Semua formula janjang aritmetik dan geometri 9. Pelajaran algebra "Janjang aritmetik dan geometri" (Gred 9)

Memahami banyak topik dalam matematik dan fizik dikaitkan dengan pengetahuan tentang sifat siri nombor. Kanak-kanak sekolah di darjah 9, apabila mempelajari subjek "Algebra", pertimbangkan salah satu urutan nombor penting - janjang aritmetik. Mari kita berikan formula asas janjang aritmetik (Gred 9), serta contoh penggunaannya untuk menyelesaikan masalah.

Janjang algebra atau aritmetik

Siri nombor yang akan dibincangkan dalam artikel ini dipanggil dua cara yang berbeza dibentangkan dalam tajuk perenggan ini. Jadi, janjang aritmetik dalam matematik difahami sedemikian siri nombor, di mana mana-mana dua nombor yang berdiri bersebelahan antara satu sama lain berbeza dengan jumlah yang sama, yang dipanggil perbezaan. Nombor dalam siri sedemikian biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks integer yang lebih rendah, contohnya, a 1 , a 2 , a 3 dan seterusnya, di mana indeks menunjukkan nombor unsur siri itu.

Memandangkan takrifan janjang aritmetik di atas, kita boleh menulis kesamaan berikut: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, di sini d ialah perbezaan janjang algebra dan n ialah sebarang integer. Jika d>0, maka kita boleh menjangkakan bahawa setiap sebutan siri berikutnya akan lebih besar daripada yang sebelumnya, dalam kes ini kita bercakap tentang perkembangan yang semakin meningkat. Jika d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Formula janjang aritmetik (gred 9)

Siri nombor yang sedang dipertimbangkan, kerana ia disusun dan mematuhi undang-undang matematik tertentu, mempunyai dua sifat yang penting untuk kegunaannya:

Pertama, mengetahui hanya dua nombor a 1 dan d, anda boleh mencari mana-mana ahli jujukan. Ini dilakukan dengan menggunakan formula berikut: a n = a 1 +(n-1)*d.
Kedua, untuk mengira jumlah n sebutan yang pertama, tidak perlu menambahkannya mengikut urutan, kerana anda boleh menggunakan formula berikut: S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Formula pertama mudah difahami, kerana ia adalah akibat langsung daripada fakta bahawa setiap ahli siri yang dipertimbangkan berbeza daripada jirannya dengan perbezaan yang sama.

Formula kedua bagi janjang aritmetik boleh diperolehi dengan memberi perhatian kepada fakta bahawa jumlah a 1 +a n bersamaan dengan jumlah a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 dan seterusnya. Sesungguhnya, oleh kerana a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 , dan a n-1 = -d+a n , kemudian menggantikan ungkapan ini ke dalam jumlah yang sepadan, kita dapati bahawa mereka akan sama. Faktor n/2 dalam formula ke-2 (untuk S n) muncul disebabkan oleh fakta bahawa jumlah jenis a i+1 +a n-i ternyata betul-betul n/2, di sini i ialah integer antara 0 hingga n/ 2 -satu.

Menurut bukti sejarah yang masih ada, formula bagi jumlah S n mula-mula diperolehi oleh Karl Gauss (ahli matematik Jerman yang terkenal) apabila dia diberi tugas oleh seorang guru sekolah untuk menambah 100 nombor pertama.

Contoh Masalah #1: Cari Perbezaan

Tugasan yang mengemukakan soalan seperti berikut: mengetahui formula untuk janjang aritmetik, cara mencari q (d), adalah yang paling mudah yang hanya boleh digunakan untuk topik ini.

Berikut adalah contoh: diberi urutan berangka -5, -2, 1, 4, ..., adalah perlu untuk menentukan perbezaannya, iaitu, d.

Untuk melakukan ini adalah semudah mengoyak pir: anda perlu mengambil dua elemen dan tolak yang lebih kecil daripada yang lebih besar. Dalam kes ini, kita mempunyai: d = -2 - (-5) = 3.

Untuk memastikan jawapan yang diterima, adalah disyorkan untuk menyemak perbezaan yang tinggal, kerana urutan yang dibentangkan mungkin tidak memenuhi keadaan janjang algebra. Kami mempunyai: 1-(-2)=3 dan 4-1=3. Data ini menunjukkan bahawa kami mendapat keputusan yang betul (d=3) dan membuktikan bahawa siri nombor dalam pernyataan masalah sememangnya merupakan janjang algebra.

Contoh Masalah #2: Cari Perbezaan Mengetahui Dua Istilah Perkembangan

Pertimbangkan satu lagi masalah menarik, yang ditimbulkan oleh persoalan bagaimana mencari perbezaan. Formula janjang aritmetik dalam kes ini mesti digunakan untuk sebutan ke-n. Jadi, tugas: diberi nombor pertama dan kelima siri yang sepadan dengan semua sifat janjang algebra, sebagai contoh, ini ialah nombor a 1 = 8 dan a 5 = -10. Bagaimana untuk mencari perbezaan d?

Anda harus mula menyelesaikan masalah ini dengan menulis bentuk umum formula untuk unsur ke-n: a n = a 1 + d * (-1 + n). Kini anda boleh pergi dalam dua cara: sama ada menggantikan nombor dengan serta-merta dan bekerja dengan mereka sudah, atau nyatakan d, dan kemudian pergi ke 1 dan 5 tertentu. Mari gunakan kaedah terakhir, kita dapat: a 5 \u003d a 1 + d * (-1 + 5) atau 5 \u003d 4 * d + a 1, dari mana ia mengikuti d \u003d (a 5 -a 1 ) / 4. Kini anda boleh menggantikan data yang diketahui daripada keadaan dengan selamat dan dapatkan jawapan akhir: d = (-10-8)/4 = -4.5.

Ambil perhatian bahawa dalam kes ini perbezaan janjang ternyata negatif, iaitu, terdapat urutan nombor yang berkurangan. Adalah perlu untuk memberi perhatian kepada fakta ini apabila menyelesaikan masalah supaya tidak mengelirukan tanda "+" dan "-". Semua formula di atas adalah universal, jadi ia harus sentiasa diikuti tanpa mengira tanda nombor yang digunakan untuk operasi.

