Pengiraan kamiran pasti menggunakan kaedah segi empat tepat. Penyepaduan berangka

Ekaterinburg

pengenalan

Masalah penyepaduan berangka fungsi adalah untuk mengira nilai anggaran kamiran tertentu:

berdasarkan satu siri nilai kamiran.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Formula untuk pengiraan berangka kamiran tunggal dipanggil formula kuadratur, berganda dan lebih berganda dipanggil formula cubature.

Teknik biasa untuk membina formula kuadratur adalah menggantikan fungsi kamiran dan f(x) pada segmen dengan fungsi interpolasi atau menghampiri g(x) secara relatif. jenis mudah, sebagai contoh, polinomial, diikuti dengan penyepaduan analitikal. Ini membawa kepada pandangan

Mengabaikan baki sebutan R[f] kita memperoleh formula anggaran

Mari kita nyatakan dengan y i = f(x i) nilai fungsi kamiran dan dalam pelbagai mata pada . Rumus kuadratur ialah formula jenis tertutup jika x 0 =a, x n =b.

Sebagai anggaran fungsi g(x), kami menganggap polinomial interpolasi pada dalam bentuk polinomial Lagrange:

, manakala , di manakah sebutan baki formula interpolasi Lagrange.

Formula (1) memberi

, (2)

. (3)

Dalam formula (2), kuantiti () dipanggil nod, () - pemberat, - ralat formula kuadratur. Jika pemberat () formula kuadratur dikira menggunakan formula (3), maka formula kuadratur yang sepadan dipanggil formula kuadratur jenis interpolasi.

Mari kita ringkaskan.

1. Pemberat () formula kuadratur (2) untuk lokasi tertentu nod tidak bergantung pada jenis kamiran.

2. Dalam formula kuadratur jenis interpolasi, baki sebutan R n [f] boleh diwakili sebagai nilai pengendali pembezaan tertentu pada fungsi f(x). Untuk

3. Untuk polinomial sehingga tertib n inklusif, formula kuadratur (2) adalah tepat, i.e. . Ijazah tertinggi polinomial yang formula kuadraturnya tepat dipanggil darjah formula kuadratur.

Mari kita pertimbangkan kes khas formula (2) dan (3): kaedah segi empat tepat, trapezoid, parabola (kaedah Simpson). Nama kaedah ini adalah disebabkan oleh tafsiran geometri formula yang sepadan.

Kaedah segi empat tepat

Kamiran pasti bagi fungsi f(x): secara berangka sama dengan luas trapezoid melengkung, dihadkan oleh lengkung y=0, x=a, x=b, y=f(x) (Rajah 1).

nasi. 1 Luas di bawah lengkung y=f(x) Untuk mengira luas ini, keseluruhan selang penyepaduan dibahagikan kepada n subinterval sama panjang h=(b-a)/n. Luas di bawah kamiran dan lebih kurang digantikan dengan jumlah luas segi empat tepat, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah (2).

nasi. 2 Luas di bawah lengkung y=f(x) dianggarkan dengan jumlah luas segi empat tepat
Jumlah luas semua segi empat tepat dikira dengan formula

Kaedah yang diwakili oleh formula (4) dipanggil kaedah segi empat tepat kiri, dan kaedah yang diwakili oleh formula (5) dipanggil kaedah segi empat tepat:

Kesilapan dalam mengira kamiran ditentukan oleh nilai langkah pengamiran h. Lebih kecil langkah pengamiran, lebih tepat jumlah kamiran S menghampiri nilai kamiran I. Berdasarkan ini, algoritma dibina untuk mengira kamiran dengan ketepatan yang diberikan. Adalah dianggap bahawa jumlah kamiran S mewakili nilai kamiran I dengan ketepatan eps jika perbezaan nilai mutlak antara jumlah kamiran dan dikira dengan langkah h dan h/2, masing-masing, tidak melebihi eps.

