Semua penyelesaian integer bagi ketaksamaan. Ketaksamaan linear, contoh, penyelesaian

Ketaksamaan ialah ungkapan dengan, ≤, atau ≥. Sebagai contoh, 3x - 5 Untuk menyelesaikan ketaksamaan bermakna mencari semua nilai pembolehubah yang mana ketaksamaan ini adalah benar. Setiap nombor ini adalah penyelesaian kepada ketidaksamaan, dan set semua penyelesaian tersebut ialah penyelesaiannya banyak penyelesaian. Ketaksamaan yang mempunyai set penyelesaian yang sama dipanggil ketaksamaan yang setara.

Ketaksamaan linear

Prinsip untuk menyelesaikan ketaksamaan adalah serupa dengan prinsip untuk menyelesaikan persamaan.

Prinsip untuk menyelesaikan ketaksamaan
Untuk sebarang nombor nyata a, b, dan c :
Prinsip menambah ketaksamaan: Sekiranya Prinsip pendaraban untuk ketaksamaan: Jika 0 adalah benar, maka ac Jika bc juga benar.
Pernyataan yang sama juga digunakan untuk ≤ b.

Apabila kedua-dua belah ketaksamaan didarab dengan nombor negatif, tanda ketaksamaan perlu diterbalikkan.
Ketaksamaan peringkat pertama, seperti dalam Contoh 1 (di bawah), dipanggil ketaksamaan linear.

Contoh 1 Selesaikan setiap ketaksamaan berikut. Kemudian lukis satu set penyelesaian.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Penyelesaian
Sebarang nombor yang kurang daripada 11/5 ialah penyelesaian.
Set penyelesaian ialah (x|x
Untuk membuat semakan, kita boleh plot y 1 = 3x - 5 dan y 2 = 6 - 2x. Kemudian ia boleh dilihat dari sini bahawa untuk x
Set penyelesaian ialah (x|x ≤ 1), atau (-∞, 1]. Graf bagi set penyelesaian ditunjukkan di bawah.

Ketaksamaan berganda

Apabila dua ketaksamaan disambungkan dengan perkataan dan, atau, maka ia terbentuk ketaksamaan berganda. Ketaksamaan berganda seperti
-3 dan 2x + 5 ≤ 7
dipanggil bersambung kerana ia menggunakan dan. Rekod -3 Ketaksamaan berganda boleh diselesaikan menggunakan prinsip penambahan dan pendaraban ketaksamaan.

Contoh 2 Selesaikan -3 Penyelesaian Kami ada

Set penyelesaian (x|x ≤ -1 atau x > 3). Kita juga boleh menulis penyelesaian menggunakan tatatanda jarak dan simbol untuk persatuan atau kemasukan kedua-dua set: (-∞ -1] (3, ∞) Graf bagi set penyelesaian ditunjukkan di bawah.

Untuk menguji, lukis y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 dan y 3 = 1. Perhatikan bahawa untuk (x|x ≤ -1 atau x > 3), y 1 ≤ y 2 atau y 1 > y 3 .

Ketaksamaan dengan nilai mutlak (modulus)

Ketaksamaan kadangkala mengandungi modul. Sifat berikut digunakan untuk menyelesaikannya.
Untuk a > 0 dan ungkapan algebra x:
|x| |x| > a bersamaan dengan x atau x > a.
Penyataan serupa untuk |x| ≤ a dan |x| ≥ a.

Sebagai contoh,
|x| |y| ≥ 1 bersamaan dengan y ≤ -1 atau y ≥ 1;
dan |2x + 3| ≤ 4 bersamaan dengan -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Contoh 4 Selesaikan setiap ketaksamaan berikut. Plot set penyelesaian.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Penyelesaian
a) |3x + 2|

Set penyelesaian ialah (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Set penyelesaian ialah (x|x ≤ 2 atau x ≥ 3), atau (-∞, 2] . Integer yang termasuk dalam selang ini ialah -3; -2; -1; 0; 1. Terdapat 5 daripadanya.

4) Berapakah bilangan integer adalah penyelesaian bagi sistem ketaksamaan?

Sebagai contoh, ungkapan \(x>5\) ialah ketaksamaan.