Contoh penyelesaian masalah No 3: cari a1, mengetahui perbezaan dan unsur

Mari kita ubah sedikit keadaan masalah. Biarkan terdapat dua nombor: beza d=6 dan unsur ke-9 janjang a 9 = 10. Bagaimana untuk mencari a1? Formula janjang aritmetik kekal tidak berubah, kami akan menggunakannya. Untuk nombor a 9 kita mempunyai ungkapan berikut: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Dari mana kita mudah mendapatkan elemen pertama siri: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Contoh penyelesaian masalah #4: cari a1, mengetahui dua elemen

Versi masalah ini adalah versi rumit daripada versi sebelumnya. Intipatinya adalah sama, adalah perlu untuk mengira a 1 , tetapi kini perbezaan d tidak diketahui, dan sebaliknya satu lagi elemen janjang diberikan.

Contoh masalah jenis ini adalah seperti berikut: cari nombor pertama dalam jujukan yang diketahui sebagai janjang aritmetik dan unsur ke-15 dan ke-23 masing-masing ialah 7 dan 12.

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan masalah ini dengan menulis ungkapan untuk ahli ke-n bagi setiap elemen yang diketahui daripada keadaan, kita mempunyai: a 15 = d*(15-1)+a 1 dan a 23 = d*(23- 1)+a 1 . Seperti yang anda lihat, kami telah menerima dua persamaan linear yang perlu diselesaikan berkenaan dengan a 1 dan d. Mari kita lakukan ini: tolak persamaan pertama dari persamaan kedua, maka kita mendapat ungkapan berikut: a 23 -a 15 \u003d 22 * d - 14 * d \u003d 8 * d. Dalam memperoleh persamaan terakhir, nilai 1 telah ditinggalkan kerana ia membatalkan apabila ditolak. Menggantikan data yang diketahui, kami mendapati perbezaannya: d \u003d (a 23 -a 15) / 8 \u003d (12-7) / 8 \u003d 0.625.

Nilai d mesti digantikan ke dalam sebarang formula untuk unsur yang diketahui untuk mendapatkan ahli pertama jujukan: a 15 = 14*d+a 1, dari mana: a 1 = a 15 -14*d = 7- 14*0.625 = -1.75.

Mari kita semak hasilnya, untuk ini kita dapati 1 hingga ungkapan kedua: a 23 \u003d d * 22 + a 1 atau 1 \u003d a 23 -d * 22 \u003d 12 - 0.625 * 22 \u003d -1.75.

Contoh penyelesaian masalah No. 5: cari hasil tambah n unsur

Seperti yang anda lihat, sehingga tahap ini, hanya satu formula janjang aritmetik (Gred 9) digunakan untuk penyelesaian. Sekarang kita memberikan masalah untuk penyelesaian yang kita perlu tahu formula kedua, iaitu, untuk jumlah S n .

Memandangkan siri nombor tertib berikut -1.1, -2.1, -3.1,..., anda perlu mengira jumlah 11 elemen pertamanya.

Ia boleh dilihat daripada siri ini bahawa ia semakin berkurangan, dan 1 \u003d -1.1. Perbezaannya ialah: d = -2.1 - (-1.1) = -1. Sekarang mari kita takrifkan sebutan ke-11: a 11 \u003d 10 * d + a 1 \u003d -10 + (-1.1) \u003d -11.1. Selepas melengkapkan pengiraan persediaan, anda boleh menggunakan formula di atas untuk jumlah, kami mempunyai: S 11 \u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \u003d -67.1. Oleh kerana semua istilah adalah nombor negatif, jumlahnya juga mempunyai tanda yang sepadan.

Contoh penyelesaian masalah No. 6: cari hasil tambah unsur dari n hingga m

Mungkin jenis masalah ini adalah yang paling sukar bagi kebanyakan pelajar. Mari kita berikan contoh biasa: diberikan satu siri nombor 2, 4, 6, 8 ..., anda perlu mencari jumlah dari sebutan ke-7 hingga ke-13.

Formula janjang aritmetik(Gred 9) digunakan sama seperti dalam semua tugasan sebelum ini. Tugas ini disyorkan untuk diselesaikan secara berperingkat:

Pertama, cari hasil tambah 13 sebutan menggunakan formula piawai.
Kemudian hitung jumlah ini untuk 6 elemen pertama.
Kemudian tolak jumlah ke-2 daripada jumlah pertama.

Mari kita dapatkan penyelesaiannya. Seperti dalam kes sebelumnya, kami akan menjalankan pengiraan persediaan: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Mari kita hitung dua jumlah: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Kami ambil bezanya dan dapatkan jawapan yang dikehendaki: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Ambil perhatian bahawa apabila memperoleh nilai ini, jumlah 6 unsur janjang yang digunakan sebagai penolakan, kerana ahli ke-7 dimasukkan dalam jumlah S 7-13 .

Topik: Janjang aritmetik dan geometri

Kelas: 9

Sistem latihan: bahan untuk menyediakan kajian topik dalam algebra dan peringkat persediaan untuk lulus peperiksaan OGE

Sasaran: pembentukan konsep janjang aritmetik dan geometri

Tugasan: mengajar untuk membezakan antara jenis perkembangan, mengajar dengan betul, menggunakan formula

Janjang aritmetik namakan urutan nombor (ahli janjang)

di mana setiap sebutan berikutnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jangka keluli, yang juga dipanggil perbezaan langkah atau janjang.

Oleh itu, dengan menetapkan langkah janjang dan sebutan pertamanya, anda boleh mencari mana-mana elemennya menggunakan formula

1) Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari nombor kedua, ialah min aritmetik ahli janjang sebelumnya dan seterusnya

Begitu juga sebaliknya. Jika min aritmetik bagi ahli ganjil (genap) jiran bagi janjang itu adalah sama dengan ahli yang berdiri di antara mereka, maka jujukan nombor ini ialah janjang aritmetik. Dengan penegasan ini adalah sangat mudah untuk menyemak sebarang urutan.

Juga dengan sifat janjang aritmetik, formula di atas boleh digeneralisasikan kepada yang berikut

Ini mudah untuk disahkan jika kita menulis syarat di sebelah kanan tanda sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam masalah.

2) Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik dikira dengan formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah janjang aritmetik, ia amat diperlukan dalam pengiraan dan agak biasa dalam situasi kehidupan yang mudah.

3) Jika anda perlu mencari bukan keseluruhan jumlah, tetapi sebahagian daripada jujukan bermula dari ahli ke-knya, maka formula jumlah berikut akan berguna dalam diri anda

4) Kepentingan praktikal ialah mencari jumlah n ahli suatu janjang aritmetik bermula daripada nombor ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Cari sebutan keempat puluh janjang aritmetik 4;7;...

