Pengiraan terbitan bagi fungsi tersirat yang diberikan oleh sistem persamaan.

Diberi sistem persamaan

atau secara ringkasF(x, y)=0 (1)

Definisi. Sistem (1) mentakrifkan fungsi yang ditakrifkan secara tersiraty= f(x) padaD R n

jika x D : F(x , f(x)) = 0.

Teorem (kewujudan dan keunikan pemetaan yang ditakrifkan secara tersirat oleh sistem persamaan). biarlah

Kemudian di beberapa kawasan kejirananU (x 0 ) terdapat fungsi unik (pemetaan) yang ditakrifkan dalam kejiranan iniy = f(x), seperti itu

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 dany 0 = f(x 0 ).

Fungsi ini boleh dibezakan secara berterusan dalam beberapa kejiranan titikx 0 .

5. Pengiraan terbitan bagi fungsi tersirat yang diberikan oleh sistem persamaan

Sistem yang diberi

(1)

Kami akan menganggap bahawa syarat kewujudan dan teorem keunikan bagi fungsi tersirat yang diberikan oleh sistem persamaan ini dipenuhi. Kami menandakan fungsi ini y= f(x) . Kemudian dalam beberapa kejiranan titik x 0 identiti

(F(x, f(x))=0) (2)

Membezakan identiti ini berkenaan dengan x j kita mendapatkan

=0 (3)

Persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk matriks

, (3)

atau diperluaskan

Perhatikan bahawa peralihan daripada kesaksamaan F(x, f(x))=0 kepada
, sepadan dengan peraturan pembezaan untuk kes apabila x dan y ialah titik dalam ruang satu dimensi. Matriks tidak merosot dengan andaian, jadi persamaan matriks
mempunyai penyelesaian
. Oleh itu, seseorang boleh mencari derivatif separa urutan pertama bagi fungsi tersirat . Untuk mencari pembezaan, kami nyatakan

dy = ,dx = , membezakan persamaan (2) kita mendapatkan

=0 ,

atau dalam bentuk matriks

. (4)

Dikembangkan

Seperti dalam kes derivatif separa, formula (4) kita mempunyai bentuk yang sama seperti untuk kes ruang satu dimensi n=1, hlm=1. Penyelesaian kepada persamaan matriks ini boleh ditulis sebagai
. Untuk mencari terbitan separa bagi tertib kedua, adalah perlu untuk membezakan identiti (3) (untuk mengira pembezaan tertib kedua, anda perlu membezakan identiti (4) ). Oleh itu, kita mendapat

melalui mana A istilah yang tidak mengandungi yang dikehendaki ditunjukkan
.

Matriks pekali sistem ini untuk menentukan derivatif
ialah matriks Jacobian .

Formula yang serupa boleh didapati untuk pembezaan. Dalam setiap kes ini, persamaan matriks akan diperolehi dengan matriks pekali yang sama dalam sistem persamaan untuk menentukan derivatif atau pembezaan yang dikehendaki. Perkara yang sama akan berlaku di bawah pembezaan berikut.

Contoh 1. Cari ,,pada titik u=1, v=1.

Penyelesaian. Bezakan persamaan yang diberi

(5)

Perhatikan bahawa, mengikut rumusan masalah, kita harus mempertimbangkan sebagai pembolehubah bebas x, y. Kemudian fungsi akan menjadi z, u, v. Oleh itu sistem (5) untuk memutuskan perkara yang tidak diketahui du, dv, dz . Dalam bentuk matriks, ia kelihatan seperti ini

Mari selesaikan sistem ini menggunakan peraturan Cramer. Penentu matriks pekali

, Penentu "diganti" ketiga untuk dz akan sama dengan (ia dikira dengan mengembangkan pada lajur terakhir)

, kemudian

dz =
, dan
,
.

Membezakan (5) sekali lagi ( x, y – pembolehubah tidak bersandar)

Matriks pekali sistem adalah sama, penentu ketiga

Menyelesaikan sistem ini, kami memperoleh ungkapan untuk d 2 z di mana anda boleh mencari derivatif yang dikehendaki.

Seperti yang anda ketahui, fungsi yang diberikan secara tersirat bagi satu pembolehubah ditakrifkan seperti berikut: fungsi pembolehubah bebas x dipanggil tersirat jika ia diberikan oleh persamaan yang tidak diselesaikan berkenaan dengan y:

Contoh 1.11.

