Semua nombor tidak rasional. Apakah nombor rasional dan tidak rasional

Nombor rasional ialah nombor yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana . Q ialah set semua nombor rasional.

Nombor rasional dibahagikan kepada: positif, negatif dan sifar.

Setiap nombor rasional boleh dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Hubungan "ke kiri" untuk titik sepadan dengan hubungan "kurang daripada" untuk koordinat titik ini. Ia boleh dilihat bahawa setiap nombor negatif adalah kurang daripada sifar dan setiap nombor positif; daripada dua nombor negatif, satu yang modulusnya lebih besar adalah kurang. Jadi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Mana-mana nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan berkala perpuluhan. Sebagai contoh, .

Algoritma untuk operasi pada nombor rasional mengikut peraturan tanda untuk operasi sepadan pada pecahan sifar dan positif. Q melakukan pembahagian selain daripada pembahagian dengan sifar.

Mana-mana persamaan linear, i.e. persamaan bentuk ax+b=0, di mana , boleh diselesaikan pada set Q, tetapi bukan sebarang persamaan kuadratik bentuk , boleh diselesaikan dalam nombor rasional. Tidak setiap titik pada garis koordinat mempunyai titik rasional. Malah pada akhir abad ke-6 SM. n. e dalam sekolah Pythagoras, telah terbukti bahawa pepenjuru segi empat sama tidak sepadan dengan ketinggiannya, yang sama dengan pernyataan: "Persamaan itu tidak mempunyai punca rasional." Semua di atas membawa kepada keperluan untuk mengembangkan set Q, konsep nombor tidak rasional telah diperkenalkan. Nyatakan set nombor tak rasional dengan huruf J .

Pada garis koordinat, semua titik yang tidak mempunyai koordinat rasional mempunyai koordinat tidak rasional. , dengan r ialah set nombor nyata. Pecahan perpuluhan ialah cara universal untuk menentukan nombor nyata. Perpuluhan berkala mentakrifkan nombor rasional, dan perpuluhan bukan berkala mentakrifkan nombor tidak rasional. Jadi, 2.03 (52) ialah nombor rasional, 2.03003000300003 ... (tempoh setiap digit berikut “3” ditulis satu sifar lagi) ialah nombor tak rasional.

Set Q dan R mempunyai sifat positif: antara mana-mana dua nombor rasional terdapat nombor rasional, contohnya, ecoi a

Bagi setiap nombor tak rasional α seseorang boleh menentukan anggaran rasional kedua-duanya dengan kekurangan dan dengan lebihan dengan sebarang ketepatan: a< α

Operasi mengekstrak punca daripada beberapa nombor rasional membawa kepada nombor tidak rasional. Mengeluarkan punca darjah semula jadi ialah operasi algebra, i.e. pengenalannya disambungkan dengan penyelesaian persamaan algebra bagi bentuk tersebut . Jika n ganjil, i.e. n=2k+1, di mana , maka persamaan itu mempunyai punca tunggal. Jika n genap, n=2k, di mana , maka untuk a=0 persamaan mempunyai punca tunggal x=0, untuk a<0 корней нет, при a>0 mempunyai dua punca yang bertentangan antara satu sama lain. Mengeluarkan akar ialah operasi terbalik untuk menaikkan kepada kuasa semula jadi.

Punca aritmetik (untuk ringkasan, punca) darjah ke-n bagi nombor bukan negatif a ialah nombor bukan negatif b, yang merupakan punca persamaan. Punca darjah ke-n daripada nombor a dilambangkan dengan simbol. Untuk n=2, darjah punca 2 tidak ditunjukkan: .

Sebagai contoh, , kerana 2 2 =4 dan 2>0; , kerana 3 3 =27 dan 3>0; tidak wujud kerana -empat<0.

Untuk n=2k dan a>0, punca-punca persamaan (1) ditulis sebagai dan . Sebagai contoh, punca-punca persamaan x 2 \u003d 4 ialah 2 dan -2.

Untuk n ganjil, persamaan (1) mempunyai punca tunggal untuk sebarang . Jika a≥0, maka - punca persamaan ini. Sekiranya<0, то –а>0 dan - punca persamaan. Jadi, persamaan x 3 \u003d 27 mempunyai punca.