Penyelesaian:

Mengikut syarat, kita ada

Tentukan langkah kemajuan

Menurut formula yang terkenal, kita dapati sebutan keempat puluh janjang itu

Janjang aritmetik diberikan oleh ahli ketiga dan ketujuhnya. Cari sebutan pertama janjang itu dan hasil tambah sepuluh.

Penyelesaian:

Kami menulis unsur-unsur janjang yang diberikan mengikut formula

Janjang aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu ahlinya. Cari sebutan pertama janjang itu, hasil tambah 50 sebutannya bermula daripada 50 dan hasil tambah 100 pertama .

Penyelesaian:

Mari kita tulis formula untuk unsur keseratus janjang itu

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati sebutan ke-50 janjang itu

Mencari hasil tambah bahagian janjang itu

dan jumlah 100 yang pertama

Hasil tambah janjang itu ialah 250. Cari bilangan ahli janjang aritmetik jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Penyelesaian:

Kami menulis persamaan dari segi sebutan pertama dan langkah janjang dan mentakrifkannya

Kami menggantikan nilai yang diperolehi ke dalam formula jumlah untuk menentukan bilangan ahli dalam jumlah itu

Membuat penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadratik

Daripada dua nilai yang ditemui, hanya nombor 8 yang sesuai untuk keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan sebutan pertama janjang itu ialah 111.

selesaikan persamaan

1+3+5+...+x=307.

Penyelesaian:

Persamaan ini ialah jumlah janjang aritmetik. Kami menulis sebutan pertamanya dan mencari perbezaan janjangnya

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula untuk jumlah janjang untuk mencari bilangan istilah

Seperti dalam tugas sebelumnya, kami melakukan penyederhanaan dan menyelesaikan persamaan kuadratik

Pilih yang lebih logik daripada dua nilai. Kami mempunyai bahawa jumlah 18 ahli janjang dengan nilai yang diberikan a1=1, d=2 adalah sama dengan Sn=307.

Contoh penyelesaian masalah: Janjang aritmetik

Tugas1

Pasukan pelajar membuat kontrak untuk meletakkan jubin seramik di atas lantai di dewan kelab remaja dengan keluasan 288m2. Mendapat pengalaman, pelajar setiap hari berikutnya, bermula dari yang kedua, meletakkan 2 m2 lebih daripada yang sebelumnya, dan mereka mempunyai jubin yang mencukupi untuk tepat 11 hari bekerja. Merancang untuk meningkatkan produktiviti dengan cara yang sama, mandor memutuskan bahawa ia akan mengambil masa 5 hari lagi untuk menyiapkan kerja itu. Berapakah bilangan kotak jubin yang perlu dia tempah jika 1 kotak cukup untuk 1.2 m2 lantai, dan 3 kotak diperlukan untuk menggantikan jubin berkualiti rendah?

Penyelesaian

Dengan keadaan masalah, adalah jelas bahawa kita bercakap tentang janjang aritmetik di mana biarkan

a1=x, Sn=288, n=16

Kemudian kita menggunakan formula: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg. Seni.

288=(2x+2*15)*16/2

Kira berapa banyak m2 pelajar akan meletakkan dalam 11 hari: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

288-143=145m2 tinggal selepas 11 hari bekerja, i.e. selama 5 hari

145/1,2=121(anggaran) kotak perlu ditempah selama 5 hari.

121+3=124 kotak mesti ditempah dengan kecacatan

Jawapan: 124 kotak

Tugas2

Selepas setiap pergerakan omboh pam pencairan, 20% udara di dalamnya dikeluarkan dari kapal. Mari kita tentukan tekanan udara di dalam vesel selepas enam pergerakan omboh, jika tekanan awal ialah 760 mm Hg. Seni.

Penyelesaian

Oleh kerana 20% daripada udara yang ada dikeluarkan dari kapal selepas setiap pergerakan omboh, 80% udara kekal. Untuk mengetahui tekanan udara di dalam kapal selepas pergerakan omboh seterusnya, anda perlu meningkatkan tekanan pergerakan omboh sebelumnya sebanyak 0.8.

Kami mempunyai janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah 760 dan penyebutnya ialah 0.8. Nombor yang menyatakan tekanan udara di dalam kapal (dalam mm Hg) selepas enam pukulan omboh adalah anggota ketujuh janjang ini. Ia bersamaan dengan 760*0.86=200mm Hg. Seni.

Jawapan: 200 mmHg

Diberi janjang aritmetik, dengan sebutan kelima dan sebutan kesepuluh masing-masing adalah sama dengan 38 dan 23. Cari sebutan kelima belas janjang itu dan hasil tambah sepuluh sebutan pertamanya.

Penyelesaian:

Cari nombor bagi sebutan janjang aritmetik 5,14,23,..., jika sebutan ke--nya bersamaan dengan 239.

Penyelesaian:

Cari bilangan sebutan suatu janjang aritmetik ialah 9,12,15,..., jika jumlahnya ialah 306.

Penyelesaian:

Cari x yang mana nombor x-1, 2x-1, x2-5 membentuk janjang aritmetik

Penyelesaian:

Cari perbezaan antara 1 dan 2 ahli janjang:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Cari perbezaan antara 2 dan 3 ahli janjang:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Kerana perbezaannya adalah sama, maka terma janjang boleh disamakan:

Apabila disemak dalam kedua-dua kes, janjang aritmetik diperoleh

Jawapan: pada x=-1 dan x=4

Janjang aritmetik diberikan oleh ahli ketiga dan ketujuhnya a3=5; a7=13. Cari sebutan pertama janjang itu dan hasil tambah sepuluh.

Penyelesaian:

Kita tolak persamaan pertama daripada persamaan kedua, sebagai hasilnya kita dapati langkah janjang

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, jadi d=2

Nilai yang ditemui digantikan ke dalam mana-mana persamaan untuk mencari sebutan pertama janjang aritmetik

Hitung hasil tambah sepuluh sebutan pertama janjang itu

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Jawapan: a1=1; S10=100

Dalam janjang aritmetik yang sebutan pertamanya ialah -3.4 dan bezanya ialah 3, cari sebutan kelima dan kesebelas.

Jadi kita tahu bahawa a1 = -3.4; d = 3. Cari: a5, a11-.