Jenis ketidaksamaan:

Jika \(a\) dan \(b\) ialah nombor atau , maka ketaksamaan itu dipanggil berangka. Sebenarnya, ini hanyalah perbandingan dua nombor. Ketaksamaan ini dibahagikan kepada setia dan tidak setia.

Sebagai contoh:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) ialah ketaksamaan berangka yang tidak sah kerana \(17+3=20\) dan \(20\) adalah kurang daripada \(115\) (tidak lebih besar daripada atau sama dengan).

Jika \(a\) dan \(b\) ialah ungkapan yang mengandungi pembolehubah, maka kita ada ketidaksamaan dengan pembolehubah. Ketaksamaan tersebut dibahagikan kepada jenis bergantung pada kandungan:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Boleh ubah hanya kepada kuasa pertama
\(3x^2-x+5>0\)				Terdapat pembolehubah dalam kuasa kedua (persegi), tetapi tiada kuasa yang lebih tinggi (ketiga, keempat, dll.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... dan sebagainya.

Apakah penyelesaian kepada ketidaksamaan?

Jika sebarang nombor digantikan ke dalam ketaksamaan dan bukannya pembolehubah, maka ia akan bertukar menjadi nombor.

Jika nilai yang diberikan untuk x menjadikan ketaksamaan asal sebagai berangka sebenar, maka ia dipanggil menyelesaikan ketidaksamaan. Jika tidak, maka nilai ini bukan penyelesaian. Dan kepada menyelesaikan ketidaksamaan- anda perlu mencari semua penyelesaiannya (atau menunjukkan bahawa ia tidak wujud).

Sebagai contoh, jika kita berada dalam ketaksamaan linear \(x+6>10\), kita gantikan nombor \(7\) dan bukannya x, kita mendapat ketaksamaan berangka yang betul: \(13>10\). Dan jika kita menggantikan \(2\), akan terdapat ketaksamaan berangka yang salah \(8>10\). Iaitu, \(7\) ialah penyelesaian kepada ketaksamaan asal, tetapi \(2\) tidak.

Walau bagaimanapun, ketaksamaan \(x+6>10\) mempunyai penyelesaian lain. Sesungguhnya, kita akan mendapat ketaksamaan berangka yang betul apabila menggantikan dan \(5\), dan \(12\), dan \(138\) ... Dan bagaimanakah kita boleh mencari semua penyelesaian yang mungkin? Untuk melakukan ini, gunakan Untuk kes kami, kami mempunyai:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Iaitu, kita boleh menggunakan sebarang nombor yang lebih besar daripada empat. Sekarang kita perlu menulis jawapannya. Penyelesaian kepada ketidaksamaan, sebagai peraturan, ditulis secara berangka, selain menandakannya pada paksi berangka dengan penetasan. Untuk kes kami, kami mempunyai:

Jawapan: \(x\in(4;+\infty)\)

Bilakah tanda berubah dalam ketaksamaan?

Terdapat satu perangkap besar dalam ketidaksamaan, yang pelajar benar-benar "suka" jatuh ke dalam:

Apabila mendarab (atau membahagi) ketaksamaan dengan nombor negatif, ia diterbalikkan ("lebih besar daripada" dengan "kurang", "lebih besar daripada atau sama dengan" dengan "kurang daripada atau sama dengan", dan seterusnya)

Kenapa ini terjadi? Untuk memahami perkara ini, mari kita lihat transformasi ketaksamaan berangka \(3>1\). Memang betul, tiga kali ganda itu benar-benar lebih daripada satu. Mula-mula, mari kita cuba untuk mendarabkannya dengan sebarang nombor positif, sebagai contoh, dua:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Seperti yang anda lihat, selepas pendaraban, ketaksamaan kekal benar. Dan tidak kira apa nombor positif yang kita darabkan, kita akan sentiasa mendapat ketaksamaan yang betul. Dan sekarang mari kita cuba untuk mendarab dengan nombor negatif, sebagai contoh, tolak tiga:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Ia ternyata ketidaksamaan yang salah, kerana tolak sembilan adalah kurang daripada tolak tiga! Iaitu, agar ketidaksamaan menjadi benar (yang bermaksud bahawa transformasi pendaraban dengan negatif adalah "undang-undang"), anda perlu membalikkan tanda perbandingan, seperti ini: \(−9<− 3\).
Dengan pembahagian, ia akan menjadi sama, anda boleh menyemaknya sendiri.