Nombor bulat

Takrif nombor asli ialah integer positif. Nombor asli digunakan untuk mengira objek dan untuk banyak tujuan lain. Berikut adalah nombornya:

Ini adalah siri nombor semula jadi.
Sifar ialah nombor asli? Tidak, sifar bukan nombor asli.
Berapakah bilangan asli yang ada? Terdapat set nombor asli yang tidak terhingga.
Apakah nombor asli terkecil? Satu ialah nombor asli terkecil.
Apakah nombor asli terbesar? Ia tidak boleh dinyatakan, kerana terdapat set nombor asli yang tidak terhingga.

Jumlah nombor asli ialah nombor asli. Jadi, penambahan nombor asli a dan b:

Hasil darab nombor asli ialah nombor asli. Jadi, hasil darab nombor asli a dan b:

c sentiasa nombor asli.

Perbezaan nombor asli Tidak selalu ada nombor asli. Jika minuend lebih besar daripada subtrahend, maka perbezaan nombor asli ialah nombor asli, jika tidak, ia tidak.

Hasil bagi nombor asli Tidak selalu ada nombor asli. Jika bagi nombor asli a dan b

di mana c ialah nombor asli, ia bermakna a boleh dibahagi sama rata dengan b. Dalam contoh ini, a ialah dividen, b ialah pembahagi, c ialah hasil bagi.

Pembahagi nombor asli ialah nombor asli yang nombor pertama boleh dibahagikan sama rata.

Setiap nombor asli boleh dibahagi dengan 1 dan nombor itu sendiri.

Nombor asli mudah hanya boleh dibahagi dengan 1 dan nombor itu sendiri. Di sini kita maksudkan dibahagikan sepenuhnya. Contoh, nombor 2; 3; 5; 7 hanya boleh dibahagikan dengan 1 dan dirinya sendiri. Ini adalah nombor asli yang mudah.

Satu tidak dianggap sebagai nombor perdana.

Nombor yang lebih besar daripada satu dan bukan perdana dipanggil nombor komposit. Contoh nombor komposit:

Satu tidak dianggap sebagai nombor komposit.

Set nombor asli terdiri daripada satu, nombor perdana dan nombor komposit.

Set nombor asli dilambangkan dengan huruf Latin N.

Sifat penambahan dan pendaraban nombor asli:

sifat komutatif penambahan

sifat bersekutu penambahan

(a + b) + c = a + (b + c);

sifat komutatif pendaraban

sifat bersekutu pendaraban

(ab)c = a(bc);

sifat taburan pendaraban

A (b + c) = ab + ac;

Nombor bulat

Integer ialah nombor asli, sifar dan bertentangan dengan nombor asli.

Nombor yang bertentangan dengan nombor asli ialah integer negatif, contohnya:

1; -2; -3; -4;...

Set integer dilambangkan dengan huruf Latin Z.

Nombor rasional

Nombor rasional ialah integer dan pecahan.

Sebarang nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan berkala. Contoh:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Ia boleh dilihat daripada contoh bahawa sebarang integer ialah pecahan berkala dengan tempoh sifar.

Sebarang nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli. Mari kita wakili nombor 3,(6) daripada contoh sebelumnya sebagai pecahan sedemikian.

Memahami nombor, terutamanya nombor asli, adalah salah satu "kemahiran" matematik tertua. Banyak tamadun, malah yang moden, mengaitkan beberapa sifat mistik kepada nombor kerana kepentingannya yang besar dalam menggambarkan alam semula jadi. Walaupun sains dan matematik moden tidak mengesahkan sifat "ajaib" ini, kepentingan teori nombor tidak dapat dinafikan.

Dari segi sejarah, banyak nombor asli mula-mula muncul, kemudian tidak lama kemudian pecahan dan nombor tak rasional positif telah ditambah kepada mereka. Nombor sifar dan negatif telah diperkenalkan selepas subset set nombor nyata ini. Set terakhir, set nombor kompleks, muncul hanya dengan perkembangan sains moden.

