Kebarangkalian yang mungkin. Apakah kebarangkalian

Pada mulanya, hanya sebagai koleksi maklumat dan pemerhatian empirikal permainan dadu, teori kebarangkalian telah menjadi sains yang kukuh. Fermat dan Pascal adalah orang pertama yang memberikannya rangka kerja matematik.

Daripada refleksi tentang yang kekal kepada teori kebarangkalian

Dua individu yang teori kebarangkalian berhutang banyak formula asas, Blaise Pascal dan Thomas Bayes, dikenali sebagai orang yang sangat beragama, yang terakhir adalah seorang menteri Presbyterian. Nampaknya, keinginan kedua-dua saintis ini untuk membuktikan kekeliruan pendapat tentang Fortune tertentu, memberikan tuah kepada kegemarannya, memberi dorongan kepada penyelidikan dalam bidang ini. Lagipun, sebenarnya, sebarang permainan peluang, dengan kemenangan dan kekalahannya, hanyalah simfoni prinsip matematik.

Terima kasih kepada keterujaan Chevalier de Mere, yang sama-sama seorang penjudi dan seorang yang tidak peduli dengan sains, Pascal terpaksa mencari cara untuk mengira kebarangkalian. De Mere berminat dengan soalan ini: "Berapa kali anda perlu membaling dua dadu secara berpasangan supaya kebarangkalian mendapat 12 mata melebihi 50%?". Soalan kedua yang sangat menarik minat lelaki itu: "Bagaimana untuk membahagikan pertaruhan antara peserta dalam permainan yang belum selesai?" Sudah tentu, Pascal berjaya menjawab kedua-dua soalan de Mere, yang menjadi pemula tanpa disedari perkembangan teori kebarangkalian. Adalah menarik bahawa orang de Mere kekal dikenali di kawasan ini, dan bukan dalam kesusasteraan.

Sebelum ini, belum ada ahli matematik yang membuat percubaan untuk mengira kebarangkalian kejadian, kerana dipercayai bahawa ini hanyalah penyelesaian tekaan. Blaise Pascal memberikan definisi pertama tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa dan menunjukkan bahawa ini adalah angka tertentu yang boleh dibenarkan secara matematik. Teori kebarangkalian telah menjadi asas kepada statistik dan digunakan secara meluas dalam sains moden.

Apa itu rawak

Jika kita menganggap ujian yang boleh diulang bilangan kali yang tidak terhingga, maka kita boleh menentukan peristiwa rawak. Ini adalah salah satu hasil yang mungkin dari pengalaman itu.

Pengalaman ialah pelaksanaan tindakan tertentu dalam keadaan yang berterusan.

Untuk dapat bekerja dengan hasil pengalaman, peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, E ...

Kebarangkalian kejadian rawak

Untuk dapat meneruskan ke bahagian matematik kebarangkalian, adalah perlu untuk menentukan semua komponennya.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah ukuran berangka kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa (A atau B) hasil daripada pengalaman. Kebarangkalian dilambangkan sebagai P(A) atau P(B).

Teori kebarangkalian ialah:

boleh dipercayai peristiwa itu dijamin berlaku hasil daripada eksperimen Р(Ω) = 1;
mustahil peristiwa itu tidak boleh berlaku Р(Ø) = 0;
rawak peristiwa itu terletak di antara tertentu dan mustahil, iaitu, kebarangkalian kejadiannya adalah mungkin, tetapi tidak dijamin (kebarangkalian kejadian rawak sentiasa dalam 0≤P(A)≤1).

Hubungan antara peristiwa

Kedua-dua satu dan jumlah peristiwa A + B dipertimbangkan apabila peristiwa itu dikira dalam pelaksanaan sekurang-kurangnya satu daripada komponen, A atau B, atau kedua-duanya - A dan B.

Berkaitan antara satu sama lain, acara boleh:

Sama-sama boleh.
serasi.
Tidak serasi.
Bertentangan (saling eksklusif).
Tanggungan.

Jika dua peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama, maka ia sama mungkin.

Jika berlakunya peristiwa A tidak membatalkan kebarangkalian kejadian B, maka mereka serasi.

Jika peristiwa A dan B tidak pernah berlaku pada masa yang sama dalam eksperimen yang sama, maka ia dipanggil tidak serasi. Melambung syiling ialah contoh yang baik: ekor yang muncul secara automatik tidak muncul.

Kebarangkalian untuk jumlah peristiwa tidak serasi tersebut terdiri daripada jumlah kebarangkalian setiap peristiwa:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jika berlakunya satu kejadian menjadikan kejadian yang lain mustahil, maka ia dipanggil sebaliknya. Kemudian salah satu daripada mereka ditetapkan sebagai A, dan yang lain - Ā (dibaca sebagai "bukan A"). Berlakunya peristiwa A bermakna Ā tidak berlaku. Kedua-dua peristiwa ini membentuk kumpulan lengkap dengan jumlah kebarangkalian sama dengan 1.

Peristiwa bergantung mempunyai pengaruh bersama, mengurangkan atau meningkatkan kebarangkalian satu sama lain.

Hubungan antara peristiwa. Contoh

Adalah lebih mudah untuk memahami prinsip teori kebarangkalian dan gabungan peristiwa menggunakan contoh.

Eksperimen yang akan dijalankan adalah untuk menarik bola keluar dari kotak, dan keputusan setiap eksperimen adalah hasil asas.

Acara ialah salah satu hasil yang mungkin dari pengalaman - bola merah, bola biru, bola dengan nombor enam, dsb.

Ujian nombor 1. Terdapat 6 bola, tiga daripadanya berwarna biru dengan nombor ganjil, dan tiga lagi berwarna merah dengan nombor genap.

Ujian nombor 2. Terdapat 6 bola biru dengan nombor dari satu hingga enam.

Berdasarkan contoh ini, kita boleh menamakan kombinasi:

Acara yang boleh dipercayai. Dalam bahasa Sepanyol No. 2, acara "dapatkan bola biru" boleh dipercayai, kerana kebarangkalian kejadiannya ialah 1, kerana semua bola berwarna biru dan tidak boleh terlepas. Manakala acara "dapat bola dengan nombor 1" adalah rawak.
Peristiwa yang mustahil. Dalam bahasa Sepanyol No. 1 dengan bola biru dan merah, acara "dapatkan bola ungu" adalah mustahil, kerana kebarangkalian kejadiannya ialah 0.
Peristiwa yang setara. Dalam bahasa Sepanyol No. 1, acara "dapatkan bola dengan nombor 2" dan "dapatkan bola dengan nombor 3" adalah sama besar kemungkinannya, dan acara "dapatkan bola dengan nombor genap" dan "dapatkan bola dengan nombor 2" ” mempunyai kebarangkalian yang berbeza.
Acara yang serasi. Mendapat enam dalam proses melontar dadu dua kali berturut-turut adalah acara yang serasi.
Peristiwa yang tidak serasi. Dalam bahasa Sepanyol yang sama No. 1 acara "dapat bola merah" dan "dapat bola dengan nombor ganjil" tidak boleh digabungkan dalam pengalaman yang sama.
peristiwa yang bertentangan. Contoh yang paling menarik ialah melambung syiling, di mana kepala lukisan adalah sama seperti tidak melukis ekor, dan jumlah kebarangkalian mereka sentiasa 1 (kumpulan penuh).
Peristiwa tanggungan. Jadi, dalam bahasa Sepanyol No. 1, anda boleh menetapkan sendiri matlamat untuk mengeluarkan bola merah dua kali berturut-turut. Mengeluarkannya atau tidak mengekstraknya pada kali pertama menjejaskan kebarangkalian mengekstraknya untuk kali kedua.

Dapat dilihat bahawa peristiwa pertama secara signifikan mempengaruhi kebarangkalian kedua (40% dan 60%).

Formula Kebarangkalian Peristiwa

Peralihan daripada ramalan nasib kepada data tepat berlaku dengan memindahkan topik ke satah matematik. Iaitu, pertimbangan tentang peristiwa rawak seperti "kebarangkalian tinggi" atau "kebarangkalian minimum" boleh diterjemahkan kepada data berangka tertentu. Ia sudah dibenarkan untuk menilai, membandingkan dan memperkenalkan bahan tersebut ke dalam pengiraan yang lebih kompleks.

Dari sudut pandangan pengiraan, takrifan kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil positif asas kepada bilangan semua kemungkinan hasil pengalaman berkenaan dengan peristiwa tertentu. Kebarangkalian dilambangkan dengan P (A), di mana P bermaksud perkataan "kebarangkalian", yang diterjemahkan daripada bahasa Perancis sebagai "kebarangkalian".

Jadi, formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah:

Di mana m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk peristiwa A, n ialah jumlah semua hasil yang mungkin untuk pengalaman ini. Kebarangkalian sesuatu peristiwa sentiasa antara 0 dan 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Pengiraan kebarangkalian sesuatu peristiwa. Contoh

Mari ambil bahasa Sepanyol. No 1 dengan bola, yang diterangkan sebelum ini: 3 bola biru dengan nombor 1/3/5 dan 3 bola merah dengan nombor 2/4/6.

