Pergerakan putaran jasad tegar mengelilingi paksi tetap. Halaju sudut dan pecutan sudut

Artikel ini menerangkan bahagian penting fizik - "Kinematik dan dinamik gerakan putaran".

Konsep asas kinematik gerakan putaran

Pergerakan putaran titik material di sekeliling paksi tetap dipanggil gerakan sedemikian, yang lintasannya adalah bulatan yang terletak dalam satah berserenjang dengan paksi, dan pusatnya terletak pada paksi putaran.

Pergerakan putaran jasad tegar ialah gerakan di mana semua titik jasad bergerak di sepanjang bulatan sepusat (pusatnya terletak pada paksi yang sama) mengikut peraturan untuk gerakan putaran titik material.

Biarkan jasad tegar sewenang-wenangnya T berputar mengelilingi paksi O, yang berserenjang dengan satah lukisan. Mari kita pilih titik M pada badan ini Apabila diputar, titik ini akan menerangkan bulatan dengan jejari di sekeliling paksi O r.

Selepas beberapa lama, jejari akan berputar relatif kepada kedudukan asalnya dengan sudut Δφ.

Arah skru kanan (mengikut arah jam) diambil sebagai arah putaran positif. Perubahan dalam sudut putaran dari semasa ke semasa dipanggil persamaan gerakan putaran jasad tegar:

φ = φ(t).

Jika φ diukur dalam radian (1 rad ialah sudut sepadan dengan lengkok panjang yang sama dengan jejarinya), maka panjang lengkok bulat ΔS, yang mana titik bahan M akan dilalui dalam masa Δt, adalah sama dengan:

ΔS = Δφr.

Elemen asas kinematik gerakan putaran seragam

Ukuran pergerakan titik material dalam tempoh masa yang singkat dt berfungsi sebagai vektor putaran asas dφ.

Halaju sudut titik atau jasad bahan ialah kuantiti fizik yang ditentukan oleh nisbah vektor putaran asas kepada tempoh putaran ini. Arah vektor boleh ditentukan oleh peraturan skru kanan di sepanjang paksi O dalam bentuk skalar:

ω = dφ/dt.

Jika ω = dφ/dt = const, maka gerakan tersebut dinamakan gerakan putaran seragam. Dengan itu, halaju sudut ditentukan oleh formula

ω = φ/t.

Mengikut formula awal, dimensi halaju sudut

[ω] = 1 rad/s.

Pergerakan putaran seragam badan boleh digambarkan dengan tempoh putaran. Tempoh putaran T ialah kuantiti fizik yang menentukan masa di mana jasad membuat satu pusingan penuh mengelilingi paksi putaran ([T] = 1 s). Jika dalam formula untuk halaju sudut kita ambil t = T, φ = 2 π (satu revolusi penuh jejari r), maka

ω = 2π/T,

Oleh itu, kami mentakrifkan tempoh putaran seperti berikut:

T = 2π/ω.

Bilangan pusingan yang dibuat oleh badan per unit masa dipanggil kekerapan putaran ν, yang sama dengan:

ν = 1/T.

Unit kekerapan: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Membandingkan formula untuk halaju sudut dan kekerapan putaran, kami memperoleh ungkapan yang menghubungkan kuantiti ini:

ω = 2πν.

Elemen asas kinematik gerakan putaran tidak sekata

Pergerakan putaran tidak sekata jasad tegar atau titik bahan di sekeliling paksi tetap dicirikan oleh halaju sudutnya, yang berubah mengikut masa.

vektor ε , mencirikan kadar perubahan halaju sudut, dipanggil vektor pecutan sudut:

ε = dω/dt.

Jika badan berputar, memecut, itu dω/dt > 0, vektor mempunyai arah sepanjang paksi dalam arah yang sama seperti ω.

Jika pergerakan putaran perlahan - dω/dt< 0 , maka vektor ε dan ω diarahkan secara bertentangan.

Komen. Apabila gerakan putaran tidak sekata berlaku, vektor ω boleh berubah bukan sahaja dalam magnitud, tetapi juga dalam arah (apabila paksi putaran diputar).

Hubungan antara kuantiti yang mencirikan gerakan translasi dan putaran

Diketahui bahawa panjang lengkok dengan sudut putaran jejari dan nilainya dikaitkan dengan hubungan

ΔS = Δφ r.

Kemudian kelajuan linear titik bahan melakukan gerakan putaran

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Pecutan normal titik bahan yang melakukan gerakan translasi putaran ditakrifkan seperti berikut:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Jadi, dalam bentuk skalar

a = ω 2 r.

Titik bahan dipercepatkan tangen yang melakukan gerakan putaran

a = ε r.

Momentum titik material

Hasil vektor vektor jejari bagi trajektori titik bahan berjisim m i dan momentumnya dipanggil momentum sudut titik ini mengenai paksi putaran. Arah vektor boleh ditentukan menggunakan peraturan skru yang betul.

Momentum titik material ( L i) diarahkan berserenjang dengan satah yang dilukis melalui r i dan υ i, dan membentuk tiga tiga tangan kanan vektor dengan mereka (iaitu, apabila bergerak dari hujung vektor r i Kepada υ i skru kanan akan menunjukkan arah vektor L i).

Dalam bentuk skalar

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Memandangkan apabila bergerak dalam bulatan, vektor jejari dan vektor halaju linear untuk titik bahan ke-i adalah saling berserenjang,

sin(υ i , r i) = 1.

Jadi momentum sudut titik bahan untuk gerakan putaran akan mengambil bentuk

L = m i υ i r i .

Momen daya yang bertindak pada titik bahan ke-i

Hasil vektor vektor jejari, yang ditarik ke titik penggunaan daya, dan daya ini dipanggil momen daya yang bertindak pada titik bahan ke-i berbanding dengan paksi putaran.

Dalam bentuk skalar

M i = r i F i sin(r i , F i).

Memandangkan itu r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Magnitud l i, sama dengan panjang serenjang yang diturunkan dari titik putaran ke arah tindakan daya, dipanggil lengan daya. F i.

Dinamik gerakan putaran

Persamaan untuk dinamik gerakan putaran ditulis seperti berikut:

M = dL/dt.

Perumusan undang-undang adalah seperti berikut: kadar perubahan momentum sudut jasad yang berputar mengelilingi paksi tetap adalah sama dengan momen yang terhasil berbanding paksi ini semua daya luaran yang dikenakan pada jasad.

Momen impuls dan momen inersia

Adalah diketahui bahawa untuk titik bahan ke-i momentum sudut dalam bentuk skalar diberikan oleh formula

L i = m i υ i r i .

Jika bukannya kelajuan linear kita menggantikan ungkapannya melalui kelajuan sudut:

υ i = ωr i ,

maka ungkapan untuk momentum sudut akan berbentuk

L i = m i r i 2 ω.

Magnitud I i = m i r i 2 dipanggil momen inersia berbanding paksi titik bahan ke-i bagi jasad tegar mutlak yang melalui pusat jisimnya. Kemudian kita tulis momentum sudut titik bahan:

L i = I i ω.

Kami menulis momentum sudut jasad yang benar-benar tegar sebagai jumlah momentum sudut titik bahan yang membentuk jasad ini:

L = Iω.

Momen daya dan momen inersia

Hukum gerakan putaran menyatakan:

M = dL/dt.

Adalah diketahui bahawa momentum sudut jasad boleh diwakili melalui momen inersia:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Memandangkan pecutan sudut ditentukan oleh ungkapan

ε = dω/dt,

kita memperoleh formula untuk momen daya, diwakili melalui momen inersia:

M = Iε.

Komen. Satu momen daya dianggap positif jika pecutan sudut yang menyebabkannya lebih besar daripada sifar, dan sebaliknya.