Dalam matematik moden, nombor diperkenalkan bukan mengikut susunan sejarah, walaupun agak hampir dengannya.

Nombor asli $\mathbb(N)$

Set nombor asli selalunya dilambangkan sebagai $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, dan selalunya berlapik dengan sifar untuk menandakan $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ mentakrifkan operasi tambah (+) dan darab ($\cdot$) dengan sifat berikut untuk mana-mana $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ set $\mathbb(N)$ ditutup di bawah penambahan dan pendaraban
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutatif
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ pergaulan
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ pengagihan
5. $a\cdot 1=a$ ialah unsur neutral untuk pendaraban

Memandangkan set $\mathbb(N)$ mengandungi unsur neutral untuk pendaraban tetapi bukan untuk penambahan, menambah sifar pada set ini memastikan ia termasuk unsur neutral untuk penambahan.

Sebagai tambahan kepada dua operasi ini, pada set $\mathbb(N)$ hubungan "kurang daripada" ($

1. $a b$ trikotomi
2. jika $a\leq b$ dan $b\leq a$, maka $a=b$ ialah antisimetri
3. jika $a\leq b$ dan $b\leq c$, maka $a\leq c$ adalah transitif
4. jika $a\leq b$, maka $a+c\leq b+c$
5. jika $a\leq b$, maka $a\cdot c\leq b\cdot c$

Integer $\mathbb(Z)$

Contoh integer:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Penyelesaian persamaan $a+x=b$, di mana $a$ dan $b$ dikenali sebagai nombor asli, dan $x$ ialah nombor asli yang tidak diketahui, memerlukan pengenalan operasi baharu - penolakan(-). Jika terdapat nombor asli $x$ yang memenuhi persamaan ini, maka $x=b-a$. Walau bagaimanapun, persamaan khusus ini tidak semestinya mempunyai penyelesaian pada set $\mathbb(N)$, jadi pertimbangan praktikal memerlukan melanjutkan set nombor asli sedemikian rupa untuk memasukkan penyelesaian kepada persamaan sedemikian. Ini membawa kepada pengenalan set integer: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Oleh kerana $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, adalah logik untuk mengandaikan bahawa operasi yang diperkenalkan sebelum ini $+$ dan $\cdot$ dan hubungan $ 1. $0+a=a+0=a$ terdapat unsur neutral untuk penambahan
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ terdapat nombor berlawanan $-a$ untuk $a$

5. Harta:
5. jika $0\leq a$ dan $0\leq b$, maka $0\leq a\cdot b$

Set $\mathbb(Z) $ juga ditutup di bawah penolakan, iaitu, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Nombor rasional $\mathbb(Q)$

Contoh nombor rasional:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Sekarang pertimbangkan persamaan bentuk $a\cdot x=b$, di mana $a$ dan $b$ diketahui integer dan $x$ tidak diketahui. Untuk membolehkan penyelesaian, adalah perlu untuk memperkenalkan operasi bahagi ($:$), dan penyelesaiannya menjadi $x=b:a$, iaitu, $x=\frac(b)(a)$. Sekali lagi, masalah timbul bahawa $x$ tidak selalunya tergolong dalam $\mathbb(Z)$, jadi set integer mesti dilanjutkan. Oleh itu, kami memperkenalkan set nombor rasional $\mathbb(Q)$ dengan unsur $\frac(p)(q)$, di mana $p\in \mathbb(Z)$ dan $q\in \mathbb(N) $. Set $\mathbb(Z)$ ialah subset di mana setiap elemen $q=1$, maka $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ dan operasi penambahan dan pendaraban juga digunakan untuk set ini mengikut kepada peraturan berikut, yang mengekalkan semua sifat di atas juga pada set $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Bahagian dimasukkan seperti ini:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Pada set $\mathbb(Q)$, persamaan $a\cdot x=b$ mempunyai penyelesaian unik untuk setiap $a\neq 0$ (tiada pembahagian dengan sifar ditakrifkan). Ini bermakna terdapat unsur songsang $\frac(1)(a)$ atau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\wujud \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Susunan set $\mathbb(Q)$ boleh dilanjutkan dengan cara ini:
$\frac(p_1)(q_1)

Set $\mathbb(Q)$ mempunyai satu sifat penting: antara mana-mana dua nombor rasional terdapat banyak nombor rasional lain yang tidak terhingga, oleh itu, tiada dua nombor rasional berjiran, berbeza dengan set nombor asli dan integer.