Peraturan yang ditulis di atas digunakan untuk semua jenis ketaksamaan, dan bukan hanya untuk yang berangka.

Contoh: Selesaikan ketaksamaan \(2(x+1)-1<7+8x\)
Penyelesaian:

\(2x+2-1<7+8x\)	Mari kita gerakkan \(8x\) ke kiri, dan \(2\) dan \(-1\) ke kanan, jangan lupa untuk menukar tanda
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan \(-6\), jangan lupa untuk menukar daripada "kurang" kepada "lebih besar"
	Mari kita tandakan selang berangka pada paksi. Ketaksamaan, jadi nilai \(-1\) "ditebuk" dan kami tidak menerimanya sebagai tindak balas
	Mari tulis jawapan sebagai selang

Jawapan: \(x\in(-1;\infty)\)

Ketaksamaan dan DHS

Ketaksamaan, serta persamaan, boleh mempunyai sekatan pada , iaitu, pada nilai x. Sehubungan itu, nilai-nilai yang tidak boleh diterima mengikut ODZ harus dikecualikan daripada selang penyelesaian.

Contoh: Selesaikan ketaksamaan \(\sqrt(x+1)<3\)

Penyelesaian: Adalah jelas bahawa untuk bahagian kiri kurang daripada \(3\), ungkapan akar mestilah kurang daripada \(9\) (lagipun, daripada \(9\) hanya \(3\)). Kita mendapatkan:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Semua? Mana-mana nilai x kurang daripada \(8\) akan sesuai dengan kami? Tidak! Kerana jika kita mengambil, sebagai contoh, nilai \(-5\) yang nampaknya sesuai dengan keperluan, ia tidak akan menjadi penyelesaian kepada ketidaksamaan asal, kerana ia akan membawa kita untuk mengira punca nombor negatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Oleh itu, kita juga mesti mengambil kira sekatan ke atas nilai x - ia tidak boleh sedemikian rupa sehingga terdapat nombor negatif di bawah punca. Oleh itu, kita mempunyai keperluan kedua untuk x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Dan untuk x menjadi penyelesaian muktamad, ia mesti memenuhi kedua-dua keperluan sekaligus: ia mestilah kurang daripada \(8\) (untuk menjadi penyelesaian) dan lebih besar daripada \(-1\) (untuk sah pada dasarnya). Memplot pada garis nombor, kami mempunyai jawapan akhir:

Jawapan: \(\kiri[-1;8\kanan)\)

Selepas menerima maklumat awal tentang ketaksamaan dengan pembolehubah, kita beralih kepada persoalan penyelesaiannya. Mari analisa penyelesaian ketaksamaan linear dengan satu pembolehubah dan semua kaedah untuk penyelesaiannya dengan algoritma dan contoh. Hanya persamaan linear dengan satu pembolehubah akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apakah ketaksamaan linear?

Mula-mula anda perlu mentakrifkan persamaan linear dan mengetahui bentuk piawainya dan bagaimana ia akan berbeza daripada yang lain. Daripada kursus sekolah kita mendapati bahawa ketidaksamaan tidak mempunyai perbezaan asas, jadi beberapa definisi mesti digunakan.

Definisi 1

Ketaksamaan linear dengan satu pembolehubah x ialah ketaksamaan dalam bentuk a x + b > 0 apabila sebarang tanda ketaksamaan digunakan dan bukannya >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definisi 2

Ketaksamaan a x< c или a · x >c , dengan x ialah pembolehubah dan a dan c beberapa nombor, dipanggil ketaksamaan linear dengan satu pembolehubah.

Oleh kerana tiada apa yang dikatakan tentang sama ada pekali boleh sama dengan 0 , maka ketaksamaan ketat dalam bentuk 0 x > c dan 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Perbezaan mereka adalah:

• tatatanda a · x + b > 0 dalam yang pertama, dan a · x > c – dalam yang kedua;
• kebolehterimaan pekali sifar a , a ≠ 0 - dalam yang pertama, dan a = 0 - dalam yang kedua.