Penyelesaian. Untuk mencari ahli ke-n janjang aritmetik, kita menggunakan formula: an = a1+ (n – 1)d. Kami ada:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3.4 + 4 3 \u003d 8.6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3.4 + 10 3 \u003d 26.6.

Seperti yang anda lihat, dalam kes ini, penyelesaiannya tidak sukar.

Sebutan kedua belas janjang aritmetik ialah 74, dan bezanya ialah -4. Cari sebutan ketiga puluh empat janjang ini.

Kami diberitahu bahawa a12 = 74; d = -4, dan anda perlu mencari a34-.

Dalam masalah ini, tidak mungkin untuk segera menggunakan formula an = a1 + (n – 1)d, kerana sebutan pertama a1 tidak diketahui. Masalah ini boleh diselesaikan dalam beberapa langkah.

1. Dengan menggunakan istilah a12 dan formula sebutan ke-n, kita dapati a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, kini mudahkan dan gantikan d: a12 = a1 + 11 (-4). Daripada persamaan ini kita dapati a1: a1 = a12 - (-44);

Kami mengetahui sebutan kedua belas daripada keadaan masalah, jadi kami mengira a1 tanpa sebarang masalah

a1 = 74 + 44 = 118. Mari kita teruskan ke langkah kedua - mengira a34.

2. Sekali lagi, mengikut formula an = a1 + (n - 1)d, kerana a1 sudah diketahui, kita akan menentukan a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Jawapan: Sebutan ketiga puluh empat janjang aritmetik ialah -14.

Seperti yang anda lihat, penyelesaian contoh kedua adalah lebih rumit. Formula yang sama digunakan dua kali untuk mendapatkan jawapan. Tetapi semuanya begitu rumit. Penyelesaian boleh dipendekkan dengan menggunakan formula tambahan.

Seperti yang telah dinyatakan, jika a1 diketahui dalam masalah, maka adalah sangat mudah untuk menggunakan formula untuk menentukan ahli ke-n suatu janjang aritmetik. Tetapi, jika bukan istilah pertama dinyatakan dalam keadaan, maka formula boleh datang untuk menyelamatkan yang menghubungkan istilah ke-n yang kita perlukan dan istilah ak yang dinyatakan dalam masalah.

an = ak + (n – k)d.

Mari kita selesaikan contoh kedua, tetapi menggunakan formula baru.

Diberi: a12 = 74; d=-4. Cari: a34-.

Kami menggunakan formula an = ak + (n – k)d. Dalam kes kami ia akan menjadi:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Jawapan dalam masalah itu diperoleh dengan lebih cepat, kerana tidak perlu melakukan tindakan tambahan dan mencari ahli pertama perkembangan.

Menggunakan formula di atas, anda boleh menyelesaikan masalah untuk mengira beza janjang aritmetik. Jadi, dengan menggunakan formula an = a1 + (n - 1)d, kita boleh menyatakan d:

d = (an - a1) / (n - 1). Walau bagaimanapun, masalah dengan sebutan pertama yang diberikan tidak begitu biasa, dan ia boleh diselesaikan menggunakan formula kami an = ak + (n – k)d, dari mana ia boleh dilihat bahawa d = (an – ak) / (n – k). Mari kita pertimbangkan tugas sedemikian.

Cari beza janjang aritmetik jika diketahui bahawa a3 = 36; a8 = 106.

Menggunakan formula yang kami perolehi, penyelesaian masalah boleh ditulis dalam satu baris:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Jika formula ini tidak ada dalam senjata, penyelesaian masalah akan mengambil lebih banyak masa, kerana perlu menyelesaikan sistem dua persamaan.

janjang geometri

1. Formula ahli ke (ahli am perkembangan).
2. Formula untuk jumlah ahli pertama janjang:. Apabila lazim untuk bercakap tentang janjang geometri bertumpu; dalam kes ini, anda boleh mengira jumlah keseluruhan janjang menggunakan formula .
3. Formula "min geometri": jika , , ialah tiga sebutan berturut-turut bagi janjang geometri, maka berdasarkan takrifan kita mempunyai hubungan: atau atau .

Tujuan permainan :

Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan pelajar tentang topik ini.
Membiasakan pelajar dengan bahan sejarah.

Peralatan: poster untuk permainan "Progressio - bergerak ke hadapan."

Semua murid dibahagikan kepada lima kumpulan + nasihat orang bijak pandai

Abad kedua puluh telah berakhir.
Ke mana orang itu pergi?
Angkasa lepas dan laut diterokai
Struktur bintang dan seluruh Bumi.
Tetapi ahli matematik memanggil
Slogan terkenal:
"Progressio - bergerak ke hadapan."

Hari ini kita akan mengadakan majlis dalam kelas - majlis Orang-orang Bijaksana. Orang bijak ialah pelajar yang duduk dalam kumpulan dalam kelas. Dan orang-orang Bijaksana duduk di meja ini.

Adakah anda mengenali mereka?

Duduk di meja: Archimedes, Gauss, Magnitsky.

Siapakah yang menemui formula bagi jumlah kuasa dua?
Dan cara yang betul untuk maju datang?
Ahli matematik dan fizik. Saya Archimedes.
Terdapat banyak legenda tentang hidup saya.

O! Saya Carl Gauss! Saya serta-merta menemui jumlah semua nombor asli dari 1 hingga 100, sebagai seorang pelajar sekolah rendah.

Magnitsky. Tuan! Saya mempunyai penghormatan untuk memperkenalkan diri saya. Saya Leonty Filippovich Magnitsky, pencipta buku teks pertama "Aritmetik".

cikgu. Beritahu saya, kawan-kawan, mengapa saintis ini tiba-tiba berkumpul di meja yang sama? Apakah soalan matematik yang menyatukan mereka? Jika anda tidak mengetahuinya, maka perhatikan adegan itu dengan teliti.

lagenda india purba

Seorang raja Hindu muncul di dalam kelas dengan seorang hamba.

Tsar. Saya, raja Hindu Sheram, telah mempelajari permainan catur dan mengagumi kepintaran dan kepelbagaian kedudukannya. Hamba, mari kita panggil penemu Setu. Saya ingin memberi ganjaran yang secukupnya kepada awak, Seth, untuk permainan yang hebat yang awak buat. Namakan ganjaran yang akan memuaskan hati anda dan anda akan menerimanya.

Seth. Tuan. Perintahkan saya untuk memberi saya sebutir gandum untuk sel pertama papan catur

Tsar. Sebutir gandum yang mudah?