Nombor tak rasional $\mathbb(I)$

Contoh nombor tak rasional:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \lebih kurang 1.41422135...$
$\pi \lebih kurang 3.1415926535...$

Oleh kerana terdapat banyak nombor rasional lain yang tidak terhingga antara mana-mana dua nombor rasional, adalah mudah untuk tersilap membuat kesimpulan bahawa set nombor rasional adalah sangat padat sehingga tidak perlu mengembangkannya lagi. Malah Pythagoras pernah melakukan kesilapan sedemikian. Walau bagaimanapun, rakan seangkatannya telah pun menyangkal kesimpulan ini apabila mengkaji penyelesaian persamaan $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pada set nombor rasional. Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, adalah perlu untuk memperkenalkan konsep punca kuasa dua, dan kemudian penyelesaian kepada persamaan ini mempunyai bentuk $x=\sqrt(2)$. Persamaan jenis $x^2=a$, di mana $a$ ialah nombor rasional yang diketahui dan $x$ ialah nombor yang tidak diketahui, tidak selalunya mempunyai penyelesaian pada set nombor rasional, dan sekali lagi terdapat keperluan. untuk mengembangkan set. Satu set nombor tak rasional timbul, dan nombor seperti $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... tergolong dalam set ini.

Nombor nyata $\mathbb(R)$

Penyatuan set nombor rasional dan tak rasional ialah set nombor nyata. Oleh kerana $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, sekali lagi logik untuk menganggap bahawa operasi dan hubungan aritmetik yang diperkenalkan mengekalkan sifatnya pada set baharu. Bukti formal tentang ini adalah sangat sukar, jadi sifat-sifat operasi dan hubungan aritmetik yang disebutkan di atas pada set nombor nyata diperkenalkan sebagai aksiom. Dalam algebra, objek sedemikian dipanggil medan, jadi set nombor nyata dikatakan medan tertib.

Agar takrifan set nombor nyata lengkap, adalah perlu untuk memperkenalkan aksiom tambahan yang membezakan set $\mathbb(Q)$ dan $\mathbb(R)$. Andaikan bahawa $S$ ialah subset bukan kosong bagi set nombor nyata. Unsur $b\in \mathbb(R)$ dipanggil sempadan atas $S$ jika $\forall x\in S$ memenuhi $x\leq b$. Kemudian set $S$ dikatakan terikat dari atas. Sempadan atas terkecil bagi set $S$ dipanggil tertinggi dan dilambangkan dengan $\sup S$. Pengertian sempadan bawah, set bersempadan di bawah, dan infinum $\inf S$ diperkenalkan dengan cara yang sama. Sekarang aksiom yang hilang dirumuskan seperti berikut:

Mana-mana bukan kosong dan bersempadan dari subset atas set nombor nyata mempunyai supremum.
Ia juga boleh dibuktikan bahawa medan nombor nyata yang ditakrifkan di atas adalah unik.

Nombor kompleks$\mathbb(C)$

Contoh nombor kompleks:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ di mana $i = \sqrt(-1)$ atau $i^2 = -1$

Set nombor kompleks ialah semua pasangan tertib nombor nyata, iaitu $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, di mana operasi penambahan dan pendaraban ditakrifkan seperti berikut:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Terdapat beberapa cara untuk menulis nombor kompleks, yang paling biasa ialah $z=a+ib$, dengan $(a,b)$ ialah sepasang nombor nyata dan nombor $i=(0,1)$ dipanggil unit khayalan.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa $i^2=-1$. Sambungan set $\mathbb(R)$ kepada set $\mathbb(C)$ membolehkan seseorang menentukan punca kuasa dua nombor negatif, yang merupakan sebab untuk memperkenalkan set nombor kompleks. Ia juga mudah untuk menunjukkan bahawa subset set $\mathbb(C)$ diberikan sebagai $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ memenuhi semua aksiom untuk nombor nyata, maka $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, atau $R\subset\mathbb(C)$.