Berdasarkan ujian ini, beberapa tugas yang berbeza boleh dipertimbangkan:

A - jatuhan bola merah. Terdapat 3 bola merah, dan terdapat 6 varian kesemuanya. Ini adalah contoh paling mudah, di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah P(A)=3/6=0.5.
B - menjatuhkan nombor genap. Terdapat 3 (2,4,6) nombor genap kesemuanya, dan jumlah bilangan pilihan berangka yang mungkin ialah 6. Kebarangkalian kejadian ini ialah P(B)=3/6=0.5.
C - kehilangan nombor yang lebih besar daripada 2. Terdapat 4 pilihan tersebut (3,4,5,6) daripada jumlah bilangan hasil yang mungkin 6. Kebarangkalian peristiwa C ialah P(C)=4/6= 0.67.

Seperti yang dapat dilihat daripada pengiraan, peristiwa C mempunyai kebarangkalian yang lebih tinggi, kerana bilangan hasil positif yang mungkin lebih tinggi daripada di A dan B.

Peristiwa yang tidak serasi

Peristiwa sedemikian tidak boleh muncul serentak dalam pengalaman yang sama. Seperti dalam bahasa Sepanyol No 1, adalah mustahil untuk mendapatkan bola biru dan merah pada masa yang sama. Iaitu, anda boleh mendapatkan sama ada bola biru atau merah. Dengan cara yang sama, nombor genap dan nombor ganjil tidak boleh muncul dalam dadu pada masa yang sama.

Kebarangkalian dua peristiwa dianggap sebagai kebarangkalian jumlah atau hasil duanya. Jumlah peristiwa sedemikian A + B dianggap sebagai peristiwa yang terdiri daripada penampilan peristiwa A atau B, dan hasil darab ABnya - dalam penampilan kedua-duanya. Sebagai contoh, penampilan dua enam serentak pada muka dua dadu dalam satu lontaran.

Jumlah beberapa peristiwa ialah peristiwa yang membayangkan berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya. Hasil daripada beberapa peristiwa adalah kejadian bersama kesemuanya.

Dalam teori kebarangkalian, sebagai peraturan, penggunaan kesatuan "dan" menandakan jumlah, kesatuan "atau" - pendaraban. Formula dengan contoh akan membantu anda memahami logik penambahan dan pendaraban dalam teori kebarangkalian.

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi

Jika kebarangkalian kejadian tidak serasi dipertimbangkan, maka kebarangkalian jumlah peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Sebagai contoh: kami mengira kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol. No. 1 dengan bola biru dan merah akan menjatuhkan nombor antara 1 dan 4. Kami akan mengira bukan dalam satu tindakan, tetapi dengan jumlah kebarangkalian komponen asas. Jadi, dalam eksperimen sedemikian hanya terdapat 6 bola atau 6 daripada semua hasil yang mungkin. Nombor yang memenuhi syarat ialah 2 dan 3. Kebarangkalian mendapat nombor 2 ialah 1/6, kebarangkalian nombor 3 juga ialah 1/6. Kebarangkalian mendapat nombor antara 1 dan 4 ialah:

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi bagi kumpulan lengkap ialah 1.

Jadi, jika dalam eksperimen dengan kubus kita menjumlahkan kebarangkalian untuk mendapatkan semua nombor, maka sebagai hasilnya kita mendapat satu.

Ini juga berlaku untuk peristiwa berlawanan, contohnya, dalam eksperimen dengan syiling, di mana salah satu sisinya ialah peristiwa A, dan satu lagi ialah peristiwa berlawanan Ā, seperti yang diketahui,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Kebarangkalian menghasilkan peristiwa yang tidak serasi

Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila mempertimbangkan berlakunya dua atau lebih peristiwa yang tidak serasi dalam satu pemerhatian. Kebarangkalian peristiwa A dan B akan muncul di dalamnya pada masa yang sama adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian mereka, atau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa dalam No. 1 hasil daripada dua percubaan, bola biru akan muncul dua kali, sama dengan

Iaitu, kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku apabila, hasil daripada dua percubaan dengan pengekstrakan bola, hanya bola biru akan diekstrak, ialah 25%. Sangat mudah untuk melakukan eksperimen praktikal mengenai masalah ini dan melihat sama ada ini sebenarnya berlaku.

Acara Bersama

Peristiwa dianggap bersama apabila penampilan salah satu daripadanya boleh bertepatan dengan penampilan yang lain. Walaupun fakta bahawa ia adalah bersama, kebarangkalian peristiwa bebas dipertimbangkan. Sebagai contoh, membaling dua dadu boleh memberikan keputusan apabila nombor 6 jatuh ke atas kedua-duanya. Walaupun peristiwa itu bertepatan dan muncul pada masa yang sama, mereka bebas antara satu sama lain - hanya satu enam boleh jatuh, dadu kedua tidak mempunyai pengaruh ke atasnya.

Kebarangkalian kejadian bersama dianggap sebagai kebarangkalian jumlahnya.

Kebarangkalian jumlah peristiwa bersama. Contoh

Kebarangkalian jumlah peristiwa A dan B, yang bergabung dalam hubungan antara satu sama lain, adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa itu tolak kebarangkalian hasil mereka (iaitu, pelaksanaan bersama mereka):

R sendi. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Andaikan kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.4. Kemudian acara A - memukul sasaran pada percubaan pertama, B - pada percubaan kedua. Peristiwa-peristiwa ini adalah bersama, kerana kemungkinan untuk mencapai sasaran kedua-dua dari pukulan pertama dan kedua. Tetapi peristiwa tidak bergantung. Apakah kebarangkalian kejadian mengenai sasaran dengan dua pukulan (sekurang-kurangnya satu)? Mengikut formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jawapan kepada soalan ialah: "Kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan dua pukulan ialah 64%."

Formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ini juga boleh digunakan untuk peristiwa tidak serasi, di mana kebarangkalian kejadian bersama peristiwa P(AB) = 0. Ini bermakna kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi boleh dianggap sebagai kes khas daripada formula yang dicadangkan.

Geometri kebarangkalian untuk kejelasan

Menariknya, kebarangkalian jumlah peristiwa bersama boleh diwakili sebagai dua kawasan A dan B yang bersilang antara satu sama lain. Seperti yang anda lihat dari gambar, luas kesatuan mereka adalah sama dengan jumlah kawasan tolak luas persimpangan mereka. Penjelasan geometri ini menjadikan formula yang kelihatan tidak logik lebih mudah difahami. Ambil perhatian bahawa penyelesaian geometri adalah perkara biasa dalam teori kebarangkalian.

Takrifan kebarangkalian jumlah set (lebih daripada dua) peristiwa bersama adalah agak rumit. Untuk mengiranya, anda perlu menggunakan formula yang disediakan untuk kes ini.

Peristiwa tanggungan

Peristiwa bersandar dipanggil jika kejadian satu (A) daripadanya mempengaruhi kebarangkalian kejadian yang lain (B). Selain itu, pengaruh kedua-dua kejadian A dan tidak berlakunya diambil kira. Walaupun peristiwa dipanggil bergantung mengikut definisi, hanya satu daripadanya adalah bergantung (B). Kebarangkalian biasa dilambangkan sebagai P(B) atau kebarangkalian peristiwa bebas. Dalam kes tanggungan, konsep baru diperkenalkan - kebarangkalian bersyarat P A (B), iaitu kebarangkalian peristiwa bergantung B di bawah syarat peristiwa A (hipotesis) telah berlaku, di mana ia bergantung.

Tetapi peristiwa A juga rawak, jadi ia juga mempunyai kebarangkalian yang mesti dan boleh diambil kira dalam pengiraan. Contoh berikut akan menunjukkan cara bekerja dengan peristiwa bergantung dan hipotesis.

Contoh pengiraan kebarangkalian peristiwa bersandar

Contoh yang baik untuk mengira acara bergantung ialah dek standard kad.

Pada contoh dek 36 kad, pertimbangkan peristiwa bergantung. Adalah perlu untuk menentukan kebarangkalian bahawa kad kedua yang dikeluarkan dari dek akan menjadi sut berlian, jika kad pertama yang dikeluarkan ialah:

Rebana.
Satu lagi saman.

Jelas sekali, kebarangkalian peristiwa kedua B bergantung pada A pertama. Jadi, jika pilihan pertama adalah benar, iaitu 1 kad (35) dan 1 berlian (8) kurang dalam dek, kebarangkalian peristiwa B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

Jika pilihan kedua adalah benar, maka terdapat 35 kad dalam dek, dan jumlah rebana (9) masih dikekalkan, maka kebarangkalian peristiwa berikut ialah B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Ia boleh dilihat bahawa jika peristiwa A bersyarat pada fakta bahawa kad pertama adalah berlian, maka kebarangkalian peristiwa B berkurangan, dan sebaliknya.

Pendaraban peristiwa bergantung

Berdasarkan bab sebelumnya, kami menerima peristiwa pertama (A) sebagai fakta, tetapi pada dasarnya, ia mempunyai watak rawak. Kebarangkalian kejadian ini, iaitu pengekstrakan rebana daripada dek kad, adalah sama dengan:

P(A) = 9/36=1/4

Oleh kerana teori itu tidak wujud dengan sendirinya, tetapi dipanggil untuk memenuhi tujuan praktikal, adalah wajar untuk diperhatikan bahawa selalunya kebarangkalian untuk menghasilkan peristiwa bergantung diperlukan.

