Jenis persamaan dan kaedah penyelesaiannya. Persamaan linear
Kementerian Am dan pendidikan vokasional RF
Institusi pendidikan perbandaran
Gimnasium No. 12
karangan
pada topik: Persamaan dan cara untuk menyelesaikannya
Selesai: pelajar 10 kelas "A".
Krutko Evgeny
Disemak: guru matematik Iskhakova Gulsum Akramovna
Tyumen 2001
Rancangan................................................. ................................................... . .............................. satu
Pengenalan ................................................. . ................................................ .. ....................... 2
Bahagian utama................................................ ................................................... . .............. 3
Kesimpulan................................................. ................................................... . ................ 25
Permohonan................................................. ................................................... . ............... 26
Senarai rujukan .............................................. .............................. ................... ... 29
Rancang.
pengenalan.
Rujukan sejarah.
Persamaan. Persamaan algebra.
a) Definisi asas.
b) Persamaan linear dan cara menyelesaikannya.
c) Persamaan kuadratik dan kaedah untuk menyelesaikannya.
d) Persamaan dua jangka, satu cara untuk menyelesaikannya.
e) Persamaan padu dan kaedah penyelesaiannya.
e) Persamaan biquadratik dan cara menyelesaikannya.
g) Persamaan darjah keempat dan kaedah untuk menyelesaikannya.
g) Persamaan darjah tinggi dan kaedah daripada penyelesaian.
h) Persamaan algebra rasional dan kaedahnya
dan) Persamaan tidak rasional dan cara untuk menyelesaikannya.
j) Persamaan yang mengandungi tidak diketahui di bawah tanda.
nilai mutlak dan cara menyelesaikannya.
Persamaan transendental.
a) persamaan eksponen dan bagaimana untuk menyelesaikannya.
b) Persamaan Logaritma dan bagaimana untuk menyelesaikannya.
pengenalan
Pendidikan matematik yang diterima di sekolah pendidikan am, ialah komponen penting pendidikan umum dan budaya bersama manusia moden. Hampir semua perkara yang mengelilingi seseorang moden semuanya disambungkan dalam satu cara atau yang lain dengan matematik. TAPI pencapaian terkini dalam fizik, teknologi dan Teknologi maklumat jangan ragu bahawa keadaan akan tetap sama pada masa hadapan. Oleh itu, penyelesaian banyak masalah praktikal dikurangkan kepada penyelesaian pelbagai jenis persamaan untuk mempelajari cara menyelesaikannya.
Kerja ini adalah percubaan untuk membuat generalisasi dan sistematik bahan yang dipelajari mengenai topik di atas. Saya telah menyusun bahan mengikut tahap kerumitannya, bermula dengan yang paling mudah. Ia termasuk kedua-dua jenis persamaan yang kita ketahui daripada kursus algebra sekolah, dan bahan tambahan. Pada masa yang sama, saya cuba menunjukkan jenis persamaan yang tidak dipelajari kursus sekolah, tetapi pengetahuan yang mungkin diperlukan apabila memasuki yang lebih tinggi institusi pendidikan. Dalam kerja saya, apabila menyelesaikan persamaan, saya tidak mengehadkan diri saya hanya kepada penyelesaian sebenar, tetapi juga menunjukkan penyelesaian yang kompleks, kerana saya percaya bahawa jika tidak persamaan itu tidak akan diselesaikan. Lagipun, jika tiada punca sebenar dalam persamaan, maka ini tidak bermakna ia tidak mempunyai penyelesaian. Malangnya, kerana kesuntukan masa, saya tidak dapat membentangkan semua bahan yang saya ada, tetapi dengan bahan yang dibentangkan di sini, banyak persoalan mungkin timbul. Saya harap pengetahuan saya cukup untuk menjawab kebanyakan soalan. Jadi, saya akan membentangkan bahan tersebut.
Matematik... mendedahkan susunan
simetri dan kepastian,
dan ini adalah spesies yang paling penting cantik.
Aristotle.
Rujukan sejarah
Pada masa yang jauh itu, apabila orang bijak mula berfikir tentang persamaan yang mengandungi kuantiti yang tidak diketahui, mungkin belum ada syiling atau dompet. Tetapi sebaliknya, terdapat timbunan, serta periuk, bakul, yang sesuai untuk peranan cache-kedai yang mengandungi bilangan item yang tidak diketahui. "Kami sedang mencari timbunan, yang, bersama-sama dengan dua pertiga daripadanya, setengah dan satu pertujuh, adalah 37 ...", - dia mengajar pada milenium II SM era baru jurutulis Mesir Ahmes. Pada zaman dahulu masalah matematik Mesopotamia, India, China, Greece, kuantiti yang tidak diketahui menyatakan bilangan burung merak di taman, bilangan lembu jantan dalam kumpulan, jumlah perkara yang diambil kira semasa membahagikan harta benda. Jurutulis, pegawai, dan imam yang memulakan pengetahuan rahsia, terlatih dengan baik dalam ilmu mengira, mengatasi tugas sedemikian dengan cukup berjaya.
Sumber yang telah sampai kepada kami menunjukkan bahawa saintis purba memiliki beberapa kaedah umum untuk menyelesaikan masalah dengan kuantiti yang tidak diketahui. Walau bagaimanapun, tidak satu papirus, tidak satu tablet tanah liat yang memberikan penerangan tentang teknik ini. Pengarang hanya sekali-sekala membekalkan pengiraan berangka mereka dengan ulasan min seperti: "Lihat!", "Lakukan!", "Anda mendapatinya betul." Dalam pengertian ini, pengecualian adalah "Aritmetik" ahli matematik Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - koleksi masalah untuk menyusun persamaan dengan pembentangan sistematik penyelesaiannya.
Walau bagaimanapun, karya ulama Baghdad abad ke-9 menjadi manual pertama untuk menyelesaikan masalah yang diketahui secara meluas. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Perkataan "al-jabr" daripada tajuk Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Kitab Pemulihan dan Berbeza") - dari masa ke masa bertukar menjadi perkataan "algebra" yang terkenal oleh semua orang, dan karya al-Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak dalam perkembangan ilmu penyelesaian persamaan.
persamaan. Persamaan algebra
Definisi asas
Dalam algebra, dua jenis kesamaan dipertimbangkan - identiti dan persamaan.
identiti ialah persamaan yang dipegang untuk semua nilai (boleh diterima) huruf ). Untuk menulis identiti bersama tanda
tanda itu juga digunakan.Persamaan- ini adalah persamaan yang hanya berpuas hati untuk beberapa nilai huruf yang disertakan di dalamnya. Huruf yang termasuk dalam persamaan, mengikut keadaan masalah, boleh menjadi tidak sama: ada yang boleh mengambil semua nilai yang dibenarkan(mereka dipanggil parameter atau pekali persamaan dan biasanya dilambangkan dengan huruf pertama abjad Latin:
, , ... – atau huruf yang sama, disediakan dengan indeks: , , ... atau , , ...); orang lain yang nilainya dapat dijumpai dipanggil tidak diketahui(ia biasanya dilambangkan dengan huruf terakhir abjad Latin: , , , ... - atau dengan huruf yang sama, disediakan dengan indeks: , , ... atau , , ...).AT Pandangan umum persamaan boleh ditulis seperti ini:
(, , ..., ).Bergantung pada nombor persamaan yang tidak diketahui dipanggil persamaan dengan satu, dua, dsb. tidak diketahui.