Struktur algebra bagi set $\mathbb(C)$ berkenaan dengan operasi tambah dan darab mempunyai sifat berikut:
1. komutatif penambahan dan pendaraban
2. perkaitan penambahan dan pendaraban
3. $0+i0$ - unsur neutral untuk penambahan
4. $1+i0$ - unsur neutral untuk pendaraban
5. pendaraban adalah pengagihan berkenaan dengan penambahan
6. Terdapat satu unsur songsang untuk kedua-dua penambahan dan pendaraban.

Bahan artikel ini adalah maklumat awal tentang nombor tidak rasional. Pertama, kami akan memberikan definisi nombor tak rasional dan menerangkannya. Berikut adalah beberapa contoh nombor tak rasional. Akhir sekali, mari kita lihat beberapa pendekatan untuk mengetahui sama ada nombor yang diberikan adalah tidak rasional atau tidak.

Navigasi halaman.

Definisi dan contoh nombor tak rasional

Dalam kajian pecahan perpuluhan, kami secara berasingan menganggap pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga. Pecahan sedemikian timbul dalam ukuran perpuluhan bagi panjang segmen yang tidak boleh dibandingkan dengan satu segmen. Kami juga menyatakan bahawa pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak boleh ditukar kepada pecahan biasa (lihat penukaran pecahan biasa kepada perpuluhan dan sebaliknya), oleh itu, nombor ini bukan nombor rasional, ia mewakili apa yang dipanggil nombor tidak rasional.

Jadi kami datang ke definisi nombor tak rasional.

Definisi.

Nombor yang dalam tatatanda perpuluhan mewakili pecahan perpuluhan tak terhingga tidak berulang dipanggil nombor tidak rasional.

Definisi yang dibunyikan membolehkan untuk membawa contoh nombor tak rasional. Contohnya, pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 4.10110011100011110000… (bilangan satu dan sifar bertambah satu setiap kali) ialah nombor tidak rasional. Mari kita berikan satu lagi contoh nombor tak rasional: −22.353335333335 ... (bilangan tiga kali ganda yang memisahkan lapan bertambah dua setiap kali).

Perlu diingat bahawa nombor tak rasional agak jarang dalam bentuk pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga. Biasanya mereka ditemui dalam bentuk, dsb., serta dalam bentuk surat yang diperkenalkan khas. Contoh nombor tak rasional yang paling terkenal dalam tatatanda sedemikian ialah punca kuasa dua aritmetik dua, nombor "pi" π=3.141592..., nombor e=2.718281... dan nombor emas.

Nombor tak rasional juga boleh ditakrifkan dari segi nombor nyata, yang menggabungkan nombor rasional dan tidak rasional.

Definisi.

Nombor tidak rasional ialah nombor nyata yang tidak rasional.

Adakah nombor ini tidak rasional?

Apabila nombor diberikan bukan sebagai pecahan perpuluhan, tetapi sebagai punca tertentu, logaritma, dsb., maka dalam banyak kes agak sukar untuk menjawab soalan sama ada ia tidak rasional.

Tidak dinafikan, dalam menjawab soalan yang dikemukakan, adalah sangat berguna untuk mengetahui nombor mana yang tidak rasional. Ia berikutan daripada definisi nombor tak rasional bahawa nombor rasional bukanlah nombor tak rasional. Oleh itu, nombor tak rasional BUKAN:

• pecahan perpuluhan berkala terhingga dan tak terhingga.

Juga, sebarang komposisi nombor rasional yang disambungkan dengan tanda operasi aritmetik (+, −, ·, :) bukan nombor tak rasional. Ini kerana hasil tambah, beza, hasil darab dan hasil bagi dua nombor rasional ialah nombor rasional. Sebagai contoh, nilai ungkapan dan adalah nombor rasional. Di sini kita perhatikan bahawa jika dalam ungkapan sedemikian antara nombor rasional terdapat satu nombor tak rasional tunggal, maka nilai keseluruhan ungkapan itu akan menjadi nombor tak rasional. Sebagai contoh, dalam ungkapan, nombor itu tidak rasional, dan nombor selebihnya adalah rasional, oleh itu, nombor tidak rasional. Jika ia adalah nombor rasional, maka rasionaliti nombor itu akan mengikuti daripada ini, tetapi ia tidak rasional.

