Semua nilai dosa. Nilai fungsi trigonometri

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Pertama sekali, izinkan saya mengingatkan anda tentang kesimpulan mudah tetapi sangat berguna daripada pelajaran "Apakah sinus dan kosinus? Apakah tangen dan kotangen?"

Inilah output itu:

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen disambungkan rapat dengan sudutnya. Kami tahu satu perkara, jadi kami tahu sesuatu yang lain.

Dengan kata lain, setiap sudut mempunyai sinus dan kosinus tetap sendiri. Dan hampir setiap orang mempunyai tangen dan kotangen mereka sendiri. kenapa hampir? Lebih lanjut mengenai itu di bawah.

Pengetahuan ini akan banyak membantu anda! Terdapat banyak tugas di mana anda perlu pergi dari sinus ke sudut dan sebaliknya. Untuk ini ada jadual sinus. Begitu juga, untuk pekerjaan dengan kosinus - jadual kosinus. Dan, anda rasa, ada meja tangen dan meja kotangen.)

Jadual berbeza. Yang panjang, di mana anda boleh melihat apa, katakan, sin37 ° 6 'sama dengan. Kami membuka jadual Bradis, cari sudut tiga puluh tujuh darjah enam minit dan lihat nilai 0.6032. Sudah tentu, mengingati nombor ini (dan beribu-ribu nilai jadual lain) sama sekali tidak diperlukan.

Malah, pada zaman kita, jadual panjang kosinus, sinus, tangen, dan kotangen tidak benar-benar diperlukan. Satu kalkulator yang baik menggantikannya sepenuhnya. Tetapi tidak salah untuk mengetahui tentang kewujudan jadual sedemikian. Untuk pengetahuan umum.)

Mengapa pelajaran ini? - anda bertanya.

Tapi kenapa. Di antara bilangan sudut yang tidak terhingga terdapat istimewa, tentang yang anda patut tahu semua. Semua geometri sekolah dan trigonometri dibina pada sudut ini. Ini adalah sejenis "jadual darab" trigonometri. Jika anda tidak tahu apa yang sama dengan sin50°, sebagai contoh, tiada siapa yang akan menilai anda.) Tetapi jika anda tidak tahu apa yang sama dengan sin30°, bersedialah untuk mendapatkan deuce yang layak...

begitu istimewa sudut juga ditaip dengan sopan. Buku teks sekolah biasanya ditawarkan untuk menghafal. jadual sinus dan jadual kosinus untuk tujuh belas penjuru. Dan, sudah tentu, meja tangen dan meja kotangen untuk tujuh belas penjuru yang sama... Iaitu. dicadangkan untuk mengingati 68 nilai. Yang, dengan cara ini, sangat serupa antara satu sama lain, ulangi dan tukar tanda-tanda dari semasa ke semasa. Bagi seseorang yang tidak mempunyai ingatan visual yang ideal - itu tugas lain ...)

Kami akan pergi ke arah lain. Mari gantikan hafalan mekanikal dengan logik dan kepintaran. Kemudian kita perlu menghafal 3 (tiga!) nilai untuk jadual sinus dan jadual kosinus. Dan 3 (tiga!) nilai untuk jadual tangen dan jadual kotangen. Dan itu sahaja. Enam nilai lebih mudah diingati daripada 68, saya rasa...)

Lain-lain nilai yang diperlukan kita akan keluar daripada enam ini dengan helaian tipu undang-undang yang berkuasa - bulatan trigonometri. Jika anda belum mempelajari topik ini, pergi ke pautan, jangan malas. Bulatan ini bukan sahaja untuk pelajaran ini. Dia tiada gantinya untuk semua trigonometri sekaligus. Tidak menggunakan alat sedemikian adalah dosa semata-mata! Anda tidak mahu? Itu urusan awak. hafal jadual sinus. jadual kosinus. Jadual tangen. Meja kotangen. Semua 68 nilai untuk pelbagai sudut.)

Jadi, mari kita mulakan. Sebagai permulaan, mari kita pecahkan semua sudut istimewa ini kepada tiga kumpulan.

Kumpulan pertama sudut.

Pertimbangkan kumpulan pertama sudut tujuh belas istimewa. Ini ialah 5 sudut: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Beginilah rupa jadual sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut ini:

Sudut x (dalam darjah)	0	90	180	270	360
Sudut x (dalam radian)	0
dosa x	0	1	0	-1	0
kerana x	1	0	-1	0	1
tg x	0	bukan kata nama	0	bukan kata nama	0
ctg x	bukan kata nama	0	bukan kata nama	0	bukan kata nama

Yang nak ingat - ingat. Tetapi saya mesti mengatakan dengan segera bahawa semua yang dan sifar ini sangat keliru dalam kepala saya. Jauh lebih kuat daripada yang anda mahu.) Oleh itu, kami menghidupkan logik dan bulatan trigonometri.

Kami melukis bulatan dan menandakan sudut yang sama di atasnya: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Saya menandakan sudut ini dengan titik merah:

Anda boleh segera melihat apa keistimewaan sudut-sudut ini. Ya! Ini adalah sudut yang jatuh tepat pada paksi koordinat! Sebenarnya, sebab itu orang jadi keliru... Tetapi kita tidak akan keliru. Mari kita fikirkan bagaimana untuk mencari fungsi trigonometri sudut ini tanpa banyak hafalan.

By the way, kedudukan sudut ialah 0 darjah bertepatan sepenuhnya dengan sudut 360 darjah. Ini bermakna sinus, kosinus, tangen bagi sudut ini adalah sama. Saya menandakan sudut 360 darjah untuk melengkapkan bulatan.

Katakan, dalam persekitaran tertekan yang sukar dalam Peperiksaan Negeri Bersatu, anda entah bagaimana meragui ... Apa sama dengan sinus 0 darjah? Nampaknya seperti sifar ... Bagaimana jika ia adalah satu unit?! Memori mekanikal adalah perkara sedemikian. Dalam keadaan yang teruk, keraguan mula menggerogoti ...)

Tenang, hanya tenang!) Saya akan memberitahu anda teknik praktikal, yang akan memberikan jawapan yang betul 100% dan menghapuskan sepenuhnya semua keraguan.

Sebagai contoh, mari kita fikirkan cara menentukan dengan jelas dan boleh dipercayai, katakan, sinus 0 darjah. Dan pada masa yang sama, kosinus 0. Dalam nilai-nilai ini, anehnya, orang sering keliru.

