Pengiraan contoh ralat mutlak dan relatif. Ralat pengukuran mutlak

Pengukuran dipanggil lurus, jika nilai kuantiti ditentukan secara langsung oleh instrumen (contohnya, mengukur panjang dengan pembaris, menentukan masa dengan jam randik, dsb.). Pengukuran dipanggil tidak langsung, jika nilai kuantiti yang diukur ditentukan oleh pengukuran langsung kuantiti lain yang dikaitkan dengan hubungan khusus yang diukur.

Ralat rawak dalam pengukuran langsung

Ralat mutlak dan relatif. Biarlah ia diadakan N ukuran kuantiti yang sama x jika tiada ralat sistematik. Keputusan pengukuran individu kelihatan seperti: x 1 ,x 2 , …,x N. Nilai purata kuantiti yang diukur dipilih sebagai yang terbaik:

Ralat mutlak ukuran tunggal dipanggil perbezaan bentuk:

Ralat mutlak purata N ukuran tunggal:

(2)

dipanggil ralat mutlak purata.

Ralat relatif ialah nisbah purata ralat mutlak kepada nilai purata kuantiti yang diukur:

. (3)

Kesilapan instrumen dalam pengukuran langsung

Jika tiada arahan khas, ralat instrumen adalah sama dengan separuh daripada nilai pembahagiannya (pembaris, bikar).

Kesilapan instrumen yang dilengkapi dengan vernier adalah sama dengan nilai pembahagian vernier (mikrometer - 0.01 mm, angkup - 0.1 mm).

Ralat nilai jadual adalah sama dengan separuh unit digit terakhir (lima unit susunan seterusnya selepas digit bererti terakhir).

Kesilapan alat pengukur elektrik dikira mengikut kelas ketepatan DARI ditunjukkan pada skala instrumen:

Sebagai contoh:
dan
,

di mana U maks dan saya maks– had pengukuran peranti.

Ralat peranti dengan petunjuk digital adalah sama dengan unit digit terakhir petunjuk.

Selepas menilai ralat rawak dan instrumental, ralat yang nilainya lebih besar diambil kira.

Pengiraan ralat dalam pengukuran tidak langsung

Kebanyakan ukuran adalah tidak langsung. Dalam kes ini, nilai X yang dikehendaki ialah fungsi beberapa pembolehubah a,b, c… , nilai yang boleh didapati dengan pengukuran langsung: Х = f( a, b, c…).

Purata aritmetik hasil pengukuran tidak langsung akan sama dengan:

X = f( a, b, c…).

Salah satu cara untuk mengira ralat ialah cara membezakan logaritma asli bagi fungsi X = f( a, b, c...). Jika, sebagai contoh, nilai yang dikehendaki X ditentukan oleh hubungan X = , maka selepas mengambil logaritma kita dapat: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Perbezaan ungkapan ini ialah:

Berkenaan dengan pengiraan nilai anggaran, ia boleh ditulis untuk ralat relatif dalam bentuk:

 =
. (4)

Ralat mutlak dalam kes ini dikira dengan formula:

Х = Х(5)

Oleh itu, pengiraan ralat dan pengiraan keputusan untuk pengukuran tidak langsung dijalankan mengikut susunan berikut:

1) Menjalankan ukuran semua kuantiti yang termasuk dalam formula asal untuk mengira hasil akhir.

2) Kira nilai min aritmetik bagi setiap nilai yang diukur dan ralat mutlaknya.

3) Gantikan dalam formula asal nilai purata semua nilai yang diukur dan hitung nilai purata nilai yang dikehendaki:

X = f( a, b, c…).

4) Ambil logaritma formula asal X = f( a, b, c...) dan tuliskan ungkapan untuk ralat relatif dalam bentuk formula (4).

5) Kira ralat relatif  = .

6) Kira ralat mutlak keputusan menggunakan formula (5).

7) Keputusan akhir ditulis sebagai:

X \u003d X cf X

Ralat mutlak dan relatif bagi fungsi termudah diberikan dalam jadual:

mutlak

ralat

relatif

ralat

a+ b

Selalunya dalam hidup kita perlu berurusan dengan pelbagai nilai anggaran. Pengiraan anggaran sentiasa pengiraan dengan beberapa ralat.

Konsep kesilapan mutlak

Ralat mutlak nilai anggaran ialah modulus perbezaan antara nilai tepat dan nilai anggaran.
Iaitu, daripada nilai yang tepat, anda perlu menolak nilai anggaran dan mengambil modulo nombor yang terhasil. Oleh itu, kesilapan mutlak sentiasa positif.