Persamaan ialah ungkapan matematik yang merupakan persamaan yang mengandungi sesuatu yang tidak diketahui. Jika kesamaan adalah benar untuk mana-mana nilai yang boleh diterima daripada yang tidak diketahui termasuk di dalamnya, maka ia dipanggil identiti; sebagai contoh: hubungan seperti (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) berlaku untuk semua nilai x.
Jika persamaan yang melibatkan x tidak diketahui hanya digunakan untuk nilai x tertentu, dan bukan untuk semua nilai x, seperti dalam kes identiti, maka ia mungkin berguna untuk menentukan nilai x yang persamaan itu sah. Nilai x sedemikian dipanggil punca atau penyelesaian persamaan. Sebagai contoh, nombor 5 ialah punca bagi persamaan 2x + 7= 17.
Dalam cabang matematik yang dipanggil teori persamaan, subjek utama kajian ialah kaedah untuk menyelesaikan persamaan. Dalam kursus algebra sekolah, banyak perhatian diberikan kepada persamaan.
Sejarah kajian persamaan bermula berabad-abad lamanya. Ahli matematik terkenal yang menyumbang kepada perkembangan teori persamaan ialah:
Archimedes (sekitar 287-212 SM) - Ahli sains, ahli matematik dan mekanik Yunani Purba. Dalam kajian satu masalah, yang dikurangkan kepada persamaan kubik, Archimedes mendapati peranan ciri, yang kemudiannya dikenali sebagai diskriminasi.
François Viet hidup pada abad ke-16. Beliau memberikan sumbangan yang besar kepada kajian ini pelbagai masalah matematik. Khususnya, beliau memperkenalkan tatatanda literal untuk pekali persamaan dan mewujudkan hubungan antara punca-punca persamaan kuadratik.
Leonhard Euler (1707 - 1783) - ahli matematik, mekanik, fizik dan ahli astronomi. Pengarang St. 800 kertas mengenai analisis matematik, persamaan pembezaan, geometri, teori nombor, pengiraan anggaran, mekanik cakerawala, matematik, optik, balistik, pembinaan kapal, teori muzik, dan lain-lain. Beliau mempunyai kesan yang besar terhadap perkembangan sains. Dia memperoleh formula (rumus Euler) menyatakan fungsi trigonometri pembolehubah x melalui fungsi eksponen.
Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), ahli matematik Perancis dan mekanik. Beliau memiliki penyelidikan yang cemerlang, antaranya penyelidikan tentang algebra (fungsi simetri punca persamaan, persamaan pembezaan (teori penyelesaian tunggal, kaedah variasi pemalar).
J. Lagrange dan A. Vandermonde - ahli matematik Perancis. Pada tahun 1771, untuk pertama kalinya, kaedah penyelesaian sistem persamaan (kaedah penggantian) digunakan.
Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - ahli matematik Jerman. Menulis buku yang menggariskan teori persamaan pembahagian bulatan (iaitu, persamaan xn - 1 = 0), yang dalam banyak cara merupakan prototaip teori Galois. Selain daripada kaedah biasa menyelesaikan persamaan ini, mewujudkan hubungan antara mereka dan pembinaan poligon sekata. Dia, buat pertama kalinya selepas saintis Yunani kuno, membuat langkah ke hadapan yang penting dalam perkara ini, iaitu: dia menemui semua nilai n yang n-gon biasa boleh dibina dengan kompas dan pembaris. Belajar cara menambah. Dia membuat kesimpulan bahawa sistem persamaan boleh ditambah, dibahagikan, dan didarab antara mereka sendiri.
O. I. Somov - memperkayakan pelbagai bahagian matematik dengan karya penting dan banyak, antaranya teori persamaan algebra tertentu darjat yang lebih tinggi.
Galois Evariste (1811-1832), ahli matematik Perancis. Merit utamanya ialah perumusan satu set idea, yang mana dia datang berkaitan dengan penerusan penyelidikan mengenai kebolehlarutan persamaan algebra, yang dimulakan oleh J. Lagrange, N. Abel dan lain-lain, mencipta teori persamaan algebra yang lebih tinggi. darjah dengan satu yang tidak diketahui.
A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - Dalam karyanya, kaedah geometri dikaitkan dengan kaedah analisis teori persamaan pembezaan dengan terbitan separa. Karya-karya beliau juga mempunyai kesan yang besar terhadap teori persamaan pembezaan tak linear.
P. Ruffini - ahli matematik Itali. Dia menumpukan beberapa karya untuk membuktikan ketidakbolehpecahan persamaan darjah ke-5, secara sistematik menggunakan ketertutupan set penggantian.
Walaupun fakta bahawa saintis telah mengkaji persamaan untuk masa yang lama, sains tidak tahu bagaimana dan bila orang mendapat keperluan untuk menggunakan persamaan. Hanya diketahui bahawa masalah yang membawa kepada penyelesaian persamaan paling mudah telah diselesaikan oleh orang sejak mereka menjadi orang. Satu lagi 3 - 4 ribu tahun SM. e. orang Mesir dan Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana ia sampai ke tahap ini.
AT Mesir Purba dan Babylon, kaedah kedudukan palsu telah digunakan. Persamaan darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk ax + b = c, di mana a, b, c ialah integer. Mengikut peraturan operasi aritmetik kapak \u003d c - b,
Jika b > c, maka c b ialah nombor negatif. Nombor negatif tidak diketahui oleh orang Mesir dan ramai orang lain kemudiannya (setaraf dengan nombor positif mereka mula digunakan dalam matematik hanya pada abad ketujuh belas). Untuk menyelesaikan masalah yang kini kita selesaikan dengan persamaan darjah pertama, kaedah kedudukan palsu telah dicipta. Dalam papirus Ahmes, 15 masalah diselesaikan dengan kaedah ini. Orang Mesir mempunyai tanda khas untuk nombor yang tidak diketahui, yang, sehingga baru-baru ini, dibaca "bagaimana" dan diterjemahkan dengan perkataan "timbunan" ("timbunan" atau "nombor tidak diketahui" unit). Sekarang mereka membaca sedikit kurang tepat: "aha." Kaedah penyelesaian yang digunakan oleh Ahmes dipanggil kaedah satu kedudukan palsu. Dengan menggunakan kaedah ini, persamaan bentuk ax = b diselesaikan. Kaedah ini terdiri daripada membahagikan setiap sisi persamaan dengan a. Ia digunakan oleh kedua-dua Mesir dan Babylon. Pada bangsa yang berbeza kaedah dua kedudukan palsu digunakan. Orang Arab mekanisasi kaedah ini dan memperoleh bentuk di mana ia dimasukkan ke dalam buku teks orang Eropah, termasuk Aritmetik Magnitsky. Magnitsky memanggil kaedah menyelesaikan "peraturan palsu" dan menulis di bahagian bukunya yang menerangkan kaedah ini:
Zelo bo licik adalah bahagian ini, Seperti anda boleh meletakkan segala-galanya dengannya. Bukan sahaja yang ada dalam kewarganegaraan, Tetapi juga ilmu-ilmu yang lebih tinggi di angkasa, Malah disenaraikan dalam sfera syurga, Seperti orang bijak ada keperluan.