Persamaan

secara tersirat mentakrifkan dua fungsi:

Dan persamaan

tidak mentakrifkan sebarang fungsi.

Teorem 1.2 (kewujudan fungsi tersirat).

Biarkan fungsi z \u003d f (x, y) dan terbitan separanya f "x dan f" y ditakrifkan dan berterusan dalam beberapa kejiranan UM0 titik M0 (x0y0). Di samping itu, f(x0,y0)=0 dan f"(x0,y0)≠0, maka Persamaan (1.33) mentakrifkan dalam kejiranan UM0 fungsi tersirat y= y(x), berterusan dan boleh dibezakan dalam beberapa selang D dengan pusat pada titik x0, dan y(x0)=y0.

Tanpa bukti.

Daripada Teorem 1.2 ia mengikuti bahawa pada selang D ini:

iaitu terdapat identiti dalam

di mana terbitan "jumlah" didapati mengikut (1.31)

Iaitu, (1.35) memberikan formula untuk mencari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat bagi satu pembolehubah x .

Fungsi tersirat bagi dua atau lebih pembolehubah ditakrifkan secara serupa.

Sebagai contoh, jika di beberapa kawasan V ruang Oxyz persamaan berikut adalah benar:

maka dalam keadaan tertentu pada fungsi F ia secara tersirat mentakrifkan fungsi itu

Pada masa yang sama, dengan analogi dengan (1.35), terbitan separanya didapati seperti berikut:

Contoh 1.12. Dengan mengandaikan bahawa persamaan

mentakrifkan fungsi secara tersirat

cari z "x, z" y.

oleh itu, menurut (1.37), kita memperoleh jawapannya.

11. Penggunaan terbitan separa dalam geometri.

12. Ekstrema fungsi dua pembolehubah.

Konsep maksimum, minimum, ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah adalah serupa dengan konsep sepadan bagi fungsi satu pembolehubah tidak bersandar (lihat Bahagian 25.4).

Biarkan fungsi z = ƒ(х;у) ditakrifkan dalam beberapa domain D, titik N(x0;y0) н D.

Titik (x0; y0) dipanggil titik maksimum bagi fungsi z=ƒ(x; y) jika terdapat kejiranan d bagi titik (x0; y0) yang bagi setiap titik (x; y) selain daripada (xo; yo), kejiranan ini memenuhi ketidaksamaan ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

TAPI titik minimum fungsi ditakrifkan secara logik: untuk semua titik (x; y) selain daripada (x0; y0), ketaksamaan berikut berlaku dari kejiranan d titik (xo; yo): ƒ(x; y) >ƒ(x0; y0).

Dalam Rajah 210: N1 ialah titik maksimum, dan N2 ialah titik minimum bagi fungsi z=ƒ(x;y).

Nilai fungsi pada titik maksimum (minimum) dipanggil maksimum (minimum) fungsi. Maksimum dan minimum fungsi dipanggil extrema.

Ambil perhatian bahawa, berdasarkan definisi, titik ekstrem fungsi terletak di dalam domain fungsi; maksimum dan minimum mempunyai watak setempat (tempatan): nilai fungsi pada titik (x0; y0) dibandingkan dengan nilainya pada titik yang cukup hampir dengan (x0; y0). Di rantau D, fungsi mungkin mempunyai beberapa ekstrem atau tiada.

46.2. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ekstrem

Pertimbangkan syarat kewujudan ekstrem bagi suatu fungsi.

Teorem 46.1 (syarat yang diperlukan untuk ekstrem). Jika pada titik N (x0; y0) fungsi boleh dibezakan z \u003d ƒ (x; y) mempunyai ekstrem, maka terbitan separanya pada titik ini adalah sama dengan sifar: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 )=0.

Kami membetulkan salah satu pembolehubah. Katakan, sebagai contoh, y=y0. Kemudian kita mendapat fungsi ƒ(x; y0)=φ(x) bagi satu pembolehubah, yang mempunyai ekstrem pada x = x0. Oleh itu, mengikut syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah (lihat perenggan 25.4), φ "(x0) \u003d 0, iaitu, ƒ "x (x0; y0) \u003d 0.