Cara Mengira Ralat Mutlak

Kami akan menunjukkan bagaimana ini mungkin kelihatan dalam amalan. Sebagai contoh, kita mempunyai graf nilai tertentu, biarkan ia menjadi parabola: y=x^2.

Daripada graf, kita boleh menentukan nilai anggaran pada beberapa titik. Contohnya, pada x=1.5, nilai y ialah lebih kurang 2.2 (y≈2.2).

Dengan menggunakan formula y=x^2, kita boleh mencari nilai tepat pada titik x=1.5 y= 2.25.

Sekarang kami mengira ralat mutlak pengukuran kami. |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.

Ralat mutlak ialah 0.05. Dalam kes sedemikian, mereka juga mengatakan nilai dikira dengan ketepatan 0.05.

Ia sering berlaku bahawa nilai yang tepat tidak selalu dapat dijumpai, dan, oleh itu, ralat mutlak tidak selalu dapat dicari.

Sebagai contoh, jika kita mengira jarak antara dua titik menggunakan pembaris, atau sudut antara dua garis lurus menggunakan protraktor, maka kita akan mendapat nilai anggaran. Tetapi nilai yang tepat tidak dapat dikira. Dalam kes ini, kita boleh menentukan nombor yang tidak boleh melebihi nilai ralat mutlak.

Dalam contoh dengan pembaris, ini akan menjadi 0.1 cm, kerana nilai pembahagian pada pembaris ialah 1 milimeter. Dalam contoh untuk protraktor, 1 darjah adalah kerana skala protraktor lulus setiap darjah. Oleh itu, nilai ralat mutlak dalam kes pertama ialah 0.1, dan dalam kes kedua 1.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, apabila kita membandingkan ketepatan pengukuran beberapa nilai anggaran, kita menggunakan ralat mutlak.

Konsep kesilapan mutlak

Ralat mutlak nilai anggaran ialah modulus perbezaan antara nilai tepat dan nilai anggaran.
Ralat mutlak boleh digunakan untuk membandingkan ketepatan anggaran kuantiti yang sama, dan jika kita akan membandingkan ketepatan anggaran kuantiti yang berbeza, maka ralat mutlak sahaja tidak mencukupi.

Sebagai contoh: Panjang sehelai kertas A4 ialah (29.7 ± 0.1) cm. Dan jarak dari St. Petersburg ke Moscow ialah (650 ± 1) km. Ralat mutlak dalam kes pertama tidak melebihi satu milimeter, dan dalam kedua - satu kilometer. Persoalannya ialah untuk membandingkan ketepatan ukuran ini.

Jika anda berfikir bahawa panjang helaian diukur dengan lebih tepat kerana ralat mutlak tidak melebihi 1 mm. Kemudian anda salah. Nilai-nilai ini tidak boleh dibandingkan secara langsung. Mari kita buat beberapa alasan.

Apabila mengukur panjang helaian, ralat mutlak tidak melebihi 0.1 cm sebanyak 29.7 cm, iaitu, sebagai peratusan, ia adalah 0.1 / 29.7 * 100% = 0.33% daripada nilai yang diukur.

Apabila kita mengukur jarak dari St. Petersburg ke Moscow, ralat mutlak tidak melebihi 1 km setiap 650 km, iaitu 1/650 * 100% = 0.15% daripada nilai yang diukur sebagai peratusan. Kami melihat bahawa jarak antara bandar diukur dengan lebih tepat daripada panjang helaian A4.

Konsep ralat relatif

Di sini, untuk menilai kualiti anggaran, konsep baru ralat relatif diperkenalkan. Ralat relatif ialah hasil bagi membahagikan ralat mutlak dengan modulus nilai anggaran kuantiti yang diukur. Biasanya, ralat relatif dinyatakan sebagai peratusan. Dalam contoh kami, kami mendapat dua ralat relatif sama dengan 0.33% dan 0.15%.

Seperti yang anda mungkin telah meneka, nilai ralat relatif sentiasa positif. Ini berikutan fakta bahawa ralat mutlak sentiasa positif, dan kami membahagikannya dengan modulus, dan modulus juga sentiasa positif.

Disebabkan oleh kesilapan yang wujud dalam alat pengukur, kaedah dan teknik pengukuran yang dipilih, perbezaan dalam keadaan luaran di mana pengukuran dilakukan daripada yang ditetapkan, dan sebab-sebab lain, hasil hampir setiap pengukuran dibebani dengan ralat. Ralat ini dikira atau dianggarkan dan dikaitkan dengan hasil yang diperoleh.

Ralat pengukuran(secara ringkas - ralat pengukuran) - sisihan hasil pengukuran daripada nilai sebenar kuantiti yang diukur.