Untuk mencari kamiran pasti dengan kaedah purata segi empat tepat, luas yang dibatasi oleh garis a dan b dibahagikan kepada n segi empat tepat dengan atas alasan yang sama h, ketinggian segi empat tepat ialah titik persilangan fungsi f(x) dengan titik tengah segi empat tepat (h/2). Kamiran akan menjadi berangka sama dengan jumlah luas n segi empat tepat (Rajah 3).

nasi. 3 Luas di bawah lengkung y=f(x) dianggarkan dengan jumlah luas segi empat tepat

n – bilangan sekatan segmen.

Kaedah trapezoid

Untuk mencari kamiran pasti dengan kaedah trapezoid, luas trapezoid lengkung juga dibahagikan kepada n trapezoid segi empat tepat dengan ketinggian h dan tapak 1, 2, 3,..у n, dengan n ialah nombor trapezoid segi empat tepat. . Kamiran akan sama secara berangka dengan jumlah luas trapezium segi empat tepat (Rajah 4).

nasi. 4 Luas di bawah lengkung y=f(x) dianggarkan dengan hasil tambah luas trapezium segi empat tepat.

n – bilangan partition

(6)

Kesilapan formula trapezoid dianggarkan dengan nombor

Ralat formula trapezoid berkurangan lebih cepat dengan pertumbuhan daripada ralat formula segi empat tepat. Oleh itu, formula trapezoid membolehkan ketepatan yang lebih besar daripada kaedah segi empat tepat.

Formula Simpson

Jika bagi setiap pasangan segmen kita membina polinomial darjah kedua, kemudian integrasikannya pada segmen dan gunakan sifat ketambahan kamiran, kita memperoleh formula Simpson.

Dalam kaedah Simpson, untuk mengira kamiran pasti, keseluruhan selang penyepaduan dibahagikan kepada subselang sama panjang h=(b-a)/n. Bilangan segmen partition ialah nombor genap. Kemudian, pada setiap pasangan subinterval bersebelahan, fungsi integrand f(x) digantikan dengan polinomial Lagrange darjah kedua (Rajah 5).

nasi. 5 Fungsi y=f(x) pada segmen digantikan dengan polinomial tertib ke-2

Mari kita pertimbangkan integrand pada segmen. Mari kita gantikan integrand ini dengan polinomial interpolasi Lagrange darjah kedua, bertepatan dengan y= pada titik:

Mari kita sepadukan pada selang .:

Mari perkenalkan perubahan pembolehubah:

Memandangkan formula penggantian,

Selepas melakukan penyepaduan, kami memperoleh formula Simpson:

Nilai yang diperoleh untuk kamiran bertepatan dengan luas trapezium melengkung yang dibatasi oleh paksi, garis lurus, dan parabola yang melalui titik Pada segmen, formula Simpson akan kelihatan seperti:

Dalam formula parabola, nilai fungsi f(x) pada titik ganjil partition x 1, x 3, ..., x 2 n -1 mempunyai pekali 4, pada titik genap x 2, x 4, ..., x 2 n -2 - pekali 2 dan pada dua titik sempadan x 0 =a, x n =b - pekali 1.

Makna geometri Formula Simpson: luas trapezium melengkung di bawah graf fungsi f(x) pada suatu ruas kira-kira digantikan dengan jumlah luas rajah yang terletak di bawah parabola.

Jika fungsi f(x) mempunyai terbitan berterusan tertib keempat, maka nilai mutlak ralat formula Simpson tidak lebih daripada

di mana M - nilai tertinggi pada segmen. Oleh kerana n 4 tumbuh lebih cepat daripada n 2, ralat formula Simpson berkurangan dengan peningkatan n lebih cepat daripada ralat formula trapezoid.

Mari kita hitung kamiran

Kamiran ini mudah dikira:

Mari kita ambil n sama dengan 10, h=0.1, hitung nilai integrand pada titik partition, serta titik separuh integer .

Menggunakan formula purata segi empat tepat, kita memperoleh I lurus = 0.785606 (ralat ialah 0.027%), menggunakan formula trapezoid I perangkap = 0.784981 (ralat kira-kira 0.054. Apabila menggunakan kaedah segi empat tepat kanan dan kiri, ralat adalah lebih daripada 3% .