Untuk melakukan ini, lukis pada bulatan sewenang-wenangnya sudut X. Pada suku pertama, supaya ia tidak jauh dari 0 darjah. Perhatikan pada paksi sinus dan kosinus sudut ini X, semuanya chinar. seperti ini:

Dan sekarang - perhatian! Kurangkan sudut X, bawa bahagian boleh alih ke paksi OH. Tuding pada gambar (atau sentuh gambar pada tablet) dan lihat semuanya.

Sekarang hidupkan logik asas!. Tonton dan fikirkan: Bagaimanakah sinx berkelakuan apabila sudut x berkurangan? Apabila sudut menghampiri sifar? Ia mengecut! Dan cosx - meningkat! Masih perlu memikirkan apa yang akan berlaku kepada sinus apabila sudut runtuh sepenuhnya? Bilakah sisi bergerak sudut (titik A) akan mendap pada paksi OX dan sudut menjadi sama dengan sifar? Jelas sekali, sinus sudut juga akan menjadi sifar. Dan kosinus akan meningkat kepada ... hingga ... Berapakah panjang sisi bergerak sudut (jejari bulatan trigonometri)? Perpaduan!

Inilah jawapannya. Sinus bagi 0 darjah ialah 0. Kosinus 0 darjah ialah 1. Benar-benar kuku besi dan tanpa sebarang keraguan!) Hanya kerana sebaliknya tak mungkin.

Dengan cara yang sama, anda boleh mengetahui (atau menjelaskan) sinus 270 darjah, sebagai contoh. Atau kosinus 180. Lukis bulatan, sewenang-wenangnya sudut dalam suku di sebelah paksi koordinat yang menarik minat kita, gerakkan sisi sudut secara mental dan tangkap apakah sinus dan kosinus akan menjadi apabila sisi sudut itu mendap pada paksi. Itu sahaja.

Seperti yang anda lihat, tidak perlu menghafal apa-apa untuk kumpulan sudut ini. tidak diperlukan di sini jadual sinus... Ya dan jadual kosinus- Juga.) By the way, selepas beberapa aplikasi bulatan trigonometri, semua nilai ini diingati dengan sendirinya. Dan jika mereka dilupakan, saya melukis bulatan dalam masa 5 saat dan menjelaskannya. Jauh lebih mudah daripada memanggil rakan dari tandas dengan risiko sijil, bukan?)

Bagi tangen dan kotangen, semuanya adalah sama. Kami melukis garis tangen (kotangen) pada bulatan - dan segala-galanya dapat dilihat dengan serta-merta. Di mana ia sama dengan sifar, dan di mana ia tidak wujud. Apa, tidakkah anda tahu tentang garis tangen dan kotangen? Ini menyedihkan, tetapi boleh diperbaiki.) Melawat Seksyen 555 Tangen dan kotangen pada bulatan trigonometri - dan tiada masalah!

Jika anda memahami cara mentakrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen dengan jelas untuk lima sudut ini - tahniah! Untuk berjaga-jaga, saya memberitahu anda bahawa anda kini boleh menentukan fungsi mana-mana sudut yang jatuh pada paksi. Dan ini adalah 450°, dan 540°, dan 1800°, dan juga nombor tak terhingga ...) Saya mengira (betul!) Sudut pada bulatan - dan tidak ada masalah dengan fungsi.

Tetapi, hanya dengan pengiraan sudut, masalah dan kesilapan berlaku ... Bagaimana untuk mengelakkannya ditulis dalam pelajaran: Cara melukis (mengira) sebarang sudut pada bulatan trigonometri dalam darjah. Rendah, tetapi sangat membantu dalam memerangi kesilapan.)

Dan inilah pelajarannya: Cara melukis (mengira) sebarang sudut pada bulatan trigonometri dalam radian - ia akan menjadi lebih mendadak. Dari segi kemungkinan. Katakan, tentukan yang mana antara empat paksi separuh sudut jatuh

anda boleh dalam beberapa saat. Saya tidak bergurau! Hanya dalam beberapa saat. Sudah tentu, bukan sahaja 345 "pi" ...) Dan 121, dan 16, dan -1345. Sebarang pekali integer adalah baik untuk jawapan segera.

Bagaimana jika sudut

Fikirkan! Jawapan yang betul diperolehi dalam 10 saat.Untuk mana-mana nilai pecahan radian dengan penyebut dua.

Sebenarnya, ini bagus bulatan trigonometri. Hakikat bahawa keupayaan untuk bekerja dengan beberapa sudut ia mengembang secara automatik set tak terhingga sudut.

Jadi, dengan lima penjuru daripada tujuh belas - fikirkannya.

Kumpulan kedua sudut.

Kumpulan seterusnya sudut ialah 30°, 45° dan 60°. Mengapa ini, dan bukan, sebagai contoh, 20, 50 dan 80? Ya, entah bagaimana ia berlaku seperti ini ... Dari segi sejarah.) Selanjutnya akan dilihat betapa baiknya sudut ini.

Jadual sinus, kosinus, tangen, kotangen untuk sudut ini kelihatan seperti ini:

Sudut x (dalam darjah)	0	30	45	60	90
Sudut x (dalam radian)	0
dosa x	0				1
kerana x	1				0
tg x	0		1		bukan kata nama
ctg x	bukan kata nama		1		0

Saya meninggalkan nilai untuk 0° dan 90° daripada jadual sebelumnya untuk kesempurnaan.) Untuk menjelaskan dengan jelas bahawa sudut ini terletak pada suku pertama dan meningkat. Dari 0 hingga 90. Ini akan berguna kepada kami selanjutnya.

Nilai jadual untuk sudut 30°, 45° dan 60° mesti dihafal. Gores jika anda mahu. Tetapi di sini juga, terdapat peluang untuk menjadikan hidup lebih mudah untuk diri sendiri.) Perhatikan nilai jadual sinus sudut-sudut ini. Dan bandingkan dengan nilai jadual kosinus...

Ya! Mereka adalah sama! Hanya terletak di susunan terbalik. Sudut bertambah (0, 30, 45, 60, 90) - dan nilai sinus meningkat dari 0 hingga 1. Anda boleh mengesahkan dengan kalkulator. Dan nilai kosinus - berkurangan dari 1 hingga sifar. Lebih-lebih lagi, nilai itu sendiri sama. Untuk sudut 20, 50, 80 ini tidak akan berlaku...