Menurut teorem hasil darab kebarangkalian peristiwa bersandar, kebarangkalian kejadian peristiwa bergantung bersama A dan B adalah sama dengan kebarangkalian satu peristiwa A, didarab dengan kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B (bergantung kepada A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Kemudian dalam contoh dengan dek, kebarangkalian untuk melukis dua kad dengan sut berlian ialah:

9/36*8/35=0.0571 atau 5.7%

Dan kebarangkalian untuk mengekstrak bukan berlian pada mulanya, dan kemudian berlian, adalah sama dengan:

27/36*9/35=0.19 atau 19%

Ia boleh dilihat bahawa kebarangkalian berlakunya peristiwa B adalah lebih besar, dengan syarat kad sut selain daripada berlian dilukis terlebih dahulu. Keputusan ini agak logik dan boleh difahami.

Jumlah kebarangkalian sesuatu peristiwa

Apabila masalah dengan kebarangkalian bersyarat menjadi pelbagai rupa, ia tidak boleh dikira dengan kaedah konvensional. Apabila terdapat lebih daripada dua hipotesis, iaitu A1, A2, ..., A n , .. membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap di bawah syarat:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Jadi, formula untuk jumlah kebarangkalian untuk peristiwa B dengan kumpulan lengkap peristiwa rawak A1, A2, ..., A n ialah:

Pandangan ke masa depan

Kebarangkalian kejadian rawak adalah penting dalam banyak bidang sains: ekonometrik, statistik, fizik, dsb. Memandangkan sesetengah proses tidak dapat diterangkan secara deterministik, kerana ia sendiri adalah kebarangkalian, kaedah kerja khas diperlukan. Kebarangkalian teori peristiwa boleh digunakan dalam mana-mana bidang teknologi sebagai cara untuk menentukan kemungkinan ralat atau kerosakan.

Boleh dikatakan bahawa, dengan mengenali kebarangkalian, kita entah bagaimana mengambil langkah teoritis ke masa depan, melihatnya melalui prisma formula.

Adalah jelas bahawa setiap peristiwa mempunyai beberapa tahap kemungkinan berlakunya (pelaksanaannya). Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif antara satu sama lain mengikut tahap kemungkinannya, jelas sekali perlu untuk mengaitkan nombor tertentu dengan setiap peristiwa, iaitu lebih besar, lebih besar kemungkinan kejadian itu. Nombor ini dipanggil kebarangkalian kejadian.

Kebarangkalian Peristiwa- ialah ukuran berangka tahap kemungkinan objektif kejadian peristiwa ini.

Pertimbangkan eksperimen stokastik dan peristiwa rawak A yang diperhatikan dalam eksperimen ini. Mari kita ulangi eksperimen ini n kali dan biarkan m(A) ialah bilangan eksperimen di mana peristiwa A berlaku.

Perkaitan (1.1)

dipanggil frekuensi relatif peristiwa A dalam siri eksperimen.

Adalah mudah untuk mengesahkan kesahihan sifat:

jika A dan B tidak serasi (AB= ), maka ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Kekerapan relatif ditentukan hanya selepas satu siri eksperimen dan, secara amnya, mungkin berbeza dari satu siri ke siri. Walau bagaimanapun, pengalaman menunjukkan bahawa dalam banyak kes, apabila bilangan eksperimen meningkat, kekerapan relatif menghampiri nombor tertentu. Fakta kestabilan frekuensi relatif ini telah berulang kali disahkan dan boleh dianggap sebagai eksperimen yang ditubuhkan.

Contoh 1.19.. Jika anda melambung satu syiling, tiada siapa yang boleh meramalkan bahagian mana ia akan mendarat. Tetapi jika anda membuang dua tan syiling, maka semua orang akan mengatakan bahawa kira-kira satu tan akan jatuh seperti jata, iaitu, kekerapan relatif jata jatuh adalah lebih kurang 0.5.

Jika, apabila bilangan eksperimen bertambah, kekerapan relatif peristiwa ν(A) cenderung kepada beberapa nombor tetap, maka kita katakan bahawa peristiwa A adalah stabil secara statistik, dan nombor ini dipanggil kebarangkalian kejadian A.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa TAPI beberapa nombor tetap P(A) dipanggil, yang mana kekerapan relatif ν(A) peristiwa ini cenderung dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen, iaitu,

Definisi ini dipanggil definisi statistik kebarangkalian .

Pertimbangkan beberapa eksperimen stokastik dan biarkan ruang peristiwa asasnya terdiri daripada set peristiwa asas terhingga atau tak terhingga (tetapi boleh dikira) ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . andaikan bahawa setiap peristiwa asas ω i diberikan nombor tertentu - р i , yang mencirikan tahap kemungkinan berlakunya peristiwa asas ini dan memenuhi sifat berikut:

Nombor p i sedemikian dipanggil kebarangkalian peristiwa asasω i .

Sekarang biarkan A menjadi peristiwa rawak yang diperhatikan dalam eksperimen ini, dan set tertentu sepadan dengannya

Dalam suasana sedemikian kebarangkalian peristiwa TAPI dipanggil jumlah kebarangkalian peristiwa asas yang memihak kepada A(termasuk dalam set A yang sepadan):

(1.4)

Kebarangkalian yang diperkenalkan dengan cara ini mempunyai sifat yang sama dengan frekuensi relatif, iaitu:

Dan jika AB \u003d (A dan B tidak serasi),

maka P(A+B) = P(A) + P(B)

Sesungguhnya, menurut (1.4)

Dalam hubungan terakhir, kami telah mengambil kesempatan daripada fakta bahawa tiada acara asas boleh secara serentak memihak kepada dua acara yang tidak serasi.

Kami amat ambil perhatian bahawa teori kebarangkalian tidak menunjukkan kaedah untuk menentukan p i, ia mesti dicari daripada pertimbangan praktikal atau diperoleh daripada eksperimen statistik yang sesuai.

Sebagai contoh, pertimbangkan skema klasik teori kebarangkalian. Untuk melakukan ini, pertimbangkan eksperimen stokastik, ruang peristiwa asas yang terdiri daripada bilangan unsur terhingga (n). Selain itu, mari kita andaikan bahawa semua peristiwa asas ini berkemungkinan sama, iaitu, kebarangkalian peristiwa asas ialah p(ω i)=p i =p. Oleh itu ia mengikutinya

Contoh 1.20. Apabila melambung syiling simetri, jata dan ekor adalah sama mungkin, kebarangkalian mereka ialah 0.5.

Contoh 1.21. Apabila dadu simetri dilempar, semua muka berkemungkinan sama, kebarangkalian mereka ialah 1/6.

Biarkan sekarang peristiwa A digemari oleh m peristiwa asas, ia biasanya dipanggil hasil yang memihak kepada acara A. Kemudian

Dapat takrifan klasik kebarangkalian: kebarangkalian P(A) peristiwa A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada peristiwa A kepada jumlah bilangan hasil

Contoh 1.22. Sebuah guci mengandungi m bola putih dan n bola hitam. Apakah kebarangkalian untuk melukis bola putih?

Penyelesaian. Terdapat m+n acara asas secara keseluruhan. Mereka semua sama-sama luar biasa. Peristiwa yang menggembirakan A daripada mereka m. Akibatnya, .

Sifat-sifat berikut mengikut takrifan kebarangkalian:

Harta 1. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

Sesungguhnya, jika acara itu boleh dipercayai, maka setiap keputusan asas ujian itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini m=p, Akibatnya,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Harta 2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sememangnya, jika peristiwa itu mustahil, maka tiada satu pun keputusan asas perbicaraan itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini t= 0, oleh itu, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Hartanah 3.Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Sesungguhnya, hanya sebahagian daripada jumlah hasil asas ujian yang memihak kepada peristiwa rawak. Iaitu, 0≤m≤n, yang bermaksud 0≤m/n≤1, oleh itu, kebarangkalian sebarang kejadian memenuhi ketaksamaan berganda 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Membandingkan takrifan kebarangkalian (1.5) dan kekerapan relatif (1.1), kami membuat kesimpulan: takrifan kebarangkalian tidak memerlukan ujian untuk dilakukan dalam realiti; takrifan kekerapan relatif mengandaikan bahawa ujian sebenarnya telah dijalankan. Dalam kata lain, kebarangkalian dikira sebelum pengalaman, dan kekerapan relatif - selepas pengalaman.

Walau bagaimanapun, pengiraan kebarangkalian memerlukan maklumat awal tentang bilangan atau kebarangkalian hasil asas yang memihak kepada peristiwa tertentu. Dengan ketiadaan maklumat awal tersebut, data empirikal digunakan untuk menentukan kebarangkalian, iaitu kekerapan relatif kejadian ditentukan daripada keputusan eksperimen stokastik.

Contoh 1.23. Jabatan kawalan teknikal ditemui 3 bahagian bukan standard dalam kumpulan 80 bahagian yang dipilih secara rawak. Kekerapan relatif kejadian bahagian bukan piawai r (A)= 3/80.

Contoh 1.24. Dengan tujuan.dihasilkan 24 pukulan, dan 19 hits telah didaftarkan. Kekerapan relatif memukul sasaran. r (A)=19/24.

Pemerhatian jangka panjang telah menunjukkan bahawa jika eksperimen dijalankan di bawah keadaan yang sama, di mana setiap satunya bilangan ujian adalah cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat kestabilan. Harta ini adalah bahawa dalam pelbagai eksperimen kekerapan relatif berubah sedikit (semakin kurang, lebih banyak ujian dibuat), turun naik di sekitar nombor tetap tertentu. Ternyata nombor malar ini boleh diambil sebagai nilai anggaran kebarangkalian.

Hubungan antara kekerapan relatif dan kebarangkalian akan diterangkan dengan lebih terperinci dan lebih tepat di bawah. Sekarang mari kita menggambarkan sifat kestabilan dengan contoh.