Nilai sebenar kuantiti kerana kehadiran ralat masih tidak diketahui. Ia digunakan dalam menyelesaikan masalah teori metrologi. Dalam amalan, nilai sebenar kuantiti digunakan, yang menggantikan nilai sebenar.

Ralat pengukuran (Δx) didapati dengan formula:

x = x meas. - x sebenar (1.3)

di mana x bermakna. - nilai kuantiti yang diperoleh berdasarkan ukuran; x sebenarnya ialah nilai kuantiti yang diambil sebagai nyata.

Nilai sebenar untuk pengukuran tunggal selalunya diambil sebagai nilai yang diperoleh dengan bantuan alat pengukur yang boleh dicontohi, untuk pengukuran berulang - min aritmetik bagi nilai pengukuran individu yang disertakan dalam siri ini.

Ralat pengukuran boleh dikelaskan mengikut kriteria berikut:

Dengan sifat manifestasi - sistematik dan rawak;

Dengan cara ungkapan - mutlak dan relatif;

Mengikut syarat untuk menukar nilai yang diukur - statik dan dinamik;

Mengikut kaedah pemprosesan beberapa ukuran - petak min aritmetik dan akar;

Mengikut kesempurnaan liputan tugas mengukur - peribadi dan lengkap;

Berhubung dengan unit kuantiti fizikal - ralat pembiakan unit, penyimpanan unit dan penghantaran saiz unit.

Ralat pengukuran sistematik(secara ringkas - ralat sistematik) - komponen ralat hasil pengukuran, yang kekal malar untuk siri ukuran tertentu atau sentiasa berubah semasa pengukuran berulang kuantiti fizik yang sama.

Mengikut sifat manifestasi, kesilapan sistematik dibahagikan kepada tetap, progresif dan berkala. Kesilapan sistematik kekal(secara ringkas - ralat malar) - ralat yang mengekalkan nilainya untuk masa yang lama (contohnya, semasa keseluruhan siri pengukuran). Ini adalah jenis ralat yang paling biasa.

Ralat sistematik progresif(secara ringkas - ralat progresif) - ralat bertambah atau berkurang secara berterusan (contohnya, ralat daripada haus hujung pengukur yang bersentuhan semasa mengisar dengan bahagian apabila ia dikawal oleh peranti kawalan aktif).

Ralat sistematik berkala(secara ringkas - ralat berkala) - ralat, yang nilainya adalah fungsi masa atau fungsi pergerakan penunjuk alat pengukur (contohnya, kehadiran kesipian dalam goniometer dengan skala bulat menyebabkan ralat sistematik yang berbeza mengikut undang-undang berkala).

Berdasarkan sebab-sebab kemunculan ralat sistematik, terdapat ralat instrumental, ralat kaedah, ralat subjektif dan ralat disebabkan oleh sisihan keadaan pengukuran luaran daripada kaedah yang ditetapkan.

Ralat pengukuran instrumental(ringkas - ralat instrumental) adalah hasil daripada beberapa sebab: haus bahagian instrumen, geseran berlebihan dalam mekanisme instrumen, pukulan yang tidak tepat pada skala, percanggahan antara nilai sebenar dan nominal ukuran, dsb.

Ralat kaedah pengukuran(secara ringkas - ralat kaedah) mungkin timbul disebabkan oleh ketidaksempurnaan kaedah pengukuran atau pemudahannya, yang ditetapkan oleh prosedur pengukuran. Sebagai contoh, ralat sedemikian mungkin disebabkan oleh kelajuan alat pengukur yang tidak mencukupi yang digunakan semasa mengukur parameter proses pantas atau tidak diambil kira untuk kekotoran semasa menentukan ketumpatan bahan berdasarkan hasil pengukuran jisim dan isipadunya.

Ralat pengukuran subjektif(secara ringkas - ralat subjektif) adalah disebabkan oleh ralat individu pengendali. Kadangkala ralat ini dipanggil perbezaan peribadi. Ia disebabkan, sebagai contoh, oleh kelewatan atau pendahuluan dalam penerimaan isyarat oleh pengendali.

Ralat penyelewengan(dalam satu arah) keadaan pengukuran luaran daripada yang ditetapkan oleh prosedur pengukuran membawa kepada berlakunya komponen sistematik ralat pengukuran.

Ralat sistematik memesongkan hasil pengukuran, jadi ia mesti dihapuskan, sejauh mungkin, dengan memperkenalkan pembetulan atau melaraskan instrumen untuk membawa ralat sistematik ke tahap minimum yang boleh diterima.