Teorem Steiner. Hukum penambahan momen inersia

Jika paksi putaran jasad tidak melalui pusat jisimnya, maka relatif kepada paksi ini seseorang boleh mencari momen inersia menggunakan teorem Steiner:
I = I 0 + ma 2,

di mana saya 0- momen awal inersia badan; m- berat badan; a- jarak antara gandar.

Jika sistem yang berputar mengelilingi paksi tetap terdiri daripada n jasad, maka jumlah momen inersia sistem jenis ini akan sama dengan jumlah momen komponennya (hukum penambahan momen inersia).

Ini adalah pergerakan di mana semua titik badan bergerak dalam bulatan, pusatnya terletak pada paksi putaran.

Kedudukan badan ditentukan oleh sudut dihedral (sudut putaran).

 =  (t) - persamaan gerakan.

Ciri-ciri kinematik badan:

- halaju sudut, s -1;

- pecutan sudut, s -2.

Kuantiti  dan  boleh diwakili sebagai vektor
, terletak pada paksi putaran, arah vektor sehingga dari hujungnya putaran badan dilihat berlaku mengikut lawan jam. Arah bertepatan dengan , Jika >oh.

P kedudukan titik badan: M 0 M 1 = S = h.

Kelajuan mata
; pada masa yang sama
.

di mana
;
;
.

Pecutan titik badan,
- pecutan putaran (dalam kinematik titik - tangen - ):
- pecutan titik ke titik (dalam kinematik titik - normal - ).

Modul:
;
;

.

Putaran seragam dan seragam

1. Pakaian seragam:  = const,
;
;
- persamaan gerakan.

2. Pembolehubah sama:  = const,
;
;
;
;
- persamaan gerakan.

2). Pemacu mekanikal terdiri daripada takal 1, tali pinggang 2 dan roda berpijak 3 dan 4. Cari kelajuan rak 5, serta pecutan titik M pada masa t 1 = 1s. Jika halaju sudut takal ialah  1 = 0.2t, s -1; R 1 = 15; R 3 = 40; r 3 = 5; R4 = 20; r 4 = 8 (dalam sentimeter).

Kelajuan rak

;

;
;
.

di mana
;
;
, s -1 .

Daripada (1) dan (2) kita perolehi, lihat.

Pecutan titik M.

, s -2 pada t 1 = 1 s; a = 34.84 cm/s 2 .

3.3 Pergerakan selari satah (satah) jasad tegar

E pergerakan di mana semua titik badan bergerak dalam satah selari dengan beberapa satah tetap.

Semua titik badan pada mana-mana garis lurus yang berserenjang dengan satah tetap bergerak sama rata. Oleh itu, analisis pergerakan satah jasad dikurangkan kepada kajian gerakan rajah satah (bahagian S) dalam satahnya (xy).

Pergerakan ini boleh diwakili sebagai satu set pergerakan translasi bersama-sama dengan beberapa sewenang-wenangnya titik a dipilih, dipanggil tiang, dan gerakan putaran mengelilingi tiang.

Persamaan gerakan angka rata

x a = x a (t); y a = y a; j = j(t)

Ciri-ciri kinematik ki angka rata:

- kelajuan dan pecutan tiang; w, e - halaju sudut dan pecutan sudut (tidak bergantung pada pilihan tiang).

U penjajaran pergerakan mana-mana titik rajah satah (B) boleh diperolehi dengan mengunjurkan kesamaan vektor
pada paksi x dan y

x 1 B , y 1 B - koordinat titik dalam sistem koordinat yang dikaitkan dengan rajah.

Menentukan halaju titik

1). Kaedah analisis.

Mengetahui persamaan gerakan x n = x n (t); y n = y n (t), kita dapati
;
;
.

2). Teorem taburan halaju.

D membezakan persamaan
, kita dapat
,

- kelajuan titik B apabila memutar angka rata di sekeliling tiang A;
;

Formula untuk pengagihan halaju titik bagi rajah satah
.

DENGAN kelajuan titik M roda bergolek tanpa tergelincir

;
.

3). Teorem unjuran halaju.

Unjuran halaju dua titik jasad pada paksi yang melalui titik ini adalah sama. Merancang kesaksamaan
pada paksi-x, kita ada

P contoh

Tentukan kelajuan aliran air v N ke kemudi kapal, jika diketahui (pusat graviti kapal), b dan b K (sudut hanyut).

Penyelesaian: .

4). Pusat halaju segera (IVC).

Halaju titik semasa gerakan satah jasad boleh ditentukan daripada formula gerakan putaran, menggunakan konsep MCS.

MCS ialah titik yang dikaitkan dengan angka rata, yang kelajuannya pada masa tertentu ialah sifar (v p = 0).

Secara amnya, MCS ialah titik persilangan serenjang dengan arah halaju dua titik rajah.

Mengambil titik P sebagai tiang, kita ada untuk titik sewenang-wenangnya

, Kemudian

di mana
- halaju sudut rajah dan
, mereka. halaju titik-titik rajah rata adalah berkadar dengan jaraknya dengan MCS.

Kemungkinan kes mencari MCS
			Berguling tanpa tergelincir
		MCS - pada infiniti

Kes b sepadan dengan taburan halaju translasi serta-merta.

1). Untuk kedudukan mekanisme tertentu, cariv B, v C, v D, w 1, w 2, w 3, jika pada masa ini v A = 20 cm/s; BC = CD = 40 cm; OC = 25 cm; R = 20 cm.

Penyelesaian MCS roller 1 - titik P 1:

s -1 ;
cm/s.

MCS pautan 2 - titik P 2 persilangan serenjang dengan arah kelajuan titik B dan C:

s -1 ;
cm/s;
cm/s;
s -1 .

2). Beban Q diangkat menggunakan dram berlangkah 1, halaju sudutnya ialah w 1 = 1 s -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 cm; AE || B.D. Cari kelajuan v C bagi paksi bongkah 2 yang bergerak.

Cari kelajuan titik A dan B:

v A = v E = w 1* R 1 = 15 cm/s; v B = v D = w 1* r 1 = 5 cm/s.

MCS blok 2 - titik P. Kemudian
, di mana
;
;
cm/s.

Progresif Ini adalah pergerakan jasad tegar di mana mana-mana garis lurus yang sentiasa bersambung dengan jasad ini kekal selari dengan kedudukan awalnya.

Teorem. Semasa pergerakan translasi jasad tegar, semua titiknya menerangkan trajektori yang sama dan pada setiap momen tertentu mempunyai halaju dan pecutan yang sama dalam magnitud dan arah.

Bukti. Mari kita seri melalui dua mata dan , segmen badan yang bergerak secara linear
dan pertimbangkan pergerakan segmen ini dalam kedudukan
. Pada masa yang sama, intinya menerangkan trajektori
, dan titik – lintasan
(Gamb. 56).

Memandangkan segmen itu
bergerak selari dengan dirinya sendiri, dan panjangnya tidak berubah, ia boleh ditubuhkan bahawa trajektori mata Dan akan sama. Ini bermakna bahagian pertama teorem terbukti. Kami akan menentukan kedudukan mata Dan kaedah vektor berbanding dengan asal tetap . Selain itu, jejari - vektor ini bergantung
. Kerana. bukan panjang mahupun arah segmen
tidak berubah apabila badan bergerak, kemudian vektor

. Mari kita teruskan untuk menentukan halaju menggunakan pergantungan (24):

, kita dapat
.

Mari kita teruskan untuk menentukan pecutan menggunakan pergantungan (26):

, kita dapat
.