Kandungan puisi Magnitsky boleh diringkaskan seperti berikut: bahagian aritmetik ini sangat rumit. Dengan bantuannya, anda boleh mengira bukan sahaja apa yang diperlukan dalam amalan seharian, tetapi ia juga menyelesaikan soalan "lebih tinggi" yang berhadapan dengan "bijak". Magnitsky menggunakan "peraturan palsu" dalam bentuk yang diberikan oleh orang Arab, memanggilnya "aritmetik dua kesilapan" atau "kaedah pemberat." Ahli matematik India sering memberikan masalah dalam ayat. Cabaran Lotus:
Di atas tasik yang tenang, separuh ukuran di atas air, warna Lotus kelihatan. Dia membesar sendirian, dan angin dalam gelombang membengkokkannya ke tepi, dan tidak lagi
Bunga di atas air. Menemui mata nelayannya Dua ukuran dari tempat dia dibesarkan. Berapa banyak tasik di sini adalah dalam air? Saya akan menawarkan anda satu soalan.
Jenis-jenis persamaan
Persamaan linear ialah persamaan dalam bentuk: ax + b = 0, dengan a dan b ialah beberapa pemalar. Jika a tidak sama dengan sifar, maka persamaan mempunyai satu punca tunggal: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).
Contohnya: selesaikan persamaan linear: 4x + 12 = 0.
Penyelesaian: T. kepada a \u003d 4, dan b \u003d 12, kemudian x \u003d - 12: 4; x = - 3.
Semak: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Oleh kerana k 0 = 0, maka -3 ialah punca bagi persamaan asal.
Jawab. x = -3
Jika a ialah sifar dan b ialah sifar, maka punca bagi persamaan ax + b = 0 ialah sebarang nombor.
Sebagai contoh:
0 = 0. Oleh kerana 0 ialah 0, maka punca bagi persamaan 0x + 0 = 0 ialah sebarang nombor.
Jika a adalah sifar dan b bukan sifar, maka persamaan ax + b = 0 tidak mempunyai punca.
Sebagai contoh:
0 \u003d 6. Oleh kerana 0 tidak sama dengan 6, maka 0x - 6 \u003d 0 tidak mempunyai punca.
Sistem persamaan linear.
Sistem persamaan linear ialah sistem di mana semua persamaan adalah linear.
Untuk menyelesaikan sistem bermakna mencari semua penyelesaiannya.
Sebelum menyelesaikan sistem persamaan linear, anda boleh menentukan bilangan penyelesaiannya.
Biarkan sistem persamaan diberikan: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.
Jika a1 dibahagikan dengan a2 tidak sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, maka sistem mempunyai satu penyelesaian unik.
Jika a1 dibahagikan dengan a2 adalah sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, tetapi sama dengan c1 dibahagikan dengan c2, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Jika a1 dibahagikan dengan a2 adalah sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, dan sama dengan c1 dibahagikan dengan c2, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian tak terhingga.
Sistem persamaan yang mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dipanggil konsisten.
Sistem sendi dipanggil pasti jika ia mempunyai nombor terhingga penyelesaian, dan tak tentu jika set penyelesaiannya adalah tak terhingga.
Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian tunggal dipanggil tidak konsisten atau tidak konsisten.
Cara untuk menyelesaikan persamaan linear
Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear:
1) Kaedah pemilihan. Ini yang paling banyak cara paling mudah. Ia terletak pada hakikat bahawa semua nilai sah yang tidak diketahui dipilih melalui penghitungan.
Sebagai contoh:
Selesaikan persamaan.
Biarkan x = 1. Kemudian
4 = 6. Oleh kerana 4 tidak sama dengan 6, maka andaian kami bahawa x = 1 adalah salah.
Biarkan x = 2.
6 = 6. Oleh kerana 6 sama dengan 6, maka andaian kami bahawa x = 2 adalah betul.
Jawapan: x = 2.
2) Cara untuk memudahkan
Kaedah ini terletak pada fakta bahawa semua ahli yang mengandungi yang tidak diketahui dipindahkan ke sebelah kiri, dan diketahui ke kanan dengan tanda bertentangan, berikan yang serupa, dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan pekali yang tidak diketahui.
Sebagai contoh:
Selesaikan persamaan.
5x - 4 \u003d 11 + 2x;
5x - 2x \u003d 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Jawab. x = 5.
3) Cara grafik.
Ia terdiri daripada fakta bahawa graf fungsi dibina persamaan yang diberikan. Kerana dalam persamaan linear y \u003d 0, maka graf akan selari dengan paksi-y. Titik persilangan graf dengan paksi-x akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini.
Sebagai contoh:
Selesaikan persamaan.
Biarkan y = 7. Kemudian y = 2x + 3.
Mari bina graf fungsi kedua-dua persamaan:
Cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
Dalam gred ketujuh, tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan dikaji:
1) Kaedah penggantian.
Kaedah ini terdiri daripada fakta bahawa dalam salah satu persamaan satu yang tidak diketahui dinyatakan dalam istilah yang lain. Ungkapan yang terhasil digantikan ke dalam persamaan lain, yang kemudiannya bertukar menjadi persamaan dengan satu yang tidak diketahui, kemudian ia diselesaikan. Nilai yang terhasil daripada yang tidak diketahui ini digantikan ke dalam mana-mana persamaan sistem asal dan nilai yang tidak diketahui kedua ditemui.
Sebagai contoh.
Selesaikan sistem persamaan.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.
Gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan lain:
5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;
5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan 3x + y \u003d 4.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.
Peperiksaan.
/3 1 + 1 = 4,
\5 1 - 2 1 - 2 = 1;
Jawapan: x = 1; y = 1.
2) Kaedah penambahan.
Kaedah ini ialah jika sistem ini terdiri daripada persamaan yang, apabila ditambah sebutan dengan sebutan, membentuk persamaan dengan satu yang tidak diketahui, kemudian dengan menyelesaikan persamaan ini, kita mendapat nilai salah satu yang tidak diketahui. Nilai yang terhasil daripada yang tidak diketahui ini digantikan ke dalam mana-mana persamaan sistem asal dan nilai yang tidak diketahui kedua ditemui.
Sebagai contoh:
Selesaikan sistem persamaan.
/ 3t - 2x \u003d 5,
\5x - 3y \u003d 4.
Mari kita selesaikan persamaan yang terhasil.
3x = 9; : (3) x = 3.
Mari kita gantikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan 3y - 2x = 5.
3y - 2 3 = 5;
3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Jadi x = 3; y = 3 2/3.
Peperiksaan.