Seth. Ya, tuan Untuk sel kedua, perintah untuk memberikan 2 biji, untuk ketiga - 4, untuk keempat - 8, untuk kelima - 16, dan seterusnya sehingga sel ke-64.

Raja Sheram ketawa.

cikgu. Wahai orang bijak kelas kesembilan, marilah kita berunding. Patutkah raja ketawa?

Rekod di papan tulis: 1,2,4,8,16, ... .. S 64 -?

Pelajar membuat keputusan. b 1= 1, q=2, n=64, S 64 =2 64 - 1.

cikgu. Berapa besar nombor ini? Siapa yang boleh menjelaskannya?

Archimedes. Yang Maha Bijaksana! Jika raja boleh menabur gandum di seluruh permukaan Bumi, mengira lautan, dan lautan, dan gunung, dan padang pasir, dan Artik dan Antartika, dan mendapat tuaian yang memuaskan, maka, mungkin, dalam lima tahun dia boleh membayar. dimatikan.

Gauss. Matematik adalah sains tepat. ( Menulis di papan tulis 18 446 744 073 709 551 615). 18 quintillion 446 quadrillion 744 trilion 73 billion 709 juta 551 ribu 615.

Magnitsky. Lord Wise Men dari darjah 9! Orang sezaman saya akan mengatakan bahawa S 64 18.5 10 18 . Benar, saya mengaku kepada anda bahawa dalam buku teks saya "Aritmetik", diterbitkan 200 tahun yang lalu, dari mana kanak-kanak belajar selama setengah abad, terdapat banyak masalah mengenai topik "Kemajuan", tetapi saya sendiri menyelesaikan beberapa daripadanya dengan susah payah, kerana saya masih belum menemui semua formula yang berkaitan dengan kuantiti yang disertakan di dalamnya.

Di bawah derit pen pada sehelai kertas.
Isi helaian ini!
Semoga usaha kami membantu anda!

Helaian kosong diedarkan untuk menguji pengetahuan tentang teori, iaitu, abstrak asas mengenai topik "Perkembangan" dipulihkan.

Pelajar melengkapkan jadual. Jadual berikut muncul di papan tulis:

perkembangan	Aritmetik a n	Geometri b n
Definisi		b n+1 =b n q (q0,q1)
Formula n sebutan pertama	a n \u003d a 1 + (n-1) d
Jumlah n sebutan pertama janjang itu	S n =	S n = Dan pencarian untuk mereka dihargai oleh kami. Kata-kata itu kini mesti digabungkan, Dalam frasa apakah mereka boleh digabungkan? "Matematik adalah ratu sains, aritmetik adalah ratu matematik" Wahai orang bijak masa! Anda tidak dapat mencari kawan. Majlis berakhir hari ini Tetapi semua orang harus tahu: Ilmu, ketabahan, kerja keras Membawa kepada kemajuan dalam hidup!

Ringkasan pelajaran algebra dalam darjah 9

Topik pelajaran: Definisi janjang aritmetik dan geometri.

Formula ahli ke-n aritmetik dan geometri

perkembangan.

Jenis pelajaran : pelajaran mempelajari bahan baharu

Tujuan pelajaran:

Pembentukan konsep janjang aritmetik dan geometri, sebagai jenis jujukan berangka; terbitan rumus anggota ke-n bagi jujukan aritmetik dan geometri.

Mengenal sifat ciri ahli janjang aritmetik dan geometri.

Pembentukan kemahiran pelajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam menyelesaikan masalah.

Objektif pelajaran:

Pendidikan: memperkenalkan konsep janjang aritmetik dan geometri; formula ahli ke-n; sifat ciri yang dimiliki oleh ahli janjang aritmetik dan geometri.

Membangunkan: untuk meningkatkan asimilasi sedar bahan melalui pembangkang; membangunkan keupayaan untuk membandingkan konsep matematik, mencari persamaan dan perbezaan, melihat corak, menaakul dengan analogi, mengembangkan ingatan dan pemikiran logik.

Pendidikan: mewujudkan keadaan untuk perkembangan minat kognitif dalam subjek.

Pelan pembelajaran:

1. Organisasi permulaan pelajaran, menetapkan matlamat dan objektif pelajaran.

2. Motivasi untuk mempelajari topik (“The Legend of the Chessboard”)

3. Mempelajari bahan baharu

4. Pengikat utama

5. Merumuskan pelajaran

6. Kerja rumah

Semasa kelas

1. Organisasi permulaan pelajaran.

Namakan tajuk pelajaran, tujuan pelajaran, tugasan.

2. Motivasi untuk mempelajari topik tersebut.

"Lagenda Papan Catur".

Catur adalah salah satu permainan yang paling kuno. Ia telah wujud selama berabad-abad, dan tidak menghairankan bahawa legenda dikaitkan dengannya, yang kebenarannya tidak dapat disahkan kerana preskripsi masa. Saya ingin memberitahu salah satu daripada legenda ini. Untuk memahaminya, seseorang tidak perlu tahu cara bermain catur sama sekali - cukup untuk mengetahui bahawa permainan itu berlaku di atas papan yang dibahagikan kepada 64 sel (bergantian hitam dan putih).

Permainan catur dicipta di India, dan apabila raja India Sheram bertemu dengannya, dia gembira dengan kecerdasannya dan pelbagai kemungkinan kedudukan di dalamnya. Setelah mengetahui bahawa permainan itu dicipta oleh salah seorang rakyatnya, raja memerintahkan untuk memanggilnya untuk memberi ganjaran secara peribadi kepadanya untuk ciptaan yang berjaya.

Pencipta - namanya Seta - muncul di takhta pemerintah. Beliau adalah seorang saintis berpakaian sederhana yang mendapat rezeki daripada pelajarnya.

Saya ingin memberi ganjaran yang secukupnya kepada anda, Seth, untuk permainan yang indah yang anda buat, kata raja.

Orang bijak tunduk.

Saya cukup kaya untuk memenuhi hasrat tuan yang paling berani, - sambung raja - Namakan ganjaran yang akan memuaskan hati tuan, dan tuan akan menerimanya.

Seth terdiam.

Jangan malu, - raja menggalakkannya - Nyatakan keinginan anda. Saya tidak akan menyimpan apa-apa untuk memenuhinya!

Besarnya kebaikan tuanku. Tetapi beri saya masa untuk memikirkan jawapannya. Esok, selepas renungan matang, saya akan menyampaikan permintaan saya kepada anda.