Daripada teorem terbukti, pergerakan translasi sesuatu jasad akan ditentukan sepenuhnya jika gerakan satu titik sahaja diketahui. Oleh itu, kajian gerakan translasi jasad tegar turun kepada kajian pergerakan salah satu titiknya, i.e. hingga ke titik masalah kinematik.

Topik 11. Gerakan putaran jasad tegar

Bergilir-gilir Ini adalah pergerakan badan tegar di mana dua titiknya kekal tidak bergerak sepanjang keseluruhan pergerakan. Dalam kes ini, garis lurus yang melalui dua titik tetap ini dipanggil paksi putaran.

Semasa pergerakan ini, setiap titik badan yang tidak terletak pada paksi putaran menggambarkan bulatan, satahnya berserenjang dengan paksi putaran, dan pusatnya terletak pada paksi ini.

Kami melukis melalui paksi putaran satah tetap I dan satah alih II, sentiasa disambungkan ke badan dan berputar dengannya (Rajah 57). Kedudukan satah II, dan oleh itu seluruh badan, berhubung dengan satah I di angkasa, ditentukan sepenuhnya oleh sudut . Apabila jasad berputar mengelilingi paksi sudut ini adalah fungsi masa yang berterusan dan tidak jelas. Oleh itu, mengetahui hukum perubahan sudut ini dari masa ke masa, kita boleh menentukan kedudukan badan di angkasa:

- hukum pergerakan putaran jasad. (43)

Dalam kes ini, kita akan menganggap bahawa sudut diukur dari satah tetap dalam arah yang bertentangan dengan pergerakan mengikut arah jam, apabila dilihat dari hujung positif paksi . Oleh kerana kedudukan jasad yang berputar mengelilingi paksi tetap ditentukan oleh satu parameter, jasad tersebut dikatakan mempunyai satu darjah kebebasan.

Halaju sudut

Perubahan sudut putaran jasad dari semasa ke semasa dipanggil sudut kelajuan badan dan ditetapkan
(omega):

.(44)

Halaju sudut, sama seperti halaju linear, ialah kuantiti vektor, dan vektor ini dibina di atas paksi putaran badan. Ia diarahkan sepanjang paksi putaran ke arah itu supaya, melihat dari hujungnya ke permulaannya, seseorang boleh melihat putaran badan mengikut lawan jam (Rajah 58). Modulus vektor ini ditentukan oleh pergantungan (44). Titik permohonan pada paksi boleh dipilih sewenang-wenangnya, kerana vektor boleh dipindahkan sepanjang garis tindakannya. Jika kita menyatakan vektor-orth bagi paksi putaran oleh , maka kita memperoleh ungkapan vektor untuk halaju sudut:

. (45)

Pecutan sudut

Kadar perubahan halaju sudut jasad dari semasa ke semasa dipanggil pecutan sudut badan dan ditetapkan (epsilon):

. (46)

Pecutan sudut ialah kuantiti vektor, dan vektor ini dibina di atas paksi putaran badan. Ia diarahkan sepanjang paksi putaran ke arah itu supaya, melihat dari hujungnya ke permulaannya, seseorang boleh melihat arah putaran epsilon lawan jam (Rajah 58). Modulus vektor ini ditentukan oleh pergantungan (46). Titik permohonan pada paksi boleh dipilih sewenang-wenangnya, kerana vektor boleh dipindahkan sepanjang garis tindakannya.

Jika kita menyatakan vektor-orth bagi paksi putaran oleh , maka kita memperoleh ungkapan vektor untuk pecutan sudut:

. (47)

Jika halaju sudut dan pecutan adalah tanda yang sama, maka jasad berputar dipercepatkan, dan jika berbeza – perlahan-lahan. Contoh putaran perlahan ditunjukkan dalam Rajah. 58.

Mari kita pertimbangkan kes-kes khas gerakan putaran.

1. Putaran seragam:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Putaran sama:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Hubungan antara parameter linear dan sudut

Pertimbangkan pergerakan titik sewenang-wenangnya
badan berputar. Dalam kes ini, trajektori titik akan menjadi bulatan dengan jejari
, terletak dalam satah berserenjang dengan paksi putaran (Rajah 59, A).

Mari kita anggap bahawa pada masa ini titik berada dalam kedudukan
. Mari kita anggap bahawa badan berputar ke arah positif, i.e. ke arah sudut meningkat . Pada satu ketika dalam masa
titik akan mengambil kedudukan
. Mari kita nyatakan arka
. Oleh itu, dalam satu tempoh masa
titik telah berlalu
. Kelajuan purata dia , dan bila
,
. Tetapi, daripada Rajah. 59, b, jelas bahawa
. Kemudian. Akhirnya kita dapat

. (50)

Di sini - kelajuan linear titik
. Seperti yang diperoleh sebelum ini, kelajuan ini diarahkan secara tangen ke trajektori pada titik tertentu, i.e. tangen kepada bulatan.

Oleh itu, modul halaju linear (lilitan) suatu titik jasad berputar adalah sama dengan hasil darab nilai mutlak halaju sudut dan jarak dari titik ini ke paksi putaran.

Sekarang mari kita sambungkan komponen linear pecutan titik dengan parameter sudut.

,
. (51)

Modulus pecutan tangen suatu titik jasad tegar berputar mengelilingi paksi tetap adalah sama dengan hasil darab pecutan sudut jasad dan jarak dari titik ini ke paksi putaran.

,
. (52)

Modulus pecutan normal suatu titik jasad tegar berputar mengelilingi paksi tetap adalah sama dengan hasil darab kuasa dua halaju sudut jasad dan jarak dari titik ini ke paksi putaran.

Kemudian ungkapan untuk jumlah pecutan titik mengambil bentuk

. (53)

Arah vektor ,,ditunjukkan dalam Rajah 59, V.

Gerakan rata jasad tegar ialah pergerakan di mana semua titik badan bergerak selari dengan satah tetap. Contoh pergerakan tersebut:

Pergerakan mana-mana badan yang tapaknya meluncur di sepanjang satah tetap tertentu;

Bergolek roda di sepanjang bahagian lurus trek (rel).

Kami memperoleh persamaan gerakan satah. Untuk melakukan ini, pertimbangkan angka rata yang bergerak dalam satah helaian (Rajah 60). Mari kita kaitkan pergerakan ini dengan sistem koordinat tetap
, dan dengan angka itu sendiri kita menyambungkan sistem koordinat bergerak
, yang bergerak bersamanya.

Jelas sekali, kedudukan rajah yang bergerak pada satah pegun ditentukan oleh kedudukan paksi yang bergerak.
relatif kepada paksi tetap
. Kedudukan ini ditentukan oleh kedudukan asal yang bergerak , iaitu koordinat ,dan sudut putaran , sistem koordinat bergerak, agak tetap, yang akan kita kira dari paksi dalam arah yang bertentangan dengan pergerakan mengikut arah jam.

Akibatnya, pergerakan angka rata dalam satahnya akan ditentukan sepenuhnya jika nilai ,,, iaitu persamaan bentuk:

,
,
. (54)

Persamaan (54) ialah persamaan gerakan satah jasad tegar, kerana jika fungsi ini diketahui, maka untuk setiap saat masa adalah mungkin untuk mencari daripada persamaan ini, masing-masing. ,,, iaitu menentukan kedudukan rajah yang bergerak pada masa tertentu.

Mari kita pertimbangkan kes khas:

1.

, maka pergerakan badan akan translasi, kerana paksi bergerak bergerak sambil kekal selari dengan kedudukan awalnya.

2.

,

. Dengan pergerakan ini, hanya sudut putaran berubah , iaitu badan akan berputar tentang paksi yang melalui serenjang dengan satah lukisan melalui titik .