Ralat sistematik yang tidak dikecualikan(secara ringkas - ralat tidak dikecualikan) - ini ialah ralat hasil pengukuran akibat ralat dalam mengira dan memperkenalkan pembetulan untuk kesan ralat sistematik, atau ralat sistematik kecil, pembetulan yang tidak diperkenalkan kerana kekecilan.

Ralat jenis ini kadangkala dirujuk sebagai sisa bias yang tidak dikecualikan(secara ringkas - baki tidak dikecualikan). Sebagai contoh, apabila mengukur panjang meter garis dalam panjang gelombang sinaran rujukan, beberapa ralat sistematik yang tidak dikecualikan telah didedahkan (i): disebabkan oleh pengukuran suhu yang tidak tepat - 1 ; disebabkan oleh penentuan indeks biasan udara - 2 yang tidak tepat, disebabkan oleh nilai panjang gelombang yang tidak tepat - 3.

Biasanya, jumlah ralat sistematik yang tidak dikecualikan diambil kira (sempadan mereka ditetapkan). Dengan bilangan istilah N ≤ 3, sempadan ralat sistematik yang tidak dikecualikan dikira dengan formula

Apabila bilangan sebutan ialah N ≥ 4, formula digunakan untuk pengiraan

(1.5)

di mana k ialah pekali pergantungan bagi ralat sistematik yang tidak dikecualikan pada kebarangkalian keyakinan yang dipilih P dengan taburan seragamnya. Pada P = 0.99, k = 1.4, pada P = 0.95, k = 1.1.

Ralat pengukuran rawak(secara ringkas - ralat rawak) - komponen ralat hasil pengukuran, berubah secara rawak (dalam tanda dan nilai) dalam satu siri ukuran kuantiti fizik yang sama saiz. Punca ralat rawak: ralat pembundaran semasa membaca bacaan, variasi bacaan, perubahan dalam keadaan pengukuran yang bersifat rawak, dsb.

Ralat rawak menyebabkan penyebaran hasil pengukuran dalam satu siri.

Teori kesilapan adalah berdasarkan dua peruntukan, disahkan oleh amalan:

1. Dengan bilangan ukuran yang banyak, ralat rawak dengan nilai berangka yang sama, tetapi dengan tanda yang berbeza, berlaku sama kerap;

2. Ralat besar (dalam nilai mutlak) adalah kurang biasa daripada ralat kecil.

Kesimpulan penting untuk amalan berikut dari kedudukan pertama: dengan peningkatan dalam bilangan pengukuran, ralat rawak hasil yang diperoleh daripada satu siri pengukuran berkurangan, kerana jumlah ralat pengukuran individu siri ini cenderung kepada sifar, i.e.

(1.6)

Sebagai contoh, hasil daripada pengukuran, satu siri nilai rintangan elektrik diperolehi (yang diperbetulkan untuk kesan ralat sistematik): R 1 \u003d 15.5 Ohm, R 2 \u003d 15.6 Ohm, R 3 \u003d 15.4 Ohm, R 4 \u003d 15, 6 ohm dan R 5 = 15.4 ohm. Oleh itu R = 15.5 ohm. Sisihan daripada R (R 1 \u003d 0.0; R 2 \u003d +0.1 Ohm, R 3 \u003d -0.1 Ohm, R 4 \u003d +0.1 Ohm dan R 5 \u003d -0.1 Ohm) adalah ralat rawak pengukuran individu dalam suatu siri yang diberikan. Adalah mudah untuk melihat bahawa jumlah R i = 0.0. Ini menunjukkan bahawa ralat pengukuran individu siri ini dikira dengan betul.

Walaupun fakta bahawa dengan peningkatan dalam bilangan pengukuran, jumlah ralat rawak cenderung kepada sifar (dalam contoh ini, ia secara tidak sengaja ternyata menjadi sifar), ralat rawak hasil pengukuran semestinya dianggarkan. Dalam teori pembolehubah rawak, penyebaran o2 berfungsi sebagai ciri penyebaran nilai pembolehubah rawak. "| / o2 \u003d a dipanggil sisihan piawai populasi umum atau sisihan piawai.

Ia lebih mudah daripada penyebaran, kerana dimensinya bertepatan dengan dimensi kuantiti yang diukur (contohnya, nilai kuantiti diperoleh dalam volt, sisihan piawai juga akan dalam volt). Memandangkan dalam amalan pengukuran seseorang memperkatakan istilah "ralat", istilah "ralat rms" yang diperolehi daripadanya harus digunakan untuk mencirikan beberapa ukuran. Beberapa ukuran boleh dicirikan oleh ralat min aritmetik atau julat hasil pengukuran.