Apabila keesokan harinya, Seta muncul lagi di tangga takhta, dia mengejutkan raja dengan kesopanan yang tiada tandingan permintaannya.

Tuan, - kata Seth, - perintahkan saya untuk memberi saya sebutir gandum untuk sel pertama papan catur.

Sebutir gandum yang mudah? - raja kagum.

Ya tuan. Untuk sel kedua, perintah untuk memberikan dua butir, untuk yang ketiga - empat, untuk yang keempat - 8, untuk yang kelima - 16, untuk yang keenam - 32 ...

Cukup! - raja mengganggunya dengan kejengkelan - Anda akan menerima bijirin anda untuk semua 64 sel papan, mengikut keinginan anda: untuk setiap dua kali lebih banyak daripada yang sebelumnya. Tetapi ketahuilah bahawa permintaan anda tidak sepadan dengan kemurahan hati saya. Dengan meminta ganjaran yang tidak seberapa, anda dengan tidak hormat mengabaikan rahmat saya. Sesungguhnya, sebagai seorang guru, anda boleh menunjukkan contoh terbaik dalam penghormatan terhadap kebaikan kerajaan anda. Pergi! Hamba-hamba-Ku akan membawa kepadamu seguni gandum.

Seta tersenyum, meninggalkan dewan dan menunggu di pintu pagar istana.

Semasa makan malam, raja teringat pencipta catur dan menghantar untuk mengetahui sama ada Seth yang melulu telah mengambil pahalanya yang menyedihkan.

Tuhan, - adalah jawapannya, - perintah anda sedang dipenuhi. Ahli matematik mahkamah mengira bilangan butir yang perlu diikuti.

Raja mengerutkan kening - dia tidak biasa dengan perintahnya yang dilaksanakan dengan begitu perlahan.

Pada waktu petang, ketika hendak tidur, Raja Sheram sekali lagi bertanya sama ada Seta telah meninggalkan pagar istana dengan karung gandumnya.

Tuhan, - mereka menjawabnya, - ahli matematik anda bekerja tanpa jemu dan berharap untuk menyelesaikan pengiraan sebelum subuh.

Mengapa mereka melengahkan ini? - raja berteriak dengan marah - Esok, sebelum saya bangun, segala-galanya hingga bijirin terakhir mesti diberikan kepada Set. Saya tidak memesan dua kali!

Pada waktu pagi, raja dimaklumkan bahawa mandur ahli matematik mahkamah meminta untuk mendengar laporan penting. Raja memerintahkan untuk membawanya masuk.

Sebelum anda bercakap tentang kes anda, "umum Sheram, "Saya ingin mendengar jika Seta akhirnya menerima ganjaran yang tidak penting yang dia berikan sendiri.

Atas sebab ini, saya berani muncul di hadapan awak pada "jam" yang begitu awal, lelaki tua itu menjawab. "Kami dengan teliti mengira keseluruhan bilangan bijirin yang Seth ingin terima. Jumlahnya sangat besar ...

Tidak kira betapa hebatnya itu, - raja mencelah dengan angkuh, - jelapang saya tidak akan berkurangan! Ganjaran telah dijanjikan dan mesti diberikan...

Ia bukan dalam kuasa anda, tuan, untuk memenuhi keinginan seperti itu. Dalam semua lumbung anda tidak ada bilangan bijirin seperti yang dituntut oleh Seth. Juga tidak di lumbung-lumbung seluruh kerajaan. Tidak ada bilangan butir sedemikian di seluruh ruang Bumi. Dan jika anda ingin memberikan ganjaran yang dijanjikan tanpa gagal, maka perintahkan untuk mengubah kerajaan dunia menjadi ladang yang subur, memerintahkan untuk mengeringkan lautan dan lautan, memerintahkan untuk mencairkan ais dan salji yang meliputi tanah terbiar utara yang jauh. Biarkan semua ruang mereka disemai sepenuhnya dengan gandum. Dan semua yang dilahirkan di ladang ini, perintahkan untuk diberikan kepada Set. Maka dia akan menerima pahalanya.

Dengan kehairanan, raja mendengar kata-kata orang tua itu.

Beri saya nombor yang dahsyat itu, katanya sambil termenung.

Lapan belas kuintil empat ratus empat puluh enam kuadrilion tujuh ratus empat puluh empat trilion tujuh puluh tiga bilion tujuh ratus sembilan juta lima ratus lima puluh satu ribu enam ratus lima belas, Ya Tuhan! (18 446 744 073 709 551 615)

Begitulah lagendanya. Sama ada apa yang diceritakan di sini benar-benar berlaku tidak diketahui, tetapi ganjaran yang dikatakan oleh tradisi itu pasti telah dinyatakan dalam jumlah yang sedemikian.

Jika anda ingin membayangkan keseluruhan keluasan gergasi berangka ini, anggarkan saiz kandang yang diperlukan untuk menampung bilangan bijirin sedemikian. Adalah diketahui bahawa satu meter padu gandum mengandungi kira-kira 15 juta bijirin. Ini bermakna bahawa ganjaran untuk pencipta catur sepatutnya telah diambil kira-kira

12,000,000,000,000 meter padu m, atau 12,000 meter padu. km. Dengan ketinggian bangsal 4 m dan lebar 10 m, panjangnya perlu memanjang sejauh 300,000,000 km, iaitu, dua kali lebih jauh dari Bumi ke Matahari!

Sudah tentu, raja India tidak dalam kedudukan untuk mengeluarkan anugerah sedemikian.

3. Penyampaian bahan baharu.

Edarkan kepada setiap helaian pelajar di mana bahan teori dibentangkan dalam bentuk jadual yang menunjukkan perbezaan dalam definisi janjang aritmetik dan geometri, sifat cirinya, formula untuk mencari sebutan ke-n, formula untuk mencari hasil tambah sebutan n-pertama dan untuk janjang geometri, formula bagi hasil tambah ialah janjang geometri menurun tak terhingga.

Janjang aritmetik(a/p)

Janjang geometri(g/n)

Def. Janjang aritmetik ialah urutan nombor, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama.

Contohnya: -6; -empat; -2; 0; 2; empat;…

6; = -4; = -2; =0; = 2…

Def. Janjang geometri ialah jujukan nombor bukan sifar, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama yang tidak sama dengan sifar.

Contohnya: 5; lima belas; 45; 135, ...