Penguraian gerakan rajah rata kepada translasi dan putaran

Pertimbangkan dua kedudukan berturut-turut Dan
diduduki oleh badan pada saat-saat tertentu Dan
(Gamb. 61). Badan dari kedudukan kepada kedudukan
boleh dipindahkan seperti berikut. Kita gerakkan badan dulu secara progresif. Dalam kes ini, segmen
akan bergerak selari dengan dirinya kepada kedudukan
dan kemudian mari berpaling badan di sekeliling titik (tiang) pada satu sudut
sehingga titik bertepatan Dan .

Oleh itu, sebarang gerakan satah boleh diwakili sebagai jumlah gerakan translasi bersama-sama dengan kutub yang dipilih dan gerakan putaran, berbanding tiang ini.

Mari kita pertimbangkan kaedah yang boleh digunakan untuk menentukan halaju titik jasad yang melakukan gerakan satah.

1. Kaedah tiang. Kaedah ini adalah berdasarkan penguraian gerakan satah yang terhasil kepada translasi dan putaran. Kelajuan mana-mana titik angka rata boleh diwakili dalam bentuk dua komponen: translasi, dengan kelajuan yang sama dengan kelajuan titik yang dipilih secara sewenang-wenangnya -tiang , dan putaran mengelilingi tiang ini.

Mari kita pertimbangkan badan yang rata (Gamb. 62). Persamaan pergerakan ialah:
,
,
.

Daripada persamaan ini kita tentukan kelajuan titik (seperti kaedah koordinat menentukan)

,
,
.

Oleh itu, kelajuan titik - kuantiti diketahui. Kami mengambil titik ini sebagai tiang dan menentukan kelajuan titik sewenang-wenangnya
badan.

Kelajuan
akan terdiri daripada komponen translasi , apabila bergerak bersama-sama dengan titik , dan bergilir
, apabila memutarkan titik
relatif kepada titik . Kelajuan mata bergerak ke titik
selari dengan dirinya sendiri, kerana semasa gerakan translasi, halaju semua titik adalah sama dalam kedua-dua magnitud dan arah. Kelajuan
akan ditentukan oleh pergantungan (50)
, dan vektor ini diarahkan berserenjang dengan jejari
dalam arah putaran
. vektor
akan diarahkan sepanjang pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor Dan
, dan modulnya ditentukan oleh kebergantungan:

, .(55)

2. Teorem mengenai unjuran halaju dua titik jasad.

Unjuran halaju dua titik jasad tegar pada garis lurus yang menghubungkan titik-titik ini adalah sama antara satu sama lain.

Pertimbangkan dua titik badan Dan (Gamb. 63). Mengambil mata di luar tiang, kita tentukan arah bergantung kepada (55):
. Kami menayangkan kesamaan vektor ini pada baris
dan memandangkan itu
berserenjang
, kita dapat

3. Pusat halaju segera.

Pusat halaju segera(MCS) ialah titik yang kelajuannya pada masa tertentu ialah sifar.

Mari kita tunjukkan bahawa jika jasad tidak bergerak secara translasi, maka titik sedemikian wujud pada setiap saat dan, lebih-lebih lagi, adalah unik. Biarkan seketika mata Dan mayat terbaring di bahagian , mempunyai kelajuan Dan , tidak selari antara satu sama lain (Rajah 64). Kemudian tunjuk
, terletak di persimpangan serenjang dengan vektor Dan , dan akan ada MCS, sejak
.

Memang kalau kita anggap begitu
, kemudian mengikut Teorem (56), vektor
mestilah berserenjang pada masa yang sama
Dan
, yang mustahil. Daripada teorem yang sama adalah jelas bahawa tiada titik bahagian lain pada masa ini tidak boleh mempunyai kelajuan yang sama dengan sifar.

Menggunakan kaedah tiang
- tiang, tentukan kelajuan titik (55): kerana
,
. (57)

Keputusan yang sama boleh diperolehi untuk mana-mana titik lain badan. Oleh itu, kelajuan mana-mana titik pada badan adalah sama dengan kelajuan putarannya berbanding dengan MCS:

,
,
, iaitu halaju titik jasad adalah berkadar dengan jaraknya ke MCS.

Daripada tiga kaedah yang dipertimbangkan untuk menentukan halaju titik angka rata, jelas bahawa MCS adalah lebih baik, kerana di sini kelajuan ditentukan dengan serta-merta dalam magnitud dan dalam arah satu komponen. Namun cara ini boleh digunakan jika kita tahu atau boleh menentukan kedudukan MCS untuk badan.

Menentukan kedudukan MCS

1. Jika kita mengetahui untuk kedudukan jasad tertentu arah halaju dua titik jasad, maka MCS akan menjadi titik persilangan serenjang dengan vektor halaju ini.

2. Halaju dua titik badan adalah antiselari (Rajah 65, A). Dalam kes ini, serenjang dengan halaju akan menjadi biasa, i.e. MCS terletak di suatu tempat pada serenjang ini. Untuk menentukan kedudukan MCS, adalah perlu untuk menyambungkan hujung vektor halaju. Titik persilangan garis ini dengan serenjang akan menjadi MCS yang dikehendaki. Dalam kes ini, MCS terletak di antara dua titik ini.

3. Halaju dua titik jasad adalah selari, tetapi tidak sama dalam magnitud (Rajah 65, b). Prosedur untuk mendapatkan MDS adalah serupa dengan yang diterangkan dalam perenggan 2.

d) Halaju dua titik adalah sama dalam kedua-dua magnitud dan arah (Rajah 65, V). Kami memperoleh kes gerakan translasi serta-merta, di mana halaju semua titik badan adalah sama. Akibatnya, halaju sudut badan dalam kedudukan ini adalah sifar:

4. Mari kita tentukan MCS untuk roda bergolek tanpa gelongsor pada permukaan pegun (Rajah 65, G). Oleh kerana pergerakan berlaku tanpa gelongsor, pada titik sentuhan roda dengan permukaan kelajuan akan sama dan sama dengan sifar, kerana permukaannya tidak bergerak. Akibatnya, titik sentuhan roda dengan permukaan pegun ialah MCS.

Penentuan pecutan mata bagi rajah satah

Apabila menentukan pecutan titik angka rata, terdapat analogi dengan kaedah untuk menentukan halaju.

1. Kaedah tiang. Sama seperti ketika menentukan halaju, kita mengambil sebagai tiang titik sewenang-wenang badan yang pecutannya kita tahu atau kita boleh tentukan. Kemudian pecutan mana-mana titik rajah rata adalah sama dengan jumlah pecutan tiang dan pecutan dalam gerakan putaran mengelilingi tiang ini:

Dalam kes ini, komponen
menentukan pecutan sesuatu titik kerana ia berputar mengelilingi tiang . Apabila berputar, trajektori titik akan menjadi lengkung, yang bermaksud
(Gamb. 66).

Kemudian pergantungan (58) mengambil bentuk
. (59)

Dengan mengambil kira kebergantungan (51) dan (52), kami memperoleh
,
.

2. Pusat pecutan segera.

Pusat pecutan segera(MCU) ialah titik yang pecutannya pada masa tertentu ialah sifar.

Marilah kita tunjukkan bahawa pada bila-bila masa tertentu titik sedemikian wujud. Kami mengambil mata sebagai tiang , yang pecutannya
kita tahu. Mencari sudut , berbaring di dalam
, dan memenuhi syarat
. Jika
, Itu
dan sebaliknya, i.e. sudut tertunda arah . Mari kita tangguhkan dari titik itu pada satu sudut kepada vektor
segmen
(Gamb. 67). Mata yang diperolehi oleh pembinaan tersebut
akan ada MCU.

Sesungguhnya, pecutan titik
sama dengan jumlah pecutan
tiang dan pecutan
dalam gerakan putaran mengelilingi tiang :
.