Untuk membandingkan ketepatan formula anggaran, mari kita mengira kamiran sekali lagi

tetapi kini mengikut formula Simpson dengan n=4. Mari bahagikan segmen kepada empat bahagian yang sama dengan titik x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 dan kirakan lebih kurang nilai fungsi f(x)=1/( 1+x) pada titik ini: 0 =1.0000, 1 =0.8000, 2 =0.6667, 3 =0.5714, 4 =0.5000.

Menggunakan formula Simpson kita dapat

Mari kita anggarkan ralat hasil yang diperolehi. Untuk fungsi integrand f(x)=1/(1+x) kita ada: f (4) (x)=24/(1+x) 5, yang bermaksud bahawa pada segmen . Oleh itu, kita boleh mengambil M=24, dan ralat keputusan tidak melebihi 24/(2880× 4 4)=0.0004. Membandingkan nilai anggaran dengan nilai yang tepat, kami membuat kesimpulan bahawa kesilapan mutlak keputusan yang diperoleh menggunakan formula Simpson adalah kurang daripada 0.00011. Ini adalah selaras dengan anggaran ralat yang diberikan di atas dan, sebagai tambahan, menunjukkan bahawa formula Simpson adalah lebih tepat daripada formula trapezoid. Oleh itu, formula Simpson digunakan lebih kerap untuk pengiraan anggaran kamiran pasti daripada formula trapezoid.

Perbandingan kaedah mengikut ketepatan

Mari kita bandingkan kaedah dari segi ketepatan, untuk ini kita akan mengira kamiran fungsi y=x, y=x+2, y=x 2, dengan n=10 dan n=60, a=0, b=10 . Nilai tepat kamiran adalah masing-masing: 50, 70, 333.(3)

jadual 1

Daripada Jadual 1 adalah jelas bahawa yang paling tepat ialah kamiran yang ditemui menggunakan formula Simpson semasa mengira fungsi linear y=x, y=x+2 ketepatan juga dicapai oleh segi empat tepat tengah dan kaedah trapezoid adalah kurang tepat; Daripada Jadual 1 adalah jelas bahawa apabila bilangan partition n bertambah (bilangan penyepaduan meningkat), ketepatan pengiraan anggaran kamiran meningkat

Tugasan makmal

1) Tulis atur cara untuk mengira kamiran pasti menggunakan kaedah: tengah, segi empat tepat, trapezoid dan kaedah Simpson. Lakukan penyepaduan fungsi berikut:

pada segmen dengan langkah , ,

3. Laksanakan pilihan tugasan individu(Jadual 2)

Jadual 2 Pilihan tugas individu

	Fungsi f(x)	Segmen integrasi

2) Kelakuan analisis perbandingan kaedah.

Pengiraan kamiran pasti: Garis panduan Kepada kerja makmal dalam disiplin “Computational Mathematics” / comp. I.A. Selivanova. Ekaterinburg: Institusi Pendidikan Pendidikan Profesional Tinggi Negeri USTU-UPI, 2006. 14 hlm.

Arahan ini bertujuan untuk pelajar semua bentuk pengajian dalam kepakaran 230101 – “ Komputer, kompleks, sistem dan rangkaian" dan sarjana muda ke arah 230100 - "Informatik dan Sains Komputer". Disusun oleh Selivanova Irina Anatolyevna

Imej grafik:

Mari kita hitung nilai anggaran kamiran. Untuk menilai ketepatan, kami menggunakan kaedah pengiraan segi empat kiri dan kanan.

Mari kita mengira langkah apabila membelah kepada 10 bahagian:

Titik perpecahan segmen ditakrifkan sebagai:

Mari kita hitung nilai anggaran kamiran menggunakan formula segi empat tepat kiri:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Mari kita hitung nilai anggaran kamiran menggunakan formula segi empat tepat:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Penyelesaian masalah nilai sempadan untuk biasa persamaan pembezaan dengan kaedah sapuan.

Untuk lebih kurang menyelesaikan persamaan pembezaan biasa, anda boleh menggunakan kaedah sapuan.