Oleh itu kesimpulan yang berguna. Cukup untuk belajar tiga nilai untuk sudut 30, 45, 60 darjah. Dan ingat bahawa mereka bertambah dalam sinus, dan berkurangan dalam kosinus. Ke arah sinus.) Separuh jalan (45°) mereka bertemu, iaitu sinus 45 darjah adalah sama dengan kosinus 45 darjah. Dan kemudian mereka menyimpang lagi ... Tiga makna boleh dipelajari, bukan?

Dengan tangen - kotangen, gambar adalah sama secara eksklusif. Satu lawan satu. Cuma nilainya berbeza. Nilai ini (tiga lagi!) juga perlu dipelajari.

Nah, hampir semua hafalan sudah tamat. Anda memahami (mudah-mudahan) bagaimana untuk menentukan nilai untuk lima sudut yang jatuh pada paksi dan mempelajari nilai untuk sudut 30, 45, 60 darjah. Jumlah 8.

Ia kekal untuk menangani kumpulan terakhir 9 penjuru.

Ini adalah sudut:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Untuk sudut ini, anda perlu mengetahui jadual besi sinus, jadual kosinus, dsb.

Mimpi ngeri, kan?)

Dan jika anda menambah sudut di sini, seperti: 405 °, 600 °, atau 3000 ° dan banyak, banyak yang sama cantik?)

Atau sudut dalam radian? Sebagai contoh, mengenai sudut:

dan banyak lagi yang anda patut tahu semua.

Perkara yang paling kelakar adalah untuk mengetahui semua - mustahil pada dasarnya. Jika anda menggunakan memori mekanikal.

Dan ia sangat mudah, sebenarnya asas - jika anda menggunakan bulatan trigonometri. Jika anda menggunakan bulatan trigonometri secara langsung, semua sudut yang mengerikan dalam darjah boleh dengan mudah dan elegan dikurangkan kepada sudut lama yang baik:

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Konsep sinus (), kosinus (), tangen (), kotangen () berkait rapat dengan konsep sudut. Untuk mendapatkan pemahaman yang baik tentang ini, pada pandangan pertama, konsep yang kompleks (yang menyebabkan keadaan seram pada ramai pelajar sekolah), dan untuk memastikan bahawa "syaitan itu tidak menakutkan seperti yang dilukis", mari kita mulakan dari awal lagi. dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, darjah

Jom tengok gambar. Vektor "berpusing" relatif kepada titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran putaran ini berbanding dengan kedudukan awal adalah sudut.

Apa lagi yang anda perlu tahu tentang konsep sudut? Sudah tentu, unit sudut!

Sudut, baik dalam geometri dan trigonometri, boleh diukur dalam darjah dan radian.

Sudut (satu darjah) dipanggil sudut tengah dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat yang sama dengan bahagian bulatan. Oleh itu, keseluruhan bulatan terdiri daripada "kepingan" lengkok bulat, atau sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama.

Iaitu, rajah di atas menunjukkan sudut yang sama, iaitu sudut ini berdasarkan lengkok bulat sebesar lilitan.

Sudut dalam radian dipanggil sudut pusat dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan. Nah, adakah anda faham? Kalau belum, jom tengok gambar.

Jadi, angka itu menunjukkan sudut yang sama dengan radian, iaitu, sudut ini berdasarkan lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan (panjangnya sama dengan panjang atau jejari sama panjang arka). Oleh itu, panjang lengkok dikira dengan formula:

Di manakah sudut pusat dalam radian.

Nah, mengetahui perkara ini, bolehkah anda menjawab berapa banyak radian yang mengandungi sudut yang diterangkan oleh bulatan? Ya, untuk ini anda perlu mengingati formula untuk lilitan bulatan. Di sana dia:

Nah, sekarang mari kita kaitkan kedua-dua formula ini dan dapatkan bahawa sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama. Iaitu, mengaitkan nilai dalam darjah dan radian, kita dapati itu. Masing-masing, . Seperti yang anda lihat, tidak seperti "darjah", perkataan "radian" ditinggalkan, kerana unit ukuran biasanya jelas daripada konteks.

Berapakah jumlah radian? betul!

faham? Kemudian kencangkan ke hadapan:

Sebarang kesukaran? lepas tu tengok jawapan:

Segitiga kanan: sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut

Jadi, dengan konsep sudut yang difikirkan. Tetapi apakah sinus, kosinus, tangen, kotangen bagi sudut? Mari kita fikirkan. Untuk ini, segi tiga tepat akan membantu kita.

Apakah sisi dipanggil? segi tiga tepat? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan dengan sudut kanan (dalam contoh kita, ini adalah sisi); kaki adalah dua sisi yang tinggal dan (yang bersebelahan dengan sudut tepat), lebih-lebih lagi, jika kita menganggap kaki relatif kepada sudut, maka kaki adalah kaki bersebelahan, dan kaki adalah bertentangan. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?

Sinus sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

dalam segitiga kami.

Kosinus sudut- ini ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.

dalam segitiga kami.

Sudut tangen- ini adalah nisbah kaki yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).

dalam segitiga kami.

Kotangen sudut- ini adalah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

dalam segitiga kami.

Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagi dengan apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:

kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;

Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.

Pertama sekali, perlu diingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen sebagai nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada satu sudut). Jangan percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut. Mengikut definisi, dari segi tiga: , tetapi kita boleh mengira kosinus sudut daripada segi tiga: . Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.

Jika anda memahami definisinya, teruskan dan perbaikinya!

Untuk segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, kita dapati.

Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung perkara yang sama untuk sudut.

Bulatan unit (trigonometri).

Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan. Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia amat berguna dalam kajian trigonometri. Oleh itu, kami membincangkannya dengan lebih terperinci.

Seperti yang anda lihat, bulatan ini terbina dalam Sistem kartesian koordinat. Jejari bulatan sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asal, kedudukan awal vektor jejari ditetapkan di sepanjang arah positif paksi (dalam contoh kami, ini ialah jejari).

Setiap titik bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat sepanjang paksi dan koordinat sepanjang paksi. Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang sedang dibincangkan? Untuk melakukan ini, ingat tentang segi tiga bersudut tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segitiga. Ia adalah segi empat tepat kerana ia berserenjang dengan paksi.