Begitu juga, boleh ditunjukkan bahawa ƒ "y (x0; y0) \u003d 0.

Secara geometri, kesamaan ƒ "x (x0; y0) \u003d 0 dan ƒ "y (x0; y0) \u003d 0 bermakna bahawa pada titik ekstrem fungsi z \u003d ƒ (x; y), satah tangen kepada permukaan yang menggambarkan fungsi ƒ (x; y ), adalah selari dengan satah Oksi, kerana persamaan satah tangen ialah z=z0 (lihat formula (45.2)).

W catatan. Fungsi boleh mempunyai ekstrem pada titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud. Sebagai contoh, fungsi mempunyai maksimum pada titik O (0; 0) (lihat Rajah 211), tetapi tidak mempunyai terbitan separa pada ketika ini.

Titik di mana terbitan separa tertib pertama bagi fungsi z ≈ ƒ(x; y) adalah sama dengan sifar, iaitu f "x=0, f" y=0, dipanggil titik pegun bagi fungsi z.

Titik pegun dan titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud dipanggil titik kritikal.

Pada titik kritikal, fungsi mungkin mempunyai ekstrem atau tidak. Kesamaan kepada sifar terbitan separa adalah syarat yang perlu tetapi tidak mencukupi untuk kewujudan ekstrem. Pertimbangkan, sebagai contoh, fungsi z = xy. Baginya, titik O (0; 0) adalah kritikal (di dalamnya z "x \u003d y dan z" y - x lenyap). Walau bagaimanapun, fungsi z=xy tidak mempunyai ekstrem di dalamnya, kerana dalam kejiranan yang cukup kecil bagi titik O(0; 0) terdapat titik yang z>0 (titik I dan III suku) dan z< 0 (точки II и IV четвертей).

Oleh itu, untuk mencari keterlaluan fungsi di rantau tertentu, adalah perlu untuk menundukkan setiap titik kritikal fungsi kepada kajian tambahan.

Teorem 46.2 (syarat yang mencukupi untuk ekstrem). Biarkan fungsi ƒ(x; y) mempunyai terbitan separa berterusan sehingga urutan kedua termasuk pada titik pegun (xo; yo) dan beberapa kejiranannya. Mari kita hitung pada titik (x0;y0) nilai-nilai A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Menandakan

1. jika Δ > 0, maka fungsi ƒ(x; y) pada titik (x0; y0) mempunyai ekstrem: maksimum jika A< 0; минимум, если А > 0;

2. jika Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Dalam kes Δ = 0, mungkin terdapat atau mungkin tidak ekstrem pada titik (x0; y0). Lebih banyak penyelidikan diperlukan.

TUGASAN

Contoh. Cari selang pertambahan dan penurunan bagi fungsi itu. Penyelesaian. Langkah pertama ialah mencari kawasan definisi fungsi. Dalam contoh kita, ungkapan dalam penyebut tidak sepatutnya hilang, oleh itu, . Mari kita beralih kepada fungsi derivatif: Untuk menentukan selang peningkatan dan penurunan fungsi dengan kriteria yang mencukupi, kita menyelesaikan ketaksamaan dan pada domain takrifan. Mari kita gunakan generalisasi kaedah selang. Satu-satunya punca sebenar pengangka ialah x=2, dan penyebutnya hilang pada x=0. Titik-titik ini membahagikan domain definisi kepada selang di mana terbitan fungsi mengekalkan tandanya. Mari kita tandai titik-titik ini pada garis nombor. Dengan tambah dan tolak, kami menyatakan secara bersyarat selang di mana terbitan itu positif atau negatif. Anak panah di bawah secara skematik menunjukkan peningkatan atau penurunan fungsi pada selang yang sepadan. Dengan cara ini, dan . Pada titik itu x=2 fungsi ditakrifkan dan berterusan, jadi ia mesti ditambah kepada kedua-dua selang meningkat dan selang menurun. Pada titik itu x=0 fungsi tidak ditakrifkan, jadi titik ini tidak termasuk dalam selang yang diperlukan. Kami membentangkan graf fungsi untuk membandingkan keputusan yang diperolehi dengannya. Jawapan: fungsi bertambah dengan , berkurangan pada selang waktu (0; 2] .

Contoh.

Tetapkan selang untuk kecembungan dan lekuk lengkung y = 2 – x 2 .