Contoh 1.25. Menurut statistik Sweden, kadar kelahiran relatif kanak-kanak perempuan pada tahun 1935 mengikut bulan dicirikan oleh nombor berikut (nombor disusun mengikut urutan bulan, bermula dari Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Kekerapan relatif berubah-ubah di sekitar nombor 0.481, yang boleh diambil sebagai nilai anggaran untuk kebarangkalian mempunyai anak perempuan.

Ambil perhatian bahawa statistik negara yang berbeza memberikan nilai frekuensi relatif yang lebih kurang sama.

Contoh 1.26. Eksperimen berulang telah dijalankan melambung syiling, di mana bilangan kejadian "jata" dikira. Keputusan beberapa eksperimen ditunjukkan dalam jadual.

Tidak mungkin ramai orang berfikir sama ada mungkin untuk mengira peristiwa yang lebih atau kurang rawak. Secara ringkas, adakah realistik untuk mengetahui bahagian mana yang akan jatuh seterusnya. Soalan inilah yang ditanya oleh dua saintis hebat, yang meletakkan asas untuk sains seperti teori kebarangkalian, di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa dikaji dengan agak meluas.

asal usul

Jika anda cuba mentakrifkan konsep sedemikian sebagai teori kebarangkalian, anda mendapat perkara berikut: ini adalah salah satu cabang matematik yang mengkaji ketekalan peristiwa rawak. Sudah tentu, konsep ini tidak benar-benar mendedahkan keseluruhan intipati, jadi perlu untuk mempertimbangkannya dengan lebih terperinci.

Saya ingin bermula dengan pencipta teori. Seperti yang dinyatakan di atas, terdapat dua daripada mereka, dan mereka adalah antara orang pertama yang cuba mengira keputusan sesuatu peristiwa menggunakan formula dan pengiraan matematik. Secara keseluruhannya, permulaan sains ini muncul pada Zaman Pertengahan. Pada masa itu, pelbagai pemikir dan saintis cuba menganalisis perjudian, seperti rolet, dadu, dan sebagainya, dengan itu mewujudkan corak dan peratusan nombor tertentu yang jatuh. Asas itu diletakkan pada abad ketujuh belas oleh saintis yang disebutkan di atas.

Pada mulanya, kerja mereka tidak boleh dikaitkan dengan pencapaian hebat dalam bidang ini, kerana semua yang mereka lakukan hanyalah fakta empirikal, dan eksperimen dibuat secara visual, tanpa menggunakan formula. Dari masa ke masa, ia ternyata mencapai keputusan yang hebat, yang muncul sebagai hasil daripada memerhatikan lemparan dadu. Alat inilah yang membantu menghasilkan formula pertama yang boleh difahami.

Orang yang berfikiran sama

Adalah mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christian Huygens, dalam proses mengkaji topik yang dipanggil "teori kebarangkalian" (kebarangkalian sesuatu peristiwa diliputi dengan tepat dalam sains ini). Orang ini sangat menarik. Dia, seperti para saintis yang dibentangkan di atas, cuba mendapatkan keteraturan kejadian rawak dalam bentuk formula matematik. Perlu diperhatikan bahawa dia tidak melakukan ini bersama-sama dengan Pascal dan Fermat, iaitu, semua karyanya tidak sama sekali bersilang dengan fikiran ini. Huygens dibawa keluar

Fakta menarik ialah kerjanya keluar jauh sebelum hasil kerja para penemu, atau lebih tepatnya, dua puluh tahun lebih awal. Antara konsep yang ditetapkan, yang paling terkenal ialah:

konsep kebarangkalian sebagai magnitud peluang;
jangkaan matematik untuk kes diskret;
teorem pendaraban dan penambahan kebarangkalian.

Ia juga mustahil untuk tidak mengingati siapa yang turut memberi sumbangan besar kepada kajian masalah tersebut. Menjalankan ujiannya sendiri, bebas daripada sesiapa pun, dia berjaya mengemukakan bukti hukum bilangan besar. Sebaliknya, saintis Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, dapat membuktikan teorem asal. Dari saat inilah teori kebarangkalian mula digunakan untuk menganalisis ralat semasa pemerhatian. Para saintis Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, juga tidak dapat memintas sains ini. Berdasarkan kerja yang dilakukan oleh jenius yang hebat, mereka menetapkan subjek ini sebagai cabang matematik. Angka-angka ini telah bekerja pada akhir abad kesembilan belas, dan terima kasih kepada sumbangan mereka, fenomena seperti:

hukum bilangan besar;
teori rantai Markov;
teorem had pusat.

Jadi, dengan sejarah kelahiran sains dan dengan orang-orang utama yang mempengaruhinya, semuanya lebih kurang jelas. Kini tiba masanya untuk mengukuhkan semua fakta.

Konsep asas

Sebelum menyentuh undang-undang dan teorem, adalah wajar untuk mengkaji konsep asas teori kebarangkalian. Acara itu mengambil peranan utama di dalamnya. Topik ini agak besar, tetapi tanpa itu tidak mungkin untuk memahami segala-galanya.

Peristiwa dalam teori kebarangkalian ialah sebarang set hasil eksperimen. Tidak begitu banyak konsep fenomena ini. Jadi, saintis Lotman, yang bekerja di kawasan ini, berkata bahawa dalam kes ini kita bercakap tentang apa yang "berlaku, walaupun ia mungkin tidak berlaku."

Peristiwa rawak (teori kebarangkalian memberi perhatian khusus kepada mereka) adalah konsep yang membayangkan secara mutlak sebarang fenomena yang mempunyai keupayaan untuk berlaku. Atau, sebaliknya, senario ini mungkin tidak berlaku apabila banyak syarat dipenuhi. Ia juga bernilai mengetahui bahawa ia adalah peristiwa rawak yang menangkap keseluruhan volum fenomena yang telah berlaku. Teori kebarangkalian menunjukkan bahawa semua keadaan boleh diulang secara berterusan. Kelakuan mereka itulah yang dipanggil "eksperimen" atau "ujian".

Peristiwa tertentu ialah peristiwa yang 100% berlaku dalam ujian tertentu. Sehubungan itu, peristiwa yang mustahil adalah satu peristiwa yang tidak akan berlaku.

Gabungan sepasang tindakan (bersyarat kes A dan kes B) adalah fenomena yang berlaku serentak. Mereka ditetapkan sebagai AB.

Jumlah pasangan peristiwa A dan B ialah C, dengan kata lain, jika sekurang-kurangnya satu daripadanya berlaku (A atau B), maka C akan diperoleh. Formula fenomena yang diterangkan ditulis seperti berikut: C \u003d A + B.

Peristiwa berpisah dalam teori kebarangkalian membayangkan bahawa kedua-dua kes adalah saling eksklusif. Mereka tidak boleh berlaku pada masa yang sama. Peristiwa bersama dalam teori kebarangkalian adalah antipodanya. Ini menunjukkan bahawa jika A berlaku, maka ia tidak menghalang B dalam apa cara sekalipun.

Peristiwa bertentangan (teori kebarangkalian memperkatakan dengan terperinci) mudah difahami. Adalah lebih baik untuk berurusan dengan mereka secara perbandingan. Ia hampir sama dengan peristiwa tidak serasi dalam teori kebarangkalian. Tetapi perbezaan mereka terletak pada fakta bahawa salah satu daripada banyak fenomena dalam mana-mana keadaan mesti berlaku.

Peristiwa yang berkemungkinan sama ialah tindakan tersebut, kemungkinan pengulangannya adalah sama. Untuk menjadikannya lebih jelas, kita boleh bayangkan lambungan syiling: kehilangan salah satu sisinya berkemungkinan sama untuk jatuh dari sisi yang lain.

Acara yang menggembirakan lebih mudah dilihat dengan contoh. Katakan terdapat episod B dan episod A. Yang pertama ialah gulungan dadu dengan rupa nombor ganjil, dan yang kedua ialah penampilan nombor lima pada dadu. Kemudian ternyata A memihak kepada B.

Peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian diunjurkan hanya pada dua atau lebih kes dan membayangkan kebebasan sebarang tindakan daripada yang lain. Sebagai contoh, A - menjatuhkan ekor apabila membaling syiling, dan B - mendapatkan bicu dari geladak. Ia adalah peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian. Pada ketika ini, ia menjadi lebih jelas.

Peristiwa bersandar dalam teori kebarangkalian juga boleh diterima hanya untuk setnya. Mereka membayangkan pergantungan antara satu sama lain, iaitu, fenomena B boleh berlaku hanya jika A telah berlaku atau, sebaliknya, tidak berlaku apabila ini adalah syarat utama untuk B.

Hasil eksperimen rawak yang terdiri daripada satu komponen ialah peristiwa asas. Teori kebarangkalian menjelaskan bahawa ini adalah fenomena yang berlaku sekali sahaja.

Formula Asas

Jadi, konsep "peristiwa", "teori kebarangkalian" telah dipertimbangkan di atas, takrif istilah utama sains ini juga diberikan. Kini tiba masanya untuk berkenalan secara langsung dengan formula penting. Ungkapan ini secara matematik mengesahkan semua konsep utama dalam subjek yang sukar seperti teori kebarangkalian. Kebarangkalian acara memainkan peranan yang besar di sini juga.

Adalah lebih baik untuk memulakan dengan yang utama.Dan sebelum meneruskannya, ia patut mempertimbangkan apa itu.