Apakah yang sama dengan dari segi tiga? betul tu. Di samping itu, kita tahu bahawa jejari bulatan unit, dan oleh itu, . Gantikan nilai ini ke dalam formula kosinus kami. Inilah yang berlaku:

Dan apa yang sama dengan dari segi tiga? Sudah tentu, ! Gantikan nilai jejari ke dalam formula ini dan dapatkan:

Jadi, bolehkah anda beritahu saya apakah koordinat titik yang dimiliki oleh bulatan? Nah, tidak mungkin? Dan jika anda sedar itu dan hanya nombor? Apakah koordinat yang sepadan? Sudah tentu, koordinat! Apakah koordinat yang sepadan? Betul, selaraskan! Justeru, intinya.

Dan apakah yang sama dan? Betul, mari kita gunakan takrifan tangen dan kotangen yang sesuai dan dapatkannya, a.

Bagaimana jika sudut lebih besar? Di sini, sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:

Apa yang telah berubah dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, kita sekali lagi beralih ke segi tiga bersudut tegak. Pertimbangkan segi tiga tepat: sudut (bersebelahan dengan sudut). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut? Betul, kami mematuhi definisi yang berkaitan fungsi trigonometri:

Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini boleh digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.

Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah di sepanjang arah positif paksi. Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut arah jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut saiz tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif, dan apabila berputar mengikut arah jam - negatif.

Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari di sekeliling bulatan ialah atau. Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari dengan atau mengikut? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, oleh itu, vektor jejari akan membuat satu revolusi lengkap dan berhenti pada kedudukan atau.

Dalam kes kedua, iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan lengkap dan berhenti pada kedudukan atau.

Oleh itu, daripada contoh di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan atau (di mana terdapat sebarang integer) sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.

Rajah di bawah menunjukkan satu sudut. Imej yang sama sepadan dengan sudut, dan seterusnya. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am atau (di mana terdapat sebarang integer)

Sekarang, mengetahui definisi fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab nilai yang sama dengan:

Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:

Sebarang kesukaran? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:

Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut pada sepadan dengan titik dengan koordinat, oleh itu:

Tidak wujud;

Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut dalam sepadan dengan titik dengan koordinat, masing-masing. Mengetahui ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, kemudian semak jawapan.

Jawapan:

Tidak wujud

Tidak wujud

Tidak wujud

Tidak wujud

Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:

Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:

Tetapi nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan dalam jadual di bawah, mesti diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan salah satu contoh cukup hafalan nilai yang sepadan:

Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut dalam. Mengetahui nilai-nilai ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:

Mengetahui ini, anda boleh memulihkan nilai untuk. Pengangka " " akan sepadan dan penyebut " " akan sepadan. Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami ini dan mengingati rajah dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati keseluruhan nilai dari jadual.

Koordinat titik pada bulatan

Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya?

Sudah tentu anda boleh! Jom bawa keluar formula am untuk mencari koordinat sesuatu titik.

Di sini, sebagai contoh, kita mempunyai bulatan sedemikian:

Kami diberi bahawa titik adalah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan titik mengikut darjah.

Seperti yang dapat dilihat dari rajah, koordinat titik sepadan dengan panjang segmen. Panjang segmen sepadan dengan koordinat pusat bulatan, iaitu, ia sama dengan. Panjang segmen boleh dinyatakan menggunakan takrifan kosinus:

Kemudian kita mempunyai bahawa untuk titik koordinat.

Dengan logik yang sama, kita dapati nilai koordinat y untuk titik itu. Dengan cara ini,

Jadi dalam Pandangan umum koordinat titik ditentukan oleh formula:

Koordinat pusat bulatan,

jejari bulatan,

Sudut putaran vektor jejari.

Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sifar, dan jejari adalah sama dengan satu:

Baiklah, mari cuba formula ini untuk rasa, berlatih mencari mata pada bulatan?

1. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan menghidupkan satu titik.

2. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.

3. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan menghidupkan satu titik.

4. Titik - pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

5. Titik - pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.

Menghadapi masalah mencari koordinat titik pada bulatan?

Selesaikan lima contoh ini (atau fahami penyelesaiannya dengan baik) dan anda akan belajar cara mencarinya!

1.

Ia boleh dilihat bahawa. Dan kita tahu apa yang sepadan dengan pusingan penuh titik permulaan. Dengan cara ini, titik yang dikehendaki akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa menghidupkan. Mengetahui ini, kami mencari koordinat titik yang dikehendaki:

2. Bulatan adalah unit dengan pusat pada satu titik, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Ia boleh dilihat bahawa. Kami tahu apa yang sepadan dengan dua giliran penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa beralih ke. Mengetahui ini, kami mencari koordinat titik yang dikehendaki:

Sinus dan kosinus ialah nilai jadual. Kami mengingati nilai mereka dan mendapat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

3. Bulatan adalah unit dengan pusat pada satu titik, yang bermaksud bahawa kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Ia boleh dilihat bahawa. Mari kita gambarkan contoh yang dipertimbangkan dalam rajah:

Jejari membuat sudut dengan paksi sama dengan dan. Mengetahui bahawa nilai jadual kosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahawa kosinus di sini mengambil nilai negatif, dan sinus adalah positif, kita mempunyai:

Lagi contoh yang serupa faham semasa mempelajari formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri dalam topik.

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

4.

Sudut putaran vektor jejari (mengikut keadaan)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang sepadan, kami membina bulatan unit dan sudut:

Seperti yang anda lihat, nilai, iaitu, adalah positif, dan nilai, iaitu, adalah negatif. Mengetahui nilai jadual bagi fungsi trigonometri yang sepadan, kami memperoleh bahawa:

Mari gantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula kami dan cari koordinat:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula dalam bentuk umum, di mana

Koordinat pusat bulatan (dalam contoh kami,

Jejari bulatan (mengikut keadaan)

Sudut putaran vektor jejari (mengikut keadaan).

Gantikan semua nilai ke dalam formula dan dapatkan:

dan - nilai jadual. Kami mengingati dan menggantikannya ke dalam formula:

Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.

RUMUSAN DAN FORMULA ASAS

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.

Kosinus sudut ialah nisbah kaki (dekat) bersebelahan dengan hipotenus.