Adalah dipercayai bahawa ketaksamaan a x + b > 0 dan a x > c adalah setara, kerana ia diperoleh dengan memindahkan istilah dari satu bahagian ke bahagian yang lain. Menyelesaikan ketaksamaan 0 · x + 5 > 0 akan membawa kepada fakta bahawa ia perlu diselesaikan, dan kes a = 0 tidak akan berfungsi.

Definisi 3

Ia dianggap bahawa ketaksamaan linear dalam satu pembolehubah x ialah ketaksamaan bentuk a x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 dan a x + b ≥ 0, dengan a dan b ialah nombor nyata. Daripada x, boleh ada nombor biasa.

Berdasarkan peraturan, kita mempunyai 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 dipanggil linear.

Bagaimana untuk menyelesaikan ketaksamaan linear

Cara utama untuk menyelesaikan ketaksamaan tersebut adalah dengan menggunakan transformasi setara untuk mencari ketaksamaan asas x< p (≤ , >, ≥), p ialah beberapa nombor, untuk a ≠ 0 , dan dalam bentuk a< p (≤ , >, ≥) untuk a = 0 .

Untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pembolehubah, anda boleh menggunakan kaedah selang atau mewakilinya secara grafik. Mana-mana daripada mereka boleh digunakan secara berasingan.

Menggunakan transformasi setara

Untuk menyelesaikan ketaksamaan linear bentuk a x + b< 0 (≤ , >, ≥), adalah perlu untuk menggunakan transformasi setara bagi ketaksamaan. Pekali mungkin atau mungkin tidak sifar. Mari kita pertimbangkan kedua-dua kes. Untuk menjelaskan, adalah perlu untuk mematuhi skema yang terdiri daripada 3 mata: intipati proses, algoritma, penyelesaian itu sendiri.

Definisi 4

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan linear a x + b< 0 (≤ , >, ≥) untuk ≠ 0

• nombor b akan dipindahkan ke sebelah kanan ketaksamaan dengan tanda yang bertentangan, yang akan membolehkan kita datang ke persamaan a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• kedua-dua bahagian ketaksamaan akan dibahagikan dengan nombor yang tidak sama dengan 0. Lebih-lebih lagi, apabila a positif, tandanya kekal, apabila a negatif, ia berubah kepada sebaliknya.

Pertimbangkan aplikasi algoritma ini untuk menyelesaikan contoh.

Contoh 1

Selesaikan ketaksamaan dalam bentuk 3 · x + 12 ≤ 0 .

Penyelesaian

Ketaksamaan linear ini mempunyai a = 3 dan b = 12 . Oleh itu, pekali a bagi x tidak sama dengan sifar. Mari gunakan algoritma di atas dan selesaikan.

Ia adalah perlu untuk memindahkan istilah 12 ke bahagian lain ketidaksamaan dengan perubahan tanda di hadapannya. Kemudian kita memperoleh ketaksamaan dalam bentuk 3 · x ≤ − 12 . Adalah perlu untuk membahagikan kedua-dua bahagian dengan 3. Tanda tidak akan berubah kerana 3 ialah nombor positif. Kami mendapat bahawa (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , yang akan memberikan hasil x ≤ − 4 .

Ketaksamaan dalam bentuk x ≤ − 4 adalah setara. Iaitu, penyelesaian untuk 3 x + 12 ≤ 0 ialah sebarang nombor nyata yang kurang daripada atau sama dengan 4 . Jawapannya ditulis sebagai ketaksamaan x ≤ − 4 , atau selang berangka bentuk (− ∞ , − 4 ] .

Keseluruhan algoritma yang diterangkan di atas ditulis seperti berikut:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Jawapan: x ≤ − 4 atau (− ∞ , − 4 ] .

Contoh 2

Nyatakan semua penyelesaian yang tersedia bagi ketaksamaan − 2 , 7 · z > 0 .

Penyelesaian

Daripada keadaan kita lihat bahawa pekali a pada z adalah bersamaan dengan - 2, 7, dan b secara eksplisit tidak hadir atau sama dengan sifar. Anda tidak boleh menggunakan langkah pertama algoritma, tetapi segera pergi ke langkah kedua.

Kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan nombor - 2, 7. Oleh kerana nombornya negatif, adalah perlu untuk menukar tanda ketaksamaan kepada sebaliknya. Iaitu, kita mendapat bahawa (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Kami menulis keseluruhan algoritma dalam bentuk pendek:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Jawapan: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Contoh 3

Selesaikan ketaksamaan - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Penyelesaian

Mengikut keadaan, kita melihat bahawa adalah perlu untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan pekali a untuk pembolehubah x, yang sama dengan - 5, dengan pekali b, yang sepadan dengan pecahan - 15 22 . Adalah perlu untuk menyelesaikan ketaksamaan mengikut algoritma, iaitu: pindahkan - 15 22 ke bahagian lain dengan tanda bertentangan, bahagikan kedua-dua bahagian dengan - 5, tukar tanda ketaksamaan:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pada peralihan terakhir, untuk sebelah kanan, peraturan untuk membahagi nombor dengan tanda yang berbeza digunakan 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, selepas itu kita membahagikan pecahan biasa dengan nombor asli - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Jawapan: x ≥ - 3 22 dan [ - 3 22 + ∞) .

Pertimbangkan kes apabila a = 0. Ungkapan linear bagi bentuk a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Semuanya berdasarkan definisi penyelesaian ketidaksamaan. Untuk sebarang nilai x, kita memperoleh ketaksamaan berangka dalam bentuk b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Kami menganggap semua pertimbangan dalam bentuk algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan linear 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definisi 5

Ketaksamaan berangka bentuk b< 0 (≤ , >, ≥) adalah benar, maka ketaksamaan asal mempunyai penyelesaian untuk sebarang nilai, dan palsu apabila ketaksamaan asal tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh 4

Selesaikan ketaksamaan 0 · x + 7 > 0 .

Penyelesaian

Ketaksamaan linear 0 · x + 7 > 0 ini boleh mengambil sebarang nilai x . Kemudian kita mendapat ketaksamaan dalam bentuk 7 > 0 . Ketaksamaan terakhir dianggap benar, jadi sebarang nombor boleh menjadi penyelesaiannya.

Jawab: selang (− ∞ , + ∞) .

Contoh 5

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Penyelesaian

Menggantikan pembolehubah x untuk sebarang nombor, kita dapati bahawa ketaksamaan akan mengambil bentuk − 12 , 7 ≥ 0 . Ia tidak betul. Iaitu, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: tiada penyelesaian.

Pertimbangkan penyelesaian ketaksamaan linear, di mana kedua-dua pekali adalah sama dengan sifar.

Contoh 6

Tentukan ketaksamaan tidak boleh diselesaikan daripada 0 · x + 0 > 0 dan 0 · x + 0 ≥ 0 .

Penyelesaian

Apabila menggantikan sebarang nombor dan bukannya x, kita mendapat dua ketaksamaan dalam bentuk 0 > 0 dan 0 ≥ 0 . Yang pertama tidak betul. Ini bermakna 0 x + 0 > 0 tidak mempunyai penyelesaian, dan 0 x + 0 ≥ 0 mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, iaitu sebarang nombor.

Jawab: ketaksamaan 0 x + 0 > 0 tidak mempunyai penyelesaian, dan 0 x + 0 ≥ 0 mempunyai penyelesaian.

Kaedah ini dipertimbangkan dalam kursus matematik sekolah. Kaedah selang mampu menyelesaikan pelbagai jenis ketaksamaan, termasuk yang linear.

Kaedah selang digunakan untuk ketaksamaan linear apabila nilai pekali x tidak sama dengan 0 . Jika tidak, anda perlu mengira menggunakan kaedah lain.

Definisi 6

Kaedah jarak adalah:

• pengenalan fungsi y = a x + b ;
• cari sifar untuk memisahkan domain definisi kepada selang;
• penentuan tanda untuk konsep mereka pada selang waktu.

