomial atau serupa. Untuk memudahkan ungkapan, cari dan kurangkan istilah yang serupa.

Polinomial bentuk piawai

Semua monomial dan polinomial mempunyai nama khusus mereka sendiri.

Definisi 5

Polinomial bentuk piawai Polinomial dipanggil di mana setiap ahlinya mempunyai monomial bentuk piawai dan tidak mengandungi ahli yang serupa.

Ia boleh dilihat daripada definisi bahawa adalah mungkin untuk mengurangkan polinomial bentuk piawai, contohnya, 3 x 2 − x y + 1 dan __formula__, dan rekod adalah dalam bentuk piawai. Ungkapan 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z dan 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z bukanlah polinomial bagi bentuk piawai, kerana yang pertama mempunyai sebutan yang serupa dalam bentuk 3 x 2 dan − x2, dan yang kedua mengandungi monomial bentuk x · y 3 · x · z 2 , yang berbeza daripada polinomial piawai.

Jika keadaan memerlukan, kadangkala polinomial dikurangkan kepada bentuk standard. Konsep istilah bebas polinomial juga dianggap polinomial bentuk piawai.

Definisi 6

Ahli bebas polinomial ialah polinomial bentuk piawai tanpa bahagian huruf.

Dengan kata lain, apabila tatatanda polinomial dalam bentuk piawai mempunyai nombor, ia dipanggil ahli bebas. Maka nombor 5 ialah ahli bebas polinomial x 2 · z + 5 , dan polinomial 7 · a + 4 · a · b + b 3 tidak mempunyai ahli bebas.

Tahap polinomial - bagaimana untuk mencarinya?

Takrif darjah polinomial adalah berdasarkan takrif polinomial bentuk piawai dan darjah monomial yang merupakan komponennya.

Definisi 7

Darjah polinomial bentuk piawai namakan kuasa terbesar yang termasuk dalam tatatandanya.

Mari kita lihat satu contoh. Darjah polinomial 5 x 3 − 4 adalah sama dengan 3, kerana monomial yang termasuk dalam komposisinya mempunyai darjah 3 dan 0, dan yang terbesar ialah 3, masing-masing. Takrif darjah daripada polinomial 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x sama dengan nombor terbesar, iaitu 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 dan 1 , jadi 5 .

Ia adalah perlu untuk mengetahui bagaimana ijazah itu sendiri ditemui.

Definisi 8

Darjah polinomial bagi nombor arbitrari ialah darjah polinomial yang sepadan dalam bentuk piawai.

Apabila polinomial tidak ditulis dalam bentuk standard, tetapi anda perlu mencari darjahnya, anda perlu mengurangkannya kepada bentuk standard, dan kemudian mencari darjah yang dikehendaki.

Contoh 1

Cari darjah polinomial 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Penyelesaian

Pertama, kami membentangkan polinomial dalam bentuk piawai. Kami mendapat ungkapan seperti:

3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + = = 2 z 2 − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Apabila mendapatkan polinomial bentuk piawai, kita dapati dua daripadanya dibezakan dengan jelas - 2 · a 2 · b 2 · c 2 dan y 2 · z 2 . Untuk mencari darjah, kita mengira dan mendapatkan bahawa 2 + 2 + 2 = 6 dan 2 + 2 = 4 . Dapat dilihat bahawa yang terbesar daripada mereka adalah sama dengan 6. Ia mengikuti daripada takrifan bahawa tepat 6 ialah darjah polinomial − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, maka nilai asalnya.

Jawab: 6 .

Pekali bagi sebutan polinomial

Definisi 9

Apabila semua sebutan polinomial adalah monomial bentuk piawai, maka dalam kes ini ia mempunyai nama pekali bagi sebutan polinomial. Dalam erti kata lain, ia boleh dipanggil pekali polinomial.

Apabila mempertimbangkan contoh, dapat dilihat bahawa polinomial bagi bentuk 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 mempunyai 4 polinomial dalam komposisinya: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x dan 7 dengan masing-masing. pekali 2 , − 0 , 5 , 3 dan 7 . Oleh itu, 2 , − 0 , 5 , 3 dan 7 dianggap sebagai pekali bagi sebutan polinomial yang diberi bagi bentuk 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Apabila menukar, adalah penting untuk memberi perhatian kepada pekali di hadapan pembolehubah.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Atau, secara tegasnya, jumlah formal terhingga bagi borang tersebut

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdot x_(n)^(i_(n))), di mana

Khususnya, polinomial dalam satu pembolehubah ialah jumlah formal terhingga bagi bentuk

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), di mana

Dengan bantuan polinomial, konsep "persamaan algebra" dan "fungsi algebra" diterbitkan.