,
. Kemudian
. Sebaliknya, pecutan
bentuk dengan arah segmen
sudut
, yang memenuhi syarat
. Tanda tolak diletakkan di hadapan tangen sudut , sejak putaran
berbanding dengan tiang lawan jam, dan sudut
didepositkan mengikut arah jam. Kemudian
.

Oleh itu,
dan kemudian
.

Kes khas menentukan MCU

1.
. Kemudian
, dan, oleh itu, MCU tidak wujud. Dalam kes ini, badan bergerak secara translasi, i.e. halaju dan pecutan semua titik jasad adalah sama.

2.
. Kemudian
,
. Ini bermakna bahawa MCU terletak pada persilangan garis tindakan pecutan titik badan (Rajah 68, A).

3.
. Kemudian,
,
. Ini bermakna bahawa MCU terletak pada persilangan serenjang dengan pecutan titik badan (Rajah 68, b).

4.
. Kemudian
,

. Ini bermakna bahawa MCU terletak pada persilangan sinar yang ditarik ke pecutan titik badan pada sudut (Gamb. 68, V).

Daripada kes-kes khas yang dipertimbangkan, kita boleh membuat kesimpulan: jika kita menerima perkara itu
di luar tiang, maka pecutan mana-mana titik rajah rata ditentukan oleh pecutan dalam gerakan putaran mengelilingi MCU:

. (60)

Pergerakan titik kompleks ialah pergerakan di mana satu titik mengambil bahagian secara serentak dalam dua atau lebih pergerakan. Dengan pergerakan sedemikian, kedudukan titik ditentukan secara relatif kepada sistem rujukan yang bergerak dan agak pegun.

Pergerakan titik relatif kepada kerangka rujukan bergerak dipanggil pergerakan relatif sesuatu titik . Kami bersetuju untuk menyatakan parameter pergerakan relatif
.

Pergerakan titik sistem rujukan bergerak yang mana titik bergerak relatif kepada sistem rujukan pegun pada masa ini bertepatan dipanggil pergerakan mudah alih titik .
.

Kami bersetuju untuk menyatakan parameter gerakan mudah alih Pergerakan titik relatif kepada kerangka rujukan tetap dipanggil mutlak (kompleks) pergerakan titik
.

. Kami bersetuju untuk menyatakan parameter gerakan mutlak

Kami akan menentukan kedudukan titik itu
jejari - vektor relatif kepada yang bergerak
dan tidak bergerak
sistem koordinat (Rajah 69). Mari kita perkenalkan notasi berikut: - vektor jejari mentakrifkan kedudukan titik
berbanding dengan sistem koordinat bergerak
,
;- vektor jejari yang menentukan kedudukan permulaan sistem koordinat bergerak (titik ) (titik );- jejari – vektor yang menentukan kedudukan sesuatu titik
berbanding dengan sistem koordinat tetap
;
,.

Marilah kita mendapatkan syarat (kekangan) yang sepadan dengan gerakan relatif, mudah alih dan mutlak.

1. Apabila mempertimbangkan gerakan relatif, kita akan menganggap bahawa perkara itu
bergerak relatif kepada sistem koordinat bergerak
, dan sistem koordinat bergerak itu sendiri
berbanding dengan sistem koordinat tetap
tidak bergerak.

Kemudian koordinat titik
akan berubah dalam gerakan relatif, tetapi orth-vektor sistem koordinat bergerak tidak akan berubah arah:

,

,

.

2. Apabila mempertimbangkan gerakan mudah alih, kita akan menganggap bahawa koordinat titik
relatif kepada sistem koordinat bergerak adalah tetap, dan titik bergerak bersama-sama dengan sistem koordinat bergerak
agak pegun
:

,

,

,.

3. Dengan gerakan mutlak, titik juga bergerak secara relatif
dan bersama-sama dengan sistem koordinat
agak pegun
:

Kemudian ungkapan untuk halaju, dengan mengambil kira (27), mempunyai bentuk

,
,

Membandingkan kebergantungan ini, kami memperoleh ungkapan untuk kelajuan mutlak:
. (61)

Kami memperoleh teorem mengenai penambahan halaju titik dalam gerakan kompleks: kelajuan mutlak sesuatu titik adalah sama dengan jumlah geometri komponen kelajuan relatif dan mudah alih.

Menggunakan pergantungan (31), kami memperoleh ungkapan untuk pecutan:

,

Membandingkan kebergantungan ini, kami memperoleh ungkapan untuk pecutan mutlak:
.

Kami mendapati bahawa pecutan mutlak sesuatu titik tidak sama dengan jumlah geometri komponen pecutan relatif dan mudah alih. Mari kita tentukan komponen pecutan mutlak dalam kurungan untuk kes khas.

1. Pergerakan translasi mudah alih bagi titik
. Dalam kes ini, paksi sistem koordinat bergerak
bergerak sepanjang masa selari dengan diri mereka sendiri, kemudian.

,

,

,
,
,
, Kemudian
. Akhirnya kita dapat

. (62)

Jika gerakan mudah alih suatu titik adalah translasi, maka pecutan mutlak titik tersebut adalah sama dengan jumlah geometri komponen relatif dan mudah alih bagi pecutan itu.

2. Pergerakan mudah alih titik adalah bukan terjemahan. Ini bermakna bahawa dalam kes ini sistem koordinat bergerak
berputar mengelilingi paksi serta-merta putaran dengan halaju sudut (Gamb. 70). Mari kita nyatakan titik di hujung vektor melalui . Kemudian, menggunakan kaedah vektor untuk menentukan (15), kita memperoleh vektor halaju titik ini
.

Di sisi lain,
. Dengan menyamakan sisi kanan kesamaan vektor ini, kita memperoleh:
. Dengan cara yang sama untuk vektor unit yang tinggal, kami memperoleh:
,
.

Dalam kes umum, pecutan mutlak titik adalah sama dengan jumlah geometri komponen pecutan relatif dan translasi ditambah hasil vektor dua kali ganda bagi vektor halaju sudut bagi gerakan translasi dan vektor halaju linear bagi gerakan relatif.

Hasil darab vektor berganda bagi vektor halaju sudut bagi gerakan mudah alih dan vektor halaju linear bagi gerakan relatif dipanggil Pecutan Coriolis dan ditetapkan

. (64)

Pecutan Coriolis mencirikan perubahan dalam kelajuan relatif dalam gerakan translasi dan perubahan dalam kelajuan translasi dalam gerakan relatif.

Berkepala
mengikut peraturan produk vektor. Vektor pecutan Coriolis sentiasa diarahkan berserenjang dengan satah yang dibentuk oleh vektor Dan , dengan cara yang, melihat dari hujung vektor
, lihat giliran Kepada , melalui sudut terkecil, lawan jam.

Modulus pecutan Coriolis adalah sama dengan.

Kinematik badan tegar

Berbeza dengan kinematik sesuatu titik, kinematik jasad tegar menyelesaikan dua masalah utama:

Menentukan pergerakan dan menentukan ciri-ciri kinematik badan secara keseluruhan;

Penentuan ciri kinematik mata badan.

Kaedah untuk menentukan dan menentukan ciri kinematik bergantung pada jenis gerakan badan.

Manual ini membincangkan tiga jenis gerakan: translasi, putaran mengelilingi paksi tetap dan gerakan selari satah bagi jasad tegar.

Gerakan translasi badan tegar

Translasi ialah pergerakan di mana garis lurus yang dilukis melalui dua titik badan kekal selari dengan kedudukan asalnya (Rajah 2.8).