Tangen bagi suatu sudut ialah nisbah kaki yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).

Kotangen bagi sudut ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).

JADUAL NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI

Jadual nilai fungsi trigonometri disusun untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 dan 360 darjah dan sudut sepadannya dalam radian. Daripada fungsi trigonometri, jadual menunjukkan sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan dan kosekan. Untuk kemudahan penyelesaian contoh sekolah nilai-nilai fungsi trigonometri dalam jadual ditulis sebagai pecahan dengan pemeliharaan tanda-tanda mengekstrak punca kuasa dua daripada nombor, yang sangat kerap membantu mengurangkan ungkapan matematik yang kompleks. Untuk tangen dan kotangen, nilai beberapa sudut tidak dapat ditentukan. Untuk nilai tangen dan kotangen bagi sudut tersebut, terdapat sempang dalam jadual nilai fungsi trigonometri. Secara amnya diterima bahawa tangen dan kotangen bagi sudut tersebut adalah sama dengan infiniti. Pada halaman yang berasingan adalah formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri.

Jadual nilai untuk sinus fungsi trigonometri menunjukkan nilai untuk sudut berikut: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in ukuran darjah, yang sepadan dengan sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi dalam ukuran radian sudut. meja sekolah resdung.

Untuk fungsi kosinus trigonometri, jadual menunjukkan nilai untuk sudut berikut: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan cos 0 pi, cos pi to 6, cos pi by 4, cos pi by 3, cos pi by 2, cos pi, cos 3 pi by 2, cos 2 pi dalam ukuran radian sudut. Jadual sekolah kosinus.

Jadual trigonometri untuk tangen fungsi trigonometri memberikan nilai untuk sudut berikut: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi dalam ukuran radian sudut. Mengikut nilai fungsi trigonometri tangen tidak ditakrifkan tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 dan dianggap sama dengan infiniti.

Untuk kotangen fungsi trigonometri dalam jadual trigonometri, nilai sudut berikut diberikan: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 dalam ukuran radian sudut. Nilai fungsi kotangen trigonometri berikut tidak ditakrifkan ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi dan dianggap sama dengan infiniti.

Nilai bagi fungsi trigonometri sekan dan kosekan diberikan untuk sudut yang sama dalam darjah dan radian seperti sinus, kosinus, tangen, kotangen.

Jadual nilai fungsi trigonometri bagi sudut bukan piawai menunjukkan nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut dalam darjah 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 darjah dan dalam radian pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radian. Nilai fungsi trigonometri dinyatakan dalam sebutan pecahan dan punca kuasa dua untuk memudahkan pengurangan pecahan dalam contoh sekolah.

Tiga lagi raksasa trigonometri. Yang pertama ialah tangen 1.5 darjah setengah, atau pi dibahagikan dengan 120. Yang kedua ialah kosinus pi dibahagikan dengan 240, pi/240. Yang terpanjang ialah kosinus pi dibahagikan dengan 17, pi/17.

Bulatan trigonometri nilai-nilai fungsi sinus dan kosinus secara visual mewakili tanda-tanda sinus dan kosinus bergantung pada magnitud sudut. Khusus untuk berambut perang, nilai kosinus digariskan dengan sempang hijau agar kurang keliru. Penukaran darjah kepada radian juga ditunjukkan dengan sangat jelas, apabila radian dinyatakan melalui pi.

Jadual trigonometri ini membentangkan nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut dari 0 sifar hingga 90 sembilan puluh darjah dalam selang satu darjah. Untuk empat puluh lima darjah pertama, nama fungsi trigonometri mesti dilihat di bahagian atas jadual. Lajur pertama mengandungi darjah, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditulis dalam empat lajur seterusnya.

Untuk sudut dari empat puluh lima darjah hingga sembilan puluh darjah, nama-nama fungsi trigonometri ditulis di bahagian bawah jadual. Lajur terakhir mengandungi darjah, nilai kosinus, sinus, kotangen dan tangen ditulis dalam empat lajur sebelumnya. Anda harus berhati-hati, kerana nama fungsi trigonometri di bahagian bawah jadual trigonometri adalah berbeza daripada nama di bahagian atas jadual. Sinus dan kosinus saling bertukar, sama seperti tangen dan kotangen. Ini disebabkan oleh simetri nilai fungsi trigonometri.

Tanda-tanda fungsi trigonometri ditunjukkan dalam rajah di atas. Sinus mempunyai nilai positif dari 0 hingga 180 darjah atau dari 0 hingga pi. Nilai negatif sinus mempunyai 180 hingga 360 darjah, atau pi hingga 2 pi. Nilai kosinus adalah positif dari 0 hingga 90 dan 270 hingga 360 darjah, atau 0 hingga 1/2 pi dan 3/2 hingga 2 pi. Tangen dan kotangen mempunyai nilai positif dari 0 hingga 90 darjah dan dari 180 hingga 270 darjah, sepadan dengan nilai dari 0 hingga 1/2 pi dan dari pi hingga 3/2 pi. Tangen negatif dan kotangen ialah 90 hingga 180 darjah dan 270 hingga 360 darjah, atau 1/2 pi kepada pi dan 3/2 pi kepada 2 pi. Apabila menentukan tanda-tanda fungsi trigonometri untuk sudut yang lebih besar daripada 360 darjah atau 2 pi, sifat berkala bagi fungsi ini harus digunakan.

Fungsi trigonometri sinus, tangen dan kotangen ialah fungsi ganjil. Nilai fungsi ini untuk sudut negatif akan menjadi negatif. Kosinus ialah fungsi trigonometri genap - nilai kosinus untuk sudut negatif akan menjadi positif. Apabila mendarab dan membahagi fungsi trigonometri, anda mesti mengikut peraturan tanda.

1. Jadual nilai untuk sinus fungsi trigonometri menunjukkan nilai untuk sudut berikut

   Dokumen

   Halaman yang berasingan mengandungi formula penghantaran trigonometrifungsi. AT mejanilaiuntuktrigonometrifungsiresdungdiberinilaiuntukseterusnyasudut: dosa 0, dosa 30, dosa 45 ...

2. Radas matematik yang dicadangkan ialah analog lengkap kalkulus kompleks untuk nombor hiperkompleks n-dimensi dengan sebarang bilangan darjah kebebasan n dan bertujuan untuk pemodelan matematik bukan linear.