Mari kita kumpulkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear a x + b< 0 (≤ , >, ≥) untuk ≠ 0 menggunakan kaedah selang:

• mencari sifar bagi fungsi y = a · x + b untuk menyelesaikan persamaan bentuk a · x + b = 0 . Jika a ≠ 0, maka penyelesaiannya akan menjadi satu-satunya punca yang akan mengambil sebutan x 0;
• pembinaan garis koordinat dengan imej titik dengan koordinat x 0, dengan ketaksamaan ketat, titik dilambangkan dengan tebuk keluar, dengan ketaksamaan tidak ketat, ia berlorek;
• penentuan tanda-tanda fungsi y = a x + b pada selang, untuk ini adalah perlu untuk mencari nilai fungsi pada titik pada selang;
• penyelesaian ketaksamaan dengan tanda > atau ≥ pada garis koordinat, penetasan ditambah di atas jurang positif,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian ketaksamaan linear menggunakan kaedah selang.

Contoh 6

Selesaikan ketaksamaan − 3 · x + 12 > 0 .

Penyelesaian

Ia berikutan daripada algoritma yang pertama anda perlu mencari punca persamaan − 3 · x + 12 = 0 . Kami mendapat bahawa − 3 · x = − 12 , x = 4 . Ia adalah perlu untuk menggambarkan garis koordinat, di mana kita menandakan titik 4. Ia akan tertusuk kerana ketidaksamaan adalah ketat. Pertimbangkan lukisan di bawah.

Ia adalah perlu untuk menentukan tanda-tanda pada selang waktu. Untuk menentukannya pada selang (− ∞ , 4) , adalah perlu untuk mengira fungsi y = − 3 · x + 12 untuk x = 3 . Dari sini kita dapati bahawa − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Tanda pada jurang adalah positif.

Kami menentukan tanda dari selang (4, + ∞), kemudian kami menggantikan nilai x \u003d 5. Kami mempunyai − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Kami melakukan penyelesaian ketaksamaan dengan tanda > , dan penetasan dilakukan di atas jurang positif. Pertimbangkan lukisan di bawah.

Ia boleh dilihat daripada lukisan bahawa penyelesaian yang dikehendaki mempunyai bentuk (− ∞ , 4) atau x< 4 .

Jawab: (− ∞ , 4) atau x< 4 .

Untuk memahami cara untuk mewakili secara grafik, adalah perlu untuk mempertimbangkan 4 ketaksamaan linear sebagai contoh: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 dan 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Penyelesaian mereka ialah x< 2 , x ≤ 2 , x >2 dan x ≥ 2 . Untuk melakukan ini, lukis graf bagi fungsi linear y = 0 , 5 · x − 1 di bawah.

Ia adalah jelas bahawa

Definisi 7

• penyelesaian ketaksamaan 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• penyelesaian 0 , 5 x − 1 ≤ 0 ialah selang di mana fungsi y = 0 , 5 x − 1 berada di bawah 0 x atau bertepatan;
• penyelesaian 0 , 5 x − 1 > 0 dianggap sebagai selang, di mana fungsi terletak di atas O x;
• penyelesaian 0 , 5 x − 1 ≥ 0 ialah selang di mana graf lebih tinggi daripada O x atau bertepatan.

Maksud penyelesaian grafik bagi ketaksamaan adalah untuk mencari jurang, yang mesti digambarkan pada graf. Dalam kes ini, kita dapati bahawa sebelah kiri mempunyai y \u003d a x + b, dan sebelah kanan mempunyai y \u003d 0, dan ia bertepatan dengan Tentang x.

Definisi 8

Pemplotan fungsi y = a x + b dilakukan:

• semasa menyelesaikan ketaksamaan a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• semasa menyelesaikan ketaksamaan a x + b ≤ 0, selang ditentukan di mana graf dipaparkan di bawah paksi O x atau bertepatan;
• semasa menyelesaikan ketaksamaan a x + b > 0, selang ditentukan, di mana graf dipaparkan di atas O x;
• semasa menyelesaikan ketaksamaan a x + b ≥ 0, selang ditentukan di mana graf berada di atas O x atau bertepatan.

Contoh 7

Selesaikan ketaksamaan - 5 · x - 3 > 0 menggunakan graf.

Penyelesaian

Ia adalah perlu untuk membina graf bagi fungsi linear - 5 · x - 3 > 0 . Garis ini berkurangan kerana pekali x adalah negatif. Untuk menentukan koordinat titik persilangannya dengan O x - 5 · x - 3 > 0, kita memperoleh nilai - 3 5 . Mari kita grafkannya.