Jom cari y"" dan tentukan di mana terbitan kedua adalah positif dan di mana ia negatif. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Kerana y"" = e x > 0 untuk mana-mana x, maka lengkungnya cekung di mana-mana.

y = x 3 . Kerana y"" = 6x, kemudian y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 bila x> 0. Oleh itu, pada x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 ialah cekung.

4. Diberi fungsi z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j dan satu titik A(3,2). Cari dz/dl (seperti yang saya faham, terbitan fungsi dalam arah vektor), gradz(A), |gradz(A)|. Cari derivatif separa: z(dalam x)=2x+5 z(dalam y)=-2y+4 Cari nilai terbitan di titik A(3,2): z(dalam x)(3,2)= 2*3+ 5=11 z(oleh y)(3,2)=-2*2+4=0 ^2)=11 Terbitan bagi fungsi z dalam arah vektor l: dz/dl=z( dalam x)*cosa+z(dalam y)*cosb, a,b-sudut vektor l dengan paksi koordinat. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi yang diberikan secara tersirat, iaitu diberikan oleh beberapa persamaan yang mengaitkan pembolehubah antara satu sama lain. x dan y. Contoh fungsi yang ditakrifkan secara tersirat:

Terbitan fungsi tersirat, atau derivatif fungsi tersirat, agak mudah dicari. Sekarang mari kita analisa peraturan dan contoh yang sepadan, dan kemudian ketahui mengapa ini diperlukan sama sekali.

Untuk mencari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat, adalah perlu untuk membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x. Istilah yang hanya terdapat x akan bertukar menjadi terbitan biasa bagi fungsi x. Dan istilah dengan y mesti dibezakan menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks, kerana y ialah fungsi x. Jika ia agak mudah, maka dalam terbitan terhasil bagi istilah dengan x ia sepatutnya berubah: terbitan fungsi daripada y, didarab dengan terbitan daripada y. Sebagai contoh, terbitan istilah akan ditulis sebagai , terbitan istilah akan ditulis sebagai . Selanjutnya, daripada semua ini adalah perlu untuk menyatakan "strok y" ini dan terbitan yang dikehendaki bagi fungsi yang diberikan secara tersirat akan diperolehi. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Contoh 1

Penyelesaian. Kami membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x, dengan mengandaikan bahawa y ialah fungsi x:

Dari sini kita mendapat derivatif yang diperlukan dalam tugas:

Sekarang sesuatu tentang sifat samar-samar fungsi yang ditakrifkan secara tersirat, dan mengapa peraturan khas untuk pembezaan mereka diperlukan. Dalam sesetengah kes, anda boleh memastikan bahawa penggantian dalam persamaan yang diberikan (lihat contoh di atas) dan bukannya y ungkapannya melalui x membawa kepada fakta bahawa persamaan ini bertukar menjadi identiti. Jadi. persamaan di atas secara tersirat mentakrifkan fungsi berikut:

Selepas menggantikan ungkapan y kuasa dua melalui x ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti:

Ungkapan yang kita gantikan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan untuk y.

Jika kita hendak membezakan fungsi eksplisit yang sepadan

maka kita akan mendapat respons seperti dalam contoh 1 - daripada fungsi yang dinyatakan secara tersirat:

Tetapi tidak setiap fungsi yang diberikan secara tersirat boleh diwakili dalam bentuk y = f(x) . Jadi, sebagai contoh, fungsi yang ditakrifkan secara tersirat

tidak dinyatakan dari segi fungsi asas, iaitu, persamaan ini tidak boleh diselesaikan berkenaan dengan pemain. Oleh itu, terdapat peraturan untuk membezakan fungsi yang diberikan secara tersirat, yang telah kita pelajari dan akan digunakan secara konsisten dalam contoh lain.

Contoh 2 Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Kami menyatakan y perdana dan - pada output - terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Contoh 3 Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Penyelesaian. Bezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x:

Contoh 4 Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Penyelesaian. Bezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x:

Kami menyatakan dan mendapatkan terbitan:

Contoh 5 Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat:

Penyelesaian. Kami memindahkan istilah di sebelah kanan persamaan ke sebelah kiri dan meninggalkan sifar di sebelah kanan. Bezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x.