   Dokumen

   ... fungsi sama fungsi Imej. Daripada teorem ini sepatutnya, apa untuk mencari koordinat U, V, sudah cukup untuk mengira fungsi... geometri; polinar fungsi(analog multidimensi dua dimensi trigonometrifungsi), harta mereka, meja dan permohonan; ...

3. Pada abad kelima SM, ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal ialah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

   Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih laju daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa Achilles berlari jarak ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan berterusan selama-lamanya, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.

   Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kesemua mereka, dalam satu cara atau yang lain, menganggap aporias Zeno. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan pada masa ini, untuk mencapai pendapat umum tentang intipati paradoks komuniti saintifik belum berjaya lagi... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baharu; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima secara universal untuk masalah itu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa itu penipuan.

   Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada nilai kepada. Peralihan ini membayangkan penggunaan dan bukannya pemalar. Setakat yang saya faham, radas matematik untuk menggunakan unit ukuran berubah sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Penggunaan logik biasa membawa kita ke dalam perangkap. Kami, dengan inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada timbal balik. Dari sudut fizikal, ia kelihatan seperti masa semakin perlahan noktah pada saat Achilles mengejar kura-kura itu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh memintas kura-kura itu.

   Jika kita putar logik yang biasa kita lakukan, semuanya akan menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kelajuan tetap. Setiap segmen laluan berikutnya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat memintas kura-kura."

   Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? tinggal dalam unit tetap ukuran masa dan tidak beralih kepada nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, ia kelihatan seperti ini:

   Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.

   Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ia tidak penyelesaian yang lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang ketidakbolehtahanan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami masih belum mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.

   Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:

   Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.

   Dalam aporia ini paradoks logik ia diatasi dengan sangat mudah - ia cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang terletak pada titik yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah pergerakan. Terdapat satu lagi perkara yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya, adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan kereta, dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza diperlukan, tetapi ia tidak boleh digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil titik yang berbeza ruang pada satu titik dalam masa, tetapi adalah mustahil untuk menentukan fakta pergerakan daripada mereka (secara semula jadi, data tambahan untuk pengiraan masih diperlukan, trigonometri akan membantu anda). Apa yang saya mahu fokuskan Perhatian istimewa, adalah bahawa dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah perkara yang berbeza yang tidak boleh dikelirukan, kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penerokaan.

   Rabu, 4 Julai 2018

   Sangat baik perbezaan antara set dan multiset diterangkan dalam Wikipedia. Kita tengok.

   Seperti yang anda lihat, "set tidak boleh mempunyai dua elemen yang sama", tetapi jika terdapat elemen yang sama dalam set, set sedemikian dipanggil "multiset". Makhluk yang munasabah tidak akan pernah memahami logik yang tidak masuk akal seperti itu. Ini adalah tahap burung kakak tua bercakap dan monyet terlatih, di mana fikiran tidak hadir dari perkataan "sepenuhnya." Ahli matematik bertindak sebagai jurulatih biasa, menyampaikan idea tidak masuk akal mereka kepada kami.

   Pada suatu masa dahulu, jurutera yang membina jambatan itu berada di dalam bot di bawah jambatan semasa ujian jambatan itu. Jika jambatan itu runtuh, jurutera biasa-biasa itu mati di bawah runtuhan ciptaannya. Jika jambatan itu boleh menahan beban, jurutera berbakat membina jambatan lain.

   Tidak kira bagaimana ahli matematik bersembunyi di sebalik frasa "fikirkan saya, saya di rumah", atau lebih tepat "kajian matematik konsep abstrak", terdapat satu tali pusat yang berkait rapat dengan realiti. Tali pusat ini adalah wang. Berkenaan teori matematik ditetapkan kepada ahli matematik itu sendiri.

   Kami belajar matematik dengan baik dan sekarang kami duduk di meja tunai, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematik datang kepada kami untuk mendapatkan wangnya. Kami mengira keseluruhan jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam longgokan yang berbeza, di mana kami meletakkan bil daripada denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu bil dari setiap longgokan dan memberikan ahli matematik "set gaji matematik"nya. Kami menerangkan matematik bahawa dia akan menerima baki bil hanya apabila dia membuktikan bahawa set tanpa unsur yang sama tidak sama dengan set dengan unsur yang sama. Di sinilah keseronokan bermula.

   Pertama sekali, logik timbalan akan berfungsi: "anda boleh menerapkannya kepada orang lain, tetapi tidak kepada saya!" Selanjutnya, jaminan akan bermula bahawa terdapat nombor wang kertas yang berbeza pada wang kertas denominasi yang sama, yang bermaksud bahawa ia tidak boleh dianggap sebagai unsur yang sama. Nah, kami mengira gaji dalam syiling - tiada nombor pada syiling. Di sini ahli matematik akan mula sawan mengingat fizik: pada syiling yang berbeza ada jumlah yang berbeza Lumpur, struktur kristal dan susunan atom dalam setiap syiling adalah unik...

   Dan sekarang saya mempunyai yang paling banyak minat Tanya: di manakah sempadan yang melampaui unsur multiset bertukar menjadi unsur set dan sebaliknya? Garis sedemikian tidak wujud - semuanya ditentukan oleh bomoh, sains di sini tidak dekat.

   Tengok sini. Kami memilih stadium bola sepak dengan kawasan yang sama padang. Luas bidang adalah sama, yang bermaksud kita mempunyai multiset. Tetapi jika kita mengambil kira nama stadium yang sama, kita dapat banyak, kerana nama berbeza. Seperti yang anda lihat, set elemen yang sama ialah set dan multiset pada masa yang sama. Betul ke? Dan di sini ahli matematik-bomoh-shuller mengeluarkan trump ace dari lengan bajunya dan mula memberitahu kita sama ada tentang set atau multiset. Walau apa pun, dia akan meyakinkan kita bahawa dia betul.

   Untuk memahami bagaimana bomoh moden beroperasi dengan teori set, mengikatnya dengan realiti, sudah cukup untuk menjawab satu soalan: bagaimana unsur-unsur satu set berbeza daripada unsur set lain? Saya akan tunjukkan kepada anda, tanpa sebarang "boleh dibayangkan sebagai bukan satu keseluruhan" atau "tidak boleh difikirkan sebagai satu keseluruhan."