/3 11/3 - 2 3 = 5,
\5 3 - 3 11/ 3 = 4;
Jawab. x = 3; y = 3 2/3
3) Cara grafik.
Kaedah ini adalah berdasarkan fakta bahawa graf persamaan diplot dalam satu sistem koordinat. Jika graf persamaan bersilang, maka koordinat titik persilangan adalah penyelesaian sistem ini. Jika graf persamaan adalah garis selari, maka sistem yang diberikan tidak mempunyai penyelesaian. Jika graf persamaan bergabung menjadi satu garis lurus, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
Sebagai contoh.
Selesaikan sistem persamaan.
18x + 3y - 1 = 8.
2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;
Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Kami membina graf fungsi y \u003d 2x - 5 dan y \u003d 3 - 6x pada sistem koordinat yang sama.
Graf fungsi y \u003d 2x - 5 dan y \u003d 3 - 6x bersilang pada titik A (1; -3).
Oleh itu, penyelesaian kepada sistem persamaan ini ialah x = 1 dan y = -3.
Peperiksaan.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Jawab. x = 1; y = -3.
Kesimpulan
Berdasarkan semua perkara di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan diperlukan dalam dunia moden bukan sahaja untuk menyelesaikan masalah praktikal, tetapi juga sebagai alat saintifik. Oleh itu, begitu ramai saintis telah mengkaji isu ini dan terus mengkaji.
Teks kerja diletakkan tanpa imej dan formula.
Versi penuh kerja tersedia dalam tab "Fail kerja" dalam format PDF
PENGENALAN
"Persamaan adalah kunci emas yang membuka kunci semua bijan matematik"
S. Koval
Pendidikan matematik yang diterima di sekolah sangat bahagian utama kehidupan manusia moden. Hampir semua yang mengelilingi kita dihubungkan dalam satu cara atau yang lain dengan matematik. Penyelesaian banyak masalah praktikal dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan pelbagai jenis.
Persamaan adalah topik yang paling banyak dalam keseluruhan kursus algebra. Pada masa lalu tahun akademik dalam pelajaran algebra kami berkenalan dengan persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik digunakan secara meluas dalam menyelesaikan pelbagai masalah, baik dalam bidang matematik mahupun dalam bidang fizik dan kimia.
Dalam kursus matematik sekolah, asas penyelesaian persamaan kuadratik. Walau bagaimanapun, terdapat kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, beberapa daripadanya membolehkan anda menyelesaikannya dengan cepat, secara rasional.
Kami menjalankan tinjauan di kalangan 84 pelajar dalam gred 8-9 ke atas dua soalan:
Apakah kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik yang anda tahu?
Mana yang paling anda gunakan?
Berdasarkan hasil tinjauan, keputusan berikut diperolehi:
Selepas menganalisis keputusan, kami membuat kesimpulan bahawa kebanyakan pelajar menggunakan rumus punca semasa menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi dan tidak mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadratik.
Oleh itu, topik yang kami pilih adalah relevan.
Kita letak sebelum diri kita sendiri Matlamat: meneroka cara yang tidak konvensional menyelesaikan persamaan kuadratik, untuk memperkenalkan pelajar dalam gred 8 dan 9 hingga cara yang berbeza penyelesaian, membangunkan keupayaan untuk memilih cara yang rasional untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.
Untuk mencapai matlamat ini, anda perlu menyelesaikan perkara berikut tugasan:
mengumpul maklumat tentang cara yang berbeza untuk menyelesaikan persamaan kuadratik,
untuk menguasai penyelesaian yang ditemui,
tulis program untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula punca persamaan kuadratik dalam Excel,
membangun bahan didaktik untuk pelajaran atau aktiviti kokurikulum untuk kaedah bukan standard menyelesaikan persamaan kuadratik,
menjalankan pelajaran "Cara luar biasa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik" dengan pelajar dalam gred 8-9.
Objek kajian: persamaan kuadratik.
Subjek kajian: cara yang berbeza untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.
kami percaya bahawa kepentingan praktikal kerja terdiri daripada kemungkinan menggunakan sekumpulan teknik dan kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam matematik dan aktiviti ko-kurikulum, serta membiasakan pelajar dalam gred 8-9 dengan bahan ini.
BAB 1. KAEDAH LUAR BIASA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRATIK
- SIFAT-SIFAT KOEFISIEN (a,b,c)
Kaedah ini berdasarkan sifat pekali a,b,c:
Sekiranya a+b+c=0, maka = 1, =
Contoh:
-6x 2 + 2x +4=0, maka = 1, = = .
Sekiranya a-b+c=0, maka = -1, = -
Contoh:
2017x 2 + 2001x +16 = 0, maka = -1, -.
- PERGANTUNGAN KOEFISIEN (a,b,c)
Kebergantungan pekali berikut adalah sah a,b,c:
Jika b=a 2 +1, c=a, maka x 1 =-a; x 2 \u003d -.
Jika b=-(a 2 +1), a=c, maka x 1 =a; x 2 =.
Jika b=a 2 -1, c=-a, maka x 1 =-a; x 2 = .
Jika b=-(a 2 -1), -a=c, maka x 1 =a; x 2 \u003d -.
Mari kita selesaikan persamaan berikut:
5x 2 + 26x + 5 = 0
x 1 = -5
x 2 = - 0,2.
13x 2 - 167x + 13 = 0
x 1 =13 x 2 =
14x 2 + 195x - 14 = 0
x 1 = - 14 x 2 =
10x 2 - 99x - 10 = 0
x 1 =10 x 2 =-0,1.
- "PEMBALIHAN" PEKEFISIEN UTAMA
Pekali a didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dipindahkan" kepadanya, oleh itu ia dipanggil kaedah "pemindahan". Selanjutnya, akar ditemui oleh teorem Vieta. Akar-akar yang ditemui dibahagikan dengan pekali yang dipindahkan sebelum ini, yang mana kita dapati punca-punca persamaan.
Contoh:
2x 2 - 3x + 1 = 0.
Mari kita "pindahkan" pekali 2 kepada istilah bebas, sebagai hasilnya kita mendapat persamaan
di 2 - 3y + 2 = 0.
Mengikut teorem Vieta
di 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,
di 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.
Jawapan: 0.5; satu.
- KAEDAH PENYELESAIAN GRAFIK
Jika dalam persamaan a x 2 + bx + c= 0 pindahkan sebutan kedua dan ketiga ke sebelah kanan, maka kita mendapat a x 2 = -bx-c .
Mari bina graf pergantungan di= kapak 2 dan di= -bx-c dalam satu sistem koordinat.
Graf pergantungan pertama ialah parabola yang melalui asalan. Graf pergantungan kedua ialah garis lurus.
Kes berikut adalah mungkin:
garis lurus dan parabola boleh bersilang pada dua titik, absis bagi titik persilangan ialah punca-punca persamaan kuadratik;
garisan dan parabola boleh menyentuh (hanya satu titik biasa), i.e. persamaan mempunyai satu penyelesaian;
garis lurus dan parabola tidak mempunyai perkara biasa, iaitu persamaan kuadratik tidak mempunyai punca.