Kajian dan aplikasi[ | ]

Kajian persamaan polinomial dan penyelesaiannya hampir menjadi objek utama "algebra klasik".

Sejumlah transformasi dalam matematik dikaitkan dengan kajian polinomial: pengenalan kepada pertimbangan sifar, negatif, dan nombor kompleks, serta kemunculan teori kumpulan sebagai cabang matematik dan peruntukan kelas fungsi khas. dalam analisis.

Kesederhanaan teknikal pengiraan yang melibatkan polinomial berbanding dengan kelas fungsi yang lebih kompleks, serta fakta bahawa set polinomial adalah padat dalam ruang fungsi berterusan pada subset padat ruang Euclidean (lihat teorem penghampiran Weierstrass), menyumbang kepada pembangunan kaedah pengembangan siri dan Interpolasi polinomial dalam Kalkulus.

Polinomial juga memainkan peranan penting dalam geometri algebra, yang objeknya adalah set, ditakrifkan sebagai penyelesaian kepada sistem polinomial.

Ciri khas pekali ubah dalam pendaraban polinomial digunakan dalam geometri algebra, algebra, teori simpulan, dan cabang matematik lain untuk mengekod atau menyatakan dengan polinomial sifat pelbagai objek.

Definisi yang berkaitan[ | ]

Polinomial yang baik c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) dipanggil monomial atau monomial pelbagai indeks I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
Monomial sepadan dengan berbilang indeks I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)) dipanggil ahli percuma.
Ijazah penuh(bukan sifar) monomial c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) dipanggil integer | saya | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
Banyak indeks berbilang saya, yang mana pekali c I (\displaystyle c_(I)) bukan sifar, dipanggil pembawa polinomial, dan badan cembungnya ialah polihedron Newton.
Darjah polinomial ialah maksimum kuasa monomialnya. Darjah sifar yang sama ditakrifkan lagi oleh nilai − ∞ (\displaystyle -\infty ).
Polinomial yang merupakan hasil tambah dua monomial dipanggil binomial atau binomial,
Polinomial yang merupakan hasil tambah tiga monomial dipanggil tiga pihak.
Pekali polinomial biasanya diambil daripada gelang komutatif tertentu R (\displaystyle R)(paling kerap medan, seperti medan nombor nyata atau kompleks). Dalam kes ini, berkenaan dengan operasi penambahan dan pendaraban, polinomial membentuk cincin (selain itu, algebra bersekutu-komutatif di atas cincin itu. R (\displaystyle R) tanpa pembahagi sifar) yang dilambangkan R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\displaystyle R.)
Untuk polinomial p (x) (\gaya paparan p(x)) satu pembolehubah, penyelesaian persamaan p (x) = 0 (\gaya paparan p(x)=0) dipanggil akarnya.

Fungsi polinomial[ | ]

biarlah A (\gaya paparan A) terdapat algebra di atas cincin R (\displaystyle R). Polinomial sewenang-wenangnya p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\gaya paparan p(x)\dalam R) mentakrifkan fungsi polinomial

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).

Kes yang paling kerap dipertimbangkan A = R (\displaystyle A=R).

Jika R (\displaystyle R) ialah medan nombor nyata atau kompleks (serta mana-mana medan lain dengan bilangan unsur yang tidak terhingga), fungsinya f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) sepenuhnya menentukan polinomial p. Walau bagaimanapun, ini tidak benar secara umum, contohnya: polinomial p 1 (x) ≡ x (\gaya paparan p_(1)(x)\equiv x) dan p 2 (x) ≡ x 2 (\gaya paparan p_(2)(x)\equiv x^(2)) daripada Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x]) mentakrifkan fungsi yang sama Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

Fungsi polinomial bagi satu pembolehubah nyata dipanggil keseluruhan fungsi rasional.