5; =15; =45; =135; …

d = 2 – perbezaan a/n

d = - ;

d=-

q = 3 - penyebut g/n

q = ;

Formula ahli ke-n a/p

D = + 2d;

D = + 3d; = + 4d;

Formula ahli ke-n g / p

Q = ;

Formula untuk jangka pertengahan a / p

PERKEMBANGAN ARITMETIK DAN GEOMETRI.

Pelajaran di tingkatan 9.

Guru matematik - Prikhodko Galina Vladimirovna

Objektif Pelajaran:

Pendidikan: meningkatkan kemahiran menggunakan formula janjang aritmetik dan geometri untuk menyelesaikan masalah kandungan gunaan, menunjukkan penggunaan formula janjang untuk masalah dalam fizik, biologi, ekonomi, menguji asimilasi pengetahuan dengan menjalankan kerja bebas dalam bentuk ujian.

Pendidikan: untuk memupuk rasa tanggungjawab, saling menghormati, kebolehan bekerja dalam kumpulan.

Membangunkan: untuk mengembangkan minat dalam subjek, keperluan untuk memperoleh pengetahuan baru.

Jenis pelajaran: meja bulat.

Semasa kelas:

1.) Detik organisasi. Para pelajar membentuk kumpulan: Jabatan Teori, Jabatan Sejarah, Biologi, Fizik, Ekonomi.

2.) Tinjauan. Jabatan Teori.

Pelan soal siasat: Definisi, sifat, formula ahli ke-, formula jumlah.

Janjang aritmetik. Janjang geometri.

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) Jabatan Sejarah.

Nama ahli matematik berikut dikaitkan dengan konsep jujukan. Ahli-ahli jujukan 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… dipanggil nombor Fibonacci. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa ahli matematik dan saudagar Itali Leonardo dari Pisa (Fibonacci) adalah orang pertama yang mewujudkan hubungan antara urutan ini dan masalah pembiakan arnab yang terkenal. Dalam masalah ini, bilangan anak sepasang arnab disiasat, yang setiap bulan membawa sepasang arnab, dan mereka dalam sebulan juga mula mengeluarkan anak.

Sejak Fibonacci menemui jujukannya, fenomena semula jadi telah ditemui di mana jujukan ini memainkan peranan penting. Salah satunya ialah phyllotaxis (susunan daun) - peraturan mengikut mana, sebagai contoh, benih terletak dalam perbungaan bunga matahari. Biji-bijian disusun dalam dua baris lingkaran, satu daripadanya mengikut arah jam, satu lagi menentang. Dan bilangan benih dalam setiap kes ialah 34 dan 55, namun terdapat juga gergasi dengan 89 dan 144 biji. Sifat yang sama boleh didapati dalam struktur kon pain. Perkara yang sama diperhatikan pada buah nanas.

Ahli matematik Jerman yang cemerlang K. Gauss menemui jumlah janjang aritmetik

1, 2, 3, …, 98,99,100 pada umur 5 tahun.

Dengan urutan geometri 1, 2,
dikaitkan dengan legenda lama. Orang bijak India, yang mencipta permainan catur, meminta Raja untuk ciptaannya, pada pandangan pertama, ganjaran yang sederhana: untuk sel pertama papan catur 1 butir gandum, untuk yang kedua - 2, untuk yang ketiga - 4, dsb. - untuk setiap sel seterusnya dua kali lebih banyak daripada yang sebelumnya. Jumlah bijirin yang diminta oleh pencipta ialah

Raja yang kaya itu terkejut apabila mengetahui bahawa dia tidak dapat memenuhi "keinginan rendah hati" orang bijak itu. Nilai ungkapan ini ialah 18 446 744 073 709 551 615 i.e. 18 quintillion 446 quadrillion 744 trilion 73 billion 709 juta 551 ribu 615.

Untuk menyedari betapa besar jumlah ini, bayangkan bahawa bijirin disimpan di dalam kandang seluas 12 hektar. Ketinggiannya akan lebih besar daripada jarak dari Bumi ke Matahari.

4.) Jabatan Biologi.

Dalam biologi juga, terdapat fenomena yang boleh dicirikan menggunakan janjang. Khususnya, pembiakan organisma hidup. Mengetahui ciri-ciri organisma seperti kekerapan pembiakan dan bilangan anak, adalah mungkin untuk meramalkan bilangan populasi dalam tempoh masa tertentu menggunakan janjang. Proses sedemikian dipertimbangkan dalam masalah seterusnya.

TUGASAN.

Bakteria, setelah memasuki badan, terbahagi kepada dua pada penghujung 20 minit, masing-masing membahagi kepada dua lagi pada akhir 20 minit, dan seterusnya. Berapa banyak bakteria akan berada dalam badan dalam sehari?

Penyelesaian:

Bilangan bakteria meningkat sebanyak 2 kali setiap 20 minit, jadi kita mempunyai:

1,2,4,8, ... janjang geometri di mana

mengikut formula
cari

bakteria.

Jawapan:
bakteria.

5.) Jabatan Fizik.

Dari sejarah astronomi diketahui bahawa I. Titius, seorang ahli astronomi Jerman Abad XVIII, menggunakan satu siri nombor Fibonacci menemui corak dan susunan dalam jarak antara planet-planet sistem suria. Walau bagaimanapun, satu kes yang nampaknya bertentangan dengan undang-undang: tidak ada planet di antara Marikh dan Musytari. Pemerhatian terfokus pada kawasan langit ini membawa kepada penemuan tali pinggang asteroid, ini berlaku selepas kematian Titius pada awal abad ke-19.

Perkembangan menyatakan undang-undang beberapa fenomena fizikal. Sebagai contoh, pengionan hentaman berlaku mengikut undang-undang janjang geometri. Dalam pengionan hentaman, ion positif, mencapai permukaan elektrod negatif, mengetuk elektron. Elektron ini, yang mempunyai tenaga yang hebat, mengetuk elektron dari kulit luar atom yang ditemuinya dalam perjalanannya. 2 elektron telah membentuk knock out 2 lagi, 4 menerima 4 lagi, dan seterusnya.Satu runtuhan elektron terbentuk, berkembang secara eksponen.

Dalam fizik terdapat konsep gerakan dipercepatkan secara seragam. Jika jasad bergerak dengan pecutan seragam, maka jarak yang dilaluinya dalam setiap unit masa berikutnya bertambah dengan jumlah yang sama. Itu. segmen laluan yang dilalui jasad dalam 1,2,3,4, ... unit masa membentuk janjang aritmetik.