Mari kita selesaikan persamaan berikut:
1) x 2 + 2x - 3 = 0
x 2 \u003d - 2x + 3
Dalam satu sistem koordinat, kami membina graf fungsi y \u003d x 2 dan graf fungsi y \u003d - 2x + 3. Menandakan abscissas titik persimpangan, kami mendapat jawapannya.
Jawapan: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.
2) x 2 + 6x +9 = 0
x 2 \u003d - 6x - 9
Dalam satu sistem koordinat, kami membina graf fungsi y \u003d x 2 dan graf fungsi y \u003d -6x - 9. Menandakan absis titik sentuh, kami mendapat jawapannya.
Jawapan: x = - 3.
3) 2x 2 + 4x +7=0
2x 2 = - 4x - 7
Dalam satu sistem koordinat, kami membina graf fungsi y \u003d 2x 2 dan graf fungsi
Parabola y \u003d 2x 2 dan garis lurus y \u003d - 4x - 7 tidak mempunyai titik sepunya, oleh itu persamaan tidak mempunyai punca.
Jawapan: tiada akar.
- MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRATIK DENGAN BANTUAN KOMPAS DAN PEMBATU
Kami menyelesaikan persamaan ax 2 + bx + c \u003d 0:
Mari bina titik S(-b:2a,(a+c):2a) - pusat bulatan dan titik A(0,1).
Lukis bulatan jejari SA.
Absis bagi titik-titik persilangan dengan paksi Lembu ialah punca-punca persamaan asal.
Dalam kes ini, tiga kes mungkin:
1) Jejari bulatan lebih besar daripada ordinat pusat ( AS>SK, atau R>), bulatan bersilang dengan paksi Oh pada dua titik..B( X 1 ; 0) dan D(x 2 ;0), di mana X 1 dan X 2 - punca persamaan kuadratik Oh 2 + bx + c = 0.
2) Jejari bulatan adalah sama dengan ordinat pusat ( AS = SВ, atau R=), bulatan menyentuh paksi Oh pada titik B( X 1 ; 0), di mana X 1 ialah punca bagi persamaan kuadratik.
3) Jejari bulatan kurang daripada ordinat pusat ( AS< SВ , atau R< ), bulatan tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi-x, dalam hal ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian.
a) AS > SВ atau R >, b) AS = SВ atau R= dalam) AS< SВ, atau R< .
Dua Penyelesaian X 1 dan X 2 . Satu Penyelesaian X 1.. Tidak mempunyai penyelesaian.
Contoh 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.
Penyelesaian:
Mari kita lukis bulatan jejari SA, di mana TAPI (0;1).
Jawapan: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3.
Contoh 2: x 2 - 6x + 9 = 0.
Penyelesaian: Cari koordinat S: x=3, y=5.
Jawapan: x=3.
Contoh 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.
Penyelesaian: Koordinat pusat bulatan: x= - 2 dan y = 3.
Jawapan: tiada akar
- PENYELESAIAN NOMOGRAM
Nomogram (dari bahasa Yunani "nomos" - undang-undang dan gram), perwakilan grafik fungsi beberapa pembolehubah, yang membolehkan penggunaan mudah operasi geometri(cth., menggunakan pembaris) meneroka kebergantungan fungsi tanpa pengiraan. Sebagai contoh, selesaikan persamaan kuadratik tanpa menggunakan formula.
Ia lama dan sekarang cara terlupa penyelesaian persamaan kuadratik, diletakkan pada halaman 83 koleksi: Bradis V.M. "Jadual Matematik Empat Dimensi". - M., "DROFA", 2000. Jadual XXII. Nomogram untuk Penyelesaian Persamaan z 2 + pz + q = 0(lihat Lampiran 1).
Nomogram ini membenarkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadratik, untuk menentukan punca persamaan dengan pekalinya.
Skala curvilinear nomogram dibina mengikut formula: OV= , AB =
Andainya OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), daripada segi tiga yang serupa SAN dan CDF kita memperoleh perkadaran dari mana, selepas penggantian dan penyederhanaan, persamaan z 2 + pz + q = 0 mengikuti, dan huruf z bermaksud label mana-mana titik pada skala lengkung.
Contoh 1: z 2 - 9z + 8 = 0.
Pada skala p kita dapati tanda -9, dan pada skala q tanda 8. Kami melukis garis lurus melalui tanda ini yang memotong lengkung skala nomogram pada markah 1 dan 8. Oleh itu, punca persamaan 1 dan 8.
Jawapan: 1; lapan.
Persamaan inilah yang diselesaikan dalam jadual Bradys pada halaman 83 (lihat Lampiran 1).
Contoh 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.
Kami membahagikan pekali persamaan ini dengan 2, kami mendapat persamaan:
z 2 - 4.5z + 1 = 0. Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.
Jawapan: 4; 0.5.
Contoh 3:x 2 - 25x + 66 = 0
Pekali p dan q berada di luar skala. Mari kita lakukan penggantian x=5z, kita mendapat persamaan:
z 2 - 5z + 2.64 = 0,
yang diselesaikan dengan cara nomogram.
Dapatkan z 1 = 0,6 dan z 2 = 4,4,
di mana x 1 = 5z 1 = 3,0 dan x 2 = 5z 2 = 22,0.
Jawapan: 3; 22.
Contoh 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , a akar negatif cari dengan menolak akar positif keluar -p , mereka. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.
Jawapan: 1; -6.
Contoh 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogram memberikan punca positif z 1 =4, dan negatif ialah z 2 =-p-4=
= 2 - 4= -2.
Jawapan: 4; -2.
BAB 2
Kami memutuskan untuk menulis program untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan Excel- ia meluas program komputer. Ia diperlukan untuk menjalankan pengiraan, menyusun jadual dan gambar rajah, mengira mudah dan fungsi kompleks. Ia adalah sebahagian daripada pakej Microsoft Office.
Lembaran program Excel, di mana formula dipaparkan:
Paparan helaian Excel contoh khusus menyelesaikan persamaan kuadratik x 2 - 14x - 15 = 0:
BAB 3
|
Formula punca-punca persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi D dan D1 |
Serbaguna, kerana boleh digunakan untuk menyelesaikan sepenuhnya semua persamaan kuadratik |
Diskriminasi yang rumit tidak termasuk dalam jadual petak |
|
Teorem Vieta |
Penyelesaian pantas dalam kes tertentu dan menjimatkan masa |
Jika diskriminasi bukan kuasa dua sempurna bagi integer. Pekali bukan integer b dan c. |
|
Pemilihan persegi penuh |
Dengan penjelmaan yang betul kepada kuasa dua binomial, kita memperoleh persamaan kuadratik yang tidak lengkap dan, oleh itu, punca-punca ditemui lebih cepat |
Kesukaran memilih petak penuh apabila kemungkinan pecahan persamaan |
|
Kaedah pengelompokan |
Boleh diselesaikan tanpa mengetahui formula |
Ia tidak selalu mungkin untuk menguraikan istilah tengah kepada istilah yang sesuai untuk pengelompokan |
|
Cara grafik |
Tiada formula diperlukan. Anda boleh mengetahui bilangan punca persamaan dengan cepat |
Penghampiran penyelesaian |
|
Hartanah pekali a,b,c |
Kepantasan membuat keputusan. Untuk persamaan dengan pekali yang besar |
Hanya sesuai untuk beberapa persamaan |
|
"Guling semula" pekali utama |
Kelajuan penyelesaian jika akarnya adalah integer |
Sama seperti menggunakan teorem Vieta |
|
Nomogram |
keterlihatan Apa yang diperlukan untuk menyelesaikan adalah nomogram |
Anda tidak selalu mempunyai nomogram dengan anda. Ketidaktepatan penyelesaian |
|
Mencari akar dengan kompas dan garis lurus |
keterlihatan |
Jika koordinat pusat adalah nombor bukan integer. Mencari punca persamaan dengan pekali yang besar |
“Ia selalunya lebih berguna bagi pelajar algebra untuk menyelesaikan masalah yang sama dalam tiga cara berbeza daripada menyelesaikan tiga atau empat masalah berbeza. Menyelesaikan satu masalah pelbagai kaedah, anda boleh mengetahui melalui perbandingan yang mana satu lebih pendek dan lebih cekap. Begitulah pengalaman dibuat."