Kombinatorik adalah terutamanya cabang matematik, ia berkaitan dengan kajian sejumlah besar integer, serta pelbagai pilih atur kedua-dua nombor itu sendiri dan elemennya, pelbagai data, dll., yang membawa kepada kemunculan beberapa kombinasi. Selain teori kebarangkalian, cabang ini penting untuk statistik, sains komputer, dan kriptografi.

Jadi, kini anda boleh beralih kepada pembentangan formula itu sendiri dan definisinya.

Yang pertama ini akan menjadi ungkapan untuk bilangan pilih atur, ia kelihatan seperti ini:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Persamaan hanya terpakai jika unsur-unsur berbeza hanya dalam susunannya.

Sekarang formula peletakan akan dipertimbangkan, ia kelihatan seperti ini:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ungkapan ini digunakan bukan sahaja untuk susunan unsur, tetapi juga untuk komposisinya.

Persamaan ketiga daripada kombinatorik, dan ia juga yang terakhir, dipanggil formula untuk bilangan gabungan:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Gabungan dipanggil pemilihan yang tidak tertib, masing-masing, dan peraturan ini terpakai kepada mereka.

Ternyata mudah untuk mengetahui formula kombinatorik, kini kita boleh beralih kepada definisi klasik kebarangkalian. Ungkapan ini kelihatan seperti ini:

Dalam formula ini, m ialah bilangan keadaan yang sesuai untuk peristiwa A, dan n ialah bilangan mutlak semua hasil asas yang sama mungkin dan asas.

Terdapat sejumlah besar ungkapan, artikel itu tidak akan merangkumi kesemuanya, tetapi yang paling penting daripada mereka akan disentuh, seperti, sebagai contoh, kebarangkalian jumlah peristiwa:

P(A + B) = P(A) + P(B) - teorem ini adalah untuk menambah peristiwa yang tidak serasi sahaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dan yang ini adalah untuk menambah yang serasi sahaja.

Kebarangkalian menghasilkan acara:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - teorem ini adalah untuk peristiwa bebas;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - dan yang ini adalah untuk tanggungan.

Formula acara akan menamatkan senarai. Teori kebarangkalian memberitahu kita tentang teorem Bayes, yang kelihatan seperti ini:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Dalam formula ini, H 1 , H 2 , …, H n ialah kumpulan penuh hipotesis.

Contoh

Jika anda mengkaji dengan teliti mana-mana cabang matematik, ia tidak lengkap tanpa latihan dan penyelesaian sampel. Begitu juga teori kebarangkalian: peristiwa, contoh di sini adalah komponen penting yang mengesahkan pengiraan saintifik.

Formula untuk bilangan pilih atur

Katakan terdapat tiga puluh kad dalam satu dek kad, bermula dengan nilai muka satu. Soalan seterusnya. Berapa banyak cara yang ada untuk menyusun dek supaya kad dengan nilai muka satu dan dua tidak bersebelahan?

Tugas telah ditetapkan, sekarang mari kita teruskan untuk menyelesaikannya. Mula-mula anda perlu menentukan bilangan pilih atur tiga puluh elemen, untuk ini kita mengambil formula di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan peraturan ini, kita akan mengetahui berapa banyak pilihan yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeza, tetapi kita perlu menolak daripada mereka yang mana kad pertama dan kedua adalah seterusnya. Untuk melakukan ini, mari kita mulakan dengan pilihan apabila yang pertama berada di atas yang kedua. Ternyata kad pertama boleh mengambil dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga dua puluh sembilan, dan kad kedua dari yang kedua hingga ketiga puluh, ternyata hanya dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kad. Sebaliknya, selebihnya boleh mengambil dua puluh lapan tempat, dan dalam sebarang susunan. Iaitu, untuk pilih atur dua puluh lapan kad, terdapat dua puluh lapan pilihan P_28 = 28!

Akibatnya, ternyata jika kita mempertimbangkan penyelesaian apabila kad pertama berada di atas yang kedua, terdapat 29 ⋅ 28 kemungkinan tambahan! = 29!

Menggunakan kaedah yang sama, anda perlu mengira bilangan pilihan berlebihan untuk kes apabila kad pertama berada di bawah yang kedua. Ia juga ternyata 29 ⋅ 28! = 29!

Daripada ini, terdapat 2 ⋅ 29! pilihan tambahan, manakala terdapat 30 cara yang diperlukan untuk membina geladak! - 2 ⋅ 29!. Ia kekal hanya untuk mengira.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sekarang anda perlu mendarab semua nombor daripada satu hingga dua puluh sembilan di antara mereka sendiri, dan kemudian pada akhirnya darab semuanya dengan 28. Jawapannya ialah 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Contoh penyelesaian. Formula untuk Nombor Penempatan

Dalam masalah ini, anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan lima belas jilid pada satu rak, tetapi dengan syarat terdapat tiga puluh jilid secara keseluruhan.

Dalam masalah ini, penyelesaiannya sedikit lebih mudah daripada yang sebelumnya. Menggunakan formula yang telah diketahui, adalah perlu untuk mengira jumlah susunan daripada tiga puluh jilid lima belas.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7007 3

Jawapannya, masing-masing, akan sama dengan 202,843,204,931,727,360,000.

Sekarang mari kita ambil tugas dengan lebih sukar. Anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun tiga puluh buku di dua rak buku, dengan syarat hanya lima belas jilid boleh diletakkan di satu rak.

Sebelum memulakan penyelesaian, saya ingin menjelaskan bahawa beberapa masalah diselesaikan dalam beberapa cara, jadi terdapat dua cara dalam satu ini, tetapi formula yang sama digunakan dalam kedua-duanya.

Dalam masalah ini, anda boleh mengambil jawapan dari yang sebelumnya, kerana di sana kami mengira berapa kali anda boleh mengisi rak dengan lima belas buku dengan cara yang berbeza. Ternyata A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Kami mengira rak kedua mengikut formula pilih atur, kerana lima belas buku diletakkan di dalamnya, manakala hanya lima belas yang tinggal. Kami menggunakan formula P_15 = 15!.

Ternyata secara keseluruhan akan ada A_30^15 ⋅ P_15 cara, tetapi, sebagai tambahan, hasil darab semua nombor dari tiga puluh hingga enam belas perlu didarab dengan hasil darab nombor dari satu hingga lima belas, sebagai hasilnya, hasil darab semua nombor daripada satu hingga tiga puluh akan diperolehi, iaitu jawapannya bersamaan dengan 30!

Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara yang berbeza - lebih mudah. Untuk melakukan ini, anda boleh bayangkan bahawa terdapat satu rak untuk tiga puluh buku. Kesemuanya diletakkan di atas kapal terbang ini, tetapi kerana syaratnya memerlukan dua rak, kami memotong satu panjang menjadi dua, ternyata dua lima belas setiap satu. Daripada ini ternyata pilihan penempatan boleh P_30 = 30!.

Contoh penyelesaian. Formula untuk nombor gabungan

Sekarang kita akan mempertimbangkan varian masalah ketiga daripada kombinatorik. Anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun lima belas buku, dengan syarat anda perlu memilih daripada tiga puluh buku yang benar-benar serupa.

Untuk penyelesaian, sudah tentu, formula untuk bilangan gabungan akan digunakan. Dari syarat itu menjadi jelas bahawa susunan lima belas buku yang sama adalah tidak penting. Oleh itu, pada mulanya anda perlu mengetahui jumlah gabungan tiga puluh buku daripada lima belas.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : lima belas ! = 155 117 520

Itu sahaja. Menggunakan formula ini, dalam masa yang sesingkat mungkin untuk menyelesaikan masalah sedemikian, jawapannya, masing-masing, ialah 155 117 520.

Contoh penyelesaian. Takrif klasik kebarangkalian

Menggunakan formula di atas, anda boleh mencari jawapan dalam masalah mudah. Tetapi ia akan membantu untuk melihat secara visual dan mengesan perjalanan tindakan.

Masalahnya diberikan bahawa terdapat sepuluh bola yang benar-benar serupa dalam urn. Daripada jumlah ini, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari urn. Anda perlu mengetahui kebarangkalian mendapat warna biru.

Untuk menyelesaikan masalah, adalah perlu untuk menetapkan mendapatkan bola biru sebagai peristiwa A. Pengalaman ini boleh mempunyai sepuluh hasil, yang seterusnya, adalah asas dan kemungkinan yang sama. Pada masa yang sama, enam daripada sepuluh adalah sesuai untuk acara A. Kami menyelesaikan menggunakan formula:

P(A) = 6: 10 = 0.6

Dengan menggunakan formula ini, kami mendapati bahawa kebarangkalian mendapat bola biru ialah 0.6.

Contoh penyelesaian. Kebarangkalian jumlah peristiwa

Kini satu varian akan dibentangkan, yang diselesaikan menggunakan formula untuk kebarangkalian jumlah peristiwa. Jadi, dalam keadaan yang diberikan bahawa terdapat dua kotak, yang pertama mengandungi satu bola kelabu dan lima bola putih, dan yang kedua mengandungi lapan bola kelabu dan empat bola putih. Akibatnya, salah satu daripadanya telah diambil dari kotak pertama dan kedua. Ia adalah perlu untuk mengetahui apakah peluang bahawa bola yang dikeluarkan akan menjadi kelabu dan putih.

Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu menetapkan acara.

Jadi, A - ambil bola kelabu dari kotak pertama: P(A) = 1/6.
A '- mereka mengambil bola putih juga dari kotak pertama: P (A ") \u003d 5/6.
B - bola kelabu telah dikeluarkan dari kotak kedua: P(B) = 2/3.
B' - mereka mengambil bola kelabu dari kotak kedua: P(B") = 1/3.