Jenis polinomial[ | ]

Hartanah [ | ]

Kebolehbahagiaan [ | ]

Peranan polinomial tak boleh dikurangkan dalam cincin polinomial adalah serupa dengan peranan nombor perdana dalam cincin integer. Sebagai contoh, teorem adalah benar: jika hasil darab polinomial pq (\displaystyle pq) boleh dibahagikan dengan polinomial tak boleh dikurangkan, maka hlm atau q dibahagikan dengan λ (\displaystyle \lambda ). Setiap polinomial darjah yang lebih besar daripada sifar terurai dalam medan tertentu menjadi hasil darab faktor tidak boleh dikurangkan dengan cara yang unik (sehingga faktor sifar darjah).

Contohnya, polinomial x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), yang tidak dapat dikurangkan dalam bidang nombor rasional, terurai kepada tiga faktor dalam bidang nombor nyata dan kepada empat faktor dalam bidang nombor kompleks.

Secara umum, setiap polinomial dalam satu pembolehubah x (\displaystyle x) terurai dalam bidang nombor nyata kepada faktor darjah pertama dan kedua, dalam bidang nombor kompleks - menjadi faktor darjah pertama (teorem utama algebra).

Untuk dua atau lebih pembolehubah, ini tidak lagi boleh ditegaskan. Atas mana-mana bidang untuk mana-mana n > 2 (\displaystyle n>2) terdapat polinomial daripada n (\gaya paparan n) pembolehubah yang tidak boleh dikurangkan dalam mana-mana lanjutan medan ini. Polinomial sedemikian dipanggil mutlak tidak boleh dikurangkan.

Secara takrif, polinomial ialah ungkapan algebra yang mewakili jumlah monomial.

Contohnya: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 ialah polinomial, dan ungkapan z/(x - x*y^2 + 4) bukan polinomial kerana ia bukan jumlah monomial. Polinomial kadangkala juga dipanggil polinomial, dan monomial yang merupakan sebahagian daripada polinomial ialah ahli polinomial atau monomial.

Konsep kompleks polinomial

Jika polinomial terdiri daripada dua istilah, maka ia dipanggil binomial, jika ia terdiri daripada tiga - trinomial. Nama-nama empat penggal, lima penggal dan lain-lain tidak digunakan, dan dalam kes sedemikian mereka hanya mengatakan, polinomial. Nama sedemikian, bergantung pada bilangan istilah, meletakkan segala-galanya di tempatnya.

Dan istilah monomial menjadi intuitif. Dari sudut pandangan matematik, monomial ialah kes khas polinomial. Monomial ialah polinomial yang hanya mempunyai satu sebutan.

Sama seperti monomial, polinomial mempunyai bentuk piawainya sendiri. Bentuk piawai polinomial ialah tatatanda polinomial di mana semua monomial termasuk di dalamnya sebagai istilah ditulis dalam bentuk piawai dan istilah serupa diberikan.

Bentuk piawai polinomial

Prosedur untuk membawa polinomial kepada bentuk piawai adalah untuk membawa setiap monomial kepada bentuk piawai, dan kemudian menambah semua monomial tersebut bersama-sama. Penambahan ahli serupa polinomial dipanggil pengurangan sebutan serupa.
Sebagai contoh, mari kita berikan sebutan serupa dalam polinomial 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Istilah 4*a*b^2*c^3 dan 6*a*b^2*c^3 adalah serupa di sini. Jumlah sebutan ini ialah monomial 10*a*b^2*c^3. Oleh itu, polinomial asal 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b boleh ditulis semula sebagai 10*a*b^2*c^3 - a* b . Entri ini akan menjadi bentuk piawai polinomial.

Daripada fakta bahawa mana-mana monomial boleh dikurangkan kepada bentuk piawai, ia juga berikutan bahawa mana-mana polinomial boleh dikurangkan kepada bentuk piawai.

Apabila polinomial dikurangkan kepada bentuk piawai, kita boleh bercakap tentang konsep seperti tahap polinomial. Darjah polinomial ialah darjah terbesar monomial yang termasuk dalam polinomial tertentu.
Jadi, sebagai contoh, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 ialah polinomial darjah kelima, kerana darjah maksimum monomial termasuk dalam polinomial (5*x^3*y^ 2) ialah yang kelima.