Teorem telah dibuktikan: semasa gerakan translasi, semua titik badan bergerak sepanjang trajektori yang sama dan pada setiap saat masa mempunyai magnitud dan arah kelajuan dan pecutan yang sama (Rajah 2.8).

Kesimpulan: Pergerakan translasi jasad tegar ditentukan oleh pergerakan mana-mana titiknya, dan oleh itu, tugas dan kajian gerakannya dikurangkan kepada kinematik titik.

nasi. 2.8 Rajah. 2.9

Pergerakan putaran jasad tegar mengelilingi paksi tetap.

Pergerakan putaran mengelilingi paksi tetap ialah gerakan jasad tegar di mana dua titik kepunyaan jasad kekal tidak bergerak sepanjang masa pergerakan.

Kedudukan badan ditentukan oleh sudut putaran (Rajah 2.9). Unit ukuran untuk sudut ialah radian. (Radian ialah sudut pusat bulatan yang panjang lengkoknya sama dengan jejari; sudut penuh bulatan mengandungi 2 radian.)

Hukum pergerakan putaran jasad mengelilingi paksi tetap = (t). Kami menentukan halaju sudut dan pecutan sudut badan dengan kaedah pembezaan

Halaju sudut, rad/s; (2.10)

Pecutan sudut, rad/s 2 (2.11)

Apabila jasad berputar mengelilingi paksi tetap, titiknya yang tidak terletak pada paksi putaran bergerak dalam bulatan dengan pusat pada paksi putaran.

Jika anda membedah badan dengan satah berserenjang dengan paksi, pilih titik pada paksi putaran DENGAN dan titik sewenang-wenangnya M, kemudian tunjuk M akan menerangkan sekitar satu titik DENGAN jejari bulatan R(Gamb. 2.9). Pada masa itu dt putaran asas berlaku melalui sudut, dan titik M akan bergerak di sepanjang trajektori untuk satu jarak. Mari kita tentukan modul halaju linear:

Pecutan titik M dengan trajektori yang diketahui, ia ditentukan oleh komponennya, lihat (2.8)

Menggantikan ungkapan (2.12) ke dalam formula yang kita dapat:

di mana: - pecutan tangen,

Pecutan biasa.

Satah - gerakan selari badan tegar

Gerakan selari satah ialah gerakan jasad tegar di mana semua titiknya bergerak dalam satah selari dengan satu satah tetap (Rajah 2.10). Untuk mengkaji pergerakan sesuatu jasad, cukuplah dengan mengkaji gerakan satu bahagian S jasad ini dengan satah selari dengan satah tetap. Pergerakan bahagian S dalam satahnya boleh dianggap sebagai kompleks, terdiri daripada dua pergerakan asas: a) translasi dan putaran; b) putaran relatif kepada pusat yang bergerak (semerta).

Dalam versi pertama pergerakan bahagian boleh ditentukan oleh persamaan gerakan salah satu titiknya (kutub) dan putaran bahagian mengelilingi kutub (Rajah 2.11). Mana-mana titik bahagian boleh diambil sebagai tiang.

nasi. 2.10 Rajah. 2.11

Persamaan gerakan akan ditulis dalam bentuk:

X A = X A (t)

Y A =Y A (t) (2.14)

A = A (t)

Ciri-ciri kinematik kutub ditentukan daripada persamaan pergerakannya.

Kelajuan mana-mana titik rajah rata yang bergerak dalam satahnya terdiri daripada kelajuan tiang (dipilih secara sewenang-wenangnya dalam bahagian titik A) dan kelajuan putaran mengelilingi kutub (putaran titik DALAM sekitar titik A).

Pecutan sesuatu titik rajah rata yang bergerak terdiri daripada pecutan kutub berbanding rangka rujukan pegun dan pecutan akibat gerakan putaran mengelilingi kutub.

Dalam pilihan kedua pergerakan bahagian itu dianggap sebagai putaran mengelilingi pusat yang bergerak (semerta). P(Gamb. 1.12). Dalam kes ini, kelajuan mana-mana titik B bahagian akan ditentukan oleh formula untuk gerakan putaran

Halaju sudut mengelilingi pusat serta-merta R boleh ditentukan jika kelajuan mana-mana titik keratan, contohnya titik A, diketahui.

Rajah.2.12

Kedudukan pusat putaran serta-merta boleh ditentukan berdasarkan sifat berikut:

Vektor halaju titik adalah berserenjang dengan jejari;

Halaju mutlak suatu titik adalah berkadar dengan jarak dari titik ke pusat putaran ( V= R) ;

Kelajuan di pusat putaran ialah sifar.

Mari kita pertimbangkan beberapa kes menentukan kedudukan pusat serta-merta.

1. Arah halaju dua titik rajah rata diketahui (Rajah 2.13). Mari kita lukis garisan jejari. Pusat serta-merta putaran P terletak pada persilangan serenjang yang dilukis dengan vektor halaju.

2. Halaju titik A dan B diketahui, dan vektor dan selari antara satu sama lain, dan garis AB berserenjang (Rajah 2. 14). Dalam kes ini, pusat putaran serta-merta terletak pada garisan AB. Untuk mencarinya, kami melukis garis perkadaran kelajuan berdasarkan pergantungan V= R.

3. Jasad bergolek tanpa menggelongsor pada permukaan pegun jasad lain (Rajah 2.15). Titik sentuhan jasad pada masa ini mempunyai halaju sifar, manakala halaju titik lain jasad itu bukan sifar. Titik tangen P akan menjadi pusat putaran serta-merta.

nasi. 2.13 Rajah. 2.14 Rajah. 2.15

Sebagai tambahan kepada pilihan yang dipertimbangkan, halaju titik keratan boleh ditentukan berdasarkan teorem pada unjuran halaju dua titik jasad tegar.

Teorem: unjuran halaju dua titik jasad tegar pada garis lurus yang dilukis melalui titik-titik ini adalah sama antara satu sama lain dan sama terarah.

Bukti: jarak AB tidak boleh berubah, oleh itu

V Dan cos tidak boleh lebih atau kurang V Dalam kos (Rajah 2.16).

nasi. 2.16

Keluaran: V A cos = V DALAM cos. (2.19)

Pergerakan titik kompleks

Dalam perenggan sebelumnya, kami mempertimbangkan pergerakan titik relatif kepada kerangka rujukan tetap, yang dipanggil pergerakan mutlak. Dalam amalan, terdapat masalah di mana pergerakan titik relatif kepada sistem koordinat diketahui, yang bergerak relatif kepada sistem tetap. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menentukan ciri kinematik titik berbanding dengan sistem pegun.

Ia biasanya dipanggil: pergerakan titik relatif kepada sistem bergerak - relatif, pergerakan titik bersama-sama dengan sistem bergerak - mudah alih, pergerakan titik relatif kepada sistem pegun - mutlak. Halaju dan pecutan dipanggil sewajarnya:

Relatif; -mutlak.

Menurut teorem penambahan halaju, kelajuan mutlak sesuatu titik adalah sama dengan jumlah vektor halaju relatif dan mudah alih (Rajah).

Nilai mutlak kelajuan ditentukan oleh teorem kosinus

Rajah 2.17

Pecutan mengikut peraturan selari ditentukan hanya dengan pergerakan translasi

Dengan gerakan translasi bukan translasi, komponen pecutan ketiga muncul, dipanggil putaran atau Coriolis.

Pecutan Coriolis secara berangka sama dengan

di manakah sudut antara vektor dan

Arah vektor pecutan Coriolis ditentukan dengan mudah oleh peraturan N.E. Zhukovsky: unjurkan vektor pada satah berserenjang dengan paksi putaran mudah alih, putar unjuran 90 darjah ke arah putaran mudah alih. Arah yang terhasil akan sepadan dengan arah pecutan Coriolis.