Mengikut keadaan masalah, adalah perlu bahawa salah satu fenomena berlaku: AB 'atau A'B. Dengan menggunakan formula, kita dapat: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sekarang formula untuk mendarab kebarangkalian telah digunakan. Seterusnya, untuk mengetahui jawapannya, anda perlu menggunakan persamaan untuk penambahan mereka:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Jadi, dengan menggunakan formula, anda boleh menyelesaikan masalah yang sama.

Hasil

Artikel tersebut memberikan maklumat mengenai topik "Teori Kebarangkalian", di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa memainkan peranan penting. Sudah tentu, tidak semuanya diambil kira, tetapi, berdasarkan teks yang dibentangkan, seseorang secara teorinya boleh membiasakan diri dengan bahagian matematik ini. Sains yang dimaksudkan boleh berguna bukan sahaja dalam kerja profesional, tetapi juga dalam kehidupan seharian. Dengan bantuannya, anda boleh mengira sebarang kemungkinan sebarang peristiwa.

Teks itu juga menyentuh tarikh penting dalam sejarah pembentukan teori kebarangkalian sebagai sains, dan nama-nama orang yang karyanya dilaburkan di dalamnya. Ini adalah bagaimana rasa ingin tahu manusia membawa kepada fakta bahawa orang belajar mengira walaupun peristiwa rawak. Dahulu mereka hanya berminat dengannya, tetapi hari ini semua orang sudah tahu mengenainya. Dan tiada siapa yang akan mengatakan apa yang menanti kita pada masa hadapan, apakah penemuan cemerlang lain yang berkaitan dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Tetapi satu perkara yang pasti - penyelidikan tidak berdiam diri!

"Randomness is not accidental"... Bunyinya seperti kata seorang ahli falsafah, tetapi sebenarnya, kajian tentang kemalangan adalah takdir ilmu matematik yang hebat. Dalam matematik, peluang adalah teori kebarangkalian. Formula dan contoh tugas, serta definisi utama sains ini akan dibentangkan dalam artikel.

Apakah Teori Kebarangkalian?

Teori kebarangkalian adalah salah satu disiplin matematik yang mengkaji peristiwa rawak.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika anda melambungkan syiling ke atas, ia boleh jatuh kepala atau ekor. Selagi syiling berada di udara, kedua-dua kemungkinan ini adalah mungkin. Iaitu, kebarangkalian akibat yang mungkin berkorelasi 1:1. Jika seseorang diambil dari dek dengan 36 kad, maka kebarangkalian akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tiada apa yang perlu diterokai dan diramalkan, terutamanya dengan bantuan formula matematik. Walau bagaimanapun, jika anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, maka anda boleh mengenal pasti corak tertentu dan, berdasarkannya, meramalkan hasil peristiwa dalam keadaan lain.

Untuk meringkaskan semua perkara di atas, teori kebarangkalian dalam pengertian klasik mengkaji kemungkinan berlakunya salah satu peristiwa yang mungkin dalam pengertian berangka.

Dari lembaran sejarah

Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas pertama muncul pada Zaman Pertengahan yang jauh, apabila percubaan untuk meramalkan hasil permainan kad pertama kali timbul.

Pada mulanya, teori kebarangkalian tidak ada kaitan dengan matematik. Ia dibenarkan oleh fakta atau sifat empirikal sesuatu peristiwa yang boleh diterbitkan semula dalam amalan. Karya pertama dalam bidang ini sebagai disiplin matematik muncul pada abad ke-17. Pengasasnya ialah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Untuk masa yang lama mereka belajar perjudian dan melihat corak tertentu, yang mereka memutuskan untuk memberitahu orang ramai.

Teknik yang sama telah dicipta oleh Christian Huygens, walaupun dia tidak biasa dengan hasil penyelidikan Pascal dan Fermat. Konsep "teori kebarangkalian", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan oleh beliau.

Tidak penting ialah karya Jacob Bernoulli, teorem Laplace dan Poisson. Mereka menjadikan teori kebarangkalian lebih seperti disiplin matematik. Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas asas mendapat bentuknya sekarang terima kasih kepada aksiom Kolmogorov. Hasil daripada semua perubahan, teori kebarangkalian telah menjadi salah satu cabang matematik.

Konsep asas teori kebarangkalian. Perkembangan

Konsep utama disiplin ini ialah "peristiwa". Acara terdiri daripada tiga jenis:

Boleh dipercayai. Perkara yang akan berlaku juga (syiling akan jatuh).
Mustahil. Peristiwa yang tidak akan berlaku dalam mana-mana senario (syiling akan kekal tergantung di udara).
rawak. Perkara yang akan atau tidak akan berlaku. Mereka boleh dipengaruhi oleh pelbagai faktor yang sangat sukar untuk diramalkan. Jika kita bercakap tentang duit syiling, maka faktor rawak yang boleh menjejaskan hasilnya: ciri fizikal duit syiling, bentuknya, kedudukan awal, daya lemparan, dll.

Semua peristiwa dalam contoh dilambangkan dengan huruf Latin besar, kecuali R, yang mempunyai peranan yang berbeza. Sebagai contoh:

A = "pelajar datang ke kuliah."
Ā = "pelajar tidak datang ke kuliah".

Dalam tugas praktikal, peristiwa biasanya direkodkan dalam perkataan.

Salah satu ciri acara yang paling penting ialah kemungkinan yang sama. Iaitu, jika anda melambungkan syiling, semua varian kejatuhan awal adalah mungkin sehingga ia jatuh. Tetapi peristiwa juga tidak sama mungkin. Ini berlaku apabila seseorang dengan sengaja mempengaruhi hasilnya. Contohnya, "ditanda" bermain kad atau dadu, di mana pusat graviti dialihkan.

Acara juga serasi dan tidak serasi. Acara yang serasi tidak mengecualikan kejadian antara satu sama lain. Sebagai contoh:

A = "pelajar itu datang ke kuliah."
B = "pelajar itu datang ke kuliah."

Peristiwa ini bebas antara satu sama lain, dan penampilan salah satu daripadanya tidak menjejaskan penampilan yang lain. Peristiwa yang tidak serasi ditakrifkan oleh fakta bahawa kejadian satu menghalang kejadian yang lain. Jika kita bercakap tentang duit syiling yang sama, maka kehilangan "ekor" menjadikannya mustahil untuk penampilan "kepala" dalam eksperimen yang sama.

Tindakan pada peristiwa

Peristiwa boleh didarab dan ditambah, masing-masing, penghubung logik "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.

Jumlah ditentukan oleh fakta bahawa sama ada peristiwa A, atau B, atau kedua-duanya boleh berlaku pada masa yang sama. Dalam kes apabila ia tidak serasi, pilihan terakhir adalah mustahil, sama ada A atau B akan tercicir.

Pendaraban peristiwa terdiri daripada rupa A dan B pada masa yang sama.

Kini anda boleh memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingati asas, teori kebarangkalian dan formula. Contoh penyelesaian masalah di bawah.

Latihan 1: Firma itu membida kontrak untuk tiga jenis kerja. Peristiwa yang mungkin berlaku:

A = "firma akan menerima kontrak pertama."
A 1 = "firma tidak akan menerima kontrak pertama."
B = "firma akan menerima kontrak kedua."
B 1 = "firma tidak akan menerima kontrak kedua"
C = "firma akan menerima kontrak ketiga."
C 1 = "firma tidak akan menerima kontrak ketiga."

Mari cuba nyatakan situasi berikut menggunakan tindakan pada peristiwa:

K = "firma akan menerima semua kontrak."

Dalam bentuk matematik, persamaan akan kelihatan seperti ini: K = ABC.

M = "firma tidak akan menerima satu kontrak."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Kami merumitkan tugas: H = "firma akan menerima satu kontrak." Oleh kerana tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima oleh firma (yang pertama, kedua atau ketiga), adalah perlu untuk merekodkan keseluruhan julat peristiwa yang mungkin:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah satu siri peristiwa di mana firma itu tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin juga direkodkan dengan kaedah yang sepadan. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan sekumpulan "ATAU". Jika kita menterjemah contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka syarikat akan menerima sama ada kontrak ketiga, atau kedua, atau yang pertama. Begitu juga, anda boleh menulis syarat lain dalam disiplin "Teori Kebarangkalian". Formula dan contoh penyelesaian masalah yang dibentangkan di atas akan membantu anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kebarangkalian

Mungkin, dalam disiplin matematik ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah konsep utama. Terdapat 3 definisi kebarangkalian:

klasik;
statistik;
geometri.

Masing-masing mempunyai tempatnya dalam kajian kebarangkalian. Teori kebarangkalian, formula dan contoh (Gred 9) kebanyakannya menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

Kebarangkalian situasi A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada kejadiannya kepada bilangan semua hasil yang mungkin.

Formula kelihatan seperti ini: P (A) \u003d m / n.

Dan, sebenarnya, satu peristiwa. Jika kebalikan A berlaku, ia boleh ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m ialah bilangan kes yang mungkin menguntungkan.

n - semua peristiwa yang boleh berlaku.

Contohnya, A \u003d "tarik keluar kad saman hati." Terdapat 36 kad dalam dek standard, 9 daripadanya adalah hati. Oleh itu, formula untuk menyelesaikan masalah akan kelihatan seperti:

P(A)=9/36=0.25.