Fungsi tersirat ditakrifkan oleh sistem persamaan

Diberi sistem persamaan

atau secara ringkas F(x,y)= 0. (6.7)

Definisi. Sistem(6.7)mentakrifkan fungsi tersirat y=f(x)kepada DÌR n

jika "xD:F(x , f(x)) = 0.

Teorem (kewujudan dan keunikan pemetaan yang ditakrifkan secara tersirat oleh sistem persamaan).biarlah

1) F i(x,y)daripada (6.4) ditakrifkan dan mempunyai terbitan separa berterusan bagi tertib pertama, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) di kawasan kejiranan U(M 0)mata M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Kemudian di beberapa kawasan kejiranan U(x 0)terdapat fungsi unik (pemetaan) yang ditakrifkan dalam kejiranan ini y = f(x), seperti itu

"xО U(x 0) :F(x, f(x))=0dan y 0 = f(x 0).

Fungsi ini boleh dibezakan secara berterusan dalam beberapa kejiranan titik x 0 .

Sistem yang diberi

Kami akan menganggap bahawa syarat kewujudan dan teorem keunikan bagi fungsi tersirat yang diberikan oleh sistem persamaan ini dipenuhi. Kami menandakan fungsi ini y=f(x) . Kemudian dalam beberapa kejiranan titik x 0 identiti adalah benar

Membezakan identiti ini berkenaan dengan xj kita mendapatkan

= 0.(6.9)

Persamaan ini boleh ditulis dalam bentuk matriks

atau diperluaskan

Perhatikan bahawa peralihan daripada kesaksamaan F(x, f(x))=0k , sepadan dengan peraturan pembezaan untuk kes apabila x dan y ialah titik dalam ruang satu dimensi. Matriks tidak merosot mengikut keadaan, jadi persamaan matriks mempunyai penyelesaian. Oleh itu, adalah mungkin untuk mencari terbitan separa urutan pertama bagi fungsi tersirat. Untuk mencari pembezaan, kami nyatakan

dy= , dx=, membezakan kesamaan (6.8), kita perolehi

atau dalam bentuk matriks

Dikembangkan

Sama seperti dalam kes terbitan separa, formula (6.10) mempunyai bentuk yang sama seperti dalam kes ruang satu dimensi n= 1, p= 1. Penyelesaian persamaan matriks ini boleh ditulis sebagai Untuk mencari terbitan separa bagi tertib kedua, adalah perlu untuk membezakan identiti (6.9) (untuk mengira pembezaan tertib kedua, adalah perlu untuk membezakan identiti (6.10)). Oleh itu, kita mendapat

melalui mana A istilah yang tidak mengandungi yang dikehendaki dilambangkan.

Matriks pekali sistem ini untuk menentukan derivatif ialah matriks Jacobian.

Contoh 1 Cari, pada satu titik u= 1,v= 1.

Penyelesaian. Bezakan persamaan yang diberi

Perhatikan bahawa ia berikutan daripada keadaan masalah yang harus kita pertimbangkan sebagai pembolehubah bebas x, y. Kemudian fungsi akan menjadi z, u, v. Oleh itu, sistem (6.11) harus diselesaikan berkenaan dengan yang tidak diketahui du, dv, dz. Dalam bentuk matriks, ia kelihatan seperti ini

Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan peraturan Cramer. Penentu matriks pekali

Penentu "diganti" ketiga untuk dz akan sama dengan (ia dikira dengan mengembangkan pada lajur terakhir)

dz = , dan, .

Kita bezakan (6.11) sekali lagi ( x, y- pembolehubah tidak bersandar)

Matriks pekali sistem adalah sama, penentu ketiga

Menyelesaikan sistem ini, kami memperoleh ungkapan untuk d2z di mana anda boleh mencari derivatif yang dikehendaki.

6.3. Pemetaan yang boleh dibezakan

Pemetaan terbitan. Paparan biasa. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk pergantungan fungsi.

Biarkan fungsi diberikan secara tersirat menggunakan persamaan
(1) .
Dan biarkan persamaan ini, untuk beberapa nilai, mempunyai penyelesaian yang unik. Biarkan fungsi itu menjadi fungsi boleh beza pada titik , dan
.
Kemudian, untuk nilai ini, terdapat derivatif , yang ditentukan oleh formula:
(2) .