Mari kita pertimbangkan persamaan pembezaan linear.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

dengan syarat sempadan linear dua titik

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Kaedah sapuan terdiri daripada "hantaran ke hadapan" di mana pekali ditentukan:

Selepas melengkapkan "langkah langsung", teruskan untuk melakukan " terbalik", yang terdiri daripada menentukan nilai fungsi yang dikehendaki menggunakan formula:

Menggunakan kaedah sapuan, karang penyelesaian kepada masalah nilai sempadan untuk persamaan pembezaan biasa dengan ketepatan; Langkah h=0.05

2; A=1; =0; B=1.2;

Masalah dirichlet untuk persamaan Laplace menggunakan kaedah grid

Cari fungsi berterusan dan (x, y), memenuhi persamaan Laplace di dalam kawasan segi empat tepat

dan tuan rumah di sempadan wilayah tetapkan nilai, iaitu

di mana fl, f 2, f 3, f 4 diberi fungsi.

Dengan memperkenalkan tatatanda, kami menganggarkan terbitan separa dan pada setiap nod grid dalaman mengikut derivatif perbezaan pusat tertib kedua

dan gantikan persamaan Laplace dengan persamaan beza terhingga

Kesilapan dalam menggantikan persamaan pembezaan dengan persamaan perbezaan ialah magnitud.

Persamaan (1) bersama-sama dengan nilai pada nod sempadan membentuk sistem linear persamaan algebra berbanding dengan nilai anggaran fungsi dan (x, y) pada nod grid. Sistem ini mempunyai bentuk yang paling mudah apabila:

Apabila mendapatkan persamaan grid (2), rajah nod yang ditunjukkan dalam Rajah 1 telah digunakan. 1. Set nod yang digunakan untuk menghampiri persamaan pada satu titik dipanggil templat.

Rajah 1

Penyelesaian berangka bagi masalah Dirichlet untuk persamaan Laplace dalam segi empat tepat terdiri daripada mencari nilai anggaran fungsi u(x, y) yang dikehendaki pada nod grid dalaman. Untuk menentukan kuantiti, adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (2).

Dalam kerja ini, ia diselesaikan dengan kaedah Gauss--Seidel, yang terdiri daripada membina urutan lelaran bentuk

(superskrip s menandakan nombor lelaran). Apabila jujukan itu menumpu kepada penyelesaian yang tepat bagi sistem (2). Sebagai syarat untuk berakhirnya proses lelaran, kita boleh mengambil

Oleh itu, ralat dalam penyelesaian anggaran yang diperolehi oleh kaedah grid terdiri daripada dua ralat: ralat dalam menghampiri persamaan pembezaan dengan persamaan perbezaan; ralat yang timbul akibat daripada penyelesaian anggaran sistem persamaan perbezaan (2).

Adalah diketahui bahawa skema perbezaan yang diterangkan di sini mempunyai sifat kestabilan dan penumpuan. Kestabilan skema bermakna perubahan kecil dalam data awal membawa kepada perubahan kecil dalam penyelesaian masalah perbezaan. Hanya skim sedemikian masuk akal untuk digunakan dalam pengiraan sebenar. Konvergensi skema bermaksud bahawa apabila langkah grid cenderung kepada sifar (), penyelesaian kepada masalah perbezaan cenderung, dalam erti kata lain, kepada penyelesaian. masalah asal. Oleh itu, dengan memilih langkah h yang cukup kecil, seseorang boleh menyelesaikan masalah asal setepat yang dikehendaki.

Dengan menggunakan kaedah grid, susun anggaran penyelesaian kepada masalah Dirichlet untuk persamaan Laplace dalam segi empat sama ABCD dengan bucu A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); langkah h=0.02. Apabila menyelesaikan masalah, gunakan proses purata berulang Liebman sehingga jawapan diperoleh dengan ketepatan 0.01.