Akibatnya, kebarangkalian bahawa kad yang sesuai dengan hati akan diambil dari dek ialah 0.25.

kepada matematik yang lebih tinggi

Kini telah diketahui sedikit apa itu teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian tugasan yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, teori kebarangkalian juga terdapat dalam matematik yang lebih tinggi, yang diajar di universiti. Selalunya, mereka beroperasi dengan definisi geometri dan statistik bagi teori dan formula kompleks.

Teori kebarangkalian sangat menarik. Formula dan contoh (matematik yang lebih tinggi) adalah lebih baik untuk mula belajar dari yang kecil - dari definisi statistik (atau kekerapan) kebarangkalian.

Pendekatan statistik tidak bercanggah dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kes pertama adalah perlu untuk menentukan dengan tahap kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku, maka dalam kaedah ini adalah perlu untuk menunjukkan berapa kerap ia akan berlaku. Di sini konsep baru "kekerapan relatif" diperkenalkan, yang boleh dilambangkan dengan W n (A). Formulanya tidak berbeza dengan klasik:

Jika formula klasik dikira untuk peramalan, maka formula statistik dikira mengikut keputusan eksperimen. Ambil, sebagai contoh, tugas kecil.

Jabatan kawalan teknologi menyemak produk untuk kualiti. Di antara 100 produk, 3 didapati tidak berkualiti. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian kekerapan produk berkualiti?

A = "penampilan produk berkualiti."

W n (A)=97/100=0.97

Oleh itu, kekerapan produk berkualiti ialah 0.97. Dari mana anda dapat 97? Daripada 100 produk yang diperiksa, 3 ternyata tidak berkualiti. Kita tolak 3 daripada 100, kita dapat 97, ini adalah kuantiti produk yang berkualiti.

Sedikit mengenai kombinatorik

Satu lagi kaedah teori kebarangkalian dipanggil kombinatorik. Prinsip asasnya ialah jika pilihan A tertentu boleh dibuat dalam m cara yang berbeza, dan pilihan B dalam n cara yang berbeza, maka pilihan A dan B boleh dibuat dengan mendarab.

Sebagai contoh, terdapat 5 jalan dari bandar A ke bandar B. Terdapat 4 laluan dari bandar B ke bandar C. Terdapat berapa banyak cara untuk pergi dari bandar A ke bandar C?

Ia mudah: 5x4 = 20, iaitu, terdapat dua puluh cara berbeza untuk pergi dari titik A ke titik C.

Mari kita membuat tugas lebih sukar. Berapa banyak cara yang ada untuk bermain kad dalam solitaire? Dalam dek 36 kad, ini adalah titik permulaan. Untuk mengetahui bilangan cara, anda perlu "tolak" satu kad dari titik permulaan dan darab.

Iaitu, 36x35x34x33x32…x2x1= hasilnya tidak muat pada skrin kalkulator, jadi ia boleh ditandakan sebagai 36!. Tandakan "!" di sebelah nombor menunjukkan bahawa keseluruhan siri nombor didarab antara mereka sendiri.

Dalam kombinatorik, terdapat konsep seperti pilih atur, penempatan dan gabungan. Setiap daripada mereka mempunyai formula sendiri.

Set tertib elemen set dipanggil susun atur. Peletakan boleh berulang, bermakna satu elemen boleh digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, apabila unsur-unsur tidak diulang. n ialah semua elemen, m ialah elemen yang mengambil bahagian dalam penempatan. Formula untuk penempatan tanpa ulangan akan kelihatan seperti:

A n m =n!/(n-m)!

Sambungan bagi n elemen yang berbeza hanya mengikut susunan peletakan dipanggil pilih atur. Dalam matematik, ini kelihatan seperti: P n = n!

Gabungan n unsur oleh m ialah sebatian yang mana penting unsur-unsur tersebut dan jumlah bilangannya. Formula akan kelihatan seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

Formula Bernoulli

Dalam teori kebarangkalian, dan juga dalam setiap disiplin, terdapat karya penyelidik yang cemerlang dalam bidang mereka yang telah membawanya ke tahap yang baru. Salah satu karya ini ialah formula Bernoulli, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian tertentu berlaku di bawah keadaan bebas. Ini menunjukkan bahawa kemunculan A dalam eksperimen tidak bergantung pada kemunculan atau tidak berlakunya peristiwa yang sama dalam ujian sebelumnya atau ujian berikutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Kebarangkalian (p) berlakunya peristiwa (A) tidak berubah bagi setiap percubaan. Kebarangkalian bahawa keadaan akan berlaku tepat m kali dalam n bilangan eksperimen akan dikira dengan formula yang dibentangkan di atas. Sehubungan itu, timbul persoalan bagaimana untuk mengetahui nombor q.

Jika peristiwa A berlaku p beberapa kali, sewajarnya, ia mungkin tidak berlaku. Unit ialah nombor yang digunakan untuk menetapkan semua hasil sesuatu situasi dalam sesuatu disiplin. Oleh itu, q ialah nombor yang menunjukkan kemungkinan kejadian tidak berlaku.

Sekarang anda tahu formula Bernoulli (teori kebarangkalian). Contoh penyelesaian masalah (peringkat pertama) akan dipertimbangkan di bawah.

Tugasan 2: Pelawat kedai akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2. 6 pelawat memasuki kedai secara bebas. Apakah kebarangkalian bahawa pelawat akan membuat pembelian?

Penyelesaian: Memandangkan tidak diketahui berapa ramai pelawat harus membuat pembelian, satu atau kesemua enam, adalah perlu untuk mengira semua kebarangkalian yang mungkin menggunakan formula Bernoulli.

A = "pelawat akan membuat pembelian."

Dalam kes ini: p = 0.2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugasan). Sehubungan itu, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (kerana terdapat 6 pelanggan di kedai). Nombor m akan berubah daripada 0 (tiada pelanggan akan membuat pembelian) kepada 6 (semua pengunjung kedai akan membeli sesuatu). Akibatnya, kami mendapat penyelesaian:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Tiada pembeli akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2621.

Bagaimana lagi formula Bernoulli (teori kebarangkalian) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tahap kedua) di bawah.

Selepas contoh di atas, persoalan timbul tentang ke mana C dan p telah pergi. Berkenaan dengan p, nombor dengan kuasa 0 akan sama dengan satu. Bagi C, ia boleh didapati dengan formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Oleh kerana dalam contoh pertama m = 0, masing-masing, C=1, yang pada dasarnya tidak menjejaskan keputusan. Dengan menggunakan formula baharu, mari kita cuba ketahui apakah kebarangkalian untuk membeli barang oleh dua pengunjung.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Teori kebarangkalian tidak begitu rumit. Formula Bernoulli, contoh yang dibentangkan di atas, adalah bukti langsung tentang ini.

Formula Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk mengira situasi rawak yang tidak mungkin.

Formula asas:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam kes ini, λ = n x p. Berikut adalah formula Poisson yang begitu mudah (teori kebarangkalian). Contoh penyelesaian masalah akan dipertimbangkan di bawah.

Tugasan 3 A: Kilang mengeluarkan 100,000 bahagian. Kemunculan bahagian yang rosak = 0.0001. Apakah kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak dalam satu kelompok?

Seperti yang anda lihat, perkahwinan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh itu formula Poisson (teori kebarangkalian) digunakan untuk pengiraan. Contoh penyelesaian masalah seperti ini tidak berbeza dengan tugas disiplin lain, kami menggantikan data yang diperlukan ke dalam formula di atas:

A = "bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak."

p = 0.0001 (mengikut syarat tugasan).

n = 100000 (bilangan bahagian).

m = 5 (bahagian yang rosak). Kami menggantikan data dalam formula dan mendapatkan:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

Sama seperti formula Bernoulli (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian yang menggunakan yang ditulis di atas, persamaan Poisson mempunyai e yang tidak diketahui. Pada dasarnya, ia boleh didapati dengan formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Walau bagaimanapun, terdapat jadual khas yang mengandungi hampir semua nilai e.

Teorem De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli bilangan percubaan adalah cukup besar, dan kebarangkalian kejadian A dalam semua skema adalah sama, maka kebarangkalian kejadian A beberapa kali dalam satu siri percubaan boleh ditemui oleh formula Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingati formula Laplace (teori kebarangkalian), contoh tugasan untuk membantu di bawah.

Mula-mula kita dapati X m , kita gantikan data (semuanya ditunjukkan di atas) ke dalam formula dan dapatkan 0.025. Menggunakan jadual, kita dapati nombor ϕ (0.025), yang nilainya ialah 0.3988. Sekarang anda boleh menggantikan semua data dalam formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

Jadi kebarangkalian bahawa risalah itu akan memukul tepat 267 kali ialah 0.03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian tugas dengan bantuan yang akan diberikan di bawah, adalah persamaan yang menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa, berdasarkan keadaan yang boleh dikaitkan dengannya. Formula utama adalah seperti berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B ialah peristiwa yang pasti.

P(A|B) - kebarangkalian bersyarat, iaitu peristiwa A boleh berlaku, dengan syarat peristiwa B adalah benar.

Р (В|А) - kebarangkalian bersyarat kejadian В.

Jadi, bahagian akhir kursus pendek "Teori Kebarangkalian" ialah formula Bayes, contoh penyelesaian masalah yang ada di bawah.