Walter Warwick Sawyer
Dalam perjalanan kerja, kami mengumpul bahan dan mengkaji kaedah untuk menyelesaikan (mencari punca) persamaan kuadratik. Penyelesaian persamaan dengan cara yang berbeza dibentangkan dalam Lampiran 2.
belajar cara yang berbeza menyelesaikan persamaan kuadratik, kami membuat kesimpulan bahawa bagi setiap persamaan anda boleh memilih cara anda yang paling cekap dan rasional untuk mencari punca. Setiap penyelesaian adalah unik dan mudah dalam kes tertentu. Sesetengah kaedah penyelesaian menjimatkan masa, yang penting apabila menyelesaikan tugasan untuk OGE, yang lain membantu menyelesaikan persamaan dengan pekali yang sangat besar. Kami cuba membandingkan penyelesaian yang berbeza dengan menyusun jadual yang mencerminkan kebaikan dan keburukan setiap kaedah.
Kami telah membangunkan Edaran. Anda boleh berkenalan dengan bank tugas mengenai topik dalam Lampiran 3.
menggunakan Microsoft Excel, kami telah menyusun hamparan, yang membolehkan anda mengira punca-punca persamaan kuadratik secara automatik menggunakan rumus punca.
Kami ada pelajaran cara yang tidak biasa menyelesaikan persamaan kuadratik, untuk pelajar dalam gred 9. Para pelajar sangat menyukai kaedah tersebut, mereka menyatakan bahawa pengetahuan yang diperoleh akan berguna kepada mereka pendidikan lanjut. Hasil pelajaran adalah hasil kerja pelajar di mana mereka membentangkan pelbagai pilihan menyelesaikan persamaan kuadratik (lihat Lampiran 4).
Bahan hasil kerja boleh digunakan oleh mereka yang menggemari matematik dan mereka yang ingin mengetahui lebih lanjut tentang matematik.
SASTERA
Bradis V. M. “Jadual matematik empat digit untuk sekolah Menengah”, M.: Bustard, 2000.
Vilenkin N.Ya. "Algebra untuk gred 8", M .: Pendidikan, 2000.
Galitsky M.L. "Koleksi tugasan dalam algebra", M .: Pendidikan 2002.
Glazer G. I. "Sejarah matematik di sekolah", M .: Pendidikan, 1982.
Zvavich L.I. "Algebra Gred 8", Moscow: Mnemosyne, 2002.
Makarychev Yu.N. "Algebra Gred 8", Moscow: Pendidikan, 2015.
Pluzhnikov I. "10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik" // Matematik di Sekolah. - 2000.- No. 40.
Presman A.A. "Penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan kompas dan pembaris"//M., Kvant, No. 4/72, p.34.
Savin A.P. " Kamus ensiklopedia ahli matematik muda,
Moscow: Pedagogi, 1989.
Sumber Internet:
http://revolution.allbest.ru/
LAMPIRAN 1
"KOLEKSI BRADIS V.M."
LAMPIRAN 2
"SELESAIKAN PERSAMAAN DALAM SEMUA CARA"
Persamaan awal:4x 2 +3x -1 = 0.
1. Formula punca-punca persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi D
4x 2 +3x -1 = 0
D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => persamaan mempunyai dua punca
x 1,2 =
x 1 ==
x 2 ==-1
2. Teorem Vieta
4x 2 +3x -1 = 0, bahagikan persamaan dengan 4 untuk menjadikannya dikurangkan
X 2 +x -=0
X 1 = -1
X 2 =
3. Kaedah pemilihan persegi penuh
4x 2 +3x -1 = 0
(4x 2 +2*2x *+)-1=0
(2x+) 2 -=0
(2x + -) (2x + +) = 0,
(2x -)=0 (2x +2)=0
X 1 = x 2 = -1
4. Kaedah pengelompokan
4x 2 +3x -1 = 0
4x 2 +4x-1x-1=0
4x(x+1)-1(x+1)=0
(4x-1)(x+1)=0, produk = 0 apabila salah satu faktor = 0
(4x-1)=0 (x+1)=0
X 1 = x 2 = -1
5. Sifat pekali
4x 2 +3x -1 = 0
Jika a - b+c=0, maka = -1, = -
4-3-1=0, => = -1, =
6. Kaedah "pemindahan" pekali utama
4x 2 +3x -1 = 0
y 2 +3y - 4 = 0
Teorem Vieta:
y 1 = -4
y 2 = 1
Kami membahagikan punca yang ditemui dengan pekali utama dan mendapatkan punca persamaan kami:
X 1 = -1
X 2 =
7. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kompas dan pembaris
4x 2 +3x -1 = 0
Tentukan koordinat titik pusat bulatan dengan rumus:
X 1 = -1
X 2 =
8. Penyelesaian grafik
4x 2 +3x -1 = 0
4x 2 = - 3x + 1
Dalam satu sistem koordinat, kita membina graf fungsi y = 4x 2 dan graf bagi fungsi tersebut
y \u003d - 3x + 1. Menandakan absissas titik persimpangan, kami mendapat jawapannya:
X 1 = -1
9. Menggunakan nomogram
4x 2 +3x -1 = 0, kita membahagikan pekali persamaan 1/dengan 4, kita memperoleh persamaan
X 2 +x -= 0.
Nomogram memberikan punca positif = ,
dan punca negatif didapati dengan menolak punca positif daripada - p , mereka.
x 2 = - p -=- -= -1.
10. Penyelesaian persamaan ini dalam EXCEL
LAMPIRAN 3
"BAHAN DIAKTIF UNTUK TEMA
“PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRATIF” »
10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7
-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3
354x 2 -52x -302 = 0 1 -
100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0.01
5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0.8
2017x 2 + x -2016 = 0 -1
22x 2 +10x-12 = 0 -1
5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -
4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1.5
55x 2 -44x -11= 0 1 -0.2
6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1.5
4x 2 -17x-15 = 0 -0.75.5
4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,
3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2
5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0.2
2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3
4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1.5, 0.5
5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1
2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5
3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2
LAMPIRAN 4
KERJA PELAJAR
saya tahu matematik sekolah, kanak-kanak mendengar istilah "persamaan" buat kali pertama. Apa itu, mari kita cuba fikirkan bersama. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan jenis dan kaedah penyelesaian.