Soalan untuk kawalan diri pada bahagian

1. Apakah tugas utama kinematik? Namakan ciri kinematik.

2. Namakan kaedah untuk menentukan pergerakan titik dan menentukan ciri kinematik.

3. Berikan takrif translasi, putaran mengelilingi paksi tetap, gerakan selari satah suatu jasad.

4. Bagaimanakah pergerakan jasad tegar ditentukan semasa translasi, putaran mengelilingi paksi tetap dan gerakan selari satah jasad, dan bagaimanakah kelajuan dan pecutan sesuatu titik ditentukan semasa pergerakan jasad ini?

Sudut putaran, halaju sudut dan pecutan sudut

Putaran jasad tegar mengelilingi paksi tetap Ia dipanggil pergerakan sedemikian di mana dua titik badan kekal tidak bergerak sepanjang masa pergerakan. Dalam kes ini, semua titik badan yang terletak pada garis lurus yang melalui titik tetapnya juga kekal tidak bergerak. Barisan ini dipanggil paksi putaran badan.

Jika A Dan DALAM- titik tetap badan (Gamb. 15 ), maka paksi putaran ialah paksi Oz, yang boleh mempunyai sebarang arah dalam ruang, tidak semestinya menegak. Satu arah paksi Oz diambil sebagai positif.

Kami melukis satah tetap melalui paksi putaran Oleh dan mudah alih P, melekat pada badan berputar. Biarkan pada saat awal kedua-dua pesawat bertepatan. Kemudian pada masa yang sama t kedudukan satah bergerak dan badan berputar itu sendiri boleh ditentukan oleh sudut dihedral antara satah dan sudut linear yang sepadan φ antara garis lurus yang terletak dalam satah ini dan berserenjang dengan paksi putaran. Sudut φ dipanggil sudut putaran badan.

Kedudukan badan berbanding sistem rujukan yang dipilih ditentukan sepenuhnya dalam mana-mana

seketika dalam masa, jika diberi persamaan φ =f(t) (5)

di mana f(t)- sebarang fungsi masa yang boleh dibezakan dua kali. Persamaan ini dipanggil persamaan untuk putaran jasad tegar mengelilingi paksi tetap.

Jasad yang berputar mengelilingi paksi tetap mempunyai satu darjah kebebasan, kerana kedudukannya ditentukan dengan menetapkan hanya satu parameter - sudut φ .

Sudut φ dianggap positif jika ia diplot mengikut arah lawan jam, dan negatif dalam arah bertentangan apabila dilihat dari arah positif paksi Oz. Lintasan titik sesuatu jasad semasa putarannya mengelilingi paksi tetap ialah bulatan yang terletak dalam satah berserenjang dengan paksi putaran.

Untuk mencirikan gerakan putaran jasad tegar di sekeliling paksi tetap, kami memperkenalkan konsep halaju sudut dan pecutan sudut. Halaju sudut algebra badan pada bila-bila masa dipanggil terbitan pertama berkenaan dengan masa sudut putaran pada masa ini, i.e. dφ/dt = φ. Ia adalah kuantiti positif apabila badan berputar mengikut lawan jam, kerana sudut putaran meningkat dengan masa, dan negatif apabila badan berputar mengikut arah jam, kerana sudut putaran berkurangan.

Modul halaju sudut dilambangkan dengan ω. Kemudian ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimensi halaju sudut ditetapkan mengikut (6)

[ω] = sudut/masa = rad/s = s -1.

Dalam kejuruteraan, halaju sudut ialah kelajuan putaran yang dinyatakan dalam pusingan seminit. Dalam 1 minit badan akan berputar melalui satu sudut 2πп, Jika n- bilangan pusingan seminit. Membahagikan sudut ini dengan bilangan saat dalam satu minit, kita dapat: (7)

Pecutan sudut algebra badan dipanggil terbitan pertama berkenaan dengan masa kelajuan algebra, i.e. terbitan kedua bagi sudut putaran d 2 φ/dt 2 = ω. Mari kita nyatakan modul pecutan sudut ε , Kemudian ε=|φ| (8)

Dimensi pecutan sudut diperoleh daripada (8):

[ε ] = halaju sudut/masa = rad/s 2 = s -2

Jika φ’’>0 di φ’>0 , maka halaju sudut algebra meningkat dengan masa dan, oleh itu, badan berputar dipercepatkan pada masa dalam masa dalam arah positif (lawan arah jam). Pada φ’’<0 Dan φ’<0 badan berputar dengan pantas ke arah negatif. Jika φ’’<0 di φ’>0 , maka kita mempunyai putaran perlahan ke arah positif. Pada φ’’>0 Dan φ’<0 , iaitu putaran perlahan berlaku ke arah negatif. Halaju sudut dan pecutan sudut dalam rajah digambarkan oleh anak panah lengkok di sekeliling paksi putaran. Anak panah lengkok untuk halaju sudut menunjukkan arah putaran badan;

Untuk putaran dipercepatkan, anak panah lengkok untuk halaju sudut dan pecutan sudut mempunyai arah yang sama; untuk putaran perlahan, arahnya adalah bertentangan.

Kes-kes khas putaran badan tegar

Putaran dikatakan seragam jika ω=const, φ= φ’t

Putaran akan seragam jika ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t dan

Secara umum, jika φ’’ bukan setiap masa

Halaju dan pecutan mata badan

Persamaan untuk putaran jasad tegar mengelilingi paksi tetap diketahui φ= f(t)(Gamb. 16). Jarak s mata M dalam pesawat yang bergerak P sepanjang lengkok bulat (trajektori titik), diukur dari titik M o, terletak dalam satah tetap, dinyatakan melalui sudut φ ketagihan s=hφ, Di mana h-jejari bulatan sepanjang titik bergerak. Ia adalah jarak terpendek dari satu titik M kepada paksi putaran. Ini kadangkala dipanggil jejari putaran sesuatu titik. Pada setiap titik badan, jejari putaran kekal tidak berubah apabila badan berputar mengelilingi paksi tetap.

Kelajuan algebra bagi sesuatu titik M ditentukan oleh formula v τ =s’=hφ Modul kelajuan titik: v=hω(9)

Halaju titik badan apabila berputar mengelilingi paksi tetap adalah berkadar dengan jarak terpendeknya ke paksi ini. Pekali perkadaran ialah halaju sudut. Halaju titik diarahkan sepanjang tangen ke trajektori dan, oleh itu, berserenjang dengan jejari putaran. Halaju titik badan yang terletak pada segmen garis lurus OM, mengikut (9) diedarkan mengikut hukum linear. Mereka saling selari, dan hujungnya terletak pada garis lurus yang sama melalui paksi putaran. Kami menguraikan pecutan titik kepada komponen tangen dan normal, i.e. a=a τ +a nτ Pecutan tangen dan normal dikira menggunakan formula (10)

kerana untuk bulatan jejari kelengkungan ialah p=h(Gamb. 17 ). Oleh itu,

Pecutan tangen, normal dan jumlah titik, serta halaju, juga diedarkan mengikut hukum linear. Mereka bergantung secara linear pada jarak titik ke paksi putaran. Pecutan normal diarahkan sepanjang jejari bulatan ke arah paksi putaran. Arah pecutan tangen bergantung kepada tanda pecutan sudut algebra. Pada φ’>0 Dan φ’’>0 atau φ’<0 Dan φ’<0 kita telah mempercepatkan putaran badan dan arah vektor a τ Dan v perlawanan. Jika φ’ Dan φ’" mempunyai tanda yang berbeza (putaran perlahan), kemudian a τ Dan v diarahkan bertentangan antara satu sama lain.