   Ahad, 18 Mac 2018

   Jumlah digit nombor ialah tarian bomoh dengan rebana, yang tiada kaitan dengan matematik. Ya, dalam pelajaran matematik kita diajar untuk mencari jumlah digit nombor dan menggunakannya, tetapi mereka adalah bomoh untuk itu, untuk mengajar keturunan mereka kemahiran dan kebijaksanaan mereka, jika tidak bomoh akan mati begitu saja.

   Adakah anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cuba cari halaman "Jumlah Digit Nombor". Dia tidak wujud. Tiada formula dalam matematik yang membolehkan anda mencari jumlah digit bagi sebarang nombor. Lagipun, nombor adalah simbol grafik, dengan bantuannya kita menulis nombor dan dalam bahasa matematik tugasan berbunyi seperti ini: "Cari jumlah simbol grafik yang mewakili sebarang nombor." Ahli matematik tidak dapat menyelesaikan masalah ini, tetapi bomoh boleh melakukannya secara asas.

   Mari kita fikirkan apa dan bagaimana kita lakukan untuk mencari jumlah digit bagi nombor tertentu. Jadi, katakan kita mempunyai nombor 12345. Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah digit nombor ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah mengikut urutan.

   1. Tulis nombor pada sekeping kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah menukar nombor kepada simbol grafik nombor. Ini bukan operasi matematik.

   2. Kami memotong satu gambar yang diterima kepada beberapa gambar yang mengandungi nombor berasingan. Memotong gambar bukan operasi matematik.

   3. Tukar aksara grafik individu kepada nombor. Ini bukan operasi matematik.

   4. Tambahkan nombor yang terhasil. Sekarang itu matematik.

   Jumlah digit bagi nombor 12345 ialah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" daripada bomoh yang digunakan oleh ahli matematik. Tetapi bukan itu sahaja.

   Dari sudut matematik, tidak kira dalam sistem nombor mana kita menulis nombor itu. Jadi, dalam sistem yang berbeza pengiraan, jumlah digit nombor yang sama akan berbeza. Dalam matematik, sistem nombor ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan nombor. DARI sebilangan besar 12345 Saya tidak mahu menipu kepala saya, pertimbangkan nombor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis nombor ini dalam sistem nombor perduaan, perlapanan, perpuluhan dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Jom tengok hasilnya.

   Seperti yang anda lihat, dalam sistem nombor yang berbeza, jumlah digit bagi nombor yang sama adalah berbeza. Keputusan ini tiada kaitan dengan matematik. Ia seperti mencari luas segi empat tepat dalam meter dan sentimeter akan memberi anda hasil yang berbeza.

   Sifar dalam semua sistem nombor kelihatan sama dan tidak mempunyai jumlah digit. Ini adalah satu lagi hujah yang memihak kepada fakta bahawa . Soalan untuk ahli matematik: bagaimanakah ia ditandakan dalam matematik sebagai yang bukan nombor? Apa, bagi ahli matematik, tiada apa-apa selain nombor yang wujud? Untuk bomoh, saya boleh membenarkan ini, tetapi untuk saintis, tidak. Realiti bukan hanya tentang angka.

   Keputusan yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahawa sistem nombor adalah unit ukuran nombor. Lagipun, kita tidak boleh membandingkan nombor dengan unit ukuran yang berbeza. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeza dengan kuantiti yang sama membawa kepada keputusan yang berbeza selepas membandingkannya, maka ini tiada kaitan dengan matematik.

   Apakah itu matematik sebenar? Ini adalah apabila keputusan tindakan matematik tidak bergantung pada nilai nombor, unit ukuran yang digunakan dan pada siapa yang melakukan tindakan ini.
   

   Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

   Aduh! Bukankah ini tandas wanita?
   - Wanita muda! Ini adalah makmal untuk mengkaji kekudusan jiwa-jiwa yang tidak terbatas semasa kenaikan ke syurga! Nimbus di atas dan anak panah ke atas. Tandas apa lagi?

   Perempuan... Halo di atas dan anak panah ke bawah adalah lelaki.

   Jika anda mempunyai karya seni reka bentuk yang berkelip di hadapan mata anda beberapa kali sehari,

   Maka tidak hairanlah anda tiba-tiba menemui ikon pelik di dalam kereta anda:

   Secara peribadi, saya berusaha untuk melihat tolak empat darjah pada orang yang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda tolak, nombor empat, penunjuk darjah). Dan saya tidak fikir gadis itu bodoh, tidak siapa tahu fizik. Dia hanya mempunyai stereotaip arka persepsi imej grafik. Dan ahli matematik mengajar kita ini sepanjang masa. Berikut adalah contoh.

   1A bukan "tolak empat darjah" atau "satu a". Ini ialah "lelaki buang air besar" atau nombor "dua puluh enam" dalam sistem nombor heksadesimal. Mereka yang sentiasa bekerja dalam sistem nombor ini secara automatik menganggap nombor dan huruf sebagai satu simbol grafik.

   Trigonometri, sebagai sains, berasal dari Timur Purba. Nisbah trigonometri pertama telah dibangunkan oleh ahli astronomi untuk mencipta kalendar yang tepat dan berorientasikan bintang. Pengiraan ini adalah untuk trigonometri sfera, semasa dalam kursus sekolah kaji nisbah sisi dan sudut segitiga rata.

   Trigonometri ialah cabang matematik yang berurusan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri dan hubungan antara sisi dan sudut segitiga.

   Semasa zaman kegemilangan budaya dan sains alaf 1 Masihi, ilmu tersebar dari timur purba ke Greece. Tetapi penemuan utama trigonometri adalah merit lelaki Khalifah Arab. Khususnya, saintis Turkmen al-Marazvi memperkenalkan fungsi seperti tangen dan kotangen, menyusun jadual pertama nilai untuk sinus, tangen dan kotangen. Konsep sinus dan kosinus diperkenalkan oleh saintis India. Banyak perhatian ditumpukan kepada trigonometri dalam karya tokoh-tokoh zaman dahulu yang hebat seperti Euclid, Archimedes dan Eratosthenes.

   Kuantiti asas trigonometri

   Fungsi trigonometri asas hujah angka ialah sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Setiap daripada mereka mempunyai graf sendiri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen.

   Formula untuk mengira nilai kuantiti ini adalah berdasarkan teorem Pythagoras. Ia lebih dikenali oleh pelajar sekolah dalam rumusan: "Seluar Pythagoras, sama dalam semua arah," kerana bukti diberikan pada contoh segi tiga sama kaki.