1) Mari kita hitung nilai fungsi pada sisi:

1. Di bahagian AB: mengikut formula. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
2. Di sebelah BC=0
3. Di sebelah CD=0

4. Di sebelah AD: mengikut formula u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)= 29.44 u(1;0)=0
2) Untuk menentukan nilai fungsi dalam titik dalaman kawasan menggunakan kaedah grid persamaan yang diberikan Kami menggantikan Laplace pada setiap titik dengan persamaan perbezaan terhingga mengikut formula

Menggunakan formula ini, kami akan mencipta persamaan untuk setiap titik dalaman. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan.

Kami menyelesaikan sistem ini menggunakan kaedah lelaran jenis Liebman. Untuk setiap nilai, kami mencipta jujukan yang kami bina sehingga penumpuan dalam perseratus. Mari kita tuliskan hubungan dengan bantuan yang mana kita akan dapati unsur-unsur semua urutan:

Untuk mengira menggunakan formula ini, anda perlu menentukan nilai awal yang boleh didapati dalam beberapa cara.

3) Untuk mendapatkan penyelesaian anggaran awal kepada masalah, kita akan menganggap bahawa fungsi u(x,y) diedarkan secara seragam di sepanjang mendatar rantau itu.

Pertama, pertimbangkan garis mendatar dengan titik sempadan (0;0.2) dan (1;0.2).

Mari kita nyatakan nilai yang diperlukan bagi fungsi pada titik dalaman dengan.

Oleh kerana segmen dibahagikan kepada 5 bahagian, langkah pengukuran fungsi

Kemudian kita dapat:

Begitu juga, kita dapati nilai fungsi pada titik dalaman garisan mendatar lain. Untuk garis mendatar dengan titik sempadan (0;0.4) dan (1;0.4) kita ada

Untuk garis mendatar dengan titik sempadan (0;0.6) dan (1;0.6) kita ada

Akhir sekali, mari kita cari nilai untuk mendatar dengan titik sempadan (0;0.8) dan (1;0.8).

Kami membentangkan semua nilai yang diperoleh dalam jadual berikut, yang dipanggil templat sifar:

Anggaran baki sebutan formula:

atau

Tujuan perkhidmatan. Perkhidmatan ini bertujuan untuk pengkomputeran dalam talian kamiran pasti menggunakan rumus segiempat tepat.

Arahan. Masukkan fungsi integrand f(x) , klik Selesaikan. Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam fail Word. Templat penyelesaian juga dibuat dalam Excel. Di bawah ialah arahan video.

Peraturan untuk memasukkan fungsi

Contoh
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Ini ialah formula kuadratur termudah untuk mengira kamiran, yang menggunakan satu nilai fungsi

(8.5.1)
Di mana; h=x 1 -x 0 .
Formula (8.5.1) ialah formula pusat bagi segi empat tepat. Mari kita mengira baki istilah. Mari kita kembangkan fungsi y=f(x) pada titik ε 0 ke dalam siri Taylor:
(8.5.2)
Di mana; . Mari kita integrasikan (8.5.2):

(8.5.3)

Dalam sebutan kedua, kamiran dan adalah ganjil, dan had kamiran adalah simetri berkenaan dengan titik ε 0. Oleh itu kamiran kedua adalah sama dengan sifar. Oleh itu, daripada (8.5.3) ia berikut .
Oleh kerana faktor kedua bagi integrand tidak berubah tanda, maka dengan teorem nilai min yang kita dapat , Di mana. Selepas integrasi kita dapat . (8.5.4)
Membandingkan dengan sebutan baki formula trapezoid, kita melihat bahawa ralat formula segi empat tepat adalah dua kali kurang daripada ralat formula trapezoid. Keputusan ini benar jika dalam formula segi empat tepat kita mengambil nilai fungsi pada titik tengah.
Kami memperoleh formula untuk segi empat tepat dan baki sebutan untuk selang. Biarkan grid x i =a+ih, i=0,1,...,n, diberi . Pertimbangkan grid ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Kemudian . (8.5.5)
Baki tempoh .
Secara geometri, formula segi empat tepat boleh diwakili oleh rajah berikut:

Jika fungsi f(x) diberikan dalam jadual, maka gunakan sama ada formula segi empat tepat sebelah kiri (untuk grid seragam)

atau formula segi empat tepat tangan kanan

.
Ralat formula ini dianggarkan melalui derivatif pertama. Untuk selang ralat adalah sama dengan

; .
Selepas integrasi kita dapat .