TUGASAN.

Sebiji bola yang bergolek dalam pelongsor bergerak 0.6 m pada saat pertama, dan 0.6 m lagi dalam setiap detik berikutnya. Berapa lamakah masa yang diambilnya untuk berjalan sejauh 6m?

Penyelesaian:
m,
m,
m.

5 tidak memenuhi keadaan masalah

Bola bergerak sejauh 6 meter dalam 4 saat.

Jawapan: 4 saat.

6.) Jabatan Ekonomi.

Bank pertama diasaskan di Venice pada tahun 1171. Sejak itu, sistem perbankan telah berkembang dan bertambah baik.

Dalam kes meletakkan deposit tunai di bank, pendeposit menerima peratusan tertentu untuk penggunaan dananya.

TUGASAN.

Bank membayar 2% setahun. Berapakah jumlah sumbangan 800r pada akhir setiap tahun? Untuk tahun pertama atau kedua, pertumbuhan deposit adalah lebih? Apakah sumbangan selepas 3 tahun?

Penyelesaian:

biarlah A ialah deposit permulaan, yang merangkumi p % setahun, kemudian A
- pertumbuhan deposit, dalam setahun kita ada

di mana
- telah menjadi nilai tetap untuk sebarang jumlah. Selepas 2 tahun kami mempunyai:

mereka. pertumbuhan sumbangan meningkat mengikut hukum janjang geometri.

Jika pendeposit meletakkan 800 rubel di bank, pada 2% setahun, maka bentuk peningkatan

800 0.02 = 16 p

Untuk tahun pertama, jumlah deposit ialah 800 + 16 = 816 rubel

Untuk tahun kedua 816 (1 + 0.02)² = 832.32 rubel

Untuk setiap tahun, sumbangan awal meningkat sebanyak 2%, jadi selepas 3 tahun ia adalah sama dengan

800 (1.02)³ \u003d 800 1.06 \u003d 848 (r)

Jawapan: 848r.

TUGASAN.

Pekerja diberi tugas menggali perigi. Untuk meter pertama yang digali ke dalam telaga, mereka dibayar 50 rubel, dan untuk setiap meter seterusnya mereka dibayar 20 rubel lebih daripada yang sebelumnya. Berapakah wang (dalam rubel) yang akan dibayar pekerja untuk menggali perigi sedalam 12m?

Penyelesaian:

Daripada keadaan masalah kita mempunyai janjang aritmetik

perlu mencari

Jawapan: 1920

7) Penyelesaian tugas ujian.

1 pilihan.

1. Cari beza janjang aritmetik jika

A) 0.9; B) -0.9; PADA 9; D) -9.

2. Apakah hasil tambah bagi empat sebutan pertama suatu janjang geometri, sebutan pertamanya

dan penyebutnya

A) 70; B) 85; B) 80; D) 75.

3. Berapakah jumlah enam sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika

A) 85; B) 95; B) 105; D) 115.

4. Antara jujukan ini, nyatakan satu janjang aritmetik.

A) 5;8;13;18; C) 0.1; 0.2; 0.3; 0.4;

B) 45;40;33;27; D) 7;9;12;14.

5. Daripada urutan nombor -9, -8, -6,4,5,6, dua nombor telah dipilih dan hasil darabnya ditemui. Apakah nilai terkecil yang boleh diambil oleh produk ini?

A) -40; B) -54; B) -72; D) -36.

6. Nyatakan satu janjang geometri antara jujukan ini.

A) 6;18;54;162; B)1;2;3;5; C)3;8;13;18; D) 21;19;17;15.

7. Apakah sebutan ketiga bagi suatu janjang geometri, yang sebutan pertamanya
dan penyebutnya

A) 15; B) 45; B) 135; D) 75.

8. Cari penyebut bagi suatu janjang geometri jika

TAPI)
B) AT)
G)

9. Cari sebutan ketujuh suatu janjang aritmetik yang sebutan pertamanya ialah 8 dan bezanya ialah 0.5.

A) 11; B) 10; C) 10.5; D) 9.5.

10. Cari sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika sebutan kedua ialah 2.1 dan bezanya ialah 0.7.

A) 1.4; B) 2.8; C) 0.3; D) 14.7.

Pilihan 2.

1. Urutan yang manakah merupakan janjang aritmetik?

A) 1;2;4;8; B) 8;10;13;17; C) 2; 4; 6; 8; D) -8;8;-8;8. dan penyebutnya

A) -2; B) -6; DALAM 2; D)6.

Jabatan Biologi.

Satu tugas. Bakteria, sekali di dalam badan, dibahagikan kepada 2 pada penghujung 20 minit, setiap satunya dibahagikan dengan 2 lagi pada penghujung 20 minit, dsb. Berapa banyak bakteria akan berada dalam badan dalam sehari?

Jabatan Fizik.

Satu tugas. Sebiji bola yang bergolek dalam pelongsor bergerak 0.6 m pada saat pertama, dan 0.6 m lagi dalam setiap detik berikutnya. Berapa lamakah masa yang diambilnya untuk berjalan sejauh 6 meter?

Jabatan Ekonomi.

Satu tugas. Bank membayar 2% setahun. Apakah jumlah deposit sebanyak 800 Hryvnia pada akhir setiap tahun? Untuk tahun pertama atau kedua, pertumbuhan deposit adalah lebih? Apakah sumbangan selepas 3 tahun?

Jabatan Sejarah dan Teori.

Satu tugas. Pekerja diberi tugas menggali perigi. Untuk meter pertama yang digali ke dalam telaga, mereka dibayar 50 r, dan untuk setiap meter berikutnya mereka dibayar 20 r lebih daripada yang sebelumnya. Berapa banyak wang (dalam rubel) akan dibayar pekerja untuk menggali perigi

12 m

kesusasteraan:

1. Pelajaran terbuka. Matematik. 5,6,7,9,11 sel Isu 2. Pengarang-penyusun: Lyashova N.M. dan lain-lain. Volgograd: Guru, 2007-84s.

2. Minggu mata pelajaran di sekolah. Matematik. Disusun oleh: Goncharova L.V.

Volgograd: Guru. 2007-133p.

3. Sukhareva L.S. Permainan didaktik dalam pelajaran matematik. 7-9 sel. Kharkov: Osnova.2006-144p.