Setelah ditetapkan α sudut antara jumlah pecutan titik dan jejari putarannya, kita ada

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

sejak pecutan biasa a p sentiasa positif. Sudut A sama untuk semua titik badan. Ia harus ditangguhkan dari pecutan ke jejari putaran ke arah anak panah lengkok pecutan sudut, tanpa mengira arah putaran badan tegar.

Vektor halaju sudut dan pecutan sudut

Mari kita perkenalkan konsep vektor halaju sudut dan pecutan sudut jasad. Jika KEPADA ialah vektor unit paksi putaran yang diarahkan ke arah positifnya, kemudian vektor halaju sudut ώ dan pecutan sudut ε ditentukan oleh ungkapan (12)

Kerana k ialah pemalar vektor dalam magnitud dan arah, maka dari (12) ia mengikutinya

ε=dώ/dt(13)

Pada φ’>0 Dan φ’’>0 arah vektor ώ Dan ε perlawanan. Kedua-duanya diarahkan ke arah sisi positif paksi putaran Oz(Gamb. 18.a)Jika φ’>0 Dan φ’’<0 , maka ia diarahkan ke arah yang bertentangan (Rajah 18.b ). Vektor pecutan sudut bertepatan dengan arah dengan vektor halaju sudut semasa putaran dipercepatkan dan bertentangan dengannya semasa putaran perlahan. vektor ώ Dan ε boleh digambarkan pada mana-mana titik pada paksi putaran. Mereka adalah vektor yang bergerak. Sifat ini mengikuti daripada formula vektor untuk halaju dan pecutan titik badan.

Pergerakan titik kompleks

Konsep Asas

Untuk mengkaji beberapa jenis gerakan yang lebih kompleks bagi jasad tegar, adalah dinasihatkan untuk mempertimbangkan gerakan kompleks yang paling mudah bagi sesuatu titik. Dalam banyak masalah, pergerakan titik mesti dianggap relatif kepada dua (atau lebih) sistem rujukan yang bergerak relatif antara satu sama lain. Oleh itu, pergerakan kapal angkasa yang bergerak ke arah Bulan mesti dipertimbangkan secara serentak kedua-duanya relatif kepada Bumi dan relatif kepada Bulan, yang bergerak relatif kepada Bumi. Sebarang pergerakan titik boleh dianggap kompleks, terdiri daripada beberapa pergerakan. Sebagai contoh, pergerakan kapal di sepanjang sungai berbanding dengan Bumi boleh dianggap kompleks, terdiri daripada pergerakan di sepanjang air dan bersama-sama dengan air yang mengalir.

Dalam kes yang paling mudah, pergerakan kompleks titik terdiri daripada pergerakan relatif dan translasi. Mari kita tentukan pergerakan ini. Marilah kita mempunyai dua sistem rujukan yang bergerak relatif antara satu sama lain. Jika salah satu daripada sistem ini O l x 1 y 1 z 1(Gamb. 19 ) diambil sebagai yang utama atau pegun (pergerakannya berbanding sistem rujukan lain tidak dipertimbangkan), kemudian sistem rujukan kedua Oxyz akan bergerak relatif kepada yang pertama. Pergerakan titik relatif kepada bingkai rujukan bergerak Oxyz dipanggil relatif. Ciri-ciri pergerakan ini, seperti trajektori, kelajuan dan pecutan, dipanggil relatif. Mereka ditetapkan oleh indeks r; untuk kelajuan dan pecutan v r , a r . Pergerakan titik relatif kepada kerangka rujukan sistem utama atau tetap O 1 x 1 y 1 z 1 dipanggil mutlak(atau kompleks ). Ia juga kadang-kadang dipanggil komposit pergerakan. Trajektori, kelajuan dan pecutan pergerakan ini dipanggil mutlak. Kelajuan dan pecutan gerakan mutlak ditunjukkan oleh huruf v, a tiada indeks.

Pergerakan mudah alih sesuatu titik ialah pergerakan yang dibuatnya bersama-sama dengan kerangka rujukan bergerak, sebagai titik yang dilekatkan tegar pada sistem ini pada masa yang sedang dipertimbangkan. Disebabkan oleh pergerakan relatif, titik bergerak pada masa yang berbeza bertepatan dengan titik badan yang berbeza S, yang dilampirkan sistem rujukan bergerak. Kelajuan mudah alih dan pecutan mudah alih adalah kelajuan dan pecutan titik badan itu S, dengan mana titik bergerak pada masa ini bertepatan. Kelajuan dan pecutan mudah alih menandakan v e , a e.

Jika lintasan semua titik badan S, dilampirkan pada sistem rujukan bergerak, yang digambarkan dalam rajah (Rajah 20), maka kami memperoleh keluarga garisan - keluarga trajektori pergerakan mudah alih sesuatu titik M. Disebabkan oleh pergerakan relatif titik M pada setiap saat ia berada pada salah satu trajektori pergerakan mudah alih. titik M boleh bertepatan dengan hanya satu mata pada setiap trajektori keluarga trajektori mudah alih ini. Dalam hal ini, kadangkala dipercayai bahawa tiada trajektori pergerakan mudah alih, kerana garisan perlu dipertimbangkan sebagai trajektori pergerakan mudah alih, yang mana hanya satu titik sebenarnya titik trajektori.

Dalam kinematik sesuatu titik, pergerakan titik relatif kepada mana-mana sistem rujukan telah dikaji, tidak kira sama ada sistem rujukan ini bergerak relatif kepada sistem lain atau tidak. Marilah kita menambah kajian ini dengan mempertimbangkan gerakan kompleks, dalam kes paling mudah terdiri daripada gerakan relatif dan kiasan. Satu gerakan mutlak yang sama, memilih bingkai rujukan bergerak yang berbeza, boleh dianggap terdiri daripada gerakan mudah alih yang berbeza dan, oleh itu, gerakan relatif.

Penambahan kelajuan

Mari kita tentukan kelajuan pergerakan mutlak sesuatu titik jika kelajuan pergerakan relatif dan mudah alih bagi titik ini diketahui. Biarkan titik membuat hanya satu, pergerakan relatif berkenaan dengan kerangka bergerak rujukan Oxyz dan pada masa t menempati kedudukan M pada trajektori pergerakan relatif (Rajah 20). Pada masa t+t, disebabkan pergerakan relatif, titik akan berada dalam kedudukan M 1, setelah menggerakkan MM 1 di sepanjang trajektori gerakan relatif. Mari kita anggap bahawa perkara itu terlibat Oxyz dan dengan trajektori relatif ia akan bergerak sepanjang beberapa lengkung MM 2. Jika titik mengambil bahagian secara serentak dalam kedua-dua pergerakan relatif dan mudah alih, maka dalam masa A; dia akan berpindah ke MM" sepanjang trajektori gerakan mutlak dan pada saat masa t+At akan mengambil jawatan tersebut M". Jika masa Pada sedikit dan kemudian pergi ke had di Pada, cenderung kepada sifar, maka anjakan kecil di sepanjang lengkung boleh digantikan dengan segmen kord dan diambil sebagai vektor anjakan. Menambah anjakan vektor, kita dapat

Dalam hal ini, kuantiti kecil tertib yang lebih tinggi dibuang, cenderung kepada sifar pada Pada, cenderung kepada sifar. Melepasi had, kita ada (14)

Oleh itu, (14) akan mengambil borang (15)

Apa yang dipanggil teorem penambahan halaju diperolehi: kelajuan pergerakan mutlak sesuatu titik adalah sama dengan jumlah vektor bagi kelajuan pergerakan mudah alih dan relatif titik ini. Oleh kerana dalam kes umum kelajuan pergerakan mudah alih dan relatif tidak berserenjang, maka (15’)

Maklumat berkaitan.