Julat keputusan pengukuran (secara ringkas - julat) ialah perbezaan algebra antara hasil pengukuran individu yang terbesar dan terkecil yang membentuk satu siri (atau sampel) n ukuran:

R n \u003d X maks - X min (1.7)

di mana R n ialah julat; X max dan X min - nilai terbesar dan terkecil bagi kuantiti dalam siri ukuran tertentu.

Sebagai contoh, daripada lima ukuran diameter lubang d, nilai R 5 = 25.56 mm dan R 1 = 25.51 mm ternyata menjadi nilai maksimum dan minimumnya. Dalam kes ini, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25.56 mm - 25.51 mm \u003d 0.05 mm. Ini bermakna baki ralat siri ini adalah kurang daripada 0.05 mm.

Ralat aritmetik purata bagi satu ukuran dalam satu siri(secara ringkas - ralat min aritmetik) - ciri taburan umum (disebabkan sebab rawak) hasil pengukuran individu (dengan nilai yang sama), termasuk dalam satu siri n ukuran bebas yang sama tepat, dikira dengan formula

(1.8)

di mana X i ialah hasil ukuran ke-i yang termasuk dalam siri; x ialah min aritmetik bagi n nilai kuantiti: |X i - X| ialah nilai mutlak ralat pengukuran ke-i; r ialah ralat min aritmetik.

Nilai sebenar ralat min aritmetik p ditentukan daripada nisbah

p = lim r, (1.9)

Dengan bilangan ukuran n > 30, antara min aritmetik (r) dan min kuasa dua (s) terdapat korelasi

s = 1.25r; r dan = 0.80 s. (1.10)

Kelebihan ralat min aritmetik ialah kesederhanaan pengiraannya. Tetapi masih lebih kerap menentukan ralat kuasa dua min.

Ralat kuasa dua akar pengukuran individu dalam satu siri (secara ringkas - punca ralat min kuasa dua) - ciri serakan umum (disebabkan sebab rawak) hasil pengukuran individu (dengan nilai yang sama) termasuk dalam satu siri P ukuran bebas yang sama tepat, dikira dengan formula

(1.11)

Punca ralat min kuasa dua untuk sampel am o, iaitu had statistik S, boleh dikira untuk /i-mx > dengan formula:

Σ = lim S (1.12)

Pada hakikatnya, bilangan dimensi sentiasa terhad, jadi bukan σ yang dikira , dan nilai anggarannya (atau anggaran), iaitu s. Lebih banyak P, semakin hampir s kepada hadnya σ .

Dengan taburan normal, kebarangkalian bahawa ralat pengukuran tunggal dalam satu siri tidak akan melebihi ralat purata kuasa dua punca yang dikira adalah kecil: 0.68. Oleh itu, dalam 32 kes daripada 100 atau 3 kes daripada 10, ralat sebenar mungkin lebih besar daripada yang dikira.

Rajah 1.2 Penurunan nilai ralat rawak hasil pengukuran berbilang dengan peningkatan bilangan ukuran dalam satu siri

Dalam satu siri ukuran, terdapat hubungan antara ralat rms bagi ukuran individu s dan ralat rms bagi min aritmetik S x:

yang sering dipanggil "peraturan Y n". Ia berikutan daripada peraturan ini bahawa ralat pengukuran disebabkan oleh tindakan punca rawak boleh dikurangkan sebanyak n kali jika n pengukuran saiz yang sama bagi sebarang kuantiti dilakukan, dan nilai min aritmetik diambil sebagai hasil akhir (Rajah 1.2). ).

Melakukan sekurang-kurangnya 5 ukuran dalam satu siri memungkinkan untuk mengurangkan kesan ralat rawak lebih daripada 2 kali. Dengan 10 ukuran, kesan ralat rawak dikurangkan dengan faktor 3. Peningkatan selanjutnya dalam bilangan ukuran tidak selalunya boleh dilaksanakan dari segi ekonomi dan, sebagai peraturan, dijalankan hanya untuk pengukuran kritikal yang memerlukan ketepatan yang tinggi.

Punca ralat min kuasa dua bagi satu ukuran daripada satu siri ukuran ganda homogen S α dikira dengan formula

(1.14)

di mana x" i dan x"" i ialah hasil ke-i bagi ukuran kuantiti saiz yang sama dalam arah hadapan dan belakang oleh satu alat pengukur.

Dengan ukuran yang tidak sama rata, punca ralat min kuasa dua bagi min aritmetik dalam siri ditentukan oleh formula

(1.15)

di mana p i ialah berat ukuran ke-i dalam satu siri ukuran tidak sama.

Punca ralat purata kuasa dua hasil pengukuran tidak langsung kuantiti Y, yang merupakan fungsi Y \u003d F (X 1, X 2, X n), dikira dengan formula

(1.16)

di mana S 1 , S 2 , S n ialah ralat punca-min-kuasa dua bagi keputusan pengukuran untuk X 1 , X 2 , X n .