Bukti

Sebagai bukti, pertimbangkan fungsi sebagai fungsi kompleks pembolehubah:
.
Kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks dan mencari terbitan berkenaan dengan pembolehubah sisi kiri dan kanan persamaan
(3) :
.
Oleh kerana terbitan pemalar adalah sama dengan sifar dan , maka
(4) ;
.

Formula telah terbukti.

Derivatif pesanan yang lebih tinggi

Mari kita tulis semula persamaan (4) menggunakan tatatanda lain:
(4) .
Selain itu, dan merupakan fungsi kompleks pembolehubah :
;
.
Kebergantungan mentakrifkan persamaan (1):
(1) .

Kami mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah dari sisi kiri dan kanan persamaan (4).
Menurut formula untuk derivatif fungsi kompleks, kita mempunyai:
;
.
Mengikut formula produk terbitan:

.
Mengikut formula jumlah terbitan:

.

Oleh kerana terbitan sebelah kanan persamaan (4) adalah sama dengan sifar, maka
(5) .
Menggantikan terbitan di sini, kita memperoleh nilai terbitan tertib kedua dalam bentuk tersirat.

Membezakan persamaan (5) dengan cara yang sama, kita memperoleh persamaan yang mengandungi terbitan tertib ketiga:
.
Menggantikan di sini nilai yang ditemui bagi derivatif susunan pertama dan kedua, kita dapati nilai derivatif tertib ketiga.

Meneruskan pembezaan, seseorang boleh mencari terbitan mana-mana susunan.

Contoh

Contoh 1

Cari terbitan pertama bagi fungsi yang diberikan secara tersirat oleh persamaan:
(P1) .

Penyelesaian Formula 2

Kami mencari derivatif dengan formula (2):
(2) .

Mari kita alihkan semua pembolehubah ke sebelah kiri supaya persamaan mengambil bentuk .
.
Dari sini.

Kami mencari terbitan berkenaan dengan , dengan mengandaikan bahawa ia adalah malar.
;
;
;
.

Kami mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah, dengan mengandaikan pembolehubah itu malar.
;
;
;
.

Dengan formula (2) kita dapati:
.

Kita boleh memudahkan keputusan jika kita perhatikan bahawa mengikut persamaan asal (A.1), . Pengganti:
.
Darabkan pengangka dan penyebut dengan:
.

Penyelesaian dengan cara kedua

Mari kita selesaikan contoh ini dengan cara kedua. Untuk melakukan ini, kita mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah bahagian kiri dan kanan persamaan asal (P1).

Kami memohon:
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan pecahan:
;
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks:
.
Kami membezakan persamaan asal (P1).
(P1) ;
;
.
Darab dengan dan kumpulkan istilah.
;
.

Gantikan (dari persamaan (P1)):
.
Mari darab dengan:
.

Jawab

Contoh 2

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi yang diberikan secara tersirat menggunakan persamaan:
(P2.1) .

Penyelesaian

Bezakan persamaan asal berkenaan dengan pembolehubah, dengan mengandaikan bahawa ia adalah fungsi bagi :
;
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks.
.

Kami membezakan persamaan asal (A2.1):
;
.
Ia mengikuti daripada persamaan asal (A2.1) bahawa . Pengganti:
.
Kembangkan kurungan dan kumpulkan ahli:
;
(P2.2) .
Kami mencari terbitan bagi susunan pertama:
(P2.3) .

Untuk mencari terbitan tertib kedua, kita bezakan persamaan (A2.2).
;
;
;
.
Kami menggantikan ungkapan untuk derivatif tertib pertama (A2.3):
.
Mari darab dengan:

;
.
Dari sini kita dapati terbitan bagi susunan kedua.

Jawab

Contoh 3

Cari terbitan tertib ketiga bagi fungsi yang diberikan secara tersirat menggunakan persamaan:
(P3.1) .

Penyelesaian

Bezakan persamaan asal berkenaan dengan pembolehubah, dengan mengandaikan ia adalah fungsi bagi .
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Kami membezakan persamaan (A3.2) berkenaan dengan pembolehubah .
;
;
;
;
;
(P3.3) .

Kami membezakan persamaan (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .

Daripada persamaan (A3.2), (A3.3) dan (A3.4) kita dapati nilai derivatif pada .
;
;
.