Jika ungkapan yang diberi nombor itu mengandungi beberapa nombor tidak rasional, tanda punca, logaritma, fungsi trigonometri, nombor π, e, dsb., maka ia diperlukan untuk membuktikan ketidakrasionalan atau rasional nombor yang diberikan dalam setiap kes tertentu. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa keputusan yang telah diperolehi yang boleh digunakan. Mari kita senaraikan yang utama.

Dibuktikan bahawa punca ke-k bagi integer ialah nombor rasional hanya jika nombor di bawah punca ialah kuasa ke-k bagi integer lain, dalam kes lain punca seperti itu mentakrifkan nombor tidak rasional. Sebagai contoh, nombor dan tidak rasional, kerana tiada integer yang kuasa duanya ialah 7, dan tiada integer yang dinaikkan kepada kuasa kelima memberikan nombor 15. Dan nombor dan bukan tidak rasional, sejak dan .

Bagi logaritma, kadangkala adalah mungkin untuk membuktikan ketidakrasionalannya dengan percanggahan. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahawa log 2 3 ialah nombor tidak rasional.

Katakan log 2 3 ialah nombor rasional, bukan tak rasional, iaitu, ia boleh diwakili sebagai pecahan biasa m/n . dan benarkan kami menulis rantaian persamaan berikut: . Persamaan terakhir adalah mustahil, kerana di sebelah kirinya nombor ganjil, dan juga di sebelah kanan. Jadi kami sampai kepada percanggahan, yang bermaksud bahawa andaian kami ternyata salah, dan ini membuktikan bahawa log 2 3 adalah nombor tidak rasional.

Ambil perhatian bahawa lna untuk sebarang rasional positif dan bukan unit a ialah nombor tak rasional. Sebagai contoh, dan adalah nombor tak rasional.

Ia juga dibuktikan bahawa nombor e a adalah tidak rasional untuk mana-mana bukan sifar rasional a, dan bahawa nombor π z adalah tidak rasional untuk mana-mana bukan sifar integer z. Sebagai contoh, nombor adalah tidak rasional.

Nombor tak rasional juga merupakan fungsi trigonometri sin , cos , tg dan ctg untuk sebarang nilai rasional dan bukan sifar hujah. Contohnya, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , ialah nombor tak rasional.

Terdapat keputusan lain yang terbukti, tetapi kami akan mengehadkan diri kami kepada yang telah disenaraikan. Perlu juga dikatakan bahawa dalam membuktikan keputusan di atas, teori yang dikaitkan dengan nombor algebra dan nombor transenden.

Sebagai kesimpulan, kami perhatikan bahawa seseorang tidak boleh membuat kesimpulan tergesa-gesa tentang ketidakrasionalan nombor yang diberikan. Sebagai contoh, nampaknya jelas bahawa nombor tidak rasional kepada tahap tidak rasional adalah nombor tidak rasional. Walau bagaimanapun, ini tidak selalu berlaku. Sebagai pengesahan fakta yang disuarakan, kami menyampaikan ijazah. Adalah diketahui bahawa - nombor tidak rasional, dan juga membuktikan bahawa - nombor tidak rasional, tetapi - nombor rasional. Anda juga boleh memberi contoh nombor tak rasional, hasil tambah, beza, hasil darab dan hasil bahagi yang merupakan nombor rasional. Selain itu, rasionaliti atau tidak rasional nombor π+e , π−e , π e , π π , π e dan banyak lagi masih belum dibuktikan.

Bibliografi.

• Matematik. Darjah 6: buku teks. untuk pendidikan am institusi / [N. Ya. Vilenkin dan lain-lain]. - ed. ke-22, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: buku teks untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.