Matematik. Persamaan
Sebagai permulaan, kami mencadangkan untuk menangani konsep itu sendiri, apakah itu? Seperti yang dikatakan banyak buku teks matematik, persamaan ialah beberapa ungkapan yang sentiasa ada tanda yang sama. Ungkapan ini mengandungi huruf, yang dipanggil pembolehubah, yang nilainya mesti dijumpai.
Ini ialah atribut sistem yang mengubah nilainya. contoh yang baik pembolehubah ialah:
- suhu udara;
- ketinggian kanak-kanak;
- berat badan dan sebagainya.
Dalam matematik, mereka dilambangkan dengan huruf, contohnya, x, a, b, c ... Biasanya tugas dalam matematik adalah seperti berikut: cari nilai persamaan. Ini bermakna anda perlu mencari nilai pembolehubah ini.
Varieti
Persamaan (apa itu, yang kita bincangkan dalam perenggan sebelumnya) boleh dalam bentuk berikut:
- linear;
- segi empat sama;
- padu;
- algebra;
- transenden.
Untuk kenalan yang lebih terperinci dengan semua jenis, kami akan mempertimbangkan masing-masing secara berasingan.
Persamaan Linear
Ini adalah jenis pertama yang pelajar kenali. Mereka diselesaikan dengan cepat dan mudah. Jadi, apakah persamaan linear? Ini adalah ungkapan bentuk: ax=s. Ia tidak begitu jelas, jadi mari kita berikan beberapa contoh: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.
Mari kita lihat contoh persamaan. Untuk melakukan ini, kita perlu mengumpul semua data yang diketahui di satu pihak, dan data yang tidak diketahui di pihak yang lain: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Digunakan di sini peraturan asas matematik: a*c=e, daripada c=e/a ini; a=e/s. Untuk melengkapkan penyelesaian persamaan, kami melakukan satu tindakan (dalam kes kami, pembahagian) x=13; x=8; x=5. Ini adalah contoh pendaraban, sekarang mari kita lihat penolakan dan penambahan: x + 3 = 9; 10x-5=15. Kami memindahkan data yang diketahui dalam satu arah: x=9-3; x=20/10. Kami melakukan tindakan terakhir: x=6; x=2.
Varian persamaan linear juga mungkin, di mana lebih daripada satu pembolehubah digunakan: 2x-2y=4. Untuk menyelesaikannya, perlu menambah 2y pada setiap bahagian, kita mendapat 2x-2y + 2y \u003d 4-2y, seperti yang kita perhatikan, di sebelah kiri tanda sama -2y dan +2y dikurangkan, sementara kita mempunyai: 2x \u003d 4 -2u. Langkah terakhir ialah membahagikan setiap bahagian dengan dua, kita mendapat jawapan: x sama dengan dua tolak y.
Masalah dengan persamaan ditemui walaupun pada papirus Ahmes. Berikut ialah salah satu masalah: nombor dan bahagian keempatnya menambah hingga 15. Untuk menyelesaikannya, kita tulis persamaan berikut: x tambah satu perempat daripada x sama dengan lima belas. Kami melihat satu lagi contoh sebagai hasil daripada penyelesaian, kami mendapat jawapan: x=12. Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain, iaitu Mesir atau, seperti yang dipanggil dengan cara lain, kaedah andaian. Digunakan dalam papirus penyelesaian seterusnya: ambil empat dan bahagian keempatnya, iaitu satu. Secara keseluruhan, mereka memberi lima, kini lima belas mesti dibahagikan dengan jumlah, kita mendapat tiga, dengan tindakan terakhir kita darab tiga dengan empat. Kami mendapat jawapannya: 12. Mengapa kita membahagi lima belas dengan lima dalam penyelesaian? Jadi kita mengetahui berapa kali lima belas, iaitu hasil yang perlu kita perolehi adalah kurang daripada lima. Pada Zaman Pertengahan, masalah diselesaikan dengan cara ini, ia dikenali sebagai kaedah kedudukan palsu.
Persamaan kuadratik
Sebagai tambahan kepada contoh yang dibincangkan sebelum ini, terdapat yang lain. Apa sebenarnya? Apakah persamaan kuadratik? Mereka kelihatan seperti ax 2 +bx+c=0. Untuk menyelesaikannya, anda perlu membiasakan diri dengan beberapa konsep dan peraturan.
Pertama, anda perlu mencari diskriminasi menggunakan formula: b 2 -4ac. Terdapat tiga penyelesaian yang mungkin:
- diskriminasi Di atas sifar;
- kurang daripada sifar;
- sama dengan sifar.
Dalam pilihan pertama, kita boleh mendapatkan jawapan daripada dua punca, yang ditemui oleh formula: -b + - punca diskriminasi dibahagikan dengan pekali pertama dua kali ganda, iaitu, 2a.
Dalam kes kedua, persamaan tidak mempunyai punca. Dalam kes ketiga, akar ditemui dengan formula: -b / 2a.
Pertimbangkan contoh persamaan kuadratik untuk kenalan yang lebih terperinci: tiga x kuasa dua tolak empat belas x tolak lima sama dengan sifar. Sebagai permulaan, seperti yang ditulis sebelum ini, kita sedang mencari diskriminasi, dalam kes kita ialah 256. Perhatikan bahawa nombor yang terhasil adalah lebih besar daripada sifar, oleh itu, kita harus mendapatkan jawapan yang terdiri daripada dua punca. Kami menggantikan diskriminasi yang terhasil ke dalam formula untuk mencari punca. Hasilnya, kita mempunyai: x sama dengan lima dan tolak satu pertiga.
Kes khas dalam persamaan kuadratik
Ini adalah contoh di mana beberapa nilai adalah sifar (a, b atau c), dan mungkin lebih daripada satu.
Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan berikut, yang merupakan kuadratik: dua x kuasa dua sama dengan sifar, di sini kita melihat bahawa b dan c adalah sifar. Mari kita cuba menyelesaikannya, untuk ini kita membahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan dua, kita ada: x 2 \u003d 0. Akibatnya, kita mendapat x=0.
Kes lain ialah 16x 2 -9=0. Di sini hanya b=0. Kami menyelesaikan persamaan, pindahkan pekali bebas ke sebelah kanan: 16x 2 \u003d 9, kini kami membahagikan setiap bahagian dengan enam belas: x 2 \u003d sembilan per enam belas. Oleh kerana kita mempunyai x kuasa dua, punca 9/16 boleh sama ada negatif atau positif. Kami menulis jawapan seperti berikut: x sama dengan tambah / tolak tiga perempat.