Contoh. Kira kamiran untuk n=5:
a) mengikut formula trapezoid;
b) menggunakan formula segi empat tepat;
c) mengikut formula Simpson;
d) mengikut formula Gauss;
e) mengikut formula Chebyshev.
Kira ralat.
Penyelesaian. Untuk 5 nod penyepaduan, langkah grid ialah 0.125.
Apabila menyelesaikan, kami akan menggunakan jadual nilai fungsi. Di sini f(x)=1/x.

	x		f(x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a) formula trapezoid:
I=h/2×;
I=(0.125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Nilai maksimum terbitan kedua bagi fungsi pada selang ialah 16: maks (f¢(x)), xО=2/(0.5 3)=16, oleh itu
R=[-(1-0.5)/12]×0.125×16=- 0.0833;
b) formula segi empat tepat:
untuk formula kidal I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0.125×(2+1.6+1.33+1.14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2 ×y¢¢(x);
R=[(1-0.5)/6]×0.125 2 ×16= 0.02;
c) Formula Simpson:
I=(2j/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0.125)/6×(2+1+4×(1.6+1.14)+2×1.33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×j 4 ×y (4) (x);
f (4) (x)=24/(x 5)=768;
R=[-(1-0.5)/180]×(0.125) 4 ×768 = - 5.2 e-4;
d) Formula Gauss:
I=(b-a)/2×;
x i =(b+a)/2+t i (b-a)/2
(A i, t i - nilai jadual).

				t (n=5)		A (n=5)
x1	0.9765	y1	1.02	t 1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t 2	0.53846931	A 2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t 3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t 4	-0.53846931	A 4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t 5	-0.90617985	A 5	0.23692688

I=(1-0.5)/2×(0.2416+0.5408+0.7566+0.7777+0.4525)= 0.6923;
e) Formula Chebyshev:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - pengurangan perlu bagi selang penyepaduan kepada selang [-1;1].
Untuk n=5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

Mari cari nilai x dan nilai fungsi pada titik ini:

x1	0,958	f(x1)	1,043
x2	0,844	f(x2)	1,185
x3	0,75	f(x3)	1,333
x4	0,656	f(x4)	1,524
x5	0,542	f(x5)	1,845

Jumlah nilai fungsi ialah 6.927.
I=(1-0.5)/5×6.927=0.6927.

DALAM pandangan umum formula segi empat tepat kiri pada segmen nampak macam ni (21) :

Dalam formula ini x 0 =a, x n =b, kerana mana-mana kamiran secara umum kelihatan seperti: (lihat formula 18 ).

h boleh dikira menggunakan formula 19 .

y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h).

Formula untuk segi empat tepat.

Secara amnya rumus segi empat tepat pada segmen nampak macam ni (22) :

Dalam formula ini x 0 =a, x n =b(lihat formula untuk segi empat tepat kiri).

h boleh dikira menggunakan formula yang sama seperti dalam formula untuk segi empat kiri.

y 1 , y 2 ,..., y n ialah nilai bagi fungsi yang sepadan f(x) pada titik x 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h).

Formula untuk segi empat tepat sederhana.

Secara amnya formula segi empat tepat tengah pada segmen nampak macam ni (23) :

di mana x i =x i-1 +h.

Dalam formula ini, seperti dalam yang sebelumnya, h diperlukan untuk mendarabkan jumlah nilai fungsi f(x), tetapi bukan hanya dengan menggantikan nilai yang sepadan x 0 ,x 1 ,...,x n-1 ke dalam fungsi f(x), dan menambah pada setiap nilai ini h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), dan kemudian hanya menggantikannya ke dalam fungsi yang diberikan.

h boleh dikira menggunakan formula yang sama seperti dalam formula untuk segi empat tepat kiri." [ 6 ]

Dalam amalan, kaedah ini dilaksanakan seperti berikut:

Mathcad ;

Excel .

Mathcad ;

Excel .