Jika, untuk kebolehpercayaan yang lebih besar untuk mendapatkan hasil yang memuaskan, beberapa siri pengukuran dijalankan, ralat punca-min-kuasa dua bagi pengukuran individu daripada siri m (S m) ditemui oleh formula

(1.17)

Di mana n ialah bilangan ukuran dalam siri; N ialah jumlah bilangan ukuran dalam semua siri; m ialah bilangan siri.

Dengan bilangan ukuran yang terhad, selalunya perlu mengetahui ralat RMS. Untuk menentukan ralat S, dikira dengan formula (2.7), dan ralat S m , dikira dengan formula (2.12), anda boleh menggunakan ungkapan berikut

(1.18)

(1.19)

di mana S dan S m ialah ralat min kuasa dua bagi S dan S m , masing-masing.

Sebagai contoh, apabila memproses keputusan siri ukuran panjang x, kami memperoleh

= 86 mm 2 pada n = 10,

= 3.1 mm

= 0.7 mm atau S = ±0.7 mm

Nilai S = ±0.7 mm bermakna disebabkan ralat pengiraan, s berada dalam julat dari 2.4 hingga 3.8 mm, oleh itu, persepuluhan milimeter tidak boleh dipercayai di sini. Dalam kes yang dipertimbangkan adalah perlu untuk menulis: S = ±3 mm.

Untuk mempunyai keyakinan yang lebih besar dalam anggaran ralat hasil pengukuran, ralat keyakinan atau had keyakinan ralat dikira. Dengan hukum taburan normal, had keyakinan ralat dikira sebagai ±t-s atau ±t-s x , di mana s dan s x ialah punca ralat min kuasa dua, masing-masing, bagi satu ukuran dalam satu siri dan min aritmetik; t ialah nombor bergantung pada tahap keyakinan P dan bilangan ukuran n.

Konsep penting ialah kebolehpercayaan hasil pengukuran (α), i.e. kebarangkalian bahawa nilai yang dikehendaki bagi kuantiti yang diukur jatuh dalam selang keyakinan tertentu.

Contohnya, apabila memproses bahagian pada alatan mesin dalam mod teknologi yang stabil, pengedaran ralat mematuhi undang-undang biasa. Andaikan bahawa toleransi panjang bahagian ditetapkan kepada 2a. Dalam kes ini, selang keyakinan di mana nilai yang dikehendaki bagi panjang bahagian a terletak ialah (a - a, a + a).

Jika 2a = ±3s, maka kebolehpercayaan hasilnya ialah a = 0.68, iaitu, dalam 32 kes daripada 100, saiz bahagian sepatutnya melebihi toleransi 2a. Apabila menilai kualiti bahagian mengikut toleransi 2a = ±3s, kebolehpercayaan hasilnya ialah 0.997. Dalam kes ini, hanya tiga bahagian daripada 1000 boleh dijangka melangkaui toleransi yang ditetapkan. Walau bagaimanapun, peningkatan kebolehpercayaan hanya mungkin dengan pengurangan ralat dalam panjang bahagian. Jadi, untuk meningkatkan kebolehpercayaan daripada a = 0.68 kepada a = 0.997, ralat dalam panjang bahagian mesti dikurangkan dengan faktor tiga.

Baru-baru ini, istilah "kebolehpercayaan pengukuran" telah tersebar luas. Dalam sesetengah kes, ia digunakan secara tidak munasabah dan bukannya istilah "ketepatan ukuran". Sebagai contoh, dalam beberapa sumber anda boleh menemui ungkapan "mewujudkan perpaduan dan kebolehpercayaan ukuran di negara ini." Sedangkan lebih tepat untuk mengatakan "penubuhan perpaduan dan ketepatan ukuran yang diperlukan". Kebolehpercayaan dianggap oleh kami sebagai ciri kualitatif, mencerminkan kehampiran kepada sifar ralat rawak. Secara kuantitatif, ia boleh ditentukan melalui ketidakbolehpercayaan pengukuran.

Ketidakpastian ukuran(secara ringkas - tidak boleh dipercayai) - penilaian percanggahan antara keputusan dalam satu siri pengukuran disebabkan oleh pengaruh jumlah kesan ralat rawak (ditentukan oleh kaedah statistik dan bukan statistik), dicirikan oleh julat nilai dalam yang mana nilai sebenar kuantiti yang diukur terletak.