Penyelesaian ketaksamaan dengan tanda >, maka anda perlu memberi perhatian kepada selang di atas O x. Kami menyerlahkan bahagian yang diperlukan pesawat dengan warna merah dan dapatkannya

Jurang yang diperlukan ialah bahagian O x warna merah. Oleh itu, sinar nombor terbuka - ∞ , - 3 5 akan menjadi penyelesaian ketaksamaan. Jika, mengikut syarat, mereka mempunyai ketaksamaan tidak ketat, maka nilai titik - 3 5 juga akan menjadi penyelesaian kepada ketaksamaan. Dan akan bertepatan dengan O x.

Jawab: - ∞ , - 3 5 atau x< - 3 5 .

Penyelesaian grafik digunakan apabila bahagian kiri akan sepadan dengan fungsi y = 0 x + b , iaitu, y = b . Kemudian garisan akan selari dengan O x atau bertepatan pada b \u003d 0. Kes-kes ini menunjukkan bahawa ketidaksamaan mungkin tidak mempunyai penyelesaian, atau mana-mana nombor boleh menjadi penyelesaian.

Contoh 8

Tentukan daripada ketaksamaan 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Penyelesaian

Perwakilan y = 0 x + 7 ialah y = 7 , maka satah koordinat dengan garis lurus selari dengan O x dan di atas O x akan diberikan. Jadi 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf fungsi y \u003d 0 x + 0 dianggap y \u003d 0, iaitu garis bertepatan dengan O x. Oleh itu, ketaksamaan 0 · x + 0 ≥ 0 mempunyai banyak penyelesaian.

Jawab: ketaksamaan kedua mempunyai penyelesaian untuk sebarang nilai x .

Ketaksamaan linear

Penyelesaian ketaksamaan boleh dikurangkan kepada penyelesaian persamaan linear, yang dipanggil ketaksamaan linear.

Ketidaksamaan ini telah dipertimbangkan dalam kursus sekolah, kerana ia adalah kes khas untuk menyelesaikan ketidaksamaan, yang membawa kepada pembukaan kurungan dan pengurangan istilah yang sama. Sebagai contoh, pertimbangkan bahawa 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Ketaksamaan yang diberikan di atas sentiasa dikurangkan kepada bentuk persamaan linear. Selepas itu, kurungan dibuka dan istilah serupa diberikan, dipindahkan dari bahagian yang berbeza, menukar tanda ke sebaliknya.

Apabila mengurangkan ketaksamaan 5 − 2 x > 0 kepada yang linear, kita mewakilinya sedemikian rupa sehingga ia mempunyai bentuk − 2 x + 5 > 0 , dan untuk mengurangkan yang kedua kita mendapat 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Ia perlu untuk membuka kurungan, membawa istilah seperti, memindahkan semua istilah ke sebelah kiri dan membawa istilah seperti. Ia kelihatan seperti ini:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ini membawa penyelesaian kepada ketaksamaan linear.

Ketaksamaan ini dianggap sebagai linear, kerana ia mempunyai prinsip penyelesaian yang sama, selepas itu adalah mungkin untuk mengurangkannya kepada ketaksamaan asas.

Untuk menyelesaikan ketaksamaan jenis ini, adalah perlu untuk mengurangkannya kepada satu linear. Ia harus dilakukan seperti ini:

Definisi 9

• kurungan terbuka;
• kumpulkan pembolehubah di sebelah kiri, dan nombor di sebelah kanan;
• membawa seperti syarat;
• bahagikan kedua-dua bahagian dengan pekali x .

Contoh 9

Selesaikan ketaksamaan 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Penyelesaian

Kami mengembangkan kurungan, kemudian kami mendapat ketaksamaan dalam bentuk 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Selepas mengurangkan sebutan yang serupa, kita mempunyai 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Selepas memindahkan sebutan dari kiri ke kanan, kita mendapat bahawa 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Oleh itu, ia mempunyai ketaksamaan dalam bentuk 32 ≤ 0 daripada keputusan yang diperoleh dalam pengiraan 0 · x + 32 ≤ 0 . Ia boleh dilihat bahawa ketaksamaan adalah palsu, yang bermaksud bahawa ketaksamaan yang diberikan oleh syarat tidak mempunyai penyelesaian.