Untuk mengira kamiran menggunakan formula segi empat tepat purata dalam Excel, anda mesti melakukan langkah berikut:

Teruskan bekerja dalam dokumen yang sama seperti semasa mengira kamiran menggunakan formula segi empat kiri dan kanan.

Dalam sel E6 masukkan teks xi+h/2, dan dalam F6 - f(xi+h/2).

Masukkan formula =B7+$B$4/2 ke dalam sel E7, salin formula ini dengan menyeret ke julat sel E8:E16

Masukkan formula =ROOT(E7^4-E7^3+8) ke dalam sel F7, salin formula ini dengan menyeret ke julat sel F8:F16

Masukkan formula =SUM(F7:F16) dalam sel F18.

Masukkan formula =B4*F18 dalam sel F19.

Masukkan purata teks dalam sel F20.

Akibatnya, kami mendapat yang berikut:

Jawapan: nilai kamiran yang diberi ialah 13.40797.

Berdasarkan keputusan yang diperoleh, kita boleh membuat kesimpulan bahawa formula segi empat tepat tengah adalah lebih tepat daripada formula segi empat tepat kanan dan kiri.

1. Kaedah Monte Carlo

"Idea utama kaedah Monte Carlo ialah pengulangan berulang ujian rawak. Ciri ciri kaedah Monte Carlo ialah penggunaan nombor rawak(nilai berangka beberapa pembolehubah rawak). Nombor sedemikian boleh diperoleh menggunakan penderia nombor rawak. Sebagai contoh, dalam bahasa pengaturcaraan Turbo Pascal terdapat fungsi standard rawak, yang nilainya ialah nombor rawak yang diedarkan secara seragam pada segmen . Ini bermakna jika anda membahagikan segmen yang ditentukan kepada bilangan selang yang sama dan mengira nilai fungsi rawak bilangan yang besar kali, maka setiap selang akan mengandungi lebih kurang bilangan nombor rawak yang sama. Dalam bahasa pengaturcaraan lembangan, sensor yang serupa ialah fungsi rnd. Dalam hamparan MS Fungsi Excel RAND mengembalikan nombor rawak teragih seragam lebih besar daripada atau sama dengan 0 dan kurang daripada 1 (berubah apabila dikira semula)" [ 7 ].

Untuk mengiranya, anda perlu menggunakan formula () :

Di mana (i=1, 2, …, n) ialah nombor rawak yang terletak dalam selang .

Untuk mendapatkan nombor sedemikian berdasarkan urutan nombor rawak x i , diedarkan secara seragam dalam selang , sudah cukup untuk melakukan penjelmaan x i =a+(b-a)x i .

Dalam amalan, kaedah ini dilaksanakan seperti berikut:

Untuk mengira kamiran menggunakan kaedah Monte Carlo dalam Excel, anda mesti melakukan langkah berikut:

Dalam sel B1, masukkan teks n=.

Dalam sel B2, masukkan teks a=.

Dalam sel B3, masukkan teks b=.

Masukkan nombor 10 dalam sel C1.

Masukkan nombor 0 dalam sel C2.

Dalam sel C3 masukkan nombor 3.2.

Masukkan I dalam sel A5, xi dalam B5, f(xi) dalam C5.

Isi sel A6:A15 dengan nombor 1,2,3, ...,10 – sejak n=10.

Masukkan formula =RAND()*3.2 ke dalam sel B6 (nombor dalam julat dari 0 hingga 3.2 dijana), salin formula ini dengan menyeretnya ke dalam julat sel B7:B15.

Masukkan formula =ROOT(B6^4-B6^3+8) ke dalam sel C6 dan salin formula ini dengan menyeret ke julat sel C7:C15.

Masukkan teks "jumlah" dalam sel B16, "(b-a)/n" dalam B17, "I=" dalam B18.

Masukkan formula =SUM(C6:C15) ke dalam sel C16.

Masukkan formula =(C3-C2)/C1 ke dalam sel C17.

Masukkan formula =C16*C17 ke dalam sel C18.

Hasilnya kami mendapat:

Jawapan: nilai kamiran yang diberi ialah 13.12416.