Selaras dengan cadangan Biro Timbang dan Sukat Antarabangsa, ketidakpastian dinyatakan sebagai jumlah ralat piawai pengukuran - Su termasuk ralat piawai S (ditentukan oleh kaedah statistik) dan ralat piawai u (ditentukan oleh kaedah bukan statistik. ), iaitu

(1.20)

Hadkan ralat pengukuran(secara ringkas - ralat marginal) - ralat pengukuran maksimum (tambah, tolak), kebarangkalian yang tidak melebihi nilai P, manakala perbezaan 1 - P adalah tidak ketara.

Sebagai contoh, dengan taburan normal, kebarangkalian ralat rawak ±3s ialah 0.997, dan perbezaan 1-P = 0.003 adalah tidak ketara. Oleh itu, dalam banyak kes, ralat keyakinan ±3s diambil sebagai had, i.e. pr = ±3s. Jika perlu, pr juga boleh mempunyai hubungan lain dengan s untuk P yang cukup besar (2s, 2.5s, 4s, dsb.).

Sehubungan dengan fakta bahawa dalam piawaian GSI, bukannya istilah "root min square error", istilah "root mean square deviation" digunakan, dalam penaakulan lanjut kami akan mematuhi istilah ini.

Ralat pengukuran mutlak(secara ringkas - ralat mutlak) - ralat pengukuran, dinyatakan dalam unit nilai yang diukur. Jadi, ralat X untuk mengukur panjang bahagian X, dinyatakan dalam mikrometer, adalah ralat mutlak.

Istilah "ralat mutlak" dan "nilai ralat mutlak" tidak boleh dikelirukan, yang difahami sebagai nilai ralat tanpa mengambil kira tanda. Jadi, jika ralat pengukuran mutlak ialah ±2 μV, maka nilai mutlak ralat itu ialah 0.2 μV.

Ralat pengukuran relatif(secara ringkas - ralat relatif) - ralat pengukuran, dinyatakan sebagai pecahan daripada nilai nilai yang diukur atau sebagai peratusan. Ralat relatif δ didapati daripada nisbah:

(1.21)

Sebagai contoh, terdapat nilai sebenar bagi bahagian panjang x = 10.00 mm dan nilai mutlak ralat x = 0.01 mm. Ralat relatifnya ialah

Ralat statik ialah ralat hasil pengukuran disebabkan oleh keadaan pengukuran statik.

Ralat dinamik ialah ralat hasil pengukuran disebabkan oleh keadaan pengukuran dinamik.

Ralat pengeluaran semula unit- ralat hasil pengukuran yang dilakukan semasa menghasilkan semula unit kuantiti fizik. Jadi, ralat dalam menghasilkan semula unit menggunakan standard negeri ditunjukkan dalam bentuk komponennya: ralat sistematik yang tidak dikecualikan, dicirikan oleh sempadannya; ralat rawak yang dicirikan oleh sisihan piawai s dan ketidakstabilan tahunan ν.

Ralat Penghantaran Saiz Unit ialah ralat dalam hasil pengukuran yang dilakukan semasa menghantar saiz unit. Ralat penghantaran saiz unit termasuk ralat sistematik yang tidak dikecualikan dan ralat rawak kaedah dan cara penghantaran saiz unit (contohnya, pembanding).

Dalam amalan, biasanya nombor di mana pengiraan dibuat adalah nilai anggaran kuantiti tertentu. Untuk ringkasnya, nilai anggaran kuantiti dipanggil nombor anggaran. Nilai sebenar sesuatu kuantiti dipanggil nombor tepat. Nombor anggaran mempunyai nilai praktikal hanya apabila kita boleh menentukan dengan tahap ketepatan yang diberikan, i.e. menilai kesilapannya. Imbas kembali konsep asas daripada kursus am matematik.

Nyatakan: x- nombor tepat (nilai sebenar kuantiti), a- anggaran nombor (anggaran nilai kuantiti).

Definisi 1. Ralat (atau ralat benar) nombor anggaran ialah perbezaan antara nombor itu x dan nilai anggarannya a. Ralat anggaran a kami akan menandakan. Jadi,

Nombor tepat x selalunya ia tidak diketahui, oleh itu tidak mungkin untuk mencari kesilapan yang benar dan mutlak. Sebaliknya, mungkin perlu untuk menganggarkan ralat mutlak, i.e. menunjukkan nombor yang ralat mutlak tidak boleh melebihi. Sebagai contoh, apabila mengukur panjang objek dengan alat ini, kita mesti memastikan bahawa ralat nilai berangka yang diperoleh tidak akan melebihi nombor tertentu, contohnya, 0.1 mm. Dalam erti kata lain, kita mesti mengetahui batasan kesilapan mutlak. Had ini akan dipanggil ralat mutlak mengehadkan.