Jawab: tiada penyelesaian.

Perlu diingat bahawa terdapat banyak ketaksamaan jenis lain, yang boleh dikurangkan kepada satu linear atau ketaksamaan seperti yang ditunjukkan di atas. Contohnya, 5 2 x − 1 ≥ 1 ialah persamaan eksponen yang berkurang kepada penyelesaian linear 2 · x − 1 ≥ 0 . Kes-kes ini akan dipertimbangkan apabila menyelesaikan ketaksamaan jenis ini.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Maklumat awal

Definisi 1

Ketaksamaan dalam bentuk $f(x) >(≥)g(x)$, di mana $f(x)$ dan $g(x)$ ialah ungkapan rasional integer, dipanggil ketaksamaan rasional integer.

Contoh ketaksamaan rasional integer ialah ketaksamaan linear, kuadratik, padu dengan dua pembolehubah.

Definisi 2

Nilai $x$ yang mana ketaksamaan daripada definisi $1$ dipenuhi dipanggil punca persamaan.

Contoh penyelesaian ketaksamaan tersebut:

Contoh 1

Selesaikan ketaksamaan integer $4x+3 >38-x$.

Penyelesaian.

Mari kita permudahkan ketidaksamaan ini:

Kami mendapat ketaksamaan linear. Mari cari penyelesaiannya:

Jawapan: $(7,∞)$.

Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan kaedah berikut untuk menyelesaikan keseluruhan ketaksamaan rasional.

Kaedah pemfaktoran

Kaedah ini adalah seperti berikut: Persamaan bentuk $f(x)=g(x)$ ditulis. Persamaan ini dikurangkan kepada bentuk $φ(x)=0$ (di mana $φ(x)=f(x)-g(x)$). Kemudian fungsi $φ(x)$ difaktorkan dengan kuasa terkecil yang mungkin. Peraturan itu terpakai: Hasil darab polinomial ialah sifar apabila salah satu daripadanya sifar. Selanjutnya, akar yang ditemui ditanda pada garis nombor dan lengkung tanda dibina. Bergantung pada tanda ketidaksamaan awal, jawapannya ditulis.

Berikut adalah contoh penyelesaian dengan cara ini:

Contoh 2

Selesaikan dengan pemfaktoran. $y^2-9

Penyelesaian.

Selesaikan persamaan $y^2-9

Menggunakan formula perbezaan kuasa dua, kita ada

Menggunakan peraturan kesamaan kepada sifar hasil darab faktor, kita memperoleh punca berikut: $3$ dan $-3$.

Mari kita lukis lengkung tanda:

Oleh kerana tanda adalah "kurang daripada" dalam ketidaksamaan awal, kita dapat

Jawapan: $(-3,3)$.

Contoh 3

Selesaikan dengan pemfaktoran.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Penyelesaian.

Mari kita selesaikan persamaan berikut:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Kami mengambil daripada kurungan faktor sepunya daripada dua penggal pertama dan daripada dua penggal terakhir

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Keluarkan faktor sepunya $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Dengan menggunakan peraturan kesamaan kepada sifar hasil darab faktor, kita memperoleh:

$x+2=0 \ dan \ x^2+3=0$

$x=-2$ dan "tiada akar"

Mari kita lukis lengkung tanda:

Oleh kerana dalam ketidaksamaan awal tandanya adalah "lebih besar daripada atau sama dengan", kita dapat

Jawapan: $(-∞,-2]$.

Bagaimana untuk memperkenalkan pembolehubah baharu

Kaedah ini adalah seperti berikut: Satu persamaan bentuk $f(x)=g(x)$ ditulis. Kami menyelesaikannya seperti berikut: kami memperkenalkan pembolehubah baharu sedemikian untuk mendapatkan persamaan yang penyelesaiannya sudah diketahui. Kami kemudian menyelesaikannya dan kembali kepada pengganti. Daripadanya kita dapati penyelesaian persamaan pertama. Selanjutnya, akar yang ditemui ditanda pada garis nombor dan lengkung tanda dibina. Bergantung pada tanda ketidaksamaan awal, jawapannya ditulis.