Tugasan 5: Telefon daripada tiga syarikat dibawa ke gudang. Pada masa yang sama, sebahagian daripada telefon yang dihasilkan di kilang pertama ialah 25%, pada kedua - 60%, pada ketiga - 15%. Ia juga diketahui bahawa peratusan purata produk yang rosak di kilang pertama ialah 2%, pada kedua - 4%, dan pada ketiga - 1%. Ia adalah perlu untuk mencari kebarangkalian bahawa telefon yang dipilih secara rawak akan rosak.

A = "telefon yang diambil secara rawak."

B 1 - telefon yang dibuat oleh kilang pertama. Sehubungan itu, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk kilang kedua dan ketiga).

Hasilnya, kami mendapat:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - jadi kami mendapati kebarangkalian setiap pilihan.

Sekarang anda perlu mencari kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa yang diingini, iaitu, kebarangkalian produk yang rosak dalam firma:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

Sekarang kita menggantikan data ke dalam formula Bayes dan dapatkan:

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305.

Artikel itu membentangkan teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung ais disiplin yang luas. Dan selepas semua yang telah ditulis, adalah logik untuk bertanya soalan sama ada teori kebarangkalian diperlukan dalam kehidupan. Sukar untuk orang yang mudah menjawab, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah mencapai jackpot lebih daripada sekali dengan bantuannya.

Kebarangkalian peristiwa ialah nisbah bilangan hasil asas yang memihak kepada peristiwa tertentu kepada bilangan semua hasil pengalaman yang sama kemungkinan di mana peristiwa ini mungkin berlaku. Kebarangkalian kejadian A dilambangkan dengan P(A) (di sini P ialah huruf pertama perkataan Perancis probabilite - kebarangkalian). Mengikut definisi
(1.2.1)
di manakah bilangan hasil asas yang memihak kepada acara A; - bilangan semua hasil asas pengalaman yang sama mungkin, membentuk kumpulan acara yang lengkap.
Takrifan kebarangkalian ini dipanggil klasik. Ia timbul pada peringkat awal perkembangan teori kebarangkalian.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa mempunyai sifat berikut:
1. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu. Mari kita tentukan acara tertentu dengan surat . Untuk acara tertentu, oleh itu
(1.2.2)
2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar. Kami menandakan peristiwa mustahil dengan huruf. Untuk peristiwa yang mustahil, oleh itu
(1.2.3)
3. Kebarangkalian kejadian rawak dinyatakan sebagai nombor positif kurang daripada satu. Oleh kerana ketaksamaan , atau berpuas hati untuk peristiwa rawak, maka
(1.2.4)
4. Kebarangkalian sebarang peristiwa memenuhi ketaksamaan
(1.2.5)
Ini berikutan daripada hubungan (1.2.2) -(1.2.4).

Contoh 1 Sebuah guci mengandungi 10 biji bola yang sama saiz dan berat, di mana 4 daripadanya adalah merah dan 6 adalah biru. Satu bola diambil dari urn. Apakah kebarangkalian bahawa bola yang dilukis itu berwarna biru?

Penyelesaian. Peristiwa "bola yang ditarik ternyata biru" akan dilambangkan dengan huruf A. Percubaan ini mempunyai 10 hasil asas yang sama mungkin, di mana 6 acara memihak kepada A. Selaras dengan formula (1.2.1), kami memperoleh

Contoh 2 Semua nombor asli dari 1 hingga 30 ditulis pada kad yang sama dan diletakkan di dalam bekas. Selepas mencampurkan kad dengan teliti, satu kad dikeluarkan dari urn. Apakah kebarangkalian bahawa nombor pada kad yang dikeluarkan ialah gandaan 5?

Penyelesaian. Nyatakan dengan A peristiwa "nombor pada kad yang diambil ialah gandaan 5". Dalam ujian ini, terdapat 30 hasil asas yang sama mungkin, di mana 6 keputusan memihak kepada peristiwa A (nombor 5, 10, 15, 20, 25, 30). Akibatnya,

Contoh 3 Dua dadu dilempar, jumlah mata pada muka atas dikira. Cari kebarangkalian peristiwa B, yang terdiri daripada fakta bahawa muka atas kubus akan mempunyai sejumlah 9 mata.

Penyelesaian. Terdapat 6 2 = 36 kemungkinan hasil asas yang sama dalam percubaan ini. Peristiwa B digemari oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), jadi

Contoh 4. Nombor asli tidak melebihi 10 dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian nombor ini adalah perdana?

Penyelesaian. Nyatakan dengan huruf C peristiwa "nombor yang dipilih ialah perdana". Dalam kes ini, n = 10, m = 4 (bilangan perdana 2, 3, 5, 7). Oleh itu, kebarangkalian yang dikehendaki

Contoh 5 Dua syiling simetri dilambung. Apakah kebarangkalian kedua-dua syiling mempunyai digit di bahagian atas?

Penyelesaian. Mari kita nyatakan dengan huruf D peristiwa "terdapat nombor di bahagian atas setiap syiling". Terdapat 4 kemungkinan hasil asas yang sama dalam ujian ini: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) bermaksud bahawa pada syiling pertama terdapat jata, pada kedua - nombor). Peristiwa D digemari oleh satu hasil asas (C, C). Oleh kerana m = 1, n = 4, maka

Contoh 6 Apakah kebarangkalian bahawa digit dalam nombor dua digit yang dipilih secara rawak adalah sama?

Penyelesaian. Nombor dua digit ialah nombor dari 10 hingga 99; terdapat 90 nombor sedemikian kesemuanya. 9 nombor mempunyai digit yang sama (ini ialah nombor 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Oleh kerana dalam kes ini m = 9, n = 90, maka
,
di mana A ialah acara "nombor dengan digit yang sama".

Contoh 7 Daripada huruf perkataan pembezaan satu huruf dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa huruf ini akan menjadi: a) vokal b) konsonan c) huruf h?

Penyelesaian. Terdapat 12 huruf dalam perkataan pembezaan, di mana 5 adalah vokal dan 7 adalah konsonan. surat h perkataan ini tidak. Mari kita nyatakan peristiwa: A - "vokal", B - "konsonan", C - "huruf h". Bilangan hasil asas yang menggalakkan: - untuk acara A, - untuk acara B, - untuk acara C. Sejak n \u003d 12, maka
, dan .

Contoh 8 Dua dadu dilambung, bilangan mata pada muka atas setiap dadu dicatat. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua dadu mempunyai bilangan mata yang sama.

Penyelesaian. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan huruf A. Peristiwa A digemari oleh 6 hasil asas: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Secara keseluruhan terdapat hasil asas yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap peristiwa, dalam kes ini n=6 2 =36. Jadi kebarangkalian yang diingini

Contoh 9 Buku ini mempunyai 300 muka surat. Apakah kebarangkalian bahawa halaman yang dibuka secara rawak akan mempunyai nombor urutan yang merupakan gandaan 5?

Penyelesaian. Ia berikutan daripada syarat masalah bahawa akan terdapat n = 300 daripada semua hasil asas yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap peristiwa.Daripada jumlah ini, m = 60 memihak kepada kejadian yang ditentukan. Sesungguhnya, nombor yang merupakan gandaan 5 mempunyai bentuk 5k, dengan k ialah nombor asli, dan , dari mana . Akibatnya,
, di mana A - acara "halaman" mempunyai nombor urutan yang merupakan gandaan 5".

Contoh 10. Dua dadu dilempar, jumlah mata pada muka atas dikira. Apakah yang lebih berkemungkinan mendapat jumlah 7 atau 8?

Penyelesaian. Mari kita tentukan peristiwa: A - "7 mata jatuh", B - "8 mata jatuh". Acara A digemari oleh 6 hasil asas: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan acara B - oleh 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Terdapat n = 6 2 = 36 daripada semua hasil asas yang sama mungkin. dan .

Jadi, P(A)>P(B), iaitu mendapat jumlah 7 mata adalah peristiwa yang lebih berkemungkinan daripada mendapat jumlah 8 mata.

Tugasan

1. Nombor asli tidak melebihi 30 dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian nombor ini ialah gandaan 3?
2. Dalam tempayan a merah dan b bola biru dengan saiz dan berat yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa bola yang diambil secara rawak daripada balang ini berwarna biru?
3. Nombor tidak melebihi 30 dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian nombor ini adalah pembahagi zo?
4. Dalam tempayan a biru dan b bola merah dengan saiz dan berat yang sama. Satu bola diambil dari balang ini dan ketepikan. Bola ini berwarna merah. Kemudian bola lain diambil dari urn. Cari kebarangkalian bahawa bola kedua juga berwarna merah.
5. Nombor asli tidak melebihi 50 dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian nombor ini adalah perdana?
6. Tiga dadu dilempar, jumlah mata pada muka atas dikira. Apakah yang lebih berkemungkinan - untuk mendapatkan jumlah 9 atau 10 mata?
7. Tiga dadu dilambung, jumlah mata yang dijatuhkan dikira. Apakah yang lebih berkemungkinan mendapat jumlah 11 (acara A) atau 12 mata (acara B)?

Jawapan

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - kebarangkalian mendapat 9 mata secara keseluruhan; p 2 \u003d 27/216 - kebarangkalian mendapat 10 mata secara keseluruhan; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Soalan

1. Apakah yang dipanggil kebarangkalian sesuatu peristiwa?
2. Apakah kebarangkalian sesuatu kejadian?
3. Apakah kebarangkalian kejadian mustahil?
4. Apakah had kebarangkalian kejadian rawak?
5. Apakah had kebarangkalian sebarang kejadian?
6. Apakah takrifan kebarangkalian yang dipanggil klasik?