Definisi 3. Ralat mutlak mengehadkan nombor anggaran a dipanggil nombor positif supaya , i.e.

Bermaksud, X oleh kekurangan, oleh lebihan. Entri berikut juga digunakan:

(2.5)

Adalah jelas bahawa ralat mutlak mengehadkan ditentukan secara samar-samar: jika nombor tertentu adalah ralat mutlak mengehadkan, maka sebarang nombor yang lebih besar juga merupakan ralat mutlak mengehadkan. Dalam amalan, mereka cuba memilih nombor terkecil dan mudah (dengan 1-2 digit bererti) yang memenuhi ketaksamaan (2.3).

Contoh.Tentukan ralat mutlak benar, mutlak dan mengehadkan nombor a \u003d 0.17, diambil sebagai nilai anggaran nombor itu.

Ralat sebenar:

Ralat mutlak:

Untuk mengehadkan ralat mutlak, anda boleh mengambil nombor dan sebarang nombor yang lebih besar. Dalam tatatanda perpuluhan kita akan mempunyai: Menggantikan nombor ini dengan rekod yang besar dan mungkin lebih mudah, kami akan menerima:

Komen. Sekiranya a ialah nilai anggaran nombor itu X, dan ralat mutlak mengehadkan adalah sama dengan h, kemudian mereka berkata begitu a ialah nilai anggaran nombor itu X sehingga h.

Mengetahui ralat mutlak tidak cukup untuk mencirikan kualiti pengukuran atau pengiraan. Biarkan, sebagai contoh, keputusan sedemikian diperoleh apabila mengukur panjang. Jarak antara dua bandar S1=500 1 km dan jarak antara dua bangunan di bandar S2=10 1 km. Walaupun ralat mutlak kedua-dua keputusan adalah sama, bagaimanapun, adalah penting bahawa dalam kes pertama ralat mutlak 1 km jatuh pada 500 km, pada yang kedua - pada 10 km. Kualiti pengukuran dalam kes pertama adalah lebih baik daripada dalam kes kedua. Kualiti hasil pengukuran atau pengiraan dicirikan oleh ralat relatif.

Definisi 4. Ralat relatif bagi nilai anggaran a nombor X ialah nisbah ralat mutlak nombor itu a kepada nilai mutlak nombor itu X:

Definisi 5. Ralat relatif mengehadkan bilangan anggaran a dipanggil nombor positif supaya .

Oleh kerana , ia mengikuti daripada formula (2.7) bahawa ia boleh dikira daripada formula

(2.8)

Untuk ringkasnya, dalam kes di mana ini tidak menyebabkan salah faham, bukannya "menghadkan ralat relatif", mereka hanya mengatakan "ralat relatif".

Ralat relatif mengehadkan sering dinyatakan sebagai peratusan.

Contoh 1. . Andaikan , kita boleh terima = . Dengan membahagi dan membulatkan (semestinya ke atas), kita dapat = 0.0008 = 0.08%.

Contoh 2Apabila menimbang badan, keputusan diperolehi: p=23.4 0.2 g Kami mempunyai = 0.2. . Dengan membahagi dan membulatkan, kita mendapat = 0.9%.

Formula (2.8) menentukan hubungan antara ralat mutlak dan relatif. Daripada formula (2.8) ia berikut:

(2.9)

Menggunakan formula (2.8) dan (2.9), kita boleh, jika nombornya diketahui a, mengikut ralat mutlak yang diberikan, cari ralat relatif dan sebaliknya.

Ambil perhatian bahawa formula (2.8) dan (2.9) selalunya perlu digunakan walaupun kita belum mengetahui anggaran nombor a dengan ketepatan yang diperlukan, tetapi kita tahu nilai anggaran kasarnya a. Sebagai contoh, ia diperlukan untuk mengukur panjang objek dengan ralat relatif tidak lebih daripada 0.1%. Persoalannya ialah: adakah mungkin untuk mengukur panjang dengan ketepatan yang diperlukan menggunakan caliper yang membolehkan anda mengukur panjang dengan ralat mutlak sehingga 0.1 mm? Walaupun kita belum lagi mengukur objek dengan instrumen yang tepat, kita tahu bahawa nilai anggaran kasar panjang adalah kira-kira 12 cm. Dengan formula (1.9) kita dapati ralat mutlak:

Daripada ini dapat dilihat bahawa dengan bantuan caliper adalah mungkin untuk melakukan pengukuran dengan ketepatan yang diperlukan.

Dalam proses kerja pengiraan, selalunya perlu untuk beralih daripada ralat mutlak kepada relatif, dan sebaliknya, yang dilakukan menggunakan formula (1.8) dan (1.9).