   Sinus, kosinus dan kebergantungan lain mewujudkan hubungan antara sudut tajam dan sisi mana-mana segi tiga tegak. Kami memberikan formula untuk mengira kuantiti ini untuk sudut A dan mengesan hubungan fungsi trigonometri:

   

   Seperti yang anda lihat, tg dan ctg adalah fungsi songsang. Jika kita mewakili kaki a sebagai produk dosa A dan hipotenus c, dan kaki b dalam bentuk cos A * c, maka kita mendapat formula berikut untuk tangen dan kotangen:

   

   bulatan trigonometri

   Secara grafik, nisbah kuantiti yang disebutkan boleh diwakili seperti berikut:

   

   bulatan, dalam kes ini, mewakili semua kemungkinan nilai sudut α — dari 0° hingga 360°. Seperti yang anda lihat dari rajah, setiap fungsi mengambil negatif atau nilai positif bergantung pada sudut. Sebagai contoh, sin α akan mempunyai tanda "+" jika α tergolong dalam suku I dan II bulatan, iaitu, ia berada dalam julat dari 0 ° hingga 180 °. Dengan α dari 180° hingga 360° (suku III dan IV), sin α hanya boleh menjadi nilai negatif.

   Mari cuba bina jadual trigonometri untuk sudut tertentu dan ketahui maksud kuantiti.

   

   Nilai α sama dengan 30°, 45°, 60°, 90°, 180° dan seterusnya dipanggil kes khas. Nilai fungsi trigonometri untuk mereka dikira dan dibentangkan dalam bentuk jadual khas.

   

   Sudut-sudut ini tidak dipilih secara kebetulan. Penamaan π dalam jadual adalah untuk radian. Rad ialah sudut di mana panjang lengkok bulat sepadan dengan jejarinya. Nilai ini telah diperkenalkan untuk mewujudkan hubungan sejagat, apabila mengira dalam radian, panjang sebenar jejari dalam cm tidak penting.

   

   Sudut dalam jadual untuk fungsi trigonometri sepadan dengan nilai radian:

   

   Jadi, tidak sukar untuk meneka bahawa 2π ialah bulatan penuh atau 360°.

   Sifat fungsi trigonometri: sinus dan kosinus

   Untuk mempertimbangkan dan membandingkan sifat asas sinus dan kosinus, tangen dan kotangen, adalah perlu untuk melukis fungsinya. Ini boleh dilakukan dalam bentuk lengkung yang terletak dalam sistem koordinat dua dimensi.

   Pertimbangkan jadual perbandingan sifat untuk gelombang sinusoid dan kosinus:

   

   sinusoid	gelombang kosinus
   y = dosa x	y = cos x
   ODZ [-1; satu]	ODZ [-1; satu]
   sin x = 0, untuk x = πk, dengan k ϵ Z	cos x = 0, untuk x = π/2 + πk, di mana k ϵ Z
   sin x = 1, untuk x = π/2 + 2πk, dengan k ϵ Z	cos x = 1, untuk x = 2πk, dengan k ϵ Z
   sin x = - 1, pada x = 3π/2 + 2πk, dengan k ϵ Z	cos x = - 1, untuk x = π + 2πk, di mana k ϵ Z
   sin (-x) = - sin x, iaitu fungsi ganjil	cos (-x) = cos x, iaitu fungsi genap
   	fungsinya adalah berkala, tempoh terkecil ialah 2π
   sin x › 0, dengan x kepunyaan suku I dan II atau dari 0° hingga 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, dengan x kepunyaan suku I dan IV atau dari 270° hingga 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0, dengan x kepunyaan suku III dan IV atau dari 180° hingga 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, dengan x kepunyaan suku II dan III atau dari 90° hingga 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   bertambah pada selang [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	bertambah pada selang [-π + 2πk, 2πk]
   berkurang pada selang [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	berkurangan dalam selang waktu
   terbitan (sin x)' = cos x	terbitan (cos x)’ = - sin x

   Menentukan sama ada fungsi genap atau tidak adalah sangat mudah. Ia cukup untuk membayangkan bulatan trigonometri dengan tanda-tanda kuantiti trigonometri dan secara mental "lipat" graf berbanding paksi OX. Jika tanda-tandanya sama, fungsinya adalah genap; jika tidak, ia adalah ganjil.

   

   Pengenalan kepada radian dan penghitungan sifat asas sinusoid dan gelombang kosinus membolehkan kita membawa ketetapan berikut:

   

   Sangat mudah untuk mengesahkan ketepatan formula. Contohnya, untuk x = π/2, sinus adalah sama dengan 1, begitu juga dengan kosinus bagi x = 0. Semakan boleh dilakukan dengan melihat jadual atau dengan mengesan lengkung fungsi untuk nilai yang diberikan.

   Sifat tangentoid dan kotangentoid

   Graf fungsi tangen dan kotangen berbeza dengan ketara daripada gelombang sinusoid dan kosinus. Nilai tg dan ctg adalah songsang antara satu sama lain.

   

   

   1. Y = tgx.
   2. Tangen cenderung kepada nilai y pada x = π/2 + πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
   3. Paling tidak tempoh positif tangentoid sama dengan π.
   4. Tg (- x) \u003d - tg x, iaitu, fungsinya ganjil.
   5. Tg x = 0, untuk x = πk.
   6. Fungsi semakin meningkat.
   7. Tg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
   8. Tg x ‹ 0, untuk x ϵ (— π/2 + πk, πk).
   9. Terbitan (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

   Pertimbangkan imej grafik kotangentoid di bawah.

   

   Sifat utama kotangentoid:

   1. Y = ctgx.
   2. Tidak seperti fungsi sinus dan kosinus, dalam tangentoid Y boleh mengambil nilai set semua nombor nyata.
   3. Cotangentoid cenderung kepada nilai y pada x = πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
   4. Tempoh positif terkecil bagi kotangentoid ialah π.
   5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, iaitu, fungsinya ganjil.
   6. Ctg x = 0, untuk x = π/2 + πk.
   7. Fungsi semakin berkurangan.
   8. Ctg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
   9. Ctg x ‹ 0, untuk x ϵ (π/2 + πk, πk).
   10. Terbitan (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Betulkan