Jawapan sedemikian juga mungkin, kerana persamaan itu tidak mempunyai punca sama sekali. Mari kita lihat contoh ini: 5x 2 +80=0, di sini b=0. Untuk menyelesaikan ahli percuma, buangnya ke sebelah kanan, selepas tindakan ini kita dapat: 5x 2 \u003d -80, kini kita bahagikan setiap bahagian dengan lima: x 2 \u003d tolak enam belas. Jika sebarang nombor kuasa dua, maka makna negatif kita takkan dapat. Oleh itu, jawapan kami berbunyi seperti ini: persamaan tidak mempunyai punca.
Pengembangan trinomial
Tugasan untuk persamaan kuadratik boleh berbunyi dengan cara lain: terurai trinomial segi empat sama untuk pengganda. Ini boleh dilakukan menggunakan formula berikut: a (x-x 1) (x-x 2). Untuk ini, seperti dalam versi tugas lain, adalah perlu untuk mencari diskriminasi.
Pertimbangkan contoh berikut: 3x 2 -14x-5, faktorkan trinomial. Kami mendapati diskriminasi, menggunakan formula yang telah diketahui oleh kami, ternyata 256. Kami segera ambil perhatian bahawa 256 lebih besar daripada sifar, oleh itu, persamaan akan mempunyai dua punca. Kami dapati mereka, seperti dalam perenggan sebelumnya, kami mempunyai: x \u003d lima dan tolak satu pertiga. Mari kita gunakan formula untuk menguraikan trinomial kepada faktor: 3(x-5)(x+1/3). Dalam kurungan kedua, kami mendapat tanda sama, kerana formula mengandungi tanda tolak, dan akarnya juga negatif, menggunakan pengetahuan asas matematik, dalam jumlah kami mempunyai tanda tambah. Untuk memudahkan, kita darab sebutan pertama dan ketiga bagi persamaan untuk menyingkirkan pecahan: (x-5) (x + 1).
Persamaan Kuadratik
AT perenggan ini belajar untuk menyelesaikan lebih banyak lagi persamaan kompleks. Mari kita mulakan segera dengan contoh:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Kita boleh perhatikan elemen berulang: (x 2 - 2x), adalah mudah untuk kita menggantikannya dengan pembolehubah lain untuk penyelesaian, dan kemudian selesaikan persamaan kuadratik biasa, dengan segera kami perhatikan bahawa dalam tugas sedemikian kami akan mendapat empat punca, ini tidak sepatutnya menakutkan anda. Kami menandakan pengulangan pembolehubah a. Kami mendapat: a 2 -2a-3=0. Langkah seterusnya ialah mencari diskriminasi persamaan baharu. Kami mendapat 16, kami mendapati dua punca: tolak satu dan tiga. Kami ingat bahawa kami melakukan penggantian, kami menggantikan nilai ini, sebagai hasilnya kami mempunyai persamaan: x 2 - 2x \u003d -1; x 2 - 2x=3. Kami menyelesaikannya dalam jawapan pertama: x sama dengan satu, dalam kedua: x sama dengan tolak satu dan tiga. Kami menulis jawapan seperti berikut: tambah / tolak satu dan tiga. Sebagai peraturan, jawapan ditulis dalam susunan menaik.
Persamaan Kubik
Mari kita pertimbangkan yang lain varian yang mungkin. Ia akan menjadi kira-kira persamaan padu. Mereka kelihatan seperti: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Kami akan mempertimbangkan contoh persamaan di bawah, tetapi terlebih dahulu sedikit teori. Mereka boleh mempunyai tiga punca, terdapat juga formula untuk mencari diskriminasi bagi persamaan padu.
Pertimbangkan contoh: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Bagaimana untuk menyelesaikannya? Untuk melakukan ini, kita hanya mengambil x daripada kurungan: x(3x 2 +4x+2)=0. Apa yang tinggal untuk kita lakukan ialah mengira punca-punca persamaan dalam kurungan. Diskriminasi persamaan kuadratik dalam kurungan adalah kurang daripada sifar, jadi ungkapan mempunyai punca: x=0.
Algebra. Persamaan
Mari kita beralih kepada jenis seterusnya. Kami sekarang akan mengkaji secara ringkas persamaan algebra. Salah satu tugas adalah seperti berikut: faktorkan 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Cara yang paling mudah ialah pengelompokan berikut: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Perhatikan bahawa kami mewakili 8x2 daripada ungkapan pertama sebagai hasil tambah 3x2 dan 5x2. Sekarang kita keluarkan dari setiap kurungan faktor sepunya 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Kami melihat bahawa kami mempunyai faktor sepunya: x kuasa dua tambah satu, kami mengeluarkannya daripada kurungan: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Pengembangan selanjutnya adalah mustahil, kerana kedua-dua persamaan mempunyai diskriminasi negatif.
Persamaan Transendental
Kami mencadangkan untuk berurusan dengan jenis berikut. Ini adalah persamaan yang mengandungi fungsi transendental, iaitu logaritma, trigonometri, atau eksponen. Contoh: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 dan seterusnya. Bagaimana ia diselesaikan anda akan belajar daripada kursus trigonometri.
Fungsi
Langkah terakhir ialah mempertimbangkan konsep persamaan fungsi. Tidak seperti pilihan sebelumnya, jenis yang diberikan tidak diselesaikan, tetapi graf dibina di atasnya. Untuk melakukan ini, persamaan harus dianalisis dengan baik, cari semua titik yang diperlukan untuk pembinaan, hitung titik minimum dan maksimum.
Persamaan yang merupakan trinomial kuadratik biasanya dipanggil persamaan kuadratik. Dari sudut pandangan algebra, ia diterangkan oleh formula a*x^2+b*x+c=0. Dalam formula ini, x ialah yang tidak diketahui untuk ditemui (ia dipanggil pembolehubah bebas); a, b dan c ialah pekali berangka. Berkenaan dengan komponen ini, terdapat beberapa sekatan: sebagai contoh, pekali a tidak boleh sama dengan 0.
Menyelesaikan persamaan: konsep diskriminasi
Nilai x yang tidak diketahui, di mana persamaan kuadratik bertukar menjadi kesamaan sebenar, dipanggil punca persamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, anda mesti mencari nilai pekali khas - diskriminasi, yang akan menunjukkan bilangan punca kesamaan yang dipertimbangkan. Diskriminasi dikira dengan formula D=b^2-4ac. Dalam kes ini, hasil pengiraan boleh menjadi positif, negatif atau sama dengan sifar.Dalam kes ini, perlu diingat bahawa konsep memerlukan hanya pekali a berbeza dengan 0. Oleh itu, pekali b boleh sama dengan 0, dan persamaan itu sendiri dalam kes ini ialah a * x ^ 2 + c \u003d 0. Dalam keadaan sedemikian, nilai pekali bersamaan dengan 0 harus digunakan dalam formula untuk mengira diskriminasi dan punca. Jadi, diskriminasi dalam kes ini akan dikira sebagai D=-4ac.
Pidato sebagai prototaip kewartawanan
Petikan tentang Napoleon - dslinkov — LiveJournal
Saya membalas dendam Lelaki di atas jentolak memusnahkan bandar itu